Tính ổn định của hàm ẩn đa trị trong không gian banach (LV01756)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TẠ NGỌC HỒNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM ẨN ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Quang Huy

HÀ NỘI, 2015


i

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi
có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phò ng Sau
đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích
Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ trong suốt quá trình
học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về
mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành khóa

luận này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Tạ Ngọc Hồng


ii

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS . Nguyễn Quang Huy
luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích về đề tài
“Tính ổn định của hàm ẩn đa trị trong không gian Banach”
được hoàn thành bởi nhận thức của tác giả và không trùng
với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn tác
giả kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự
tôn trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Tạ Ngọc Hồng


iii

MỤC LỤC
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Bảng kí hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Ánh xạ đa trị

4

1.2 Dưới vi phân Clarke của hàm liên tục Lipschitz

6

Chương

2:

Tính

chính

qui

khoảng

cách

theo

nghĩa

Robinson và tính chất Lipschitz kiểu Aubin

19

2.1 Tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson

21

2.2 Tính chất Lipschitz kiể u Aubin

27

Chương 3: Mối quan hệ giữa tính chính qui khoảng cách
theo nghĩa Robinson và tính chất Lip schitz kiểu Aubin

30

3.1 Sự không tương đương của tính chính qui khoảng cách
theo nghĩa Robinson và tính chất Lipschitz kiểu Aubin

30

3.2 Mối quan hệ giữa tính chính qui khoảng cách theo
nghĩa Robinson và tính chất Lipschitz kiểu Aubin

32

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36


iv

Bảng kí hiệu và viết tắt

. : Chuẩn trong không gian Banach

X * : Không gian đối ngẫu của X được trang bị topo yếu w *
B X , B X : Hình cầu đóng đơn vị của không gian X và không
*

gian đối ngẫu X *
.,. : Tích vô hướng

B(x,  ) : Hình cầu tâm x , bán kính 
dom F : Miền hữu hiệu F

gphF : Đồ thị của F
f ( x ) : Dưới vi phân Clarke của f tại x

Int  : Phần trong của 

D *F (x , y ) : Đối đạo hàm Clarke của F tại ( x , y )


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các tính chất thú vị của hàm ẩn đa trị, chẳng hạn như
tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, tính chất
Lipschitz kiểu Aubin, tính chính qui khoảng cách, tính mở
và tính khả vi suy rộng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác
giả trong những năm gần đây. Mordukhovich đã đưa ra
điều kiện cần và đủ cho tính chất Lip schitz kiểu Aubin
( ALlp ) cho một số dạng đặc biệt của hàm ẩn đa trị; Xem
trong [15,16] và các tài liệu tham khảo trong đó. Tính
chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson ( Rmr ) của hàm
ẩn đa trị đã được nghiên cứu trong [5,13,14,17,18,20 ]. Gần
đây, Ledyaev và Zhu [17], Ngai và Théra [14] đã thiết lập

các điều kiện đủ cho tính chính qui khoảng cách theo
nghĩa Robinson của hàm ẩn đa trị dựa trên khái niệm đối
đạo hàm Fréchet. Các điều kiện đủ cho tính chất tương
ứng được trình bày dựa trên khái niệm đối đạo hàm
Mordukhovich và đã được thiết lập bởi Lee, T am, Yen [18]
và Yen, Yao [13]. Gần đây hơn, mối liên hệ giữa tính chất
Lipschitz kiểu Aubin và tính chính qui khoảng cách theo
nghĩa Robinson của hàm ẩn đa trị được trình bày trong
[10]. Chúng ta thấy rằng hầu hết các kế t quả được thiết
lập bị hạn chế trong không gian Asplund.


