Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động chung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ CHÚC

NGUYÊN LÝ KKM SUY RỘNG
VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Quốc Bình

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Quốc Bình, người thầy
đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Chúc

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình,
luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Nguyên lý KKM suy
rộng và các định lý điểm bất động chung” được hoàn thành bởi sự
nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Chúc


Mục lục

Mở đầu

3

1 Các kiến thức bổ trợ

5

1.1

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . .

5

1.2

Nguyên lý ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Bổ đề KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Nguyên lý ánh xạ KKM và bất đẳng thức Ky Fan

9

1.2.3

Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . 12

.

2 Bổ đề KKM trong không gian lồi trừu tượng

14

2.1

Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Cấu trúc lồi trừu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động
chung

20

3.1

Một số chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2

Nguyên lý KKM suy rộng và các kết quả chính . . . . . . . 22

3.3

Định lý điểm bất động chung . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

1


Bảng kí hiệu
2X
X

họ tất cả các tập con của X
lớp các tập con hữu hạn khác rỗng của X

co(A)

bao lồi của tập A

(u.s.c)

nửa liên tục trên

(l.s.c)

nửa liên tục dưới

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nguyên lý điểm bất động Browder và dạng tương đương của nó, bổ đề
KKM được chứng minh trong không gian hữu hạn chiều. Năm 1961, Ky

Fan đã chứng minh một dạng tương tự của bổ đề KKM cho không gian vô
hạn chiều gọi là nguyên lý ánh xạ KKM, ngày nay được xem như trung
tâm của lý thuyết KKM. Từ nguyên lý KKM có thể suy ra bất đẳng thức
Ky Fan (cũng được chứng minh năm 1961) và một loạt các định lý điểm
bất động như Schauder, Tikhonov, Ky Fan. Kể từ đó đến nay, người ta
không thể kể hết số lượng bài báo mở rộng nguyên lý KKM và các hệ quả
của nó. Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống về nguyên lý KKM
và các định lý điểm bất động. Tôi chọn đề tài: “Nguyên lý KKM suy rộng
và các định lý điểm bất động chung”.
Trong luận văn này tôi chỉ đề cập đến hai bài báo được đăng tải gần đây
trên hai tạp chí có uy tín trên thế giới về điểm bất động và giải tích phi
tuyến [4] [7].

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên
cứu cơ bản về nguyên lý KMM suy rộng, bất đẳng thức Ky Fan trong
không gian lồi trừu tượng và các định lý điểm bất động chung

3


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu bổ đề KKM và bất
đẳng thức Ky Fan trong không gian lồi trừu tượng và nguyên lý KKM suy
rộng, các định lý điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô.

4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu nguyên lý KKM suy
rộng và các định lý điểm bất động trong không gian tôpô.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kiến thức cơ bản của
không gian vectơ tôpô để nghiên cứu về nguyên lý KKM và định lý điểm
bất động trong không gian vectơ tôpô.

6. Đóng góp mới
Luận văn sẽ là một tổng quan về nguyên lý KKM và các định lý điểm
bất động chung trong không gian vectơ tôpô.

4


Chương 1
Các kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về nguyên lý KKM
được PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trình bày trong sách của mình [1]. Ngoài
ra, chương này còn trình bày một số không gian: không gian vectơ tôpô,
không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho các chương
sau.

1.1

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một họ τ ⊆ P(X)
các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính
chất sau:
i) ∅, X ∈ τ ;
ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .

Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực

X . Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X
5


nếu các ánh xạ + và . liên tục. Tức là:
(i) Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y , tồn tại các lân cận U
của x, V của y sao cho U + V ⊆ W .
(ii) Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và với mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 và
lân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε).
Khi đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không
gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. (Tập lồi) Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu:

λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gian
vectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô
lồi địa phương) nếu trong X có một có sở lân cận của gốc toàn tập lồi.
Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian
lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
Ví dụ. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh
bởi hình cầu đơn vị: V0 = {B (0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng
là V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0}.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi
cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X đều có hai lân cận V1 , V2 của x1 , x2 sao
cho V1 ∩ V2 = ∅ (có nghĩa là, hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể tách
được bởi hai lân cận rời nhau). Khi đó, không gian tôpô X được gọi là
không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô của nó gọi là tôpô tách

hay tôpô Hausdorff.

