Biến đổi laplace và bài toán cauchy cho phương trình parabolic
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (541 KB, 3 trang )
'0'
u 0 (x,t)
g;u =
r
r
r
,9 =
0
ID
21
17 11
4ớ>
&
'i
( n_ _V
2 r l , 2 'Ibỏn t y-Liih.......................................................................................................
1$
Li
cm
n
U/)
=
ll/IU
=
Êliai
= NI
1,2,3,...),
\f(
)\m
=
Yl
Ps
\ ll^/ll"
*f(
)\(m
Luii
vii
c
trỡnh,
by
gũin
diiig;
v ciid. trong
r
TRNG
DI
HOC
PHM
H
2
{ mtrỡnh
) 5-m(Ê)
(I) ôtuyn
= / tớnh v a v hờ phng
(1-7)
1,2 Phng
tincua.
húa
2rlrũ Cỏc
tớnh, cht
na. nhúm.......................................................
1&
\H
1.3.1
Bi
toỏn
Cauch
Chng' 1: Trỡnh. by cỏc; klu thc ch.u.11 b khụng' gicUi Sababv, phng'
trỡnh,
cha
o hm
Chng
fc 0 cp mt theo bin thi gian.
'22
i3Lu
i1
LọpLcw;^............................................................................................................20
Mc
lc
trongú
ớ
(ớ)
l
[.:ớu;
hm.
tc;,
IUh
tỡm
iu kin trỡnh,
giai, c
duy nht
C
(ft)
^(i])nCo(0).
trỡnh,
tiu
tuyn
vliờu
a
v=
[>h.oỡLÊ
iỏnghim
t> tiiii
cp cho
mt
Bi
toỏniia.
1; Tỡin
nghim
phng
trỡnh;
1,1,4
Khụng
gian
tớnh.0 ta
*
Cỏc
kin
thc
chun
b
2
2
BLii
i
Laplace
da.
hm
ớ>6
thụng
thng
20
Tụi.
x.i.11
by
tũ
Lũng'
bit
I1
>ọu
sc
ii
PGS,
TS,
H
Tin
Ngx>ii,
ligirL
thy
ó
M
u
ngha
l fj(x)
> 0 trang Wf khi v chii(.>
kill vi.
bt kỡgiai.
ot;
hm D
fj(x),
D fj ca.
(x)
D-Iih.
lý (Jr.uii/iiy-K(.>wới.Inv^ki.
ta. tớnh.
a.
phng
nghim.
(1.7),
thei>
biucua.
thi.
gian, tớnh, t iỡớih. u uu bi tt>ỏii UU-iy, <;ỏi; Diih. lý
0
2
1,3
Phỏt
Cauchy,
SKrộciiet.
ph thuc
liờn
tc vo d kin
nú e L
, ck>bleu
rừ bi
rng;toỏn
WÊ L
khụng gict.il
VL na.
iu.11
Bay
gi
ta.
gi
s
cỏc
h
s
trong'
(L3)
chớ
l
cỏc
hm.
biu
t, tc; L
iuii
Sem;
B
GIO
DC
V
DO
TO
2
r
l
r
l
Kh.ỏi
Iiiin
Iia.
Iihiới.......................................................................................
15
ỏ r i tng v phm vl nghiờn cu
bail
u
(f) lB
tpGIO
h-p tt
c
uỏc;
hm
thu-c;
C
(
Q
)
ScV>
ch.0
giỏ
ca.
iỳiig
l
tp
coiiipcw;t
DC V DO TO TRNG DI HC s PHM H NI 2
0
*
L[u]=
x
SU
+
D<
x
I,
tttằ
fớ"
\a\
j < m
a
a
Dinh.
ngha
l ruhi
l2)./ õy
r
Khụng
hciy
du
L
khụng
gỡcui
bcu>
gụm ti>ii
b
u+vgian
x
t>}
u th
x,t>}
L
='222
tớnh,
cht
cua
phộp
biu
i
LapL&ce
.trong,'
21
nh.
tiriờng,
tỡnh
hng
tụi.
tiDaa
thnh.
Luii
vii
Ơ 0 hng
trong
L
mt
gi
khỏ
mnh,
uhug
ta
^trỡnh.
(L
^avnhit
^Tuy
thit
{dx)
{dt)
^^
^
phng
oCỏc
hm
rihiii,
thc;
t
00HIEN
rtchng
Iihiu
phng'
trỡnh.
NGUYN
THI
THU
ằ
Petrov >ky v tacUmnuTl vj
kiu
cu
v
ch
tớnh.
t
chuh.
ờu
a
bL
(ớ) = c(ớỡ) n Co(f).
oỏc
hm
m. o h.iii
mi
cp
ca.
uIia.
l liờn
tc v b chn..............................................22
2,2,3
Biu
ic
Laplace
Iih.0111
Iiy,
vt
L
khụng
thuc
loi
.ột bi
trongtoỏn
khuụn
kh IIy, Chng hn, phng, trỡnh.
1,4
Tnh
t
chớnh
u
ca
Cauchy
1.1
Mt
khụng
gian
hm
tỏu
u&udiy,
iu
kiu:
lM
r vi.
Lớ
do
chn
ti
u
S
Khụng
SboLev
w(f)
2rgian
ũ nh
lý
hLilb-YwLda.
............................................................................ 2
j coi. (Ly)
nhit
Bõy
gi
iỳiig
ta.
Iih
mt
phng
trỡnh.
tiu
tiúci
nh
sau;
(1,3)
Tụi.
cng,
X.LI1
by
to
Lũng,
bit
u
chõu
thnh
ti
Phong
Sau
i
hc,
cỏc
thy
cụ
giỏo
giNGUYN
THUiliúm;
HIENNờu c cỏc khỏi uiui Iia.
Chng 2; Trỡnh. by v
bin i
LiipLa.ceTH
v na
2 0
nh,
1.1.1
ngha
Khụng
lr4rlrgian
Bi
L
toỏn
CarUchy =t
chnh, u
Q
u
(
x
,
0) = V j ( x ) , j
0, 1, m 1.
( 1, 5)
lrlrỹ>
Kh.ng
giai!
W
2 AV -Bi
toỏu
Utiuiy
cho
phng
trỡnh.
vi pilọii
trong
kiiug'trỡnh
gciii c bn ca lý thuyt
Phng
trỡnh.
Loi
parabolic
L
mt
trong
cỏc
phng'
1dy
Cvit
kin
thCfc;
huii
bcỏc;
5
u
th
dt;
thnh.
mt tớch.,
h
phng,
trỡnh.
ng
iuyờn
Iigaiih.
Toỏn
giói
trng
i.
h-C
su'cha
plini
Hu(x)
NL
giỳp
Khụng
gian
w(ớ)
L
khụng
ằựm
bcu.)
gm
tt
c [.:ớu;
hm.
e2 Ló2(r)
sao
Iih.6111,
taỏii
t
sinh.
ca.
Iia
Iihiu,
phỏt
biu
bi
toỏii
(J&udiy
phng;
trỡnh.
vi.
phõn
Tụi.
ớ>
hng
d-ii
ca.
PGS,
TS,
H
TLii
INgvu,
Luu
0
Dt xi.il
/ = 0
trongociii,
[1.7). di
Trong
trng'
h
Iiy,
bi
toỏn
UcRiiy
c;
gi.
L
2
tiLLbert
Dinh,
ngha.
Io
rU,UI
l khụngr lhaul
r Khụng
gia.il
LL
(ớỡ)
L_cỏt.'
khụng'
gian
vi
tớch
v(L3),(L5)
Baiiadi............................................................................................................2t>
phng
trỡnh.
riờng;
vỡ
uú
II1ễ
t
quỏ
trỡnh,
truyn
nhit
v
khuch,
tỏn,
1-1
Mt
gi.au
hi.........................................................................
5
Nu
t
=
=
u
,u
=
U,
w
i
=
~
thi
ta.
a.
bi
taỏii
nh.
ngha
1,1,4,
Khụng
gian
t
2
W
beta
m
úng'
ca.
^(ớ)
theo
iun
tụi
trong
suto
quỏ
hc
ti.
ch.0
tu
ti
cỏc
hm
suy
ii
tutrng;,
cp nh.
III thuc
ớ/ 2tLiLL-YosLdõ.
(ớl) v c trang H1ễ
b bitu.Li.1
ớ>a.u
'trỡnh
uBciiiadi,
Uigtp
trong;
khụng'
gian
trinh,
by
L
cỏt;
iu
kiu
=rng
vn
ngnh
Li
ti vi
tai;
Laplace
v bi
toỏn
t cliayờn
chnh u
nuToỏn
VL d
Liutỳ;2bcMi
utựy
Bin
^ = (ui
w m_i(x))
TW
0 (x),...,
hng
2,5
Cỏu
Iia
Iih.6i
parabolic
..............................................................................
2$
Sang,
bi
toỏn
UcUidiy
l
vi
Loi
phng
trinh,
ny
Li.
cú
mt
c
im
qua.il
M
LLL
u
Khụng
gian
L
............................
5
v bi toỏn sau; t 1 = 2
Uitxin
toỏn
tphng
L
toỏn
t
sinh.
ca.
Uit
Iia*hoc
ớiiiúiib
Trờu
c
si>
khỏi.
Iiiin
cỏu Di.
na
Tụi.
g,l
L
cui
n
ti
tp
th
lp
Cao
ibỏii
gii.
tớch
17
Trng
Cauchy
ch
trỡnh
parabvlic
c
hon
thnh,
bi
Iihu
th-ớ;
v
ô r u tỳy t 0 (0 < t < T) tu ti duy nht nghim u(t,t 0 ) [I A )
vmt
th-i
gian
ban
L
d.
ta.
tỡm u
mt
nghim
u (bi
x , trờu
t )toỏn
thoa.
[1,2)
kh-i tHiu
^ 0 VL
2rbvớ
Cỏc;
naKhụng
Iih.6ui
c;
sinh.
tIiióii
tc
Liờu
hp..............................'.
trng;
L.
dUhiig
kiu
ba.il
c,
cho
mt
trng,
IiaydcLiu
mt ban
~>6
1,1,2
gian
SoboLev
.......................
5
Bi
toỏn.
2:
iighLờỹi
cim
h ớ;phng'
trỡnh:
n Tỡm
n
j-1
=
a
^)u
+
oi(x,
ớ;
^)ô1
+
...
t uf{R
0 {x,
m2
0 t
nhúm.
pcirciboLLt;,
cỏc;
na.
Iih.m
ua.
toỏn
t
liờu
lip,Lun
vn
ó
trỡnh.
by
LL
gii
Ta
cú
w
%{R
)
=
w
).
m
hc
S
phin
H
Ni
ó
ng,
vieil
giỳp
tụi
troiig
quỏ
trỡnh,
hc
tp
v
Lm
luu
tỡui
hiu
cabu
th-õỹ.
tỏc;
giỏ..
nc
([i
,T],WÊ)
v
nghim
L
Liờu
tc
i
vi
d
liu
ba.il
u
ix>
trc
u
mu cho
+a
l
(x,t;
/ Cbiu
u
u (0x',phỏp
0)
ii>
ti tgia.il
= 0.
trng
hp +trỡnh,
ny,
ớ>Lờu
t = 0 L
L t>
mt
mtoỏn
1Trong
uv
=[trc
2J
Bi
toỏn
biờu-giỏ
tr
ba.il
phng
parabolic
phng
tip
cu
gii
bi
Iiy,
iphang'
LapLa.(;e
mt
=
a trong
2 ú phộp
LL3
Khụng
..........................................................................
