Bài giang về hình học vecter trong không gian

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
1
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 4
BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ 6
BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 8
BÀI 4: CHIẾU VECTƠ 10
BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 12
BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 13
15
BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ 16
BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 18
Chương 2: 23
ĐƯỜNG BẬC HAI 23
BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 24
BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 27
BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 32
VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 32
BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG BẬC HAI 39
BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI
Nhắc lại lý thuyết: 48
BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI 54
BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG
BẬC HAI 58
BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
( C ): ax2 + 2bx + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1) 61
BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 66
Chương 3: 74
MẶT BẬC HAI 74

BÀI 18: MẶT BẬC HAI VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 75
BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 79
BÀI 20: MẶT KẺ 81
2
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 83
ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI 83
3
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong
chương trình giảng dạy ở trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu
luận được chia làm ba chương lớn:

+Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ.
+Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng)
+Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian)
Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ
một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các
chương sau. Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng
tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức.
Chương 2:Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các
khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến,
tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới
mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và
có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải.
Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với
nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu
vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt
bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu.

Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá
trình thực hiện tiểu luận này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà
chúng tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin
bạn đọc thông cảm. Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email
Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc.
4
A
(Gốc
))
B
(ngọn)
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự 2 đầu (có hướng) được gọi là 1 Vectơ.
Đường thẳng đi qua 2 đầu mút gọi là giá của vectơ
Độ dài đoạn thẳng nối 2 đầu mút gọi là Môđun của
vectơ ( như vậy môđun là 1 số không âm)
Môđun của
a
r
kí hiệu là
a
r
+ Vectơ đơn vị : Vectơ có môđun bằng 1
+ Vectơ “không” (
0
r
): là vectơ 2 đầu mút trùng nhau. Có môđun bằng 0 và chiều tùy
chọn.

+ 2 Vectơ cộng tuyến (cùng phương): là 2 vectơ có 2 giá là 2 đường thẳng trùng
nhau hoặc song song. 2 vectơ cùng phương nếu cùng chiều thì gọi là 2 vectơ cùng hướng, nếu
ngược chiều thì gọi là 2 vectơ ngược hướng.
+ 2 Vectơ bằng nhau: nếu cùng hướng và môđun bằng nhau
Trên hình:
a
r
=
b
r
,
a
r
và
b
r
ngược hướng với
c
r

Ta thấy rằng, các vectơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí gốc. Nếu đem chúng lại
chung gốc thì chúng “trùng nhau”. Trong nhiều trường hợp ta chỉ chú đến phương, chiều và
môđun của vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc.
Từ đó đưa đến khái niệm vectơ tự do : là vectơ mà gốc có thể đặt tùy trong không
gian
Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên trên đầu để gọi tên cho vectơ
tự do
Trên hình:
a
r

=
b
r
,
a
r
và
b
r
ngược hướng với
c
r

Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ
AB
uuur
gọi là vectơ buộc
5
Buộc vectơ tự do ở điểm A
a
A
B
c
r
b
r
a
r
a
b

c
A
B
C
Trên hình: Cộng nhiều vectơ
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ
I/ Phép cộng trừ Vectơ :
1/ Định nghĩa:
Tổng của 2 vectơ
a
r
và
b
r
là vectơ
c
r
được xác
định như sau:
Buộc vectơ
a
r
ở điểm A,
a
r
=
AB
uuur
. Buộc vectơ

b
r
ở điểm
B,
b
r
=
BC
uuur
. Khi đó ta có
c
r
=
AC
uuur
.
Hoặc có thể dùng quy tắc hình bình hành: buộc
2 vectơ
a
r
và
b
r
vào chung điểm O,
a
r
=
OA
uuur
,

b
r
=
OB
uuur
, khi
đó
c
r
được xác định là vectơ đường chéo hình bình hành
có 2 cạnh là OA, OB , với gốc là O :
c
r
=
OC
uuur
(Quy tắc
này phù hợp với quy tắc tổng hợp 2 lực trong Vật Lí )

2/ Tính Chất :
+ Giao Hoán :
a
r
+
b
r
=
b
r
+

a
r
+ Kết hợp : (
a
r
+
b
r
) +
c
r
=
a
r
+ (
b
r
+
c
r
)
+ Phần tử trung hòa của phép cộng (
0
r
) :
a
r
+
0
r