6


1.2
1.2.1

Nguyên lý ánh xạ KKM
Bổ đề KKM

Trước hết ta nhắc lại khái niệm n-đơn hình.
Cho X là một không gian vectơ, tập hợp S trong X được gọi là một nđơn hình nếu S = co {u0 , u1 , ..., un } với u0 , u1 , ..., un ∈ X và các vectơ

u1 − u0 , ..., un − u0 là độc lập tuyến tính. Các điểm ui được gọi là các đỉnh.
Bao lồi của k + 1 đỉnh được gọi là k -diện của S . Mỗi x ∈ S được biểu diễn
duy nhất dưới dạng:
n

n

xi ui , với xi ≥ 0,

x=
i=0

xi = 1.
i=0

Dùng bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn

hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã
chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian Rn .
Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề KKM). (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz,1929)
Cho một n-đơn hình S = co {u0 , u1 , ..., un } trong Rn và các tập hợp
đóng F0 , F1 , ..., Fn trong S thỏa mãn điều kiện: với mọi tập hợp con I ⊂

{0, 1, ..., n} ta có
co {ui : i ∈ I} ⊂

Fi .

(KKM)

i∈I
n

Fi = ∅.

Khi đó
i=0

Định lý 1.2.1. (Nguyên lý điểm bất động Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên
tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động.
Chứng minh. Vì hình cầu đơn vị đóng trong Rn đồng phôi với một n-đơn
hình S nên ta chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ liên tục T : S → S sẽ có
điểm bất động trong S .
7


Với mỗi x ∈ S ta có x = (x0 , x1 , ..., xn ) và y = T x = (y0 , y1 , ..., yn ). Với

mỗi i = 0, 1, ..., n ta đặt Fi = {x ∈ S : xi ≥ yi }. Do T liên tục nên các Fi
đều đóng. Ta sẽ chứng minh các Fi thỏa mãn điều kiện (KKM).
Lấy I ⊂ {0, 1, ..., n} và x ∈ co {ui : i ∈ I}. Vậy x = (x0 , x1 , ..., xn ) với

xi = 0 nếu i ∈
/ I và xi > 0 nếu i ∈ I và y = (y0 , y1 , ..., yn ) với yi ≥
n

yi = 1. Để chứng minh x ∈

0,
i=1

Fi ta cần chứng minh tồn tại i0 ∈ I
i∈I

để cho x ∈ Fi0 , tức là xi0 ≥ yi0 . Giả sử ngược lại rằng xi < yi với mọi

i ∈ I . Khi đó ta gặp mâu thuẫn:
n

n

xi =

1=
i=0

yi ≤

xi <
i∈I

i∈I

yi = 1.
i=0

Vậy điều kiện KKM được thỏa mãn. Theo bổ đề KKM , tồn tại x∗ ∈

n

Fi .
i=0

Khi đó ta có x∗i ≥ yi∗ với i = 0, 1, ..., n trong đó các yi∗ là tọa độ trọng tâm
của y ∗ = T x∗ .
n

Vì
i=0

x∗i

=

x∗i

yi∗

n

=
i=0

yi∗ = 1, các bất đẳng thức trên phải là đẳng thức, tức là

với mọi i = 0, 1, ..., n. Vậy ta có x∗ = y ∗ = T x∗ và nguyên lý đã

được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer tương đương với bổ đề
KKM.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh bổ đề KKM từ nguyên lý điểm bất động
Brouwer. Ta sẽ dùng phản chứng.
Cho S = {u0 , u1 , ..., un } là một đơn hình và F0 , F1 , ..., Fn là các tập hợp
n

Fi = ∅. Khi đó với

đóng trong S thỏa mãn điều kiện (KKM), nhưng
i=0

mỗi x ∈ S và với mỗi i = 0, 1, ..., n ta đặt αi (x) = d(x, Fi ) là khoảng cách
n

Fi = ∅ nên với mỗi x ∈ S tồn tại i sao cho x ∈
/ Fi , tức

từ x đến Fi . Vì
i=0

8


là αi (x) > 0 do Fi đóng. Vậy ta có thể định nghĩa hàm

µi (x) =

αi (x)
n

, x ∈ S, i = 0, 1, ..., n

αj (x)
j=0
n

Các hàm µi có tính chất: liên tục, 0 ≤ µi (x) ≤ 1,
n

x ∈ S . Với mỗi x ∈ S ta đặt T x =

µi (x) = 1 với mọi
i=0

µi (x)ui . Do S lồi ta có T x ∈ S ,
i=1

ngoài ra T liên tục vì µi liên tục. Theo nguyên lý Brouwer, tồn tại x∗ ∈ S
mà x∗ = T x∗ .

