Bài Giảng Hình Học Họa HÌnh

TRѬӠNG ĈҤI HӐC QUӔC Tӂ HӖNG BÀNG
----oOo----

KHOA KIӂN TRÚC
Ĉ͙ ć˿ng chi ti͗t:

HÌNH HӐC HӐA HÌNH

ThS.KTS. NGUYӈN PHѬӞC DӴ


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

MӨC LӨC
CHЎІNG IǦ HÌNH CHIϸU THϲNG GÓC .......................................................................... 3
I.1Ͳ PhӇҿng pháp hình chiұu thҫng góc.................................................................. 3
I.1.1Ͳ Các phép chiұu .................................................................................................... 3
I.1.2Ͳ Biҳu diҴn Ĝiҳm bҪng phӇҿng pháp hình chiұu thҫng góc ................................. 5
I.1.3Ͳ Biҳu diҴn ĜӇӁng thҫng bҪng phӇҿng pháp hình chiұu thҫng góc .................... 6
I.1.4Ͳ Biҳu diҴn mҭt phҫng bҪng phӇҿng pháp hình chiұu thҫng góc ........................ 9
I.2Ͳ Bài toán vҷ trí ................................................................................................. 13
I.2.1Ͳ Giao tuyұn cӆa 2 mҭt phҫng.............................................................................13
I.2.2Ͳ Giao cӆa ĜӇӁng thҫng vӀi mҭt phҫng ..............................................................13
I.2.1Ͳ Qui ӇӀc vҲ thҤy khuҤt trên hình chiұu.............................................................15
I.3Ͳ Bài toán vҲ lӇӄng .......................................................................................... 16
I.3.1Ͳ Xác Ĝҷnh ĜҾ dài cӆa ĜoҢn thҫng .......................................................................16
I.3.2Ͳ Hình chiұu cӆa góc vuông .................................................................................16
I.3.3Ͳ ӇӁng thҫng vuông góc vӀi mҭt phҫng ...........................................................17
I.3.4Ͳ Khoңng cách tӉ mҾt Ĝiҳm Ĝұn mҭt phҫng.......................................................18

CHЎІNG IIǦPHЎІNG PHÁP BIϸN 0ЃI .......................................................................19
II.1Ͳ Các phép biұn ĜҼi .......................................................................................... 19
II.1.1Ͳ Phép thay ĜҼi mҭt phҫng hình chiұu...............................................................19
II.1.2Ͳ Phép quay quanh mҾt trӅc ..............................................................................20
II.1.3Ͳ GҨp mҭt phҫng trùng vӀi mҭt phҫng hình chiұu.............................................21
II.2Ͳ Biҳu diҴn mҭt diҵn, mҭt cong......................................................................... 22
II.2.1Ͳ Biҳu diҴn ĜӇӁng cong......................................................................................22
II.2.2Ͳ Biҳu diҴn các mҭt.............................................................................................23
II.3Ͳ Giao các mҭt.................................................................................................. 25
II.3.1Ͳ Giao cӆa ĜӇӁng thҫng vӀi các mҭt..................................................................25
II.3.2Ͳ Giao cӆa các mҭt ..............................................................................................27

Giáo trình môn hình hӑc hӑa hình

Tr. 2


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

CHѬѪNG II.1-

Khoa KiӃn trúc

HÌNH CHIӂU THҶNG GÓC

Phѭѫng pháp hình chiӃu thҷng góc

I.1.1- Các phép chiӃu
a) Phép chi͗u xuyên tâm
Ĉͣnh nghƭa: Phép chiӃu xuyên tâm là phép chiӃu xuyên qua mӝt tâm chiӃu S lên mӝt

mһt phҷng P.

