skkn vận DỤNG hàm số vào VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT ĐỒN KẾT

Mã số :. . . . . . . . . . .

Tần Thế Anh
Lĩnh vực nghiên cứu
Người thực hiện :

- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ mơn: Tốn
- Lĩnh vực khác
Sản phẩm đính kèm
Mơ hình
Phần mềm Hình ảnh Hiện vật khác

Năm học 2011 - 2012


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và Tên: Tần Thế Anh
2. Ngày tháng năm sinh: 24/01/1980
3. Giới tính : Nam
4. Địa chỉ: Trường THPT Đoàn Kết
5. Điện thoại: 0918607431
6. fax:……..email:
7. Chức vụ: giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Đoàn Kết.
II.TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

Học vị ( hoặc chuyên môn trình độ cao nhất): cử nhân khoa học
Năm nhận bằng: 2002
Chuyên nghành đào tạo: Toán
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán
Số năm có kinh nghiệm: 9 năm
Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 04.


MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .........................................................4
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.
Thực trạng trước khi chọn đề tài:..........................................................4
A. Thuận lợi và khó khăn ...................................................................4
a. Thuận lợi ..................................................................................5
b. Khó khăn ..................................................................................5
2. Đối tượng nghiên cứu: ..................................................................5
3. Phạm vi của đề tài: ........................................................................6
4. Phương pháp nghiên cứu: .............................................................6
PHẦN III: TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.......................................6
I. Cơ sở lý luận.................................................................................6
II. Nội dung đề tài.............................................................................7
A. Lý thuyết cơ bản.......................................................................7

I. Tính đơn điệu, cựu trị hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số ...................................................................... 7
II. Phương pháp hàm số biện luận phương trình, bất
phương trình...............................................................................7

B. Bài tập ứng dụng ......................................................... 8
I. Ứng dụng để giải toán không chứa tham số................8
II. Ứng dụng để giải toán không chứa tham số .............10
C. Bài tập đề nghị ........................................................... 13
PHẦN IV.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.14
PHẦN IV : KẾT LUẬN..................................................................... 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO:........................................................... 16


TÊN ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và
chương trình toán phổ thông nói riêng. Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất
phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các
cấp... Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình được
trình bày khá rõ ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách
chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo
khác.
Toán học nói chung và hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong
đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK đại số lớp 10 của nhà
xuất bản giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006
) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số, phương trình, bất
phương trình và hệ phương trình. Trong chương trình học tập bộ môn giải tích ở
chương trình 12, chủ đề hàm số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng. Trong cấu
trúc đề thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học, chủ đề này cũng chiếm một cơ số
điểm tương đối lớn. Tuy nhiên, đa số các em chỉ chú tâm khai thác các bài toán
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan. Trong phạm vi đề tài tôi
giới thiệu một số ứng dụng quan trọng của khảo sát hàm số phục vụ giải quyết

một số lớn các bài toán khác trong đề thi đại học cũng như các bài tập trong sách
giáo khoa, và sách bài tập đó là:
“VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH”

THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ
TÀI.
A. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN
a. Thuận lợi
* Về phía chương trình:
Phạm vi áp dụng tương đối lớn, gồm toàn bộ chương trình sách giáo khoa
THPT. Số tiết trong chương trình tương đối nhiều.


Đề tài này cũng có thể áp dụng cho việc luyện thi đại học, bồi dưỡng học sinh
giỏi tìm tòi và phát hiện các bài toán mới.
* Về phía giáo viên:
Đã có sự chuẩn bị chu đáo để triển khai đề tài một cách hiệu quả thông qua các
ví dụ và các bài tập trong sách giáo khoa, các đề thi đại học và các bài tập trong
sách tham khảo.
* Về phía học sinh:
Hầu hết các em đang tìm tòi, định hướng cách giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và hàm số để phục vụ kỳ thi tốt nghiệp, đại học và cao
đẳng. Vì vậy học sinh rất hứng thú, chủ động tích cực khi giáo viên triển khai chủ
đề này.
b. Khó khăn
* Về chương trình:
Phạm vi ứng dụng rộng, các dạng toán tương đối đa dạng phong phú, các bài toán
tham số đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt để phân tích.
* Về phía giáo viên:

