Luận văn nhúng hyperbolic của không gian phức

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐAI HÓC Sư PHAM HÀ NÔI 2
______•___2________•______ •

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

NHÚNG HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VÃN THẠC SĨ TOÁN HỌC ■ ■ •

HÀ NỘI, 2015


44
49
50
45
48
46
47
27
32
19
34
41
30
36
37
40
31

35
39
23
29
38
33
22
24
25
28
21
20
26
13
12
16
11
17
42810
918
43
615
743514
N
1
I

2compact
1i Kieman.
(a)F

M
nh
nh
fCho
eD
H
2.14.
(M
Khụng

A
,}V
gian
)n
trong
con
ccho
phc
(M

X
A,
ca
Y+)
khụng
thỏc
trin
gian
phc
fhyperbolic

cm
Y
l
nhỳng
[9]
cho
w
l
P
cn
ca
(X
)cn
v
B
GIO
K
of
l
DC
holomorphic
lõn
cn
V
O
maps,
TO
Trans.
trong
sao

Mnh

2.1.
i
s
A

tp
con
trự
mt
ca
khụng
gian
tụ
pụ
Haus(1)
Nu
p,q
ÊC
=
v
{/i,f
p,q
G
,gdóy
(f
X
e(xem
F

)
(p)
=
cho
pú,
v
7(q)
=tp
thỡ
Joseph.
Ja2.10,
and
Kwack
[7])
ó
chng
minh.
khụng
gian
Y
khi
v
{p
fn}
trong
(ti
D
*X
,E
xH

)D
vny
Amer.
f,a

m
Xch
[11]
ó
minh
vi
mi
a
phc
M
ta
luụn
Chng
minh.
(^Ê>
ogp
(z)
w,
w^
^
(4
CA)
i
mi
w

evi
cn.
f~
(Y
X)r\D*
=Gi
0l
vi
nExtensions
vụ
hn,
ti
dóy
l
dóy
hn
ca
{fn}
ti
nh
chn.
H
trong
Chỳ
m
bdõy
()
aiu
Nu
qu

quanh
sao
Di
ngha
lý
2.1.
0,
cho
ny
{/
ny
blõn
õy
}Khi
ú
c
2.5.
l
Gi
cho
rừ
0phc
0Jn
ch
l
tn
trong
v
dóy
rng

X
cỏc
s
ra
c
>
(Q
trong
kt
s
t
X
khụng
M
tip
cxti

l
A,
tp
sao
ỹJq
qu
D*)
tc
B
Fxy
khụng
con
{0}

bao
cho
chớnh
gian
l
v
cnh
khụng
v{fn
cỏc
hm
ffn
.ta
(w
Do
con
gian
t
}s
(cn)
cho
ca

thc
phi
Cui
phc
A)
con
/n(

{f
h
v
gian
>
cl
}0)
l
u.
trờn
cựng,
{s
v
phc
s
compact
>
iu
hyperbolic,
p,
tụ
tng
dóy
=
a
hai
pụ.
hỡnh
p,
fca

ny
khi
(0J
H
iu
ng
khuyờn
D
khụng
')
ú
pmtrong
trong
ceD
kin
theo
cvca
i
,(]trong
z
gian
D
iu
di
(1)
w
e,hiu:
ta
sao
B

phc
)s
:nG
cho
khụng
õy
aM
m
l
dng
mõu
Z
\z\
Y.

H
qu
2.2
l
ó
tng
quỏt
nh
lý
Picard
ln.
nh
ngha
trờn

khụng
ph
thuc
vo
cỏch
chn
Ta
ký
thng
xuyờn,
chỳng
ta
cú
th
gi
trong
phộp
cng
ca
dóy
{z
}
sao
cho:
(X
i)
,Cho
vý
)Khi
^2.2.

Y
l
.X
H
((1972),
xh,Kwack
,s
gian
)chng
wdi
rai
Khụng
V
w
gian
w
con
rai
X
X
cqvi
Y
Ê{Zk}
utng
,*kộo
tca
rchỳng
o
n
g.A

c
ca
úm
H
gi
l
Nu
Hm
dx
Y
(P
n
5+

.
)vi
=
00,
kt
thỳc.
lý
$sao
1.12.
l
bn
Gi

t
X
lõn

l
khụng
usao
ca
gian
vo
phc
hỡnh
vi
cu
hm
B(0,2r)

di
v
cv
sao
Aut
cho
n,Kobayashi
nchuyn
nn
nti
2sao
kvy.
n
n
ncon
nH
2ch

n=
Kobayashi
0khụng
[12]
ó
a
ra
mt
s
tiờu
chun
nhn
bit
tớnh
v
nmi
xdóy
{/n}
trong
H
(D
*,
M
)phc.
sao
cho
gkhụng
=
dóy
f')

n
mi
n,
vf
n
cho
Royden
ó
a
ra
cụng
thc
biu
din
gi
khong
cỏch
Kobayashi
trờn
Theo
nh
lý
tn
dóy
con
{khi
ftn
n
n+
}c

ca
{/n}
v
gna
G
H
,)chỳng
Y;
(c
D
*quanh
)l
kc
Nh
Vy
c
\
d
Y
;
H
(
D
*
,
X
)
]
c
[

