Bài giảng Hình học giải tích

Bài giảng hình học giải tích
Đ0 : Mở đầu
Nguyên tắc
Trực quan

Các quan hệ véctơ

Các liên hệ trong hệ toạ độ
Đ1 : Véctơ
I. Tổng quan
1. Là gì ?
+ là khái niệm toán học thể hiện sự tác động có thứ tự ( mối quan hệ )
giữa các điểm.
2 điểm
Đợc tạo thành nhờ 1 hớng xác định giữa 2 điểm
Cụ thể :
+) Với 2 điểm A; B ta có véctơ
AB
Với A : điểm đầu
B : điểm cuối
+) Nếu điểm đầu trùng điểm cuối ta có véctơ
o
1.2) Đặc trng của 1 véctơ
Phơng : là phơng của 1 đt với điểm đầu, điểm cuối
Gồm : Hớng : từ điểm đầu đến điểm cuối
Độ lớn : độ dài đoạn với 2 điểm
Cụ thể :
Phơng : là phơng của đt MN ( đờng thẳng giá )
+)
MN
Hớng : từ M đến N

MN
= MN
+) Véctơ
o
có phơng tuỳ ý, hớng tuỳ ý,
o
= o
Phơng
Ta nói : 2 véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng có 3 trùng Hớng
Độ lớn
Nhận xét:
+) Với 3 đặc trng trên ngời ta xác định 1 véctơ tức là không còn quan
trọng vì 1 véctơ là 2điểm nút của chúng nữa mà là 3 đặc trng trên.
Do vậy :
1
Ta có thể ký hiệu 1 véctơ kiểu đại số nh :
a

;
b

;
u

thay cho
. Viết rõ
BA

;

NM

; nếu không thực sự quan tâm tới 2 nút.
2. Quan hệ đồng phẳng
+ Khái niệm này ám chỉ sự kiện 3 véctơ có thể dời về cùng một mặt
phẳng và vì vậychúng sẽ phải đợc đặt trên 3 đt giá cùng song song với 1 mặt
phẳng.
Định lý :
Các khẳng định sau là các mệnh đề tong đơng :
1/
U

đồng phẳng với
V

&
S

, (
V

&
S

giả thiết là không cùng mặt phẳng ).
2/

! Cặp ( k;l )
u

= k.
v

+ l.
s

3/
u

=
[ ]
sv

.
= 0
Chú ý :
Câu hỏi đặt ra là nhỡ
v

cùng phẳng với
s

thì sao tuy nhiên sự kiện này
rất tầm thờng bởi nhẽ : Nếu thế
u

;
v

;

s

luôn đồng phẳng bất chấp
u

ra sao.
3. Quan hệ

+ Từ định nghĩa vô hớng ta thấy quá rõ ràng rằng
u

và
v

có phơng
vuông góc với nhau

u

.
v

= 0
Điều tầm thờng này dùng để xem xét các quan hệ

= véctơ
Chú ý :
+) Xét 3 Vector đơn vị
i

,
j

,
k

chung gốc T ( .. ) và đặt theo thứ tự
tam diện vuông thuận khi đó
i

.
j

=
j

.
k

=
k

.
j

= 0;
i

=
j

=
k

= 1
Hơn nữa :
[
ji,
] =
k


[
kj,
]=
i

[
ik,
]=
j

Đồng thời :
Với
a

,
b

,

c

không đồng phẳng trong không gian 3 chiều thì

u


!
bộ ( k; l; m )
U

= k.
a

+ l.
b

+ m.
c

Nếu giờ

vector trong không gian 3 chiều đều đợc biểu diễn tuyến
tính qua
i

;
j

;

k

thì

định lợng trở lên rất đơn giản !
2
Định lý I ( Định lý về sự dời gốc )
* Cho trớc 1
a

và 1 điểm gốc Tcố định, khi đó

! A thỏa
a

=
AT

II. Các phép toán véctơ
II.1 : Phép cộng
+) Là phép toán thể hiện mối quan hệ không thứ tự và có tính tác động
truyền dẫn giữa 2 véctơ.
Luật