=
0
r
+
a
r
=
a
r
6
O
B
a
b
c
A
C
+++ +
a
b
c
d
e
+++ +
a
b
c
d
e
a

r
-
b
r
=
c
r
OA
uuur
-
OB
uuur
=
BA
uuur
a b+
r r
≤
a b+
r
r
a b−
r r

≥
a
r
-
b
r

1
a a
=
r r
(1)
(-1)
a a= −
r r
(2)
( ) ( )p qa pq a=
r r
(3)
( )p a b pa pb+ = +
r r
r r
(4)
( )p q a pa qa+ = +
r r r
(5)
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
+ Cộng với phần tử đối. Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : là 2 vectơ cùng
phương, ngược chiều, môđun bằng nhau. Ví dụ:
AB
uuur
và
BA
uuur
đối nhau. Ta ghi :
AB
uuur

= -
BA
uuur
.
Ta có tính chất :
a
r
+
a−
uur
=
0
r
3/ Trừ Vectơ:
Hiệu của 2 vectơ
a
r
và
b
r
là 1 vectơ
c
r
=
a
r
+ (-
b
r
), ta ghi

c
r
=
a
r
-
b
r
Chú ý :
Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra
4/ Nhân một vecto với một số:
+ Định nghĩa:
Tích của một vectơ
a
r
với một số
p
là một vectơ kí hiệu
pa
uur
, có môđun bằng
p
.
a
r
,cùng
hướng với
a
nếu
p

>0, ngược hướng với
a
nếu
p
<0
+ Tính chất:
Mở rộng: Bằng phương pháp qui nạp người ta có thể chứng minh các tính chất 4 và 5
trong trường hợp có k hạng tử (k là một số hữu hạn tuỳ ý):
(4)
1 2 1 2
( )
k k
p a a a pa pa pa+ + + = + + +
r r r r r r
(5)
1 2 1 2
( )
k k
p p p a p a p a p a+ + + = + + +
r r r r
7
b
a
O
A
B
c
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ
THUỘC TUYẾN TÍNH

I/Định nghĩa:
Cho n vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
và n số
1 2 3
, , , ,
n
k k k k
. Ta gọi vectơ
1 1 2 2 3 3

n n
k a k a k a k a+ + +
r r r r
là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
với các hệ số
1 2 3
, , , ,
n
k k k k
.

1/ Các vectơ độc lập tuyến tính:
Hệ vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
gọi là độc lập tuyến tính khi:
1 1 2 2 3 3
0
n n
k a k a k a k a+ + + =
r
r r r r

1 2 3
0
n
k k k k⇒ = = = = =
2/ Các vectơ phụ thuộc tuyến tính:
Hệ vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
gọi là không độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính khi:
0
i
k∃ ≠

sao cho
1 1 2 2 3 3
0
n n
k a k a k a k a+ + + =
r
r r r r
II/ Định lý về điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính:
Các vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
(n>1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một
trong các vectơ ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chứng minh:
+ Điều kiện cần: Giả sử các vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
phụ thuộc tuyến tính; ta có
1 1 2 2 3 3
0
n n
k a k a k a k a+ + + =
r
r r r r

trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn
0
i
k ≠
. Ta suy ra:
i
a
r
=
3
1 2
1 2 3

n
n
i i i i
k k
k k
a a a a
k k k k
− − − −
r r r r
Vậy
3
1 2
, , , ,
n
i i i i
k k
k k

k k k k
− − − −
là các hệ số của tổ hợp tuyến tính.
+Điều kiện đủ: Giả sử
n
a
r
=
1 1 2 2 3 3 1 1

n n
l a l a l a l a
− −
+ + +
r r r r
⇔

1 1 2 2 3 3 1 1

n n n
l a l a l a l a a
− −
+ + + −
r r r r r
= 0
Vậy tồn tại hệ số thứ n là -1
≠
0. Vậy các vectơ
1 2 3
, , ,

n
a a a a
r r r r
phụ thuộc tuyến tính.
III/ Định lý về sự phân tích:
+ Trong mặt phẳng cho trước 2 vectơ bất kỳ
1 2
,e e
r r
độc lập tuyến tính, mọi vectơ
a
r
khác
của mặt phẳng đề được phân tích duy nhất theo
1 2
,e e
r r
:
8
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
!( , ) :x y∃
1 2
a xe ye= +
r r r
+ Trong không gian, tồn tại 3 vectơ
1 2 3
, ,e e e
r r r
độc lập tuyến tính, mọi vectơ
a