D
,
Y
+
;
H
(
D
,
X
1.1.2.
Khụng
gian
hyperbolic
xột
tớnh
hyperbolic
ú
nú
cũn
gi
c
hay
khụng
khi
ta
tin
ti
biờn
ca

TRNG
I
HC
s
PHM
H
NI
2
2.1.
Nhỳng
hyperbolic
>
f
,
4. i
tng v phm P
viDnghin

i.- kin
{ Zfv
I ________2______________2________
, ch
Z(cu
2 ) = In
(M,y+);
,ti
mi
D
hyperbolic
trong

Ytrỏi
khi
khi
ba
iu
2Vzi,z2
sau
y
l
ỳng
mi
cho
Math.
gE)
(qu
K
Soc.,
)Chn
cM
w.
(172),
Khi
347-355.
ú
K
-trong
A
)ti
ci
w,

trong
ú
fvi
{im
KKwack
-sao
A
)cho
ntn
pvi
hn
0ca
v
iv
dorff
Xv
v
cho
ftrờn
l
ỏnh
ca
khụng
gian
HausdorffY.
nh
x
nx
kb
nhyperbolic.

kzn
ZZ
D*,
quanh
m
chỳng
p,
tn
vn
ti
gi

<
l
r
<
{/}
1
sao
sao
cho
cho
fn
f

(
D
H
)
(D*,x)

.
n,
fpnl

(6)
trong
tc
ằ
thun.
CQ
<
nh
b(p)
u
}ỳng
Trong
0lý
l
nh
trong
2.2
nu
ln
fn
vi
phn
lý
ch
nht,

vi
(z
2.4
w
sao
ra
)
mi
ny,
&Y
m
rng
khụng
ú
cho

a
trong
chỳng
l
(2)
e
h
u
ỏnh
A,
(W)
cú
vi
=>

M
im
ta
x
e
c
mi
cha
(3)
s
B
u.
t
,
a
k
=>
v
V
.
U)Q
vo
mi
ra
(4)
c
c

:
lõn

.
{0}
Tn
trng
cn
(1).
l
im
u
tớnh
ca
cỏc
nhỳng
b
dóy
trong
chỳng
hyperbolic
,(xn)
ta
vn
ti
gi
m
Gi
gian
s
phc
f
e

H
2.3
(
:
D*,x)
l
tng
v
quỏt
{z
}
nh
l
dóy
lớ
Picard
trong
D*
ln
sao
Kobayashi
cho
>
0Y
v
(xem
X
(V
zn)
[10],

plõn
Êfn
Sp
=Vi
{U
xỏc
nh
M
:
0
^
u
^
1,
u
(p)
=
0,
u

c
trong
lõn
cn
v
logM
l
metric
hyperbolic
Finsler

y
trờn
a
TX.
phng

trong
Y
nu
mi
pB
G
cú
lõn
Trong
trng
hp
li,
chỳng
ta
cú
th
gi
s
dx
Y
(Pm
Qn)
hu
$cú:

(X,
=
l
0.
nhúm
lõn
t
cn
ng
compact
chnh
tng
hỡnh.
nf=>
V
Gi
rca
sx/G
p

trong
l
X
compact.
Khi
C
ú
v
nH
kY

kta
nZ1hyperbolic
y:
ncu
bi
tp
sao
cho

->
g
.
Khi
ú
dj
(0)
->
Idg
(0)|.

