skkn HÌNH học GIẢI TRONG KHÔNG GIAN với MAPLE

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I.

THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN
1. Họ và tên TRẦN VĂN TOÀN
2.
3.
4.
5.
6.

Ngày tháng năm sinh: 10 – 09 – 1 972
Giới tính: Nam
Địa chỉ: 22 tổ 91, khu phố 13, phường Hố Nai, Biên Hoà, Đồng Nai.
Điện thoại: 0917907948
Chức vụ: Giáo viên

7. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai.
II.

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

•

Trình độ chuyên môn cao nhất: Thạc sĩ Toán.

•
•

Năm nhận bằng: 2007

Chuyên ngành đào tạo: Toán Giải tích

III.
•
•
•

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Phần mềm Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 14
Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Cách giải đơn giản cho bài toán quen
thuộc (2007 - 2008); Một số cách giải phương trình, bất phương trình (2008 - 2009); Vài
dạng bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (2009 - 2010); Bài tập Mặt cầu (2010 2011)



1


SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Trường THPT Lương Thế Vinh

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập Tự do Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI
Năm học 2011 2012
Tên đề tài: HÌNH HỌC GIẢI TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE
Họ và tên tác giả: TRẦN VĂN TOÀN
Lĩnh vực:

Quản lý giáo dục

Tổ Toán
Phương pháp dạy học bộ môn

Phương pháp giáo dục

Lĩnh vực khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Tính mới

Có giải pháp hoàn toàn mới


Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2. Hiệu quả

Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao




Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao
Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả cao

3. Khả năng áp dụng


Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách
Tốt


Đạt

Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực
hiện và dễ đi vào cuộc sống
Tốt



Khá

Khá

Đạt

Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng
Tốt

Khá

Đạt

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Tổ trưởng chuyên môn

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

2


LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mình
trong việc soạn hệ thống bài tập. Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nói
riêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều. Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn học
này rất tốt.
Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản. Cách đây ít tháng, tôi có tham gia
vào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này. Một bài toán lớn, với nhiều bước
tính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter. Hơn thế nữa,
ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanh
chóng.
Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thật
tuyệt vời. Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn.
Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nào
giới thiệu.
Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đàn
Mapleprimes. Chắc chắn không thể có sai sót. Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi.
Đồng Nai, 2012

Trần Văn Toàn

3


HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Trùc khi làm việc với hình giải tích trong không gian ta phải bắt đầu bằng lệnh with(geom3d);
I. VÀI CÁCH NHẬP THÔNG DỤNG
1) Nhập một điểm.
Để nhập điểm M(x; y; z), ta nhập như sau: point(M, x, y, z);
2) Nhập mặt phẳng
Để nhập phương trình mặt phẳng P : Ax + By + Cz + D = 0, ta nhập :
Plane(P, A*x + B*y + C*z + D = 0, [x, y, z]);
3) Nhập một đường thẳng .
a) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tham số
 x = x0 + ta1 ,

 y = y0 + ta2 ,
z = z + ta .
0
3


Khi nhập vào maple, ta làm như sau:
line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t );
b) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng chính tắc
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3
→

Giả sử d đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có véctơ chỉ phương là a = (a1; a2 ; a3 ) , khi nhập vào maple, ta
nhập như sau:

line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t);
c) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tổng quát :
a1 x + b1y + c1z + d1 = 0,

a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0.

d là giao tuyến của hai mặt phẳng:
P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0
khi nhập vào maple, ta nhập như sau:
[> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 [x, y, z]):
plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]):
line(d,[P1, p2];
4) Khai báo một vectơ khi biết toạ độ hai điểm ta dùng cú pháp sau: dsegment(AB,[A,B])
→

Để nhập vectơ u = (x; y; z), ta nhập : u:=([x, y, z]);
4


5) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ.
→

→

Để tính tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ u và v . Trước hết, ta phải mở gói [>
with(linalg); Sau đó, ta dùng lệnh : crossprod(u,v); để tính tích có hướng và lệnh dotprod(u,v); để
tính tích vô hướng.
→

→

Ví dụ : Cho các vectơ u = (1; 2; 3) và v = (3; 5; 7).
→

→

→

→

Tìm u . v và [ u , v ]
[> u:=([1,2,3]),v:=([3,5,7]);
u := [ 1, 2, 3 ] v := [ 3, 5, 7 ]

[> with(linalg);
[> crossprod(u,v);
[ -1, 2, -1 ]

[> dotprod(u,v);
34

6) Một số lệnh kiểm tra
Tên lệnh

Cú pháp

Chức năng

AreCollinear

AreCollinear(P, Q, R,
cond)

Kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm P,
Q, R.