Đặt I = {i : µi (x∗ ) > 0}. Khi đó ta có T x∗ =

n

µi (x∗ )ui =

i=0
∗

µi (x∗ )ui .
i∈I

∗

Nhưng vì µi (x ) > 0 khi và chỉ khi x ∈
/ Fi với mọi i ∈ I , nên x∗ ∈
/

Fi .
i∈I

Điều này mâu thuẫn với

x ∗ = T x∗ =

µi (x∗ )ui ∈ co {ui : i ∈ I} ⊂
i∈I

Fi
i∈I

do điều kiện (KKM). Vậy mệnh đề được chứng minh.

1.2.2

Nguyên lý ánh xạ KKM và bất đẳng thức Ky Fan

Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian
vô hạn chiều và là trung tâm của lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và
quan trọng của giải tích phi tuyến.
Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ
KKM.
Định nghĩa 1.2.1. (Ánh xạ KKM)
Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô, ánh xạ đa trị F : C →

2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hữu hạn A trong C ta có
co(A) ⊂ F (A),
ở đây F (A) =

(KKM)

F (x)
x∈A

9


Nguyên lý ánh xạ KKM (Ky Fan, 1961) Cho C là một tập hợp trong
không gian vectơ tôpô Hausdorff X , F : C → 2X là một ánh xạ KKM với
giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A ⊂ C ta có:

F (x) = ∅.
x∈A

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, giả sử tồn tại một tập
n

F (xi ) = ∅. Đặt L là không gian

hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } trong C mà
i=1

con tuyến tính của X sinh bởi {x1 , x2 , ..., xn } và d là một khoảng cách trên

L tương thích với tôpô cảm sinh từ X . Kí hiệu ∆ = co {x1 , x2 , ..., xn }.
Đặt G(xi ) = F (xi )

d(x, G(xi )).
n

L, i = 1, 2, ..., n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi (x) =
n

F (xi ) = ∅ nên

Vì
i=1

G(xi ) = ∅. Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại một i
i=1

sao cho x ∈
/ G(xi ), suy ra αi (x) > 0 do G(xi ) đóng. Vậy ta có thể đặt

µi (x) =

αi (x)
n

,x ∈ ∆

αj (x)
j=0
n

Các hàm µi đều liên tục và 0 ≤ µi (x) ≤ 1,

µi (x) = 1 với mọi x ∈ ∆.
i=1

n

µi (x)ui , do ∆ lồi ta được một ánh xạ liên tục T : ∆ → ∆ ⊂ L

Đặt T x =
i=1

với L hữu hạn chiều.
Theo định lý Brouwer, tồn tại x∗ ∈ ∆ mà x∗ = T x∗ . Đặt I = {i : µi (x∗ ) > 0},
ta được

x∗ = T x∗ =

µi (x∗ )ui ∈ co {ui : i ∈ I} ⊂
i∈I

Fi vì F là ánh xạ KKM.
i∈I

Mặt khác, vì với mọi i ∈ I ta có αi (x∗ ) > 0 nên x∗ ∈
/ G(xi ). Vì x∗ ∈ L
nên x∗ ∈
/ F (xi ) với mọi i ∈ I , tức là x∗ ∈
/

F (xi ), ta gặp mâu thuẫn,
i∈I

vậy nguyên lý được chứng minh.
Để ý rằng trong nguyên lý trên ta chỉ khẳng định

x∈A F (x)

= ∅ với

mọi A hữu hạn trong C . Tính chất này thường được phát biểu là "họ
10


{F (x) : x ∈ C} có tính chất giao hữu hạn". Muốn có kết quả mạnh hơn:

x∈C

F (x) = ∅ ta phải thêm một trong hai giả thiết sau:

a) C là tập hợp hữu hạn, hoặc
b) tồn tại x0 ∈ C sao cho F (x0 ) compắc.
Khi đó chỉ việc thay mỗi F (x) bởi F (x) ∩ F (x0 ) ta được một họ tập hợp
đóng trong một tập hợp compắc. Lúc này, để ∩x∈C F (x) = ∅ chỉ cần đòi
hỏi tính giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C}.
Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, được sử dụng rộng
rãi trong giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minh
năm 1961.
Định lý 1.2.2. (Ky Fan, 1961 ) Cho X là không gian vectơ tôpô Hausdorff,