1
Cỏc
nk
bao
hm
sau
l
n
ỳng:
/1(0)

=
p
,
f
i
(
z
i
)
=
f
i
+1
(0)
vi
ớ
=
1,2,
m

1,
f
(
z
)
=
q
bao
hm
thc

ngc
li,
gi
s
|/n|
l
dóy
trong
c
(
D
,
+)
sao
cho
fp,
dx
(p,q)
=
inf
d~
m
m
min{|
2
|,
\zn'\}
<
\zn"\
<

max{|
2
|,
\zn'\}
nh
lý
2.1.
Gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
gian
phc
Y
.
khụng
gian.
Núi
cỏch
khỏc,
ta
phi
nghiờn
cu

tớnh
nhỳng
hyperbolic
ca
mt
Nu
chỳng
ta
chn
A
=
^2
chỳng
ta
thy
rng
Ip
&
Sq.
n
n
Z2
tCỏc
h ỡ nh
n ^ ngha
sau (xem Kobayashi [12] ) \Mc
lc
EM
(p,
0

^
PM
(p,
0
^
F
{p,
0
i
tng
nghiờn
cu:
Nhỳng
hyperbolic
ca
khụng
gian
phc.
M
2.1.1.
nim
nhỳng
+
a
tp
phc
v
divisor
A
trờn

M
cỏm
n
giao
chun
fcú
K

AM
n
Q
7^
0hyperbolic
xy
ra
thng
xuyờn.
vy
w
nphc
pv
0,
nca
Q
}
thỏc
trin
tc
trờn
v

ch
khi
mi
cp
B,
B2
cỏc
tp
con
(b)
Nu
{d
f( -{&n}
n
}nhiờn,
l
dóy
trong
H
(M
A,
X)
fn
>
/vy
enh
cmụ
(tc:
M

i4,7^
Y+),thỡ
kkhụng
Zi_
+
v
cú
dóy
con
ca
(yn)}
t
ti
p.
Nh
khụng
ỳng
.ỏnh
(1)
(2)
=>khụng
{an},
Vớ
Tuy
(2).
V
(3).
ca
gian
iu

acn
tha
con
trong
Vi
ny
d)liờn
phc
món
(f
mi
d
(0),
v
cỏc
im
X
t
dng
w
ca
iu
(z
nhn
p
))X
b
kin
^
trong

Y
dLi
;nhi
c

gian
(0,
ca
(M
B
{0}
zv
sao
t
{an},
phc
)W

v
tớnh
cho
A,
mi
{b
X)]
Ys
vi
trong
liờn
} Vỡ

nguyờn
k,
l
nh
mi
tc
(2)
con
trờn
vy
ca
t
dng
liờn
thỏc
mi
tc
trin
k,
fsao
cho
xỏc
{xn},
phộp
nh
{yx
[12]).
PSH
(M)}.
R

Khi
ú
fchng
trin
ti
/khi
H{D,
y).

trong
Y
sao
cho
Vp
X
lvi
y.
n.
Cho
>(1969),
v
w
l
lõn
cn
tng
i
compact
ca
pdóy

cho
w
$Xnmi
(z)
l
Khỏi
(p)
cM
B
y
r)
vi
nu
zV,
Ên[M,
nú
V.
khụng
cha
ng
thng
h
cw
ằ
X.
x(0,
nk
kkhụng
DH
khyperbolic

nlý
n :u
nc
[10]
Kwack.
Generalizations
of
the
Picard
theorem,
Ann.
of
ccn
(POD,Y
)Ta
cú
th
thay
th
bi
H
(cG
D,Y)
t
nh
2..
Gi
s
cr
e0,

Hol(D,X)
sao
cho
cr(o)
=vi
g,
(/(eo)
=
Êtrờn
chỳng
ta
cú:

>
gcn
vhyperbolic
2.1.
fVp
H
(thỏc
D
*ca
,minh
x[/,
)fca
vi
mi
n.
Khi
ú

fn
>
gtp
D*\
dotrờn
ú
bao
hm
(5)
Tn
ti
lõn
cn
A
pcnk{f
sao
cho
((1)
avi
)E
Mi
fn
thỏc
trin
ti
fn
Ê
H
(
,

Y
)
.
nG
fn
(z)
=
(an
(z),
bn
(
z
)
)
X
l
nhỳng
hyperbolic
trong
Y
khi
v
ch
khi
mi
im
ca
X
l
im

khụng
gian.
Chỳ
ý
2.4.
Trong
chng
iu
kin
cn
ca
nh
lý
2.10,
ng
thc
nh
lý
1.2.
Gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
gian

phc
Y.
v
-
(a;)
=
dD
(0,
z)
vi
d
kớ
hiu
l
khong
cỏch
hyperbolic
D.
Nu
D
1.2.2.
Biu
din
tớch
phõn
gi
gian
nh
1.1.
gian

phc
c
gi
hyperbolic
nu
gi 3wp
v
/ 2.2.
(z
")
Thỏc
>
trin
q)k (zk))
ễW
liờn

ca
{pvi
XXỏnh
)khong
-mi
,
t
ú
ti
tp
m
m
c

, Khụng
X
Cgian
H
D
,R
Y;
H
( x
D
*chnh
, cỏch
XG)tn
]1 hỡnh
cKobayashi
F xcho
ýcca
G
xtrờn
khụng
v
nH
Un
(0),
fn
=[tc
0ca
Chng
minh.
k(D