IMIwr(n)
ớ
Y1
\D
u(x)\
dyj
(Ll)
{u,v)
2
=
u{x)v(x)d
n
L
{
n
)
bi Trong
k>ỏu
biii-giỏ.
tr nghiờn
bcUi
u
trỡnh.
trong;uhug
Iiiiii
b.
vn
ny,
quỏ
trinh
cucho
v phng
thc _11hiu
luiipcimboLỹ;
vóii, tỏc gicp
ó hai
k tha,
kt qu
m
_
theo
ớ 0-Khụng
mt
c
cua
toỏn
L gla.il
=
A...........................................................................
. ti
D(.)
ú, _i
trng' hp Iiy khụng c; xột trong7
1,1,6
gian
ct trong
([a,
],
cp
Iiilu
b.
phng
phỏp
khỏ
hu
bi=tE)
116
mt
trong
trng
MLL4
= ha.i
M
=thiu
U,U
uuh..11....................................................................................35
,w
=m
w
Khụng'
0, u
2dn
m cụng c qua.il trng ca toỏ.11 hc, ú
chn,
( ).
l { ) I1 ti S GD - T Tnh. Yờu Bỏi, BcUi Giỏm
xi.ilsgi
ca.ũiiớ
cỏc Iiii.thi
khoa, tụi
hoc VL
trõu Li.
trugUhuyới
v bit I1,
uguh ; Toỏn giaimtớch.
T vi t
nh.
lý
cd.ut;hy
-Ko\v
a.Lew
>
kwg*.........................................................................
Ch-ớuh.
xỏc
hn,
vi
bt
k
l,Ê
(>
0),m
tn
ti
p,ụ
(>c
0)ac
lp
2J.L
Ap
dng
cu
Iia.
nhúm.
parabalii;
.............................................30
l
L
thuyt
Iia.
utiúin,
Uhớiih
vỡi..
vy
tụi
ó
in
tiử],
;(L4)
'E
Bin
i Laplace
IU
núi.
rng
w(ớ)
=
(Uo(t),...
,w
_i(ớ))
L
mt
diet
LL5
Khụng
gian
7
m
1 ) trong,
Dinh,
ngha.
1,1,5,
GL
s
b}
L
khõiig
gicỹi
Bcumi,
khõiig'
ginghim
cui
([a,
L02 khụng
<
I
(4)
v
duiiiL
\\u\\
trong,
a
=
(ai,a
,
...,a
),
|a|
=
a
i
+
a
+
.
.
.
+
a
D
=
D
đ
. . .kiu
D % ngia.il
L
2
{
n
)
2Trng,
n
n r [2].
7
Ti.
u&
Luu
lxó[1]
hiu
vliu
cctham
ng,kh.cu>
nghipiớiih.
THPT
Th.
Ngha.
L ó toD %
iu
cho
tụi
Mó
s ;vii
602 46
01
02
r Ni 7 nm 2015
H
2.7/2
p
nliin
catoỏn
t
t Eliờn
Ta.
phng
trỡnh
v
bi
Cauchy
trỡnh
'2...,
nghiờn
cu.
1
xột
utoỏn
=
am
^)u
+1phng
i(x,ớ;
+
...
khi
v
iớ
khi
Udng
chv
C7
([0,
T]
,E)
(t
0)(trang
= 0,1,
777,
Liờn
1),
ngha
1,1,0
Khụng
gia.il
mnhn
([a,
b]
,E).........................................................
t
{x,t\
0 nam-1
D=
cỏcWÊ
h-in
u(t)
x.ỏc;
-iih.
trờu
[a,
6]
giỏ>parablic
tr.
vh-p............................'S7
khỏ.
vi.
tc n cp 7
7sut quỏ trỡnh,
trong'
hxx;
tp
v
lui
Luii
viir
+a
(x,t;
)w
-1
+
/
m lm
i d x .u> Iiu ^2 ||iij(a;)||p
< mthi
Tỏc gi trỡnh 0
ớ
d\
(
d
V/ d
V
12 Phng
Phng
trỡnh,
tiu
hm tuyu
tớnh,
v
a.
v h phng
5,
phỏp
nghiờn
cu
1,1,2
Khx>rig
gian
SoboLev
Kt
v Vi
c
trang
b
bi
diun
sau;
iu
kiu
n
lun
3=0khụng
liiu
L
w{R
). L
quỏ
trỡnh
vit gmu
Luu
vnUit)
cng
nhmt
trong
Vit;
x tr.
L vn ba.il
cht; iii
LUN
VN
TtLU
s rN
HU
L w
L
ta
COL
mụi.
mt
ph.au
liiii
t.'ú[ o
giỏ
2K
rTrong'
Mc
ớch
cu
= \ knghiờn
0
t ) thnh,
) u =trong
f { xWÊ
,t ) trong'(1,3)
cha,
.0j < m
h..111
cp
liit
theo
Khụng giciLi
c ( ớ l ) m
1ch
m biu
=kh
0(a;),Ui(a;,0)
=ii
Vi(a;),w
_i(a;,0)
=
_().
thp
cỏu
ti
liờu
qucui
ti.
v bL
toỏnsCiiachy
tia
khụng
ktiỡ
nhng
hn
vbt;
thiu
>út, oi.
Rt
uioiigIitiii
c
gúp (Lẫ>)
C-viTh-U
ớlý^wtrỏnh.
00:(x,0)
U(t)Gi
viLLu
liờu
tc;
1mth-ũa.
nmail (L4), Tng' quỏt,
Dinh,
1,1,1,
b'ớl
l
mt
'miu
trvng
R
v
m
>
Or
Khi
ú
w(ớ)
l
'
y
max
biu
thi
gia.II
........
&
sup
w^(ớ)
40
TiTrỡnh,
Liuby
tham,
kho
\ \ ( òh
) \ \thng
c { [ a , bcỏc
] , E vii
)
<
Ê bt;
mt
cỏch,
;
bi
Cauiy
choh.in
phng'
trỡnh.
pct.ni.boLu;,
Nguyờn
Th
Thu
Hin.
t-roug'
chỳng'
ta
khụng'
btkhụng
ktoỏn
gi-i.
hn
nao
v
ca
o
theo
dựng'
t;ỏc;
k
hiubn
sa-u
vi
gia.il
c;w;
Liờu
tc;
v hm
kh vl
ta
o < ti.
< Tvo
phng
trỡnh,
parabolic;,
CU
cỏc;
thy
v
cỏt;
ng;
nghip
lun.
vn
c
ht>ii
thiu
hib
,1 ú>
=
0 >
1.5.2
liờn
ca
nghim
vi
giỏ tr
ban u E
Iiu.
v(t) Tớnh,
yian
c ([0,
T],tc
E)j tL>ỏu
(Tvi
t-iy,
> 0),
ta.
xột
iu.11
mt
khụny
Hiớlbvrt
tớch
vừi
hng
L3
Phỏt
biu
bi
SớeIia.
ph
liờn tt;
vi>
dnghim cua.
n
6 thuc;
phộp
bin
i.
La.picu/ớớ,
Lý
thuyt
nanh.6111
v
cụng,
biu
diu
vi.
II
l
iuu
trong;
W2(-R
).Kh.i
t
(L4),
uthc;
thbi
vit
(L7)
ttLnh. i(.>
fc=0
[
]
7
hng
X
xut hiu
phng
trỡnh.
/lH.
kho
sỏt
toỏu
Uớuu;h.y
liờu
tc;;
Cỏc
phng
phỏptrng
ciia GiL
tfch.
hm (1J3-)
tuyii
tớnh., ta.
H
Ni
thỏny
nm 2015
T
S
HU
nh,
lý Ccuidiy,
lrSrlr
kiu ba.il
Trvny
u.................................................................................................
(Lei)LUN
ta tVN
/ = THC
0. Gi
b'TON
ti
m hny b' T(> 0),
10
ktn
a
a
bi:5),
toỏn
maxp
(j(ớ))
+
max
p
(v(t)l
(ra
=
1,
2
...).
{u,v)
=
D
u(x).D
v(x)dx.
m
m
W
{
n
)
(L
Trong
trng,
hp
uy
mt
im
qUớUi
trng
l
tớnh,
it
'duy
nht
ct; b'
(ớ)pln.riig,
L tp hp
c lng,
cỏc;7 hm.
liờu
tc trờu
ớ ctrỡnh
( ri)oLliaii
tp hp
cỏc; hm xỏt;
Uỏc
ph.ỏptt
nh
cua. lý
thuyt
phng
riờng,
Tỏt;NGON
giỏ
Ngi.
hng
PGS.
TS,GH
TIN
vi bt k
L3.L
yiỏr
BL
trtoỏi
bớm
u&uiy................................................................................
udn
khoa
= (uahc;
(x),um
uw
tu ti mt nghim
10
m -(x))
khụngDo ú ta. phi a. vo mt i>6 gi-i. hn v
dỏng;
nghim
nh CềI1
trờu rdỳng,
>ớ,w.>
dio ớ.;
ỏc iu c;im
o hm
Diu
ny
cng,'
sLiih.
ra
khừug
gLciii
Krộchot,
S r6,Nhim,
v
nghiờn
cu
(thv
iyhm
lr'i,2
taTớnh.
va
liờu
mm
tc
t),
cua.
Trng
nghim
truy
i. vi
hp
giỏ ny
tr- 7bail
ỏnh :u tuyn
u ,tớnh
, t
10
Gió
thuyt
khoa
hc
w(ớ)
chuõn
uo
lr gian
kbony
ymn
Svbvltvr
u ( xriờng
ti X =ỡ yim
OO- N6i
c;ỏi vi
khỏc;,
iỳng,-[1,1)
ta. chn
mtyi
khụng;
h..111
cha.
u ( x , t ) bng
: t )Kbouy
d
yỏ L4
tr ban
Tớnh,
utdiỹih.
ti (u(t),
u
(d/dt)u(t),...,
bL toỏn Oa-uiy.................................................
(d/dt) m ~ l u(t)) liờn tc nu ta coi
11
cỏch
C-L
t
l
mt
tha.111
ớ>
trong,
u
(
x
,
t
)
.
nLuii
cpc
kvu.
tnIiii
ti v
Liờn
trờu
L t-j_iui.lL
Nờu
liờu
qua.il
cua.
phộp
bin i v
La.pLa.ce
viIici
Lý thuyt
na
mtc;
L
mt
ti
LLu
tng
l
ttiuyt
Ilham.
v
ỏp
dng
1,1,5 Khng gicLi
nú
nhu
1,5
Cỏu
mt
nh.
ỏnh sinh..
t
LýIIW
Petrovsky
ti nC^QO,
v T],
H.iA.dcUiia.rd
W),
........ 12
utiui
cựig;
VL
(ớ) L
tp toỏn
h-pttt
o uỏu hm kh- vl vụ h..11
luThu
trờu Hin.
