Tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị với điều kiện liên tục yếu (LV01650)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————

BÙI THỊ LINH

TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ
VỚI ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC YẾU
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————

BÙI THỊ LINH

TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ
VỚI ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC YẾU
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế

Hà Nội, 2015


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Học viên
Bùi Thị Linh


Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Trần
Đình Kế, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để luận văn này được hoàn thành.
Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng
xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng viên trong suốt thời gian tôi
học tập.
Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, bạn bè và
các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Học viên
Bùi Thị Linh

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị với điều kiện liên tục yếu
1.1 Độ đo không compact

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Tính compact của nửa dòng đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Tính liên tục và tính đóng của nửa dòng đa trị . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4 Kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . .

13

2 Áp dụng

20

2.1 Tập hút toàn cục trong L2 (Ω) cho phương trình truyền nhiệt với điều
kiện biên đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Tập hút toàn cục trong L2 (Ω) và Lp (Ω) của hệ phản ứng khuếch tán với
phần phi tuyến đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tập hút toàn cục được xây dựng từ giữa thế kỷ 20 trở thành một
công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân
tiến hóa phi tuyến trong không gian vô hạn chiều. Lý thuyết này hiện nay vẫn
đang được tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện. Đối với các hệ vi phân không duy
nhất nghiệm (ví dụ các bao hàm thức vi phân), khái niệm tập hút toàn cục
được mở rộng cho nửa dòng đa trị (multi-valued semiflows). Kết quả nghiên cứu

về tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị có thể áp dụng để nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận nghiệm cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phức tạp như
phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên phi tuyến, phương trình đạo hàm
riêng với nhiễu phi tuyến đa trị. Kết quả mới nhất theo hướng này được công
bố trong công trình [48], trong đó điều kiện nửa liên tục trên của nửa dòng đa
trị được thay thế bằng điều kiện liên tục yếu.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tập hút toàn cục cho nửa dòng
đa trị, tôi chọn vấn đề "Tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị với điều kiện liên
tục yếu" cho đề tài nghiên cứu của luận văn. Các kết quả được trình bày dựa
trên công trình [48].


2

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các điều kiện đủ cho sự tồn tại tập hút toàn cục đối với nửa dòng
đa trị liên tục yếu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu về độ đo không compact;
2. Tìm hiểu về lý thuyết hệ động lực đa trị.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: Hệ động lực đa trị.
• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại tập hút toàn cục cho nửa dòng đa

trị thỏa mãn điều kiện liên tục yếu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

• Giải tích đa trị, giải tích hàm phi tuyến;
• Lý thuyết hệ động lực đa trị trong không gian vô hạn chiều;
• Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tiến hóa.

6. Dự kiến đóng góp mới
Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [48].


3

Đặt vấn đề
Có ba cách tiếp cận để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục cho các
bài toán không duy nhất nghiệm: phương pháp nửa nhóm/nửa dòng đa trị
đề xuất bởi Babin và Vishik [1] (xem thêm [2]), phương pháp nửa dòng suy
rộng của Ball ( [3]), và phương pháp tập hút quỹ đạo ( [4–7]). Phương pháp
tập hút quỹ đạo liên quan đến các nghiên cứu trong [8] dựa vào toán tử dịch
chuyển trên tập quỹ đạo trong khi cách tiếp cận đề cập trong [9] nghiên cứu
tập đạt được sau một khoảng thời gian, trong đó nửa dòng đa trị là ánh xạ từ
R+ × H ∋ (t, x) → G(t, x) ⊂ 2H , trong đó H là không gin Banach chứa các quỹ
đạo. Để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục, người ta phái kiểm tra ba tính
chất: sự tồn tại tập hấp thụ, tính chất compact tiệm cận của G và tính chất liên
tục của x → G(t, x). Tính liên tục ở đây được hiểu là nửa liên tục trên của hàm
đa trị (xem [2, 3]). Trong công trình của Zhong, Yang và Sun [10] tính nửa liên
tục trên được thay thế bằng tính liên tục mạnh-yếu. Kết quả này được tiếp tục
phát triển trong công trình [11] cho nửa dòng đa trị không ô-tô-nôm. Các kết
quả khác gần đây cho các hệ động lực đơn trị sinh bởi phương trình parabolic
có thể tìm thấy trong [12–14].
Luận văn sẽ trình bày một kết quả gần đây trong công trình [48], ở đó các
tác giả mở rộng kết quả trong [2, 3] cho trường hợp nửa dòng chỉ có tính chất
liên tục yếu (NW -liên tục), mặt khác mở rộng các kết quả trong [10, 11] cho

4

trường hợp nửa dòng đa trị.
Các mô hình ứng dụng được đề cập ở đây sử dụng tính chất NW -liên tục,
nửa dòng đa trị có giá trị compact yếu và có tính chất nửa liên tục trên yếu.
Các điều kiện này dễ dàng kiểm tra trong trường hợp các bao hàm thức vi phân
gắn với dưới vi phân Clarke.
Luận văn có bố cục như sau: trong Chương 1 chúng tôi trình bày các kết quả
tổng quát về điều kiện cho sự tồn tại tập hút toàn cục. Chương 2 ứng dụng các
kết quả của Chương 1 vào các bài toán cụ thể.