C là một tập hợp lồi, compắc trong X , f : C × C → R là một hàm số thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) f (x, y) tựa lõm theo x với mỗi y cố định;
ii) f (x, y) nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định;
iii) f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ C .
Khi đó, tồn tại y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C .
Chứng minh. Kết luận của định lý (gọi là bất đẳng thức Ky Fan) được
suy ra từ nguyên lý ánh xạ KKM như sau.
Với mỗi x ∈ C đặt F (x) = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0}. Vì hàm f nửa liên tục
dưới theo y nên F (x) là tập hợp đóng.
Ta sẽ kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng. Giả sử tồn tại x1 , x2 , ..., xn ∈
n

C và x ∈ co {x1 , x2 , ..., xn } mà x ∈
/

F (xi ). Khi đó
i=1

11


n

n

αi xi , αi ≥ 0,

x=

αi = 1.
i=1

i=1
n

Vì x ∈
/

F (xi ), i = 1, 2, ..., n nên theo định nghĩa của tập hợp F (xi ), ta
i=1

có
n

αi xi ) > 0, i = 1, 2, ..., n.

f (xi , x) = f (xi ,
i=1

Vì f (x, y) tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp {z ∈ C : f (z, x) > 0}
n

αi xi . Vậy ta có:

là lồi. Tập hợp này chứa mọi xi nên cũng chứa x =
n

n

αi xi ) = f (x, x) > 0, trái với điều kiện iii).

αi x i ,

f(

i=1

i=1

i=1

Vậy F là ánh xạ KKM.

F (x) = ∅. Lấy y ∗ ∈

Vì C compắc nên ta có
x∈C

x∈C

F (x) ta được

f (x, y ∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C . Định lý đã được chứng minh.

1.2.3

Các định lý điểm bất động

Trong mục này trình bày một số định lý điểm bất động nổi tiếng: Ky
Fan, Schauder, Tikhonov.
Định lý 1.2.3. (Định lý Ky Fan, 1961) Cho C là một tập hợp lồi, compắc
trong không gian định chuẩn X và T : C → X là một ánh xạ liên tục. Khi
đó tồn tại x0 ∈ C sao cho:

T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C}. (1)
Chứng minh. Với x, y ∈ C , đặt

f (x, y) = T y − y − T y − x .
Vì chuẩn là hàm lồi nên với mỗi y, f (x, y) lõm theo x. Vì T là chuẩn liên
tục nên với mọi x ∈ C, f (x, y) liên tục theo y . Hiển nhiên, f (x, x) = 0 với
mọi x ∈ C . Theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn tại x0 ∈ C sao cho
12


f (x, x0 ) ≤ 0 với mọi x ∈ C

Từ đây ta được T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C}. Định lý đã được
chứng minh.
Hai định lý sau là hệ quả của Định lý 1.2.3
Định lý 1.2.4. (Định lý Schauder, 1930 ) Mọi ánh xạ liên tục từ một tập
hợp lồi, compắc của một không gian định chuẩn vào chính nó đều có điểm
bất động.
Chứng minh. Trong 1) cho x = T x0 ta được T x0 − x0

= 0, tức là

T x0 = x0 và hệ quả được chứng minh.
Định lý 1.2.5. (Định lý điểm bất động Tikhonov,1935) Cho C là một tập
hợp lồi, compắc trong không gian lồi địa phương tách (X, P ), T : C → C
là ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động.
Trong chứng minh bổ đề KKM, tính đóng của các tập hợp {F0 , F1 , ..., Fn }
là bắt buộc. Điều bất ngờ ở đây là tính đóng có thể thay bằng tính mở.
Đó là nội dung của Định lý Shih mà ta trình bày dưới đây.
Định lý 1.2.6. (Định lý Shih) Cho C là một tập hợp lồi trong một không
gian vectơ tôpô tách, A là một tập con hữu hạn của C , G : A → 2C là một

G(x) = ∅.

ánh xạ KKM với giá trị mở. Khi đó,
x∈A

13


Chương 2
Bổ đề KKM trong không gian lồi

trừu tượng
Trong chương này, ta giả sử Y là tập khác rỗng, 2Y là kí hiệu tất cả các
tập con của Y và Y là kí hiệu lớp các tập con hữu hạn, khác rỗng của

Y.

