Luận văn: NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN doc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM VĂN DŨNG

NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN – 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM VĂN DŨNG

NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
Mở đầu

3

1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

6

1.1. Phát biểu bài toán

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Sù tån t¹i nghiƯm.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân.
1.3.1. Bài toán quy hoạch lồi

. . . . . . . 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2. Bài toán hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3.

2

Bài toán bù

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 20

2.1. Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Phương pháp đạo hàm tăng c­êng . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Phương pháp hình chiếu siêu phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

Ph­¬ng pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm đánh giá 33

3.1. Hàm đánh giá (Gap function)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Hàm đánh giá Auslender . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3.1.2. Hàm đánh giá Fukushima
3.1.3.

. . . . . . . . . . . . . . . . 35

Hàm đánh giá không ràng buộc ( D - Gap function ) . . 40

3.2. Thuật toán dựa trên hàm ®¸nh gi¸ . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1. ThuËt giải toán dựa trên hàm đánh giá

cd (.)

3.2.2. Thuật toán dựa trên hàm đánh giá Fukushima

. . . . . . 43

c (.)

. . . 44

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

2

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mở đầu
Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng r·i trong nhiỊu lÜnh vùc kh¸c
nhau nh­ kinh tÕ, kü thuật, vận trù học, vật lý toán. Gần đây, bài toán tối ưu
với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (còn gọi là ràng buộc cân bằng) cũng
là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò quan trọng
của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến
phân là việc xây dựng phương pháp giải. Có rất nhiều phương pháp giải bất
đẳng thức biến phân đà được nghiên cứu như: phương pháp địa phương và
toàn cục dựa trên việc chuyển bài toán về hệ phương trình, phương pháp dựa
trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bất động...
Mục đích của luận văn này nhằm trình bày các thuật toán giải bất đẳng
thức biến phân dựa trên phương pháp hình chiếu và phương pháp hàm đánh
giá.
Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về
bất đẳng thức biến phân, điều kiện tồn tại nghiệm và một số bài toán dẫn

đến bất đẳng thức biến phân.
Trong chương 2 sẽ giới thiệu thuật toán hình chiếu cho các bài toán bất
đẳng thức biến phân đơn điệu, mà cụ thể là phương pháp đạo hàm tăng cường
và phương pháp hình chiếu siêu phẳng.
Chương 3 sẽ đưa ra các thuật giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm
đánh giá. Các thuật toán dựa trên hàm đánh giá Anslender và hàm đánh giá
hiệu chỉnh Fukushima.

3

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Lê Dũng
Mưu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy về công tác
giảng dạy cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học
và hoàn thành luận văn.
Trong quá trình học tập, tác giả đà nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự
giảng dạy nhiệt tình của PGS. Đỗ Văn Lưu, PGS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.
Tạ Duy Phượng, GS. Trần Vũ Thiệu, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, cùng nhiều
Thầy, Cô công tác tại Viện Toán Học, Viện Công Nghệ Thông Tin, Trường
đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các Thầy, các Cô.
Xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đà động viên, giúp đỡ
tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, Cô giáo Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường Cao đẳng sư phạm ĐăkLăk,
BCN khoa Tự Nhiên, đà tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả
học cao học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn
bè, đồng nghiệp, các học trò. Đặc biệt cảm ơn học trò Trần Thị Cẩm Nhung
và Nguyễn Thị Thạch Thảo, đà giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu thiếu sự thông cảm, chia sẻ

4

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




và sự động viên kịp thời của gia đình. Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chân
thành và sâu sắc.
Tác giả
Phạm Văn Dũng

5

S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân (được viết tắt là - VIP) là một công cụ mạnh, được
sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng. Nhiều bài
toán về lý thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến bài toán bất đẳng
thức biến phân.

1.1.

Phát biểu bài toán

Bài toán VIP về mặt hình thức được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1.

và ánh xạ

( Xem [7]. Định nghĩa 1.1) Cho mét tËp con

x∗

cđa

Rn

F : K −→ Rn .