AreConcurrent

AreConcurrent(l1, l2, l3,
cond )

Kiểm tra tính đồng quy của ba đường
thẳng l1, l2, l3.

*AreCoplanar(A, B, C,
D)

* Kiểm tra tính đồng phẳng của bốn điểm
A, B, C, D.
* Kiểm tra tính đồng phẳng của hai đường
thẳng l1 và l2.

AreCoplanar
*AreCoplanar(l1, l2 )

* AreParallel(l1, l2, cond) * Kiểm tra tính song song của hai đường
thẳng l1, l2.
* Kiểm tra tính song song của đường
thẳng l1 và mặt phẳng P1.

* AreParallel(l1, p1,
cond)

Kiểm tra tính song song của hai mặt
phẳng p1 và p2.
*

* AreParallel(p1, p2,
5


AreParallel

cond)

* ArePerpendicular(l1, l2,
cond)

* Kiểm tra tính vuông góc của hai đường
thẳng l1, l2.
* Kiểm tra tính vuông góc của đường
thẳng l1 và mặt phẳng p1

ArePerpendicular
*ArePerpendicular(l1, p1,
cond)

* Kiểm tra tính vuông góc của hai mặt
phẳng p1 và p2 .

* ArePerpendicular(p1,
p2, cond)

IsEquilateral

IsEquilateral(ABC, cond )

IsOnObject(f, obj, cond)

Kiểm tra xem điểm hoặc tập hợp điểm f
có thuộc obj hay không ? Trong đó, obj có
thể là đường thẳng, mặt phẳng hay mặt
cầu.

IsRightTriangle(ABC,
cond )

Kiểm tra tính vuông góc của tam giác
ABC.

IsOnObject
IsRightTriangle

Xét xem tam giác ABC có đều hay
không ?

MẶT PHẲNG
plane(p, [A, dseg1])
plane(p, [dseg1, dseg2])
Một mặt phẳng trong Maple có thể được khai báo với cú pháp và chức năng như sau:

Cú pháp
plane(P, [A, v] )

Chức năng
Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có pháp vectơ là v.

plane(p, [A, dseg1])

Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có đoạn thẳng đònh
hướng 1.

plane(p, [dseg1, dseg2])

Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có hai đoạn thẳng đònh
6


hướng dseg1 và dseg2
plane(P, [l1, l2] )

Khai báo P là mặt phẳng đi qua hai đường thẳng l1 và l2.

plane(P, [A, B, C] )

Khai báo P là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

plane(P, [A, l1, l2] )

Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với hai
đường thẳng l1 và l2.

Plane(P,a*x + b*y +c*z +
d = 0,[x, y, z]

Khai báo P là mặt phẳng có phương trình a*x + b*y +c*z + d = 0.

Parallel(P, M, alpha)

Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt
phẳng alpha.

Parallel(P, M, l)

Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với đường
thẳng l.

Parallel(P, l1, l2)

Khai báo P là mặt phẳng chứa đường thẳng l1 và song song với
đường thẳng l2.

parallel(w, u, v)
Parameters
w - name of the object to be created
u - point or a line
v - line or plane; v can be a plane only if u is a point
Description
• If u is a point and v is a line (or plane), the parallel(w, u, v) function defines w as the line (or
plane) that passes through u and is parallel to v.
• If u is a line, and v is a line, the parallel(w, u, v) function defines w as the plane that contains u

and is parallel to v.
Một vài cách xác đònh vector pháp tuyến của mặt phẳng:
1. Cho mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0.
vector pháp tuyến của (P) xác đònh bằng lệnh
> NormalVector(P);
2. Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A, B. Thì vector pháp tuyến của (P)
là vector chỉ phương của đường thẳng AB. Để xác đònh vector chỉ phương của đường thẳng có
tên là AB, ta dùng lệnh > ParallelVector(AB);
Ví du 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB và phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
A và nhận vector AB làm vector pháp tuyến.
> point(A,1,2,3);
A
7


> point(B,4,5,6);
B

> v:=dsegment(AB,[A,B]);
v := AB

> line(Delta,[A,v],t);
∆

> Equation(Delta);
[ 1 + 3 t, 2 + 3 t, 3 + 3 t ]

> plane(P,[A,v]);
P

> Equation(P,[x,y,z]);
−18 + 3 x + 3 y + 3 z = 0

Ví dụ 2. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M0(1; – 2; 1) và vuông góc với đường thẳng
 x − 2 y + z − 3 = 0,

 x + y − z + 2 = 0.