2

Trong [12], các tác giả đã đưa ra các điều k iện đủ mới
cho tính chất Lipschitz kiểu Aubin và tính chính qui
khoảng cách theo nghĩa Robinson của hàm ẩn đa trị và mối
quan hệ giữa hai tính chất này trong không gian Banach
tổng quát dựa trên khái niệm dưới vi phân và đối đạo hàm
Clarke.
Đề tài “Tính ổn định của hàm ẩn đa trị trong không
gian Banach” nhằm tìm hiểu về Lý thuyết đối đạo h àm và
kết quả đạt được trong [12].
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về Lý thuyết đối đạo hàm và áp dụng nghiên
cứu tính ổn định của hàm ẩn đa trị trong không gian
Banach.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Điều kiện đủ cho tính chính qui khoảng cách theo
nghĩa Robinson và tính chất Lip schitz kiểu Aubin của hàm

ẩn đa trị, nguyên lý biến phân Ekeland, dưới vi phân và
đối đạo hàm Clarke.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson, tính
chất Lipschitz kiểu Aubin và mối quan hệ giữa chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá.


3

6. Nhưng đóng góp của đề tài
Hệ thống lại, đưa ra các ví dụ minh họa để kiểm tra
các điều kiện đủ cho tính chất Lipschitz kiểu Aubin và
tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson của hàm
ẩn đa trị trong không gian Banach tổng quát.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Ánh xạ đa trị
Trong chương này chúng tôi ký hiệu X,Y,Z là các không
gian Banach thực với chuẩn

.

(chuẩn này có thể khác

nhau tùy theo từng không gian).
Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ đa trị)
Cho các không gian X,Y và F: X ⇉ Y là ánh xạ từ X vào
các tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là
2 Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi

x  X , F(x) là một tập hợp con của Y . Không loại trừ khả
năng là một số phần tử x  X nào đó ta có F ( x ) là tập rỗng.
Ta ký hiệu F : X ⇉ Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Cho F: X ⇉ Y là một ánh xạ đa trị, ta định nghĩa đồ thị F và
ký hiệu là gphF  X Y được xác định như sau





gphF  (x ,y)|y  F (x ) .
Miền hữu hiệu của F ký hiệu domF được cho bởi





domF : x  X |F (x )   .


5

Ví dụ 1.2 Ánh xạ đa trị F : R ⇉ 2R , F ( x )  co(sin x , cosx .)

Định nghĩa 1.3 (Tính nửa liên tục của ánh xạ đa trị)
C h o ánh xạ đa trị F: X  Y , F được gọi là nửa liên tục
trên tại x  X nếu với mỗi tập mở V  Y và F (x )  V tồn tại
lân cận mở U  X của x sao cho

F (x ) V , x U .
Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới tại x  X
nếu với mỗi tập mở V  Y thỏa mãn F ( x)  V   tồn tại lân
cận mở U  X của x sao cho

F (x ) V  , x U .
Ví dụ 1.4 Ánh xạ đa trị F: R ⇉ R
0 , x  0

F ( x )  1,1, x  0

1 , x  0

là nửa liên tục trên ở trong R.
Ví dụ 1.5 Ánh xạ đa trị

0 , x  0
0,1, x  0


F (x )  

ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới tại x  0 .
Định nghĩa 1.6 Hàm f : X  R được gọi là Lipschitz
trong lân cận của x  X với hằng số Lipschitz k , nếu tồn tại

  0 sao cho
|f (x )  f ( y )| k ||x  y ||, x , y  B (x ,  ) .


6

Ví dụ 1.7
Hàm f ( x) 

x2  5 là Lipschitz với hằng số k = 1.

1.2 Dưới vi phân Clarke của hàm liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.8 Cho f : X  R là hàm Lipschitz. Đạo
hàm suy rộng của f

tại x theo hướng v , ký kiệu f 0 ( x ,v ) .

Được định nghĩa như sau

f 0 ( x ,v )  lim sup
y x ,t 0

f ( y  tv )  f ( y )
,
t

trong đó y là vectơ trong X , t >0.
Dưới vi phân Clarke của f tại x , là tập hợp cho bởi
công thức

f (x ) : {x *  X * : x * ,v *  f 0 (x ,v ), v  X }.