2.1

Một số định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. Cho cặp (Y, C), C là một họ tập con của Y , được gọi
là cấu trúc lồi trừu tượng nếu:
1) ∅, Y ∈ C ;
2) C là đóng với giao tùy ý :

A ∈ C với mỗi họ D ⊂ C .
A∈D

Khi đó cặp (Y, C) gọi là không gian lồi trừu tượng.
Định nghĩa 2.1.2. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, bao lồi coC
được định nghĩa bởi:

coC (A) =

{D ∈ C : A ⊂ D}, ∀A ⊂ Y .

Định nghĩa 2.1.3. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con
của Y và cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. F được gọi là có giá trị lồi nếu
với mỗi x ∈ X , F (x) là lồi (nghĩa là với mỗi x ∈ X và tập con hữu hạn
14

bất kì {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ F (x), coC {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ F (x)). Cho Y là không
gian tôpô, F được gọi là có giá trị khác rỗng (tương tự, giá trị compắc)
nếu với mỗi x ∈ X , F (x) khác rỗng (tương tự, compắc).
Định nghĩa 2.1.4. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con
của Y và F : X → 2X là ánh xạ đa trị. F được gọi là có giá trị lồi yếu
nếu với mỗi x ∈ X và tập con hữu hạn bất kì {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ F (x),

coC {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ F (x) với mỗi x ∈ coC {y0 , y1 , ..., yn }.
Chú ý 2.1.1. Dễ thấy F có giá trị lồi thì F có giá trị lồi yếu.
Định nghĩa 2.1.5. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con
của Y .
i) F : X → 2X là ánh xạ KKM nếu với mỗi A ∈ X , F thỏa mãn

coC (A) ⊂

F (x).
x∈A

ii) F : X → 2X là ánh xạ Fan-Browder nếu F có giá trị lồi và có nghịch
ảnh mở tương đối trong X (F (x) là lồi với mỗi x ∈ X và F −1 (y) là mở
trong X với mỗi y ∈ X ).
iii) F : X → 2X là ánh xạ Fan-Browder yếu nếu F có giá trị lồi yếu và có
nghịch ảnh mở tương đối trong X .
Định nghĩa 2.1.6. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con
của Y .

X được gọi là có tính chất KKM (viết tắt là KKMP) nếu ánh xạ KKM
F : X → 2Y với giá trị đóng có tính chất giao hữu hạn (tức

F (x) = ∅
x∈A

với mỗi A ∈ X ).

X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder (viết tắt FBFP)
nếu với mọi ánh xạ Fan-Browder F : X → 2X với giá trị khác rỗng có
điểm bất động.

X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder mạnh (viết tắt
15


SFBFP) nếu với mỗi ánh xạ Fan-Browder yếu F : X → 2X với giá trị
khác rỗng có điểm bất động.
Định lý 2.1.1. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con
compắc của (Y, C). Khi đó, X là KKMP khi và chỉ khi nó là SFBFP.

2.2

Cấu trúc lồi trừu tượng

Phần này nghiên cứu cấu trúc lồi trừu tượng qua ánh xạ nửa liên tục
trên và thiết lập được một vài định lý tổng quát hóa của bổ đề KKM dựa
trên cấu trúc tính lồi này.
Cho N = {0, 1, 2, ..., n}, ∆n = e0 e1 ...en là đơn hình tiêu chuẩn n chiều,

e0 , e1 , ..., en

là cơ sở chính tắc của Rn+1 và với J ⊂ N , cho ∆J =

co ej : j ∈ J là một diện của ∆n .
Định nghĩa 2.2.1. Cho X , Y là các không gian tôpô, T : X → 2Y là
ánh xạ đa trị. T được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt u.s.c) (tương tự,
nửa liên tục dưới (viết tắt l.s.c)) tại x ∈ X nếu với mọi tập mở U trong

Y với T (x) ⊆ U (tương ứng, T (x)

U = ∅) tồn tại lân cận mở V của x

sao cho T (x ) ⊆ U (tương ứng, T (x )

U = ∅) với mọi x ∈ V .

T được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên X nếu T là nửa
liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm của X .