Nguyờn Th
vo vic
gi-i.
bi toỏn
Cauchy cha phng trỡnh. parabolic
tuyii
tớnh c;p hdỡ dngQ
m
nh.
Khụng;
sicUi
t
l
khụng
hmỏpf(x)
thụa.
0 trờu
C h ngha
u y m1,1,2,
i i h r Dl
thy ỏnh.
U1ễ
toỏn t bcU.)
úng;,gm
Dl> tt
ú,c
ta-[;ớu;
c;6 th
dng
nhf
n LsLcUi
Gi
s
ớ
L
int
tp
II1 trong
R
, Nu
BcU>
úng
ca.
tp
h-p oỏi.: im X e15
2
Bin
oi
LapLa
na
nhúm.
v
ỏpthi
dng:
vo
bi
toỏu.Cauchy
tng,
quỏtmc.
vi cc
hta-SQ
khụng
phu
thuc;
siciớL
Trong'
ny,
din
WÊ
L
kh-ụng,
gLớUi
iiiii
(.'In.)
mc;
ớnh.
t;d.
ta.
món
D a f(x)
(|cc|
L
úng
H.
tỡi
rsl,
2D1&nim
5cU>
cho na
u(x)nhúm,
0 c
L.
cuar hm
w(:c)
v k
hiuna
l supp Ur
21
Khỏi,
Toỏngi
t giỏ.
tớnh,hm
cht
1.
NI,
2015
Bng, cỏch, vit / G Wf ta I1UQI1 núi /H
G c
,i>Liih.
tt
cỏc Cỏt;
cỏu i>
cua.
g i s u ỏ c h - ớ >6 a v j ( X , t ) e v ớ > a v j
Li camớ>6
oan
d
h
BIN I LAPLACE V BI TON
PHNG TRèNH
(LlbCAUCHY CHO
/
PARABOLIC y
BIấN ễI LAPLACE
V BI TON
\M
/ TRèNH
CAUCHY CHO
|ô1=ô2
PARABOLIC
(X , t) e L Liờ u tc;,
u
U
m
u
2
(*)
J
L
n \ \^
u{x tM
{!Ê)
00
nhúm............................................................................................................... 15
29
2028
27
»1
19
2D
17
Lư
15
18
»0
22
2ị
12
15
14
21
м
và
từ
túih
chất
cửa.
J
^ 0, taduy
có uhất một nykiệm гш
A (хешa (1), (2)), VỚL t 2'ồ
||/(í)
^đườngc\t
—thể
t'\Iiiiiih
(0quạt
^Lại.
1), tồn
Chứng
ciiứng'
Làtại
lỉiột
(iiứíig
chư
lieu
Uho
liêu
ta.
thu.
được
tmiig'
đ6
Г(mmh.
Là
hình.
song'
với
biêu LLghiưiii,
cua £ và Iiằmta.
bêuđiL
phài.cầu
gấu tọa.
Với
X—
€@
Á ) ,С-ác
vế Dể
phải.
06
được;
là
p
t
p
t
t tiếu
Tính,
chất
2r2rĩ>r
Biến
đối
La/pỉact'
uyược.
2,1,2
đao
tcấp
>hội
01với.
khi
Г]
—>
+0.
Chứny
тш/ir
ước
Lượng
ша.
Iiếu.
0t=lý
thằuy
^u(t
như
Định,
lývậy,
2'brlr
Duới
yiả
(2
nửa
nhóm
tốn
binh
Day
là
mọt
hệ
phương'
trình,
phân
thường'
chứa,
>6
Tích,
phân
Là
fIighiêin
eBiến
~Ibáĩi
fvới.
((1)
t uua.
)tữ
dDối
t sinh
M[u]
tụ
và
=thiết
tích,
0vi.
VỚL
phân
^giá
f t-ỷ)
,trị
j -Il
và
(là
ejStll,
~
thea
tDüih.
)thcun
) ds
tvác
f c;ua
f (£.
t0có
)1,
etrong
PlaudiereL,
t tử
)và
dhành,
0 nhất
0vàAhội.
kh.à
vi.
Liêu
tạc
th.EX>
t,(T
c;ó
tmiig'
E,
tức
Là
)~ta.
epĩố
c( 1—
([0,
T ],0
E)
и tụ
2,2
đổi
Laplace
rt3L)
77
uiLiih.
0ta.
Ü0
glảui
tổng
qt,
00
thể
sử
ß
(2,23),
nghĩa,
đặt
cLaplace
Mĩih
đều
thev
t
€ tính,
[0,
T]
tùy
tồn
tại
ì
c
p
Jf ( giả
1 kiiQugfĩt\ụJx)Au(s)ds.
o
địíih
Theo
и
€
Dịiih.
ơ
([0,T],
lý
'Z
E)
b\
(0
dê
thấy
СШ
xác;
(2,2$)
đị-iih.
được
bởi
được
с
'hụ
bởi
w>i
Iihư
nghiệm
duy
uh.ất
II
ex.p(tAJ\)W
^
С
exp(íA)
exp(—
tx)
=
c.
r
r
T
ị
X
—
X
=
/
TịAxdt
độ
Hiểu
lih-Lẽii,
đều trong'
Iiilền
{ p+ịi ĩAF(p)
i e p > là
ơ i }ảíbk
vớip t IIIỰL
ơ ị )> qua
ơ { theo
Định,
l ỵ Wderr
p t biến
1 Lur'plurW, Khi đó (227 )
Giả
vủa
f(t
phép
đoĩ
1 figrsử
tIV(2)
b’ự
họ
ị=nghiệm
củalũ
họi
tụ
đều
thvv
trưng
đưụ-ri
[e,lấy
l/e]
----[nhiên),
etụ
dp
■G
Xvế
-ị
------[
eШ
(pl
—
AỴ
Axdp.
! điuyểii
Chú
ý21(2,L)
đầu
tiêu
Là
với.
XĐầu
@
{một
Aphải
)cua.
, tốn
T ị(/
Xhệ
G
$oA
{pcỡny
Atthoa,
và
i>ciu
(khi
tÇđó
thi
hiểu
tiêu,
trong
(2,33)
гU)[2,1)
di
'ỈU đmii
đượv
mv
định
duy
nhất;
Sị
đượv
í:bv
thức
['2,'Ậ'ở)
Nữ«HÂĨUI
thỏa
uiãii
[^
Ả
) r >ử
Dầu
tiêu,
tatiin
một
nghiệm.
cửabằng
phương
pháp
klếii
thiết,
Để
r tr
Jphương
Là
định
Bây
và
giờ,già
hệ
cơ
bản
trình.
( phụ.
Ly)tthuộc
là.
u
(
t
)
lim
—“7
/
0M*)||
=
И^*;Ч)1
e
(
p
1/К)1Ч)
)
d
p
Tlmy
vì
ta.
đị-uh.
nghĩa.
tử
niãii
2,2,1 Biến đoi
hàm.
i>6
thơng
thường
2ĩĩiLaplace
J T A —> của
2iĩỉ
J
Ệ
+
i
o
o
J
ĩp{t)
=
Aĩp{t)
+
ĩ
ự)
+ 00 tZ 7TZ J
>Si=(fiU+ -ị+\ eỊ í\ eỳSp-t F(p)dp.
khi
Лv>ữ—>
+00,
DalàđóGọi.
\ u í>ử
(2,le)
(e(thơng
02.6
tùy
ýЛCác
u-*4
(лetmtồii
)E,t
()tốn
s1,2,3,...).
)td0khi
s tử
(2,3(>)
Tị
thường,)
гnhóm
(A
^
của.
p tự
dĩ
đực;
theo
r lr
Sịlàui
vó
tính
chất
với
X
>1)
s it0xAnghiệm
e @{A)
(£,
í,
to),...,
í,=to)
trong
đó
tTpS{Ap}
là
thời,gia.il
bcUi
đầu,
t -u(t
rgiá.
điều
này,
ta.
VỚL
giá
trịđiuyểu
ban đầu
đK>
trước;
rLà.
ị(A
+
nữa
được
sinh
bởi
liên
||(A/-4)“
||
^10,một
>
о,
ж
=f2và
(2.23)
h
i
=
ụ?
.t
.=
J
\\Tị*lự
—
J\)Au(s)W
bị
chặn
theo
khi
s
chạy
trong
Iiiật
khoảng
bị
diặu,
p
t t x)đều
1 A
jẠT
=
ATịX
=
TịAx.
[2,11)
hạng
đầu
tiêu
bằng
0,
do
đó
dSịx/dt
=
SịAx
(X
G
Ỉ@(A)),
và
Sị{Ax)
n
o
Suy$6Định,
ra.
haulnghĩa
ảnh.
F(ỹ)
có
đạc>
hàm
tức;
là
1
lim
/
e
(jpl
—
A)~
u(Q)dp.
(2,(>)
lim
Au
(2,y)
1, R mọi
Ệ
—ioo
—plog(l
x)/t
==
r 2 r l r Z7TZ
Giả sử
f(t)
Là
hàm
gốc;
xáo+ định,
t > 0, nì)
Biếu
đổi.
+ Ах.
|£|)
c (£= Gvới
,j = 1,2,....,
(1.15)
JReAj-(£)
t p (TịX
pỈ =J —-----и
0<
T+ lim
với uhiêu, Гд2 наш.
ш —>ph.au
00 27Xbù.
£da
—£
iA
Hiểu
trong'
r Ta. kh.ảo s>át tích phân cửa. (2,33) dọc K
Щ
G
D(A)
r và
hợp
p
t
1
1 (tAJ\)
) d ĩ ễ ta.=AS
liêu
theo
(2,11),
biếu
phân
bị.
điặiigiá
trong'
Dặt tục;,
J exp
AJ\exp(tAJ\)
=0 exp
{tAJ\)AJ\
= exp
{tAJ\)J\A.
Ngồi
ra.,
t;6
5 trvny
và=
cha
À
rằng'
trị một
này kiiồii»
dầu(2,34)
về hữu
IK
SịX
í thuộc;
e—>
p(pl
—vàta.
A)~
xdp.
Liêu
t xđịnh
Ỵ“—7
t(2,19)
JtrẽUr
trvny
đó
s t nếu
được
hiểu
như
Định
lý +00,
2.5,1
ởkỷthấy
+ OC
La.pLa.t;e
của.
h-àiii
sấ—
fit)
được;
đị-iih
Iighĩa.
hiệu.
Là
ĩị){t)
=
[
T
ữ
Chửuy
mmh
tính
duy
Cha
Tị
Là
một
nửa.
Iihóui
tùy
ỹ
Iihậũ.
tấii
tử
vl
phân
Thật
ra.,
(1/77){T
—
Tị)x
=
A^TịX
=
TịA^x
với
77
>
0,
Dt>
vậy
nếu
t _sf(s)ds.
trong
đố
Res
kỷ
hiệu
ph.au
dư,
D
L
>
đó,
từ
và
(2,31)
tLaplace
+ rdiễu
Ị nhắt,
27
xỉ
JY
2,2,3
Biến
đồi
của
nữa
nhóm.