Định nghĩa 1.9
Hàm f là thuần nhất dương nếu f (v )  f (v ),   0 , cộng
tính nếu f (v  w )  f (v )  f (w ), v ,w  X .
Mệnh đề 1.10
Cho f : X  R là hàm Lipschitz trong lân cận x với
hằng số Lipschitz k. Khi đó
a) hàm số v

f 0 (x ,v ) là hữu hạn, thuần nhất dương, và

cộng tính trên X thỏa mãn
|f 0 ( x ,v )| k v .

b) f 0 ( x ,v ) là nửa liên tục trên.
c) f 0 ( x ,v ) = ( f )0 ( x ,v ) .


7

d) Giả sử g : X  R là Lipschitz trong lân cận x , khi đó

(f  g )0 (x ,v )  f 0 (x ,v )  g 0 (x ,v ) .
Chứng minh
Trong điều kiện Lipschitz, trị tuyệt đối của tỉ số sai
phân trong định nghĩa của f 0 ( x ,v ) được giới hạn bởi k v .
Với y  B( x, ),  0 ; t >0. Ta có f 0 (x , v )  f 0 (x ,v ),   0 . (1.1)
Khi y  x ,t  0 ta có

f ( y  tv  tw )  f ( y )
y x ,t 0
t
f ( y  tv  tw )  f ( y  tw )
f ( y  tw )  f ( y )
 lim sup
 lim sup
y x ,t 0
y x ,t 0
t
t
f 0 ( x ,v  w )  lim sup

suy ra

f 0 (x ,v  w )  f 0 (x ,v )  f 0 (x ,w ) .
Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra hàm số v

(1.2)

f 0 (x ,v ) là hữu

hạn, thuần nhất dương và cộng tính trên X thỏa mãn
|f 0 ( x ,v )| k v , khẳng định a) được chứng minh.

Cho x i  ,v i  là dãy tùy ý hội tụ tới x và v, với i = 1, 2…
được định nghĩa bởi giới hạn trên y i  X và t i  0 sao cho

y i  x i  ti 
f 0 ( x i ,v i ) 



1

i



1

i

;

f ( y i  t iv i )  f ( y i )
ti

f ( y i  t iv )  f ( y i ) f ( y i  t iv i )  f ( y i  t iv )

.
ti
ti

Cho i   , ta có


8

limsup f 0 ( x i ,v i )  f 0 ( x ,v ) .
i 

Để chứng minh f 0 ( x, v) là nửa liên tục trên. Lấy tùy ý

v  X ,w  X và y  B (x , ),  0,t  0 ta có

f ( y  tv )  f ( y )  f ( y  tw )  f ( y )  k v  w t .
Khi y  x ,t  0 , chia 2 vế cho t ta được

f 0 (x ,v )  f 0 (x ,w )  k v  w .
Khẳng định b) đã được chứng minh.
Ta chứng minh c)

f ( y  tv )  f ( y )
;u  y  tv
y x ,t 0
t
( f )(u  tv )  ( f (u ))
 lim sup
y x ,t 0
t
 ( f )0 ( x ,v ).

f 0 ( x , v )  lim sup

d) Hiển nhiên đúng.
Mệnh đề 1.11
Cho hàm f : X  R là Lipschitz trong lân cận của x với
hằng số Lipschitz k . Khi đó
a) Tập f ( x ) là lồi khác rỗng, compact yếu trong X * và

 *  k ,   f (x ) .
b) Với v  X thì f 0 (x ,v )  max   ,v :   f ( x ) .
c)   f (x ) khi đó f 0 ( x ,v )   ,v , v  X .
d) Cho

x i   X ,i   X *

sao cho i : i  f ( x i ) với i = 1,2…,

w
 , khi i   thì:   f (x ) .
nếu x i  x và i 
*


9

e) Nếu X là hữu hạn chiều thì f

nửa liên tục trên tại

x X .
Chứng minh
Tập f ( x ) là tập khác rỗng, compact yếu trong X * . Với
mỗi   f (x ) theo định nghĩa dưới vi phân Clarke và Mệnh
đề 1.10 ta có

 ,v  f 0 (x ,v )  k v , v  X suy ra  *  k , a) đã được chứng
minh.
Khẳng định b) và c) là đơn thuần lặp lại đối với f 0 ( x,.) .