Tính ch̽t 1: Hình chiӃu cӫa mӝt ÿѭӡng thҷng không qua tâm chiӃu là mӝt
ÿѭӡng thҷng.
Tính ch̽t 2: Hình chiӃu cӫa cӫa hai ÿѭӡng thҷng song song là hai ÿѭӡng thҷng
ÿӗng qui.

b) Phép chi͗u song song
Ĉͣnh nghƭa: Mӝt phép chiӃu song song ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi mӝt hѭӟng S và mӝt mһt
phҷng hình chiӃu P, không song song vӟi S.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

Tính ch̽t 1:Phép chiӃu song song bҧo tӗn tính chҩt song song cӫa hai ÿѭӡng thҷng.
Tính ch̽t 2: Phép chiӃu song song bҧo tӗn tӹ sӕ ÿѫn cӫa ba ÿiӇm thҷng hàng.

c) Phép chi͗u th͋ng góc
Ĉͣnh nghƭa: Phép chiӃu vuông góc là trѭӡng hӧp ÿһc biӋt cӫa phép chiӃu song song
khi hѭӟng chiӃu S vuông góc vӟi mһt phҷng hình chiӃu P.

Tính ch̽t: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ mӝt góc vuông chiӃu thành mӝt góc vuông là mӝt
trong hai cҥnh góc vuông song song vӟi mһt phҷng hình chiӃu và cҥnh kia không
vuông góc vӟi mһt phҷng hình chiӃu.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

I.1.2- BiӇu diӉn ÿiӇm bҵng phѭѫng pháp hình chiӃu thҷng góc
a) Qui ́ͳc trong h͟ thͩng chi͗u th͋ng góc

- H͟ 2 m͏t ph͋ng chi͗u.

P1 : gӑi là mһt phҷng hình chiӃu bҵng.
P2 : gӑi là mһt phҷng hình chiӃu ÿӭng.

- H͟ 3 m͏t ph͋ng chi͗u.

P1 : gӑi là mһt phҷng hình chiӃu bҵng.
P2 : gӑi là mһt phҷng hình chiӃu ÿӭng.
P2 : gӑi là mһt phҷng hình chiӃu cҥnh.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

b) Cách bi͛u di͝n mͱt ÿi͛m
ChiӃu vuông góc ÿiӇm A lҫn lѭӧt lên P1 và P2 rӗi gұp P1 ÿӃn trùng vӟi P2 theo
chiӅu nhѭ hình vӁ:

I.1.3- BiӇu diӉn ÿѭӡng thҷng bҵng phѭѫng pháp hình chiӃu thҷng góc
a) Cách bi͛u di͝n mͱt ÿ́͵ng
Mӝt ÿѭӡng thҷng ÿѭӧc biӇu diӉn bӣi hai ÿiӇm hay bӣi hai hình chiӃu cӫa nó:

b) Các ÿ́͵ng th͋ng ÿ͏c bi͟t

Cҫn phân biӋt rõ các loҥi ÿѭӡng:
- Ĉ́͵ng th͋ng song song vͳi m͏t ph͋ng hình chi͗u

Ĉѭӡng bҵng

Ĉѭӡng mһt

Ĉѭӡng cҥnh


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

- Ĉ́͵ng th͋ng vuông góc vͳi m͏t ph͋ng hình chi͗u

Ĉѭӡng chiӃu bҵng

Ĉѭӡng chiӃu ÿӭng

Ĉѭӡng chiӃu cҥnh

c) V͗t cͿa ÿ́͵ng th͋ng
- VӃt bҵng ÿѭӡng thҷng là giao ÿiӇm cӫa ÿѭӡng thҷng vӟi mһt phҷng hình chiӃu
bҵng P1.
- VӃt ÿӭng ÿѭӡng thҷng là giao ÿiӇm cӫa ÿѭӡng thҷng vӟi mһt phҷng hình chiӃu
ÿӭng P2.

d) Ĉi͙u ki͟n ÿi͛m liên thuͱc ÿ́ͻc th͋ng
Ĉi͙u ki͟n 1: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ mӝt ÿiӇm thuӝc mӝt ÿѭӡng thҷng thѭӡng là các

hình chiӃu cùng tên thuӝc nhau.
Ĉi͙u ki͟n 2: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ mӝt ÿiӇm C thuӝc mӝt ÿѭӡng cҥnh AB là tӹ sӕ
ÿѫn cӫa ba ÿiӇm A,B,C trên hai hình chiӃu bҵng nhau