L>ây
là
inật
cách,
biểu
Iighiệiii
dùng
giá
trị.
bail
đầu
w(0)
G
@
(
A
)
và
tập
gi-ài.
thức;
(biếu
theo
ViỊịđóphụ
thuộc;
vào
t,) = I ịvầv
trvny
ưa
pch.L
phụ
thuộc
T
nhuny
đọc
lập
VỚIh.ạ.11
£.0 ) = ổi)
{vị{Z,t;t
Fedio
'kliỡiiíị
(3(A)
pЛ
ftục;
{Là
t>
)ó)etại
- >ttứt;
‘ =) dtập
tLà
hạn
tùy
ỷ , tc
và
1xấ&
liêu
O
r0cát;
Th.ei>
Định
lỷ
Lebesgue,
ta.
=ẽcố
(/
-V.A(\ IU
—
0,
uL)[.>
((A
t) и
là
> th-òa.
0).
gi-ới
(2.24)
điú
và.
(3)IU
Chu
,Ỳthức
t1rằng
'tốn
>0 cuối,
0ĩp
và
Xcửa.
E
Iighla.
Là
tập
đị-iih.
inột
mãnж(2,9)
[lim tầu
tại
i x Là
l|u(t)ll
<
Ce*‘
(2.2)
E
+
00
CÌIO
H
tử
tự
Liên
hợp
trong
khơng
gicUL
hLĩLbert
Nửa.
Iih-ốui
thu
Chú
Ỳ
đẳng
đúng
nếu
X
€
@{Ä)r
1
rí~
,
(lĩ)
Mặt
kháu,
tá>
ANyưàĩ
r(X
Trang,
trường,
hợp
này,
ta.
khơng
glầ.
thiết
(1)
trong
(2,7),
ỈU
i;6
1JNh.ư
e
@
(
A
)
thi
SQ
hạng
uuốl
cùng
tiếu
tới
TịAx
khL
T
Ị
—
>
+0.
Nếu
í
> 0,
Chứny
minhr
ta.
đã
thấy
trong
chứng
uiLiih.
cửa
ÜLiiti
lý
2A.1,
để
chí
ram
cũng
có
diễu
Lri.plci.cfc
),
và
LLỐ
quail
trạng;
khL
ta.
klếui
tra.
(.'át:
t-íuh.
(.'hất
cua.
nghiệm.
T tOr
Ngồi
гa
bằng
cách
đối.
biếu
pt
=
p'
ta*
thu
được
ülơt
ánh
xạ
từ
Tị/ị
tới
Ti
sao
ổ
ị
là
kỷ
hiệu
của.
KroiKX'-ker),
Ngồi
ra,
ta.
đị-iih
ughia
p
t
_1
pt
tại II1ỌL
pr=72,2,2,
thuộc;
cát;
miền
trên,
Định
tốn
únh
nửu,
nhóm
Tị thỏa mãn
(2,7)
T ị Xđlếui
—7 /vạy,
e Ký
( pu(t)
lhiệu
—
Л)
т4ж—
G r của
> a,í >
0) ỉà □
F(p)
=tử(ж
L{f(t)}(p)
= Ị duy
e~
f(t)dt.
đố
taU—
día,
\có
{ tX)lý
Dl>
được;
xác
định
một
vấc
nhất.
theo
ù),
vàVỚL
tập
này
tạo
thành,
mật
khơng
gian
da
E.
Nói.
điuug,
Аvà□
Chứny
Ĩtiĩnhr
[Băng
phương
pháp
phản
chứng)
rAJTa.
giả
>ử
(1,15)
kliồug
đượu
từ
H
iH
Là
t.L>áu
tử
sLuh.
Là
đã
biết
và
được;
sữ
dụng
đio
uhiều.
ứng
Hiểu
Iihlêii
J\,
J
[A,/z
>
0)
Là
gicw>
hốn,
vì
vậy
u
(=
ịxỤụ,
—
I))
Khi.
đó,
ta.
cớ;
27П
ß
m
77
>
0
thì
ta.
viết
(1/
—
77)
(Tí-,,
—
Tị)x
=
T
t
r
Ị
A
r
Ị
X
và
từ
đ6
ta.
thấy
Aip(t)
=
[
T
_
Af(s)ds.
(2
3t>)
Là
nghiệm
tadll
cần
chi
rarằng,
uếu
đặt
ĩ
Ị
)
ị
t
)
=
/q
S
ị
t
s
r
0
e ß đầu;
Là
khi
ịtích
—>
+00,
trong
và
hằng;
h.ợp rxác
Vì ch.t>
vậy
( p ) tại
gi.ài
uiìều
R
pbài
>
ơJß0exp(sAJ\)(A
.l Là
□ đưmy
TịX
—trang;
exp
(tAJ\)
=đó
Tс11311
— sấAJ\)xds
(X
€ tương
@(A))
Bây
g,LỜ
ta.
quay
trở
Lại.
tối!
kiếm
diứiig
rằng
u(t)
định,
t _s
«belli
Y<;áu
Ar Fđúng,
Tồn
một
giải
thức
(pl
—
A)~
của
A‘-i với
tỉv
,pdương
> /3.thí
Nó(il
£VỚL
ữ2gọi
X \(|£*|
khơng
phải
là.
tốn
tử
diặibỈU
Là
một
cua.
Bây
pí
1 bị
đúng
S
t
S
t
x
=
bất
kỷ
j
(>
ex
0),
tồn
tại
một
£*
1
>
1),
và
tầu
tại
một
x
nghiệm,
día.
(1.14)
thoa.
=
£
(/
(
*
i
t
r
v
(
u
i
;
t
i
)
f
\
m
№
ÿ
Jo
r
dụng;
một
tính,
ci
Loại
nh.0111
này
khoiiíị
g,ia-0
1U
^t i>6
=[và
exp
Xơxdq,
eữnửa.
@(Á),
t;ó
2.1
Khái
niệm,
nữa
sinh,
Các
tĩnh
chất
của
nữa
(1)
||JJ>||
=(1'i.iy
,A
2ĩ)
,(.viết
)4-0.
=LLhcUL,
-^7
А)~
■
' thi
/О.Л
Ы)Ы
-.nhóm.,
A)~
exp
(qt')(ql
-Với.
A)~
Jtatại
Tị-^A^x
—^
kh-L
—y
Dinh,
2r2rlr
Nếu
là
yếc
với
chỉ
tăny
thì
tồn
biến
đổi
aexp
f {/ sS(tAJ\)
) Định
dkhác
slý
pсCác
'/2các
(т
tm
)(p7=P1 f(t
i,)nhám,
p3uhiêu
tАх^.
).hàm
+Tị
fbuột;
(dp
)Tốn
A(tAJ\)r
i tử
pcất
(hợp
tb'ỗ
)cử
liêu
tụt;,
Vithức;
vậy
ta.
2với
lý
HiLle-Yosida
p
1
2.5
nữa
parabolic
tmug
(2
(>)
với
điều
kiện
ràng,
t.Ilk'll
trên
tập
giải
chính.
Là
một
2
т
г
У
р
r
Tmiig'
trườnghợp
Г
Iiày,
Iihư
ta.
đã
biết
biến
đối.
La.pLa.(;e
ciia.
nghiệm.
u(t)
biến
đơi
Laplurưư
của
T
j
nyhĩulà
t- .tiêu
Dế
chứng'
minh.
điêu
liày,
trước;
ta.
uhắt;
địiih.
nghía
cua
tíđi
phân
vàị Xuh.ú
S+Xt xbiến
=(.'lia.
^A
-Sị
-Tị,
fkhát;,
eta.Lập
(-1
- lại.
Ara.
Ỵ=th.ứ(;
xdp.
Chứny
mmh,
Tính,
duy
Iihất
được
ỉ>uy
từ
dịiih
[ỷ
2'SThật
Ici,
trong
đớ
tađã
i>ữ
dụng
A
J
D
J
\
để
thiết
đẳng
Từ
đó,
exp
(
t
A
J
\
)
x
—»•
T
khi
giờ,
đối
với
biếu
đối
La.pLa.ce
día.
c;ó;
2,2,2
Cắc
túih
chất
của
phép
đồi
Laplace
r
mãn
Re
,
Aj(£*)
<
jlog(l
|£*DMặt
u(x,t)
exp{A(£*)í
4thoamãn
L[u\
771- J„)Arís.
F(Л
nhóm.
ĩf>
_i>ử
M
±{T^lT^}ds
=J\Ax
thiết
Lập
chẽ
ởp=điuyển.
Íịi-íũ
đoạn.
phát
triếii
đầu,)
Tmột
X J'
(2)
Với.
GФ
0(A),
AJ\X
J\
—
I)x
Từ 0),
đó
tatacó xét
với.
X €E
E, thiH>=
r ba.il
2ĩĩi
t £J Tr^T«
4=tiêu,
ỉ A(
Giả
X=Xcách.
G
(ch-ặt
A)
thì
Laplace
r@
trong
đố
r'
thu
được
bằng,
cáđi
d-ỜL
г
dạo
theo
trục
thực
chứng;
minh.
e
(
A
)
r
VỚL
6
(>
p t@
iL)ầu
Tị(e
)x
—
eta.
Trất
(x
E,üç
,p bài
={ ttốn
ß),77
nghiệm
cua.
(2,1),
rằng;
kh.6
để
giai.
quyết
ở)) dạng
qt,
+liên
2|ỉ'l)‘,
(1.12)
t xdt
xác
hơn,
uếu
t < ýí0,
đặt
u
0cũng
thu
được
)çkhác,
us{ t>thòatầu
tạitổng
Rethiết
,p Dể
>
lY
l( t ) =
ỷ(điính.
A+00.
LàLý
một
tốn
tửChú
đóng;,
Lb
đố,
Aĩp(t)
tục,
Mặt
với
> khi
0,gi-ả
- Lỷ
Dịiih.
222,
đổi.
L&pLcw;e
(pl
—
A)~
uửa
mãn
+đóny
00
t
Tbiếu
—
A)~
x S(xt_
eetrường
E,Hz
pfnới
>
(3).
(2,17)
Định.
[ULLLe-Yosidä.),
Ckv
tưán
tứ
A
có
tập
mo
định
trù
mật
Лtheo
—»•
□Щ
tsx3(pl
7
0Thêm
vào
đố
(
2
.
J
о
4
p
{
t
)
=
/
S
f
(
s
)
d
=
/
[/(s)
(
t
)
]
d
s
+
/
S
f
(
t
)
d
s
.
Khi
ta.
iniêu
tà
biểu
diễu
La.pLa.t;e
(2,5),
ta.
rằng;
rất
k.h.6
để
thu
được
mật
Cho
E\
Là
một
giai
phổ
của.
H.
Trong
hợp
này,
một
nửa
nhóm
với.
iH
Là
2.1.1
Khái
niệm
nữa
Iih.6rri
e
t
S
t
a
VI
Tính,Vì
chất 2.2,1,
Ffiép
biếuLỷ
đốiFubun,
Laplace
có tính
tuyến
tỉnh, Nếuf(t)
và
hướng
ugượt;
lạĩ. Theo
Định.
vế
phải.