Tất cả các giáo viên của trường đều rất quan tâm đến phần hàm số và đầu tư
công sức vào phần này rất có trách nhiệm và nhiệt tình. Tuy nhiên, các dạng toán
nâng cao chủ yếu nằm trong chương trình nâng cao và trong đề thi đại học ít gặp
trong các bài tập sách giáo khoa nên không thực sự đi sâu.
* Về phía học sinh :
Mặt bằng kiến thức không đồng đều, các bài toán có tham số thì đòi hỏi học
sinh phải có tư duy tốt mới phân tích được, từ đó mới áp dụng hàm số vào để giải.
B. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:


Học sinh lớp 12A1, 12A 2 trường THPT Đoàn Kết.
Ứng dụng tính đơn điệu giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình.
C. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A1, 12A2 trường THPT
Đoàn Kết.
Đối chứng 12A2, thử nghiệm 12A1.
D. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu các tài liệu :sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo.
Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp để có nhiều phương pháp giải hay.
Trao đổi với các em học sinh về cách giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình để biết hướng giải của các em, từ đó cung cấp cho các em một hướng
giải tốt hơn.
Thực nghiệm và kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp 12A1, 12A2
của trường.

II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn như

sau:
Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định Df , g(x) với tập xác định Dy. Đặt
D = D f ∩ D y . Ta đặt vấn đề tìm các giá trị a ∈ D sao cho: f (a ) = g (a ), ( f(a) > g(a) ) .
Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng thức f(x)
> g(x) là một bất phương trình) một ẩn.
Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình), D là tập
xác định của phương trình (bất phương trình).
Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó. Định
nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình
và bất phương trình.
Hệ phương trình (bất phương trình ) gồm nhiều phương trình ( bất phương trình)
hợp thành.


SGK giải tích 12 chương 1, chương 2 cũng đã phát triển phần hàm số đã được xây
dựng ở chương trình lớp 10 một cách hệ thống và bao hàm hơn.
Ngoài ra đây cũng là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình THPT
nên có rất nhiều bài báo chuyên môn cũng như sách tham khảo đề cập tới. Đặc biệt
đây là phần có cơ số điểm lớn trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học nên
học sinh cần phải nghiên cứu kỹ và sâu để tham gia các kỳ thi đạt hiệu quả tốt.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
a. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

1. y = f (x) đồng biến trên D ⇔ ∀x1 < x2 ∈ D ta có f ( x1 ) < f ( x 2 )
2. y = f (x) nghịch biến trên D ⇔ ∀x1 < x2 ∈ D ta có f ( x1 ) > f ( x 2 )
3. y = f (x) đồng biến trên D ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ D đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu
hạn điểm ∈ D.

4. y = f (x) nghịch biến / D ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ D đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn
điểm ∈ D.
5. Cực trị hàm số : Hàm số đạt cực trị tại điểm x = x k ⇔ f ′ ( x ) đổi dấu khi qua x k . (
chú ý hàm số liên tục tại x k ).
6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
• Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại x1 ,..., x n ∈ ( a, b ) .
Khi đó:

Max f ( x ) = Max { f ( x1 ) ,..., f ( x n ) , f ( a ) , f ( b ) } ;

x∈[ a ,b ]

M in f ( x ) = M in { f ( x1 ) ,..., f ( x n ) , f ( a ) , f ( b ) }

x∈[ a ,b ]

• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì

Min f ( x ) = f ( a ) ; Max f ( x ) = f ( b )

x∈[ a ,b ]

x∈[ a ,b ]

f ( x ) = f ( b ) ; Max f ( x ) = f ( a )
• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì xMin
∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]

b. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH
1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị
đồ thị y = v ( x ) .
u(x)
2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là
phần hoành độ tương ứng với phần
đồ thị y = u ( x ) nằm ở phía trên
v(x)
a

α

βb

x

y = u ( x)

với


so với phần đồ thị y = v ( x ) .
3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là
phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị
y = u ( x ) nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y = v ( x ) .
4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ
giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y = u ( x ) .
u ( x) ≥ m
5. BPT u(x) ≥ m nghiệm đúng ∀x∈I ⇔ Min
x∈I