5

Chương 1
Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa
trị với điều kiện liên tục yếu
Cho H là không gian Banach, P (H) là họ các tập con khác rỗng của H . Ký
hiệu B(x, r) là hình cầu đóng tâm x ∈ H với bán kính r ∈ R+ . Ở đây R+ = [0, ∞).
Nếu H là không gian metric với hàm khoảng cách ρ(·, ·), thì với x ∈ H và B ⊂
H , ta định nghĩa distH (x, B) = inf y∈B ρ(x, y). Hơn nữa nếu A, B ⊂ H ta dịnh nghĩa

nửa khoảng cách Hausdorff từ A đến B bởi distH (A, B) = supx∈A distH (x, B). Định
nghĩa tương tự cho không gian định chuẩn khi ρ(x, y) được thay bởi x − y .
Định nghĩa 1.0.1. Ánh xạ G : R+ → P (H) được gọi là nửa dòng đa trị (msemiflow) nếu:
(1) G(0, z) = z với mọi z ∈ H.
(2) G(t + s, z) ⊂ G(t, G(s, z)) với mọi z ∈ H và t, s ≥ 0.
Định nghĩa 1.0.2. Nửa dòng đa trị G được gọi là chặt nếu G(t + s, z) =

G(t, G(s, z)) với mọi z ∈ H và t, s ≥ 0.


6

1.1

Độ đo không compact

Ta nhắc lại định nghĩa và các tính chất của độ đo không compact Kuratowski
( [24]).
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là không gian metric đầy và A là một tập bị chặn
trong H . Độ đo không compact Kuratowski của A, κ(A) xác định bởi
κ(A) = inf{δ > 0 : A có thể phủ bởi hữu hạn các tập mở với đường kính < δ}.

Nếu A là tập không bị chặn trong H , ta định nghĩa κ(A) = ∞.
Bổ đề 1.1.1. Độ đo không compact Kuratowski κ trên H có các tính chất sau:
(1) κ(A) = 0 nếu và chỉ nếu A¯ compact, ở đây A¯ là bao đóng của A;
(2) Nếu A1 ⊂ A2 thì κ(A1 ) ≤ κ(A2 );
(3) κ(A1 ∪ A2 ) ≤ max{κ(A1 ), κ(A2 )};
¯ = κ(A);
(4) κ(A)

(5) Nếu At là họ các tập khác rỗng, đóng và bị chặn xác định theo t > r, ở đó
r ∈ R+ , sao cho At ⊂ As với s ≤ t, và κ(At ) → 0 khi t → ∞, thì

t>r At

là

tập khác rỗng và compact trong H.
Nếu H là không gian Banach thì ta có thêm các tính chất sau:
(6) κ(A1 + A2 ) ≤ κ(A1 ) + κ(A2 );
(7) κ(co(A)) = κ(A), ở đó co(A) là bao lồi đóng của A;
(8) Giả sử không gian H có dạng H = H1 + H2 , với dim H1 < ∞, P : H → H1 ,
Q : H → H2 là các phép chiếu chính tắc, và A ⊂ H là tập bị chặn. Nếu

đường kính của Q(A) nhỏ hơn ε, thì κ(A) < ε.


7

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử A là tập con của không gian Banach H . Bao đóng
yếu theo dãy A¯ws của A xác định bởi
A¯ws = {x ∈ H : tồn tại dãy {xn } ⊂ A, sao cho xn ⇀ x yếu trong H}.

Bổ đề 1.1.2. (Bổ đề 2.4 trong [10]). Giả sử H là không gian Banach và κ là độ
đo Kuratowski trên H . Khi đó với mọi tập con A của H , ta có κ(A) = κ(A¯ws ).