Cố định v  X . Với mỗi i = 1,2… ta có f 0 ( xi , v)  i , v .
Ta thấy, dãy

  ,v  là
i

bị chặn. Xét dãy

i 

sao cho

i ,v   ,v , thông qua giới hạn của bất đẳng thức trên ta
có

f 0 (x ,v )   ,v .
Khi đó cho   0 , y  B (x , ),  0 ta khẳng định rằng
f ( y )  f (x )   B .

Thật vậy nếu khẳng định trên là sai thì y i  x và

i  f ( y i ) sao cho
i  f (x )   B , i .
Áp dụng định lý tách trong X * , tách  i , v i  0 sao cho



i ,v i  max i ,v i :   f ( x )   B



 f 0 (x ,v i )   v i .


10

Ta lấy v i

= 1, i   ,v i  v khi đó v  1 và thay vào

biểu thức trên ta có

 ,v  f 0 (x ,v )   .
Điều trên vô lý suy ra d) đúng, ta có   f (x ) và f là
nửa liên tục trên tại x  X .
Mệnh đề 1.12
Cho f : X  R là hàm Lipschitz trong lân cận của x với
hằng số Lipschitz k . Với mỗi   R , ta có

(f )(x )  f (x ) .
Chứng minh
Vì f là hàm Lipschitz trong lân cận của x với hằng số
Lipschitz k nên  f là hàm Lipschitz trong lân cận của x
với hằng số Lipschitz  k .
Hiển nhiên   0 , (f 0 )  f 0 .
Xét   0 , không làm mất tính tổng quát ta xét   1 .
Với mỗi   X * , ta có
( f )0 ( x ,v )   ,v , v  X .

Từ Mệnh đề 1.10(c) ta suy ra f 0 (x , v )   ,v , v  X .

Vì vậy  f ( x) và ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.13
Cho f : X  R và g : X  R là các hàm Lipschitz trong
lân cận x . Khi đó
(f  g )(x )  f (x )  g (x ) .


11

Mệnh đề 1.14
Cho f : X  R là hàm Lipschitz trong lân cận x. Khi đó
a) Nếu f có đạo hàm Gâteaux f G ' ( x ) tại x thì ta có

f G ' (x )  f (x ) .
b) Nếu f là hàm khả vi liên tục tại x thì f ( x)   f ' ( x) .

Chứng minh
Từ định nghĩa đạo hàm Gâteaux ta suy ra

f ' (x ,v )  f G ' (x ),v , v  R n .
Hiển nhiên, f ' (x ,v )  f 0 (x ,v ) suy ra

f G ' (x ),v  f 0 (x ,v ), v  R n .
Theo Mệnh đề 1.1.2 suy ra f G ' (x )  f ( x ) .
Vậy a) đã được chứng minh.
Giả sử f là hàm khả vi liên tục trong lân cận x và cố
định v  X . Cho y  B (x , ),  0 ,t > 0, ta có

f ( y  tv )  f ( y )
 f ' (z ),v .

t
Lấy tùy ý z  ( y , y  tv ) . Theo định lý giá trị trung bình
cổ điển khi y  x , t  0 , z  x , từ hàm liên tục f’ (.) ta suy
ra
f 0 ( x, v)  f ' ( x), v .

Từ Mệnh đề 1.11   f (x ) khi đó f 0 ( x ,v )   ,v , v  X.


12

Kết hợp với trên ta có f ' (x ),v   ,v , v  X .
Ta kết luận f ( x )  f '(x ) . (Điều phải chứng minh).
Định lý 1.15 (Mô hình không trơn của qui tắc Fermat ).
Cho X là không gian Banach và  : X  R là ánh xạ sao
cho  là hữu hạn tại x . Nếu x là cực tiểu địa phương của

 thì 0   ( x ) .
Định lý 1.16 (Nguyên lý biến phân Ekeland)
Cho ( X,d ) là không gian mêtric đủ ,  : X  R   là
hàm nửa liên tục dưới , bị chặn dưới trong X. Khi đó, nếu x
thỏa mãn

 ( x )  inf  ( x )  
x X

(1.3)

với   0 và nếu   R ,   0 cho trước, thì tồn tại x  R sao
cho

i)  ( x )   ( x )
ii) d ( x , x )  



iii) Với x  X \ x , ( x )   ( x ) 


d (x , x ) .


