Phương trình vi phân đại số (2).pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (977.59 KB, 61 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu ................................................................................................ 2
Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5
1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7
1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10
1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13
Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15
2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24
Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37
3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44
3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55
Kết luận .............................................................................................. 59
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
MỞ ĐẦU
Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho
bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều
định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của
A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công
bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm
1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du
mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có
hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công
nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai
phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến
phương trình vi phân dạng:
'( ) + ( ) 0ttA x t B x t
ở đó,
, , , : , , ,
nn
A B C I L x I I a RR
a là hằng số,
det 0 A t t I
. Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, gồm có ba chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau.
Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
trong đó
A, B là các ma trận thực,
det 0.A
Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại
số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
' , 0A t x t B t x t t
trong đó
. 0, ;
loc nn
AL
K
,
. 0, ;
loc nn
BL
K
, ở đây công thức bán
kính ổn định được đưa ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô
giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa
Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày
tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường
PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm
học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Học viên cao học
Lƣu Thị Thu Hoài
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
CHƢƠNG I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
9
Định nghĩa 1.1.1. Cho
. P L P
được gọi là một phép chiếu nếu
2
PP
.
Nhận xét 1.1.2.
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có:
Im
n
KerP P
.
ii) Mỗi phân tích
n
UV
tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao
cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V.
Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U.
Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận)
Cho
n
AL
. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là
indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà
1kk
KerA KerA
.
1
min :
kk
indA k KerA KerA
Định lý 1.1.4. Với mọi
n
AL
ta luôn có:
k k n
imA KerA
với mọi k thoả mãn 0<k<indA.
k k k k n
imA KerA imA KerA
với
k indA
.
Định nghĩa 1.1.5. Cho
,
n
A B L
. Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính
quy nếu
c
sao cho
det 0cA B
.
Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà
det 0cA B
. Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là
,ind A B
, là chỉ số
của ma trận
1
cA B A
.
1
,ind A B ind cA B A
(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Định lý 1.1.7. Nếu
n
QL
không suy biến thì:
, , ,ind QA QB ind AQ BQ ind A B
.
Nếu A, B là giao hoán được thì
,ind A B ind A
.
Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy,
cR
sao cho cA + B khả
nghịch, đặt
1
Q cA B
. Khi đó, QA và QB là giao hoán được.
Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và
1
k
rank cA B A r
thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho:
,,
r
A Pdiag I U Q
,
nr
B Pdiag W U Q
ở đó
1
1 ij
,..., , max ,
sr
r
l l l
l
s i r
U diag U U l k U u L
với
ij
1 khi 1
;
0 khi 1
ji
u
ji
0
k
U
còn
0
l
U l k
.
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương:
1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1.
2)
x KerA
và
Bx ImA
suy ra x = 0
3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B).
4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi
n
WL
.
5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên
KerA
.
6) Với
::
n
S x Bx ImA
thì
n
S KerA
.
7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp
n
EL
thoả mãn:
1
,
0
A
EA
1
2
,
B
EB
B
1
rankA rankA
, ta nhận được ma trận
không suy biến
1
2
n
A
L
B
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
2 , 3 , 9
Xét hệ phương trình vi phân dạng:
, , ' 0F t x t x t
(1.2.1)
trong đó:
:
n
xI
,
,Ia
:
nn
F I D
, , , ,t x y F t x y
D là tập mở trong
,
n
,
nn
F C I D
,
''
,,
nn
xy
F F C I D L
.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn
'
'
, , ' 0
x
KerF t x t x t
với mọi
, , '
n
t x x I D
.
Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính:
'A t x t B t x t q t
(1.2.2)
trong đó:
,,
n
A B C I L
, q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi
,tI
là
hệ phương trình vi phân đại số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân
đại số ([3], [9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:
, , ' 0F t x t x t
(1.2.3)
trong đó:
:
n
xI
,
;Ia
,
:
nn
F I D
, , , ,t x y F t x y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
D là tập mở trong
,
n
,
nn
F C I D
,
''
,,
nn
xy
F F C I D L
'
'
, , ' 0
x
KerF t x x
, , '
n
t x x I D
.
Giả thiết
'
'
, , '
x
KerF t x x
không phụ thuộc vào x và x’ tức là:
'
'
, , '
x
KerF t x x N t
, , '
n
t x x I D
.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch
Nt
được gọi là trơn trên I nếu có ma
trận hàm khả vi liên tục
1
,
n
Q C I L
sao cho
2
Q t Q t
, ImQ(t) =
N(t)
tI
.
Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt
1
,
n
n
P t I Q t P C I L
.
Ta có:
1
'
'
0
, , , , , , 1
x
F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds
và từ
''
''
, , ' , , 0
xx
Q t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y
. Từ đó ta
suy ra:
1
'
'
0
, , , , , , 1 0
x
F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds
hay
, , , ,F t x y F t x P t y
, , ' , , ' , , ' 'F t x x F t x P t x F t x Px t P t x t
Điều này cho thấy, để hàm
:
n
xI
là nghiệm của (1.2.3) thì cần
phải có
1
,,
n
Px C I
,
n
Qx C I
. Bây giờ ta quan tâm tới không gian
hàm sau:
1 1 1
, , : ,
n n n
N
C I x C I Px C I
.
Đặt
''
, , : , , , ,
n
xy
S t x y z F t x y z ImF t x y
''
1
, , : , , , ,
yx
G t x y F t x y F t x y Q t
'
11
, , : , , , , '
y
A t x y G t x y F t x y P t Q t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
11
, , : , ,N t x y KerA t x y
'
11
, , : , , , ,
n
x
S t x y z F t x y P t z ImA t x y
Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 1 trên tập mở
n
G I D
nếu
,,
n
N t S t x y
,,t x y G
.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 2 trên tập mở
n
G I D
nếu:
1
dim , , 0N t x y const
và
11
, , , ,
n
N t x y S t x y
,,t x y G
Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng:
'0A t x t B t x t
(1.2.4)
trong đó
:
n
xI
,
,,
n
A B C I L
,
det 0At
với mọi
tI
.
N t KerA t
trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên
tục. Đặt
:P t I Q t
.
::
n
S t z B t z ImA t
1
:'A t A t B t A t P t Q t
11
:N t KerA t
11
::
n
S t z B t P t z ImA t
Gọi
1
Qt
là phép chiếu khả vi liên tục lên
1
Nt
dọc theo
1
St
,
11
:P t I Q t
.
1 1 1
:'B t B t A t PP P t
Đặt
2 1 1 1
:A t A t B t Q t
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi
và chỉ khi
n
N t S t
tI
tức là
1
det 0At
tI
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi
và chỉ khi
1
11
dim 0
n
N t const
N t S t t I
R
tức là
1
2
det 0
det 0
A t t I
A t t I
Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng:
'0Ax t Bx t
(1.2.5)
trong đó:
:
n
xI
,
,
n
A B L
,
det 0A
. Khi đó:
:N KerA
::
n
S z Bz ImA
Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA).
1
:A A BQ
,
11
:N KerA
,
11
::
n
S z B z ImA
Gọi
1
Q
là phép chiếu lên
1
N
dọc
1
S
, đặt
11
:P I Q
.
1
:B BP
,
2 1 1 1 1 1
:A A BQ A BPQ
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ
khi
n
NS
1
det 0A
.
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ
khi
1
11
dim 0
n
N const
NS
R
tức là
1
2
det 0
det 0
A
A
1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi
phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số
1 , 3
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân
thường và hệ phương trình đại số.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
'Ax t Bx t q t
(1.3.1)
trong đó:
:
n
xI
,
,
n
A B L
,
det 0A
,
.,
n
q C I R
.
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên
KerA
,
:
n
P I Q
. Khi đó, AQ = 0. QP = 0.
A = AI
n
= A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A
1
P.
B = BI
n
= B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP
= (A+BQ)Q + BP = A
1
Q + BP
Do vậy, hệ (1.3.1)
11
'APx t AQx t BPx t q t
.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
1
PA
và
1
1
QA
ta được
hệ tương đương:
11
11
11
11
'Px t PA BPx t PA q t
Qx t QA BPx t QA q t
Đặt
u t Px t
,
v t Qx t
ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau:
-1 -1
11
-1 -1
11
'u t PA Bu t PA q t
v t QA Bu t QA q t
()
()
trong đó
()
là hệ phương trình vi phân thường, còn
()
là hệ phương trình
đại số.
Đặc biệt, khi
0qt
ta được hệ:
-1
1
-1
1
'0
( ')
( ')
0
u t PA Bu t
v t QA Bu t
1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó
1
det 0, A
2
det 0.A
Xét vế trái của (1.3.1) ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
' ' 'Ax t Bx t APx t Bx t A Px t Bx t
=
1
''A BQ P Px Qx BPx A P Px Qx BPx
=
1 1 1 1 1 1
'A BPQ PP Px t PQx Q x BPx BPQ x
=
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx
Do vậy, hệ (1.3.1)
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx q t
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
12
,PPA
1
12
,QPA
1
12
QA
ta được
hệ phương trình tương đương:
-1 -1
1 1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 2 1 1 2
'
'
PPP Px PPQx PPA BPPx PPA q
QPP Px QPQx QPA BPPx QPA q
Q x Q A BPPx Q A q
Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ
1
, PP
1
cũng là các phép
chiếu đồng thời
11
,,Q PQ PP
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có:
-1
1 1 2
,Q Q A BP
1
0,QQ
11
,PPP PP
1
0,PPQ
11
,QPP QQ
1
QPQ Q
11
,Q Q P
11
QQ P QQ
và hệ trên trở thành:
-1 -1
1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 2 1 1 2
-1
1 1 2
'
'
PPx PPA BPPx PPA q
QQ x Qx QPA BPPx QPA q
Q x Q A q
Đặt
1
,u PPx
1
,v Q x
w Qx
x u Pv w
ta nhận được hệ sau:
-1 -1
1 2 1 2
-1 -1
1 2 1 2
-1
12
'
'
u PPA Bu PPA q
Qv w QPA Bu QPA q
v Q A q
Đặc biệt, khi
0qt
ta nhận được hệ:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
-1
12
-1
12
'0
0
0
u PPA Bu
w QPA Bu
v
1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số
3 14 , 15
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:
'0A t x t B t x t
(1.4.1)
trong đó:
:
n
xI
,
,
n
A B L
,
det 0A
,
.,
n
q C I R
Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường
0xt
.
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và
KerA t
trơn. Gọi
Qt
là phép chiếu
khả vi liên tục lên
KerA t
, đặt
:
n
P t I Q t
.
Ký hiệu
00
;,x t t x
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu
0 0 0 0 0 0
, ,
n
P t x t P t x t I x
Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
0
cho trước và với mọi
0
tI
đều tồn tại
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
00
P t x
thì
00
;,x t t x
với mọi
0
tt
.
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
00
0t
sao cho nếu
0 0 0 0
P t x t
thì
00
; , 0x t t x
khi
t
.
Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương
và với mọi số
0
cho trước
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
đều tồn tại số
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
00
P t x
thì
0
00
;,
tt
x t t x e
với mọi
0
tt
.
1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và
KerA t
trơn. Các phép chiếu
,Pt
1
Pt
như ở mục 1.3.2. Ký hiệu
00
;,x t t x
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn
điều kiện đầu
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
, ,
n
P t P t x t P t P t x t I x
.
Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
0
cho trước và mọi
0
tI
đều tồn tại
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x
thì
00
;,x t t x
với mọi
0
tt
.
Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
00
0t
sao cho nếu
0 1 0 0 0 0
P t P t x t
thì
00
; , 0x t t x
khi
t
.