T liên tục tại x nếu T vừa liên tục trên vừa liên tục dưới tại x.
T được gọi là đóng nếu Gr(T ) = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x), x ∈ X} là
tập con đóng của X × Y .
Định nghĩa 2.2.2. Cho Y là tập compắc của không gian tôpô. Cho ∆n =

e0 e1 ...en là đơn hình tiêu chuẩn và cho q : ∆n → 2Y là ánh xạ đa trị. Nếu
với mỗi ánh xạ liên tục p : Y → ∆n (gọi là ánh xạ đơn hình), tồn tại

x0 ∈ ∆n sao cho x0 ∈ p.q (x0 ). Ta nói rằng q có tính chất điểm bất động
16

đối với ∆n và ánh xạ đơn hình p.
Bổ đề 2.2.1. Cho Y là không gian metric, và {F0 , F1 , ..., Fn } họ các tập
con đóng của Y . Nếu tồn tại ánh xạ nửa liên tục trên q : ∆n → 2Y sao
cho:

q(∆J ) ⊂

j∈J

Fj , ∀J ⊂ N = {0, 1, ..., n}

và q có tính chất điểm bất động đối với ∆n và ánh xạ đơn hình. Khi đó,
n

Fi = ∅.
i=0
n

Fi = ∅, kí hiệu βi : Y → [0, 1] bởi

Chứng minh. Giả sử
i=0

d(y, Fi )

βi (y) =

n

, i = 0, 1, ..., n, ∀y ∈ Y

d(y, Fi )
i=0
n

Khi đó với mỗi y ∈ Y, βi (y) ≥ 0 và

βi (y) = 1
i=0

Định nghĩa ánh xạ đơn hình p : Y → ∆n như sau:
n

p(y) =

βi (y)ei , ∀y ∈ Y

i=0

Cho q : ∆n → 2Y là ánh xạ nửa liên tục trên sao cho q(∆J ) ⊂

Fi , ∀J ⊂
j∈J

N = {0, 1, ..., n}, q có tính chất điểm bất động theo ∆n và ánh xạ đơn hình.
Khi đó, p.q : ∆n → ∆n có điểm bất động trong ∆n . Cho e ∈ ∆n và cho
∗

∗

n

e ∈ p.q(e). Khi đó, tồn tại y ∈ q(e) sao cho e = p(y ) =

βi (y ∗ )ei . Cho

i=1

I(y ∗ ) = {i : βi (y ∗ ) > 0, i = 0, 1, ..., n}. Cho i ∈ I(y ∗ ), ta có βi (y ∗ ) > 0 và
y∗ ∈
/ Fi khi đó y ∗ ∈
/

i∈I(y ∗ ) Fi .

Mặt khác,
∗

n

q(e) = q(p(y )) = q(

βi (y ∗ )ei ) = q(

i=0

βi (y ∗ )ei ) ⊂ coC {yi : i ∈ I(y ∗ )}

i∈I(y ∗ )

Vì vậy,

y ∗ ∈ q(e) ⊂ coC {yi : i ∈ I(y ∗ )} ⊂

Fi , điều này mâu thuẫn. Bổ đề
i∈I(y ∗ )

được chứng minh.
17


Định nghĩa 2.2.3. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng. Nếu với mỗi
tập con hữu hạn {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ Y và đơn hình tiêu chuẩn ∆n = e0 e1 ...en ,
tồn tại ánh xạ đa trị q : ∆n → 2Y sao cho:

q (∆J ) ⊂ coC {yj : j ∈ J}, ∀J ⊂ N = {0, 1, 2, ..., n}
q có tính chất điểm bất động đối với ∆n và ánh xạ đơn hình. Khi đó (Y, C)
được gọi là có tính chất H q .
Định lý 2.2.1. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con của

Y . F : X → 2Y là ánh xạ KKM với giá trị đóng. Nếu Y là không gian
metric và (Y, C) có tính chất H q thì {F (y) : y ∈ X} có tính chất giao hữu
hạn.
Chứng minh. Cho tập hợp con hữu hạn {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ X . Ta chứng
n