r
khác
trong không gian được phân tích duy nhất theo
1 2 3
, ,e e e
r r r
như sau:
!( , , ):x y z∃
1 2 3
a xe ye ze= + +
r r r r
IV/ Các ví dụ:
Vd1: Hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ độc lập tuyến tính. Hai
vectơ cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính.
• Hãy chứng minh ví dụ trên ?
( Hãy áp dụng định lý điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính cho 2 vectơ
1 2
,a a
r r
)
Ta cần chứng minh: Hai vectơ
1 2
,a a
r r
phụ thuộc tuyến tính
⇔
Chúng cùng phương.
Thật vậy.
o Ta chứng minh điều kiện cần:
Giả sử

1 2
,a a
r r
phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có
1 2
a ka=
r r

hoặc
2 1
a la=
r r
. Vậy
1 2
,a a
r r
cùng phương.
o Ta chứng minh điều kiện đủ:
Giả sử
1 2
,a a
r r
cùng phương
⇒
1 2
0:k a ka∃ ≠ =
r r
1 2
0a ka⇔ − =
r r

Vậy ta có
1 2
,a a
r r
phụ thuộc tuyến tính.
Vd2: Trong không gian, 3 vectơ bất kỳ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính. 3
vectơ đồng phẳng thì phụ thuộc tuyến tính.
9
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 4: CHIẾU VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Trục là một đường thẳng trên đó đã chọn một vectơ đơn vị. Hướng của vectơ là
hướng của trục.
Cho một trục
∆
với vectơ đơn vị
e
r
, một mặt phẳng P không song song với
∆
và một
vectơ
v
r
=
AB
uuur
tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng
,
A B

P P
song song với P
cắt
∆
tại A’,B’.
Các điểm A’,B’ gọi là các điểm chiếu của các điểm A,B trên
∆
theo phương P. Ta có
' 'A B
uuuuur
= p.
e
r
Ta gọi p là chiếu của vectơ
AB
uuur
trên
∆
theo phương P. Nếu
' 'A B
uuuuur
cùng phương với
e
r
thì p >0 và nếu
' 'A B
uuuuur
không cùng phương với
e
r

thì p<0.
Người ta viết :
p pr AB
∆
=
uuur
Ta còn gọi p là độ dài đại số của A’B’ và ký hiệu k=
' 'A B
.
II/ Các tính chất:
1/ Tính chất 1: Các vectơ bằng nhau thì có chiếu (trên cùng trục với cùng phương)
bằng nhau.
a b pr a pr b
∆ ∆
= ⇒ =
r r
r r
10
P
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
2/ Tính chất 2: Chiếu của các vectơ tổng bằng tổng của các chiếu vectơ.
( )p pr a b pr a pr b
∆ ∆ ∆
= + = +
r r
r r
III/ Định lý:
Chiếu vuông góc của một vectơ (chiếu lên trục
∆
theo phương P

⊥
∆
) bằng môđun
cua vectơ nhân với cosin góc giữa trục và vectơ.
cospr a a
ϕ
∆
=
r r
11
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Ta gọi tích vô hướng của 2 vectơ là một số bằng tích của mođun của 2 vectơ với
cosin của góc giữa 2 vectơ ấy. Ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ
,a b
r
r
là
.a b
r
r
và góc giữa hai
vectơ
,a b
r
r
là
ϕ
thì:

.a b
r
r
=
. .cosa b
ϕ
r
r
Chú ý: Tích vô hướng của vectơ là một số chứ không phải là một vectơ.
• Hệ quả: Từ định nghĩa của tích vô hướng ta có ngay:
+ Bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương vô hướng của nó.
+Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r
r r
II/ Tính chất:
1/ Tính chất 1: (Tinh giao hoán)
. .a b b a=
r r
r r
2/ Tính chất 2:
.( . ) ( . ). .( . )p a b p a b a p b= =
r r r
r r r
3/ Tính chất 3: (Tính phân phối)
.( ) . .a b c a b a c+ = +
r r
r r r r r
12
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/Định nghĩa:
Tam diện tạo bởi ba vectơ
OA
uuur
,
OB
uuur
,
OC
uuur
không đồng phẳng lấy theo thứ tự ấy gọi là
thuận (nghịch) nếu một người dứng dọc theo vectơ thứ ba
OC
uuur
, hướng của vectơ là hướng từ
chân tới đầu, thấy hướng quay từ vectơ thứ nhất
OA
uuur
, đến vectơ thứ hai
OB
uuur
,theo góc nhỏ nhất
là ngược hướng quay kim đồng hồ
Người ta gọi tích có hướng của hai vectơ
a
ur
và
b
r