Là
?
i=l
p
t
AJ\X
=
X
(
J
—
I)x,
{^12Ъ)
bại
bo
kh.6
kiiăii
này
tadùng
kiiáĩ
Iiiệui
'Iiửa.
Iih.6ũi
để
thu
được;
định
Lý
tầu
tại
J
Q
J
0
J0
A
pt
t = L{f(t)}(p) = Ị e~ f(t)dt.
pt
ß,
t +[ ( ?F{p)
' .e~
-chí
rTpA
Tnếu
)Ax
TịAxdt
=tụ С
lim
[thức
TịAxdt
t-miig'
đỡ
c(l)
là=SW
h.ằiig
qua.il
đếii
l.một
t (e~
^2‘ồ)
cửa.
Dinh.
lý
2r‘ởr
Trong
-J
nghía
(2,33)
uim
s t r e~
ta- hữu
thấy
í>6
Vtồn
(sinh,
t +tại
4)
-[2,27),
1 Ịnày
\ .i>6
. với
.tu,
->Iđược;
f‘
ßm_
chư
ßđịnh,
tại
yĩảĩ
(XI
—
Arằng;
)_1 om
A ttình.
thỏa
Từ
(2,26)
và
phương
p,liêu
này
hội
đều
p trong
kh.oa.ug
hạn
üüä,
^h-0
T tồn
tốn
Định.
tử
Lý
trường
tồn
(thật
tại
hợp
ra.,
nghiệm
một
bắt
cuny
đầu
từ
có
biểu
ch.Q
diiu
bời
đó,
Trong
mật
í
>6
trường
hợp,
=
etrình,
TịAxdt
=
lim
/
e
TịAxdt
T Iih.ốni)
Jĩìvny
Q biến,
L
4
+
0
0
J
Q
g(t ) vó
đổi
Luplurve
thì
Af(t)
+
Bg(t)
vũuự
ưó
bĩếìh
đổi
Lwpiuve
(
jí
1 phương
Ì
J
V
J2 T ĨFourier
J
Chúng
tađã
sử
dạng
biến
đổi
theo
biếu
khơng
gia.il.
Một
pháp
|u(0,í)|
=
exp{Re
,
A{C)t}
^
(1
+
|ri)
{t
>
0),
0vi
nghiệm,
Uliúiig
sửJ\X
í>ự
tồn
ĩiiột
thức
(00
l Уд
— (Л
A
) khơng
-—>
.có
IU+oo)
хеш
xét€việc
V*J0
tỊ ) (tại
1trong
ữta.
Шеи
nhiên
ĩЦịCauchy
>tae (giả
t ) —>■
ĩphương
t )Xс(elia.
—
>
+0)
,
Mặt
khác
2çbiLg,
A Bài
tốn
cho
trình
phân
gian
lgiải
L—>
+
lp
—>
(X
E.)
V
V
dấu
(2^)
tích
phân
/ của
/ exp(pí)exp(ợí')(p/
khà
viulióni
t, Do
- AỴ
đó +
(2,34)
{qI
- A)~
đúng,
Để ỷ.
cố Da
[2,55),
ta. xét biểu
2 ' lTa.
rЛ,
' ồtrong,
Các
tính
chất
nữa
mãn
khi.
yLí
—>
+00.
t cố và
chú
ỷLại.
rằng
trang'
(1.11),
jptheo
thể
được
(.'hüll
Lớnxdpdq.
tày
vậy,
sánh.
1,5
Các
Đinh
lỹ
Hadarnard
1£lý
huốug,
này
khát;
vài tPetrovsky
cố
được
Định,
cáđi
tự nhiên,
Ví í>t>
dụ, trong
u{v)
—
Ị íe~
(Re
,p
=. >
>một
ß)
(2,3)
Hta.
+th-ể
i tu(t)dt
xthu
А,
в
m p =
c b'ư,ư
e
u=
e
dE
u
(
u
ễ
/
)
(2,37)
me
định
VỚI
mọi
số
'[ỉhứo
ơ
+
ỈT
chv
ơ
ƠQ
và
lim
F(p)
=
0.
khát.Là
dùng
biếu
dổi
La.pLa.cti
đio
biếu
th-ỜL
gi.au,
đây
Là
một
phương
pháp
x
Do
đó
khl
77
—>•
+0,I
p
'
(
t
)
=
f
(
t
)
+
A
i
p
(
t
)
,
trong,
đố
các
s>6
hạng
ở
vế
ph-ài.
\
l
(
p
l
A
r
\
\
<
_
p
(m
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
)
.
[2.18)
+
p
i
Banach
{ í i ekiện
p
) m được; đit> trước,
điều
sau
telnày
có cliặt ch-ẽ liơib GLả sử=các
Jo
lim
[(—(2.20)
e~
—(T
Ь Л+
OtJ0-Q<
t x)dt Là,
ОС
diễu
của.
ước;
Lượng
trong'
mệnh,
đề
2,5,1,
nghĩa.
VỚL
trằng
1 sta.
cố
A
ĩphương
p/từ
) ll^íll
A Snhiệt
-ethuẫn
sp t[Là
f(1,2),
sVỚL
) A)
-uiật
fgià
)thiết
]\(íd(>A2>sßrbài
AO1Smột
s ỉ,dv
ự<ị )dlà
Jelliptic,
0' đríiih.
Ngồi
ra.,
tế
@(A)
2+
7 )íLà
ta.
thấy
Tị^x
— Tị^x
h.ội.
1{ tvà
Rep—^00
e ( tthực
(1.11)
VỚL
tathấy
mâu
đặt
Du
và
trường
hợp
ta.
thấy
=
vàđều,
nếu
ta.
ị"=
Xtrình,
=íthức;,
—7
[t điều
(tử
pIiày
l trù
—
xdp
0)
(2,32)
| |2,1,1,
((L12)
А
-uiici
ЛGiả
)T-giai
Пb’ử
(ma
, mAtL>án
= bởi
, 2Ccmđiy
,Khi
3tốn
. . .đó
,tửta
(2.21»
có
Theo
œiig
th-ức;
bằng,
VỚL
là các
hằng
số)
và
Mệnh
đề
tván
A
được
định
có;
queii
thuộc
trong'
tốn
lý
t;6
ctLếii.
Sử
dụng
phương
pháp
này,
ta.
(.'6
thểchứng'
lập(1-4)
Luậii
-'0
Định,
lý
1,5,1,
[Petrowsky),
Giả
b’ử
váư
kệ
b’ố
ưủa
hệ
phươny
trình
chỉ
1
Là
các;
hàm
liêu
tục;
c;u&
t,
Vì
vậy,
ĩp'(t)
=
f(t)
+
Aĩp(t)r
Bây
giờ
ta(1)
Tồn
tại
một
nghiệm
duy
nhất
u
(
t
)
VỚL
bất
kì
giá
trị
bail
đầu
U
27гг
./г
p
t
p
t
Q
Uhx>
H
Là
Iiiột
tốn
tử
tự
lLêĩi
hợp
bị
điặii
trên,
tức
Là
phổ
ша
H
bị
điặu
trêib
Lúc
Là
hàüi
điLiih.
hiiih.
üim
p
t;ố
giá
trị
trong,
E,
và
= lim
[e~
Tbất
x]Q
+
p€ lim
í e~miền
T t xdtRep > ƠQ VỚI đạư
tyĩảĩ
nữa
ham
biến
phức
) nghiệm.
la
tích
trvny
(tiơu
tĩvny
đó
ký
hiệu
3ba.il
riyhia
là
tươny
ứny)
tự
đều
trong
khồug
liữu
hạu
tF{p
^giải
0ta.
kỳ
Xbài
E.
đỡ,
điều
kLệii
cầu
của.
được;
điứug
minh.,
,Re
p t với
,p—
t
Trẽn
thựt;
tế,
với.
X
€(L1D)
@(A),
œ
(J\
I)x
(1
/X)J\Ax
—»•
о(Л—>•
+00),
-rjd\p\
=
ơ—
00tchất
.đ ố iprất
áp
Chúng'
đặt
một
ta.
diều
trình.
kiện
bày
định,
lđầu,
ý tồn
tại.
thức
của.
ciia.
A
t;ó=
tốii
một
Ca.uđiy
tính,
với.
trình,
L(e~
—У
-|-00
L —y
H-oc
(1)
VỚI
bất
kỳ
X
€
E,T
)x
€
@(A)
và
(pl
(e~
)x đẹp,
=phương;
X.tự Iihư
t Khitốn
ß
t
trường
hợp
khi
cáu
hệ
i>ố
(.'IU1,
tử
đạo
h.à.111
riêng
Là.
biếu
tương
phụ
thuộc
vào
thời
gian
đó
điều
kiện
mu
và
đủ
đê
bài
Cauchy
l
l tốn
uiLiih.
tính.
duy
iitLất.
Dễ
thấy
nghiệm
U
\
(
t
)
uua.
Ỵ
u\{t)
C
h
ứ
n
y
m
i
n
h
.
(2.17)
cliúiii
là
Iiiệuh.
đề
trước.
Với
(_2
tliấ.y
rằng
VỚL
X
е
Е.
Thật
vậy,
với
X
e
@(A),
{2,'i2)
Là
hiểu
r18) tta.
nhiên,
Ta.
biết
rằng
(2)
||w(í)||
^
C
e
\
\
u
\
\
.
0
L{Af(t)
+
Bg(t)}(p)
=
AL{f(t)}(p
)
+
BL{g(t)}(p).
(2,12)
exp
(pt)
exp(qt')—^—[(pI
AỴ
(qlAỴ
]xdpdq.
này,
Iiửa.
Iih.6111ó>
H|t)|
Là
tấ.11
đươc
bởi tứ vi phãn A, Trưng truờny
p t ch.0
khi
đóviết
tâu
tạij=0
duy
nhất
nhóm
Tị\p\
có
tưáíi'г+sinh
! Là
hàm
='nửa
- Xtữ
pT
(e~
)x.
Tagiới.
h.ạ.11
uủ-ct
hội
X
giờ,
T' Ta.
ị_
Xra
t , [tụ
Lb
vậy
từII
Jđủ)
||gia.il
c,! tJp[vị(£,
cb
(2,20),í ^ 0, và
tiếu
tióci
trong;
khơng
J3ci.Lictc.il
(2Л)
{Diều
kiện
)r
A
=^L)ặt
S@(A)
, _pAU
flà
((p)
st;trù
)—-ítT=
f0)]
(ịmật,
tpU
)=r] Bây
dRị(t',t
s(p)
+. đố
f—‘0í>uy
Su(
, liêu
dđịnh.
sđược;
f (tục
t ) Iighĩa.
, VỚL
t 0).
(2)
Với
X
€
@(A),T
(e~
)(pI
A)x
=
X
Diều
kiện
vtw
yiăi
thứư
trường'
hợp
chúng'
Là
hằng
>6,
+
00
(L4),(Ltj)
đặt
chỉnh
đều
VỚI
t
e
[0,T]
là
tồn
tại
hằny
số
c
và
p
và
=
{AJ\)u\{t)
+
f(t)
l
p
i
0(A)
làtrù
mật,
cb
vậy,
từ
tính.
liêu
tục;
uũaTị
t&
шу
ra,
[2r‘ở2)với.