1.2

Tính compact của nửa dòng đa trị

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian metric đầy. Nửa dòng đa trị G :
R+ × H → P (H) được gọi là ω -tiệm cận compact nếu với mọi tập bị chặn B ⊂ H
ta có
G(t, B)

κ

→ 0, τ → ∞.

t≥τ

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử H là không gian metric đầy. Nửa dòng đa trị G :
R+ × H → P (H) được gọi là tiệm cận compact nếu với mọi tập bị chặn B ⊂ H ,
và với mọi dãy tn → ∞, ξn ∈ G(tn , B), tồn tại dãy con {ξnk } sao cho ξnk → ξ
trong H .
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử H là không gian Banach. Nửa dòng đa trị G :
R+ × H → P (H) gọi là thỏa mãn điều kiện làm phẳng nếu với mọi tập bị chặn
B ⊂ H và với mọi ε > 0 tồn tại t0 (B, ε) và một không gian con hữu hạn chiều E

của H sao cho có phép chiếu bị chặn P : H → E, mà P

t≥t0

G(t, B) là tập bị

chặn và
(I − P )

G(t, B)

⊂ B(0, ε).

t≥t0

Hai bổ đề sau khẳng định, với các nửa dòng đa trị không chặt, tính chất
ω -tiệm cận compact tương đương với tính tiệm cận compact.

8

Bổ đề 1.2.1. Giả sử G là một nửa dòng đa trị trên không gian metric đầy
H . Nếu G có tính chất ω -tiện cận compact thì nó cũng có tính chất tiệm cận

compact.
Chứng minh. Giả sử B là tập bị chặn trong H và τn thỏa mãn
G(t, B)

κ

1
,
n

≤

t≥τn

τn → ∞.

(1.2.1)

Giả sử ti → ∞, ξi ∈ G(ti , B). Ta chứng minh κ({ξi }∞
i=1 ) = 0. Với mọi k ∈ N ta có
k
∞
∞
κ({ξi }∞

i=1 ) = κ({ξi }i=1 ∪ {ξi }i=k+1 ) ≤ κ({ξi }i=k+1 ).
1
∞
Với mọi n ∈ N và k sao cho tk+1 ≥ τn ta có κ({ξi }∞
i=k+1 ) ≤ n , nếu κ({ξi }i=1 ) = 0.

Từ đó ta có {ξi }∞
i=1 là compact tương đối, và G có tính chất compact tiệm
cận.
Bổ đề sau được chứng minh nhờ ý tưởng chứng minh Định lý 1 trong công
trình [2].
Bổ đề 1.2.2. Nếu nửa dòng đa trị G trên không gian metric đầy H là tiệm cận
compact thì nó cũng ω -tiệm cận compact.
Chứng minh. Giả sử G là nửa dòng có tính chất tiệm cận compact. Trước tiên
ta chứng minh rằng với mọi tập bị chặn B trong H , tập
G(s, B)

ω(B) =

(1.2.2)

t≥0 s≥t

là khác rỗng.
Thật vậy, giả sử tn → ∞, ξn ∈ G(tn , B) sao cho n, xn → ξ. Với mọi τ ≥ 0 và
mọi chỉ số n sao cho τn ≥ τ, ta có ξn ∈
τ ≥ 0, ξ ∈

t≥τ

G(t, B). Vậy ξ ∈ ω(B).

t≥τ

G(t, B). Do ξn → ξ , ta có với mọi


9

Bây giờ ta chứng minh với mọi tập bị chặn B ⊂ H thì distH (G(t, B), ω(B)) → 0
khi t → ∞. Giả sử ngược lại, tồn tại tập B0 ∈ H và các dãy tn → ∞, ξn ∈ G(tn , B0 )
sao cho distH (ξn , ω(B0)) ≥ ε > 0. Bởi tính tiệm cận compact, ta có ξn → ξ trong
H (theo một dãy con). Nhưng ξ ∈ ω(B), nên ta có mâu thuẫn.

Giả sử B ⊂ H là tập bị chặn và xn là một dãy trong ω(B). Ta chứng minh
dãy này có một dãy con hội tụ đến một phần tử trong ω(B) và do đó tập ω(B)
compact. Do
G(t, B) for every s ≥ 0,

xn ∈
t≥s

nên, với mọi dãy tn → ∞ tồn tại ξkn ∈ G(tkn , B) sao cho ρ(xn , ξnk ) ≤ n1 . Nhưng
do tính chất tiệm cận compact, tồn tại một dãy con ξv của ξkn hội tụ đến phần
tử ξ ∈ ω(B). Vậy xv → ξ .
Cố định ε > 0. Ta cần chỉ ra rằng tồn tại t0 > 0 sao cho tập

t≥0

B(t, B)

có thể phủ bởi một số hữu hạn các tập có đường kính ε. Bởi tính compact của
ω(B) tồn tại một số hữu hạn các phàn tử {xn }ni=1 sao cho ω(B) ⊂

Chọn t0 > 0 sao cho distH (G(t, B), ω(B)) <
G(t, B) ⊂

n
i=1 B(xi , ε).

