Chuyên đề tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa
A. Kiến thức cơ sở
1. Tìm một chữ số tận cùng
Để tìm một chữ số tận cùng của một lũy thừa ta cần chú ý rằng:
Các số có tận cùng là 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số
tận cùng:
n
(...0) n = ...0 (...1) n = ...1 ( ...5 ) = ...5 (...6) n = ...6 (n ∈ N *)
;
;
;
Với các số có tận cùng là 4; 9 có sự khác nhau khi ta nâng lên lũy thừa bậc chẵn
và lẻ
(...4) 2 n = ...6 (...4) 2 n+1 = ...4 (n ∈ N *)
;
2n
(...9) = ...1 (...9) 2 n+1 = ...9 (n ∈ N *)
;
(

-

-

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
17 2016 132016 8567 2424
;
;
;

24

HD:
•
•
•
•

17 2016 = (17 2 )1008 = (...9)1008 = ...1

132012 = (132 )1006 = (169)1006 = ...1
8567 = 8566.8 = (82 ) 283 .8 = (64) 283 .8 = (...4).8 = ...2
2424

là số chẵn nên

2424

24

có tận cùng là 6

Ví dụ 2: Tìm chữ số hàng tận cùng của
A=
HD:

152012 − 7 2012 + 182012
152012

. Hỏi A có chia hết cho 10 không?

có tận cùng là 5


7 2012 = 7 2.1006 = 491006

= …9

182012 = 182.1006 = (182 )1006 = (...4)1006 = ...6
Do đó A = (…5) – (…9) – (…6) = …0
Vì A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 10
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n
a) A =
b) B =

HD: a) Vì

92 n − 1
2

chia hết cho 5

4n

+ 4 chia hết cho 10 ( n

92 n

≥1

)

có tận cùng là 1 nên A có tận cùng là 0 do đó A chia hết cho 5
n

24 = 24.4

n −1

= (24 ) 4

n −1

= (16)4

n −1

= ...6

≥1
(n
)
Do đó B có tận cùng là 0 dẫn tới B chia hết cho 10

b) Ta có

2. Tìm hai chữ số tận cùng
+)

(...00) n = ...00

(...01)n = ...01 (...25) n = ...25 (...76)n = ...76
,
,
,

410 ;165 ;65 ;184 ;24 2 ;684 ;74 2
+) Các số

có tận cùng bằng 76
310 ;910 ;815 ;7 4 ;512 ;99 2

+ Các số
+) Mở rộng:

có tận cùng là 01
x100k + n

(x, k, n thuộc tập hợp số tự nhiên và khác 0) có hai chữ số tận cùng

giống với hai chữ số tận cùng của
Ví dụ

xn


62016 5151
1. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau:
,
HD: Ta đã biết

65

có tận cùng bằng 76 và số tận cùng bằng 76 khi nâng lên lũy thừa có

tận cùng là 76 do đó ta có :

62016 = 62015.6 = (65 ) 403 .6 = (...76) 403.6 = (...76).6 = ...56

Tương tự câu trên ta có
5151 = 5150.51 = (512 ) 25 .51 = (...01).51 = ...51
2. Tìm hai chữ số tận cùng của

512 n 512 n+1 n ∈ N *
a)
,
(
)
66

65n ,65n+1 ,666 ( n ∈ N *)
b)

HD: a/

512 n = (512 ) n = (...01) n = ...01

512 n+1 = 512 n.51 = (...01).51 = ...51

b/

65n = (65 ) n = (...76) n = ...76

65n+1 = (65 ) n .6 = (...76)n .6 = (...76).6 = ...56

66 là số chia 5 dư 1 nên khi lũy thừa 66 lên cũng là một số chia 5 dư 1 do đó
số có dạng 5n+1 . Vậy

666

66

có tận cùng là 56.

3. Tìm ba chữ số tận cùng

(...001) n = ...001

,

(...376) n = ...376

(...625)n = ...625 n ∈ N *
,
(
)

6666

là

Mở rộng:

x1000k + n

(x, k, n thuộc tập hợp số tự nhiên và khác 0) có 3 chữ số tận cùng

giống với ba chữ số tận cùng của

xn

Ví dụ:
1. Tìm ba chữ số tận cùng của
a)
b)

HD: a/
b/

52000
23n.47 n

52000 = (54 )500 = (625)500 = ...625

23n.47 n = (23 ) n .47 n = 8n.47 n = (8.47) n = 376 n = ...376
2. Chứng tỏ rằng

a/
b/

54

n

+375 chia hết cho 1000 (

2001n + 23n.47 n + 252 n

n∈ N *

1. Tìm hai chữ số tận cùng của:
a)

n >1

có tận cùng là 002 (

Bài tập
3512011

,

)
n ∈ N *, n > 1)


b)
c)
d)

218218
992 n

99

99
992 n+1 99 (n ∈ N *)
,
,

799

2015
22003 7
e)
,
66
57

f)

2. Tìm hai chữ số tận cùng của

A = 3999 − 2999

3517

3. Tim số dư của phép chia
cho 25
4. Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :

a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003
5. Tìm ba chữ số tận cùng của

23n+3.47 n+ 2 n ∈ N *
(
)