Chú ý rằng vector chỉ phương của đường thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Lệnh [>ParallelVector(D); để xác đònh vectơ chỉ phương của đường thẳng D.
[> plane(P1, x-2*y + z - 3 = 0, [x, y, z]);
[> plane(P2, x + y – z + 2 = 0, [x, y, z]), point(M0,1,-2,1);
P1, P2 , M0

[> line(D, [P1, P2]);
D

[> v:=ParallelVector(D);
v := [ 1, 2, 3 ]

[> Equation(plane(P, [M0, v], [x, y, z]));
x+2y+3z=0

Ví dụ 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm
A(3; – 1; 2), B(4; – 1; – 1) và C(2; 0; 2).
[> point(A, 3, -1, 2), point(B, 4, -1, -1), point(C, 2, 0, 2);
A, B, C
8

[> plane(ABC,[A,B,C],[x,y,z]);
ABC

[> Equation(ABC);
−8 + 3 x + 3 y + z = 0
 x = 3t + 1,

Ví dụ 4 :Viết phương trình của mặt phẳng đi qua đường thẳng  y = 2t + 3,
 z = −t − 2

2 x − y + z − 3 = 0,
 x + 2 y − z − 5 = 0.

và song song với đường thẳng 

ĐS. 13x – 14y + 11z + 51 = 0.
[> line(L1,[3*t+1,2*t+3,-t-2],t):
plane(P1,2*x-y+z-3=0,[x,y,z]):
plane(P2,x+2*y-z-5=0,[x,y,z]):
line(L2,[P1,P2]):
parallel(P,L1,L2):
Equation(P);
Ví dụ 5. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M1(1; 2; – 3) và song song với các đường
thẳng

x −1 y + 1 z − 7 x + 5 y − 2 z + 3
=
=
,
=

=
2
−3
3
3
−2
−1

ĐS. 9x + 11y + 5z – 16 = 0.
[> line(D1, [point(A, 1, -1, 7), [2,-3,3]]);
[> line(D2, [point(B, -5, 2, -3), [3,-2,-1]]);
[> point(M1, 1, 2, -3);
D1, D2, M1

[> plane(P, [M1, D1, D2]);
P

[> Equation(P, x, y, z]);
−16 + 9 x + 11 y + 5 z = 0

Ví dụ 6: Chứng minh rằng bốn điểm A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) nằm trên cùng
mặt phẳng.
Prove that the four points A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) lies in the same plane.
* Cách 1:
9


[> point(A, 1, 2, -1), point(B, 0, 1, 5), point(C, -1, 2, 1), point(D, 2, 1, 3);
A, B, C, D

[> AreCoplanar(A,B,C,D);
true

* Cách 2:
[> point(A,1,2,-1), point(B,0,1,5), point(C,-1,2,1), point(D,2,1,3);
A, B, C, D

[> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]);
P

[> Equation(P);
20 − 2 x − 10 y − 2 z = 0

[> IsOnObject(D,P);
true

Lệnh IsOnObject(D, P) ; để kiểm tra xem điểm P có nằm trên mặt phẳng P hay không ?
Ví dụ 7 : Xác đònh các giá trò của l và m dể hai mặt phẳng có phương trình sau là song song nhau:
mx + 3y – 2z – 1 = 0,

2x – 5y – lz = 0.