ε
2

n
ε
i=1 B(xi , 2 ).

nếu t ≥ t0 . Khi đó với t ≥ t0 ta có

Ta có điều phải chứng minh.

Theo chứng minh của Bổ đề 1.2.2 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử H là một không gian metric đầy và G là một nửa dòng
đa trị trên H có tính chất ω -tiệm cận compact. Khi đó với mọi tập bị chặn B
trong H tập ω -tiệm cận ω(B) xác định bởi (1.2.2) là khác rỗng và compact, hơn
nữa distH (G(t, B), ω(B)) → 0 khi t → ∞.
Hai bổ đề tiếp theo sẽ làm rõ mỗi liên hệ giữa điều kiện làm phẳng với tính
ω -tiệm cận compact của nửa dòng đa trị. Các kết quả này là mở rộng của Định

lý 3.10 trong [25].

10

Bổ đề 1.2.3. Nếu nửa dòng đa trị G trên không gian Banach H thỏa mãn điều
kiện làm phẳng G thì nó là ω -tiệm cận compact.
Chứng minh. Ta sử dụng lý luận tương tự như trong chứng minh Định lý 3.10
trong [25]. Lấy tập bị chặn B ⊂ H và số ε > 0. Sử dụng điều kiện làm phẳng và
tính chất (6) và (8) trong Bổ đề 1.1.1 ta có thể tìm được t0 (B, ε) > 0 sao cho
κ

G(t, B)
t≥t0

≤

P

G(t, B)

+κ

(I − P )

t≥t0

G(t, B)
t≥t0

≤ κ(B(0, ε)) = 2ε.

Khi đó, G là ω -tiệm cận compact.
Bổ đề 1.2.4. Giả sử G là một nửa dòng đa trị trên không gian Banach lồi đều
H . Nếu G là ω -tiệm cận compact thì nó thỏa mãn điều kiện làm phẳng.

Chứng minh. Chứng minh Bổ đề này không sử dụng tính chất liên tục của G
và ta sử dụng lý luận như trong chứng minh Định lý 3.10 trong [25]. Giả sử
B là tập bị chặn trong H . Bởi tính ω -tiệm cận compact, với mọi ε > 0 tồn tại
t(B, ε) > 0 sao cho
n

Ai

G(t, B) ⊂
i=1

t≥t(B,ε)

với các tập Ai có đường kính nhỏ hơn ε. Lấy xi ∈ Ai . Khi đó
n

B(xi , ε).

G(t, B) ⊂
t≥t(B,ε)

i=1

Đặt H1 = span{x1 , . . . , xn }. Do H là không gian lồi đều, tồn tại phép chiếu
P : H → H1 sao cho với mọi x ∈ H, x − P x = dist(x, H1 ). Do đó

(I − P )

G(t, B) ⊂ B(0, ε),
t≥t(B,ε)

và ta có G thỏa mãn điều kiện làm phẳng.


11

Ta tóm tắt các kết quả vừa chứng minh như sau
trong không gian metric đầy (tiệm cận compact) ⇐⇒ (ω -tiệm cận compact)
trong không gian Banach (điều kiện làm phẳng) H =⇒ (ω -tiệm cận compact)
trong không gian Banach lồi đều (điều kiện làm phẳng) ⇐⇒ (ω -tiệm cận compact).

1.3

Tính liên tục và tính đóng của nửa dòng đa trị

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử H là không gian định chuẩn và X là một không gian
tô-pô. Hàm đa trị G : H → 2X là nửa liên tục trên nếu với mọi dãy xn → x trong
H và với mọi tập mở V ⊂ X sao cho G(x) ⊂ V tồn tại n0 ∈ N sao cho G(xn ) ⊂ V

với mọi n ≥ n0 .
Định nghĩa 1.3.2. Nửa dòng đa trị G : R+ ×H → P (H) trên không gian Banach
H được gọi là đóng nếu với mọi t ≥ 0 đồ thị của ánh xạ đa trị x → G(t, x) là

đóng theo tô-pô mạnh-mạnh.
Định nghĩa 1.3.3. Nửa dòng đa trị G : R+ ×H → P (H) trên không gian Banach
H được gọi là nửa đóng (demiclosed) nếu với mọi t ≥ 0 đồ thị của ánh xạ đa trị

x → G(t, x) là đóng theo tô-pô mạnh-yếu.

Chú ý rằng nếu tính chất nửa đóng suy ra tính chất đóng.
Ta định nghĩa tính chất (NW ) (norm-to-weak continuity), là một mở rộng
cho khái niệm "norm-to-weak" trong [10] (xem Định nghĩa 3.4 trong [10]).
Định nghĩa 1.3.4. Nửa dòng đa trị G : R+ ×H → P (H) trên không gian Banach
H thỏa mãn điều kiện (NW ) nếu với mỗi t ≥ 0 từ xn → x trong H và ξn ∈ G(t, xn )

suy ra tồn tại một dãy con ξkn hội tụ yếu trong H tới một phần tử ξ ∈ G(t, x).