6. BPT u(x) ≤ m ngh đúng ∀x∈I ⇔
7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔

Max u ( x ) ≤ m

y=m

x∈I

Max u ( x ) ≥ m
x∈I

u ( x) ≤ m
8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ Min
x∈I
a
b x
Chú ý: Hàm tăng giảm nghiêm ngặt.
Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x) = m, m là hằng số x ∈ D . Nếu trên miền D hàm số
f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) và phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy
nhất.
Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D . Nếu trên miền D hàm f(x) đồng
biến và g(x) nghịch biến và nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

B. BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
a. ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ:
Bài 1: Cho phương trình x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0 (1). Chứng minh phương trình có
nghiệm duy nhất. ( Đề khối D -2004).
Giải
5

2
Ta có x = ( x + 1) (2), từ (2) ⇒ x ≥ 0.khi x ≥ 0 ⇒ (x+1) 2 ≥ 1 , vậy vẫn từ (2) ta có
x5 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1 .
Như vậy mọi nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì x ≥ 1
 f ( x) = x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0
(1)
⇔
Nên
(3)

x ≥ 1
Ta có f '( x ) = 5 x 4 − 2 x − 2 = (2 x 4 − 2 x ) + (2 x 4 − 2) + x 4 > 0∀x ≥ 1 . Mặt khác f(x) liên tục
∀x ≥ 1 , suy ra hàm số f(x) đồng biến ∀x ≥ 1 .(*)

Mà f(1).f(2)<0. (2*)
Từ (*) và (2*) suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Điều quan trọng khi giải bài này là học sinh phải nhận xét được phương
trình có nghiệm thì x ≥ 1 và phải biết vận dụng định lý lagrang.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
1
 1
x − x = y − y
(1) ( Khối A 2003).

2 y = x3 + 1


Giải.

 x = y
(2)
 3
x − 2x + 1 = 0
1



( x − y )(1 + xy ) = 0
⇔ 
1
Với đk x. y ≠ 0 , ta có (1) ⇔ 
 (1 + ) = 0
2 y = x3 + 1
xy

(3)


3
 2 y = x + 1

Giải (2) ( x; y) = {(1;1); (

−1 ± 5 −1 ± 5
;
)}
2
2

−1

y =
x
Giải (3), 
Xét hàm số f(x)= x 4 + x + 2 với x ≠ 0
 x4 + x + 2 = 0

Minf(x)>0 ∀x ≠ 0 , nên hệ phương trình (3) vô nghiệm.

Chú ý: Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng :
1
t

Đặt f (t ) = t − ⇒ f '(t ) = 1 +

1
> 0, ∀t ∈ R nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương
t2

trình còn lại trong hệ đề giải.
Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương
pháp này, bởi vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0.
Nhận xét: Với f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f và y = f(x) liên tục trên D f thì
 f ( x) = f ( y )
x = y
⇔

 F ( x; y ) = 0
 F ( x; y ) = 0

Bài 3: Giải phương trình

100

x − 1 + 90 2 x − 3 = 2

Giải:
3
2

Với điều kiện x ≥ , xét hàm số
100

x − 1 + 90 2 x − 3 = f ( x), f '( x) =

1

+

1

100100 ( x − 1)99 4590 (2 x − 3)89
3
3
∀x ≥ suy ra hàm số đồng biến trên [ ; +∞) .
2
2

> 0∀x >

3
2 , mà hàm số liên tục

Mặt khác, phương trình có nghiệm x = 2. Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương
trình.
Bài 4: Giải phương trình

4( x − 2)[log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2)] = 15( x + 1) (1)

Giải:
Đkiện x>3, với đk pt(1)
⇔ f ( x) = log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2) =

15( x + 1)
= g ( x) .
4( x − 2)


1
1
+
> 0, ∀x > 3.
( x − 3) ln 2 ( x − 2) ln 3
Ta có:
. Vậy với x>3 thì hsố f(x) đồng biến, và
−5
g '( x )
< 0, ∀x > 3
4( x − 2) 2

f '( x) =

g(x) nghịch biến. Mặt khác f(11) = g(11) = 5, vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x = 11.
2
3
2
Bài 5: Giải bất phương trình: 4 2 x − 1 x − x + 1 > x − 6 x + 15 x − 14 (6)

(

)