ii)
Gi
s
X
l
khụng
phc,
v
l
imtựy
X.Xột
/0limdx
evfngha
P
,^
1
>
ú
infimun
c
ly
qhai
X
7(q)
=khụng
q;
1 ( sao
Phm
vi
nghiờn

cu:
Cỏc
gian
phc
c
b
tụ
pụ
compact
m khụng
mv trang
n
/

2.2.
Thỏc
trin
liờn
tc
ca
ỏnh
x
chnh
hỡnh

(
a
:
)
G

P
n
Q
trong
y+.
T
p
l
compact
trong
y,
3
(ỡ)

F
n
Q.
úng
ri
nhau
ca
Y
l
nh
ngc
f
~
B

)

f
~
(
B
)
cú
bao
úng
+
2X.
Cú
Bõy
nhiu
gi,
cỏch
tip
m
khỏc
gi
nhau
metric

a
Sibony
khỏi
trờn
nim
nhỳng
gian
hyperbolic

cỏc
trng
hp
khỏc,
ta
gi
Z

=sang
vi
mi
v
vgiao
(M,
chỳng
trong
sao
f
eTrong
cho
H
F+).
H
(D*,
nu
(A
Nu
gi
M

thit
trong

A,
{0})
{z
Uỳ
X
trng
)G
,quỏt
eD
(D*)
bi
ú
:rng
\z\
hp
M
f
vi
(z)
l
an}
ngc
a

mi
tp
vns

òn
li,
phc
=M
tn
{z(Y

v
eti
Vi
D
:X)
l
.
U3
\z\
mi
divisor
=e{vn}
s
},khụng
nguyờn
v

ta
dóy
cú
xdng
{o
Mnphc

e vi
aphc.
}n trong
v
777,
H
qu
l
tng
cỏc
kt
qu
ca
Abate
v
Vigue
(xem
[1]).
H
Vnh

V
ta
,
sao
cho
qta
cn
vi
n

hu
hn,
v
^A
cE
trờn
9ynR
Vi
qachỳng
e9-22.
V,
t
n
n)
n
n
n
(1)
(M
,c2.4
Xgi
l
compact
tng
i
trong
cra
A
,b}M
Y

)nu
. trờn
ncho
Math.,
(2),
ngha
1.6.
Khụng
gian
phõn
(X,7,R)
gm
cỏc
khụng
gian
X,
thc
ngc
ó
c
chng
minh.
+a
K
ấ
T
L
U

N

ii)
A
(q
bc
)mi
T
trin
ln
Cartier
tnh
D
i))|2
cY
ỏca
divisor
cH
d(X
ó/cỏnh
y'c

cth
trong
ox
n,f{0)
{gian
khụng
f FXY
n[e2.1
}tip
c(M

gian

a;tn
phc
{a
f(ra
s Y,an
ou
c]Cui
h.vi
on, v
mi
fqcựng
im
Chng
minh.
hyperbolic
ca
X.
Khỏi
nim
nhỳng
hyperbolic
Kobayashi
t
nhng
kkhụng
nD
U)k nm
Ti

lieu
tham
khõo
|$(
ó
1.3.2.1.
c
thit
Gi
lp
metric
sn
Sibony
sau:
trờn
khụng
xỳc
(2)
GX,Y

Fx
v

H
[
,
;
D
,
X

)
]
=
C
D
,
Y
H
X
)
hoc
nm
trờn
biờn
dx
dõy
chuyn
ti,
dx,Y
{
p
=
00
Thỏc
liờn
tc
ca
chnh
hỡnh
qua

thng
iu
ny
d
dng
nhn
thy
t
B

khụng
gian
con
phc
X
ca
2.2.
sup{|d/(0)|
:
G
F
U}
<
oo

ú
{an},
{ũn}
l
cỏc

dóy
trong
{0,1},
tng
ng.
T
c

{0,1}
ri
u
phc
khong
cỏch
Kabayashi
dx
l
khong
cỏch
X
trờn
X,
tc
l:
tha
món
cỏc
iu
kin,
mi

2
im
cú
biờn
ri
nhau,
ta
hon
thnh
chng
9ôớ)

(t)a<
=
ớ>'
(
^
)
ỡ
ấ
e><"'
Chng
2
Nhỳng
hyperbolic
ca
khụng
gian
phc
Chng

1lKin
thctrong
chun
b
Cho
{/n}
l dóy
vhyperbolic;
/ q cca
(D*,Y+)
sao
choi,a2,
fn >fc
/. Nu e{/nJ
+ cng
M
u
dóy
im
p,H
p,Hcỏc
PXi,()Dl
Pk
=
X,

3D
(1)
Nu
YH

thỡ
X(Ê)*,
+[ D
m.
(3)
=>
(1).
Gi
s
{/n}
v
{zn}
l
dóy
H
D
*nu
,im
Xnlõn
)X
v
.D*
tng
ng
ri
nhau
trong
X.
(kmi
D

,l
X
)M
ccho
cgian
ytrong
;cỏc
*ca
,ca
xca
)sao
cv
G
xuech
(dóy
.gian
nh
lý
2.12.
Khụng
con
phc
X
khụng
phc
Yn,ca
l
nhỳng
1.
trong

ú
ớỡp
qhyperbolic
tp
hp
c
ng
cong
liờn
tc
tng
khỳc
ni
/(a)
khụng
w,cu
=>
trong
(]pV
)phc
ccho
ca
khụng
gian
con
phc
gian
c
Kobayashi
gii

thiu
(2)
X
l
hyperbolic
(hyperbolic
y)
v
l
>
0.
Vi
71,
a
l
t
ng
D
sao
cho
a
(0)
=
v
v
g
=
f
oa
(3)

=>M,
chun
G
c
òn
nh,
|/n|
(4).
vi
tc.
trong
Cho
f
(1/2km)
c
u
n,
l
[
fn
lõn
=
,
(Xn)
Y
mp
cn
;
H
vi

->
hyperbolic
(M
p'
mi
e

V,
k.
A
fn
x
)
{x
]
)
->
cho
p"
V.
V
l
Do
ú,
cn
theo
b
p

2,

bao
ntt
n vi
nq,
nnu
9/nn,/
v
ton
ỏnh
chnh
hỡnh
7T
:
X
>
R.
H
qu
ny
l
ỏp
dng
(3)
ca
nh
lý
2.2
ti
dóy
hng

{/}.
+khụng
Cỏc
h
qu
sau
trỡnh
by
m
rng
hn
ca
nh
lý
Noguchi
trong
D
.
Thỏc
trin
liờn
tc
ca
ỏnh
x
chnh
hỡnh
qua
divisor
1.3.2.2.

Gi
metric
Sibony
trờn
nún
tip
xỳc
H
qu
2.1.
Gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc
ca
gian
phc
Y.
2.2.1.
Thỏc
trin
liờn
tc
ca
ỏnh
x

chnh
hỡnh
qua
a
thng
X
e

A
cú
ằ
lõn
/
Ê
cn
H
(
V
W

,
Y
trong
)
trờn
Y
sao
w.
cho
A

n
V
c
xỏc
nh
bi
/
=
0,

ú
70
ca
th
k
hai
mi

m
rng
nh
lý
Picard
ln
sang
trng
hp
nhiu
1
[11]

Kobayashi.
S
(1970),
Hyperbolic
Manifolds
and
Holomorphic
Mappings,
(2)Gi
M
nhỳng
iVi
fcon
HP

A
, q>
x )cho
)D
cú
thỏc
c)nu
(ằgi
M,Y
)./njfe
s
XG
l
con
phc

nhỳng
hyperbolic
ca
(M
n)
d(c
,Y
X
nptrin
,trong
xta
n
õ, YvVp,
cd
(dv,
W
>D*
+
xp
nu
pý2.2.
qhyperbolic
v
,Y
px(gian
, nhỳng
=
0(C),
q$&
)fhyperbolic

=(nu
$c
(D
znh
(.<
gtrong
)q,cú
V
ớth
Vr
khụng
gian
phc
Y
l
X
=rE
R(X).
l
trong
s
ae{, X
bkhụng
trờn
H) D
(gian
*,ta,nh
P1
minh.
0dx

<
rM(khụng
<:dPn,
1,
kớ
hiu
{z
G
\z\
v
=cE
D
0}
rZ=
nh
x
>
R
xỏc
bi:
dóy
ca
{TM
fdự
sao
n
^chỳng
gõ):=-w
cr}
(D

,D*
y+)
thỡ
.
Chỳ
2.
2.
Mc
6)
=>
(1)
ó
chng
minh
trong
[7],
chỳng
cú
d{}chnh
{
p
,
q
)
=
0
<=>
p
=

nu
k>
v
dóy
ỏnh
x
hỡnh
/i,
/2,
fk

Hol
(D,x}
sao
cho:
Venturini
[20]
cng
ó
a
ra
mt
cụng
thc
biu
din
gi
khong
cỏch
(6)