là một vectơ
c
r
thỏa mãn những điều
kiên sau:
1/
c
r
⊥

a
ur
và
c
r
⊥
b
r
;
2/
c
r
=
a
r
b
r
.
sin( )
α

,ở đây
α
là góc giữa hai vectơ a và b.
3/ Tam diện tạo bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
là thuận
Thường người ta kí hiệu tích có hướng của hai vectơ
a
ur
và
b
r
là
a
ur
∧
b
r
Chú ý: tích có hướng của hai vectơ là một vectơ.
Hệ quả 1: Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tích có hướng của
chúng bằng không.
Hệ quả 2: môđun của tích có hướng của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành tạo
bởi hai vectơ ấy.

II/Tính chất:
Tính chất 1 : tích có hướng của hai vectơ có tính chất phản giao hoán, nghĩa là:
a
ur
∧
b
r
= -
b
r
∧
a
ur
.
Chứng minh:
Nếu
a
ur
và
b
r
cùng phương thì dựa vào hệ quả 1 ta thấy ngay đẳng thức trên là đúng.
13
O
C
A
B
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Bây giờ giả sử
a

ur
và
b
r
không cùng phương. Môđun của hai vectơ
a
ur
∧
b
r
và
b
r
∧
a
ur
bằng nhau
vì cùng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ
a
ur
và
b
r
. Hai vectơ
a
ur
∧
b
r
và

b
r
∧
a
ur

cùng phương vì cùng vuông góc với vectơ
a
ur
và
b
r
. Cuối cùng, hai vectơ
a
ur
∧
b
r
và
b
r
∧
a
ur

ngược hướng vì các tam diện tạo bởi ba vectơ
a
ur
,
b

r
,
a
ur
∧
b
r
và
b
r
,
a
ur
,
b
r
∧
a
ur
điều là thuận (do
đó tam diện tạo bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r
và
b
r
∧

a
ur
là nghịch).
Chứng minh:
Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu. Nếu
a
ur
và
b
r
cùng phương thì đẳng thức trên rõ
ràng là đúng. Bây giờ giả sử
a
ur
và
b
r
không cùng phương. Gọi
α
là góc giữa hai vectơ
a
ur
và
b
r
. Nếu p>0 thì p
a
ur
cùng phương với
a

ur
. Do dó p
a
ur
∧
b
r
là một vectơ cùng phương với
a
ur
∧
b
r
, tức là cùng phương với p(
a
ur
∧
b
r
). Ngoài ra,
( ) .sin( ) sin( )p a b p a b pa b pa b
α α
∧ = = = ∧
uur r r r
ur ur ur ur
Nếu p<0 thì p
a
ur
ngược hướng với
a

ur
, do đó p
a
ur
∧
b
r
ngược hướng với
a
ur
∧
b
r
,tức là
cùng phương với p
a
ur
∧
b
r
. Mặt khác, góc giữa p
a
ur
và
b
r
là
π α
+
. Ta có

( ) .sin( ) sin( )p a b p a b pa b pa b
α π α
∧ = = + = ∧
uur r r r
ur ur ur ur
Tính chất 3 : tích có hướng có tính chất phân phối với phép cộng vectơ, nghĩa là:
( ) ( ) ( )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
r r r r r r uur
( ) ( ) ( )a b c a b a c∧ + = ∧ + ∧
r r uur r uur r uur
Chứng minh:
Trước hết ta có các nhận xét
1/ Nếu
u v⊥
r r
u v⊥
r r
và
v
r
=1 thì vectơ
u v∧
r r
nhận được bắng cách quay vectơ u xunh quanh
vectơ
v
r
một góc
2
π

theo hướng quay kim đồng hồ nếu nhìn từ góc nhọn của vectơ
v
r
xuống.
Giả sử
v
r
≠
0
r
, Mỗi vectơ
u
r
điều phân tích được thành tổng của hai vectơ
'u
ur
va
"u
uur
. Trong đó
'u
ur
vuông góc với
v
r
còn
"u
uur
cùng phương với
v

r
. Gọi
α
là góc giữa hai vectơ
u
r
và
v
r
. Ta có:
' sin( )u u
α
=
ur r
' sin( )u u
α
=
ur r
Rõ ràng
u v⊥
r r
=
'u v⊥
ur r
. Thật vậy,
14
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
' sin( ) .sin
2
u v u v u v