Chứng minh
Trong chứng minh này chúng ta sẽ sử dụng kiểu thứ tự
bộ phận do Bishop và Phelps đưa ra năm 1963. với mỗi

  0 , ta định nghĩa thứ tự “  ” trong tích X  R như sau
(x 1 , y 1 )  (x 2 , y 2 )  y 2  y 1  d (x 1  x 2 )  0 .

Thứ tự “  ” là phản xạ, phản xứng và bắc cầu .

(1.4)


13

 Tính phản xạ:
Hiển nhiên ta có (x , y )  (x , y ) với mọi (x , y )  R .
 Tính phản xứng:
Giả sử rằng ( x 1 ,y 1 )  ( x 2 ,y 2 ) và ( x 2 ,y 2 )  ( x 1 ,y 1 ) . Ta cần
chứng tỏ rằng ( x 1 ,y 1 ) = ( x 2 ,y 2 ) . Do (1.2),

( x ,y )  ( x ,y )  d ( x ,x ) 
1

1

2

2

1

2

y1  y 2



.

Theo giả thiết,

d ( x 1 ,x 2 ) 

y1  y 2



và d ( x 2 ,x 1 ) 

y 2  y1



.

(1.5)

Suy ra 2d ( x 1 ,x 2 )  0 . Vì thế x 1 = x 2 .
Từ (1.3) ta có y 1  y 2 và y 2  y 1 . Do đó (x 1 ,y 1 ) = ( x 2 ,y 2 ) .
 Tính bắc cầu:
Giả sử rằng ( x 1 ,y 1 )  ( x 2 ,y 2 ) và ( x 2 ,y 2 )  ( x 3 ,y 3 ) . Khi đó

d ( x ,x ) 
1

2

y1  y 2



và d ( x ,x ) 
2

3

y 2  y3

Suy ra

d ( x 1 ,x 2 ) + d ( x 2 ,x 3 ) 

y1  y 3
.


Do d ( x 1 ,x 3 )  d ( x 1 ,x 2 ) + d ( x 2 ,x 3 ) , nên ta có

d ( x ,y ) 
1

1

Từ đó suy ra ( x 1 ,y 1 )  ( x 3 ,y 3 ) .
 Khẳng định 1

y1  y 3



.



.


14





Nếu ( x 1 ,y 1 )  X  R , thì  : ( x , y )  X  R : ( x 1 , y 1 )  ( x , y )
là tập đóng .
Thật vậy, giả sử dãy ( x k , y k )  X  R thỏa mãn
( x 1 ,y 1 )  ( x k ,y k ) ( k = 2,3,4…)
và x k  x , y k  y . Do d ( x 1 ,x k ) 
ta có d ( x ,x ) 
1

y1  y



y1  y k
với mọi k  N , nên


tức là ( x 1 ,y 1 )  ( x,y ) . Vậy ( x,y )  , ta

đã chứng minh  là tập đóng .
 Khẳng định 2
Cho M  X  R là tập đóng sao cho tồn tại   0 để y  
với mọi

( x, y)  M . Khi đó, với mỗi

( x1, y1 )  M

tồn tại

( x , y )  M sao cho (x 1 , y 1 )  ( x , y ) và ( x , y ) là một phần tử

cực đại trong M theo thứ tự “  ”.
(Tức là, nếu (x , y )  M và (x , y )  ( x , y ) thì ( x,y ) =
( x , y ))

Bắt đầu từ ( x 1 ,y 1 )  M ta xây dựng dãy ( x k , y k ) như sau:
Giả sử ( x k ,y k ) đã xác định. Đặt

M k  (x , y )  M : (x k , y k )  ( x , y ) .
Theo Khẳng định 1, M k là tập đóng . Ngoài ra , vì
( x k ,y k )  M k





nên M k   . Đặt  k  inf y : x  X ,(x , y )  M k .