F (yi ) = ∅. Từ F là ánh xạ KKM ta có:

minh
i=0

coC {yj : j ∈ J} ⊂

F (yj ), ∀J ⊂ N = {0, 1, ..., n}
j∈J

Chú ý rằng (Y, C) có tính chất H q . Khi đó tồn tại một ánh xạ đa trị

q : ∆n → 2Y sao cho:
q (∆J ) ⊂ coC {yj : j ∈ J}, ∀J ⊂ N = {0, 1, 2, ..., n}
và q có tính chất điểm bất động đối với ∆n và ánh xạ đơn hình.
Vì vậy:

q (∆J ) ⊂

F (yj ), ∀J ⊂ N = {0, 1, ..., n}
j∈J

n

F (yi ) = ∅ bằng cách sử dụng {F (y0 ), F (y1 ), ..., F (yn )}

Từ bổ đề (2.2.1) ta có
i=0

thay cho {F0 , F1 , ..., Fn }.
Bổ đề 2.2.2. Cho Y là tập compắc của không gian tôpô và ∆n = e0 e1 ...en
là đơn hình tiêu chuẩn. Nếu p : Y → ∆n liên tục và ánh xạ q : ∆n → 2Y
18

là nửa liên tục trên với giá trị khác rỗng, đóng và co rút được, khi đó tồn
tại e ∈ ∆n sao cho e ∈ p.q (e). Khi đó, q có tính chất điểm bất động đối
với ∆n và ánh xạ đơn hình.
Hệ quả 2.2.1. Cho Y là không gian tôpô compắc hoặc không gian metric.
Cho {F0 , F1 , ..., Fn } là họ các tập con đóng của Y . Nếu tồn tại ánh xạ nửa
liên tục trên q : ∆n → 2Y có giá trị khác rỗng, đóng và co rút được sao
n

cho q (∆J ) ⊂

Fi = ∅.

Fi , ∀J ⊂ N = {0, 1, ..., n}. Khi đó,
i=0

i∈J

Định nghĩa 2.2.4. Cho (Y, coC ) là không gian lồi trừu tượng. Nếu với mỗi
tập con hữu hạn {y0 , y1 , ..., yn } ⊂ Y và đơn hình tiêu chuẩn ∆n = e0 e1 ...en
tồn tại ánh xạ nửa liên tục trên q : ∆n → 2Y với giá trị khác rỗng, đóng
và co rút được sao cho:

q(∆J ) ⊂ coC {yj : j ∈ J}, ∀J ⊂ N = {0, 1, ..., n}.
Khi đó (Y, coC ) được gọi là có tính chất H0q .
Chú ý 2.2.1. Từ bổ đề (2.2.2) ta có nếu (Y, coC ) có tính chất H0q thì

(Y, coC ) có tính chất H q .
Từ Định lý (2.2.1) ta có trường hợp đặc biệt sau
Định lý 2.2.2. Cho (Y, coC ) là không gian lồi trừu tượng, cho X là tập con

của Y và cho F : X → 2Y là ánh xạ KKM với giá trị đóng. Nếu Y là không
gian tôpô compắc và (Y, coC ) có tính chất H0q . Khi đó, {F (x) : x ∈ X} có
tính chất giao hữu hạn và vì vậy X có tính chất điểm bất động Fan-Browder
mạnh.

19


Chương 3
Nguyên lý KKM suy rộng và các
định lý điểm bất động chung
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng và
đồng-KKM suy rộng, sử dụng nó để nghiên cứu các định lý điểm bất động
chung cho họ ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta có một số chú ý sau

3.1

Một số chú ý

Định nghĩa 3.1.1. Cho X là tập khác rỗng tùy ý và Y là tập con khác
rỗng của không gian vectơ E . Ánh xạ đa trị T : X → 2Y gọi là ánh xạ
KKM suy rộng nếu với bất kì tập con hữu hạn khác rỗng {x1 , x2 , ..., xn }
của X tồn tại tập hữu hạn {y1 , y2 , ..., yn } ⊆ Y sao cho co {yi : i ∈ I} ⊆
i∈I

T (xi ) với mỗi tập con khác rỗng I của {1, 2, ..., n}.

Bổ đề 3.1.1. Cho X và Y là không gian tôpô Hausdorff, T : X → 2Y là
ánh xạ đa trị.

i) Nếu T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng khác rỗng thì T
đóng;
ii) Nếu Y là không gian compắc và T đóng thì T là nửa liên tục trên;

20


iii) Nếu X là không gian compắc và T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên
với giá trị compắc, khác rỗng thì T (X) là compắc.
Bổ đề 3.1.2. Cho X và Y là không gian tôpô, T : X → 2Y là ánh xạ
đa trị. Khi đó T là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu và chỉ nếu với bất
kì y ∈ T (x) và lưới bất kì {xα } trong X hội tụ đến x, tồn tại một lưới

{yα }α∈Λ , yα ∈ T (xα ) với mọi α ∈ Λ với yα → y .
Định nghĩa 3.1.2. Cho X là tập con lồi khác rỗng của không gian vectơ
và V là một không gian vectơ. Cho F : X → 2V là ánh xạ với giá trị
khác rỗng. Khi đó F là {0}-tựa lồi (tương ứng {0}-giống tựa lồi) nếu với

x1 , x2 ∈ X và x ∈ co {x1 , x2 } chúng ta có hoặc F (x1 ) ⊆ F (x) (tương ứng
F (x) ⊆ F (x1 ) hoặc F (x2 ) ⊆ F (x) (tương ứng F (x) ⊆ F (x2 )).
Bổ đề 3.1.3. Cho X là tập con lồi khác rỗng của không gian vectơ. V
là không gian vectơ. Cho F : X → 2V là ánh xạ đa trị với giá trị khác
rỗng. Khi đó F là {0}-tựa lồi (tương ứng {0}-giống tựa lồi) nếu với i ∈

{1, 2, ..., n} và xi ∈ X , nếu x ∈ co {xi : 1 ≤ i ≤ n}, thì tồn tại j ∈ I sao
cho F (xj ) ⊆ F (x) (tương ứng F (x) ⊆ F (xj )).
Định lý 3.1.1. (Định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg) Cho X
là tập con lồi compắc của không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương

E và F : X → 2X là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, compắc,

khác rỗng. Khi đó tồn tại x
¯ ∈ X sao cho x¯ ∈ F (¯
x).
Định nghĩa 3.1.3. Cho Y là tập khác rỗng, X là tập con khác rỗng của
không gian vectơ và T là họ các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng từ Y
vào 2X . Ta gọi T là đồng-KKM suy rộng nếu với mỗi tập con hữu hạn khác
rỗng {y1 , y2 , ..., yn } của Y tồn tại tập con hữu hạn {z1 , z2 , ..., zn } trong X
sao cho:
i) co {z1 , z2 , ..., zn } ⊆ X ;
21


ii) co {zi : i ∈ I} ⊆

i∈I

T (yi ) với mỗi tập con khác rỗng I của {1, 2, ..., n}

và mỗi T ∈ T.
Định nghĩa 3.1.4. Cho X là tập con khác rỗng, Y là tập con lồi của
không gian vectơ và T, S là hai họ ánh xạ với giá trị khác rỗng từ X
vào Y . Ta gọi S là KKM suy rộng đối với T nếu với bất kì họ con hữu
hạn khác rỗng {S1 , S2 , ..., Sn } ⊆ S, tồn tại {T1 , T2 , ..., Tn } ⊆ T sao cho

co(

i∈I

Ti (x)) ⊆

i∈I

Si (x) với mỗi tập con I khác rỗng của {1, 2, ..., n}

và mỗi x ∈ X .

3.2

Nguyên lý KKM suy rộng và các kết quả chính

Bổ đề 3.2.1. Cho Y là tập khác rỗng và X là tập con đóng khác rỗng của
không gian vectơ E . Cho T : Y → 2X là ánh xạ KKM suy rộng với giá trị
đóng khác rỗng. Khi đó họ {T (y) : y ∈ Y } có tính chất giao hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử khẳng định trên là sai, khi đó tồn tại {y1 , y2 , ..., yn } ∈
n

n

T (yi ) = ∅. Khi đó, X =

Y sao cho
i=1
c

T c (yi ), với T c (yi ) = X \ T (yi ).

i=1

Rõ ràng, T (yi ) là tập con mở của X với mỗi i = 1, 2, ..., n. Đối với tập
con {y1 , y2 , ..., yn } đó của Y , vì T là ánh xạ KKM suy rộng nên tồn tại

tập con hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } của X với co {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ X sao cho

co {xi : i ∈ I} ⊆

i∈I

T (yi ) với mỗi tập con khác rỗng I của {1, 2, ..., n}.

Đặt B = co {x1 , x2 , ..., xn }. Khi đó, B là compắc và {T c (yi )

B}ni=1 là

phủ mở của B . Từ phân hoạch đơn vị, tồn tại hàm α1 , α2 , ..., αn sao cho:
1) αi : B → [0, 1] là liên tục với mỗi i ∈ {1, 2, ..., n};
2) Nếu αi (x) > 0, thì x ∈ T c (yi )

B;

n

αi (x) = 1 với mỗi x ∈ B .

3)
i=1

22