Bµi toán bất đẳng thức biến phân được ký hiệu là
tìm

K

V IP (K; F ),

là bài toán

sao cho:

x K, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
TËp hợp những điểm
và ký hiệu là

(1.1)

x thỏa mÃn (1.1) được gäi lµ tËp nghiƯm cđa V IP (K; F )

SOL − V IP (K; F ).

6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Sau đây, chúng ta luôn giả sử rằng

F

là ánh xạ liên

Sự tồn tại nghiệm.

Định lý

ánh xạ

1.2.1.

( Xem [4]. Định lý Brower) Cho

F : K K

Bổ đề 1.2.2.

gian

là tập lồi đóng và

K.

tục trên

1.2.

K

là liên tục, thì

F

( Xem [4]. Bổ đề 2.1) Cho

K Rn

compact và lồi,

phải có một điểm bất động.

K là một tập con lồi đóng của không

Rn . Khi đó với mỗi x Rn , có duy nhÊt y ∈ K ,

sao cho:

x − y = inf x

(1.2)

K
Điểm y thỏa mÃn (1.2) được gọi là hình chiếu vuông góc của x lên

K

và ta

viết:

y = P rK x.
Chó ý r»ng:

P rK x = x, ∀x ∈ K.
Chøng minh: Cho

ηk ∈ K

lµ mét d·y cùc tiĨu hãa, tøc lµ

ηk

tháa m·n:

lim ηk − x = d = inf x .

k

(1.3)

K

Từ quy luật hình bình hành, ta cã:

x+y

2

=2 x

2

+ 2 y 2 , x, y ∈ Rn .

+ 2 x − ηh

2

1
− 4 x − (ηk + h ) 2 .
2

+ xy

2

áp dụng công thức này thì:
k − ηh

2

= 2 x − ηk

2

7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.4)

Do

K

là một tập lồi nên:

1
(k + h ) K,
2
và

1
d2 ≤ x − (ηk + ηh ) 2 ,
2
v× vËy:

ηk − ηh

2

≤ 2 x − ηk

2

+ 2 x − ηh

2

− 4d2 ,

vµ tõ (1.3) ta kÕt luËn r»ng:

lim ηk − h = 0.

k
Do đó, có một giá trị

yK

sao cho

lim k = y.

k→∞
Ngoµi ra,

x − y = lim x − ηk = d.
k

Để thấy y là duy nhất, chỉ cần quan sát rằng bất kỳ 2 giá trị
mÃn (1.2) thì có thể đưa vào công thức (1.4) thay vị trí của

y, y K

thỏa

k , h . Điều này

cho thấy

yy

2

=2 xy

2

+2 x−y

2

1
− 4 x − (y + y )
2

2

≤ 4d2 − 4d2 = 0,
hay:

2

y=y.
Định lý

gian

1.2.3.

( Xem [4]. Định lý 2.3) Cho

K

là tập lồi đóng trong không

Rn , thì y = P rK x là hình chiếu của x lên K

khi và chØ khi:

y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y ∀η ∈ K
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.5)


Chøng minh: Cho

x ∈ Rn

vµ

y = P rK x ∈ K , vì K

lồi nên

(1 t)y + t = y + t(η − y), ∀η ∈ K, 0 ≤ t 1
và vì vậy, theo bổ đề 1.2.2, hàm:

(t) = x y t( y)
đạt cực tiểu tại t=0, nên

2

= xy

2

2t(x y, y) + t2 η − y

2

φ (0) ≥ 0, tøc lµ:
x − y, η − y ≤ 0, η ∈ K,

hc:

y, η − y ≥ x, η − y , η K.
Mặt khác, nếu:

y K : y, y ≥ x, η − y , η ∈ K,
th×:

0 ≤ y − x, (η − x) + (x − y) ≤ − x − y

2

+ y − x, η − x .

V× vËy:

y−x

2

≤ y − x, η − x ≤ y − x

η−x .

Tãm l¹i:

y − x ≤ η x , K.
Hệ quả 1.2.4.

không gian

( Xem [4]. Hệ quả 2.4) Cho

Rn , thì P rK

K

là một tập lồi đóng trong

là toán tử không giản, tức là:

P rK x − P rK x

≤ x − x , x, x ∈ Rn .

