Luận văn nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động chung

•

Bô GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
• • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THI CHÚC

NGUYÊN LÝ KKM SUY RỘNG VÀ CÁC ĐỊNH
LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

•

••

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Quốc Bình

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Quốc Bình, người thầy đã định
hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo
giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên để
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Lời cam đoan

Nguyễn Thị Chúc

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình, luận
văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Nguyên lý KKM suy rộng và các
định lý điểm bất động chung” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của
bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Chúc


Mục lục
Mỏ đầu
1 Các kiến thức bố trớ
1.1 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

5
5

1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM

7

1.2.1...................................................................................................... Ro
đề KKMỈ.......................................................................................
1.2.2
9

Nguyên lý ánh xạ KKM và bất đẳng thức Kỵ Fan
............................................ 12

1.2.3 Các định lỷ điếm bất động
2

3

Bố đề KKM trong không gian lồi trừu tướng

14

2.1 Một số định nghĩa

14

2.2 Cấu trức lồi trừu tượng

16

Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điếm bất động

chung
3.1 Một
số

chú
ỷ
......................................................................................................
20

3.2 Nguyên lỷ KKM suy rộng và các kết quả chính
3.3 Định lỷ diễm bất dộng chưng

2
0

.............
22
28
41

3

42


Kết luận
Tài liệu tham khảo

4


Bảng kí hiệu
2X
(X )

họ tất cả các tập con của X
lớp các tập con hữu hạn khác rỗng của X

co(Á)

bao lồi của tập A

(u.s.c)

nửa liên tục trên

(l.s.c)

nửa liên tục dưới


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nguyên lý điểm bất động Browder và dạng tương đương của nó, bổ đề KKM được
chứng minh trong không gian hữu hạn chiều. Năm 1961, Ky Fan đã chứng minh một
dạng tương tự của bổ đề KKM cho không gian vô hạn chiều gọi là nguyên lý ánh xạ
KKM, ngày nay được xem như trung tâm của lý thuyết KKM. Từ nguyên lý KKM có thể
suy ra bất đẳng thức Ky Fan (cũng được chứng minh năm 1961) và một loạt các định lý
điểm bất động như Schauder, Tikhonov, Ky Fan. Kể từ đó đến nay, người ta không thể
kể hết số lượng bài báo mở rộng nguyên lý KKM và các hệ quả của nó. Nhằm tìm hiểu
một cách chi tiết và có hệ thống về nguyên lý KKM và các định lý điểm bất động. Tôi
chọn đề tài: “Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động chung”.
Trong luận văn này tôi chỉ đề cập đến hai bài báo được đăng tải gần đây trên hai tạp chí
có uy tín trên thế giới về điểm bất động và giải tích phi tuyến [4] [7].

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về
nguyên lý KMM suy rộng, bất đẳng thức Ky Fan trong không gian lồi trừu tượng và các
định lý điểm bất động chung

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu bổ đề KKM và bất đẳng thức Ky Fan
trong không gian lồi trừu tượng và nguyên lý KKM suy rộng, các định lý điểm bất động
chung trong không gian vectơ tôpô.

6


4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng và các
định lý điểm bất động trong không gian tôpô.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kiến thức cơ bản của không gian vectơ
tôpô để nghiên cứu về nguyên lý KKM và định lý điểm bất động trong không gian vectơ
tôpô.

6. Đóng góp mới
Luận văn sẽ là một tổng quan về nguyên lý KKM và các định lý điểm bất động chung
trong không gian vectơ tôpô.

Chương 1 Các kiến thức
bổ trơ
*

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về nguyên lý KKM được
PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trình bày trong sách của mình [1]. Ngoài ra, chương này
còn trình bày một số không gian: không gian vectơ tôpô, không gian vectơ tôpô lồi
địa phương Hausdorff để phục vụ cho các chương sau.

1.1 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tôpô) Cho tập X Ỷ 0- Một họr c v { x ) các tập con
của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

7


i) 0,x e r;
ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc T thì thuộc r;
iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc T thì thuộc T.
Khi đó ( X , T ) được gọi là một không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực X . Một tôpô
T trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X

nếu các ánh xạ + và . liên tục. Tức là:
(i) Với

mọi X, y e X và mọi lân cận w

các lân cận
của X ,

V của y sao cho

của X + y, tồn

tại

u

u + V ç w.

(ii) Với mọi A G R, X G X và với mọi lân cận w của Xx, tồn tại £ > 0 và lân cận V
của X sao cho ịiV ç w với mọi ¡1 G (A — £, A + e).
Khi đó, r được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian
vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. (Tập lồi) Tập X c được gọi là lồi nếu:
\x + ( l - \ ) y £ X V x , y & x,v\ G [0,1],
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gian vectơ tôpô X gọi là
không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương ) nếu trong
X có một có sở lân cận của gốc toàn tập lồi.
Vì khi

tịnh tiến một tập lồi ta lại được

một tập lồi nên trong khônggian

lồi địa

phương mỗi điểm đều có một cơsở lân cận lồi.

Ví dụ. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi hình cầu đơn
vị: Vo = {B (0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là V = { e B (0; 1) Ịe > 0} =

{ B (0; è ) \ e > 0}.