Giải:
(6) ⇔ 2 x − 1 ( 2 x − 1) + 3 > ( x − 2 ) + 3 x − 6
2

3

⇔ 2 x −1 + 3 2 x − 1 > ( x − 2 ) + 3 ( x − 2 )
3

3

Xét hàm số f(t)= t3+3t, D = R.
Ta có : f’(t) = 3t2+2 > 0 nên f đồng biến trên R.
f ( 2 x −1 ) > f ( x − 2) ⇔ 2 x −1 > x − 2 .
Xét x-2 < 0 thì BPT nghiệm đúng.
Xét x-2 ≥ 0 thì 2x-1 > 0 nên BPT ⇔ 2 x − 1 > x − 2 ⇔ x > −1 : đúng
Vậy tập nghiệm S = R.

sin2 x

Bài 7: Giải bất phương trình:  2 ÷
 3

+ 3cos2 x − log 2005 ≥ 0
6
Giải:

(7)

Ta có:
sin2 x

2
3÷
 

sin2 x

2
+ 3cos2 x − log 2005 ≥ 0 ⇔  ÷
6
3

sin2 x

2
3cos x
+

≥ log 2005
6
2x
sin
3

2
sin2 x
31−sin x
1
2
+
≥ log 2005 ⇔  ÷
+ 3.
≥ log 2005
6
6
2x
2x
3

sin
2sin
3
3
Đặt t = sin 2 x, t ∈ [ 0;1]
t
t
2
1

Bất phương trình trở thành:   + 3.  ≥ log 2005
6
 3
9
t
t
 2
1
Hàm f (t ) =   + 3.  nghịch biến với ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) ≤ f (0) = 4
 3
9
Mà log 6 2005 > 4 .
Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm.
2
⇔ ÷
3


b. ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ:
Bài 1. Cho hàm số f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3
a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2].
b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4].
c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈ [ −1;3]
Giải:
a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có:
3
f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 = 0 ⇔ m ( x 2 + 2 x ) = 3 ⇔ g ( x ) = 2 3
=
=m.
2

( x + 1) − 1
Min g ( x ) ≤ m ≤ Max g ( x ) ⇔ 3 ≤ m ≤ 1
x∈[ 1;2]
x∈[ 1;2]
8
x + 2x

Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì

f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 ≤ 0

b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì
g ( x) =

⇔

m ( x 2 + 2x ) ≤ 3 ⇔

3
≥ m , ∀x ∈ [ 1; 4] ⇔ M in g ( x ) ≥ m .
x∈[ 1;4]
x 2 + 2x

3
Do g ( x ) = ( x + 1) 2 − 1 giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔

c. Ta có với x∈ [ −1;3] thì

f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 ≥ 0

Min g ( x ) = g ( 4 ) = 1 ≥ m
8

x∈[ 1;4]

⇔

m ( x 2 + 2x) ≥ 3 .

3
Đặt g ( x ) = x 2 + 2 x , x ∈ [ −1;3] . Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu

x=0

thì bất phương trình trở thành

+ Nếu

x ∈ ( 0;3]

thì BPT

⇔ g ( x) ≤ m

có nghiệm

3

Do g ( x ) = ( x + 1) 2 − 1 giảm / ( 0;3] nên ycbt

+ Nếu

x ∈ [ −1; 0 )

Ta có

g ′( x) =

thì

nên BPT

x 2 + 2x < 0

−3 ( 2 x + 2 )

( x 2 + 2x ) 2

≤ 0, ∀x ∈ [ −1; 0]

Do đó g ( x ) nghịch biến nên ta có

nên vô nghiệm.

g ( x) ≤ m .
x ∈ ( 0;3] ⇔ xMin
∈( 0;3]

⇔ Min g ( x ) = g ( 3) = 1 ≤ m
x∈( 0;3]
5

⇔ g ( x) ≥ m

có nghiệm

g ( x) ≥ m .
x ∈ [ −1; 0 ) ⇔ Max
[ −1;0 )

.
Max g ( x ) = g ( −1) = −3 ≥ m
[ −1;0 )

Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈ [ −1;3]
Bài 2. (Đề TSĐH khối A, 2007)
Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m

m.0 = 0 ≥ 3

⇔ m ∈ ( −∞; −3] U  1 ; +∞
 5

x + 1 = 24 x 2 −1

)

có nghiệm thực.

Giải:
ĐK:

x ≥1 ,

biến đổi phương trình

⇔ −3 x − 1 + 2 4 x − 1 = m .
x +1
x +1

Đặt
Khi

u = 4 x − 1 = 4 1 − 2 ∈ [ 0,1)
x +1
x +1
2
đó g ( t ) = −3t + 2t = m

.

t01+0–0– 1


g ′ ( t ) = −6t + 2 = 0 ⇔ t = 1 .
3
đó yêu cầu ⇔ −1 < m ≤ 13

Ta có
Do

Bài 3. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi
x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Điều kiện: x ≥ 2 .
Biến đổi phương trình ta có:

m>0,

phương trình

⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2)
2
2
⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2)

⇔ ( x − 2 ) ( x 3 + 6 x 2 − 32 − m ) = 0 ⇔ x = 2 V g ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 32 = m .

có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( 2; +∞ ) . Thật vậy ta có:
g ′ ( x ) = 3 x ( x + 4 ) > 0, ∀x > 2 . Do đó g ( x ) đồng biến mà g ( x ) liên tục và
g ( 2 ) = 0; lim g ( x ) = +∞ nên g ( x ) = m có đúng một nghiệm ∈ ( 2; +∞ ) .
x →+∞

Ycbt

⇔ g ( x) = m

Vậy ∀m > 0 , phương trình x 2 + 2 x − 8 =

Bài 4. (Đề TSĐH khối D, 2007):
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

m ( x − 2)

có hai nghiệm phân biệt.

x + 1 + y + 1 = 5

x
y
 3
 x + 13 + y 3 + 13 = 15m − 10
x
y


Đặt
và

u = x + 1 ; v = y + 1 ta
x
y

có

(

x 3 + 13 = x + 1
x

x

)

Giải:
3

(

)

− 3 x ×1 x + 1 = u − 3u
x
x

u = x+ 1 = x + 1 ≥2 x. 1 =2; v = y + 1 ≥2 y . 1 =2
x
x
x
y
y

Khi đó hệ trở thành

u + v = 5
u + v = 5
⇔
 3
3
uv = 8 − m

u + v − 3 ( u + v ) = 15m − 10

⇔ u, v là nghiệm của phương trình bậc hai f ( t ) = t 2 − 5t + 8 = m
Hệ có nghiệm ⇔ f ( t ) = m có 2 nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn t1 ≥ 2; t 2
Lập Bảng biến thiên của hàm số f ( t ) với t ≥ 2

≥ 2.


T

−∞

–2

f ′( t)
f ( t)

2

–

–

5/2
0

+∞
+

+∞

+∞
22
2

7/4

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm
Bài 5: Tìm m để

⇔ 7 ≤ m ≤ 2 ∨ m ≥ 22
4

y = −1 x 3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4
3

đồng biến trên (0, 3)

Giải.

Hàm số tăng trên (0,3) ⇔ y ′ = − x + 2 ( m − 1) x + ( m + 3) ≥ 0 ∀x ∈ ( 0, 3) (1)
( Dấu = xảy ra tại một số điểm hữu hạn ∈ ( 0,3) )
Do y ′ ( x ) liên tục tại x = 0 và x = 3 nên (1) ⇔ y′ ≥ 0 ∀x∈[0, 3]
2

⇔

m ( 2 x + 1) ≥ x 2 + 2 x − 3 ∀x ∈ [ 0, 3]

⇔ Max g ( x ) ≤ m .
x∈[ 0,3]

Ta có:

⇔ g ( x) = x

2

+ 2 x − 3 ≤ m ∀x ∈ [ 0, 3]
2x + 1

2
g ′ ( x ) = 2 x + 2 x +2 8 > 0 ∀x ∈ [ 0, 3]
( 2 x + 1)

⇒ g(x) đồng biến trên [0, 3] ⇒

m ≥ Max g ( x ) = g ( 3) = 12
x∈[ 0,3]
7

Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những phương
pháp tối ưu khi giải các bài toán trong các đề thi đại học phần phương trình, hệ
phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các bài toán tham số. Tuy nhiên, trong
phạm vi bài viết này tôi chỉ nêu một số ít bài toán để các em học sinh tham khảo. Tôi
hy vọng các em sẽ ứng dụng thành công những gì tôi đã truyền đạt trong đề tài để
đạt kết quả tốt trong quá trình học tập cũng như trong kỳ thi tốt nghiệp và các kỳ thi
tuyển sinh sắp tới.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

1. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
m ( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2

(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)

2x + 1
2
2.Giải phương trình: log 2 ( x − 1) 2 = x − 4 x

3. Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − 1
4. Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2 x + m đúng ∀x ∈ [ − 4;6]
5. Giải bất phương trình x( x 8 + 2 x + 16) > 6(4 − x 2 )
6. Giải bất phương trình 5 x + 12 x > 13 x
7. Giải các phương trình sau:
.
.