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2




Cho tr­íc

Chøng minh:

x, x ∈ Rn ,

cho

y = P rK x

vµ

y = P rK x ,

lóc

nµy:

y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y , η ∈ K.
y ∈ K : y , η − y ≥ x , η − y , η ∈ K.
Ta chọn

=y

=y

cho bất đẳng thức đầu và

cho bất đẳng thức thứ hai,

thêm vào đó ta có:

yy

2

= y y ,y y ≤ x − x ,y − y ≤ x x

yy ,

hay:

yy

2

xx .

Dựa vào định lý điểm bất động Brower, ta chứng minh được sự tồn tại
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1).

Định lý

1.2.5.

( Xem [4]. Định lý 3.1) Cho

compact và lồi, ánh xạ

F : K K

K

khác rỗng,

K Rn

là tập

liên tục, khi đó bài toán bất đẳng thức

biến phân (1.1) có nghiệm, tức là tồn t¹i

x∗ ∈ K

tháa m·n:

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, x K.
Chứng minh: Xây dựng ánh xạ

bằng cách với mỗi x K

đặt:

(x) := PK (x F (x)).
Ta có:

: K K.
Do

F

liên tục trên

K

và phép chiếu

PK

liên tục nên

liên tục.

Vậy theo

định lý điểm bất động Brower tån t¹i:

x∗ = Φ(x∗ ).
10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Theo định nghĩa của

, thì:
x = (x ) = PK (x∗ − F (x∗ )).

Theo tÝnh chÊt cđa h×nh chiÕu và định lý 1.2.3, ta có:

F (x ), x x 0, x K.
Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm.

2
Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K không
bị chặn, ví dụ nếu

K = R, thì bài toán
F (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K

kh«ng cã nghiƯm khi

F (x) = ex .

Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm.
Cho tập lồi

K = , đặt KR = K

kính R và tâm

O Rn . Khi đó KR

R trong đó

R là hình cầu đóng bán

là tập compact. Vậy theo định lý 1.2.5,

ta có:

xR ∈ KR : F (xR ), y − xR ≥ 0 y KR .
Định lý

1.2.6.

( Xem [4]. Định lý 4.2) Cho

(1.6)

K Rn là tập lồi, đóng và ánh

xạ:

F : K Rn
liên tục trên

K.

Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm của bài toán bất

đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại một số

xR KR

R>0

sao cho có một nghiệm

của bài toán (1.6) thỏa mÃn:

xR < R.

(1.7)

11

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chứng minh: Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm x của bài toán (1.1) thì x

là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là:

x < R,
vì:

x KR K.
xR KR

Giả sử

thỏa mÃn

xR < R, thì xR

cũng là một nghiệm của bài

toán (1.1).
Quả thật, vì

|xR | < R,

cho

y ∈ K, w = xR + ε(y − xR ) KR

với

0

đủ nhỏ.
Vì vậy:

xR KR K : 0 ≤ F (xR ), w − xR = ε F (xR ), y xR y K.
Điều này có nghĩa là

xK

là một nghiệm của bài toán (1.1).

2
Từ định lý này ta có thể rút ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại nghiệm.
Ta cần đến khái niệm về tÝnh chÊt tù bøc sau.

HƯ qu¶ 1.2.7.

( Xem [4]. HƯ qu¶ 4.3) NÕu

F : K −→ Rn

tháa m·n:

F (x) − F (x0 ), x − x0
→∞
|x − x0 |
khi

x ∈ K, x +
với

x0

nào đó thuộc

(1.8)

K , thì tồn tại một nghiệm đối với bài toán (1.6).