8


Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi cặp điểm khác
nhau ^1,0^2 € X đều có hai lân cận Vị,V 2 của X ị , X 2 sao cho V\ n v% = 0 (có nghĩa là,
hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể tách được bởi hai lân cận rời nhau). Khi đó,
không gian tôpô X được gọi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô
của nó gọi là tôpô tách hay tôpô Hausdorff.

1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM
1.2.1 Bổ đề KKM
Trước hết ta nhắc lại khái niệm n-đơn hình.
Cho X là một không gian vectơ, tập hợp s trong X được gọi là một 71- đơn hình nếu s =
co {«0, U i , u

n

} với Mo, U i , u

n

G X và các vectơ Uị — Wo, ...,u n — Uo là độc

lập tuyến tính. Các điểm Ui được gọi là các đỉnh. Bao lồi của k+ 1 đỉnh được gọi là A;diện của s. Mỗi X e s được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
X = XịUị, với Xi > 0, X) Xi = 1i=0 ¿=0
Dùng bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn hình do Sperner
đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh bổ đề quan trọng
sau trong không gian Rn.

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề KKM). (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, 1929) Cho
một n-đơn hình s = co {u ữ ì ui, ...,u n } trong R n và các tập hợp đóng
F ữ ,Fị, ... : F n trong s thỏa mẫn điều kiện: với mọi tập hợp con I c {0,1,n} ta có
coịuị : i E 1} c u Fị. (KKM)
i£l
Khi đó

n

Fị Ỷ

i=0

0.

Định lý 1.2.1. (Nguyên lý điểm bất động Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục
từ hình cầu đơn vị đóng trong R n vào chính nó đều có điểm bất động.
Chứng minh. Vì hình cầu đơn vị đóng trong M n đồng phôi với một n-đơn hình s nên ta
9


chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ liên tục T : s —> s sẽ có điểm bất động trong s.
Với mỗi X ẽ

s ta có X =(xo, X i , x

) vằ. y = Tx = (i/o, 2/1, •••, Vn)- Với

n

mỗi ĩ

=

0 , 1 , n ta đặt= {a: G

liên

tục nên

các

»S': a:j > 7/ị}. Do T

Fị

đều đóng. Ta sẽ chứng minh các Fi thỏa mãn điều kiện (KKM).
Lấy I c {0,1,n} và X e co {líị : ỉ ẽ /}. Vậy a: = (a:o, Xị, xn) với Xi = 0 nếu i ệ I và Xị > 0
nếu i G / và y = (y ữ , y u y n ) với ĩji >
n
0) s Ui = 1- Đe chứng minh a: € u Fị ta cần chứng minh tồn tại ¿0 G /
¿=1
ie/
để cho X E Fị 0 , tức là Xị ữ > y i ữ . Giả sử ngược lại rằng Xị < Ui với mọi ỉ G I. Khi đó
ta gặp mâu thuẫn:
1 = Ễ Xi

¿=0

= E Xi

¿e/

<

E V i < Ễ V i = 1.

¿e/ ¿=0

Vậy điều kiện KKM được thỏa mãn. Theo bổ đề KKM , tồn tại X* € n Fị-

i =0

Khi đó ta có X* > y* với ỉ = 0,1,n trong đó các y* là tọa độ trọng tâm của y* = Tx*.

Mệnh đề 1.2.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer tương đương với bổ đề
KKM.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh bổ đề KKM từ nguyên lý điểm bất động Brouwer.
Ta sẽ dùng phản chứng.
Cho s = {lío, U i , u

} là một đơn hình và F

n

ữ ì

F ị , F

n

là các tập hợp

đóng trong s thỏa mãn điều kiện (KKM), nhưng n Fị = 0. Khi đó với
¿=0
mỗi X € s và với mỗi ỉ = 0,1, n ta đặt OLi(x ) = d(x, Fị ) là khoảng cách
n
từ X đến Fị. Vì n Fị = 0 nên với mỗi X Ei s tồn tại i sao cho X Ệ Fị, tức
i =0
là ai(x ) > 0 do Fị đóng. Vậy ta có thể định nghĩa hàm
aAx)
t*i(x) = n —> ĩ G D,í = 0,1,n
1
0


Ẻ otj{x)
3=0

n
Các hàm ịiị có tính chất: liên tục, 0 < ịíi{x) < 1, ịẤị(x) = 1 với mọi
¿=0
n
X G s . Với mỗi X €E s ta đặt T x = ^ 2 ị i ị ( x ) U ị . Do s lồi ta có T x € s ,
i= 1
ngoài ra T liên tục vì /ij liên tục. Theo nguyên lý Brouwer, tồn tại X* G s
V __*

r I I *

mà X — I X .
Đặt I = {i : ịíi{x*) > 0}. Khi đó ta có Tx* = J2 ^i{x*)uị = J2 ỉ^i{x*)ui.
i=0
iei
Nhưng vì ụ>i(x*) > 0 khi và chỉ khi X* Ệ Fị với mọi ỉ G I, nên X* Ệ u Fị.
ie/
Điều này mâu thuẫn với

X* = Tx* = fíị(x*)ui € co{ui : i G 1} c u Fi
iel
iel
do điều kiện (KKM). Vậy mệnh đề được chứng minh.