[> plane(P1,m*x+3*y-2*z-1=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x-5*y-l*z=0,[x,y,z]);
P1 , P2

[> AreParallel(P1,P2,'cond');
FAIL

[> cond;
&and ( −3 l − 10 = 0, −4 + m l = 0, −5 m − 6 = 0 )

[> solve({-3*l-10 = 0,-4+m*l = 0,-5*m-6 = 0},{m,l});
{m =

-6
-10
,l=
}
5
3

Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai mặt phẳng
(P1): x+ y + z – 1 = 0 và (P2): 2x + 3y + 4z - 1 = 0
[> point(A, 1, 2, 3 );
A
10


[> plane(P1, x+

y + z - 1 = 0, [x, y, z]);
P1

[> plane(P2, 2*x +

3*y + 4*z - 1 = 0,[x,y,z]);
P2

[> v1:= NormalVector(P1);
v1 := [ 1, 1, 1 ]

[> v2:= NormalVector(P2);
v2 := [ 2, 3, 4 ]

[> with(linalg);
[> v:=crossprod(v1,v2);
v := [ 1, -2, 1 ]

[> plane(P,[A,v],[x,y,z]);
P

[> Equation(P);
x−2y+z=0

Ví dụ 9. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1, 2, 3), B(-2,5,6) và vuông
góc với mặt phẳng alpha: x - y + z - 1 = 0.
> restart; with(geom3d);
> point(A, 1, 2, 3);
A

> point(B,-2,5,6);
B

> line(AB, [A,B],t);
AB

> a:=ParallelVector(AB);
a := [ -3, 3, 3 ]

> plane(alpha, x - y + z - 1 = 0,[x,y,z]);

α

> n:=NormalVector(alpha);
11


n := [ 1, -1, 1 ]

> with(linalg);
> v:=crossprod(a,n);
v := [ 6, 6, 0 ]

> plane(P,[A,v],[x,y,z]);
P

> Equation(P);
−18 + 6 x + 6 y = 0

ĐƯỜNG THẲNG
Maple cho phép khai báo đường thẳng theo các cách sau:
Cú pháp

Chức năng

line(l, [A, B] )

Khai báo đường thẳng l đi qua hai điểm A và B.

line(l, [A, u] )

Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và có VTCP là u .

line(l, [A, p1] )

Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng p1.

line(l, [p1, p2] )

Khai báo l là giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2.

→

line(l, [a1+b1*t,
a2+b2*t,
a3+b3*t ], t)

Khai báo đường thẳng l là đường thẳng có phương trình tham số x = a1+b1*t, y =
a2+b2*t, z = a3+b3*t

parallel(l, A, d)

Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A song song với đường thẳng d.

Ví dụ 1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 1; 2) và B(4; – 1; –1).
[> point(A,3,-1,2),point(B,4,-1,-1),line(l,[A,B]);
A, B, l

[> Equation(l,t);
[ 3 + t, -1, 2 − 3 t ]
 x = 3 + t,


Chú ý: Đáp số cho phương trình tham số của đường thẳng l là  y = −1,
z = 2 − 3t.

12


Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(5; – 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 3y + z –
1=0
[> point(M,5,-2,3),plane(P,2*x-3*y+z-1=0,[x,y,z]);
M, P

[> Equation(line(l, [M,P]));
enter name of the independent variable > t;
[ 5 + 2 t, −2 − 3 t, 3 + t ]

Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :
2 x − 3y + 4 z − 5 = 0,

5 x + 4 y − 4 z + 5 = 0

[> plane(P1,2*x-3*y+4*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,5*x+4*y-4*z+5=0,
[x,y,z]), line(D,[P1,P2]);
P1 , P2, D

[> Equation(D);
enter name of the independent variable > t;
 5 − 4 t, − 35 + 28 t, 23 t 
 23


23
[> FixedPoint(M,D);
M

[> coordinates(M);
 5 , -35, 0 


 23 23 

Chú ý: Lệnh FixedPoint(M,D); cho ta một điểm M cố đònh thuộc đường thẳng đã cho.
Ví dụ 4 : Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(2; – 3; 4), B(3; 2; 7) và C( – 2; 5;
5).
[> with(geom3d);
[> triangle(ABC,[point(A,2,-3,4),point(B,3,2,7), point(C,-2,5,5)]), altitude(AH,A,ABC);
ABC, AH

[> Equation(AH,t);
 2 + 29 t, −3 + 89 t, 4 + 61 t 


19
19
19 

13


KHOẢNG CÁCH
Trong Maple cho phép tính các khoảng cách sau:

Cú pháp

Chức năng

distance(A, B)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

distance(l1, l2)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng l1 và
l2.

distance(p1, p2)

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng p1 và
p2.

distance(A, p1)

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
p1.

distance(A, l1)

Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
l1.

distance(l1, p1)

Tính khoảng cách giữa đường thẳng l1 và mặt
phẳng p1.