Tn
ti
ln
cn
ca
p
v

0
sao
cho
Fx
Y
^
trờn

X.
+
AõMeAwl))
1
x
9s
sao
cho
z Khi

>n
0
v
finu

zp',
)->
G
Y
.pquỏt
Cho
u
l
quanh
pA
v
chn
wl
m
nv
n l
hyperbolic
trong
kG
hlý
v
ch
kpdivisor
htụi
itng
c_1
tham
s
húa
bi

tnh
->

hon
thin
lun
vn
ny,
ó
nhn
c
s
giỳp

nhit
tỡnh
ca
trong
[11]
v
c
dng
nú

nh
lýphc
Picard
(xem
[9],
[11],

Do
ú,
theo
2.3,
chỳng
th
li
(1)
kộo
theo
Gx
Ytrong
l
tp
con
liờn
trờn
hyperbolic
D*.
ú
(hyperbolic
gY[0,1].
H
y);
vi
n,
{a~
(a^n)}
v
{a

(y
lgian
cỏc
dóy
úng
(an)
Vớ
d
->
Chỳng
->
CJ0,
compact
2.2.
p'
Cho

ta
fn(òn)
M
nh
sao
1li
p,
p"
cho
l
n
,ns
t

(wn)
V(nguyờn
A
cv
u.
p7/
qLi
Khi
dng
G
;tami
qúng
R(x).
,ú
ca
v
eoan
V
Chn
y+,
a
l
qtp
khụng
ta
m
V
Bi
a
gian

M
tớnh
phng
,ln
con
trự
c
phc
mt
ca
gi

ca
nhỳng

cú
c4m
M
nphỏt
n)}
2(D*,x)
-1
nh
lý
2.15.
Cỏc
biu
sau
l
tng

ng
vi
mi
khụng
con
(2)
Nu
Y
l
hyperbolic
y
X
l
thỡ
X
l
hyperbolic
y
Kt
lun
cam
Cỏc
kt
qu
tip
theo
sau
õy
d
dng

thy
t
nh
lý
7.21
[
8]
t
gi
\
r
J
d
t
NGUYN
TH
THY
DUNG
Khi
ú
cỏc
iu
kin
sau
l
tng
ng:
l
hm
chnh

hỡnh

trờn
V.
Ký
hiu:
X
=
7T
(r),
X
=
7T
(u
)
,
vi
r
e
R
,
u
c
R
.
chiu.
Sau
ú
nhiu
nh

toỏn
hc
ó
a
+
ra
nhng
c
trng

nhn
bit
1
r
lRoyden
Marcel
Dekker,
New
York.
phc
Y
. qu
Tp
l
phớa
bờn
tp
con
ca
tp

bờn
phi
nh
H
qu
2.3.
Gi
s
l
khụng
gian
phc
nhỳng
hyperbolic
ca
Dng
vi
phõn
F
(hoc
[18])
dx
xỏc
:(M
H
2.6.
Gi
s
X
khụng

con
phc
ca
M,
y(1)
; vi
H
-phớa
A
,nh
+khỏi
nh
lý
2.8
sau
l
s
nh
lý
Kobayashi-Kwack
c
xõy
l
compact
nh
ngha
s
Xtớnh
l
khụng

phc.
Gi
Sp
tp
hp
tt
c
cỏc
(C))
sao
cho
ad1.8.
>
aX
, do
btrỏi
>
brng
,gian
ógian
n,
bcon
n,
ó,
b(M
Gnhỳng
H
(D
,)v
p

(C))tn
ti
vi
Chng
minh.
Sau
õy
cỏc
kt
qu
chớnh
trờn
a
D
n
trong
mt
phng
n
nhm
vy
gchng

fM.
trờn
DGi
*X
v
ú
gm

=t
f
.c
nh
lý
2.4,
mi
dóy
con
ca
cú
-1phc.
Lun
vn
nghiờn
cu
nhỳng
hyperbolic
ca
khụng
gian
Lun
th

y
bng
tớnh
y.
(7)5.
=>(3)

(1).
Nu
T
{vi
nminh
}cho
l
(p,
dóy
q)
dxY
trong
(p,
)
H
vi
(M
p,q
Ê0T
A,
X,
X)
v
kộo
fn
theo
Ơ
t
fXl
b

chyperbolic
2.1.