12

Bổ đề sau cho ta một đặc tả của điều kiện (NW ) trong không gian Banach.
Bổ đề 1.3.1. Giả sử H là một không gian Banach. Nửa dòng đa trị G : R+ ×H →
P (H) thỏa mãn điều kiện (NW) nếu và chỉ nếu với mọi (t, x) ∈ R+ ×H tập G(t, x)

là compact yếu và với mỗi t ∈ R+ hàm đa trị G(t, ·) là nửa liên tục trên mạnh-yếu.
Chứng minh. Ta sử dụng lý luận như trong chứng minh Mệnh đề 4.1.11 trong
[26]. Giả sử G thỏa mãn điều kiện (NW ). Lấy (t, x) ∈ R+ × H và dãy ξn ∈ G(t, x).
Lấy dãy con, ξv ⇀ ξ trong H với ξ ∈ G(t, x). Do đó G(t, x) là tập compact yếu.
Ta chứng minh tính nủa liên tục trên. Giả sử xn → x, hội tụ mạnh trong H và
V ⊂ H là một tập mở yếu sao cho G(t, x) ∈ V . Giả sử phản chứng: tồn tại dãy

con xv và dãy ξv ∈ G(t, x) sao cho ξv ∈
/ V với mọi chỉ số v . Từ điều kiện (NW )
ta có thể chọn được một dãy con khác, vẫn đánh chỉ số theo v , sao cho ξv ⇀ ξ
trong H và ξ ∈ G(t, x), ξ ∈ V . Nhưng do H\V là tập đóng yếu và ξv ∈ H\V nên
ξ ∈ H\V , ta gặp mâu thuẫn.

Bây giờ giả sử G(t, ·) là nửa liên tục trên mạnh yếu và có giá trị compact
yếu. Ta chứng minh điều kiện (NW ) được thỏa mãn. Lấy xn → x trong H và
ξn ∈ G(t, xn ). Ta dùng lý luận phản chứng. Giả sử với mọi η ∈ G(t, x) ta có thể

tìm được một chỉ số n0 và một lân cận yếu V (η) sao cho ξn ∈
/ V (η) với mọi n ≥ n0 .
Họ lân cận {V (η)}η∈G(t,x) là mở yếu và phủ tập compact yếu G(t, x). Khi đó ta
có
n

V (ηi ) ≡ V.

G(t, x) ⊂
i=1

Ta có thể tìm được N0 sao cho với n ≥ N0 ta có ξn ∈
/ V . Do V là tập mở yếu, từ
tính chất nửa liên tục ta tìm được m0 ∈ N sao cho G(t, xn ) ⊂ V với mọi n ≥ m0 .
Do đó với n ≥ max{N0 , m0 } ta có
V ∋ ξn ∈ G(t, xn ) ⊂ V,


13

đây là điều mẫu thuẫn.
Bổ đề 1.3.2. Nếu G : R+ × H → P (H) là một nửa dòng đa trị trên không gian
Banach H thỏa mãn điều kiện (NW ) thì nó là nửa đóng.
Chứng minh. Suy ra từ định nghĩa.
Tóm tắt kết quả mục này đối với nửa dòng đa trị trên không gian Banach
(G(t, x) compact yếu và G(t, ·) là nửa liên tục trên mạnh-yếu) ⇔ (NW )

⇓

(G nửa đóng) =⇒ (G đóng).

1.4

Kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn
cục

Định nghĩa 1.4.1. Tập A ⊂ H được gọi là tập hút toàn cục cho nửa dòng đa
trị G nếu:
(1) A là tập compact trong H.
(2) A ⊂ G(t, A) với mọi t ≥ 0 (A bất biến âm).
(3) Với mọi tập bị chặn B ⊂ H , A hút B theo nghĩa distH (G(t, B), A) → 0, t →
∞.

Định lý dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại tập hút toàn
cục. Định lý này cũng đúng cho nửa dòng đơn trị liên tục (xem Định lý 3.9
trong [25]).
Định lý 1.4.1. Giả sử H là không gian Banach và nửa dòng đa trị G : R+ ×H →
P (H) là đóng. Khi đó tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G tồn tại nếu và chỉ

nếu


14

(i) G có một tập hấp thụ B0 bị chặn trong H (tưc là với mọi tập bị chặn B ⊂ H
tồn tại t0 > 0 sao cho

t≥t0

G(t, B) ⊂ B0 );

(ii) G có tính chất ω -tiệm cận compact.
Chứng minh. Ta chứng minh điều kiện đủ.
Bước 1. Đặt
ws

(1.4.1)

G(s, B0 )

A=
t≥0 s≥t

trong đó B0 là tập hấp thụ cho G. Ta sẽ chứng minh
ξ ∈ A ⇔ tồn tại tn → ∞ và ξn ∈ G(tn , B0 ) sao cho ξn ⇀ ξ trong H.