( Tam giác )
Cho
a

=
AT

;
b

=
CA

khi đó
a

+
b

=
AT

+
CA

=
CT

T C
Luật hình bình hành
a

=
AT

;

b

=
BT

khi đó
a

+
b

=
AT

+
BT

=
CT

Với điều kiện TACB là 1 hình bình hành
II.2: Phép trừ
+) Véctơ đối của 1 véctơ
u

=
BA

là véctơ
AB

Phơng : cùng với
BA

=
u

Có các đặc trng
AB

Hớng : ngợc với
BA

Độ lớn :
AB

=
BA

= AB
Ký hiệu :
AB

= -
BA

= -
u

+ Phép trừ 2 véctơ là phép toán ngợc của phép cộng 2 véctơ nó có tính

thứ tự
a

-
b

=
a

+ ( -
b

)
BA

-
NM

=
BA

+ ( -
NM

) =
BA

+
MN

II.3 : Phép nhân 1 véctơ với 1 số
Tác động của số k lên
a

đợc định nghĩa
Phơng : cùng với
a

k >0 ( cùng hớng)
k
a

=
u

Hớng : tùy theo dấu của k k < 0 ( ngợc hớng)
Độ lớn :
ak

.
=
k
.
a

Chú ý :
Ba phép toán ( + ); ( _ ) & nhân véctơ với 1 số gọi là 3 phép toán tuyến
tính của các véctơ. Nếu
U

= k
1
.
1
a

+ k
2
.
2
a

+ + k
n
.
n
a

thì ta nói
U

đợc biểu diễn tuyến tính theo
1
a

;
n
a

với các hệ số biểu diễn tơng

ứng là k
1
k
n


/ R
* Định lý II ( Định lý về sự cùng phơng )
3
u

cùng phơng với
v




o



! k

R

u

= k
v

k đợc xác định qua
u

&
v

nhờ
k
=
v
u



dấu k phụ thuộc vào sự cùng hoặc
ngợc hớng giữa
u

&
v

Ngoài ra phép toán tuyến tính còn có một số t/c đáng lu ý sau :
u

+
v

=
v

+
u

( Giao hoán )
(
u

+
v

) +
s

=
u

+ (
v

+
s

) ( Kết hợp )
k. (
u

+
v

) = k

u

+ k
v

( k + l ).
u

= k.
u

+ l.
u

( phân phối )
II.4/ Tính vô hớng của 2 véctơ
II.4.1/ Là gì ?
+ )Là phép toán ( quan hệ 2 ngôi trên các véctơ có tính lợng hóa
II.4.2/ Định nghĩa :
a

.
b

=
a

.
b

. Cos (
a

;
b

)
Chú ý :
+) Về bản chất
a

.
b

=
a

.
b

=
,
a

.
b

Với
,
a

là véctơ chiếu

của
a

lên trục giá của
b

,
b

là véctơ chiếu

của
b

lên trục của
a

+)Tính vô hớng có tính tác động phân phối lên 3 phép toán tuyến tính và
giao hoán.
Cụ thể
u

. ( k
a

+ l
b

) = ( k
a

+ l
b

).
u

= k
ublua



..
+

k, l

/ R
Chả có nghĩa lý gì cho ký hiệu
svu

..
Còn (
vu

.
) .

s

đợc hiểu là lấy
vu

.
trớc rồi lấy hằng số
vu

.
= k nhân
vào
s

để đợc k
s

( tích vô hớng không có tính kết hợp )
II.5/ Tích hữu hớng của 2 véctơ trong không gian
II.5.1/ Về bản chất
+) là phép toán véctơ thể hiện tính đóng
II.5.2/ Định nghĩa :
[ ]
ba


,
là véctơ đợc khai báo :
+ Phơng

cả phơng
a

&
b

+ Hớng : Luật tam diện thuận
+ Độ lớn :
[ ]
ba


,
=
a

.
b

sin (
ba


,
)
4
Luật tam diện thuận
III. Các định tính bằng véctơ
1. Quan hệ cùng phơng
+)

u

cùng phơng với
v

đợc hiểu là khi 2 đờng thẳng giá của chúng
song song hoặc trùng nhau ( theo định lý dời gốc khi này cần dời chúng về
chung một gốc vì vậy chúng đợc đặt trên cùng 1 giá ).
Định lí
3 điều sau là

1.
u

cùng phơng với
ov


5