15

Hiển nhiên  k   và  k  y k . Chọn (x k 1 , y k 1 )  M k sao
cho

y

k 1



k  y k

(1.6)

2

(Nếu  k  y k thì đặt (x k 1 , y k 1 )  (x k , y k ) . Giả sử  k  y k ,
do  k 

k  y k
2

, tồn tại ( x, y)  M sao cho  k  y 

k  y k
2

.

Đặt (x k 1 , y k 1 )  (x , y ) , ta thấy rằng (1.6) nghiệm đúng).
Dãy

M 
k

là các tập đóng lồng nhau : M k 1  M k với

mọi k  N .
(Thật vậy nếu (x , y )  M k 1 thì (x k , y k )  (x k 1 , y k 1 )  (x , y )
do đó ( x, y)  M k ) .
Đặt d ((x , y ),(x ', y '))  d (x , x ')  y  y ' . Với mọi k, ta có

 k   k 1  y k 1 và y k 1   k 1 

1 k
y   k  2k y 1   .
2

(Thật vậy, do (1.6) ta có
1
2

y k 1   k 1  y k 1   k  ( y k   k ) 

1 k
y  k .
2

Vì y k 1   k 1  0 , từ đó suy ra

y k 1   k 1  ...  2k y 1   1  2k y 1   ) .
Với mọi (x , y )  M k 1 ta có y k 1  y  y k 1   k 1  2k y 1  
Vì (x k 1 , y k 1 )  (x , y ) , nên
0  d (x

k 1

y k 1  y
,x ) 
.



16

Do đó
0  d (x

k 1

y k 1  y 2 k 1
,x ) 

y  .



Từ đó suy ra

diamM k 1 : supd ((x , y ),(x ' , y ' )) : (x , y )  M k 1 ,( x ' , y ' )  M k 1  0



khi k   . Vậy M k

 là tập đóng lồng nhau, có đường kính

giảm tới 0. Vì X  R là không gian mêtric đủ , nên tồn tại
duy nhất phần tử ( x, y)  X  R thỏa mãn


k 1

M k  ( x , y ) .

Do ( x , y )  M 1 , ta có ( x , y )  M và (x 1 , y 1 )  ( x , y ) .
Giả sử ( x, y)  M thỏa mãn
(x , y )  ( x , y ) .

(1.7)

Do (1.7) và do (x , y )  M k với mọi k  N , ta có
(x k , y k )  (x , y )  (x , y ) . Vậy (x , y )  M k với mọi k  N .

Từ đó ta suy ra ( x , y )  ( x , y ) . Ta đã chứng minh rằng
( x , y ) là phần cực đại trong M . Khẳng định 2 đã được chứng

minh.
Đặt M  epi   (x , y )  X  R : (x )  y  .
Do hàm số  là nửa liên tục dưới, M là tập đóng trong

X  R . Thật vậy, ta sẽ chứng minh rằng  : ( X  R ) \ M
là tập mở.
Giả sử ( x , y )   . Do ( x , y )  M , ta có  ( x )  y .


17

Lấy   (0,

(x )  y
2

) . Vì  là nửa liên tục dưới tại x , tồn

tại lân cận mở U của x sao cho

(x )  (x )   , x U .
Đặt V = ( y   , y   ) , ta có W : U V là lân cận mở của
( x , y ) và W   . Thật vậy, với∀ (x , y ) W ta có ( x )  ( x )   .

Nếu ( x, y) W , thì y   ( x)   ( x)   . Do y V , y  y   , vì thế

y    y  (x )   . Suy ra  

(x )  y
2

, mâu thuẫn với cách

chọn  . Vậy (x , y )  M .
Điều đó chứng tỏ rằng W   . Vậy  là tập mở, do đó

M là tập đóng .
Ta có ( x , (x )) M . Đặt (x 1 , y 1 )  (x ,( x )) . Từ Khẳng định

2, tồn tại ( x , y ) sao cho

( x 1 , y 1 )  ( x , y ) .