(⇐) Với mọi τ ≥ 0 và tn ≥ τ ta có ξn ∈ G(tn , B0 ), hơn nữa ξn ∈
Từ tính hội tụ yếu ξn ⇀ ξ suy ra rằng với mọi τ ≥ 0, ξ ∈

(1.4.2)

t≥τ

G(t, B0 ).

ws

t≥τ

G(t, B0 ) . Do đó

ξ ∈ A.

(⇒) Với ξ ∈ A ta có ξ ∈

t≥τ

G(t, B0 )

ws

với mọi n ∈ N. Do tính đóng yếu theo

dãy, với mọi n ∈ N tồn tại dãy {tkn }k∈N sao cho tkn ≥ n và ξnk ∈ G(tkn , B0 ) với ξnk ⇀ ξ
trong H khi k → ∞. Xét tập K = {ξnk : k, n = 1, 2, 3, . . .}. Do G là ω -tiệm cận
¯ ws đóng yếu trong H. Chú ý rằng U = span K là tách được và là
compact, tập K
¯ ws là compact yếu trong U. Khi đó theo ĐỊnh lý
không gian con đóng của H và K
¯ ws metric hóa được với metric d(·, ·) sinh bởi tô-pô
3.6.24 trong [26], ta suy ra K
¯ ws . Do đó với mọi n ∈ N tồn tại ξ kn sao cho d(ξ kn , ξ) < 1 . Vậy ta có
yếu trong K
n
n
n
ξnkn ⇀ ξ trong H khi n → ∞ với ξnkn ∈ G(tknn , B0 ) và tknn → ∞ khi n → ∞.

Bước 2. Ta chứng minh A khác rỗng và compact. Bởi tính ω -tiệm cận compact
của G và Bổ đề 1.1.2,
ws

G(t, B0 )

κ
t≥τ

Do các tập hợp

t≥τ

G(t, B0 )

=κ

→ 0, τ → ∞.

(1.4.3)

t≥τ

G(t, B0 )

ws

là khác rỗng, bị chặn và đóng tỏng H , ta có thể

áp dụng Bổ đề 1.1.1 (5) để có được khẳng định của Bước 2.


15

Bước 3. Ta chứng minh tính hút. Do mọi tập bị chặn trong H bị hấp thụ bởi
B0 sau một khoảng thời gian, nên ta chỉ cần chứng minh distH (G(t, B0 ), A) →
0, t → ∞. Giả sử ngược lại rằng tồn tại tn → ∞ và ξn ∈ G(tn , B0 ) sao cho
distH (ξn , A) ≥ ε > 0. Bởi tính ω -tiệm cận compact, tồn tại một dãy con hội tụ
ξµ → ξ trong H . Lại do ξµ ⇀ ξ trong H , từ (1.4.2) ta nhận được ξ ∈ A, đây là

mâu thuẫn.
Bước 4. Ta chứng minh A ⊂ G(t, A) với mọi t ≥ 0. Giả sử x ∈ A và t > 0. Ta
sẽ chỉ ra rằng x ∈ G(t, p) với một phần tử p ∈ A nào đó. Theo (1.4.2), tồn tại
tn → ∞ và xn ∈ G(tn , B0 ) sao cho xn ⇀ x trong H . Bởi tính ω -tiệm cận compact,

tồn tại một dãy con ξµ → ξ trong H và ξ = x. Ta có
ξµ ∈ G(tµ , B0 ) = G(t + (tµ − t), B0 ) ⊂ G(t, G(tµ − t, B0 )),

khi đó tồn tại zµ ∈ B0 sao cho ξµ ∈ G(t, G(tµ − t, zµ )), và pµ ∈ G(tµ − t, zµ ) sao
cho ξµ ∈ G(t, pµ ). Lại do tính ω -tiệm cận compact, ta suy ra tồn tại dãy con của
{pµ } (vẫn ký hiệu bởi pµ ) sao cho pµ → p trong H . Từ (1.4.2) ta suy ra p ∈ A.

Do ξµ → ξ và pµ → p trong H với ξm u ∈ G(t, pµ ), từ điều kiện về tính đóng của
G ta có ξ ∈ G(t, p). Vậy x ∈ G(t, A), và ta có A ⊂ G(t, A).