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

e) Vͣ trí t́˿ng ÿͩi cͿa 2 ÿ́͵ng th͋ng

- Hai ÿ́͵ng th͋ng c͇t nhau:
Ĉi͙u ki͟n 1: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ hai ÿѭӡng thҷng thѭӡng cҳt nhau là các hình
chiӃu cùng tên cӫa chúng cҳt nhau trên mӝt ÿѭӡng gióng.
Ĉi͙u ki͟n 2: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ mӝt ÿѭӡng thҷng thѭӡng và mӝt ÿѭӡng cҥnh
cҳt nhau là các hình chiӃu cùng tên cӫa chúng cҳt nhau tҥi các ÿiӇm thӓa mãn ÿӗ
thӭc mӝt ÿiӇm thuӝc ÿѭӡng cҥnh.

- Hai ÿ́͵ng th͋ng song song:
Ĉi͙u ki͟n 1: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ hai ÿѭӡng thҷng thѭӡng song song là các
hình chiӃu cùng tên song song nhau.
Ĉi͙u ki͟n 2: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ hai ÿѭӡng thҷng cҥnh song song là có
hai ÿѭӡng thҷng tӵa trên chúng cҳt nhau hoһt song song.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

- Hai ÿ́͵ng th͋ng vuông góc:

Ĉi͙u ki͟n: ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ mӝt góc vuông chiӃu thành mӝt góc vuông là mӝt
cҥnh góc vuông song song vӟi mһt phҷng hình chiӃu và cҥnh kia không vuông góc
vӟi mһt phҷng hình chiӃu.

- Hai ÿ́͵ng th͋ng chéo nhau:
Các trѭӡng hӧp còn lҥi là 2 ÿѭӡng thҷng chéo nhau.

I.1.4- BiӇu diӉn mһt phҷng bҵng phѭѫng pháp hình chiӃu thҷng góc
a) Cách bi͛u di͝n mͱt m͏t ph͋ng
Mӝt mһt phҷng có thӇ ÿѭӧc biӇu diӉn bӣi:
o

Ba ÿiӇm không thҷng hàng,

o

Mӝt ÿiӇm và mӝt ÿѭӡng thҷng không thuӝc nhau,

o

Hai ÿѭӡng thҷng cҳt nhau

o

Hai ÿѭӡng thҷng song song


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

b) Các m͏t ph͋ng ÿ͏c bi͟t
- M͏t ph͋ng song song vͳi m͏t ph͋ng phân giác

Mһt phҷng bҵng

Mһt phҷng mһt

Mһt phҷng cҥnh

- M͏t ph͋ng vuông góc vͳi m͏t ph͋ng hình chi͗u

Mһt phҷng chiӃu bҵng

Mһt phҷng chiӃu ÿӭng

Mһt phҷng chiӃu cҥnh

- M͏t ph͋ng vuông góc vͳi m͏t ph͋ng phân giác

vuông góc vӟi mf phân giác 1

vuông góc vӟi mf phân giác 2


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

- Các ÿ́͵ng th͋ng ÿ͏c bi͟t trong m͏t ph͋ng

Ĉ́͵ng b͉ng: Là ÿѭӡng thҷng thuӝc mһt phҷng ÿӗng thӡi song song vӟi mһt phҷng
hình chiӃu bҵng P1.

Ĉ́͵ng m͏t : Là ÿѭӡng thҷng thuӝc mһt phҷng ÿӗng thӡi song song vӟi mһt phҷng
hình chiӃu ÿӭng P2.

Ĉ́͵ng dͩc nh̽t ÿͩi vͳi m͏t ph͋ng hình chi͗u b͉ng: Là ÿѭӡng thҷng thuӝc mһt
phҷng và có góc lӟn nhҩt so vӟi góc cӫa các ÿѭӡng thҷng khác thuӝc mһt phҷng
ÿӕi vӟi mһt phҷng hình chiӃu bҵng.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

Ĉ́͵ng dͩc nh̽t ÿͩi vͳi m͏t ph͋ng hình chi͗u b͉ng: Là ÿѭӡng thҷng thuӝc mһt
phҷng và có góc lӟn nhҩt so vӟi góc cӫa các ÿѭӡng thҷng khác thuӝc mһt phҷng
ÿӕi vӟi mһt phҷng hình chiӃu bҵng.

c) V͗t cͿa m͏t ph͋ng
V͗t b͉ng: VӃt bҵng mһt phҷng là giao tuyӃn cӫa mһt phҷng vӟi mһt phҷng hình
chiӃu bҵng P1. VӃt bҵng cӫa mӝt mһt phҷng Į thѭӡng ÿѭӧc ký hiӋu là mĮ.
V͗t ÿ΁ng: VӃt ÿӭng mһt phҷng là giao tuyӃn cӫa mһt phҷng vӟi mһt phҷng hình
chiӃu ÿӭng P2. VӃt bҵng cӫa mӝt mһt phҷng Į thѭӡng ÿѭӧc ký hiӋu là nĮ.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

I.2-

Khoa KiӃn trúc

Bài toán vӏ trí

I.2.1- Giao tuyӃn cӫa 2 mһt phҷng
a) Giao tuy͗n cͿa m͏t ph͋ng vͳi m͏t ph͋ng chi͗u
Dùng mһt phҷng chiӃu g2 tìm giao ÿiӇm cӫa A2, B2. Gióng lên hình chiӃu còn lҥi tìm
hình chiӃu A1, B1. AB chính là giao tuyӃn cӫa hai mһt phҷng.

b) Giao tuy͗n cͿa 2 m͏t ph͋ng b̽t kǤ
ĈӇ tìm giao tuyӃn g cӫa hai mһt phҷng Į và ȕ, ta phҧi xác ÿӏnh hai ÿiӇm chung nào
ÿó cӫa giao tuyӃn bҵng phѭѫng pháp dùng mһt phҷng phө trӧ.
Ví dө, dùng 2 mһt phҷng phө trӧ chiӃu ÿӭng M1 và
I và J.

M2 ÿӇ tìm 2 ÿiӇm trên giao tuyӃn

I.2.2- Giao cӫa ÿѭӡng thҷng vӟi mһt phҷng
Giao cӫa ÿѭӡng thҷng vӟi mһt phҷng là mӝt ÿiӇm.
b) Giao ÿi͛m cͿa ÿ́͵ng th͋ng vͳi m͏t ph͋ng chi͗u


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

Dӵa vào giao ÿiӇm I thӭ nhҩt trên mһt phҷng hình chiӃu cӫa mһt phҷng và ÿѭӡng
thҷng ÿӇ gióng lên tìm giao ÿiӇm I giao vӟi hình chiӃu ÿѭӡng thҷng trên mһt phҷng
hình chiӃu còn lҥi.
d2

I1

d1
I2

a) Giao ÿi͛m cͿa ÿ́͵ng th͋ng chi͗u vͳi m͏t ph͋ng.
Dùng mһt phҷng phө trӧ là mһt phҷng chiӃu chӭa ÿѭӡng thҷng chiӃu.
Tìm 2 ÿiӇm A và B trên mһt phҷng hình chiӃu thӭ nhҩt, gióng lên mһt phҷng hình
chiӃu thӭ hai ÿӇ tìm A và B còn lҥi.
Nӕi các hình chiӃu ÿiӇm A và B cùng tên xác ÿӏnh ÿѭӧc giao ÿiӇm I vӟi ÿѭӡng
thҷng chiӃu.

b) Giao ÿi͛m cͿa ÿ́͵ng th͋ng vͳi m͏t ph͋ng th́͵ng
Dùng mһt phҷng phө trӧ là mһt phҷng chiӃu chӭa ÿѭӡng thҷng chiӃu.
Tìm 2 ÿiӇm A và B trên mһt phҷng hình chiӃu thӭ nhҩt, gióng lên mһt phҷng hình
chiӃu thӭ hai ÿӇ tìm A và B còn lҥi.
Nӕi các hình chiӃu ÿiӇm A và B cùng tên xác ÿӏnh ÿѭӧc giao ÿiӇm I vӟi ÿѭӡng
thҷng chiӃu.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

M2

N2

M1

N1

I.2.1- Qui ѭӟc vӅ thҩy khuҩt trên hình chiӃu
-Hai ÿiӇm cùng tia chiӃu bҵng, ÿiӇm cao hѫn sӁ ÿѭӧc thҩy trên hình chiӃu bҵng.
-Hai ÿiӇm cùng tia chiӃu ÿӭng, ÿiӇm xa hѫn sӁ ÿѭӧc thҩy trên hình chiӃu ÿӭng.