12

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chøng minh: Chän

H > |f (x0 )| vµ R > |x0 | sao cho:

F (x) − F (x0 ), x − x0 ≥ H|x − x0 |, |x| ≥ R, x ∈ K,
th×:

F (x), x − x0 ≥ H|x − x0 | + F (x0 ), x − x0
≥ H|x − x0 | − |F (x0 )), x − x0 |
≥ (H − |F (x0 )|)(|x| − |x0 |) > 0, |x| = R.
Bây giờ, ta cho

xR KR

(1.9)

là nghiệm của bài toán (1.6) thì

F (xR ), xR x0 ≥ − F (xR ), x0 − xR ≤ 0.
V× vậy, dựa vào (1.9), ta có

|x| = R. Nói cách khác,
2

|x| < R.

Thông thường, nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không phải
là duy nhất. Tuy vậy vẫn có một điều kiện rất cơ bản đảm bảo cho sự duy
nhất. Giả sử

x, x K

là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.1) thì:

x K : F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K,
x ∈ K : F (x ), y − x ≥ 0 y K.
Từ đây ta thấy, nếu:

F (x) F (x ), x − x > 0 miƠn lµ x, x ∈ K, x = x

(1.10)

VËy, ®iỊu kiƯn (1.10) kÐo theo tính duy nhất nghiệm. Điều kiện (1.10)
được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.

13

S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên




Định nghĩa 1.2.8.

là đơn điệu trên

K

( Xem [4]. Định nghĩa 4.5) Ta gọi ánh xạ

F : K Rn

nếu:

F (x) − F (x ), x − x ≥ 0 ∀x, x K.
Ta nói

F

Định lý

là đơn điệu chặt nếu đẳng thức chỉ xảy ra khi x=x'.

1.2.9.

( Xem [4]. Định lý 4.6) Cho

liên tục và đơn điệu chặt của tập lồi ®ãng

F : K1 −→ Rn

K 1 ⊂ Rn

. Cho

lµ mét ánh xạ

K2 K1

là một

tập lồi và đóng. Giả sử tồn tại nghiệm của bài toán:

xj Kj : F (xj ), y − xj ≥ 0, x ∈ Kj , J = 1, 2
F (x2 ) = 0 th× x1 = x2

(i) NÕu
(ii) NÕu
tõ

F (x2 ) = 0 vµ x1 = x2 thì siêu phẳng F (x2 ), y x2 = 0 tách x1

K2 .

1.3.

Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân.

Trong phần này, ta giới thiệu một số bài toán có liên quan đến bất đẳng
thức biến phân. Đặc biệt, ta xét đến mối quan hệ giữa hàm lồi và toán tử đơn
điệu.

f C 1 (K), K ⊂ Rn , lµ tËp låi đóng, và đặt:

Cho

F (x) = gradf (x)(Đạo hàm của f).

1.3.1.

Bài toán quy hoạch lồi

Định lý

1.3.1.

( Xem [4]. Định lý 5.1) Giả sử tồn tại

x K

sao cho:

f (x) = minf (y).
yK

14

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




thì

x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 với y K.

Chứng minh: Nếu

vì vậy hàm:

yK

thì

z = x + t(y − x) víi 0 ≤ t ≤ 1,

ϕ(t) = f (x + t(y − x)), 0 ≤ t 1 đạt cực tiểu khi t = 0.

Nên,

0 ϕ (0) = grad f (x), y − x = F (x), y x .
Điều đảo lại cũng đúng nếu

Định lý

1.3.2.

f

2

là hàm lồi, cụ thể ta có định lý sau:

( Xem [4]. Định lý 5.2) Giả sử

f

lồi và

x thỏa m·n:

x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K,
th×:

f (x) = minf (y).
y∈K

Chøng minh: ThËt vậy, vì

f

lồi nên,

f (y) f (x) + F (x), y − x ∀y ∈ K.

Nh­ng:

F (x), y − x 0,
vì vậy:

2

f (y) f (x).
Định lý

1.3.3.

( Xem [4]. Định lý 5.3) Cho

hàm lồi khả vi liên tục (lồi chặt). Thì

F : E R1 , E Rn , là một

F (x) = gradf (x)

sẽ đơn điệu (đơn

điệu chỈt).