(1.8)

Và ( x , y ) là phần tử cực đại trong M theo thứ tự .
Đặt  


. Do (1.8),

y  y 1  d (x , x )  0 ,

hay

y  (x )  d (x , x )  0 .
Ta có y   ( x ) . Thật vậy, giả sử y   ( x ) .
Khi đó

d (x , x ) 

( y   ( x ))
.
2

(1.9)


18

Suy ra ( x , y )  (x , ( x )) và (x , y )  ( x ,( x )) .

Điều đó chứng tỏ rằng ( x, y ) không thể là phần tử cực
đại, vô lý. Vậy y   ( x ) .

(1.10)

Thế (1.10) vào (1.9), ta có

(x )  (x )  d (x , x )  0 .

(1.11)

Suy ra  ( x )   ( x )  0 , tức là tính chất (i) trong kết luận
của định lý nghiệm đúng. Do đó

 ( x )  inf  ( x )     ( x )   .
x X

Từ (1.9) ta có

d (x , x )  (x )  (x )   .
Do đó

d (x , x ) 



 .



Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng. Để kiểm tra tính chất



(iii), ta lấy tùy ý x  X \ x . Nếu (x )   thì bất đẳng
thức trong (iii) là đúng .
Giả sử

(x )  R , vì

(x , (x )) M ,(x , (x 
) (x , x
( )) và

( x , ( x )) là phần tử cực đại trong M, nên bất đẳng thức

( x ,( x ))  ( x ,( x )) là sai. Do đó

(x )  (x )  d (x , x )  0 ,
hay


(x )  (x )  d (x , x )  0 .

Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng.


19

Chương 2

Tính chính qui khoảng cách
theo nghĩa Robinson và tính
chất Lipschitz kiểu Aubin
Trong chương này, chúng ta kí hiệu X,Y,Z là các không
gian Banach thực.
Định nghĩa 2.1
Cho   X là tập đóng, khác rỗng. Nón tiếp tuyến
Clarke đối với  tại x  X , kí hiệu T ( x , ) được xác định
bởi

 

 

T ( x , )  {x  X | x k  , x k  x ,  t k  (0,  ),t k  0,

 

 v k  X ,v k  v , x k  t kv k  , k }.

Nón pháp tuyến Clarke của  tại x , kí hiệu N ( x, ) ,
được định nghĩa bởi công thức





N (x , )  x *  X * | x * ,v  0, v T (x , ) .
Đinh nghĩa 2.2
Cho F : X Y ⇉ Z là ánh xạ đa trị giữa các không gian

Banach và bất đẳng thức suy rộng
0  F (x , y ) .

(2.1)


20

Hàm ẩn đa trị G : Y  X liên kết với (2.1) là ánh xạ đa
trị được xác định bởi

G ( y )  x  X : 0  F (x , y ) .

(2.2)

Định nghĩa 2.3
Cho  là tập con của không gian mêtric X. Khoảng
cách từ u  X tới  được định nghĩa bởi

dist (u , ) : inf x  u
x 

dist( u, ) :  nếu    .
Định nghĩa 2.4
a) Cho  : X  Y là ánh xạ đa trị ( x , y )  gph  .  được
gọi là có tính chất Lipschitz kiểu Aubin trong lân cận
( x , y ) với modun l > 0 (ALlp) nếu tồn tại lân cận U của x

và lân cận V của y sao cho
(x 1 ) V  (x 2 )  l x 1  x 2 BY , x 1 , x 2 U .

b) Cho F : X  Y  Z là ánh xạ đa trị giữa các không
gian Banach thỏa mãn công thức (2.1) và G : Y  X là hàm
ẩn đa trị liên kết với (2.1), cho w 0 : (x 0 , y 0 ,0)  gphF . G được
gọi là chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson ( Rmr )
trong lân cận của w 0 với modun c > 0 nghĩa là

B1 (x 0 ,1 ), B2 ( y 0 ,2 ),1 ,2  0,   0 , sao cho

dist (x ,G ( y ))  c .dist (0, F (x , y )), x  B1 , y  B2
thỏa mãn

dist (0, F (x , y ))   .

(2.3)