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

I.3-

Khoa KiӃn trúc

Bài toán vӅ lѭӧng

I.3.1- Xác ÿӏnh ÿӝ dài cӫa ÿoҥn thҷng
a) Ph́˿ng pháp tam giác vuông
Ĉӝ dài ÿoҥn thҷng là cҥnh huyӅn trong tam giác vuông. Xác ÿӏnh ÿѭӧc chiӅu dài
thӵc cӫa hai cҥnh góc vuông thì sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc chiӅu dài cҥnh huyӅn.

b) Các b́ͳc xác ÿͣnh ÿͱ dài
Bѭӟc 1: Xác ÿӏnh hình chiӃu ÿoҥn thҷng giӳa 2 ÿiӇm.
Bѭӟc 2: Dùng thѭӟc ÿo ÿӝ dài cӫa mӝt hình chiӃu và vӁ tam giác vuông có hai
cҥnh ÿã biӃt trên mһt phҷng hình chiӃu. Cҥnh huyӅn I1A0 chính là ÿӝ dài cҫn xác
ÿӏnh.

I.3.2- Hình chiӃu cӫa góc vuông
a) Tính ch̽t hình chi͗u cͿa góc vuông

Giáo trình môn hình hӑc hӑa hình

Tr. 16


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

ĈiӅu kiӋn cҫn và ÿӫ ÿӇ mӝt góc vuông chiӃu thành mӝt góc vuông là mӝt cҥnh góc
vuông song song vӟi mһt phҷng hình chiӃu và cҥnh kia không vuông góc vӟi mһt
phҷng hình chiӃu.

*** Hai ÿѭӡng thҷng vuông góc có thӇ cҳt nhau hay chéo nhau.
b) Các ΁ng dͽng cͿa hình chi͗u góc vuông
- Dùng xác ÿӏnh khoҧng cách mӝt ÿiӇm ÿӃn ÿѭӡng thҷng.
- Dùng vӁ hình chiӃu các ÿѭӡng thҷng vuông góc vӟi mһt phҷng.
- Dùng xác ÿӏnh khoҧng cách mӝt ÿiӇm ÿӃn mһt thҷng.

I.3.3- Ĉѭӡng thҷng vuông góc vӟi mһt phҷng
Dùng phѭѫng pháp hình chiӃu góc vuông xác ÿӏnh giao ÿiӇm cӫa ÿѭӡng thҷng và
mһt phҷng hoһc vӁ ÿѭӡng thҷng qua ÿiӇm A vuông góc vӟi mһt phҷng.
b) M͏t ph͋ng c͇t trͽc x


Trѭӡng ĈH Quӕc TӃ Hӗng Bàng

Khoa KiӃn trúc

ĈӇ vӁ hình chiӃu góc vuông dùng 2 mһt phҷng hình chiӃu phө trӧ. Tӯ ÿó xác ÿӏnh
giao ÿiӇm hay vӁ ÿѭӡng thҷng qua 1 ÿiӇm vuông góc vӟi mһt phҷng.

c) M͏t ph͋ng song song trͽc x
Trong trѭӡng hӧp này phҧi dùng ÿӃn mһt phҷng hình chiӃu cҥnh.

I.3.4- Khoҧng cách tӯ mӝt ÿiӇm ÿӃn mһt phҷng
Muӕn tìm khoҧng cách tӯ mӝt ÿiӇm A ÿӃn mӝt mһt phҷng cҫn xác ÿӏnh giao ÿiӇm I
cӫa ÿѭӡng thҷng ÿi qua ÿiӇm ÿó và vuông góc vӟi mһt phҷng.
Khoҧng cách cҫn tìm chính là chiӅu dài ÿoҥn thҷng tӯ ÿiӇm A ÿӃn I.
Dùng phѭѫng pháp tam giác ÿӇ xác ÿӏnh chiӅu dài AI.