π
α
∧ = = ∧
ur r r r r r

Các vectơ
'u
ur
va
u
r
,
v
r
đồng phẳng nên
'u v∧
ur r
cùng phương với
u v∧
r r
. Cuối cùng, dễ
thấy rằng hai vectơ ấy cùng hướng.
Bây giờ ta chứng minh
( ) ( ) ( )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
r r r r r r uur

Nếu
0c =
r r
thì đẳng thức rõ ràng đúng, Nếu

0c ≠
r r
thì ta có thể phân tích
a
ur
và
b
r
thành
tổng
' ''a a+
uur uur
và
' ''b b+
ur uur
. Trong đó
'a
uur
,
'b
ur
c⊥
r
c⊥
r
và
''a
uur
,
''b

uur
cùng phương với
c
r
. Như vậy
( ' ') ( " ")a b a b a b+ = + + +
r r uur ur uur uur
. Theo nhận xét 2 ta chỉ cần chứng minh đẳng thức
( ) ( ) ( )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
r r r r r r uur

Gọi
e
r
là vectơ đơn vị cùng hướng với
c
r
, nghĩa là
e
r
=
1
c
c
r
r
. Nhờ tính chất 2 ta chỉ cần
chứng minh
( ' ') ( ' ) ( ' )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
uur ur r uur r ur uur

= là xong.
Theo nhận xét 1 thì muốn nhân có hướng một vectơ với một vectơ đơn vị vuông góc
vói nó, người ta quay vectơ thú nhất một góc
2
π
. Nhưng khi quay các vectơ
'a
uur
và
'b
ur
xung
quanh
e
r
một góc
2
π
thì đường chéo của hình bình hành tao nên từ các vectơ
'a
uur
và
'b
ur
và
cũng quay xung quanh
e
r
một góc
2

π
. Vậy đẵng thức đã được chứng minh.
Cuối cùng ta có:

( ' ') ( ' ) ( ' )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
uur ur r uur r ur uur

Tính chất 3 đã được chứng minh.
15
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ
I/Định nghĩa:
Cho ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
. Nhân có hướng hai vectơ
a
ur
,
b
r
ta được vectơ
a
ur

∧
b
r
, rồi nhân
vô hướng vectơ ấy với
c
r
ta được số
c
r
.
a
ur
∧
b
r
, gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
. Kí
hiệu tích hỗn tạp của ba vectơ là
( , , )a b c
r r r
. Vậy

( , , )a b c
r r r
=
c
r
.
a
ur
∧
b
r
Chú ý: tích hỗn tạp của ba vectơ là một số.
II/ Ý nghĩa hình học của tích hỗn tạp của ba vectơ:
Cho ba vectơ không đồng phẳng
a
ur
,
b
r
,
c
r
. Ta có
( , , )a b c
r r r
=
c
r
(

a
ur
∧
b
r
)
Nếu các vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
tạo nên một tam diên thuận thì góc giữa vectơ
c
r
và vectơ
a
ur
∧
b
r
là góc nhọn và là một số dương bằng đướng cao h của hình hộp dựng trên các vectơ
a
ur
,
b
r

,
c
r
. Ta đã biết
a b∧
r r
= S , ở đây S là diện tích đáy hình hộp ấy. Như vậy
( , , )a b c
r r r
=
c
r
.
a
ur
∧
b
r
=
= S.h=V. V là diện tích hình hộp
Nếu các vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
tạo nên một tam diện nghịch thì góc giữa

c
r
và
a
ur
∧
b
r
là một góc tù
và là một số âm và bằng –h. Lúc đó
c
r
.
a
ur
∧
b
r
=-V.
Tóm lại ta có:
2/ Định lí 7: Tích hỗn tạp
( , , )a b c
r r r
của ba vectơ không đồng phẳng là một số có giá trị
tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng nên bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r

,
c
r
,số ấy dương nên ba vectơ
ấy tạo nên một tam diên thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch.
Chú ý: nếu ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
ấy tạo nên một tam diện thuận ( nghịch ) thì ba vectơ
b
r
,
c
r
,
a
ur
và ba vectơ
c
r
,
a
ur
,

b
r
cũng tạo nên một tam diên thuận (nghịch ). Do đó
a
ur
∧
b
r
.
c
r
=
a
ur
∧
c
r
.
b
r
=
b
r
∧
c
r
.
a
ur
III/ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