Nhận xét 1.4.1. Với điều kiện trong Định lý 1.4.1 nếu ta đặt
A˜ =

G(s, B0 ),

(1.4.4)

t≥0 s≥t

thì A˜ = A. Thật vậy, từ Định nghĩa 1.1.2, với mọi tập B ta có, B¯ ⊂ B¯ ws . Do vậy
A˜ ⊂ A. Giả sử tồn tại ξ ∈ A\A˜. Do (1.4.2) tồn tại dãy tn → ∞ và ξn ∈ G(tn , B0 )

sao cho ξn ⇀ ξ trong H . Bởi tính ω -tiệm cận compact, ta suy ra tồn tại một dãy
con ξµ của dãy ξn sao cho ξµ → ξ trong H , và điều này có nghĩa ξ ∈ A˜, đây là
điều mâu thuẫn. Vậy A = A˜.
Ta có hệ quả sau.


16

Hệ quả 1.4.1. Nếu nửa dòng đa trị G trên không gian Banach lồi đều H có tập
hấp thụ bị chặn và thỏa mãn điều kiện làm phẳng cùng với điều kiện (NW ) thì
nó có một tập hút toàn cục.
Định lý 1.4.2. Nếu nửa dòng đa trị G trên không gian Banach H là đóng, và
tồn tại một tập compact K hút các tập bị chặn thì G có một tập hút toàn cục.
Đó là tập đóng nhỏ nhất hút tất các cả tập bị chặn trong H .
Chứng minh. Do K hút tất cả các tập bị chặn B trong H , ε-lân cận của nó
Oε (K) là một tập hấp thụ. Có thể giả sử G(t, B) ⊂ Oε (K) với t ≥ t(B). Khi đó



κ

t≥t(B)



G(t, B) ≤ κ(Oε (K)) ≤ 2ε.

(1.4.5)

Vậy G đóng, G có một tập hấp thụ bị chặn và có tính chất ω -tiệm cận compact.
Từ Định lý 1.4.1 ta thấyG có tập hút toàn cục. Tính cực tiều của tập hút này
được chứng minh tương tự như trong [2].
Định nghĩa 1.4.2. Nửa dòng đa trị G được gọi là tán xạ điểm nếu tồn tại một
tập bị chặn B0 ⊂ H sao cho với mọi x ∈ H ta có distH (G(t, x), B0 ) → 0 khi t → ∞,
tức là B0 hút mọi điểm trong H .
Điều kiện cần của định lý sau đã được chứng minh cho nửa dòng chặt có tính
đóng (Bổ đề trong [27]).
Định lý 1.4.3. Giả sử G là một nửa dòng đa trị chặt, có tính đóng trên không
gian Banach H . Khi đó G có tập hút toàn cục khi và chỉ khi
(i) G là tán xạ điểm.
(ii) G có tinhc chất ω -tiệm cận compact.
Tập hút toàn cục khi đó là tập đóng nhỏ nhất có tính chất hút tất cả các tập bị
chặn trong H .


17

Chứng minh. Từ Định lý 1.4.1 suy ra nếu G có tập hút toàn cục thì G có tính
chất ω -tiệm cận compact và có một tập hấp thụ bị chặn. Từ đó G là tán xạ điểm.
Ngược lại, sự tồn tại của tập hút toàn cục suy ra từ Bổ đề 2 trong [27].
Từ các Định lý 1.4.1 và 1.4.3 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.4.2. Giả sử G là nửa dòng đa trị chặt trên không gian Banach H có

tính đóng và ω -tiệm cận compact. Khi đó G là tán xạ điểm nếu và chỉ nếu nó
có tập hấp thụ bị chặn.
Định lý sau đây không đòi hỏi nửa dòng đa trị phải có tập hấp thụ bị chặn.
Định lý 1.4.4. Giả sử G là một nửa dòng đa trị trên không gian Banach H sao
cho
(i) G thỏa mãn điều kiện làm phẳng;
(ii) G tán xạ điểm;
(iii) ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(A) G thỏa mãn điều kiện (NW );
(B) H phản xạ và G là nửa đóng.
Khi đó G có một tập hấp thụ bị chặn, và do đó G có tập hút toàn cục.
Chứng minh. Giả sử B0 là tập bị chặn có tính chất hút mọi điểm H . Cố định
ε > 0. Ta xác địn B1 = Oε (B0 ) và B2 = Oε (B1 ). Rõ ràng B2 bị chặn. Ta sẽ

chứng minh B2 là tập hấp thụ. Phản chứng, giả sử tồn tại một tập B và các
dãy tn → ∞, xn ∈ G(tn , B) sao cho xn ∈
/ B2 với mọi n ∈ N. Khi đó ta tìm được
{yn } ⊂ B ssao cho xn ∈ G(tn , yn ). Hơn nữa xn ∈ G( t2n , G( t2n , yn)) và do đó tồn tại
{ξn } sao cho
ξn ∈ G

tn
, yn
2

(1.4.6)