□

1.2.2 Nguyên lý ánh xạ KKM và bất đẳng thức Ky Fan
Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian vô hạn chiều
và là trung tâm của lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và quan trọng của giải tích phi
tuyến.
Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ KKM.
Định nghĩa 1.2.1. (Ánh xạ KKM)
Cho c là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô, ánh xạ đa trị F : c —> 2 X được gọi
là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hữu hạn A trong c ta có
co(A ) c F ( A ) ,

(KKM)

ỏ đây F ( A ) = u F ( x )
xeA

Nguyên lý ánh xạ KKM (Ky Fan, 1961) Cho c là một tập hợp trong không gian
vectơ tôpô Hausdorff X , F : c —> 2 X là một ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi
đó với mọi tập hữu hạn A c c ta có:

n FW/».

x^A

1
1


Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, giả sử tồn tại một tập
n

hữu hạn {xi, x 2 , xn} trong c mà n F { x i ) = 0. Đặt L là không gian
i= 1

con tuyến tính của X sinh bởi {^1, X 2, x

n

} và d là một khoảng cách trên L

tương thích với tôpô cảm sinh từ X . Kí hiệu A = c o {xi, x
Đặt G ( x i ) — F ( x ị ) f ] L , ỉ — 1 , 2 V ớ i

2:

x

n

} .

mỗi X G A, đặt c¿i(x) = d ( x ,

G(xị)).

ịíi{x) =

—,x G A
Ẻ aj(x)
3=0

n

Các hàm /¿j đều liên tục và 0 < ụ>i(x) < 1, Ỵ2 ß i { x ) — 1 với mọi X G A.
ỉ=\
71
Đặt T x = do A lồi ta được một ánh xạ liên tục
T : A —> A c L
i= 1
với L hữu hạn chiều.
Theo định lý Brouwer, tồn tại X* € A mà X* = Tx*. Đặt I = {i : ßi(x*) > 0}, ta
được
X* = Tx* = ßi(x*)ui £ coịuị : ỉ ẽ 1} c u Fị vì F là ánh xạ KKM.
iei

iei

Mặt khác, vì với mọi i £ I ta có otị(x*) > 0 nên X* Ệ G ( x i ) . Vì X* £ L
nên X* ị F [xì) với mọi ỉ G I, tức là X* ị u F ( x ị ) , ta gặp mâu thuẫn,
iei

vậy nguyên lý được chứng minh.
Để ý rằng trong nguyên lý trên ta chỉ khẳng định

□
7^ 0

y

ổi

mọi Ả hữu hạn trong c . Tính chất này thường được phát biểu là "họ
{F(æ) : X ẽ C } có tính chất giao hữu hạn". Muốn có kết quả mạnh hơn: F { x ) 7^ 0
ta phải thêm một trong hai giả thiết sau:
a) c là tập hợp hữu hạn, hoặc
b) tồn tại x ữ G c sao cho F ( x o) compắc.

1
2


Khi đó chỉ việc thay mỗi F ( x ) bởi F ( x ) n F ( x o) ta được một

họ tập hợp

đóng trong một tập hợp compắc. Lúc này, để nx e c

F(x)

0 chỉ cần đòi

hỏi tính giao hữu hạn của họ {F ( x ) . X Çi C } .
Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, được sử dụng rộng rãi trong
giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minh năm 1961.
Định lý 1.2.2. ( K y Fan, 1961 ) Cho X ỉà không gian vectơ tôpô
Hausdorff, c là một tập hợp lồi, compắc trong X, f : c X c M là một hàm
số thỏa mãn các điều kiện sau:
i)

f (x,y ) t ựa l õm t h eo X vớ i mỗi y cố đị nh ;

i i ) f ( x , y ) nửa l i ên tụ c dướ i th eo y vớ i m ỗi X cố đị n h ;
n i ) f (X, x) < 0 vớ i mọi X G c.

Khi đó, tồn tại y* ẽ c sao cho f ( X , y *) < 0 với mọi X € c.

Chứng minh. Kết luận của định lý (gọi là bất đẳng thức Ky Fan) được suy ra từ
nguyên lý ánh xạ KKM như sau.

Với mỗi X £ c đặt F ( x ) = { y G c : f ( x , y ) < 0}. Vì hàm

/

liên

tục

dưới theo y nên F{x ) là tập hợp đóng.
Ta sẽ kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng. Giả sử tồn tại X\, x
T I
c và X G c o {¿El, X 2, x n } mà X ị u F ( x ị ) . Khi đó
i=l
X

— ^

^

, ^

~j OiịXị 1 0 íị
0
¿=1 ¿=1

l Oiị

2

, x

—

n

G

1.

n

Vì X Ệ u F ( x i ) , i = 1, 2,..., n nên theo định nghĩa của tập hợp F ( x ị ) , ta i = 1
có
f(xị, X

) =

f(xi,

Ề

atịXi) >

1=1

0,

i=

1,

2, n.