Ví dụ : Cho các điểm A(1; 2; 3), B( – 1; 4; -7);
các mặt phẳng P : 2x + 3y – 9z + 1 = 0 và Q : 2x + 3y – 9z + 9 = 0
 x = 3t − 1,

và đường thẳng l :  y = 4t + 6,
 z = −t.


Tính :
1) Khoảng cách giữa hai điểm A và B.
2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P.
3) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng l.
4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và l.
5) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q.
6) Khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Q.
[> point(A,1,2,3), point(B,-1,4,-7),plane(P,2*x+3*y-9*z+1=0,
[x,y,z]),line(l,[3*t-1,4*t+6,-t],t),plane(Q,2*x+3*y-9*z+9=0,[x,y,z]);
A, B, P, l, Q
14


[> distance(A,B);
6 3
[> distance(A,P);
9
94

47
[> distance(B,l);
9
17
26

26

[> line(AB,[A,B]);
AB

[> Equation(AB,t);
[ 1 − 2 t, 2 + 2 t, 3 − 10 t ]

[> distance(AB,l);
27
74
74
[> distance(P,Q);
4
94
47

[> distance(AB, Q);
Error,(in geom3d/distancelp)the line and plane intersect
Lưu ý : Đường thẳng AB và mặt phẳng Q cắt nhau.
HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG

Vấn đề

HÌNH
CHIẾU

Cú pháp

Chức năng

projection(Q, A, l )

Tìm hình chiếu Q của điểm A lên đường thẳng l.

projection(Q, A, P)

Tìm hình chiếu Q của điểm A lên mặt phẳng P

projection(Q, l, P)

Tìm hình chiếu Q của đường thẳng l lên mặt phẳng P.
Q - the name of the object to be created
P - a geometric object

ĐỐI

reflection(Q, P, c )

c - a point, a line, or a plane
15


XỨNG

Ví dụ 1 : Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; –1; 3) lên đường thẳng
 x = 3t ,

D:  y = −7 + 5t,
 z = t.


[> with(geom3d);
[> point(P,2,-1,3),line(D,[3*t,-7+5*t,2+2*t],t);
P, D

[> projection(Q,P,D);
Q

[> coordinates(Q);
[ 3, -2, 4 ]

Ví dụ 2 .Tìm hình chiếu H của điểm P(5; 2; –1) lên mặt phẳng
Q: 2x – y + 3z + 23 = 0
[> with(geom3d);
[> point(P,5,2,-1), plane(Q,2*x- y+3*z+23=0,[x,y,z]);
P, Q

[> projection(H,P,Q);
H

[> coordinates(H);
[ 1, 4, -7 ]

Ví dụ 3 . Tìm hình chiếu của điểm C(3; – 4; – 2) trên mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song

x −5 y −6 z+3 x −2 y −3 z+3
=
=
,
=
=
13
1
−4
13
1
−4

[> point(C,3,-4,-2),line(D1,[point(M,5,6,-3),[13,1,-4]]),line(D2,[point(N,2,3,-3),[13,1,-4]]),plane(P,
[D1,D2],[x,y,z]);
C, D1, D2, P

[> Equation(P);
120 + 12 x − 12 y + 36 z = 0
16


[> projection(H,C,P);
H

[> coordinates(H);
[ 2, -3, -5 ]
5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0,
 x + 2z − 2 = 0

Ví dụ 4 . Tìm hình chiếu của đường thẳng 
lên mặt phẳng 2x – y + z – 1 = 0.
Giải :

[> plane(p1,5*x-4*y-2*z-5=0,[x,y,z]), plane(p2,x+2*z-2=0,[x,y,z]),line(l,[p1,p2]);
p1 , p2, l

[> plane(Q,2*x-y+z-1=0,[x,y,z]);
Q

[> projection(R,l,Q);
R

[> Equation(R,t);
 17 − 8 t, 37 − 12 t, − 7 + 4 t 


24
24
 12


Ví dụ 5 .Tìm điểm M1 đối xứng với điểm M2(8; – 9) qua đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 4) và B( –
1; – 2).
Giải
[> point(M2,8,-9),point(A,3,-4),point(B,-1,-2);
M2 , A, B

[> line(AB,[A,B],[x,y]);
AB

[> Equation(AB);
−10 − 2 x − 4 y = 0

[> reflection(M1,M2,AB);
M1

[> coordinates(M1);
[ 10, -5 ]

17


Ví dụ 6 .Tìm điểm Q đối xứng với điểm P( 4; 1; 6) qua đường thẳng
 x − y − 4z + 12 = 0,

2 x + y − 2 z + 3 = 0.