1/ Định li 8: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là tích hỗn tạp của chúng
băng không.
16
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Chưng minh:
Cần: Cho ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng. nếu
a
ur
và
b
r
cùng phương thì
a
ur
∧
b
r
= 0, do đó
a
ur
∧

b
r
.
c
r
= 0. Nếu
a
ur
và
b
r
không cùng phương thì
a
ur
∧
b
r
⊥
a
ur
⊥
và
a
ur
∧
b
r
⊥
b
r

ta suy ra
a
ur
∧
b
r
⊥

c
r
. Như vậy
a
ur
∧
b
r
.
c
r
= 0
Đủ: Giả sử
( , , )a b c
r r r
= 0. Nếu ba vectơ
a
ur
,
b
r
,

c
r
không đồng phẳng thì theo định lí 7, tích hỗn
tạp
( , , )a b c
r r r
có trị số tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên các vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
nghĩa là
( , , )a b c
r r r
0
≠
. Điều này trái với giả thiết, vậy
a
ur
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng.

Từ định lí và định lí 8 ta suy ra:
Hệ Quả : Điều kiên cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là tích hỗn tạp của
chúng bằng không.
17
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
I/ Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc:
Để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian người ta
thường dùng hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc.
1)Trong mặt phẳng:
Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc gồm hai đường thẳng vuông góc x’Ox và y’Oy, trên đó
chọn hai vectơ đơn vị
1 2
à e v e
ur uur
. Hai đường thẳng ấy được gọi là hai trục tọa độ.
• x’Ox :là trục hoành.
• y’Oy: là trục tung.
•
1 2
,e e
ur uur
: là các vectơ cơ sở.
• Điểm O là gốc tọa độ.
2)Trong không gian :
Ba đường thẳng x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc vơi nhau từng đôi một trên đó chọn ba
vectơ đơn vị
1 2 3
, ,e e e
ur uur ur

. Ba đường thẳng ấy được gọi là ba trục tọa độ:trục hoành, trục tung và
trục cao.
•
1 2 3
, ,e e e
ur uur ur
là các vectơ cơ sở
• O là gốc tọa độ
II/ Tọa độ điểm .
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng Oxy. Ta có :
1 2
OM xe ye= +
uuuu u uuv v v
thì x,y gọi là tọa độ của điểm M
Kí hiệu: M(x, y).
 Trong không gianOxyz, giả sử M là một điểm tùy ý trong không gian.
Ta có:
1 2 3
OM xe ye ze= + +
uuuur ur uur ur
các số x, y, z gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu: M(x,y,z).
III/Tọa độ của vectơ:
1/Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ tự do
a
v
. Ta có:

1 2
a xe ye= +
ur uur

v
các số x, y được gọi là tọa độ của vectơ tự do
a
r
trong mặt phẳng Oxy
Nếu ta có hai điểm
1 1 1 2 2 2
( , ) à ( , )A x y v A x y
. Khi đó ta có:
18
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

1 2 2 1
1 1 1 1 2
2 2 1 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
à :
( ) ( )
: ( ) ( )
A A OA OA
M
OA x e y e
OA x e y e
OA OA x x e y y e
Hay A A x x e y y e
= −
= +
= +
=> − = − + −

= − + −
uuuur uuuur uuur
uuur ur uur
uuuur ur uur
uuuur uuur ur uur
uuuur ur uur
1 2
A A
uuuur
= (
2 1 2 1
,x x y y− −
) là tọa độ của vectơ buộc .
Tổng , hiệu của hai vecto tự do.Cho hai vectơ:
a
r
(
1 1
,x y
),
b
r
(
2 2
,x y
)
=>
a b+
r r
=(

1 2 1 2
,x x y y+ +
)

a b−
r r
= (
2 1 2 1
,x x y y− −
)
Tích của một vectơ với một số
Trong mặt phẳng Oxy cho vecto
a
r
=(x,y)]thì
k
a
r
=(kx, ky)
Chú ý: nHai vectơ
a
r
(
1 2
,a a
) và
b
r
(
1 2

,b b
) khác vectơ O cùng phương khi và chỉ khi:

1 2
1 2
a a
b b
=
2/) Trong không gian Oxyz cho vectơ tự do
a
r
. Ta có:

1 2 3
a xe ye ze= + +
r ur uur ur
thì x, y, z gọi là tọa độ của vectơ tự do
a
r
trong Oxyz
Nếu có điểm
1 1 1 1 2 2 2 2
( , , ) à A ( , , )A x y z v x y z
và . Tương tự ta cũng có vectơ buộc
1 2
A A
uuuur
(
2 1 2 1 2 1
, ,x x y y z z− − −

)
Tích của một vectơ với một số: nếu có vectơ
a
r
(x, y, z)
=> k
a
r
=(kx, ky, kz)
CHÚ Ý:Hai vectơ
a
r
(
1 2 3
, ,a a a
) và
b
r
(
1 2 3
, ,b b b
)cùng phương khi và chỉ khi:

3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
= =

IV/Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ theo tọa độ của chúng:
Trong mặt phẳng Oxy cho
a
r
(
1, 2
a a
) và
b
r
(
1 2
,b b
) ta có:
19
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

1 1 2 2
1 2 2
1
a a e a e
b b e b e
= +
= +
r ur uur
r ur uur
Vậy
1 1 2 2 1 1 2 2
. ( ).( )a b a e a e b e b e= + +
r r ur uur ur uur

Do:
2 2
1 2
1e e= =
ur uur
(vì
1 2
,e e
ur uur
là những vectơ đơn vị)

1 2
e e
uruur
= 0

1 1 2 2
.a b a b a b⇒ = +
r r
MỘT VÀI HỆ QUẢ
Trong mặt phẳng Oxy
•
1 1 2 2
0a b a b a b⊥ ⇔ + =
r r

•

2
2

2 2
1 2
.a a a a a a= = = +
uur
r r r


2 2
1 2
a a a⇒ = +
uur
•
Gọi α là góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
Cosα =
.
.
a b
a b
r r
uur uur
.
hay cosα =
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2

.
a b a b
a a b b
+
+ +
Tương tự trong không gian Oxyz,
1 2 3 1 2 3
( , , ) à ( , , )a a a a v b b b b
r r

•
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
uur
• cosα =
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a b a b a b
a a a b b b
+ +
+ + + +
V/ Toạ độ tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ) à ( , , )a a a a v b b b b
r r
20

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Ta có:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
a a e a e a e
b b e b e b e
= + +
= + +
r ur uur ur
r ur uur ur
Áp dụng tính chất của tích có hướng của hai vectơ ta có:
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
à 0
a b a b e e a b e e a b e e
a b e e a b e e a b e e
a b e e a b e e a b e e
M e e e e e e
∧ = ∧ + ∧ + ∧
+ ∧ + ∧ + ∧
+ ∧ + ∧ + ∧
∧ = ∧ = ∧ =
r r ur ur ur uur ur ur
uur ur uur uur uur ur
ur ur ur uur ur ur

ur ur uur uur ur ur
và
1 2 3 2 3 1 3 1 2
2 1 3 3 2 1 1 3 2
, ,
, ,
e e e e e e e e e
e e e e e e e e e
∧ = ∧ = ∧ =
∧ = − ∧ = − ∧ = −
ur uur ur uur ur ur ur ur uur
uur ur ur ur uur ur ur ur uur
Do đó:
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
( ) ( ) ( )a b a b a b e a b a b e a b a b e∧ = − + − + −
r r ur uur ur
Ta thấy:
3 3
2 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ,
a a
a a a a
a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
− = − = − =
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2

, ,
a a
a a a a
a b
b b b b b b
 
⇒ ∧ =
 ÷
 
r r
HỆ QUẢ.Nếu α là góc giữa hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ) à ( , , )a a a a v b b b b
r r
thì:
Sinα=
2
2 2
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a a
a a a a
b b b b b b
a a a b b b
+ +
±

+ + + +
Ví dụ minh họa:
VD1: Cho ba điểm A(1,1,1), B(2,2,3), C(3,1,2). Tính diêm tích của tam giác ABC.
Giải:Ta có:
AB
uuur
=(1,1,2),
AC
uuur
=(2,0,1)

1
2
ABC
S AB AC= ∧
uuur uuur
21
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
=
2 2 2
2 2 2
1 2 21 11
1
01 1 2 20
2
1 14
1 3 ( 2)
2 2
+ +
= + + − =

VD2:mCho vecto
(0,1,1) à (1,2,3)a v b
r r
. Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vecto đó
và đường cao ứng với cạnh đáy
a
r
.
Giải: Gọi S là diện tích của hình bình hành. Ta có:
S=
a b∧
r r
Mà :
{ }
2 2 2
11 1 0 01
, , 1,1, 1
23 31 1 2
1 1 ( 3) 11
a b
S
 
∧ = = −
 
 
⇒ = + + − =
r r
11
2

a
S
h
a
⇒ = =
uur
(với
a
h
là đường co của hình bình hành ứng với cạnh đáy
a
r
)
VI/ Biểu thức của tích hỗn tạp của ba vectơ theo tọa độ của chúng:
Cho ba vecto
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , ) à ( , , )a a a a b b b b v c c c c
r r r
.
Ta có:
( )
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
3 3
2 1 1 2
1 2 3
2 3 3 1 1 2
1 2 3
1 2 3

1 2 3
, ,
.
:( , , )
a a
a a a a
a b
b b b b b b
a a
a a a a
a b c c c c
b b b b b b
a a a
Hay a b c b b b
c c c
 
 
∧ =
 
 
 
⇒ ∧ = + +
=
r r
r r r
r r r

HỆ QUẢ: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ:
, ,a b c
r r r

đồng phẳng là:

1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
=
22
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Chương 2:
ĐƯỜNG BẬC HAI
23
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG
TRONG KHÔNG GIAN
I/Phương trình của mặt:
1/ Định nghĩa:
 Mọi mặt trong không gian có thể coi như quỹ tích những điểm thỏa mãn một điều kiện
nào đó, thể hiện bằng một đẳng thức. Ví dụ mặt cầu tâm I bán kính R là quỹ tích những điểm
trong không gian cách I bằng một khoảng R.
Giả sử S là một mặt nào đó trong không gian Oxy. Khi điểm
( , , )M x y z
chạy trên mặt
thì các tọa độ
, ,x y z
của nó thay đổi nhưng liên hệ với nhau bởi một hệ thức
( , , ) 0F x y z =

nào đó, đặc trưng cho mọi điểm của mặt S. nếu điểm
( , , )M x y z
nằm trên mặt S thì tọa độ của
nó thỏa mẵn phương trình
( , , ) 0F x y z =
. nếu điểm
( , , )M x y z
không nằm trên mặt S thì tọa
độ của nó không thảa mãn phương trình
( , , ) 0F x y z =
.
Một số mặt không gian
2/ Ví dụ 1: Lập phương trình của mặt cầu tâm
( , , )I a b c
, bán kính R.
Giải:
Lấy một diểm M(x,y,z) tùy ý trên mặt càu (h.29). Ta có
IM R=
; từ đó:
2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình tương đương ( vì hai vế
của phương trình dều không âm) :
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
24
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Từ đó ta có
2 2

IM R=
hay
IM R=
, nghĩa là
M
nằm trên mặt cầu
( , ).I R
Vậy phương trình mặt cầu
( , )I R
là:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
3/ Ví dụ 2:
Lập phương trình tham số của mặt cầu đơn vị (mặt cầu có bán kính bằng đơn vị, tâm
O
), trong không gian
Oxyz
.
Giải:


Hình 1.
Lấy một điểm
( , , )M x y z
tuỳ ý trên mặt cầu (h.1). gọi
'
M
là điểm chiếu vuông góc của
( , , )M x y z

trên mặt phẳng
Oxy
.Gọi
u
là góc tạo bởi
3
e
ur
và
OM
uuuur
,
v
là góc tạo bởi
1
e
ur
và
'OM
uuuuur
. Ta có:
'z MM=
. Trong tam giác vuông
'OMM
ta có
' cos cosMM OM u u
= =
. Ta
suy ra:
cosz u=

.
Ngoài ra:
' sinOM u
=
. Ta có
1 2
'OM xe ye= +
uuuuur ur uur
. Ta suy ra:

'
cos sin cos
sin sin sin
x OM v u v
y OM v u v
= =


= =

Như vậy, phương trình tham số của mặt cầu đơn vị tâm
O
là :

sin cos
sin sin
cos
x u v
y u v
z u

=


=


=

 Mọi đường trong không gian đều có thể xem như giao tuyến của hai mặt.
Vì vậy trong không gian
Oxyz
, phương trình của đường có dạng:

1
2
( , , ) 0
( , , ) 0
F x y z
F x y z
=


=

25