Vì f ( x , y ) tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp { z £ c : f ( z , x ) > 0}
1
3

n

là lồi. Tập hợp này chứa mọi X i nên cũng chứa X = a i x i- Vậy ta có:
i= 1
71
n
/(S OLị X i , Ỵ2 Oí ịX ị ) — f ( x , x ) > 0, trái với điều kiện ii ỉ ). i=1
i= 1
Vậy F là ánh xạ KKM.
Vì c compắc nên ta có n F ( x ) 7^ 0- Lấy y * ẽ nx e C ^ ( x ) được
xèc

f { x , y * ) < 0 với mọi X ẽ c. Định lý đã được chứng minh.

□

1.2.3 Các định lý điểm bất động
Trong mục này trình bày một số định lý điểm bất động nổi tiếng: Ky Fan, Schauder,
Tikhonov.
Định lý 1.2.3. (Định lý Ky Fan, 1961) Cho c là một tập hợp lồi, compắc trong
không gian định chuẩn X và T : c X là một ánh xạ liên tục. Khi đó tồn tại
X Q & c sao cho:
\\Txo — Zoll = min{\\Txũ — a;|| : X £ C}. (1)
Chứng minh. Với x,y € c, đặt
f { x , y ) = IIT y - 2/11 - IIT y - x\\.
Vì chuẩn là hàm lồi nên với mỗi y, f ( x , y ) lõm theo X . Vì T là chuẩn liên tục nên với
mọi X ẽ c , f ( x , y ) liên tục theo y . Hiển nhiên, f ( x , x ) = 0 với mọi X £ c . Theo bất
đẳng thức Ky Fan, tồn tại IoGC sao cho
f ( x , x o) < 0 với mọi X e c
Từ đây ta được \\T X Q — XoII = min{\\Tx 0 — a;|| : X G ơ}. Định lý đã được chứng

minh.

□

Hai định lý sau là hệ quả của Định lý 1.2.3
Định lý 1.2.4. (Định lý Schauder, 1930 ) Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp
lồi, compắc của một không gian định chuẩn vào chính nó đều có điểm bất
động.

1
4


Chứng minh. Trong 1) cho X = Tx 0 ta được \\T X Q — rcoII = 0, tức là Tx ữ = x ữ và hệ
quả được chứng minh.

□

Định lý 1.2.5. (Định lý điểm bất động Tikhonov,1935) Cho c là một tập hợp
lồi, compắc trong không gian lồi địa phương tách (X, P ) , T : c — > c là
ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động.
Trong chứng minh bổ đề KKM, tính đóng của các tập hợp {F ữ , F ị , F

} là bắt

n

buộc. Điều bất ngờ ở đây là tính đóng có thể thay bằng tính mở. Đó là nội dung của Định
lý Shih mà ta trình bày dưới đây.
Định lý 1.2.6. (Định lý Shih) Cho c là một tập hợp lồi trong một không gian

vectơ tôpô tách, A là một tập con hữu hạn của c, G : A —> 2 C là một ánh xạ
KKM với giá trị mở. Khi đó,

n

G ị x ) 7^

0.

X£LA

Chương 2 Bổ đề KKM trong không gian
lồi trừu tượng
Trong chương này, ta giả sử Y là tập khác rỗng, 2y là kí hiệu tất cả các tập con của Y
và ( Y ) là kí hiệu lớp các tập con hữu hạn, khác rỗng của Y .

2.1 Một số định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Cho cặp ( Y , C ) , c là một họ tập con của Y , được gọi là cấu trúc lồi
trừu tượng nếu:
1) 0,y eC;
2) c là đóng với giao tùy ý : n A e c với mỗi họ T> c c .
Àt v

Khi đó cặp (Y, C ) gọi là không gian lồi trừu tượng.
Định nghĩa 2.1.2. Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, bao lồi C0c được định nghĩa
1
5


bởi:

coc(A) = n {D G c : A c Đj, VA c Y.
Định nghĩa 2.1.3. Cho ( Y , C ) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con của Y và cho F
: X —>■ 2y là ánh xạ đa trị. F được gọi là có giá trị lồi nếu với mỗi X £ X , F (X ) là lồi
(nghĩa là với mỗi X G X và tập con hữu hạn bất kì { y 0 , y i , . . . , y n } c F ( x ) , c o c {i/o,
V u •••, V n } c F ( x ) ) . Cho Y là không gian tôpô, F được gọi là có giá trị khác rỗng

(tương tự, giá trị compắc) nếu với mỗi X € X , F (x ) khác rỗng (tương tự, compắc).
Định nghĩa 2.1.4. Cho ( Y , C ) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con của Y và F :
X — > 2 X là ánh xạ đa trị. F được gọi là có giá trị lồi yếu nếu với mỗi X G X và tập
con hữu hạn bất kì { y ữ ì y i i y

n

} c F ( x ) , c o c { y o , V u —,ỉ/n} c F (X ) với mỗi

X G c o c { y 0 , y u -,ỉ/n}Chú ý 2.1.1. Dễ thấy F có giá trị lồi thì F có giá trị lồi yếu.
Định nghĩa 2.1.5. Cho ( Y , C ) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con của Y .
i) F : X — > 2 X là ánh xạ KKM nếu với mỗi A £ ( X ) , F thỏa mãn
co c (A) c u F ( x ) .
X&A