15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chøng minh: Cho tr­íc

x, x ∈ E ,

f (x) ≥ f (x ) + F (x ), x − x ,
vµ:

f (x ) ≥ f (x) + F (x), x − x .
Tõ ®ã ta cã:

F (x ) − F (x), x x 0, x, x E.
Vậy

F

đơn điệu. Cách chứng minh

F

đơn điệu chặt khi

f

lồi chặt cũng

tương tự.

2
Tuy nhiên, không phải tất cả các toán tử đơn điệu đều là đạo hàm của một

hàm lồi.

1.3.2.

Bài toán hệ phương trình

Khi K là toàn bộ tập

Rn , thì:

x SOL − V IP (Rn ; F ) ⇔ F (x∗ ) = 0.
Thật vậy:

ã Với x Rn

và

F (x ) = 0,

suy ra:

x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) : 0, x − x∗ ≡ 0 ∀x ∈ Rn .
V× vËy:

Rn ∩ F −1 (0) = F −1 (0) ⊂ SOL − V IP (Rn ; F ).

16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ã Ngược lại: x SOL V IP (Rn ; F ) ⇒ F (x∗ ), d ≥ 0 d Rn .
Đặc biệt:

d F (x ) F (x∗ ) = 0.

Nãi c¸ch kh¸c:

SOL − V IP (Rn ; F ) = F 1 (0).
1.3.3.

Bài toán bù

Định nghĩa 1.3.4.

( Xem [7]. Định nghĩa 1.2) Cho một nón lồi K và ánh xạ

F : K Rn .
Bài toán bù phi tuyến kí hiệu là

K
trong đó

K

N CP (K; F ), là tìm x K

sao cho:

x F (x ) K ,

(1.11)

K , được định nghĩa là:

là nón đối ngẫu của

K {y Rn | y, x ≥ 0, ∀x ∈ K},
(tøc lµ
thuéc

K∗
K

bao gåm mọi vector

y

sao cho

y

tạo với mọi vector

x

bất kỳ

một góc không tù).

Tập hợp những giá trị
được gọi là

x K

thõa mÃn

N CP (K; F ) ( tháa m·n (1.11)

SOL − N CP (K; F ).

Rõ ràng, một bài toán

N CP (K; F ) lµ nh­ sau:

x∗ ∈ K, F (x∗ ) ∈ K
Kết quả sau cho biết mối liên hệ giữa

Mệnh ®Ị 1.3.5.

vµ

F (x∗ ), x∗ = 0.

V IP (K; F ) vµ N CP (K; F ).

( Xem [7]. MƯnh ®Ị 1.1) Cho

K

lµ mét nãn låi trong

Ta cã:

SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ).
17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Rn .


Chøng minh:

• =⇒ SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F )
Gi¶ sư:

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ),
râ rµng,

x∗ ∈ K.
B»ng c¸ch lÊy

x = 0 ∈ K , trong (1.1) ta cã:
F (x∗ ), −x∗ ≥ 0

LÊy

x = 2x∗ ∈ K , trong (1.1), ta có được:
F (x ), x 0,

suy ra:

F (x ), x = 0,
nói cách khác điều nµy cho thÊy:

F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ ≥ 0 ∀x ∈ K.
=0
Tøc lµ:

F (x∗ ), x ≥ 0 ∀x K,
vì vậy:

F (x ) K.
Thế nên:

x SOL − N CP (K; F ).

18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




• ⇐= SOL − N CP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F )

Gi¶ sư:

x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ),
ta cã:

F (x∗ ), x − x∗ =

F (x∗ ), x
≥0: v× F (x∗ )∈K ∗

− F (x∗ ), x∗ ≥ 0 ∀x ∈ K.
=0

V× vËy:

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ).

19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



2


Chương 2

Phương pháp chiếu giải bài toán bất
đẳng thức biến phân đơn điệu

Trong phần này ta giới thiệu và phân tích một vài phương pháp hình chiếu
khác nhau.
Các phương pháp này là những phương pháp cơ bản để tìm nghiệm của
bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Cách làm này đòi hỏi khả năng tính toán
hiệu quả hình chiếu trên tập lồi đóng không rỗng

2.1.

K.