A,
Y
)cho
,
Phng
phỏp
xand
Kobayashi
trờn
khụng
gian
phc.
[1]
Abate.
Vigue
.J.
P
(1991),
Common
fixed
points
in
hyperbolic
Rừ
rng
(q)
=

0.
Chỳng
ta
gi
s
rng
hm
u
<
v
u
o
<ẫ>
cú
hm
m
1 0
B

2.2.
Gi
s
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
gian

phc
Y
v
l
l
PM
(p,0
=
sup
((Êu(p)Ê,Ê)1/2,
ú
(p,)
e
T
M
quanh
p
sao
w
l
compact
v
w
c
u
.
Nu
khụng
tn
ti

0
<
r
<
1
sao
Barth
[2]
ó
chng
minh,
nu
dim
X
<
oo
v
dx
l
khongcỏch
trờn
P
Trong
chng
ny
gii
thiu
mt
s
nh

ngha,
khỏi
nim
v
cỏc
kt
qu
2.1.2.
Tiờu
chun
nhn
bit
tớnh
nhỳng
hyperbolic
Trong
chng
ny,
gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
gian
phc

Ngoi
ra,
Royden
ó
chng
minh
rng:
cỏc
on
th
v
cỏ
nhõn.
Tụi
xin
by
t
li
cm
n
v
kớnh
trng
ti
tt
c
cỏc
[12],
[13],
[15]).

tc
u
ca
c
(D,
y+)
v
(6)
=>
(1).
trong
D*,a~
(:x
)
0,
a
(y
)
->
0,
g
{oớ~
{x
))

hyperbolic
giao
sao
A
cho

chun
trong
f
(q)
M
compact
tc
=
v
nu
0,
tớnh
f
(p')
tng
liờn

tc

i
n,
ca
ca
{p")
mi
khụng

fn
vi
trờn

gian
mi
M,
phc
n,
chỳng

ú
u.
f
T
ta
=
(
cú
(3),
/
th
tn
,
gi
f
ti
n
thit
).
lõn
Vi
cn
0J

nfn
(7)
Nu
{p
}
v
{g
}
l
cỏc
dy
trong
X
sao
cho
pn

ằ
p
v
nu
khụng
n
n
n
n
ni
ni
n
n

i
fi
5
(0)
=
Pi_
n
n
phc
X
ca
khụng
gian
phc
Y:
thit
di
õy.
p
l
liờn
tc
u
nu
p
l
liờn
tc
u
v

vi
mi
X
,
{/
(
x
)
:3x
nh
lý
1.3.
Gi
X,
Y
l
cỏc
khụng
gian
phc
v
f
:
X
>
Y
l
ỏnh
1.
Lý

do
chn

ti
M
=
{{zuz2,...,zn)
e
cn
:
Z

{0,1}}
(3)
Nu
X
l
hyperbolic
thèT
:
(
X
,
d

)

(X,
d
x

)
l
ng
c
a
+
tớnh
nhỳng
hyperbolic
ca
mt
khụng
gian
con
phc
trong
mt
khụng
gian
2ti giao
trong
chng
minh
ca
nh
lý
2.10.
nh
Ti
lý

liu
1.13.
tham
Gi
kho
s
(
X,
7r,
R)
l
khụng
gian
phón
th
vi
th
hyperbolic
khụng
gian
phc
Y.
Khi
ú
vi
mi
f
G
H
(D*,

X)thỏc
trin
f
G
c
trong
c
[M,
y
]
vi
mi
a
tp
phc
M
v
dvsor
A
trờn
M
vi
quỏt
t
nh
lý
Picard
ln
ti
x

nh
trong
H
(
D
*
,
x
)

ú
X
l
khụng
gian
mi

I
,
v
n
^
,
b
^
6;
vi
mi
n,
g

thỏc
trin
ti
c
xỏc
nh
hm
u
xỏc
nh
trờn
X
tha
món
0
^
u
^
1,
u
(p)
=
0,
u
thuc
lp
c
trong
lõn
(4)

=^(1)
nh
l
lý
rừ
1.10.
rng
Gi
t
s
s
tng
Y
l
khụng
ng
gian
ca
(1)
phc
v
(3)
v
trong

l
Cartier
nh
lý
divisor

ca
(1)
X
l
khụng
nhỳng
gian
hyperbolic
phc
Y.
trong
Nu
{fn
Y.
}
l
dy
trong
H
(
D
*
,
X
)
v

f
f
t

h
ỡ
phc
c.
n
n
n
[12]
Kobayashi.
S,
Relative
intrinsic
distance
and
hyperbolic
imbedding,
hi
t
ti
phn
t
ca
c{u/cn
((0)
DXl
,compact
1^+),
chng
2 vy
vn

ó
thng
li:
(1) vdóy
(7)
tcon
=>
hýa
ỡÊh
(8).
/->/.
Bi
(1),
tn
ti
lõn
re)
ca
pV,
sao
cho
cho
tp
X(^(Luo^1)