ii) F : X — > 2 X là ánh xạ Fan-Browder nếu F có giá trị lồi và có nghịch ảnh mở
tương đối trong X ( F (X ) là lồi với mỗi X G X và F ~ 1 ( y ) là mở trong X với
mỗi y G X).
iii) F : X —»• 2 X là ánh xạ Fan-Browder yếu nếu F có giá trị lồi yếu và có nghịch
ảnh mở tương đối trong X .
Định nghĩa 2.1.6. Cho ( Y , C ) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con của Y .
X được gọi là có tính chất KKM (viết tắt là KKMP) nếu ánh xạ KKM F : X — > 2 y
với giá trị đóng có tính chất giao hữu hạn (tức n F ( x ) Ỷ 0 với mỗi A E ( X ) ) .
X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder (viết tắt FBFP) nếu với mọi ánh

xạ Fan-Browder F : X — > 2 X với giá trị khác rỗng có điểm bất động.
X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder mạnh (viết tắt
SFBFP) nếu với mỗi ánh xạ Fan-Browder yếu F : X —> 2 X với giá trị khác rỗng có
1
6


điểm bất động.
Định lý 2.1.1. Cho (Y, C ) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con compắc
của (Y,c). Khi đó, X là KKMP khi và chỉ khi nó là SFBFP.

2.2 Cấu trúc lồi trừu tượng
Phần này nghiên cứu cấu trúc lồi trừu tượng qua ánh xạ nửa liên tục trên và thiết lập
được một vài định lý tổng quát hóa của bổ đề KKM dựa trên cấu trúc tính lồi này.
Cho N = {0,1,2A n = e°e 1 ...e n là đơn hình tiêu chuẩn n chiều, {e°, e 1 , e n } là cơ sở chính
tắc của Rn+1 và với J c N , cho AJ = co {eJ : j € Định nghĩa 2.2.1. Cho X , Y là các không gian tôpô, T : X —> 2y là ánh xạ đa trị. T được
gọi là nửa liên tục trên (viết tắt u.s.c) (tương tự, nửa liên tục dưới (viết tắt l.s.c)) tại X G
X nếu với mọi tập mở u trong
Y với T (X ) ç u (tương ứng, T (X ) n u 7^ 0) tồn tại lân cận mở V của X sao cho T
(X ') ç u (tương ứng, T (X') n u Ỷ 0) vâi mT được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên X nếu T là nửa liên tục trên (nửa
liên tục dưới) tại mọi điểm của X.
T liên tục tại X nếu T vừa liên tục trên vừa liên tục dưới tại X.
T được gọi là đóng nếu Gr{T ) = {(x,y ) £ X X Y : y G T ( x ) , x ẽ X } là tập con đóng của

X

X Y.

Định nghĩa 2.2.2. Cho Y là tập compắc của không gian tôpô.
Cho An = e°e 1 ...e n là đơn hình tiêu chuẩn và cho q : A n —¥ 2 Y là
ánh xạ đa trị. Nếu với mỗi ánh xạ liên tục p : Y A n (gọi là
ánh xạ đơn hình), tồn tại X Q € An sao cho X Q € p.q (íEo)- Ta
nói rằng q có tính chất điểm bất động

1
7


đối với An và ánh xạ đơn hình p.

Bổ đề 2.2.1. Cho Y là không gian metric, và {F Q , F l , F

n

} họ các tập

con đóng của Y. Nếu tồn tại ánh xạ nửa liên tục trên q : A n —> 2 y sao
ch o:

q ( A j ) c U ie , F j , V J c N = {0,1,
và q có tính chất điểm bất động đối với A n và ánh xạ đơn hình. Khi đó,
n
i=
0
Chứng minh. Giả sử n Fị — 0, kí hiệu ßi :Y —> [0,1] bởi
i=0

ßi{y) =

, i = 0,1,n , Vì/ Ẻ d(y,
F ị ) i =0

Khi đó với mỗi y € y, ß i ( y ) > 0 và X) ß i { y ) — 1
i =0

Định nghĩa ánh xạ đơn hình p : Y An như sau:

p{y) = Ễ ßi{y)e\My e
Y i =o
Cho q : A n — ¥ 2 Y là ánh xạ nửa liên tục trên sao cho q ( A j ) c u F ị , y j c
j£j
N — {0,1,n } , q có tính chất điểm bất động theo An và ánh xạ đơn hình. Khi đó,
p.q : A n —¥ A n có điểm bất động trong A n . Cho e G An và cho
n
e G p.q(e). Khi đó, tồn tại y* G q(e ) sao cho e = p ( y * ) = ßi(y*)e i . Cho
¿=1
I { y * ) = ụ ' ■ ß i { y * ) > 0, « = 0,1,n } . Cho i e I { y * ) , ta có ß i { y * ) > 0 và y *

ị F ị khi đó y * ị U ie j(j,*) F i - Mặt khác,
n

q ( e ) = q ( p ( y * ) ) = ç(E ß i ( y *y) = q ( J 2 ß i { y * ) e l ) c c o e { V i : i
Vì vậy,

¿=0

i£l(y*)

y * £ q ( e ) c c o c { ĩ j i : i £ I { y * ) } c u F ị , điều này mâu thuẫn. Bổ đề
18


đối với An và ánh xạ đơn hình p.
i€l{y*)

được chứng minh.

□

Định nghĩa 2.2.3. Cho (Y,C ) là không gian lồi trừu tượng. Nếu với mỗi
tập con hữu hạn {i/o, 2/1, •••, y n } c Y và đơn hình tiêu chuẩn An =
e°e 1 ...e n , tồn tại ánh xạ đa trị q : An —> 2y sao cho:
q (A j) c C 0c {Vj : j £ J},VJ c N = { 0 ,1, 2 , n }

Ç có tính chất điểm bất động đối với A n và ánh xạ đơn hình. Khi đó
{ Y , C ) được gọi là có tính chất H q .
Định lý 2.2.1. Cho (Y, c) là không gian lồi trừu tượng, X là tập
con của Y. F : X —ì 2 Y ỉà ánh xạ KKM với giá trị đóng. Nếu Y
là không gian metric và (Y,c) có tính chất H q thì {F (y) : y G X}
có tính chất giao hữu hạn.
Chứng minh. Cho tập hợp con hữu hạn { y ữ ì y i i y

n

} c

X . Ta chứng

minh n F (Vi ) 7^ 0- Từ F là ánh xạ KKM ta có:
i =0
co c {Vj :j G J} c u F { V j ) , VJ c N =
Chú ý rằng ( Y : C ) có tính chất H q . Khi đó tồn

{0,l,...,n}
tại một

ánh xạ đa

trị

q : An —> 2 y sao cho:
q (A j) c co c {Vj : j e J}, V J c N = {0 ,1 , 2 , n}

và q có tính chất điểm bất động đối với An và ánh xạ đơn hình.
Vì vậy:
9(Aj)C u F ( y j ) ĩ VJ c N = { 0, 1, 7 7 , }
jeJ

Từ bổ đề (2.2.1) ta có n F ( î j i ) Ỷ 0 bằng cách sử dụng { F (ỉ/o), F (ì/i) , F ( y n ) }
i =0
thay cho {F 0 , F ị , F n } .
□
Bổ đề 2.2.2. Cho Y ỉà tập compắc của không gian tôpô và A n =
19

đối với An và ánh xạ đơn hình p.

e°e 1 ...e n là đơn hình tiêu chuẩn. Nếu p : Y A n liên tục và ánh xạ
q : An 2 y
là nửa liên tục trên với giá trị khác rỗng, đóng và co rút được, khi đó
tồn tại e G A n sao cho e G p.q (e). Khi đó, q có tính chất điểm bất động
đối với A n và ánh xạ đơn hình.
Hệ quả 2.2.1. Cho Y là không gian tôpô com pắc hoặc không gian metric.
Cho {F 0 , F ị , F

n

} là họ các tập con đóng của Y. Nếu tồn tại ánh xạ

nửa ỉiên tục trên q : A n —> 2 Y có giá trị khác rỗng, đóng và co rút được
sao
cho q

(Aj) c u F i > VJ c N = {0,1,n } . K h i đ ó , n F ị Ỷ 0¿=0

ieJ

Định nghĩa 2.2.4. Cho (y, coc ) là không gian lồi trừu tượng. Nếu với mỗi tập con
hữu hạn { y o , y i , ■■■iVn} c Y và đơn hình tiêu chuẩn A n = e°e1...en tồn tại ánh xạ
nửa liên tục trên q : A n —> 2 Y với giá trị khác rỗng, đóng và co rút được sao cho:
q { A j ) c c o c { y j : j e J } , VJ c N = {0,1,n } .

Khi đó (Y,C0c ) được gọi là có tính chất Hị.
Chú ý 2.2.1. Từ bổ đề (2.2.2) ta có nếu (Y,C0c ) có tính chất H Q thì
(Y,coc) có tính chất H q .

Từ Định lý (2.2.1) ta có trường hợp đặc biệt sau
Định lý 2.2.2. Cho (y, C0c) là không gian lồi trừu tượng, cho X là tập con
của Y và cho F : X —ì 2 Y ỉà ánh xạ KKM với giá trị đóng. Nếu Y là
không gian tôpô compắc và ( Y : C 0c ) có tính chất Hị. Khi đó, {F(x) : X € X}
có tính chất giao hữu hạn và vì vậy X có tính chất điểm bất động FanBrowder mạnh.

20


đối với An và ánh xạ đơn hình p.

Chương 3 Nguyên lý KKM suy rộng
và các định lý điểm bất động chung
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng và đồng-KKM
suy rộng, sử dụng nó để nghiên cứu các định lý điểm bất động chung cho họ ánh xạ
đa trị.
Trước hết, ta có một số chú ý sau

3.1 Một số chú ý
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là tập khác rỗng tùy ý và y là tập con khác rỗng của không
gian vectơ E. Ánh

xạ đa trị T :

X —> 2y

gọi

là ánh xạ
KKM suy rộng nếu với bất kì tập

conhữu hạn

của X tồn tại tập hữu hạn { y i , y 2,

khác

rỗng { x i , x 2 ,

Q Y sao cho co{ĩji : i E 1} Ç

T ( x i ) với môi tập con khác rông I của {1, 2 , 7 7 , } .
Bổ đề 3.1.1. Cho X và Y ỉà không gian tôpô Hausdorff, T : X 2 Y là ánh
xạ đa trị.
i) Nếu T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng khác rỗng thì T
đóng;
ii) Nếu Y là không gian compắc và T đóng thì T là nửa liên tục trên;
ill) Nếu X là không gian compắc và T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên
với giá trị compắc, khác rỗng thì T (X) là compắc.
Bổ đề 3.1.2. Cho X và Y là không gian tôpô, T : X —> 2 y là ánh xạ đa trị.
Khi đó T là nửa liên tục dưới tại X G X nếu và chỉ nếu với bất kì y G T

21


đối với An và ánh xạ đơn hình p.

(æ) và lưới bất kì {x a } trong X hội tụ đến X, tồn tại một lưới {y a } aỄ A>
V o t ^ T (x a ) v ớ i m ọ i a G A v ớ i y a y .
Định nghĩa 3.1.2. Cho X là tập con lồi khác rỗng của không gian vectơ và V là một

không gian vectơ. Cho F : X — > 2 V là ánh xạ với giá trị khác rỗng. Khi đó F
là {0}-tựa lồi (tương ứng {0}-giống tựa lồi) nếu với X ị , X 2 £ X và X £ c o { x
1,0:2} chúng ta có hoặc F ( x 1) Ç F ( x ) (tương ứng F ( x ) Ç F ( x 1) hoặc F ( x 2) Ç

F ( x ) (tương ứng F ( x ) Ç F ( x 2 ) ) .
Bổ đề 3.1.3. Cho X ỉà tập con ỉồi khác rỗng của không gian vectơ. V là
không gian vectơ. Cho F : X —> 2 V là ánh xạ đa trị với giá trị khác
rỗng. Khi đó F là {0}-tựa lồi (tương ứng {0}-giống tựa lồi) nếu với ỉ G

{ 1,
tại j

2,

ẽ

n}

và Xi

ẽ

X, nếu X £ co {Xị :

1

<

i < n}, thì tồn

I sao cho F ( x j ) Ç F { x ) (tương ứng F{x ) Ç F ( x j ) ) .

Định lý 3.1.1. (Định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg) Cho X
là tập con lồi compắc của không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa
phương E và F : X 2 X là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi,
compắc, khác rỗng. Khi đó tồn tại X E X sao cho X G F ( x ) .
Định nghĩa 3.1.3. Cho Y là tập khác rỗng, X là tập con khác rỗng của không gian
vectơ và % là họ các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng từ Y vào 2 X . Ta gọi % là
đồng-KKM suy rộng nếu với mỗi tập con hữu hạn khác rỗng { y i , 2/25 U n } của Y
tồn tại tập con hữu hạn {Z i , z

2

, z

} trong X

n

sao cho:

i) c o { z 1 , z 2 , . . . , z n } ç X ;

ii) C O { Z i : Ỉ G 1 } ç Ujej T ( î j i ) với môi tập con khác rông I của {1,
2 , n }

và mỗi T e % .

Định nghĩa 3.1.4. Cho X là tập con khác rỗng, Y là tập con lồi của không gian
vectơ và 7, s là hai họ ánh xạ với giá trị khác rỗng từ X vào Y . Ta gọi s là KKM

22


đối với An và ánh xạ đơn hình p.

suy rộng đối với T nếu với bất kì họ con hữu hạn khác rỗng { S i , S 2, ■■■, S n }
ç s, tồn tại { T ị , T

2

, T

n

} Ç 7 sao cho co{\J i G l Ti{x)) Ç UieJ S ị ( x ) với mỗi

tập con I khác rỗng của {1,2,..., 77,} và mỗi X ẽ X .

3.2 Nguyên lý KKM suy rộng và các kết quả chính
Bổ đề 3.2.1. Cho Y là tập khác rỗng và X là tập con đóng khác rỗng
của không gian vectơ E. Cho T : Y 2 X là ánh xạ KKM suy rộng với
giá trị đóng khác rỗng. Khi đó họ {T(y) : y &Y} có tính chất giao hữu
hạn.
Chứng minh. Giả sử khẳng định trên là sai, khi đó tồn tại { 2/1,2/2, •••, Vn} €
n

n

Y sao cho n T ( y i ) = 0. Khi đó, X = u T c ( y i ) , với T c { y i ) = X \
T ( y ị ) . i= 1

i= 1
Rõ ràng, T c (îji ) là tập con mở của X với mỗi i — 1,2, Đối với tập
con {2/1, y

2 ì

y

n

} đó của Y , vì T là ánh xạ KKM suy rộng nên tồn tại

tập con hữu hạn {a^i, X 2, Æn} của X với c o {^1, X 2, x

n

} ç X sao cho

c o {a;¿ : ỉ E /} Ç ui€I T ( ì j i ) với mỗi tập con khác rỗng I của {1, 2,n } .
Đặt B = c o {xi, X 2i x

n

} . Khi đó, B là compắc và { T c ( y i ) fì -B}”=1 là

phủ mở của B . Từ phân hoạch đơn vị, tồn tại hàm CCI, a 2,a n sao cho:
1) a ị : B — > [0,1] là liên tục với mỗi i € { 1 , 2 , n } ;
2)

Nếu c ¿ i ( x ) > 0, thì X G T c ( y i ) n B ;

3) Ỵh & i (x) = 1 với mỗi X € B .

i= 1
Cho u := Span { X I , X 2, x n} và p : B —> B được định nghĩa bởi p ( x ) :=
Ti

Ỵ2 otị(x)xi với mỗi X e B. Khi đó p là ánh xạ liên tục và B là tập lồi,

i= 1

compắc, khác rỗng. Từ định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại X & B sao cho p ( x )

23


đối với An và ánh xạ đơn hình p.
=X

Cho Iß '•= {* € {1, 2 , 7 7 , } : a ị ( x ) > 0}, khi đó X € c o { X ị : i ẽ I ß } Ç

UjeJ» T (m ).
Từ 2), X ị T ( y ị ) với mỗi i € I ß - Do đó, X Ệ Uie/ T ( y i ) . Bước này dẫn tới sự
phủ định. Do đó, họ {T ( y ) : y G Y } có tính chất giao hữu hạn. □
Định lý 3.2.1. Cho Y là tập khác rỗng tuỳ ý. X là tập con đóng khác rỗng
của không gian vectơ tôpô E. Cho T : Y 2 X là ánh xạ đa trị với giá trị
khác rỗng. Giả sử rằng :
1) T là ánh xạ KKM suy rộng với giá trị đóng khác rỗng;
2) Tồn tại tập con hữu hạn khác rỗng A của Y sao cho C \ y € A ^ ( y )
là tập compắc.

Khi đó, n y G Y T { y ) Ỷ 0.
Chứng minh. Cho F : Y 2 X được định nghĩa bởi F(y ) := T ( y ) n (fìÂẽJ4 T ( z ) )
với mỗi y G Y . Từ T là ánh xạ KKM suy rộng với giá trị đóng khác rỗng, {T(y) : y
G y} có tính chất giao hữu hạn. Như vậy, F c ó giá trị compắc khác rỗng và {F ( y )
: y

EY}

có tính chất giao hữu hạn.

Do đó, F ( y ) Ỷ 0- Điều này kéo theo T ( y ) ^0.

□

Định lý 3.2.2. Cho Y là tập khác rỗng tuỳ ý, X là tập con đóng khác rỗng
của không gian vectơ tôpô E. Cho T : Y 2 X là ánh xạ đa trị với giá trị
khác rỗng. Giả sử rằng :
i) T là ánh xạ KKM suy rộng với giá trị đóng khác rỗng;
ỉi) Tồn tại tập con compắc khác rỗng K của X và tập con hữu hạn A của
Y sao cho với mỗi X G X \ K, tồn tại y E A sao cho X Ệ T ( y ) .

K h i đ ó , n„ey T ( y ) + 0.
24


đối với An và ánh xạ đơn hình p.

Chứng minh. Từ (iỉ ) ta biết rằng, Cìy^A^iy) — K. K là tập compắc và

Từ Dịnh

r\y G A^(y) là tập con đóng khác rỗng của X , Cịy^A^iv) là tập compắc.
lý (3.2.1), n„ey T ( ý ) Ỷ 0.
□

Ví dụ 3.2.1. Cho X = 1R; Y = {0,1,2,3} và T :Y —¥ 2 X được định nghĩa bởi
T(0) := [0,oo), T( 1) = (—00,100], T(2) := [2, oo) và T(3) :=

(-00,5].
Từ Định lý (3.2.2), n„€y T{y) Ỷ 0- Thật vậy, T { y ) = [2, 5].
Định lý (3.2.1) và (3.2.2) là tương đương. Ngoài ra, ta có một số trường hợp đặc
biệt của Định lý (3.2.1) sau
Định lý 3.2.3. Cho Y là tập khác rỗng tuỳ ý, X là tập con đóng khác rỗng
của không gian vectơ E. Giả sử rằng, T : Y —> 2 X là ánh xạ KKM suy
rộng với giá trị đóng khác rỗng và tồn tại i/o ẽ y sao cho T(y ữ ) là tập
compắc.

Khi đó,

n„ey

T(y) +

0.

Chứng minh. Cho A {yo}) A- là tập con hữu hạn của Y và riyeA T(y ) = T(y ữ) là
tập compắc. Do đó, ta có Định lý (3.2.3) từ Định lý (3.2.1).

□

Định lý 3.2.4. Cho Y là tập khác rỗng tuỳ ý, X là tập con đóng khác rỗng
của không gian vectơ tôpô và % là họ các ánh xạ với giá trị khác rỗng
từ Y vào 2 X . Giả sử :
i) Với mỗi T ẽ %, T có giá trị đóng;
ii) % là đồng-KKM suy rộng;
ill) Với mỗi tập con hữu hạn { 2/ 1, 2/ 2, • ••;Vn} của Y, ỊJ (Htễĩ T(yì)) là tập

i= 1

lồi;

IV) Tồn tại tập con compắc khác rỗng K của X và tập con hữu hạn A

25