[> with(geom3d);
[>point(P,4,1,6),plane(P1,x-y-4*z+12=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x+y-2*z+3=0,[x,y,z]);
P, P1, P2

[> line(l,[P1,P2]);
l

[> reflection(Q,P,l);
Q

[> coordinates(Q);
[ 2, -3, 2 ]

Ví dụ 7. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P( 2; –5; 7) qua đường thẳng đi qua hai điểm M1( 5; 4; 6) và
M2( – 2; – 17; – 8).
[>point(P,2,-5,7),point(M1,5,4,6),point(M2,-2,-17,-8),line(M1M2,[M1,M2]);
P, M1, M2, M1M2

[> reflection(Q,P,l);
Q

[> coordinates(Q);
[ 8, -1, 3 ]

Ví dụ 8. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(1; 3; –4) qua mặt phẳng
3x + y – 2z = 0.
[> point(P,1,3,-4),plane(anpha,3*x+y-2*z=0,[x,y,z]);
P, anpha

[> reflection(Q,P,anpha);
Q

[> coordinates(Q);
[ -5, 1, 0 ]

Ví dụ 9. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(3; –4; –6) qua mặt phẳng đi qua các điểm M1( –6; 1; –5),
M2(7; –2; –1), M3(10; –7; 1).
18


[> point(P,3,-4,-6), point(M1,-6,1,-5), point(M2,7,-2,-1), point(M3,10,-7,1),
plane(anpha, [M1, M2, M3], [x,y,z]);

P, M1, M2, M3, anpha

[> reflection(Q,P,anpha);
Q

[> coordinates(Q);
[ 1, -2, 2 ]

[> detail(anpha);
name of the object: anpha
form of the object: plane3d
equation of the plane: -182+14*x-14*y-56*z = 0
Ví dụ10 . Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(–3; 2 ; 5) qua mặt phẳng đi qua các đường thẳng
 x − 2 y + 3z − 5 = 0, 3 x + y + 3z + 7 = 0,


 x − 2 y − 4 z + 3 = 0; 5 x − 3y + 2 z + 5 = 0.

[> point(P,-3,2,5), plane(P1,x-2*y+3*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,x-2*y-4*z+3=0, [x,y,z]),
plane(P3,3*x+y+3*z+7=0, [x,y,z]), plane(P4, 5*x-3*y+2*z+5=0, [x,y,z]), line(L1, [P1, P2]),
line(L2, [P3,P4]);
P, P1, P2, P3, P4, L1, L2

[> plane(anpha,[L1,L2],[x,y,z]);
anpha

[> Equation(anpha);
98 − 98 x + 196 y + 49 z = 0

[> reflection(Q,P,anpha);

Q

[> coordinates(Q);
[ 1, -6, 3 ]

GÓC

Cú pháp

Chức năng
19


FindAngle(l1, l2)

Tìm góc của hai đường thẳng l1 và l2.

FindAngle(p1, p2)

Tìm góc của hai mặt phẳng p1 và p2.

FindAngle(l1, p1)

Tìm góc của đường thẳng l1 và mặt phẳng p1.

FindAngle(A, T)

Tìm số đo góc trong ở đỉnh A của tam giác T.

> assume(a<>0, b<>0, c<>0);

> point(P, [a, b, c]):
> point(o, 0, 0, 0), point(X, 1, 0, 0), point(Y, 0, 1, 0), point(Z, 0, 0,
1):
> plane(oxz, [o, X, Z]), plane(oxy, [o, X, Y]):
> projection(M, P, oxz): projection(N,P,oxy):
> plane(p,[o,M,N]);
> Equation(p,[x,y,z]);

> line(OP, [o,P]):
> FindAngle(OP,p);
Ví dụ 1 : Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng:
( Find the acute angle between the lines: )
x −3 y + 2
z x + 2 y −3 z+5
=
=
,
=
=
.
1
−1
1
1
2
2

[> with(geom3d);
[> line(D1, [point(M,3,-2,0), [1,-1,sqrt(2)]]);
D1

[> line(D2, [point(N,-2,3,-5),[1,1,sqrt(2)]]);
D2

[> FindAngle(D1,D2);
1
π
3

Ví dụ 2 : Xác đònh cosin của góc giữa các đường thẳng:

20

(ĐS. 600)


 x − y − 4z − 5 = 0,

2 x + y − 2 z − 4 = 0;

 x − 6 y − 6z + 2 = 0,

2 x + 2 y + 9z − 1 = 0.