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương
và với mọi số
0
cho trước
đều tồn tại số
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x
thì
0
00
;,
tt
x t t x e
với mọi
0
tt
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
CHƢƠNG II
BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
, trong
đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và
phức bằng nhau cũng được chứng minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số
Xét phương trình
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
(2.1.1)
trong đó
, , ,(
m m m
x A B
KK
hoặc
)
, det A = 0, cặp
( , )AB
là chính quy chỉ
số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho
1
-
-1 -1
0
0
; ,
0
0
r
mr
B
I
A W T B W T
I
U
(2.1.2)
ở đây. I
s
là ma trận đơn vị trong
1
,,
s s r r
B
KK
U là ma trận k- luỹ linh có
dạng
U = diag(J
1
, J
2
,..., J
l
) với
0 1 ... 0
0 ... 0
, 1,2,... .
. . ... 1
0 0 ... 0
ii
pp
i
J R i l
(2.1.3)
sao cho
1
1
max , - .
l
ii
il
i
p k p m r
Nhân hai vế (2.1.1) với
-1
W
ta được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
(2.1.4)
(2.1.5) (2.1.5)
trong đó
Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó,
hệ trên trở thành
1
' - 0,
0,
y t B y t
zt
trong đó
,.
r m r
y t z t
KK
Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường
0x
của (2.1.1) được gọi là ổn định
tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu
m
PLK
và các hằng số dương
,c
sao
cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):
có nghiệm
xt
duy nhất, thoả mãn
Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = I
m
– Q, trong đó Q là phép chiếu lên
KerA dọc theo
:.S z Bz ImA
Ký hiệu
,AB
là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là
,AB
là tập hợp tất
cả các nghiệm của phương trình det
AB
0.
Trường hợp A = I
m
,ta viết
B
thay cho
,
m
IB
.
Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị
riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái
1
' 0,
' 0,
y t B y t
Uz t z t
1
, , .
r m r
yt
T x t y t z t
zt
KK
0
0''
00
Ax t Bx t
P x x
0
, 0.
t
x t c Px e t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
(xem[9]). Nếu
,AB
= thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm
x
0 vì khi đó với
mọi s ta có
1
1
det det .det det det
r m r
sA B W sI B sU I T
0.
Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ.
Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0. Trong trường hợp
này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = I
m
.
Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc
Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma
trận ổn định tiệm cận {A,B}. Giả sử
;
m p q m
EF
KK
cố định, ta xét hệ
có nhiễu:
A ' tx B E F x t
0, (2.1.6)
trong đó
pq
K
. Ma trận
EF
được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc.
Kí hiệu:
pq
K
KV
sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc
không ổn định tiệm cận}.
Nghĩa là,
K
V
là tập các nhiếu “xấu”.
Kí hiệu
inf : ,d
K K
V
trong đó
.
là một chuẩn ma trận
tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta
gọi
d
K
là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}
Nếu
K
ta gọi
d
là bán kính ổn định phức, còn nếu
K
ta gọi
d
là bán kính ổn định thực.
Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt
1
G s F sA B E
và ta sẽ chứng minh rằng
1
sup
s
d G s
Trước hết, ta chứng minh
1
sup
s
d G s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Lấy
V
bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:
(i) Cặp
,A B E F
là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị
,s A B E F
, sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng
x
0 là một vectơ riêng
tương ứng với giá trị riêng s, tức là
sA B E F x
0.
Điều này tương đương với
1
x sA B E Fx
, từ đó ta suy ra
1
.Fx F sA B E Fx G s Fx
Vì vậy,
1
1
sup ,
s
G s G s
V
Do đó,
1
sup
s
d G s
(ii) Cặp
,A B E F
là không chính quy, khi đó
s
ta có
det sA B E F
0, tức là đa thức
det sA B E F
0,
s
, do đó với
mọi
s
luôn tồn tại vectơ
x
0 sao cho
sAx B E F x
0.
Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được
1
sup
s
d G s
.
Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại
1
sup
s
d G s
Với mỗi
>0, ta tìm giá trị
0
s
sao cho
1
1
0
sup
s
G s G s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Khi đó tồn tại
p
u
:
1u
và
00
G s u G s
. Theo một hệ quả của định
lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính
*
y
xác định trên
*
:1
q
y
và
*
0 0 0
.y G s u G s u G s
Đặt
1
*
0
.
pq
G s uy
Rõ ràng,
11
*
0 0 0 0 0
.G s u G s uy G s u G s u G s u
Vì vậy,
1
0
Gs
. Mặt khác, từ
1
*
0
G s uy
ta có
1
0
G s u
.
Kết hợp hai bất đẳng thức ta có
1
0
.Gs
Hơn nữa, từ
0
G s u u
ta
nhận được
0
E G s u Eu
0. Đặt
1
0
x s A B Eu
, khi đó
0
s A B x Eu
. Vậy
0
E Fx s A B x
, hay là
0
s A B E F x
0. Điều
đó có nghĩa là,
0
,s A B E F
, hoặc cặp
,A B E F
không chính quy.
Do đó, hệ
'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy.
Nghĩa là,
.
V
Mặt khác, ta có,
1
1
0
sup
s
d G s G s
.
Vì
là bé tuý ý, nên
1
sup
s
d G s
.
Do đó,
1
sup
s
d G s
.
Để ý rằng, hàm
Gs
là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng
. Do đó
theo nguyên lý cực đại,
Gs
đạt cực đại tại
s
hoặc trên biên
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Vậy,
1
sup
si
d G s
.
Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu
0
s
sao cho
0
sup
s
G s G s
thì
1
1
0
max ,
s
d G s G s
và ma trận
1
1
*
0
,F s A B E uy
sẽ là ma trận “xấu” với
d
.
Trường hợp hàm
Gs
không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm
hữu hạn
s
thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu”
sao
cho
d
như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường
(ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi
s
). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu
Gs
không đạt được giá trị lớn nhất trên
thì không có một ma trận
nào thoả mãn điều kiện
d
và hệ
'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 là không ổn
định tiệm cận.
Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận
như thế.
Lấy
0
,s A B E F
và
x
là vectơ riêng của nó, nghĩa là,
0
s Ax B E F x
0. Lập luận như trên ta thấy
1
1
00
sup
s
G s G s d
.
Điều này là mâu thuẫn.
Hơn nữa, giả sử
n
s
sao cho
n
s
và
lim sup .
n
si
G s G s
Giả sử
n
tương ứng với
n
s
được xây dựng như trên, khi đó hệ
0
'-Ax B E F x
= 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
tại
0
lim
n
n
, vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con
k
n
của dãy bị chặn
n
sao cho
0
lim .
k
k
n
n
)
Vì tập hợp các ma trận
sao cho cặp
,A B E F
có chỉ số 1 là mở
nên ta suy ra chỉ số của
0
,A B E F
phải lớn hơn 1.
Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó
m
E F I
(nhiễu
không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là
1
sup
si
d G s
, trong đó
1
.G s sA B
Ta chứng minh rằng, nếu
,1ind A B k
, thì ma trận hàm G(s) là
không bị chặn trên
i
. Thật vậy,
1
1
1
-1
0
0
W
0
0
r
mr
B
sI
sA B T
I
sU
Gs
1
1
-1
1
0
W
0
r
mr
sI B
T
sU I
1
1
-1
1
0
0
W
0
r
k
i
i
sI B
T
sU
khi
s
Tính không bị chặn của
Gs
kéo theo
d
= 0. Nghĩa là với những nhiễu dù
rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể
không còn ổn định tiệm cận được nữa.
Nếu
,1ind A B
, dễ dàng chứng minh được rằng ,
Gs
là bị chặn
trên
, nghĩa là
d
> 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu”
nào, sao cho
d
.
Ta có định lý sau đây
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Định lý 2.1.2.
i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức
1
sup
si
d G s
, trong đó
1
.G s F sA B E
ii) Tồn tại ma trận “xấu”
:
d
khi và chỉ khi
Gs
đạt được giá trị
lớn nhất trên
i
.
iii) Trong trường hợp
,
m
E F I d
0 khi và chỉ khi
,ind A B
1.
Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm
Gs
đạt được giá trị lớn
nhất tại một giá trị hữu hạn
0
s
? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào
việc chọn chuẩn của
m
vì
Gs
có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn
này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác.
Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta
không thực hiện ở đây.
Các ví dụ
Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng
chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích.
Ví dụ 2.1.3.
Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc
'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 trong đó
là nhiễu và
1 0 1
0 1 1 ,
000
A
2 1 0
1 1 0 ,
1 0 1
B
111
1 1 1 ,
000
E
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Ta thấy
,ind A B
2,
1
,
3
AB
. Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận.
Tính toán trực tiếp, ta nhận được
1
3 1 3 1 3 1
111
.
3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
sss
sss
sss
G s F sA B E
sss
sss
sss
Vậy,
31
1
3max ,
31
s
s
s
Gs
s
đạt được max tại
0
s
= 0 và
0G
3. Vì vậy,
1
.
3
d
Chọn
1
1
1
u
thì
00G u G
3.
Giả sử
*
0 1 0y
và ta có:
1
*
1
00
3
1
0 0 0 .
3
1
00
3
G uy
Hơn nữa,
det 2sA B E F s
0 khi
s
0.
Ví dụ 2.1.4.
Xét phương trình
'( ) - ( )Ax t Bx t
0, trong đó
12
24
A
và
12
.
20
B
Rõ ràng
,ind A B
1
,AB
-1 và
1
1
12
11
24
s
s
G s sA B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
vì vậy,
31
ax ,
4 2 1
s
G s m
s
không đạt được giá trị lớn nhất
trên
.
Hơn nữa,
3
lim
2
s
Gs
nên ta suy ra
2
3
d
.
Chọn
2
1
1
si
u
s
rõ ràng
u
1 và
G s u G s
khi phần thực
của
s
đủ lớn. Với
*
1 0 ,y
ta có
1
*
G s uy
hội tụ về
2
0
3
2
0
3
khi
s
.
Dễ thấy,
8
det ,
3
sA B s
nghĩa là
,AB
và
phương trình
'( ) - ( )Ax t B x t
0. Tức là hệ
''
1 2 1 2
''
1 2 1
5
2 2 0,
3
4
2 4 0,
3
x x x x
x x x
có duy nhất nghiệm
1
2
0
0
x
x
vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa
chọn không “xấu”.
2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ
phƣơng trình vi phân đại số
Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi
dd
. Đối
với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới
ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương
n
có thể không còn bất biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này,
chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt.
Giả sử rằng
, , .
mm
m
A B E F I
Định nghĩa 2.2.1.
i) Ma trận
ij
mm
H
được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu
ij
0,
,.ij
ii) Ma trận
ij
mm
H
được gọi là không âm, ký hiệu
H
0, nếu
ij
0,
,.ij
iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận
ij
,Mm
ký hiệu
M
, là ma trận
ij
,m
tức là
M
=
ij
,m
với
12
, ,..., .
m
x x x x
Trong
mm
ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau.
Định nghĩa 2.2.2.
i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là
,MN
nếu
MN
0.
ii) Số
, ax Re : ,A B m A B
được gọi là hoành độ phổ của
cặp ma trận {A,B}
Chúng ta xét phương trình
'( ) - ( )Ax t Bx t
0, (2.2.1)
trong đó A, B là các ma trận hằng cấp
mm
, cặp {A,B} là chính quy. Nếu
,ind A B
1, thì
dd
0, vì ta có thể lấy nhiễu thực nhỏ tuỳ ý và “xấu”
V
, sao cho
bé tuỳ ý .Vì vậy ta chỉ xét trường hợp
,ind A B
1.
Ta đưa ra các giả thiết sau
i)
A
0.
ii)
1
, 0, : 0, .
n n n n
t t t t A B n
(2.2.2)