18

và
xn ∈ G

tn
, ξn .
2

(1.4.7)

Bởi Bổ đề 1.2.1 và 1.2.3, G là tiệm cận compact. Từ (1.4.6) suy ra ξn → ξ H
theo một dãy con. Đặt S = {ξn }∞
n=1 ∪ {ξ}. Rõ ràng S bị chặn trong H , do đó điều
kiện làm phẳng suy ra tồn tại t1 > 0, R > 0, một không gian con hữu hạn chiều
E ⊂ H và một phép chiếu PE : H → E sao cho PE
(I − PE )

G(t, S) ⊂ B 0,
t≥t1

t≥t1

G(t, S) ⊂ B(0, R) và

ε
.
4

(1.4.8)

Do G tán xạ điểm ta có thể chọn t2 > 0 sao cho

(1.4.9)

G(t, ξ) ⊂ O 4ε (B0 ).
t≥t2

Đặt T = max{t1 , t2 }. Từ (1.4.7)suy ra, với n đủ lớn ta có xn ∈ G

tn
2

− T, G(T, ξn )

và tồn tại một dãy zn ∈ G(T, ξn ) sao cho
xn ∈ G

tn
− T, zn .
2

(1.4.10)

Ta có phân tích zn = PE zn + (I − PE )zn . Do {PE zn } bị chặn trong không gian
hữu hạn chiều E , PE zn → z 1 trong H theo một dãy con. Bây giờ ta sẽ xử lý các
tình huống (iii)(A) và (B).
Nếu (iii)(A) xảy ra thì từ điều kiện (NW ) ta có zn ⇀ z trong H với z ∈ G(T, ξ).
Hơn nữa (I − PE )zn ⇀ z − z 1 trong H và từ (1.4.8), do tính nửa liên tục dưới
yếu của chuẩn ta có z − z 1 ≤ 4ε .
Nếu có (iii)(B) thì từ (1.4.8) ta suy ra (I − PE )zn ≤ 4ε , do tính phản xạ
của H , ta có (I − Pe )zn ⇀ z 2 trong H (theo một dãy con). Do tính chất nửa liên
tục dưới yếu của chuẩn ta có z 2 ≤ 4ε . Hơn nữa ta có zn ⇀ z trong H , ở đây

z = z1 + z2 . Do tính chất nửa đóng của G ta có z ∈ G(T, ξ).


19

Với n đủ lớn
zn − z ≤ (I − PE )zn + PE zn − z 1 + z − z 1 ≤

3ε
.
4

Từ (1.4.9) suy ra, với n đủ lớn ta có zn ∈ B1 . Do đó từ (1.4.10) và tính chất
tiệm cận compact của G ta nhận được xn → x với x ∈ ω(B1 ). Do đó với n đủ lớn
xn ∈ B2 , đây là điều vô lý.

Ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.4.3. Giả sử G : R+ × H → P (H) là nửa dòng đa trị có tính nửa đóng
trên không gian Banach lồi đều H . Khi đó G có tập hút toàn cục nếu và chỉ nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) G thỏa mãn điều kiện làm phẳng,
(ii) G tán xạ điểm.


20

Chương 2
Áp dụng
Các bài toán xét trong chương này liên quan đến khái niệm dưới vi phân
Clarke. Dưới vi phân Clarke được định nghĩa cho hàm Lipschitz cục bộ j : H →

R, trong đó H là không gian Banach ( [29]). Dưới vi phân Clarke ∂j tại x ∈ H
xác định bởi
∂j(x) = {ξ ∈ H ∗ | ξ, x

H ∗ ×H

≤ j 0 (x; v)},

ở đó j 0 (x; v) là đạo hàm theo hướng xác định bởi
j(y + λv) − j(y)
.
λ
λ→0+ y→x

j 0 (x; v) = lim sup

Nếu H là không gian hữu hạn chiều, ∂j có thể mô tả như sau
/ S},
∂j(x) = conv{ lim ∇j(xi )| xi → x, xi ∈
i→∞

với S là tập có độ đo 0 ở đó j không khả vi ( [29]). Bao hàm thức vi phân ở đó
hàm phi tuyến đa trị xác định bởi dưới vi phân Clarke được biết đến như là bất
đẳng thức nửa biến phân và được sử dụng để mô tả luật nửa thấm ( [30]) và
một số hiện tượng trong cơ học ( [31]). Có thể tìm thấy các nghiên cứu cơ bản
về bất đẳng thức nửa biến phân trong các cuốn chuyên khảo [32–34].
Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Gronwall sau đây ( [35]).