(ĐS. cos ϕ =

4
)
21

[> plane(p1,x-y-4*z-5=0,[x,y,z]),plane(p2,2*x+y-2*z-4=0,[x,y,z]),line(L1,[p1,p2]);
p1, p2, L1

[> plane(p3,x-6*y-6*z+2=0, [x,y,z]),plane(p4,2*x+2*y+9*z-1=0,[x,y,z]),line(L2,[p3,p4]);
p3, p4, L2

[> FindAngle(L1, L2);
4
arccos  
21
 
 x = 2t − 1,

Ví dụ 3 : Tính góc tạo bởi đường thẳng D  y = 3t + 2,
 z = −t + 5.


và mặt phẳng P : 4x + y – 7z – 1 = 0.
[> line(D,[2*t - 1,3*t+2,-t+5],t),plane(P,4*x+y-7*z-1=0,[x,y,z]);
D, P

[> FindAngle(D,P);
3
arcsin
231 
 77

Ví dụ 4 . Cho tam giác ABC với A(1; 2; – 4), B( – 3; – 4; 0), C( – 7; 6; 3). Tính số đo góc trong của
góc A.
[>point(A,1,2,-4), point(B,-3,-4,0), point(C,-7,6,3), triangle(ABC,[A,B,C]);

A, B, C, ABC

[> FindAngle(A, ABC);
6
arccos 
17
 731

129 


DIỆN TÍCH CỦA TAM GIÁC – THỂ TÍCH TỨ DIỆN

Cú pháp

Chức năng

Chú ý

area(ABC)

Tính diện tích của tam giác ABC.

Trước hết phải khai báo tam giác ABC bằng
lệnh:
triangle (ABC, [A, B, C])

21

volume(ABCD
)

Tính thể tích tứ diện ABCD.

Trước hết phải khai báo tứ diện ABCD bằng
lệnh :
gtetrahedron(ABCD, [A, B, C, D])

Ví dụ 1: Cho các điểm :
A( – 2; 4; 5), B(0; 1; – 1), C(1; 3; – 6), và D(0; – 1; 4).
a) Tính diện tích của tam giác ABC;
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

a) [> point(A,-2,4,5),point(B,0,1,-1),point(C,1,3,-6),point(D,0,1,4),triangle(ABC,[A,B,C]);
A, B, C, D, ABC

[> area(ABC);
1
794
2
b) [> gtetrahedron(ABCD,[A,B,C,D]);
ABCD

[> volume(ABCD);
9
2

VD 2. Một tứ diện có thể tích là v = 5, có ba đỉnh là các điểm A(2; 1; – 1), B(3; 0 ; 1), C(2; – 1; 3);
đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy. Tìm toạ độ đỉnh D.

[> point(A,2,1,-1), point(B,3,0,1), point(C,2,-1,3), point(D,0,m,0);
A, B, C, D

[> AreCoplanar(A,B,C,D);
FAIL

[> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]);
P

[> IsOnObject(D,P,'cond');
geom3d/onobjps: "hint: unable to determine if 2-4*m is zero"
FAIL

[> cond;
2−4m=0

22


[> solve(2-4*m = 0,{m});
1
{m = }
2
[> assume(m<>1/2):gtetrahedron(ABCD, [A,B,C,D]);
ABCD

[> v:=volume(ABCD);
v := −

1 2

+ m~
3 3

[> solve(abs(-1/3+2/3*m)=5,{m});
{ m~ = 8 }, { m~ = -7 }

* Lưu ý:
a) Nếu ta gọi D(0, m, 0) là toạ độ của điểm D, thì trước hết, ta phải tìm điều kiện để cho bốn điểm A,
B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Lệnh AreCoplanar(A,B,C,D);không kiểm tra được tính đồng phẳng của bốn điểm A, B, C, D.