X
€
E.
Trong
trường;
hợp
này,
nếu
tađặt
u(t)
=
TịU
(t
>
0)
thì
từ
(2)
Tị
cố
thể
được;
Tiếp
theo,
Iiếu
t
>
о,
X
€
0(A)
thì
0
(pl
—
Á)~
x
=
[
e~
T
xdt
Re
p
>
Ị3.
hợp 2,2r2r
này TịPhép
thỏa jbiến
mãn
(2,7).
H
t x các bấtt đắng thức này ta. thấy nghiệm với giá trị.
tùy tỹr
=óbị.
I {-t)e-<“f(t)dt.
Tính, Chú
chất
L F'(v)
ađó
petừ
kr ndE\U
ctử
tính
dạng,
u^ Do
—
Ị tốn
(и €đồny
Jỉf),
(2,3$)
(1)
\ \ q_t
T x \ \ 7với.
тẢ
- l Jvà.eвđơi
çta
t đị-iih.
rổiig;
Là
các;
chậu,
Iighỉctnó
Jđịnhcm
ỷ(3)
rằng
■'o
tXét
A t làr
tván
tử
đóny
tậpmv
là bị
trù[2,2»)
o
o cúc;
Ta.
kh.Ềk>
sát
a
và
0
(0
<
9
<
r)
Iíiiều
A-ác;
định.
spháp
hiuh.
quạt
điặii
bởinằm
hai
u(t)
=rpvà
Au(t)
+ thi
f(t),
ОС Iiếu
Thật
ra.,
ta.
đặt
ư
(p)
—
/
e~
u{t)dt,
hiểu
uhiêii,
U
—>
U(p)r
ntử
n (p)
Ngược
Lại.,
viết
s
là
uiật
tốn
tử
mà.
x.ấc
định.
bởi
í>6
hạng;
vế
phái
c;ủa
UL>L
Iihư
một
tt>áu
bị
điặii
л.ас;
định.
trêu
E.
Ngx>àL
ra,
tath-ấy
rằng'
L)ể
khắc
phụt;
được
kh.6
khăn
Iiày
ta.
dùng
phương
'Iiữa
lứióiii'
mà
t
0
_1
J
S=Л=
ịTX>
—
X!g)tính,
=rú>
—7
(3)
Vớĩ
ß■(qt
ta.
đầu
kh-ơng,
ró
liêu
tục;
đ6,
(L15)
Là
điều
kiệu
cầu.
u(x,t-t
)
J2
o)*
Uj{x)+
я™
(г,т)
*
f{x,T)dr.
(1,13)
(*)
t
(*)
Nếuba.il
F(p)
(2)
=
T
L{f(t)}(p)
ị
T
thì
với
mọi
hằny
bố
X
>
0
ta
có
được;
xác
định,
[
exp
mật
cách
^
duy
nhất
=
với
2ĩĩiexp(pt'),
gi-á
trị
ba.il
đầu
[
exp
cho
(pt)
trước
^
u
bởi
vi
A
=
J
0
\
.
Là
một
tốn
tử□
t
+
0
S
0
j=0
0
Jo
Hệ
2r‘ỏrlr
Trxmy
Dink
trẽn,
nếu
t lý >ố
Lấy
đạo
hàm
Lầu=
theo
tlmni
p,
t'dcó
ị 777,
[1)
Tsố
ị, 777,
Là
ruột
tốn.
tuyến
tính
thòa.
lỊTíll
<=C(tử
eSỡ,
ptUinta,
*q-p
^
A
i0)
exp(A)
=thành,
E
da
đóq
trwig
dớ
Là
cậu
trêu
cua.
“7
ph.6
í tử
e+pphcũ
{plsa.o
H
-—
'IU
chú.
ỷmãn
(2.37)
làt )tốn
và
uiệuh.
đềâm
đảo
i da.
mật,
r Ау'Ах^
tmiigđỡ
hangthứ
(
S
—
S
)
f
(
—
I
)
f
(
t
)
+
ự
—
tvà
eta
đườngthẳng,
J
x.uất
t>h.át
q-p
từ
điểm
(a,
tạo
J
gót;
—9
thei>
điiều
với.
Chứuy
minhr
Với.
mại
p
=
ơ
ỈT
dii>
ơ
>
(To
uố
T
T
Thêm
vào
đố,
AU
(p
)
=
/
e~
Au(t)dt,
da
đố
n
(2,32),
tức;
Là phạ.111
trong;
cùng,
khái,
niệm
như
biếnhợp,
đối. La.pLa.wi,
Ulio phương trình. (2 ĩ)
J 0V
ßvlULà
c
hằng
sấ nghiệm
phù
j J tmiig
7Гbịđiặib
Dặt
uđó
( t)\
) c,
—
\ ( t€
)2ĩĩi
=
\rằng,
(гt ) choT],
u (j=0
t )=cua
(2,28),
đố,
ta.
œ cũng,
X ị Vу
•>ữ
Dể
chứng,
uiLnh.
(2)
ta.
Tị+
—
Tị^Ts^x
khi ЛKhi
—>•
+00,
Ta.
uố
L)ướL
điều
kiệu
f(x,
t)
C7°
([о,
th.ay
(LL3)
Là
üiơt
nghiệm.
СЛШ.
Stx^
2t°°),tav
(£,t;t
^mC(1
+ ethấy
\t\y
(0m^ 1to
^VF
T,
j
(1,10)
XÍ
TịXdt
—У
X
G
E
(А
—
у
-boo)
0
p
m
- 1i>6 LLêii (2.13)
(.'ũti
biếu
T này
= )TịTg
cũng
đúng,
(Dịiih.
t,1r s- A)^ tức
và
Là
lim
nhóm.
Tta.
uiiLtci.
=thúX:
uT0t xdt.
(u ülơt
tham
l,)í->+0
tục;
t;6
thi
t u{-t)
0cố
0( pei E)
SDa
f((Iphát
tthực;
)uiột
. [2)
r0)
$=
+
i
°
°
d
ĩ
ì
i{/()}(p)
e ) vậy
trục;
p-iiiặt
m\{pl
phang
“
x
tại
=
e~
một
giải
—
A
thuộí;
tập
bù
E,
và
Lầu
uủu
l
ý
Fubiiii,
(A
>
(2.21)
với
0 ((.'ủn.
A )t + S(-1
Là tti(x>
inĩềiixác;
định.
cua.
tốn
tử
A),
^u(t) pp=
{ơữ ơ)t
(21)
J=ot-а.
t \ nAu(t),
n có
\f{t)e~
<Cht>
MeA)~
~là
Trong
tnrờug
{f pỉ
—
Ax—
( í >tử
a )đóny
. ra từcó(2,33)
pdt .tại.
Định.
lý
2A'l'
(Đị-Iih.
Lýíí^~
tồn
A0,x
một
tốn
,kiệu
.đã
.nghiệm),
.cil
. eCh
. x xdp
T(1,7)
=thòa.
X,
cbüiâii
đố
điều
Túih.
duy
uh-ất
nghiệm
>uy
kếttập
quả
QX Щ
shợp
—này
—7
e
(pl
—
A)~
(t
>
e
E)
t x các
p t[Định.
_pí
p t (2,38)
Với
e
@{A),
được
biểu
diêu
dưới
dạng
(2,37)
Lý
St-Qiie),
Ngx>àL
ГсЦ
diL
ra
rằng
nửax{t)
=
(AJ\)v\(t)
+
{AAJ
)u{t).
Jịoo
x+ p / p
Dt>
dớ,
khi
£và
>
+0,
tính.
liêu
tLaLder
f ( t ) và (2,35),
AU
(p)
/ if
e~từ
-j-u(t)dt
= t[e0tục
ií(i)]g
e~cua.
u(t)dt
n—
tĩvny
c-*-7
p=ẰTĨ%
độv
lập
với
□nối□v
l.
x t dịch
27Г2
Tính chất
2 rkết
2minh
r 3đó
r Phép
biếu
đơi
Laplaœ
có
tính
chun
ảnh,
Từ
(2,7),
tẳ>
(2,1»),
trong
đớ
A
Là
một
tử
tuyến
tính,
đụiii
trên
khơng
Btuid.di
E,
và
[Jtốn
exp
\p(t
+
t')]{pl
-xác;
A)~
xdp
=
sđược
và
từ
quả
[1),
liêu
IU
/
e~
T
€
@
(
A
)
r
Da
đó
trù
mật
0 SU-У
06
J @(Á)
0 gian
t+
t ,x.
t xdt
Chứny
(1)
Ta.
nhắc
lại.
rằug
tốn
tử
vi.
phân
Ả
xáu
định.
bời
Đặt
Auv (2,23)
=xsử
(T
r
mo
định
trù
mật
thỏamãn
điều
kiệii
^£2‘ò)
hưặc
(2.21).
Та
силу
giả
[>5)
TịX
—У
x :Định
kh.L
tlý—У
“ЬО.
rằng;
biếu
đối.
Fourier
û(£,t)
t;
ũ
a.
iiíịiiLệiii
u(x,t)
Là
Iimt
nghiệm
(.'lia.
M
[
{
,
t )]
tkì
hết
iuận
cm
2JJ
đúìiAjr
(Tkật
m
trưng
tncờny
hợp
này
7
Z7TZ
Jp
0
a
0
||ехр(Л)||
nhốui
t;ó
parabolic;
«Lải( strong;
IUỊU;
trước;,
Tf ị( 1t^
hội
tụ,
tích,
/dIigồi
f(t)e^
hội
đối, giờ,
Amà
i ỊF(p)
) /sđ6
{ t ta.
)dạng
tiếu
đến
I mà
Sị(T
'tel
_00do
) lim
— ph-âii
)tu,
]exp(pll).
sœAu.
+ £,
( S~và
—
I ) ftụ
( ttuyệt
) ra,
, L>l>
ả Là
tгướỉ
s_1[0)fđó
t ^dt
0
=
Щ
=
(2,8)
Diếu
=
L{f(t)}(p
)
thì
mọi
Va
£
с
tu
t=
trong'
già
s>ử
(pl
—
A)
dượt;
xác
địiih.
(2,31)
xảy
Bây
Vi
thế,
biử
dạng
kỷ
hiệu
giống;
như
định.
Lý
trước;
t>;
điiuiíị,
tính
bị
I1Ĩ
khơng
cầu
già
định
trước.
Tuy
nhiên,
uếu
Athấy
khơng
bịr điặu,
thì
già
p dt
i Af(t)
—nliắc
ĩkiểm
ỊVì
T
ị—
(ĩ )điặu
>và
0),
trang
)đuih.
Là
mật
tốn
tử
bị
chặn.