Điểm bất động

Chúng ta bắt đầu với phương pháp hình chiếu cơ bản nhất, dựa trên định
lý Banach về điểm bất động. Ta giả sử rằng:

ãK Rn
ãF

:

là tập lồi đóng

K Rn

liên tục trên

K

Ta biết r»ng:

nat
x∗ ∈ V IP (K; F ) ⇔ FK (x∗ ) ≡ x∗ − PK [x∗ − F (x∗ )] = 0.
Trong đó:

PK

là hình chiếu trên

K.
20

S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chúng ta thấy:

Tập hợp điểm bất động của ánh xạ

Tập nghiƯm cđa

x → PK [x − F (x)]

V IP (K; F ).

Điều này gợi ý cho ta xây dựng cách giải bất đẳng thức biến phân theo
phương pháp lặp sau đây:
Thuật toán hình chiếu cơ bản:

Cho:

ALGO 1

x0 K.

Bước 0: Cho k = 0.
B­íc 1: NÕu:

xk = PK [xk F (xk )], dừng. xk

là nghiệm.

Bước 2: Trái lại, đặt:

xk+1 PK [xk F (xk )]
và cho k

k+1; rồi trở lại bước 1.

Định lý sau đảm bảo cho sự hội tụ của

Định lý

tồn tại

2.1.1.

ALGO 1:

( Xem [7]. Định lý 3.1) Cho

K Rn

là tập lồi đóng. Giả sư

L > 0 vµ β > 0 sao cho:
F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y 2 , x, y K
( F đơn điệu mạnh trên K với hệ số



(2.1)

)

và:

F (x) F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ K

21

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(2.2)


( F liên tục Lipschitz trên

K

với hằng số L).

Khi đó, nếu:

L2 < 2
thì ánh xạ

x PK [x F (x)] : K K

Vì vậy, dÃy
của

{xk }

được tạo bởi

(2.3)
là một ánh xạ co trên

ALGO 1

K.

hội tụ đến nghiệm duy nhÊt

V IP (K; F ).

Chøng minh: Theo tÝnh chÊt cđa to¸n tư chiÕu, ta cã:

PK [x − F (x)] − PK [y − F (y)]
≤ [x − F (x)] − [y − F (y)]

= x−y

2

2

= (x − y) − [F (x) − F (y)]

2

2

2

+ F (x) − F (y)

− 2 F (x) − F (y), x − y .

Do

F (x) − F (y)

2

≤ L2 x − y 2 ,

vµ:

F (x) − F (y), x − y ≥ α x − y 2 ,
nª ta cã:

1 + L2 − 2α

≤
Theo giả thiết,

F

là

L Lipschitz

(x y) 2 .

và đơn điệu mạnh, nên:

PK [x F (x)] PK [y F (y)]
≤ x−y

2

+ L2 y − x

2

− 2α y − x

2

= (1 + L2 − 2α) y − x 2 .
22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Từ đây ta thấy rằng, nếu:

1 + L2 2 < 1
tức là:
L

2

< 2,

thì ánh xạ:

x PK [x F (x)]
là ánh xạ co.

2
Trong thuật toán

ALGO 1

độ dài bước cố định là 1. Thuật toán sau

đây cho phép thay đổi độ dài bước ở mỗi bước lặp.
Thuật toán hình chiếu cơ bản với độ dài bước biến thiên:

Cho:

ALGO − 2

x0 ∈ K , t0 > 0.

B­íc 0: Cho k = 0.
B­íc 1: NÕu:

xk = PK [xk − t0 F (xk )], dừng. xk

Bươc2: Trái lại, chọn

là nghiệm.

tk > 0.

Cho:

xk+1 ≡ PK [xk − tk F (xk )]

(2.4)

vµ cho kk+1 rồi trở lại bước 1.
Sự lựa chọn của
Ta nhắc lại rằng:

{tk } là yếu tố quan trọng cho sự héi tơ cđa ALGO − 2

F

lµ tù bøc khi vµ chØ khi

∃c > 0, sao cho:

F (x) − F (y), x − y ≥ c F (x) − F (y)

2

∀x, y ∈ K.

23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên