Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

CHU
CHU THỊ
THỊ HỒNG
HỒNG

Lòi
Lời cảm
cam ơn
đoan

BÀIxin
TOÁN
ĐIỀU
KHIỂN
TỐI
ƯU
TOÀN
PHƯƠNG
MÔ
TẢ
BỞI
HỆ
Luận
Tôi
văncam
được
đoan,
thựcKHIỂN

dưới
hiệnsựvàTỐI
hướng
hoànƯU
thành
dẫn
của
dưới
PGS.
sự hướng
TS. TạMÔ
dẫn
DuyTẢ
khoa
Phượng,
họcHỆ
của
luậnPGS.
văn
BÀI
TOÁN
ĐIỀU
TOÀN
PHƯƠNG
BỞI
PHƯƠNG
TRÌNH
VI
PHÂN
ĐẠIơn

SỐ
TUYẾN
TÍNH
TS.
chuyên
Tạ Duy
ngànhPhượng.
Toán
giải
Tôitích
xin
với
được
đềVI
tài:
gửi
Bài
lời cảm
toán
điều
sâu
khiển
sắc đến
tối
Thầy
ưu toàn
hướng
phương
dẫn
PHƯƠNG

TRÌNH
PHÂN
ĐẠI
SỐ
TUYẾN
TÍNH
khoa
mô tảhọc
bởicủa
hệ mình,
phương
người
trìnhđãvigiao
phânđềđại
tài số
và tuyến
tận tình
tính
hướng
đượcdẫn
hoàn
trong
thành
suốt
bởiquá
sự
trình
nhận tìm
thứchiểu,
và tìm

nghiên
hiểu cứu
của bản
để tôi
thân
có tác
thể giả.
hoàn thành luận văn này.
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số:
Trong dịp
quánày,
trìnhtôi
nghiên cứu
và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết
Nhân
60cũng
46 01xin
02 chân thành cảm ơn tới toàn thể các Thầy Cô giáo
quả của
cácđặc
nhàbiệt
khoalàhọc
với sự
ữân trọng
biếttích,
ơn. Phòng Sau đại học, trường
khoa
Toán
chuyên
ngành

Toán và
Giải
Đại học Sư phạm Hà Nội
Nội,2tháng
đã giảng
6 năm
dạy2015
và giúp
Người
đỡ tôi
thực
trong
hiệnsuốt quá trình học
tập và nghiên cứu tại
trường.
LUẬN
VẴN THẠC SĨ TOÁN HỌC
LUÂN VĂN THAC Sĩ TOÁN HOC
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình
và thực hiện luận văn này.
Chu học
Thị tập
Hồng
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Ngưìri thực hiện

Chu Thị Hồng
HÀ NỘI, 2015

2

Mục lục

Danh mục kí hiệu và viết tắt

4
5

Mỏ đầu
Bài toán điều khiển tối ưu vối hàm mục tiêu toàn phương mô tả bỏỉ
hệ phương trình vi phân thưòng tuyến tính

8

1.1 B ài toán điều khiển tối ưu ................................

8

1.1.1

Các khái niệm cờ bản .........................

8

1.1.2

Bài toán điều khiển tối ưu ...................... 16

1.1.3

Nguyên lí cực đại Ponưyagin .................... 22

1.2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả

bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính ..............................................
1.2.1

25

Bài toán điều khiển tối Ưu với hàm mục tiêu toàn phương
mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.2.2 Phương ưình Riccati

25
26

2 Bài toán điều khiển tối ưu vói hàm mục tiêu toàn phương mô tả bỏỉ
hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

33

2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả
bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
2.1.1

Các khái niệm cd bản

2.1.2

Đ
iều kiện cần
và đủ tối Ưu

34
34
44


811
10
12
14
16
13
15
9
3765 4
đúng
vói
mọi
€bằng
(a,
b).
Cho
tập
và
họ
T cột
các

tậpmãn
của
Xữchặn
.G X,trận
thỏa
mãn
thức
Định
nghĩa
Cho
E,F
€tục
L{\Rm).
Cặp
ma
(E,
F)
được
gọi
chính
quy
nghĩa
1.1.24.
Toán
tử
tuyến
tính
bịxkhắp
A
xạ

không
gian
Hilbert
H
hếtNếu
mọi
rxạ
aXhệ
n/ Xkđược
ẽ1.1.6.
(Ф
A,
Aí, )0rhay
được
số
thỏa
hoặc
số
hầu
dòng
của
A
nơi
thìánh
trên
A
A
nếu
gọi
là

tập
cólà
hạng
B cho
c đầy
Avới
sao
Ánh
gọi
là
liên
tạicon
điểm
nếu
Veđược
> 0,
3Ổcó
>
0,
sao
51
m
nếu
3A
sao
cho
((X)
Xtự
+Fổhợp

)thỏa
Ỷ 0+
đủ.
vào
cho
chính
—nó
0d+
gọi
và
liên
nếu
mãn
A\B.
mọi
X/i
e(B)
X+mà
id( xaea,tklà
X
oEđược
)0,
thì
dra
ỵNếu
ựkhi
ịvới
x det(AE
)và
,mọi

f chỉ
{ X
o khi
) e) F
<) -= 0 với mọi A thì cặph àma
aiXị
...
x
=
xảy
k của
s
ố
X
(t
)
2.3
Nghiệm
bài
toán
điều
khiển
Định
nghĩa
1.1.13.
(0,
p.
30)
T
được

gọi
là
một
ơ
—
đại
số
nếu
nó
thỏa
mãn
các
Tìm hiểu và trình bày lí thuyết hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính, chủ yếu
• Ví
tối
ưu
với
điều
khiển
liên
trận
(dụ
Etrận
, fF( /x)vuông
gọi
làtục
suy
biến.
Ma
)được

= là
gtục
(có
xvăn
)tuyệt
hạng
hầu
đầy
khắp
đủ
nơi
là
trên
A trận
có
nghĩa
không
là
suy
3tục
B
biến.
ctạiAviên
, /i (5)
= 0Xvà
dựng
Luận
thành
một
tài

liệu
tổng
quan
cho
sinh
và
học
viên
Ánh
xạ
gọi
liên
trên
tập
Аmột
с=hệ
X£ma
nếu
ánh
xạ tốt
/ liên
mọi
điểm
e
fđiều
£Xây
(s)ds
/à /ỉ'ên
(í)
khắp

nơi.
55
kiện
ngược
( Ađối
x , và
y )i x'
==(í)a{ 2X
, Ay
) hầu
, aVa;,
O
l
=
...
=
theo
Tài
liệu
Ũ3n = y0.G H .
T
Tập
hợp
các
ma
trận
dạng
(XE
+
F)

được
gọi
là
chùm
ma
trận.
Vx
A
\
B
,
f
(
x
)
=
g
{
x
)
.
cao
học
đề
tàiánh
Bài
toán
điều
khiển

tối
ưumục
toàn
phương
mô tả(hay
bởi
hệtảphương
A. Khi
А1về
=
X1.1.10.
thì
xạ
/ được
liên
tục.
Chương
Bài
toán
điều
khiển
tốigọi
ưu
với
hàm
tiêu
toànchuẩn
phương
mô
Định

nghĩa
([GO,
p.
57)
Talà
gọi
không
gian
định
không
gian
2.3.1
Điều
khiển
tối
Ưu
liên
hệ
ngược
55
Tìm
hiểu
và
trình
bày
bài
toán
điều
khiển
tối ưu

với
hàm
mục
tiêu
toàn
phương
HệDanh
vectơ
Xi,
X2,Xk
được
gọi
là
phụ
thuộc
tuyến
tính
nếu
nó
không
độc
lập
tuyến
Ta
nói
hàm
X
=
(#1,
£2,

•••,
x
—»■
Mn
là
đo
được
và
khả
tích
nếu
Mỏ
đầu
n ) : (a,b)
mục
kí
hiệu
và
viết
tắt
(i) X,
0 GtửT.tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Toán
trình
phân
thường
và
phương
trình
vi phân

đại
số
tuyến
tính
không
gian
bỏi
hệ vi
phương
trình
vỉ
phân
thường
tuyến
Định
nghĩa
1.1.7.
Cho
ẢNghiệm
là
ma
vuông
cấp
n,
ma
A
gọi
là
trận
khả

tuyến
tính
định
chuẩn)
là
không
gian
tuyến
tính
Xgọi
trên
trường
pữong
(P
=ma
Rrộng
hoặc
pđo
1.1.19.
ánh
từđại
một
X vào
tập
các
số
thực
mở
Ш
58

=
2.3.2
Định
nghĩa
1.1.17.
Một
hàm
f :/trận
X
—)■
Rtính
được
làtrận
hàm
đơn
giản
nếu
nó
mô
bởi
hệ
phương
trình
vi
phân
số tập
tuyến
tính
theo
AU.

tính.
mỗitảhàm
số
Xị
: (a, Một
ò)
—>
Mxạ
là
đo
được
và
khả
tích.
Và
theo
định
nghĩa,
của
hệ
phương
c
hạn
chiều.
(ii)hữu
Ả £cùng
Tvà
=>■
€tại
T,

ưong
đó
Avuông
X\A.
nghịch
nếu
tồn
ma
trận
B
cấp
saofR,
BAll-ll
trận
C)
vớiA°
một
ánh
xạ
từ
Xhàm
vào
số nthực
hiệu
là
đọc
chuẩn,
n làlàma
1.1.2
Bài

toán
điều
khiển
tối
ưusốtậpthực
MU
{±00}
được
gọi
là
một
nếu
(cho
x )kíсAB
Ш=tức
là=f E
(và
xn )(E
không
lấy
63
các
được
chỉ
nhận
trình
hữu
hạn
giá
DAE

trị.
2.3.3
Định
nghĩa
1.1.3.
Ma trận
chuyển
vị của ma trận A cấp m X n được kí hiệu là A*
Riccati
Nghiệ
í
X
(t)
dt
=
(
í
Xi
(t)
dt,Ị
xn
(t)dt
\.
1.
Lí
do
chọn
đề
tài
3. Nhiệm

vụ
nghiên
cứu
đơn
vịkí
cấp
n2.3.4
).hàm
thỏa
các
tiên
đềsốsau
đây:gọi ''S
hiệu
thường
dùng
Ja
a hạn. Một hàm
Ja số hữu hạn
' và liên tục theo
giáCác
trịmãn
±00
thì
được
làGhữu
64
Phư
m
(iii)

A
T,
к
=
1,2,...
=>иđo
Athường
T. không
Xét
hệ
phương
trình
phân
là
ma
trận
có
cột
thứ
jlàlàvi
hàng
thứ
ma trậnâm
A (jthì
= 1,2,...,
m).
k
k j của
1.1 Định

Bài
toán
điều
khiển
tối
ưu
lý
1.1.1.
Nếu
f
hàm
được,
tồn
tại
dãy
các
hàm
đơn
ơng
trình
củaCho không gian meữic M = (X, d). Tập
ĐịnhGAnghĩa
1.1.21.
Nếu
là: ma
trận
khả\\x\\
nghịch
ma
Bkíthỏa

mãn
điều
kiện trên
là duy nhất,
(1) Va;
X
ỊỊa^ll
>Riccati
0,
=vàgọi
0 toán
^thì
X k=
=16 trận
(6
làliên
hiệu
phần
tử
không
của
X);
nghĩa
ánh
xạ
liên
tục
được
là
hàm

số
tục.ưu
bài
Do
yêu
cầu
thực
tiễn,
bài
điều
khiển
tối
mô
tả toàn
bởi(symmetric
hệ
phương
trình
vi
Nghiên
cứu
bài
toán
điều
khiển
tối
ưu
với
hàm
mục

tiêu
phương
mômatrix)
tả bởi
Định
nghĩa
1.1.4.
Ma
trận
A
được
gọi
là
ma
trận
đối
xứng
giản,
không
âmniệm
fn
sao
cho
: Không
gian
Euclide
m chiều X*:
luận
1.1.1Kết
Các

khái
cơ
bản
hệ
67
toá
x
'
=
/
(
t
,
x
)
,
í
Ễ
(a,
b
)
c
M,
X
e
№n,
(1-1)
T làlàGma
ơ—
đại số

các
tập
của£ XX matrix)
thì
(X,
được
gọikílàhiệu
một làkhông
và Nếu
Be gọi
nghịch
đảo
(inverse
của
ma
trận A,
A~ l .
(2) Va:
X,Va
p :trận
IIo;rr|Ị
=
||x||;
B \a\
(x,
r)con
:=
{x
: d cặp
(x, đã

x)
< F)
r}được
nHamilton
phân
thường
đã
được
nghiên
cứu
khá
ưọn
vẹn
và
đạt
các
kết
quả
cơ
bản,
Định
nghĩa
1.1.20.
Hàm
X
:
(a,
b)
—>
Rn

được
gọi
là
liên
tục
tuyệt
đối,
nếu
với
hệ
phương
trình
vi
phân
thường
trong
không
gian
hữu
hạn
chiều.
nếu AKhông
= A*.gian hệ
liên
hợpYcủa
X detA:
Định
l X,
1A
Định

nghĩa
1.1.1.
Cho
là
hai
không
gian
vectơ
trên
trường
số
thực
K.
A
:
X
gian
đo
được
và
mỗi
tập
G
T
được
gọi
là
tập
đo
được

(đo
được
với
T
hay
}7
Vậy
có
AA~
= A~(z)
E n(z),
. lim f n (X) = / (z), \/x e A.
(3) V
x , |ta
/ €luôn
l : ||z
+ y\\
Ị|xỊỊ
+ đại
||y|Ị.
>= /n
đón
điển
hình
là
nguyên
lí
cực
Pontryagin

và
phương
pháp
qui
hoạch
động.
Cũng
68
được
gọi
là
hình
cầu
mở
tâm
X
G
X
bán
kính
r.
Mọi
tập
chứa
hình
cầu
mở
tâm
X
mỗi

£thức
>
0
tồn
tại
số
ố
>
0
sao
cho
với
mọi
hệ
hữu
hạn
khoảng
đôi
một
không
cắt
Tài
vớiMa
liệu
điều
tham
kiện
ban
khảo
đầu

n—>00
Nghiên
cứu
hệ
phương
trình
vi
phân
đại
số.
trậncủa
A =ma
(ữý)
là Ađối
xứng tử
khiđồng
và chỉ khi nó là ma trận vuông và (a)ịj =
trận
I:tuyến
Toán
g
—>
Y
được
gọi
là
ánh
xạ
tính
từ

X
vào
Y
nếu
thỏa
mãn
điều
kiện
—Ta
đothấy
được).
rằng gọi
A khả
nghịchcủa
khi véctơ
và chỉX.
khiTaAcũng
không
suy
(tứcgian
là detA
0).
Số
II
a:||
được
là
chuẩn
kínghệ,
hiệubiến

không
định7^chuẩn
do
yêu
cầu
của
kĩlàđược,
thuật,
khoa
học
và
công
bắt đầu
năm
bán
rmọi
>bài
0là
được
gọi
lăn cận
của
X €thì
X trong
không
gian
M. từ những
vậy,
nếu
f

hàm
đo
không
âm
ta
định
nghĩa
Nghiên
cứu
toán
điều
khiển
tối
ưu
với
hàm
mục
tiêu
toàn
phương
mô
tả
bởi
(nhau
a )những
jkính
ịnhất
với
i
,

j
.
(toán tử đơn vị)
X
1
1
x
(
t
)
=
x
,
t
e
(
a
,
b
)
.
(1.2)
ữ
0
0
(ak:h)
С=là
(а,
6),
к, =với

1,2,
A (AB
a xgọi
)cũng
a hệ
Akhả
( xtiên
)nghịch
mọi
Nếu
A,
B tiên
khả nghịch
thì
và {XAeBX),~a e= R,
B~ A~ .
là
X.
Các
đề
trên
được
đề
chuẩn.
1980,
phương
trình
vin phân
đại
(Differential-Algebraic

Equations)
mô tả
các
Định
nghĩa
1.1.14.
Độ
đo
ịiN
T số
—Ï
]R+
làxác
mộtđịnh
hàmvectơ
tập xác
định
đạigọi
số
hệ
phương
ữình
vinchuyển
phân
đại
số
tuyến
tính.
Ma
trận

A
cấp
X
gọi
là
ma
trận
nửa
dương
ịsemỉ-positỉve
Định
nghĩa
1.1.22.
Một
tập
c :trong
một
không
gian
thực
hay trên
phứcơ—
được
A*:
Ma
trận
vị
A
A(pc
+

y)
=
A
ị
x
)
+
A
(
y
)
,
với
mọi
X
,
y
€
X
.
CÓthống
tổng
độ
dàitạp
nhỏ
hơn
ổcơ
: học( người
b ỵ , a ỵmáy,
) < ổhóa

, bất
đẳng
thức sautàu
được
mãn:
nghĩa
1.1.8.
(ta,
p.
589-590)
hệ
phức
học,
vũ thỏa
trụ,...)
đã
TỞlồi
trên
Xx được
và 1.1.11.
mãn
các
tính
chất
sau:
Định
X
làbằng
gian
định

vàđiều
{^n}nỄN
là dãy
các phần
đây
)thỏa
CkíR
, (trong
aCho
có
thể
bằng
+oo,
G
mở
trong
Rn
definite)
bởi
A
>không
0, —
nếu
x*Ax
> thể
0chuẩn
với
mọi
X £khiển
Rn.là tập

là
fc=1
Anếu:
~(a,
: bToán
tửhiệu
ngược
của
ma
trận00,
A 6 có
nghĩa và
1.1.2.
ChovỉXnghiên
i , X 2,€
Mn, ]Rn là không gian vectơ
trên trường số
m cứu
m
4.1)Định
Đối
tượng
phạm
,dãy
b№etrên
c Ta
=thế
$gọi
■giới.
ahội

a ưận
+Bài
—G
cc)
bRG
. Xn)tối
Cho
ma
trận
M
G nL(M.n,
).gọi
ma
M~
L (dương
, c№
mavới
trậnhàm
nghịch
được
nghiên
cứu
mạnh
mẽ
toán
điều
khiển
ưu
mục
ịi (А)

>trận
0X.với
mọi
АX€naT\
tử
trong
Ta
nói
rằng
{^n}nSN
tụ(1
theo
chuẩn
đến
£làX,
N
Ma
A
cấp
được
là
ma
trận
xác
định
(positive
M n m (R): Tập các ma trận n hàng, m cột với các hệ số trong R Kdefinite)
erf:
D
=

(a,b)
X
G
c
E
X
thực.
Khi
đó
^inverse
2thì
\phương
\ x (matrix)
b k ) trình
- X của
(ữjfc)||
Nếu suy
f là rộng
hàm
đo
được
bất
đảo
(generalized
M
nếu
thỏasốmãn
điềutính
kiệnđã
toàn

phương
mô
bởikỳ
hệ
phân
tuyến
2) tiêu
Tập
hợp
rỗng
có
độ
đo0,tả
bằng
fl
(0)
=mọi
0;£ vi
Tập
hợp
các
điểm
có
dạng
akhông:
a
+
(
ĩ
—

a
)
b
ctoàn
0f ( đại
<
1 được
là được
đoạn
được
kítoán
hiệu
bởi
A
>
nếu
>
0
với
x
—>■
X
Hạt
nhân
củakhiển
ánh
xạ
tuyến
tính
K

e
r
f
=
{
xX
G^với
X0.\phương
x )a=f :gọi
Ảnh
Bài
điều
tối
ưuvới
hàm
mục
tiêu
mô
tảI m
bởi
hệ
phương
n
£
.
k=
1
Tổ hợp tuyến tính trên E của X i , X 2, Xỵ là

nghiên
cứu
thếtục
(Nga,
Đức,...)
cố
quyết
(xem,
thí
3) một
ịẤ
làsố
ơ—
tính
tức
+ cộng
Hàm
f nối
:phân
xác
định
liên
:tập
=f ~
1tx
aX
: . } tuyến
thẳng
với
b.a xCó

thể
lồi
nó
mọi
đoạn
thẳng
fnhóm
(DaMa
t )Rn
:=
m
{và
ftính
(là
t và
)trên
,Iđịnh
0}
0,{giới
(\mở
)là
=
mnếu
a. xgắng
{ tính
- f chứa
( tgiải
> 0.
ánh
xạ

tuyến
m
f >=nghĩa
f4(trên
xvi’một
) a phân
G
Ytập
€:D
trình
vi
thường
phương
trình
đại
số
.) , 0}
Ví
dụcủa
1.1.
trận
^
^
^
^
5
7
^
0
nếu

x
ị A
ịX
ẽ:: (a,
J( a- ,+
=—>■
2G, k>
. được
. . với
^ hệ k.
VíMột
dụ 1.3.
Hàm
x(.)
]Rn
thỏa
mãn
OiiXi
+ 1,
OLk
Oíịđiều
K,kiện
* =Lipschsitz
1,2,...,
hàm
khả
vi
,b)
bI...
)—>

gọi
làGnghiệm
của
phương trình vi
dụ
[01,
=gian
>(.Ы
= ánh
Ес№
Ta
có
nốitíu,
hai
điểm@).
bất kì
củaS*nó.
L(Mn,
Mm)
: Không
các
xạ
tuyến
tính
liên
tục
từ
№n
tới №m
lim

||x
—
xn||
=
0.
и A^T không
Vi=i
; /+ (í) —
^ f~ (t).
cũng
là
các
hàm
đo
được,
âm
và
ta
có
f(t)
=
M
~
M
M
~
=
M
~
.

tất cả
các tổ
hợp\\x
tuyến
tính
của
Xị,■■■,
Xỵ nghiên
là một
không
gian đối
con thời sự
5. Tập
Phương
pháp
nghiên
cứu
Với
mong
tìm
hiểu
sâu
một
hướng
tương
^xác
t=1
(tị)
-ánh

XJĩl—>00
t2\:t1:t2
e (a,ò)
Một
/ muốn
định
tập
c=
vàtính
có
thể]Rn
lấy tới
giá
ữị
+00
được
gọi là
2))||
=
( Xitrên
xcác
^6)
4(íhơn
(lồi
?về
+cứu
4^2
>(Ịl.lỊ
0 )thì
2 )một

Lít(nhất
Rhàm
n): x*Ax
Không
gian
xạ
tuyến
L 2 [a,
b]:
Nếu
các
phân
f )thỏa
f + d/Ầ,
/từf ~hệ
d ịphương
i , là]Rn
số
hữu
hạn
định
phân
(Ịl.lỊ
)một
ưêntrong
khoảng
(a,tích
nếu
nó
mãn

trình
vớitamọi
Địnhgọi
nghĩa
1.1.12.
Cho
ui ,khiển
làxmột
tập
mởmô
trong
Mn
vàbởi
/ : u —¥trình
Km.viHàm
/ thường
được
là
s
p
a
n
của
X
ỵ
,
được
xác
định
A

A
2 , Xtối
hiện
nay
là
bài
toán
điều
ưu
tả
bởi
hệ
phương
phân
dx
Íí)
Định
nghĩa
1.1.15.
Cho
không
gian
metric
một ơ— đại số F với độ đo ụ, và
hàm
Ví
dụ
1.2.
Không
gian

các
hàm
trên
[a,
b]X,
Vậy
Alồi
lànếu:
ma
trận
xác(chọn
định
dương.
t €liên
(a,
6),
tức
là
—y—
= fkhả
( t=, xtích
(t))
đúng
với
moi tkhiển
€ (a, 6).
nghĩa
Thu
thập
các

tàiđối
liệu
liên
quan
tới
Bài
toán
điều
tối dt
ưu với hàm mục tiêu
là
tục
tuyệt
ỏ
—
).
được
gọi
là
khả
vi
tại
điểm
a
=
(ữi,
Ũ2,an)
G
ư
nếu

tồn
tại
một
và
phương
trình
phân
đại
số,
tôi
chọn
đề
tài
Bài
toán
điều
ưu
s
p
a
n
ị
x
1
x
,
X
ỵ
}
:

{
x
=
a
\
X
\
+
.
.
.
+
a
ỵ
X
ỵ
: « ịkhiển
ẽánh
Mthực
,xạ
ĩtối=và
l hai
, 2toàn
r.kí. ,
2 vi
một
tập
A
G
F.

Kí
hiệu
]R
=
]RU{±oo}là
tập
gồm
tất
cả
các
số
x nghiệm
Định
lý[&a1.1.3.
(Định
lý
tồn
tại
của
phương
ữình
vif phân)
+
C
,
b
]
:
Không
gian

các
hàm
liên
tục
trên
đoạn
[a,
6]
L
/
Ma
trận
B=
(
J
o
)
,
z
=
(
ĩị
)
>
*
°
Ta
có
Ị
ĩdịi

=
/
f
d
f
i
Ị
ỉ
dịi,
a
,
b
c
,
0
<
a
<
l
=
>
/
(
q
o
+
(
1
—
à

)
b
)
<
a
(
a
)
+
(
1 — à) f
toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi
phân.
A:}.
Chọn
=
có,—>
hàm
liên
tục
tuyệt
đối
tục
đều
(a,t,blàm
) . luận
tuyến
tính
:tab]Rn
sao

phương
bởi
hệ phương
đại
sốXcho
tuyến
tính
văn cao
( bphân
)là. liên
Giả
sửN
f mô
: ,A
(1abtả
làtrình
hàm
Lipshitz
theo
đềutrên
theo
tức
A Mncác
A vi
A
hiệuc1
±00.
: ) X G —¥
[
a

]
:
Không
gian
hàm
khả
vi,
liên
tục
ữên
đoạn
[
a
, 6]là:điều khiển
x*Bx
=
{
x
x
0
)
(
s
)
=
0
1 thống
2 ) ( J
Phân
tích,

tổng
hợp
và
hệ
các
kiến
thức
liên
quan
tới
Bài
toán
do
M
MM
=
M
nên
M
là
ma
trận
nghịch
đảo
suy
rộng
của
M.
Tập các vectơ Xi, x 21., X\ \ ỵf ( ađược
tính trên R nếu

+ hgọi
) - f (làa )độc
- A (lập
h ) \tuyến
\
học.
Hàm
số
/
:
X
—>■
Ш
được
gọi
là
đo
được
trên
tập
A
đối xạ
vớikhông
ơ— đại
số Hilbert
T nếu
Định
nghĩa
1.1.23.
Cho

A
là
toán
tử
tuyến
tính
bị
chặn
ánh
gian
C^[a,
6]
=
{a?
c[a,
6] <
: Bphương
Ta ưu
nói
khả
tích
trên
nếu
[G
i c^a,
tồn
tại
hữu
hạn.
\\h\\

II/
(/ ttrận
, hàm
X ịB
)—
/ {€í™
ttrận
, Ax2)||
Lf xdỊỊíCi
—
x6]}
\\và
,bởi
Ví
ehệ
(a,
6)
,\/xi,x
G mở
c Mn.
tối
với
mục
tiêu
toàn
mô
phương
trình
phân
thường

2 tả
2 E vi
Vậy
ma
là
ma
nửafma
xác
định
dương.
«1,
Oi2,
Oíỵ
E
M
n của số hàng hoặc số cột
Định
nghĩa
1.1.9.
Hạng
của
trận
là
giá
trị
lớn
nhất
Đinh lý 1.1.2. (Lebesgue) NếuA hàm X : (a, b) —»• № là liên tục tuyệt đối trên
hay
X vào

không
gian
Hilbert
Y.số:Toán
tửtính.
ánh< xạ
không
Y vào không gian X
và
phương
trình
vicứu
phân
tuyến
Valàđại
€của
M
{xữận
€địa
Ẩ
:Bphương
f(x)
a}
G
T.[0, gian
2. Mục
đích
nghiên
độc
lập

tuyến
tính.
Hạng
ma
A
kí
hiệu
là
rankA.
Một
hàm
được
gọi
khả
tích
trên
+oo),
nó
khả
tích
Định
nghĩa
1.1.5.
Một
ma
trận
vuông
A
cấp
n

X
n
được
là
suy
biến
Khi
phương
trình
(ỊlTỊ)
duy
địa
phương
thỏa
mãn
điều
— ắp
f (a)nnhất
— Atrnghiệm
(/i)||
= £ò),
(h)đạo
ỊỊ/ì||
,nếugọi
(a,Các
bđó
),kíth
ì nóviết
khả
h+ầuh)CÓ

kh
ơi
ên (a,
hàm
x'(.)
của
nó
hiệu
tắtII/vi(a
gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu
Mamọi
trậnđoạn
A
G định
Mmxn
được
gọi
làbằng
cóNewton-Leibniz
hạng
đầy
đủcó
nếu
m n vàkhác
r a đại
n0k được
(số
A )T
trên

hữu
hạn.
(singular)
nếu
thức
của
nóthức
0.
Madòng
trận vuông
định
kiện
ban
đầu
Đinh
nghĩa
Trong
một
không
gian
meưic
Xkhi
bất
kì,
cho
một
ơ—
khả
tích
trên

và
công
trong
đó
hvà
= 1.1.16.
( h i (a,
, bày
h b)
n) —>
]Rn,
£ (h)
—>
\\h\\
—> tiêu
0. toàn
Tìm
hiểu
trình
điều
khiển
tối
ưu 0với
hàm
mục
phương
2 bài
: h toán
DAE Phương ữình
trình

( Avi
x ,phân
y ) =đại
{ x ,sốBODE
y ), V Phương
x e X , Vy
G vi
Y. phân thường
=
771.
gọi
là
ma
ữận
ktrên
h ôlànT.
g Ta
s uhàm
y b một
icủa
ế n hàm
(non
s i nthường
l a được
r được
) . thỏa
tag u[x)
và
một
độ

đo
ịẤ
nói
điều
kiện
mãn
với
Ánh
xạ
A
được
gọi
đạo
/
và
kí
f(Y
' (hầu
a, d) .2 ) , ánh
mô
tả nghĩa
bởi hệ1.1.18.
phươngCho
trình
phân thường
tuyếnMị
tính
gian
Định
haivikhông

gian metric
= trong
(X, d ikhông
) ,hiệu
M 2là
=
Toán Ma
tử liên
B được
kícó
hiệu
là Acột
* . đầy đủ nếu n < m và r a n k ( A ) = n .
trậnhợp
A được
gọi là
hạng
x ( t 0 ) = x 0, t o G ( a , b ) .
xạ / : M i — > M 2 .
Cấu
trúc Hamiltonl.........................................................................................
hữu
hạn
6. 2.2
Đóng
gópchiều,
mới chủ yếu theo Tài liệu [HO và một số tài liệu khác.
N ế u h à m £ : (a , b ) —> Mn ẢTỉả t í c h t r ê nx (a , ò)£ v à T G (a, ò), t h ì

1817
Ví dụ
1.4. Cho
' = u . gọn,
vế phải
/ (t , x , u )gọi
— hệ
и liên
tục theo
(í, (LJ_)
X , и). là
Nếu
chọn
Chú
ý 1.1.1.
Đểxngắn
ta thường
phương
trình
phương
trình vi phân, ta hiểu rằng đây là m
phương
vi phân vectơ hay hệ phương
J 0,í < trình
0
(*) = \ м = 0
trình vi phân. Tương tự, đôi khi ta cũng gọi các hàm vectơ x ị t ) v à f ( t , X )
c áX,
c u)
h à=mI s ố .

thìl à/ (í,

Q’ không liên tục.

tìm nghiệm
trình
thỏa mãn
điềunhưng
kiện (Ị1.2Ị)
Với Bài
u{t) toán
đã chọn
thì x r = của
и (t)hệ= phương
I i’ £ = Q5
c° (Ịl.lỊ)
c° nêhiệm
liên tục
không được
gọivilàtạibài
toán
khả
t =
0. giá trị ban đầu hay bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân
thường.
Thật
vậy, xét t < 0 : x ' = о X (í) = Cl, Ví < 0 Với í
thuyết
> 0 : Trong
ж' = 1 lý

=ỉ>
ж (í) điều
= £ +khiển
c2. tối ưu, ta thường làm việc với hệ phương trình vi
Đểphân
ж (í)thường
liên tụccótạidạng
t = 0 thì Cl = X (0) = c2, hay
dx
^ = f (*м
t , x=, {u *) ,+t£>* 0> 0 -

(1.3)

Nếu X (0) = 0 thì Cị = c 2 = 0, hay
với các thời điểm t ữ , T > t ữ là cho trước và cố định.
Các hàm u : [0, oo) — > Rm là hàm đo được (hoặc liên tục từng khúc) trên
*м = {м>0°’
[ t o , T ] và thỏa mãn hạn chế
Nghiệm x ( t ) không khả vi tại t = 0.
u(t) G u, Víe[0,T],
Chọn w2 (í) = I o’ t = 0’ ^
được gọi làđiều khiển chấp nhận được. Ở đây Ư c Rm là một tập nào

(1.4)
đó ữong

không gian hữu hạnchiều
f { t , xMm
, u { t và

)) = được
1 0 ị =gọi
ỊỊ; là t ậ p h ạ n c h ế trên biến
điều khiển,
không
tụcđãtạiđược
t = 0.
Khi hệ
ấy (Ị1.3Ị) trở thành phương trình vi phân thường
khiểnliên
u (•)
chọn,
z' = «(í) = j ỉ ; ị > o :
x ' ( t ) = f ( t , x ( t ) , u ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) , t e [ t 0 ì T ] . (1.5)
có nghiệm không khả vi tại t = 0.
Vì u (•) là một hàm cho trước, liên tục từng khúc và thậm chí là hàm đo được
Với mọi t < 0 : x ' = о =>• X ( t) = t + Cl ;
nên cho dù hàm / ( - , - , • ) có thể là đủ tốt (liên tục, thậm chí tuyến tính hoặc khả
Với t > 0 : x ' = 1 => X (t ) = c2
vi theo cả ba biến), sau khi thay hàm u ( . ) vào / (•, •, •) thì vế phải của phương
Để æ(î) liên tục tại t = 0 thì 0 + Cl = X (0) = c2. Suy ra
ưình ( L 5 ) có thế không còn là một hàm liên tục, các khái niệm theo nghĩa cố
điển về tồn tại nghiệm (khả vi liên tục) không còn đúng. Ta xét ví dụ sau


19
Nếu X (0) = 0 thìci = c2 = 0 và
* № = { 0,1 > 0.
Nghiệm x ( t ) không khả vi tại X = 0.
Vì vậy ta phải mở rộng khái niệm nghiệm của phương trình vi phân (Ịl.lỊ)

Định nghĩa 1.1.25. Hàm số X = ip (t) liên tục tuyệt đối trên khoảng
(tữ - ỗ, tữ + ỏ) c (a, b)
(do đó có đạo hàm hầu khắp nơi trên ( t 0 — ổ , t 0 + ố) thỏa mãn phương
trình vi phân (Ị_J_) hầu khắp nơi trên ( t Q — ỏ, t Q + ổ) được gọi là nghiệm suy
rộng địa phương trong lân cận t 0 của phương trình vi phân (Ịl.lỊ) trên khoảng
(a, b).
Nếu điều kiện của Định lí Caratheodory được thỏa mãn, thì phương trình vi

phân (Ị1.5Ị) có nghiệm (suy rộng) X (í).
Ta nhắc lại Định lí Caratheodory về tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình
vi phân với vế phải đo được.
Định lí Caratheodory Cho hàm / : D —> Mn, ưong đó
D = {(í, x) : \t — t 0 \ < a, IIrc — rc0II < &}
Giả sử:
Hàm f ( t , x ) liên tục theo X với mỗi t cố định và đo được theo t với mỗi X cố
định.
Tồn tại hàm khả tích m ị t ) xác định trên T a = { t : \ t — t ữ \ < ã ) sao cho:
I I / ( í, ® ) I I < m { t ) , \ / { t , x )

25
21
20
22
23
24
Lấy
TNguyên
cố
định,

giađại
của
mục
tiêu
được
như
Ta
đó
xây
dựng
hàm
Hamilton
Khi
ấy
tạisố
một
> 0thì
saoAcc
cho
phương
trình
visau
phân
( Ịl.lỊ
có
lý
cực
làc hàm
một
định

lý
rất
quát.
Nếu
и=
Km
H lànghiệm
khả vi,suy
Mệnh
đềtồn
1.1.1.
Nếu
usố
là
lồi
(a:
T) làviết
tập
lồi
với
mọi
T và
>) 0.
0, tổng
т
x\ tĩ —
(T)
+
(1 tối
- Л)

хTthoả
<ЕY,nАAi/,.
сkiện
с (я0,
). X (t ữ ) = x 0 .
2 (Т))
rộng
T c +Lấy
—
t( :XxỊ
tA*
c ưu
}\Khi
mãn
banт
thì
kiện
cần
của
thành
0\ L
Hkhiển
=
ftrở
L tồn
Chứng
minh.
e Acc
(x 0<
,+

T).
=đầu
1,
điềuV khiển
Ỗ
J =điều
Jữên
(X*
ôx,{xf,
u*
+điều
ôu,
4ỐA,
V=*ấy
+
ỗ+vđiều
)tại Uị(t),i
—
J 2 làA*,
*)
i= 1
Theo
Caratheodory
mỗi
khiển
chấp
nhận được
hệ (Uịit)
1.3) cóthỏa
một

Vậy
А с сđịnh
(X
Qlý, sao
т)
làcho
tập Xị(t)
lồi vớivới
TdHđiều
> 0.
□
chấp
nhận
được
làmọi
nghiệm
của
(Ị1.7Ị
) tương
ứng với
Í A Kn thỏa mãn điều kiện
và
thàm
), =
x phụ
(xt ữ“) .liên
лГ
=tuyệt
°“biến
/ một

( kiện
+x (z(0)
ATfo'+
( tỠA
“ từ
* ' TI ) tới
dí +đại Pontryagin(T)sau
Cácchỉ
sốnghiệm
A
làlíđầu
các
thuộc
. đối
Nguyên
lý) cực
mãn
điều
ban
Khitục
ấyvào
1.1.3
Nguyên
cực
đại
Pontryagin
0
T
xđây
( t 0)

=Ưminh
£()•
Chứng
nguyên
cực
đại(T)).
Pontryagin xem [Щ, [Щ hoặc ííĩõì. Dưới đây
+
^-ỖX
(T)
ổỉ/
^ (x
cho
điều
kiện
cần+lý
tối
ưu.
x'i (í) = A ( t ) x ị { t ) + B ( t ) u ị ( t ) + f ( t ) ; i = 1, 2, t e [0, T \
Xét hệ sơ
phương
trình viminh
phân có điều
trình
lược
chứng
.khiển
Vớibày
u (1.1.4.
. ) đã

chọn
thì (Ị1.3Ị
) nói
chung
có nghiệm
địa 2.1,
phương
Nghiệm a;
Định
lý
(Nguyên
lý cựctheo
đại ííĩõì
Pontryagin,
Theorem
du, x(.).
p. 2-6)
Ta
cóAthể
thay thế
ôx bằng
cách
Cho
€ [0,1],
ta chứng
minh
( Ằlấy
x f tích
+ (1phân
— A)từng

x Ị ) phần
€ A c c (X Q , T).
Lược
chứng
Ta
dụng
nhân
tử A*
Lagrange,
hàm
(.)
«(.).
xtrình
' =điều
/ tối
(phương
xkhiển
,ưu.
и ),Khi
Xpháp
GđóRn,
Gđược
i ả đồ
s ửgọi
( xlà* quỹ
i uminh'.
*đạo
) là ứng
quásửvới
tồn tại

(t) G Rnvới
và V
* emục
R9
Ta đã biết,Tnghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thườngTcó dạng
Xđiều
(0)
= (T)
Ĩ(| ẽ+được
i"
trước,
и ejbiểu
иXTôxdt.
С như
Mm.sau: Cho trước x ữ , X ị
- Bài
Ị XTôx'dt
-XT
ôxkhiển
ATcho
(0)
Sx (0)
+
tiêu
toán ( x 0=
, X
\ ) -(T)
được
phát
sao

t
00
_1
G
R n£*(.),
,mục
hệ (Ị1.3Ị
) thỏa
được
gọi
làx(íCo,
Xi) - điều khiển
được nếu tồn tại T > 0, điều
cho
A*(.)
mãn
Hàm
tiêu
được
cho
bởi
(■
t
)
=
M
(
t
)
ữ + M (t ) J M (s) 5 (s ) U ị ( s ) d s

J (x(-),u(-),
=
Vì X (0) = x ữ X,
nên,ỏÕH
x (0)
= 0. Thay vào ỎJ ta được
w dH
khiển chấp nhận
u (-A
. ) =sao
choX quỹ
T
XTị được
= ——,
——,
(0) =đạo
X Q tương
c h o t rứng
ư ớ c ,x ( t0) đi từ x 0 tới
%
г
/ТТТЧ\
.
1
«
?
—
Ti/Г
ỉ
/

d\i
d
x
i
= J(x,u) + Ị —XT (\Л
t) (x' \( nt) JT
— / I(x,
u))
dt
+ vTỉiỊ)
\ Ti+
/Г
/ r\\
1 (X (T))
( x , u/=) t=
V
(x
(
T
)
)
,
X i , tức là z(0) = XI qJ, x(T)
X ịJ. L ( x ,/ u)dt
vM
f(T))
/(t),
r r+i M
^" Ta(0)
d' ĩ =

p I.
0 (xthỏa
với M (í) G Mn n V(M)
(í)) ==AỶ(~td)t1
( T ) mãn
) = 0,M'
HT
0 điều khiển được
Hệ (Ị1.3Ị) được gọi là hoàn toàn
nếu với mỗi vectơ x ( 0 ) =
T
Ta đặt
и(L(t(X,
) = ù)
Awi
(í)(t)+ {x'
(1
—
Л)
М2
£/ mọi í €
+- XT
vĩdQ- XT
ôx
(T)
+t ỏu
ĩỊ)
(x
( nên
T+) )uTìp

.u ( t )(X€ (T))
(t) (TỶj
- / (x,
u )(í),
) ) ddo
+иVlà
( xlồi,
(T))
và= J +
n
đó
/
(ж,
lí)
=
(/i
(ж,
и
)
f
n
(X
,
и
)
)
:
Rn
X
Rm

—
ỳ
’
L
(x, и) =
xtrong
ẽ
K
,
X
i
e
]Rn,
với
mỗi
T
>
0
và
một
hàm
đo
được
u
(
t
)
trên
[0,T],
ữ

[0,T]. Do
0 Uị{.) là đo được nên u(t) là đo được hay u(t) là điều khiển chấp
Để
khiển
ưu,
ta
0t ),với
ỏu,
<5A
vàX
do
đó
ta (T)x ữlàG(1.6)
A xđiều
+
B u sao
là tối
hàm
dấu
tích
Vcủa
( x (ỏx,
)(Ị1.3Ị
) {,X*
Wa:
hàm
u(t)
G Mn
cho
Hdưới

(quỹ
x *cần
đạo
( t ),ỎJ
tương
u*=(phân,
ứng
A*mọi
(í))
hệ
)=(t),
thỏa
lí,T5u,
mãn
A*(T)
(í))
điều
kiện
Mn
nhận
Chýđược.
ý Л là một hàm phụ thuộc thời gian t. Sử dụng định nghĩa hàm Hamilton,
phụ hệ từ vị trí (trạng thái) x 0
và x ( T ) = X \ . Nghĩa
là, tồn tại một
điều khiển
chuyển
T tương ứng với uịt).
Cho

nghiệm
cóhầu
0. L (X , ù ) và ф ( X (T)) = 0 nên
vì Hxịt)
(X,làuù)
X*(*(70)
xkhắp
' — nơi.
[=L0,+f X+ T^-A-(T)
f ] Ta
— có
X T f= =
vđỉ
mọi
e u—
T gian T.tiểuhàmmục tiêu J ( x , u ) với
vào điểm
quỹXịđạo.
Tasau
tìmthời
cực
£thuộc
Rn sang
vị trí cuối
(trạngcủa
thái)
£ Rn
X
(T)
=

M
(T)
Жо
+
M
(T)
J
M
(
s
) ~ 1 B (s)
и (s)
ds, với điều kiện biên
hàm
mục
tiêunghiệm
có thể tối
viếtưu là nghiệm của phương
Như
vậy,
trình
vi phân
ràng
( x (T))
0. ịoptimal controlproblem)
0
Bàibuộc
toáncuối
điềuфkhiển
tối =ưu

được phát biểu như sau:
1.2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bỏỉ hệ
và thỏaJ mãn
điều
kiện
tối
ưu
(Ị1.6Ị
).
n
q (*) , */ ) =
(•),«(•),
А
Hàmphương
Ф :(яMtất
.trình
— >các
■ phân
Rđiều
cho
q ràng
buộcquỹ
là các
hạn
điểm
cả
khiển
đạo
từchế
X Qtạiđến

X ịcuối,
hãy tức
tìmlàđiều
vỉ
tuyến
tínhđưa
vàTrong
X (T) số
G Лее
(ж0,
T).
Mặt
khác
т
г À) tồn tại, ta có thể sử dụng điều này chọn điều
Nếu uu(=t=) Jarg
H (X,
khiển
sao
cho
cực
tiểu
chuẩn
J (u),
được gọi
hàm
(н min
(x, nó
и)
— u,

А
( thóa
) Xmột
( t))ị tiêu
dtг+
(т))
+(lí)
VT%Ị)
(X là
{TỴ)
Ф
(V
x (x
(T)
) = J0,
1.2.1(Т)Bài
toán
điều
khiển
tối
ưu
với
hàm
mục
tiêu
toàn
phương
mô
tả
bỏỉ

hệ
Aa?!
+
(
1
Л
)
ж
(
Г
)
=
л
0
2
khiển
u và tìm quỹ
đạo chấp М
nhận
( Т ) жđược
М ( Тcực
) / мtiểu
~ ^ hàm
( s ) в mục
( s ) ltiêu.
íi (s) ds
0 + làm
mục
tiêu.
T

phương
phân
( x tuyến
(T)) =tính
0 & ị { Ф , ( x ( T ) )J =
+ (trình
1 - Лvi) Ф
0
= J biên
L(x,u)dt
V (xkiện
(T))ban
+ итф
(X (T)).
Điều kiện
cho bởi+n điều
đầu a^(0)
= Xq £ R n , q ràng buộc cuối
Định nghĩa 1.1.26.
Tập
các
trạng
thái
có
thể
đạt
được
từ trạng thái ban đầu x sau
1
0trình vi phân

M ( thường
T ) x ữ +tuyến
M ( T0.) [ có
M -điều
( s khiển
) В (s) u2 (s) ds 0
Xét
hệ phương
trong
ữạng thái
' ệ ( x (T))
= 0, và n tính
— q giá
trị cuối cho nhân tử Lagrange
г hoá"
П ưu
thời
gian
> 0,
được tính
định
nghĩa
bởi
Bây giờ
ta T,T
có thể
"tuyến
hàmт
mục tiêu theo nghiệm tối
Bài toán điều khiển tối ưu được phát biểu như

sau: Trong số tất cả các điều khiển
1
(the LagrangeX1multipliers) M ( (t)
T) =
JM
(( st )) x~ (tB)( s+) uB1 (( ts)) du s ( t ) , t £ I = [0, T ] .
A
Acc
(
x
,
T
)
=
{
x
( t ) e uU*} (.)
,
ữ
u (T) , u
chấp nhận được
u ( . )=trên
[о, +Т ỏx
] , hãy
(t)
(t),
(t) + ỏu (t) sao cho
d v0 .иtìm
T(í)dđiều
i=Ị u*

j khiển
= МX{ Т (t)
) х о X*
+ Л
T (Ị1.7Ị) sinh + bởi điều khiển chấp nhận được
trong đó x u ( . ) (1.7)
là nghiệm của=hệ
dx
ơx'
M ( TJ ) J M ( s )<
~ 1 JB ( X
s ), uи2), ( s ) d s
uTrong
( . ) , và
thỏa mãn
đầutựxdo
u (0) = X o , u là tập lồi trong không gian
phương
trìnhđiều
cuối,kiện
V làban
biến
và do đó có n phương trình trong n + q
+ (1 - Л) X e Rn, u 0e Rm, x ữ cho trước.
với mọi
điều
khiểnđặt
chấp nhận được
и (•), X (•) là quỹ đạo sinh bởi и (•).
hữu

chiều.
x 0 . trên
biếnhạn
tự do,
loạiTa
n — qAcc(x0,0)
ràng buộc=đặt
À (T). Như vậy tổng cộng, ta có 2 n giá
Bộ
(
x
*
,
u
*
)
làm
cực
tiểu
phiếm
hàm
J
( x,v, của
ù)
được
quáthời
trình
tối Tưu.xuất
Л (í)
A*tập

(í) đạt
+ ổ\(t)
= V*
+ gọi
ỗv.là
Tập Acc (a^o,
T) được
gọi=là
được
hệ (Ị1.7Ị
) tại
điểm
trị biên. = ®(Г).
phát từ điểm X Q.


26
27
Sử đây
dụngAĐịnh
lý fll.l.4Ị
), tacác
được
kiện
cần lần lượt có cấp n X n , n X ra,
Ở
ị t ) và
B (t ) là
mađiều
trận

hàm
biến thời gian
d H đổi
x ' =t (thay
——
) trong
= Ađoạn
x + B[0,
u ,T], Tỉ - vectơ (vectơ 71 chiều).
X (0) = X Q-,
ỠÃ
Hàm mục tiêu có
dạng toàn phương {quadratic form)
-A' =

T = P x T + A T A, A (T) = W x ( T ) ;
J= - [ (xTPx + u Qu) dt+-xT (T)
21/ 2
0 =0^ = Q u + X T B .
du

(T)

(1.11)
(1.8)
(1.12)

Nếu
thì từmaphương
trình

(Ị1.12Ị
ta tìmdương,
được điều
ở
đâyQ Qlà, khả
w vànghịch
p là các
trận đối
xứng,
xác) định
trạngkhiển
thái tối
x(t)ưuxuất
phát từ điểm đầu X (0) = Xq và được 1sinh bởi
vectơ điều khiển 777, chiều u(t)
u(t) = — Q~ (t)BT (t)X(x).
tới điểm cuối x ( T ) .
thay
trình tối
(|1.10|
ta được
(|1.10|
Để giải
bài toán
điềutính
Bài vào
toánphương
điều khiển
ưu )với
hàm hệ

mục
tiêu)-(ỊmT
dạng).toàn
phương
tuyến
khiển
tối ưu ta phải
giải bprobỉem)
à i toán bđược
iên h
a i đbiểu
i ể mnhư
bằng
sử dụng
ịlinear-quadraic
optimal
phát
sau:cách
Cho XQ
và T, tìm
điều kiện đầu a;(0) = x 0 và điều kiện cuối A(T). Tuy nhiên, nói chung hệ này là
u ( t ) sao cho x ( t ) là nghiệm của (Ị1.7Ị), cực tiểu hàm mục tiêu J (u ) được định
khó giải. Sử dụng tính chất tuyến tính của hệ, đặt
nghĩa bởi (Ị1.8Ị).
1.2.2

X(t) = s ( t) X ( t) ,
Phương trình Riccatỉ

xn

trong
( t ) ẽ R nữình
. Dưới
đây để cho gọn ta bỏ qua biến thời gian t . Vì
Xétđó
hệSphương
vi phân
1
x ' = A x + x'
B u==AA (t)
x +X B+ (—
Ax u
+G
(—
Q~1BSx) ,
BQ
(t)~u,BXX )€=]Rn,
Km,

(1-9)

từ đây ta có
với hàm mục tiêu
T
T
J = - í [ xA'
(t=) S'x
P x (t
+ U=T S
(t'x

) Q+uS(t(Ax-BQ~1BTS
) ] d t H—X T (T )) W
+ )Sx'
X.x ( T ) .
J
z
0
Từ phương trình trên và phương trình (ỊTTTTỊ) ta suy ra
1
T
-S'xđiều
- SAx
+ Stối
BQ
= P(Ị1.9Ị
x + ),AtaT Sdùng
x s nguyên lý cực đại.
Giả sử để xác định
khiển
ưu~ uB( . )S xữong

Hamiltonian H cho
tối Xưu(T)
dạng
có dạng
(T) bài
X (toán
T) —
= Wtoàn
x ( Tphương

).
H = thỏa
-XTP
x +nếu
-uTQu
Bu).
Phương ữình này được
mãn
ta tìm+ sXT
(t ) (Ax
sao +
cho
2 2
- S ' = A T S + S A - S B Q - 1 B T S + p, S ( T ) = W. (1.13)

(1-10)


28
29
Phương
trình
phương
vi phân
Hệ (Ịl.161
)- (Ị1.13Ị
(Ị1.17Ị)) được
hay gọi
cặplàma
trận trình

(A, c)
được ma
gọitrận
là quan sát được
Riccati.
Giả sử
), ta
điều
khiển
(observable)
nếuS(t)
vớithỏa
x0 ẽmãn
i", x(Ị1.13Ị
tạicót >
0 sao
chotối ưu dạng
ữ Ỷ 0 tồn
1
T
u(t) = —y (Qt ~
(t)x(t).
) =( t )CBx ((tt)) íS 0.

Hệ (Ị1.16Ị
(Ị1.17Ị)trình
hay cặp
ma trận
A , C (Ị1.9Ị
) được

gọigiải
là nhận
biếtvới
được
ịdeThay
vào hệ)-phương
vi phân
ban( đầu
) và
hệ này
điều
kiện
tectable)
ma trận Chú
KeM
n , k)ởsao
makhiển
ữận Au +
ổndạng
định.điều
z(0)
= X ữnếu
ta tồn
đượctạinghiệm.
ý (rằng
đâycho
điều
( t )KC
là là
một

Mộtdạng
cặp ma
(A , B ) được gọi là ổn đ ị n h hóa được khi tồn tại ma trận K €
khiển
liênữận
hệ ngược.
M (Một
n , k)bàisao
chođiều
(A —
K B tối
) làưu
ổn quan
định.trọng là khi T = oo và w = 0. Hàm mục
toán
khiển
tiêu
Địnhcólýdạng
1.2.1. Giả sử ( A : B) ổn định hóa được và (p, A) nhận biết được (de00
tectabỉe). Khi đó tồn tại
duy
nhất
nửa dt,
xác định dương s là nghiệm
J{ù) = J ( x T Pma
x +trận
uTQu)
(1.14)
của phương trình đại số
0 Rỉccati (Ị1.15Ị), điều khiển u = — Q ~ 1 B T S x sao cho

hệ phương
trình
x' =
—giá
B Qtrị~ Xcuối
B T SÀ
) xhoặc
là ổnS(t)
định.
không
có ràng
buộc
đặt(Alên
tương đương. Do đó ta tìm ma
trận
s thỏa
(Ị1.13Ị
). Nóiđócách
tìmcds psao
Chú hằng
ý 1.2.1.
Nếumãn
p = c*c,
trong
ma khác,
trận ctacó
X ncho
với p < n. Khi ấy (p,
A) là nhận biết đượcSA
(detectable)

A) cũng nhận biết (1.15)
được
1
+ ATS - S Bkhi
Q ~và
B Tchỉ
S +khip (c,
= 0.
(detectabỉe). Hàm mục tiêu được cho bởi
Phương ưình (|1.15|> được gọi là phương trình đại số Riccati, trong đó s là
nghiệm của phương trình đại số00
Riccati.
T
J (aj0) ),= giả
minsử
1B
[y T=(t)
(t) đó
+ Uhệ
(t)
(í)] dt
Xét hệ dl.lOỊ)-(ỊĨTĨ2]
0. yKhi
trởQu
thành
(1.18)
tp£ệ J
0
x'(t) = A ( t ) x ( t ) ,
a:(0) = x ữ ,

(1-16)
với y = Cx. ỏ trưởng hợp này, điều kiện của định lý là (A, B) là ổn định hoá
Nghiệm
(Ị1.16Ị
kí hiệu
là x ( t ) , t > 0, x ( t ) £ Mn.
được và của
(ơ, Ả)
nhận) được
biết được
(detectable).
Định nghĩa 1.2.1. Ma trận A được gọi là ổn định ịstable) nếu R e Ằ < 0 với mọi
Từ giả thiếtcủa định lý, ta dễ thấy rằng nếu ( A , B ) ổn định hoá được, và
A e A (A).
(p, A ) nhậnbiết được (detectable), thì hàm điều khiển
Trong thực tế, nhiều khi chúng ta không quan sát được toàn bộ đầu ra x(t)
u = -Q~1BTSx
(1.19)
(nghiệm của phương trình (Ị1.16Ị», mà chỉ quan sát được một số tọa độ của nó
thông
qua
dẫn đến
hệhàm
đóng
z ' =y =
( A C- xB: Q ~t 1 >
B T 0.
S) X
X

(1.17)
(1.20)


30
là ổn định. Do đó (|1.19|) là một điều khiển chấp nhận được, dẫn đến X ( t )

0

Ta kiểm tra (Ị1.19Ị) đúng là điều khiển tối ưu.
Sử dụng (|1.15|) ta viết p như sau
p = SBQ~1BTS - ATS - SA
Thế vào phương ưình (Ị1.9Ị), ta có thể viết, với bất kì u chấp nhận được dẫn tới
X (t ) —> 0.
í->00
00
J ( x 0 , u ) = J [ x T (t ) P x (t ) + U T (t ) Q u (í)] d t
0
= J [ X T (t) S B Q ~ 1 B T S x (t ) + U T (t ) Q u (t ) — X T (t ) ( ATs + S À ) X (t )] d t
0

00
— J [ u (t ) + Q ~ 1 B T S x ( t ) ] T Q [ u (t ) + Q ~ l B T S x (í)] d t
0
y? " U T (t) B T Sx (t) + X T (t ) SBu (t) + a^T (í) A T Sx (t)

Ị - +X T ( t ) S A x (t )
dt

[u (í) + Q ~ 1 B T S x { t ) ] T Q [ u (í) + Q ~ 1 B T S x (í)] }

0

[ - ( x T (t ) S x (t ) + X T S x ' (í))

J

>
dt

00
= I [u {t) + Q~1BTSx (t)]TQ [u (t) + Q~1BTSx (t)]
dt
0
00
~ I đt^xT ^ Sx ^
0
00

dt

= X Q S X 0 + J [ u (t ) + Q ~ 1 B T S x ( t ) ] T Q [ u (t ) + Q ~ 1 B T S x (í)] d t .
0


31
Ta có X Q S X Q là hằng số không phụ thuộc u , và do u = — Q l B T S x chấp nhận
được và Q > 0, ta được điều khiển
u = — Q 1 B T S x (t )
với hàm mục tiêu cực tiểu được cho bởi
(1.21)

«7 (zo) = X Q S X 0 .

Định lý 1.2.2. (Theorem 2.2, lỊĨÕl. p. 2.11 - 2.12) Cho (A, B) Ổn định và (p, ^4)
nhận biết được (detectable). Điều khiển tối ưu làm cực tiểu hàm mục tiêu
của phương trình (Ị1.9Ị) được cho bởi
u = —Q 1 B T S x ( t )
trong đó s là nghiệm duy nhất nửa xác định dương của (Ị1.13Ị). Hàm mục
tiêu tối ưu được cho bởi fll.21Ị>.
Ví dụ 1.5. Xét hệ
dx
dt

'
1
0 0 '0

'
01

X
+

u

với hàm mục tiêu tuyến tính được cho bởi
p=

q2 0
00

,Q = 1

Điều khiển tối ưu được cho bởi phương ữình Riccati (Ị1.13Ị). Cho s là ma trận
nửa xác định dương có dạng
s =

a b
bc

Khi đó phương ữình Riccati
—b 2 + q 2 a — bc
a — bc 26 — c2
có nghiệm là

'
0
00 0


33

s =

32
V2q3

Hàm điều khiển được cho bởi
T
Điều

kiệntoán
liênđiều
hệ
ngược
tiểu
hoáhàm
hàmmục
mụctiêu
tiêutoàn
là uphương
= — K xmô
. tả
K=
Q ~ 1 cực
Btối
Sưu
= với
Chương
2 Bài
khiển

xét trình vi phân đại số tuyến tính
bỏỉ hệTa
phương

Lí thuyết phương trình vi phân đại số (Differential
Algebraic Equations 01_
1 /2
A-BK =
DAEs) được định hình và phát triển trong khoảng ba mươi năm ữở lại đây. Một mặt,

q
nó có thể được coi như là sự mở rộng tự nhiên của lí thuyếtJ phương trình vi phân.
Đa thức đặc trưng của ma trận này là
Mặt khác, lí do để phương ữình vi phân đại số được các nhà toán học quan tâm là vì
+ \tế.
Ị —A + —.
nó là mô hình của rất nhiều các bài toánA2
thực
Vợ q
Nhiều bài toán thực tế (điều khiển người máy, hệ thống điện,...) được mô tả bởi
So sánh điều này với À2 + 2auJo\ + U J Q 2 ta thấy rằng
các hệ phương trình vi phân đại số có điều khiển. Lí thuyết điều khiển các hệ động
lực mô tả bởi phương trình vi phân đạiU 0số= được
=
] l g ' aquan
ự 2 tâm
1 và phát triển mạnh mẽ
Do đó năm
điều gần
khiển
tối ưu cho hê đóng với a = —j=.
trong những
đây.
V2
Chương 2 của luận văn ữình bày bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ phương
trình vi phân đại số tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương. Theo một nghĩa nào
đó, nội dung của Chương 2 là sự phát triển của Chương 1 cho hệ điều khiển mô tả
bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính. Đồng thời cũng chỉ ra những khó khăn
khi làm việc với các hệ thống phức tạp hơn hệ phương trình vi phân thường.

34

2.1

Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả

bỏỉ hệ phương trình vỉ phân đại số tuyến tính
2.1.1

Các khái niệm cơ bản
Hệ phương ữình vi phân bậc nhất tổng quát trong không gian hữu hạn chiều có thể

được mô tả bởi hệ phương trình
F ( t , x , x ' ) = Q , x e №m.

(2.1)

Hệ phương trình (2.1) thường được gọi là hệ phương trình vi phân ẩn.
Bằng cách đặt
F { t , x , x ' ) = X - f ( t , x ),
ta có thể thấy, mọi hệ phương trình vi phân thường là trường hợp riêng của hệ
phương trình vi phân ẩn.
Nghiệm địa phương của hệ phương trình vi phân ẩn là hàm x ( t ) khả vi trong
lân cận của điểm t o , mọi t G (ío — ổ , t o + ổ) sao cho
F ( t , x ( t ) , x ' ( t ) ) = 0.
_
dF
Định lí hàm ẩn: Cho phương trình F ( x , y ) = 0. Nếu —— ( x ữ , i/o) 7^ 0 thì tồn
dy

tại duy nhất hàm y = f(x) trong lân cận x ữ sao cho
F ( x , f ( x ) ) = 0, Vx Ễ V(io),
trong đó (X o , y o ) thỏa mãn phương ữình F ( x , y ) = 0, f(x) là vectơ hàm n
chiều, V(xo) là lân cận của X Q .
ỒF
Nếu - (í, X (t), x ' (t)) 7^ 0 thì, theo Đinh lí hàm ẩn, phương trình (12.lị)
dx'
'
giải được theo x' tức là hệ phương trình (Ị2.1Ị) có thể đưa về dạng hệ phương
trình vi phân thường

x' = f{t,x).


3635
Chọn
= t n, (nbài
= 1toán
, 2 , .thực
. . ) , tế
í0 =dẫn đến các hệ
^n(O)
= 0trình
suy viraphân ẩn không giải
Tuy nhiên,
phương
n (t) nhiều
t n+l
được theo x', tức là các hệ phương trình (Ị2.1Ị)

(”)/ không thể đưa về dạng hệ
phương trình vi phân thường. Do đó ta phải nghiên cứu trực tiếp hệ phương
Vậy
trình vi phân ấn (Ị2.1Ị).
Một trong những lớp
hệ phương trình vi phân ẩn được nghiên cứu nhiều (do cấu
xn(í) n + 1
trúc toán học đẹp và nhiều ứng dụng thực tế) là hện phương trình vi phân đại số tuyến
\t /
ntức là hệ phương trình
tính,
và {a^ )(í)}°°=1 là hệ độc lập tuyến tính.
Do đó hệ có vô số nghiệm dạng
A (t) x' (t) = B ( t ) x (t) + f ( t ), t > t0,
í
X ị ( t ) — — Ị i p ( s ) d s + с, с là hằng số,
trong đó A ( t ) là to hệ số liên tục và detA (t) = 0,t > to, B ( t ) , f ( t )
lần lượt là các ma trậnx 2hàm
( t ) và
= vectơ
i f ( t ) hàm
b ấ t nk ìchiều.
.
Kết Để
luậnlàm
không
sánggian
tỏ một
nghiệm

số đặc
củathù
hệcủa
DAE
hệlàphương
vô hạntrình
chiều.
vi phân đại số, ta xét một số ví
sau.
Уdụ
í dụ
2.2. Xét hệ phương ưình vi phân thường dạng
x ' trình
(t ) —viAphân
( t ) đại
X số
( t ) , t £ (а , ồ),
Ví dụ 2.1. Cho hệ phương

(2.2)

ữong đó A i t ) là một ma trận có cấp 71 X n. Hệ phương trình này có không gian
(0 0 )
+ ( ũ 0 ) *(*) = °nghiệm là hữu hạn chiều.
Đâyvậy,
là hệvới
DAE
Thật
giả dạng
thiết A ( t ) là liên tục thì

Ax'(t) + B x ( t ) = 0, detA = 0,
ll/frzi) - f ( t , x 2 ) \ \ = \ \ A ( t ) x 1 ( t ) - A ( t ) x 2 (í)||
B

vdix=(l\)'A={l o ) ’ = ( o< | | A
ỉ )( t- ) | | | K - X 2 | |
Hệ đã cho tương đương với
< L ||xi — x 2 \\ , V X I , X 2 ẽ Rn, Vi € ( a , b ),
{ t ) = 0,
trong đó L = ímx\(t)1
a x II+Ax 2(í)||.
1 a0 = 0.
Chứng tỏ vế phải của (Ị2.2Ị) thỏa mãn điều kiện của Định lý (Ị1.1.3Ị). Lấy
í x\(t) =
\ 0 = 0.

= — X 2 (í), {phương trình vi phân thường)
= 0.
/1\
( x2{t) —
ự>(t) 0£ C 1 ( a , b )
X 1 (í0) =
&
\0/

(2.3)


37

x n (t )
Theo Định lý (Ị1.1.3Ị) hệ (Ị2.2Ị) có nghiệm duy nhất X 1 ( t ) = Ị ... I thỏa
Eln (í)
mãn (2.3) tức là

Ị x ' 1 (t ) = A ^ x 1 ( t ) ,
(í0) = X l Q
(í)
Do đó hệ (|2.2|) với điều kiện (|2.3l) có duy nhất nghiệm. /
0\
1
2
Lấy X (to) =
suy ra tồn tại duy nhất X 2 (t ) thỏa mãn X2 (ío) = X 20 ( t ) . í
Vo
0\

Tương tự với điều kiện ban đầu x 1 (t ữ) =

0
1
0

dòng thứ ỉ

Vo/
thì tồn tại duy nhất nghiệm x ^ t ) thỏa mãn điều kiện ban đầu X * (t ữ) =
X ị ữ ( t ) . Vậy ta có n nghiệm X 1 (í), X 2 ( t ) , x n (t ) độc lập tuyến tính thỏa mãn
điều kiện ban đầu xi (t0) = xi0 (t).
Thật vậy, giả sử { X 1 (í)} là phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại {cl5c n } Ỷ 0 sao cho

C ị X 1 (ị ) + C 2 X 2 (t ) + ... + c n x n (t ) = 0.
Cho t = 0 ta có
(1 \
A0
C
l

// 0 \
0 \1
+
C2

u)

// 0 \
0 \0
+ ... + c n

uJ

Ci = 0,
C2 = 0,
=0<

11J

<

c n 0.

Điều này vô lý.
Hơn nữa mọi nghiệm x ị t ) của phương ữình vi phân tuyến tính x ' ( t ) = A ( t ) x ( t )


38
CÓ dạng
X (t ) = C ị X 1 (t ) + C 2 X 2 (t) + . . . + c n x n (t )
vì
x ' (t ) = C i x ' 1 (t ) + c 2 x' 2 (t) + ... + c n x' n (t)
= CịA (t ) X 1 (t ) + c 2 A (t ) a;2 (í) + ... + c n A (t) x n (t )
=

(í)[ C I X 1 ( t ) + C 2 X 2 (t ) + ... + c n x n (í)]

= A (t) x ( t ) .
Vậy không gian nghiệm có cơ sở là {x* (í)}, i = 1, n là không gian hữu hạn chiều.

Từ Ví dụ (Ị2.1Ị) và Ví dụ (Ị2.2Ị), ta thấy hệ phương trình vi phân đại số có không
gian nghiệm là vô hạn chiều trong khi hệ phương trình vi phân thường có không gian
nghiệm là hữu hạn chiều.
Các ví dụ đơn giản trên chỉ ra độ phức tạp cũng như khó khăn khi nghiên cứu hệ
phương trình vi phân đại số.
Nhiều hệ trong thực tế được mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng
^ (A (t ) X (í)) = c (t) X (t ) + f { t ) , t > t 0 ,

(2.4)

trong đó A ( t ) và C ( t ) là các ma trận hàm cấp m X n (không nhất thiết

các
ma trận vuông), f ( t ) là một vectơ hàm m chiều.
Nếu vectơ X (•) là khả vi thì
{ A ( t ) X (í)) = Ả (í) x' (t) + A(t)'x (í) A (t)
X (t) = [c (t) - A' (í)] X (t) + f (t)
Do đó hệ ( 2 A ) là trường hợp đặc biệt của hệ ( 2 A ) với
B i t ) = - A ' (t ) + C { t ) .

là


39
Tuy nhiên, hệ (Ị2.4Ị) cho phép một số các tọa độ của vectơ X (•) không nhất thiết
khả vi, mà chỉ cần A (t ) X (t ) khả vi. Thí dụ, nếu A (t ) có dạng A (t ) =
( ^0^ ^ , thì (í) z(£) = ^

^ nên chỉ cần vectơ X (•) = ^

Xl

ỊỊ

có X ị (•) là khả vi. Điều này thường gặp trong các bài toán của cơ học và hệ rôbôt,...
Do đó ta đi đến định nghĩa nghiệm của hệ (Ị2.4Ị) như sau.

Nghiệm của hệ (Ị2.4Ị) ữên (a, 6) là một vectơ hàm X (•) nhận giá trị trong
không gian ]Rn sao cho vectơ Ả (t ) X (t ) là khả vi liên tục và thỏa mãn hệ (Ị2.4Ị) với
mọi t €E (a, 6).
Trong Chương này, ta tập trung nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng tổng quát

A (t ) ( B (t ) X ( t ) Ỵ = c ( t ) x (t ) + D ( t ) u ( t ) , t e [0, T ] ,

(2.5)

trong đ ó x ẽ M m , u € R l , A ( t ) £ L ( R n , R k ) , B ( t ) £ L ( R m , R n ) ,
C ( t ) [0, T ị Ta có
/ ữn(í) ... a i n ( t ) \
m = : ••• ;
,m=
V ®A;1 (^) ■ • ■ ®fcn(^) Ị

Ị òn(í) ... b i m ( t ) \
:
•••
i
,
V b n i{t) • • • bnmiì') Ị
m

( Zl(í) \
(t) = i =
V mịt) /

3 =1

x

/(

m
Ẽ
bĩlJ(t)xJ{t)
\ 3 =1

Vl

№ \ V yk{t) /

/ nE
a u ( t ) Vi ( t )
2=1



40
ê
Cu{t)Xi(t)
i= 1
к
E
Cki(t)Xi(t) \
i= 1

u(t) =

/ dn(i)
,Л(*)=
:

V dkl(t)

... d l r ( t )
•••
i
... dkr(t)

\
p
J

£ du(t)ui(t)
г=1

(Mt)\

\ Ur{t) )

:
,D(t)u(t)
E dki(t)ui(t)
= \ i= 1
/

Khi -S (i) = / (ma trận đơn vị) thì hệ phương trình (Ị2.5Ị) có dạng
Л(£)а/(£) = С ( t ) X (t ) + D ( t ) и ( t ) , t £ [0, T ]

(2.6)

Hệ phương ữình (Ị2.6Ị) đã được nghiên cứu kĩ hơn so với (Ị2.5Ị).

Xét bài toán điều khiển tối ưu
А (t ) ( В (t ) Æ (í))' = С ( t ) x (t ) + D ( t ) и ( t ) , í e [о, Т],

(2.7)

với điều kiện ban đầu
Ả (0) В (0) X (0) = y 0 .

(2.8)

Hàm u ( t ) được gọi là hàm điều khiển chấp nhận được nếu nó đo được (hoặc liên
tục từng khúc trên [0, T Ỵ ) và thỏa mãn hạn chế u ( t ) £ и với mọi t £ [о, Т], ữong
đóU Ç Rm là một tập nào đó.
Bài toán giá trị ban đầu là bài toán điều khiển tối ưu cho bởi (|2.7|)-(|2^8]).
Bài toán điều khiển tối ưu được phát biểu như sau: Trong số tất cả các điều
khiển chấp nhận được u ( . ) trên [о, T ], hãy tìm điều khiển u * (.) sao cho
J

< J (X ,ù )

đúng với mọi điều khiển chấp nhận được и (•), X (•) là quỹ đạo sinh bởi и (•). Bộ
( x * , u * ) làm cực tiểu phiếm hàm J ( x , и ) được gọi là q u á trình tối ưu.


41
Ở đây, hàm mục tiêu toàn phương có dạng

5

W(t

. ' )m
s

= 2 fa (*) > (*))

+

K(t
) J

-1
1Kì 'Ĩ
T'
53

1
+2

1

J(x,u) :=ị(x(T),Vx(T))
(2.9)

T
ị j ( ( u (*) ’ (*) x (*)) + fa (*) ’5 (*) M

T
T
x
Ị i( {t) , W { t ) x {t)))dt + 2 /

0

(*) , K ( t ) u

(t)))dt,
00

1
+2
trong đó
'■
\ i= 1

(x(T), Vx(T) ) =
vmiXi{T)

/ Vu ... Uim \
:
:
. Vx(T) =
V ^ral ■ ■ ■ Vmn J
n
Xị(T) ^2 vuXịiT) +

mm
=

V

%—1

Ì3 X i{ r ^')i
j= 1 i=l

...

£ ViiíE^T)
i=l
n
2^
'Umi'X'i (^1)
n
+ xm(T) ^2
2=1

(dạng toàn phương)

Giả sử y E L(Mm) là ma trận đối xứng nửa xác định dương với mọi t e X; VF(t) ẽ
L(IR m ), if(í) G

VK(í) v à X ( í ) là ma trận đối xứng, s* (í) là ma

trận chuyển vị của S ( t ) , S ( t ) € ^(R1, Mm), 5*(í) G

^

-^(í)

là ma trận nửa xác định dương.

Định nghĩa 2.1.1. Hàm X : X — > Rm, X (•) € c^(x, Mm) được gọi là nghiệm
của (Ị2.7Ị) nếu nó thỏa mãn (Ị2.7Ị) với mọi í GĨ= [0, T], ữong đó C(Z, Mm) là không
gian các hàm liên tục trên X nhận giá trị trên Mn.
Định nghĩa 2.1.2. (Definition A.l, 0, p. 581)
Ánh xạ tuyến tính Q e L(w n ) được gọi là một phép chiếu (projector) nếu


42
Q2 = Q.
ii) Phép chiếu Q e L ( R m ) được gọi là phép chiếu lên ịprojector onto) s C R m nếu

imQ = s.
iii) Phép chiếu Q e L ( R m ) được gọi là phép chiếu dọc ịprojector along) theo s C R m

nếu k e r Q = s .
iv) Phép chiếu Q e L(M.m) được gọi là phép chiếu vuông góc (orthogonal projector)

nếu Q 2 = Q*.
Để xây dựng khái niệm chỉ số mềm ta đi xét phương ữình vi phân đại số tuyến
tính với thành phần đầu chính thường
A (t ) ( B (í) X ( t ) ) ' = c ( t ) x (t ) + D (í) u ( t ), t G [0, T ], t € I .
(2.10)
Định nghĩa 2.1.3. (Definition 2.1, 0, p. 58-59) Thành phần đầu của (|2.1QỊ>
được gọi là đặt chính thưởng (properly stated) trên khoảng I, nếu thỏa mãn điều
kiện
k e r A ( t ) © i m B ( t ) = í el,

(2.11)

và tồn tại phép chiếu khả vi liên tục K : X — ì L ị ) Rn) được định nghĩa bởi

kerK(t) = kerAịt), imK(t) =
í GĨ.
Hàm phép chiếu K G C'1(x, L(]Rn)) được gọi là phép chiếu biên (border projector)
của thành phần đầu DAE.
Bây giờ ta định nghĩa một dãy các ma trận hàm và các không gian con phụ thuộc
thời gian. Đặt Go := AB, N ữ := kerG0, Cữ := c và chọn các phép chiếu hàm Q ữ ,
PQ : I

L(]Rm) sao cho
Qo

Qoi ITĨỉQo —P3I Qoi

trong đó Q0 là phép chiếu lên N 0 , N ữ = kerB và G0 có rank ro không đổi trên X. Ta
có rank Go (í) = To với mọi t G I,To là hằng số. Suy ra chọn Qo


44
43

dùng

(2.14)

-1
1Kì

1
-to

1

(2.17)

[0, T ] А (0) В (0) X (0) = y ữ .

(2) tục
Hệ DAE
liên
trên X.(2.10]) là một

cần

.
(t).
u

(2.15)

A (t ) (В (t ) X (t))' = С ( t ) X (t ) + D ( t ) и ( t ) , t e

(2.15)

S(t)
1
K
ịt)

Гw
5 (t)

s*
(t)
0

n
m
Ta định
nghĩa
ma quy
trận với
ngược
DAE
chính
chỉ suy rộng B ~ G C(I, L ( R , R ) của в
thỏa mãn
số mềm ịi € N nếu m = к
B ~ B B ~ = B ~ , B B ~ B = B , B B ~ = K , B ~ B = p0.
và tồn tại dãy (|2.12|),(|

không

B ~ cũng
liênsao
tụccho
trênVjX >
, в1.~ в =: p ữ là phép chiếu liên tục sao cho
2ЛЗ]>
kerPo = kerB = kerAB.
(i) Gj có hạng hằng r trên I,
>không

1,(Ị2.12Ị)
đặt
(3)Cho
tức
là
Hệ
DAE
(Ị2.1QỊ)
được gọi là chính quy nếu nó là DAE
Để
G ßỉdãy
suytrở
(ii ) N ữ = kerGj thỏa mãn (N 0
thành
chính
dãy
định
với
chỉ
biến thì
giả
G
iiVj_i)
:thiết
=với
GП
ijsố
-1Nj
—=
Cị-iQi-i;

(2.12)
®
.cần
. . ổnquy
©
mọi t £ ma
T.
> ịi. {0}
Khivới
xây
Nị
П
kerCị
=idựng
tức —
mềm
ẽ CN
II0 ■
{0}
(tức C
là ịtrường
- i P ị - 1hợp+ (1)Ghoặc
ị B (2)).
(BPQ . . . P ị B
(iii )
Q
€
trận
ta chú
ýj tới

Nị
= 0,
ỉ > sự ... © iVj_i ç k e r Q j trong (ii) được
ChúПCị
ýNị+1
2.1.
Ta
Ỵ Bviết
P qN.0. .®Pi\
(2.13) Nị — kerGi, Qị — Qỉì ĩĩĩbQi
С { 1đạo
,Ь(Ш
т)),ВР
tồn tại của
0,
gọi
làhàm
tổng
trực
0 .—
. . РNị,
^ ~pI£ — I Qiữong
tiếp, (Ị2.14Ị).
với j > 2, (N ữ 0 ... 0 N j _ i ) П N j = {0}. Thêm điều
Định nghĩa 2.1.4.
\
l
,
L
(

R
n
)
)
và
Ma
trận G iC,2.3,
Cị
có
кm
hàng
và m cột.
Nếu
với
(Definition
[Ш)
kiện,có (2.14)
tồn=
tại
phép
M _! < r„ = m.
Ta N
cóß rank
Gị
giảm nếu chỉ số i tăng. Nếu tồn tại đến chỉ số
k,
= i 0rthỏa
thì không
ma trận
chiếu

Q
mãn
(1)
Hệ DAE
(|2.10Ị)
làQ i Q j = 0 với j < i dựa ữên điều kiện
chính
Ị1 sao cho
G
jmột
, j > DAE
ịi không
(ii)
ta sốsuy
có
thể
chọn
quy với chỉ
mềm
0đó
nếu m = к
N
kerC
= 0, G ß+1 = G ß , N ß+1 =
ß Ç Khi
ß thỏa mãn thì
biến.
phép
Qj lên Nj Nj
saoçcho

N Q Gj
0 ...
0 N jVj
_ i >ç /i,
kerQj.
và chiếu
kerCj,
= Ga:
Np, N ß+1 Ç
Từ
là
các
phép
NiQjП her
kerC ß+1 và doCiđó= Ni П
chiếu lên N Ni+1
j với 0 < çj < ỉ nên Q i Q j = 0. Chỉ số này
JVi+1 П
không
phụi
thuộc
vào
kerCi+л,
> 0.
cách chọn phép chiếu Q i , nên chỉ số mềm có thể tính được
mà

đạo hàm. Do đó, ta có thể chọn Q ị sao cho Q i Q j = 0 với 0 <
j < ỉ < 1 và

T
J {x, и) := ị ( x { T ) , V x (T)> + 2 / (

là cực tiểu hóa với cặp (X , ù ) G C ß X с sao cho


46
45
r h(0)
= Bk (0))
= mlà +
+ l(y, n0 =
2n ,Để
TịkerẨ
> 0 (vàt )y^0 e ỉ=mn (, A
cố kđịnh
tùy ý).
xây dựng tiêu chuẩn tối ưu,
k e rxét
à (bài
t ) =toán
k e rbiên
A (t) X imB(t)±,
A(t)(a(t)s(t))'

\ cự) 0 D {t) 1
i m ỗ (t ) = i m B (t ) X k e r A ( t ) ± .
=
—B* (t) (A* ịt)
w (í) Ơ* (í) 5 (t)

ị ( t0) Ỵ
. s* ịt) D* ịt) K (í)
.
suy ra

rz
(t) 1

, t € [0,

- (*)
-

T ] (2.18)

(Ã(t)(ồ(t)5(t)))#= ( * * % ) ( _ * * %

Khi đó

u

*$)'

A(t)

c (í) X ( t ) + D (t ) u { t ) , t £ [0, T },
(2.19)
= ' y - B * ( t ) ( Ă * ( t ) ị (t)Ỵ j ,
-B* {t) {A*
w (t ) X (t ) + c * (t ) l ị ) ( t )

+ s (t ) u (t ) ,
( c (t)
0
D ( t ) \ Ị X (í)
( f ) V > ( t ) ) ' 0ỡ ( t ) x ( t ) = w ( / ) c * m
(2.20)
5 ® v>ọộ
V 5* (í) £>*(/) K { t ) ) \ ú (í)
A (0) B (0) X (0)
s * (t ) X (t )c+(t)DX* (t)
(t ) +I pD ((í)
t ) X (t) + K (t ) u (t ),
w (t ) X (t ) + ờ* (í) ì p ( t ) + s ( t ) u ( t )
BựrỴAựỴipựr)
(2.21)
£* (í) a: (í) +
(í) ĩ p ( t ) + K (t ) u (t )
VO ĩ
(2.22)
là một bài toán biên tối ưu, và DAE (2.18) là DAE tối ưu với (2.15)- (2.17 )■ Hệ
(Ị2.19Ị),
(Ị2.20Ị), (Ị2.21Ị)
có thể viết
dưới dạng DAE thuần nhất
Vậy (|2^4l)<^((|277]>,
(ỊĨTĨÕỊ),
d^2TỊ»
à ( tkiện
) ( ẽ (đủ
t ) của

x ( t )điều
Ỵ =khiển
Õ ( t )tối
x (ưu,
t ) , Theorem
t e [0, T ]2.1, [0, p. 3) Nếu (2.24)
Đinh lý 2.1.1. ( Điều
bộ ba
với thành phần đầu chính thường
í i*ỄC^(I Rm) ị £
k e r Ă ( t ) © i m Ẽ ( t ) = M2
C\ ịl,R k )
)2n
{
u*
G
c
(ì,
Rl)
Ở đây
là nghiệm của bài toán giá trị biên (|2.19Ị)-(Ị2.23|), thì w* là điều khiển tối ưu của
x
(*)
„ f đạo
c ự ) tối
0 Dưu
ự ) tương
\
(Q-(@ và( X*
là \quỹ

ứng với u*.
x(t)= ịịt)
w(t) c*(t)
sặị
,
V
u
(
t
)
J
V
s
*
ị
t
D
*
ị
t
)
K
l)
m (í ) J
Chứng minh. Giả sử M €
(Z,R ), X €
( X , R ) là nghiệm tương ứng

của bài toán giá trị ban đầu (|2.7Ị)(|2.8Ị>
J ( u , x ) - «7 (li*, £*) = ì (x (T) (T), V ( x (T) - X* (T)))

ỉ
! ) ( ; ! ) - ( V )
:

tt>

M
u
u
V nu ,(t)
*n(*)
Do đó B 2= 0m\ X
Ẻ =- n*X(*)
ra,/i V
m B (*)
(t ) -€ M
, //

= n —77,1,


47
với mọi (m (•) , X ( • ) ) , M t = ( ^ ^ _ P Ệ ) ) •

Do tính chất nửa xác định dương nên J ( u , x ) — </(«*,£*) > 0 với mọi ( u , x ) .

□

Để xây dựng điều kiện cần tối ưu ta sử dụng tính chất hạng hằng số của B (t ) và
xây dựng phép chiếu ưực giao lên k e r B ( t ) như sau

Q„ (í) : = I — B + (í) B ( í ) , ữong đó B + (t ) là ma trận nghịch đảo của

(2.25)

B ( t ) , t e [0, T ] . Xây dựng
(2.26)
Ma trận
[Gi (t) D (í)] =

10 0 1 0
1 1 , 1
0000

CÓ hạng rank = 2 nhưng nó không có hạng dòng đầy đủ
Định lý 2.1.2. (Điều kiện cần của điều khiển tối ưu, Theorem 2.2, ||9ll, p. 4)
Cho [Gi(í), D(t)] là ma trận hàng có hạng đầy đủ, t £ [0, T]. Khi đó, nếu một
cặp (x*, tí*) (E X c chấp nhận được của cực tiểu hàm giá (Ị2.15) thì tồn tại
một E C^, sao cho bộ ba (a;*, ^*5 M*) là một nghiệm của bài toán giá trị
biên (2.191(2.20)
Bổ đề 2.1.1. (Lemma 3.1, [0, p. 6) Điều kiện
D ( t ) ) = R k , í Gi
là điều kiện cần đểDAE (2.24) là chính quy với chỉ số một.

(2.27)


48
Chứng minh. Giả sử phản chứng, tồn tại t € X : i m ( G i ( ĩ ) , D (ĩ)) ^ Rk. Khi
đ ó 3 t p £ R k , I p ^ 0 sao cho

ọm
?№} . ^ í x ^
3 0Ơ*
4> e ker Ị D
Qo(ĩ)C'
* ( ỉ (í) ) , Ị 'ệ ) ẽ K m + k+l
V )
ì)* (ỉ) / V u)
í

=>- ^ ‘ ộ ^ G N 0 ( t ) n ỗ 0 ( t ) Ỷ {0} vô lí
(vì N 0 { t ) © s 0 {t) = R m+k+l ).
□
Bổ đề 2.1.2. (Lemma 3.2, [0) Điều kiện
( G*(t) - ơ*(f)Q.o(t) W(í)Qo(í) 5(í) A = m / x
V -D*(t)Q * ữ (t) S * { t ) Q ữ ( t ) K ( t ) ) - R xM > íe :z ->
(2.28)
là điều kiện cần đểDAE d2.24Ị) írđ thành chính quy với chỉ số mềm bằng 1.

ị
Gũ{t)
0
\
Q*o(t ịà[t)
Q *oịt)D (t)
Chứng minh. Vổij\í(t) := ker
ta có
Qo(ị jW (t) Q 0(tjs (t )
V s* (í) ir(í)
Ị

Ari _ , f < ? 5 ơ*Q*o VTQo s \ .
H = im ^ 0° D ' Q Z S - Q I K ) ’và
G>1 + C*Q*qw 2 = (Go* — C, *Q*o)(-P*o' u; i — <3*0^2);
D*Q* 0 w 2 = -D*Qto(P,oWi - ọ*0™2)Vì vậy

im

D*Q*o S*Q0

;•

Theo điều kiện (Ị2.27Ị) thì A/"-1 = Km X R* nghĩa là J\í = 0.
Định lý 2.1.3. (Điều kiện cần và đủ để DAE là chính quy chỉ số 1, Theorem 3.1, IU,
p. 4)

□


49
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính tối ưu (2.19) là chính quy với chỉ số
1 khi và chỉ khi hai ma trận
(2.29)
G„(t)-C(í)* - - D ( Ì Ỵ Q .0 (í) s (ì) Q„ (ì) K (í) J

(2.30)

lần lượt có đủ số hàng là k và số dòng làm + r, với mọi t G [0, T].
Chứng minh. Xét hệ DAE (Ị2.7Ị), viết dưới dạng:
'№

Ơ21
(í)

0

M
c*22 '
(í) .

X (t )
+

[ A (í) 1
. D*
(t) _

u ( t ) (2.31)

với detAu (t) Ỷ 0 • Theo DAE (Ị2.7Ị), điều kiện để ma trận hàng có hạng đầy đủ cho
(Ị2.29Ị) là
[Ơ22 (í) D 2 (í)] là ma trận hàng có hạng đầy đủ

(2.32)

và điều kiện để ma trận hàng có hạng đầy đủ của (Ị2.30Ị) tương đương với phương
trình
ker

Ọ 22 (t ) d 2 (t )
w22(t) S(t)

= 0.
Ls(tỳ
K(í) J

k{t) =

0
C22 (£) D2 (t)
c,22(í)* ^22 (í) ^2 (í)
à (í) s2 (t)* * ( * )

(2.33)

Xét ma trận nghịch đảo

Nhận xét: DAE tối ưu là chính quy với chỉ số 1 khi và chỉ khi K (t ) không suy biến.
Để K (t ) khả nghịch trong trường hợp hệ số hằng, thì K và

^

khả nghịch, [ C22 D 2 ] có số cột đầy đủ, và chùm ma ữận X A + c là chính

quy.

□


50
Định lý 2.1.4. (Theorem 3.3, d9j, p. 7) Cho DAE (Ị2.5Ị) là chính quy với chỉ số 0
hoặc 1, và bao hàm thức sau đây

imD c imAB ,imS c imA*B*
là đúng.
( i ) Khi đó DAE tối ưu (2.18) là chính quy với chỉ số 1 khi và chỉ khi K không

suy biến.
Không có DAE tối ưu là chính quy với chỉ số 2.

(ii)

( U i ) Nếu K suy biến nhưng có hạng là hằng số, QK
n im ( ( A B ) + D Q K ) = 0,

kerDQK = kerQx, ker
ker

ws

ker

s* K
ưu chính quy với chỉ số

I — K + K,

w

X k e r K , kerW n ker AB = 0 thì DAE tối

s*

Chứng minh. Từ khẳng định (Ui) đề cập trường hợp của A = B = I,S = 0,
K = 0, chú ý rằng QK = I, điều kiện
w s
s* K

= ker

w0
0K

= kerW X k e r K ,

và
kerW n kerAB = kerW X kerl = 0, là thỏa
mãn. Các điều kiện còn lại là
k e r D Q x = kerQx = kerl = 0,
và
ker

w

n im ( ( A B ) + D Q K ) = k e r

w
0

n i m D = 0.
s*
Nghĩa là k e r D = 0 và kerW n imD = 0. Điều này tương đương với D*WD không
suy biến.

□