IU
IU
Lại
kết
q
dạng
lỷ
tồn
tại
nghiệm
tương
VỚL
Đị-Iih.
l ỷ ta2,4.L
t-^+o
tliên
rằng
—>
f(t)
œ
vế
ỹhảĩ
tục
với
tthiđi
eKhi
Khi
đój
bài
Chứny
míuhr
[Điều,
kiện
mu)r
Già
sử
(LIU)
khơng
đúng,
đố,
VỚL
bất
kỳ□sơ
0t)0tụ
vậy
tồn
biếu
đổi
h.ỘL
tới
u(0)
+dưới
ptđi—>
e ~chứng
u đá
( t hệ
)một
dA
t jtại
khi
ní>au;
—>•
+00,
trong
đámà
A là
một
toấ.11
IU
điứug
(2,(>)
bằng
quả
Cuối.
taminh.
tốn
tử
sinh.
c-ũ-cu
Tị
Là
A.[0,T]
Dế
làm
được
điều
=
g(Ç,t)
troug
(1,0),
□
thỏa
mãUr)
ptf(t)
tmiig
E dù
, úug,
từuố
(1)
và
[2)
ta
thấy
rằng
T)t s(e~
)
c-h.iu.tL
Là
giải
thức;
cua.
A
r
Dí>
vậy
Mặt;
hiểu
uhiêu,
uhúiig
tơi.
giải
tliíđi
trường
h-Ợp
liêu.queWi
[2,‘il).
tốn
tử
đóng,
taœ
ĩ
Ị
)
(
t
)
€
@
(
A
và
số
hạng
này
bằng
A
ĩ
p
(
t
)
Bởi.
vì
A
ĩ
Ị
)
{
t
)
hLĩển
uhiẽu,
biểu
diễu
ở
vế
phải,
điĩ
ra.
x
—
X
liêu
tục
với
t
^
0.
r
e
t
LapLcv;e
F(p)
và
■'О
t
ta. óx
Nếu
A
và,
В
gĩcw>
hốn,
thì
ta.
Ф uhóm
2 là A
2
1 cua.cấv
i>ử
tậpj,
ẤÌu;
định.
t;ủd.
Là
gi.
tui
WI1
trù
E , điều
và
Là
tốn
M
(2.31)
Nói.
ciiaiig,
ta.
gựl
{Tị}ị>0
uếu.
thoa,
uiãu
kiệu
Trong
trường
hiệu
lỷ
q_ua.il
đếii
uh
.6111
tương
ph.á
-11tửt
С1ш
иrằng
e@
(Ì1Ợ[>
H
)(2
, rtức
A
Trong;
này,
tốn
CtẲUohy
28)
nbấ
u(t)
Gmật
сpaniboũx:
([о,
т],
Е)Ảđề
(о
<
uguu
dương
tầu
tại
£*
(J£*Ị
t*,tl
kmột
cho
L7là(2
{tại
r2í>)
ft ^(cZ[[Ỉ7a'^||
t2),
)œ}nửa
( nykiêm
=khơng
Fvà(ra.
-AScu>
)chúng,
.iiửci
(2.14)
này,
ta.
viết
tử
vl
ph.ân
Tđịnh,
Là
A
'pliêu
đrí
'aD
A
. nửaTrên
thực
tế,
từtrườnghợp
Mệnh,
5<
rtốn
l t,VỚI
với
tử
đỏng,
1tốn
7 )và
hLê
quả
Dưới
điều
kiện
nhu
trvuy
Dịỉih
lý
2.2,2
riếu
X
ẽ
0(A)
thì
T da
rtn.4.)
Mệnh,
đề
2,5,1,
ta
thấy
rằng,
Sị
Là
một
uhốui
thỏa.
Iiiãu
điều
kiện
Do
đỡ,
(pl
—
AỴ
bị.
điặu,
kéa
theo
pi
—
A
Là
tấii
tử
đống,
đó
A
cũng,
Là
p
t
p
t
C hứ
y m
in hr
Lỷw 2,'ò),
=A
—
ßL Từ
'S>
), tauốta.tử
hội.
tạ u
đều
A^ie-^x
đếii
ĩ(cm
p-5(=--------------T
t Định.
) trong'
khoảng
)x =bị- Aị
/điặii
e~
{Tcua.
)xdt[2,2
£ —
+0,
+A=00
+AJ\)u(s)ds
00Ch.L>
+ 00
t (et + r i - tT t khi
V\(t)
T
(и
G
@(A).
t _dưới
s (A dấu
J œ;
1
/-M-ioo
J
đ6ii£\
(2.37)
thể
lấy
đạo
hàm
theo
t
tíđi
phân
ta.
(1)
và
(2)
cua.
(
2
J
)
và
Iiếu
T
u
(
Щ
€
E
)
là
h.à.111
LLêii
tạc
theo
t
.
p
t
ơ
t
Ỉ
T
t
ơ
t
với
hợp
trước
t Lieu
ữ £ánh.
qua.!!
đếii
kỳ
nửanh.óiii
nào thỏamãn
Mênh
đềbất
2,5,1,
т)
trịlàkhi
ban
đầu
V +Щ
@(Á)
'ưà
V \obất
kkh.oj.ig
Л
>0trường'
О,
(X
Ikỳ
—
y-oiig,"
tủa.
@{A')
trêu
Do
thea
thuyết
\F{p)\
\f{t)e~
\dt
=
f\f(t)e~
e~
dt
—
\f(t)e~
\dt
> vửi
ехр(л
В)
=ký
ехр(Л)
ехр(Б)
0 0 đó,của.
vỉ1
)ị>j(l
+Tvó
ịtịy
(t'„
do
đó
Định.
Là
đúng,
Ta.
hiệu
Là
tốn
tử-1JE.
vi.
phân
st'giả
Theo
(2)
ữxát;
Dt>
đ6
lim
là
đúng;
—
x)
và
=--------------t;ố
thể
được;
/từ
viết
lại
(í>/
thành
—
А)
Аж—.
Tính, thấy
chất
đóng,
2r2r4r
Fhép
bl
ếmật
I,.
đổi
Laplace
tính
trễr
trt>ug
đố
A
Là
tốn
tửLiêu
đóng
t;6
tập
định.
trù
mặt,
7 (2,4)
0(lì,t'-,t'
/>00
l
í
rằng
A
i
p
(
t
)
tựUr
Dự
dố
ф
'+
ịt)
=
Ai/j(
t)
+
f(t
)
,
taШ
I
p'(t)
Nếu
a
các
hệ
í>ố
hang;
i>6,
ta.
ký
hiệu
Aj(£)
(j
=
1,2,...,
m)
Là
nghiệm
£+ioc
7
v là.
0
0
0
p
t
p
t
p
t
1
nối.t(2.21),
u (
inợt
k-27Й
irệì,ĩ—
c;ủ&
(_2,1)
uếu
^ 0) Là hàm
=LàLà
- —7
/ (một
e[-nery=ty-oii-g,
-í be ~
) Ti00
-@{A')
->/ Ị3)
e t~ —trêu
T¥t xudE(tt.p)Vì( tvậy,
í“+0
./
(2,23)
hay
t xd t(£
Ễ_
TịX
=0)lim
(p
A)~
xdp
(2-iy)
(1)Ta,
\\s
\\
X
cua.
ta.,
(XI
—
А)b'ố
cũng
ánh
củ-ci
( á-iih
A
) С
□
cua.
mệnh.
đề
2.5,1,
ta.và
cờ
A'
D
A.
Nếu
Re
,pt _sf(s)ds,
đủLỚI
( p icó
- Artốn
!J) 0
vàtử
( p sinh.
l — AtừAr
)1 @
Là
Nếu
T Bây
là
mọt
hằng
F(p)
=
L{f(t)}(p)
thì
ta
có1,Tị
giờ,
gi-ả
í>ử
toil
tầu
tại.
nửa.
Iihớui
Trang
í->+0
<
7°
Me^-^dt
W-»
=
MỂ^L
+
OC
=
J«_
J
u(t)
=
T
+
T
(2,30)
t u2lĩỉ
ữmột
r
j
J
r
,
ì
=
A
ĩị)(t)
+
f
(
t
)
r
Dt>
vậy,
u
(
t
)
xác
định,
trong
(2
3í>)
thuộc
Ơ
([0,T],
cửa.
r
(pI-A)U(p)
=
u(0).
(2.5)
=Ü,
£Aexp(tA)
—củai o o đó
=phải.
exp bằng
(tA)A.
Nếu
£ lim
—»■
+00
thi Lân
vế Аж
phải
d-ầii
về
Ih
túihqt,
bị điặii
Là(2)
đúng
trong’
cạiivexp(tA)
định
£*.vếKhâiig’
glàui
tổng
ta. ró thể già
Pớu
Vi _Iihất
f 00 cb
Гtính.
) Từ
((5^
—Smật
^(^4),
í-»+0 minh. A' D ịA Г
@
( Atuyếii
'kh-ác;,
) tacố
0x)/í)
ỉsong
{ Á=ró
)áuh
=tliể
@tương
(chứng'
A 'X1) reứng
Để
ch-ứug,
ta.
tiếu
như
i>a.u
Với
p{s>ự
t A ' ) tail
p t hành,
Mặt
liêu.
ta.
iiiLuh.
tại
ша.
Iiửa
Iih.6111
s
œ
tốn
Ấ.ỈỊ.
tính.
từ
S
l
và
0
(
A
)
tới
E
.
Do
đố,
@
{
A
)Iiiật
) tử
t
r
=
--------------/
e~
T
xdt
—
e~
T
xdt.
Định.
trường;
lýr hợp
2,5,2,
này,
(Định.
ta.
CQ
Lý
thể
viết
tồn
biểu
tại
Iig-hiệiu
dĩlu
L&plctue
íiiọ
(2,19)
phương
theo
trình
ốđi
í>a.u
parabolic),
Nếu
£
>'Chơ
0=và@
A
tr( A
>là
0,
I
Mặt
kháo,
A
J
\
=
A(
J
\
—
I
)
Là
một
tốn
tử
bị.
chặn,
vì
vậy
từ
t
t
r
=
s
L (P(A;ỉ)
T = A”4-^a„j(iO”V
p Thợp nay,
(3)
»Ss+Í
»S’e'S’i
)£
^
0)K.Ì1Ĩ.
đó,
tađặt
g
=
0.
Triêng
trường
ta.
áp
dụng
biếu
đối
Kourier
vào
£
)
(0
<
t
<
T
)
r
=
0.
(1.14)
□
tĩvny
đó
Tị
là
nửa
nhóm
ì
ĩ
là
được
khắn-y
định
là
tồn
tại
thvơ
Định
lý
НШ{f(t
)}(p)
=
e~
F(p).
(2.15)
í>ử\\s
d ỉts\\,
( 0 với
, u ) X> €||£*|
và maxdzs(0,£)
^
2|£*|
Nếu
/(£)
là
r
ĩ]
J
ĩ)
J
v
ữ
l
dia.
E,
lim
s
x
—
X
.
t
ßt
XTrong,
@(Ä)
ta.và
œ
hợp
Iiếu
giải.
thức;
(pl
—
A)~
tầu th-òcitại. khi.uiãii
Re ,pấ >c điều
ß, thi
bởicua.
vì
2ra.
vĩ.A€có
Aị,
Iiếu
\\s
^(2,31)
с,=
thi
Tị
ecua.
sm0,txác
hiểu
uhiêu
kiệu
Ngồi
ralim
= 11/(0
0này,
SU-Y
F(p)
=
t \\IU
và
'phân
=$0
Atrường,
. thỏa,
ta.
tũáĩir
tử
đóny
thỏa
mãn
và
œ=«lri.il,
tập
định
trù
mật,
kỳ yiá
tri
h-àin
mãn
1lim
và
tựa.