MẶT CẦU
I) Cách khai báo mặt cầu trong Maple
1) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I(a; b; c) có dạng :
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
thì ta khai báo:
[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 – 2*a*x – 2*b*y – 2*c*z + d = 0, [x, y, z], ‘centername’= I);
2) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I có dạng :
(x – a)2 + ( y – b)2 + ( z – c)2 = R2
thì ta khai báo:
[>sphere(S, (x – a)^2 + ( y – b)^ 2 + (z - c)^2 = R^2, [x, y, z], ‘centername’= I);

II) Lập phương trình mặt cầu thỏa điều kiện cho trước.
Maple cho phép lập phương trình mặt cầu thỏa một trong các điều kiện sau:

Cú pháp

Chức năng
23

sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z], Khai báo S là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.
'centername'= m )
sphere(S, [A, B],
'centername' = m)

[x,

y,

z], Khai báo S là mặt cầu nhận AB làm đường kính với tâm m.

sphere(S, [A, R], [x, y, z]);

Khai báo S là mặt cầu tâm A, bán kính R.

sphere(S, [A, P], [x, y, z]);

Khai báo S là mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng P.

Sphere(S, phuongtrinh S, [x ,y, z]);

Khai báo S là mặt cầu tâm cầu có phuongtrinh cho trước.

Chú ý: Sau khi khai báo S,
 Để viết phương trình của S, ta dùng lệnh Equation(S);
 Để tìm toạ độ tâm m của S, ta dùng lệnh coordinates(m);
 Để tìm bán kính của S, ta dùng lệnh radius(S);
 Ta cũng có thể xem chi tiết về S bằng cách dùng lệnh detail(S);
 Nếu không cần để ý tới tâm m thì ta có thể bỏ 'centername'= m khi khai báo.

 Ta cũng có thể lồng lệnh Equation trong khi khai báo, chẳng hạn :
Equation(sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z] , 'centername'= m );
Khi đó, Maple sẽ viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.
Ví dụ : Cho bốn điểm A(3; – 2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D( – 1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu :
a) Đi qua bốn điểm A, B, C, D;
b) Tâm A và tiếp xúcvới mặt phẳng (BCD);
c) Đường kính AB;
d) Tâm D và tiếp xúc với đường thẳng BC.
a)[>point(A,3,-2,-2), point(B,3,2,0), point(C,0,2,1), point(D,-1,1,2);
A, B, C, D

[> Equation(sphere(S, [A,B,C,D], [x,y,z]));
x 2 + y 2 + z2 − 7 −

24
15
16
x+
y−
z=0
7
7
7

b) [> plane(BCD, [B,C,D],[x,y,z]);
BCD
24


[> Equation(sphere(S, [A, BCD], [x, y, z]));

x 2 + y 2 + z2 + 3 − 6 x + 4 y + 4 z = 0

c) [> Equation(sphere(S, [A,B], [x, y, z]));
x 2 + y 2 + z2 + 5 − 6 x + 2 z = 0

d) [> line(BC, [B,C]);
BC

[> R:=distance(D, BC);
R :=

1
14
10

10

[> Equation(sphere(S, [D, R],[x, y, z]));
x 2 + y 2 + z2 +

23
+2x−2y−4z=0
5

Chú ý: Trong câu d)
 Ở dòng lệnh thứ nhất, ta khai báo BC là đường thẳng qua hai điểm B và C.
 Ở dòng lệnh thứ hai, ta gán R là khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC.
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
> assume(a,real,a<>0,b,real,b<>0,c,real,c<>0):
point(o,0,0,0), point(A,a,0,0), point(B,0,b,0), point(C,0,0,c):

sphere(s,[o,A,B,C]);
III. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.
Để tính phương tích của điểm P đối với mặt cầu S (The power of point P with respect to sphere
S), ta dùng lệnh :
Powerps(P, S);
Ví dụ: Cho mặt cầu S : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 6z – 25 = 0 và các điểm : A(1; 2; 0), B(n; n – 3; – 4),
C(– m; 2; 4)
a) Tìm phương tích của điểm A đối với mặt cầu S;
b) Tìm n để điểm B ở trong mặt cầu S;
c) Chứng minh rằng điểm C luôn ở ngoài mặt cầu ∀ m ∈ R.
a [> powerps(A,S);
-30
25