.
.
8. Giải các bất phương trình sau:
.
.
− x 3 + 3mx − 2 < −13 nghiệm đúng ∀x ≥ 1
x
x
trình m.4 + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0 đúng ∀x ∈ ¡

9. Tìm m để bất phương trình:
10. Tìm m để bất phương

11. Tìm m để phương trình:

x x + x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x )

12. Tìm m để bất phương trình:
13. Tìm m để ( 4 + x ) ( 6 − x )

x 3 + 3x 2 − 1 ≤ m ( x − x − 1 )

≤ x 2 − 2x + m

có nghiệm.

3

có nghiệm.
nghiệm đúng ∀x ∈ [ −4, 6]

III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
Sau khi triển khai đề tài, hầu hết học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này, kết
quả là các em đã biết vận dụng lý thuyết để giải toán, các em có nhiều tiến bộ, đa số
học sinh hiểu và vận dụng tốt vào giải bài tập, thậm chí những bài rất phức tạp. Đồng
thời, các em cũng tự tìm tòi ra nhiều cách giải hơn về phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình. Sau khi thử nghiệm và đối chứng, tôi thu được kết quả sau:
Đối chứng:
Lớp
12A2

TSHS
46

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu cầu

TS

%

TS

%

33

71.7

11

28.3

Thử nghiệm:
Lớp
12A1

TSHS
41

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu cầu

TS

%

TS

%

39

95,1

2

4,9

IV. KẾT LUẬN:
Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã
trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn. Tuy nhiên, với


khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một số ứng dụng
trên.
Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học
sinh khá giỏi của trường THPT Đoàn Kết, trong các đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi
TN và luyện thi đại học cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng học sinh
tiếp thu tương đối chủ động, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải
các dạng bài tập ở trên.

Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng
nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương
trình toán học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu
các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này.
Trong quá trình trình bày đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.
Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp để các đề tài sau của tôi được
tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.

V. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan” các tác giả : Trần Phương.
2. “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan” các tác giả : Lê Hồng Đức.


3. “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan” các tác giả : Đào Thiện Khải – Nguyễn
Văn Nho.
4. “Ứng dung hàm số giải PT – HPT và BPT” của các tác giả: Trần Phương, Đào
Thiện Khải – Trần Văn Hạo – Lê Hồng Đức – Trần Thị Vân Anh.
5. “Một số ứng dụng của hàm số” toán học và tuổi trẻ.
6. Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách giáo khao mới phân ban của
ban cơ bản và ban khoa học tự nhiên.
7. Sách bài tập.
8. Bộ đề thi tuyển sinh của bộ giáo dục đào tạo.
9. Sách tham khảo của Võ Quốc Anh – Lê Bích Ngọc.
10.Các bài toán liên quan trong trong tờ báo toán học và tuổi trẻ.
11.Các bài giảng về luyện thi đại học của tác giả Trần Phương.
12.Khảo sát hàm số và vấn đề liên quan của tác giả Phan Huy Khải.

NGƯỜI THỰC HIỆN

TẦN THẾ ANH

SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị: THPT Đoàn Kết

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - tự do - hạnh phúc


Tân Phú, ngày 18 tháng 04 năm 2012
PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:2011 - 2012
Tên đề tài: “VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH”
Người viết: Tần Thế Anh ; Đơn vị: Tổ Toán - Trường THPT Đoàn Kết.
Lĩnh vực:
Quản lí giáo dục
Phương Pháp dạy học bộ môn
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác
1.Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có
2.Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao:
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao
-Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
-Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và triển khai áp dụng
tại đơn vị có hiệu quả cao
3.Khả năng áp dụng

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách:
Tốt
Khá
Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến khích có khả năng ứng dụng thực tiễn,dễ thực
hiện và dễ đi vào cuộc sống:
Tốt
Khá
Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng:
Tốt
Khá
Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Đinh Quang Minh

HIỆUTRƯỞNG
Trần Thị An