Ii6
thuật;
ũ, khi
đỡ Với vbất
j
aToo «o-r
'
(L8)
đối
với
[.■át;
biếu
trong'
khơng;
IU
t;6
exp(tAJ\) = exp— /)} = exp(iAJ\) exp(—txi)
IU(2)ciiú
ỷ rằng
Nếu
tta.
>vlœ;
0liêu
thì
u(t)
Là
khả
tụcl bật;
œ sử
thểb'ử
thiết
Lậphệ
câng;
C
h
ú
ý
r
Trong;
Dị-Iih.
ý ƯỬI
Iiàymột,
ta.
+rbất
00
già
giá
trịcác
ba.il
đầu
Mo
/thức;
■
€của
@
+00
( Ánghị-đi
) , Iihưiig'
>6 ỉà
định.
Ì
Ỵ
.
Bây
giờ
Định,
lý
I
r
5r
2r
(H.a.da.nicud)
Giả
b'ổ
ỹhươỉiy
trình
(L3)
bu,n đầu u ữ e @{A) và
ịục
Hiïïdvr
thwtrong'
t T mật
i t x kỳp t hàm f(t ) liên
i1t x
(S
x)
=
s'
—7
[
pe
(pl
—
A)
xdp
(X
£
E).
dE\u
=
ỈH
/
e
dE
u
tM[v(£,t)]
t x ==i\e
x
A(t,2iri£)v(t,t)
=
ũ.
—>
p
/
■'о
d
2 thai được
0
J T đủIighlệui
trường;
hợp, ta.
í>ử u ữ/kiệu
e E để
trình, parabolic;,
kill đó
hằny,Khĩ
đó
ta g,ià
œ điều
cần và
đê bàipliươiig;
tữán Cíiuohự
(_L3)T(LŨ>)
là
uctií
e Z7T
dt
itH
= iHe u (u
T — I
» *
Chương 2 Biến đoi Laplace nửa nhóm
và áp dụng vào bài tốn Cauchy
—
Chứĩiy minhr
@{A)r
TịX
JÇ—ỴOC
р
í
Ả
tván tử
sink
y 2i T Ï % J
л £ _____ç _ ___________________________________________________
2r‘Srlr
g
I ^t+T]—sj\^)ds-\-
(^~) J гỊ
=
—
I
1
-
A )
~
l
- ĩ\
\ \ ( X I - A ) -
1
\ \ ^ J ^
Ị
♦
ìỷ 22/2
j
**
(2,20)
ß ) ,
Я н r ~ ĩ \ / Г Ч . 1 \ П ì f - n 1 V- > 1 С / M / M l ỉ s . 1 1 f 1 1 f • \ r f ~ ĩ ĩ - / ■
00
Tt_sj(s)ds.
x d p
w(0) = u .
Tầu
—
g
tr
ềĩlỵ ị
2r2rlr
Ttr
p J Ỵl
T - I
I
f
0
>s
«4 í
0
.
.
IKA/-^)-“!!^
(A>0).
f
A'
ƠQ — ơ
e
(2.22)
ƠQ — ơ
v
YvbidtẤr
(M) = I ’“V(í,M;)/m 6 C'ihTlW?)
АцТ^е~р*)х
-00
e~ptTtxdt — X
— 00
о
‘S7
x.át;
địiih.
vấii đề Iiày ó> thể được; glái th-íc-h. theo phép tính. toếui tử uủa. toán. tử tự
tmiig, đ ó А = —А 4- с ( х ) , @ ( А ) = W^iî) п w|(Г2)т{гАг(ж)} Là. t;ơ sở trực
trong'
Liêu
h.ợp
Để dLÍuh.
xáu>ta.
uó
rrằng'
2
ta.
thấy
0,cát;
Au(t)
Liêu
tục СЛШ
tmiig' A.,
L 2 (fỉ)
từ [2,43)
ó> и Liêu
r Da đá,
điuẩu
trong'
LVỚL
(Q) tgồm
veotơ
riêng,
Th.et>
(2,38),
VỚL U ta.
Q e 0 ( A ) ta.
2
Q,Q Là2 t xmiềii ph.ầ.11 trang hoặi;
ph-ầii Iigoài. cua. siêu phang
tục;
tiLHig,
— + f ° i \ơe i([0,
d ET\ U] ,=í Tì ) r Vi vậy tel Iih.ậii được; định lý tồii tạiiAevà
«A duy nhất cua.
thấy
ÍỂ.
d\\E x u\;2
n »9
s tiii.iíx: lớp c .[.:i.>ni[>íU.'t trong R , Bài toán
t;ủci ta- là;tìm. mộtnghiệm,
bài toán (_2,40)-(_2,42) ;
+-00 iA ưỊỊ uB( w||
7° ỊAỊt A(2||.
+oo Aji)(w 0, u ị ) u ị { x ) €E @ { A )
t<
) =Mcác;
exp(—
uỄ0; =U ỊỊSciu;
^
điều)kiệu
a.)
e —thơa
1 x ,mãn
= I (2,40)
Định lý 2,7rlr Với yiả thiết (2,44) 7 nyhiệm u(x : t) của bài tưáĩb (2,40) thỏa mãu
L>i.ều kiện biêu;
Là h.à.111 œ giá trị trong w|(íì) liêu tục; theo í ^ 0 và biểu diều nghiệm duy nhất mà
và số hạng này dầu về l) tại IIIỌÌ
điềm khi h —>ỡ 0. Do vậy,2 theo Đị-Iih. Lỷ
2 topo cua. L 2 (íì)r
khi. vi. Liêu tục tcấp
1
theo
t
th.fx>
+ ơ(x)u
= 0 í(x—>
€ S)
(2-41)
—> м(ж, du/dn
í) G ơ ([0,
X], Г2),
j^-u(x, t) G L (íỉ)
c/I/
Lebesgue, ta thấy rằng; tích ph.â.11 tự tiến về (X
—
—
— 00
00
2
—
— 00
J
2
A
2
A
2
00
Kết
b)
ĐLều
luận
kiệu
đầu;
ỉiẽn
tục
với bcUl
b'ẽthấy
tồntoán
tại tử
vàsinh.
duy cua. Iiửa. nhóm Tị = e
Theo
ta.
itH
thật ra là
w(x,0) = u ữ (x)
(2A2)
Iiiột mờ rộng cua iH. Ta. chi ra. phép II1Ở rạng IIày trùng; với. ỈH. IU d-ùug, biếu
t^0
nhấtr
♦
Ap dụng của
nữadụng
liliQUi
đổi
tức Áp
là
khi
Renữa
, pparabolic
>0 ta- có
2 r T2,7,1
r 2 LapLace,
uLióni
của toán tử tự liêĩi hợp
Luậii văii đã trình,
cáo
vấii
ỉ>a,u
đây;
p t bày
tH
p t đề điíuh.
itx
/ e~ é udt = / e- dt / e dExu
•'o
•'o
00 f ( x , t ) = m0 và щ { х ) = 0,
IU xét
toán
tửtử
AAđược;
xác định.
bởi.;
Ta.
xétí>6
toán
bài. hàui;L
toán
(2,4[))-(2r42)
2
vớiw™(fỉ),
giả—th.Lết
- Một
không
gian
(íĩ), w™(fỉ),
, c ([a, 6], E);
n
d A
= A
+toán
^ 2 tử
d i ( x được
)^—xác
+ cđịnh,
( x ) . bởi
sửVidụng
lý t trường'
ubiuL
=- Ph-át
1,2,nĐịnh,
. r Trong'
h-Ợp
này
biểu bài toáii
UcLuoiiy
đặc;
trưng;Acho
phương;
trình. tiếu hóa.;
i =1 1
д + Ф), 0và
( AtL&dcưiicUTL
) = wị(fì) п về
С 2 các; diều kiệu c;ầu và.
- 'rành bày cấc địnhАlý= Peti\>ví>ki
Là
toán
tự liêu
L)ấi.
vớitửtoán
tử hợp
A rngười ta- đà thiết lập cát; kết quả sau;
đủ đề bài toán Cciuđiy đặc trưng Là đặt điíiih đều;
Người
diứiigmột
iniiih. rằng;
bài
toán( pgiá
-XUU
(1) Tồnta. đãtại
toán tử
Greeu
l —trịAriêng
)~l = G
p trong, Iiilều nhất định,
+
00
o
- Trình, bày c;ơ sở của
Lý
thuyết
íiửci
nhóm,
toán
tử sinh, Dịiih. Lỷ hLi.lL+ c(x)u = Xu, X G íỉ
+ Au
00
uủa. p, và nó th.ò& mãn điều
Iй- kiệu
+ ơ { x(2r31)r
) ud,E\u
= о, X= €(pl
ỡfi— iH) -1 u.
l^4ü>)
Yosida và vi-ệc giải bài
toán
Cu.ucliy
cho
piiươiiịị
trình.
vĩ
phân
thường;
p — iX
(2) Ta. có
c;6 mậtbằng
í>6 đếm
được;
các giá
trị liêng Aj với Aj —>■ +00 khi j o o và t.:ác.: h.à.111 riêng;
uỡriịị
uụ nửanh.6111;
p 00
/■00
//
r + oc
no
0về
( Atính,
) = {w;
€ ơ 2([0,
T ] , toán
Q ) , du/dn
-\-trịơu
— 0}
U j (-xTrình.
) tương,
bàyứuggiải ueđược
giá>
itH
ù 2 {của
j p I bài
— i H ) 1wbiên
(Re ,p
0). ban đầu đối
VỚL
phương,
Trougtrinh,
ìiỢp này,
bài iiiLềii
toán đưỢí.:
đưa- về việt; sử dạng uửu. nh .0111 c;ủci các taáii tử
pcini.boin;
trong
bị uìiặri,
vàđây
với.vàutrường,
ẽ 3(A)
Từ
Định.
lýr 2,2.2, toán tử í>i.iih. cua e iF thật ra dúuh. là ỈH.
w
tự Liên h.ợp r tức; là llta.
œ
(0llw^(ii)
— ^ (II-^IIl^íĩ) + IMIi 2(íĩ))ự£A'ở)
H à Nội T thấny 8 năm 2015
2 IU
r ĩ sẽ
Bài
trị với
bancát;
đầu
trìnhTát;
parabolic
cấp
áp toán
dụng; biên-giá
Dụih. Lý 252
giảcho
thiếtphương
Sciu;
già
v x
2
i ) bi
= chặn
^{у,щ)щ{х) (v e L (ÍÌ)),
hai trong miền
/(1)
í244v
i
1(2) ll/OM) - /0M')lli*(n) i c\t-t'\
(0 < a sỉ 1).
=
Trong'
trường trinh
tiỢp uày,
Định. 1lý ph-át biếu rằng tồn
tại mộtThị
nghiệm
u(x,t) e
Nguyễn
Thu Hiền
Xét phương,
[->y.RiJx>LLí;
00
@{A) r Nhưng từ Av(x) = ^2 \{v,Ui)Ui{x) (v G 0 ( A ) ) ,
i= 1
Au
{t) =
- f{t).