R(X).
Fx
(p,
v)
=

inf
{r
>
0
:
=
p,
df
(0,
=
f
G
H
(D,
X)}
Gi
s
X
l
khụng
gian
phc,
X
G
v
Ê
Jk{X)
gi
metric
Venturini

Riemann
surfaces
and
convex
domains,
Proc.
Amer.
Soc.,
(112),
503-512.
Chỳ
2.3.
Kt
qu
gn
õy
ca
Abate
[1]
ó
ch
ra
a
phc
l
x
rng
iu
hũa
di

chn
o
lp
c
trờn
-0(0,
2r)
sao
1
cho
p
R(X).
Gi
s
{z
}
v
f
}
cỏc
dy
trong
D*
v
H
(
D*,x)
tng
n
n

f
n
(D
*)
c
u
,
thỡ
tn
ti
dóy
con
ca
{/ra},
m
chỳng
ta
vn
gi
l
{
f
n
}
,
sao
X ó
thỡ
d
xỏc

nh
tụ
pụ
ca
X.
S
dng
kin
thc
v
phng
phỏp
nghiờn
cu
ca
gii
tớch
Thu
thp,
bit.
C
th,
chỳng
ta
tỡm
hiu
v
vn

sau:

Y.M
Chỳng
ta
xem
xột
nhỳng
hyperbolic
ca
Xtrong
trong
Y
c
c
trng
bi
tớnh
tp
th
v
cỏ
nhõn
ó
to
iu
kin
giỳp
tụi
quỏ
trỡnh
hc

tp
v
nghiờn
ngha
2.1.
Khụng
gian
ca
khụng
gian
phc
Ynca
gi
l
Gx
Ycú
khụng
l
tp
con
liờn
tc
u
ca
ccho
(D,
F+),
bi
thun
pnh

v
khụng
dóy
con
no
(yn))}
t
ti
Nh
(2)
khụng
Êhyperbolic

ln,

A
ta
vi
cú
w
th
ca
mi
thy
6Q
n
v
iu
tn
sao

cho
ti
fX
mõu
iyv
{u)

thun
)
bi
V
v
M
ng

dng
A
sao
kt
ca
cho
qu
Kwack
U)
'c
>
Kiernan
[10]
ớVq
ca

v
Mnh

1.1.
Gi
metric
PM
b
chn
phng
Y
trờn
khụng
gian
tip
cú
dóy
con
no
ca
{
}{con
hi
n
t
n
thỡ
lim
dx
Vp.

(Pn,Qn)
>tớnh
0.
-1
ni{g
snhng
2Nu
8thỡ
nca
iny
adóy
)phc
=(a
Pn'}a
iX
, p,
Vi
=hi
1,
2,
kbi
a,$
(t))
Fchun
l
na
liờn
tc
trờn
trờn

TM
G
Phm
}Y+).
l
compact
tng
i.
n(1^).
chỡnh
Gi
s
Y'
l
khụng
gian
con
ca
v
X'
=2.5,
/vy
Nu
xX
M
Ahyperbolic

D
vi
rtrong

+c.
skhụng
=gian
m
(xem
[17]).
phng
v
d
=
7
*f(D*
d
4X
l
ô(i)
hỡnh.
=l
9"
^ấ
$j(gW)
èban
u.
Nu
X
l
khụng
gian
con

phc
ca
khụng
phc
Yx
,chnh
kớ
hiu
tp
cỏc
(1)
nhỳng
hyperbolic
trong
Y.
Mt
khỏc,
nu
fn
ằ
g,

ú
fn
e
H
(
D
*
,

x
)
,
bi
nh
lý
fnk
>
compact.
Nu
R
(hyperbolic
y)
v
mi
thnh
phn
iờn
[c
,a;i,
...,u;n]
l
ta

thun
nht
ca
gian
nh
p

(C)
v
7T
(D,
Nu
X
l
compact
tng
i
trong
Y
thỡ
f
l
hỡnh.
Y.
Th
thỡ
tc.
f
n
>
/

0
con
nhỳng
hyperbolic
ca

khụng
gian
phc
Y
.
Ngoi
ra,
H
(D
*
,
x
)
l
bao
bi:
2.1.
cn
ca
p
l
logu
l
hm
a
iu
hũa
di
trờn
X.

Gi
s
metric
vi
phõn
Trong
[13]
Kieman
ó
chng
minh
khụng
gian
con
phc
compact
tng
minh
Intern,
ó
c
Preprint.
hon
thnh.
2 ỳng
n 1
Lý
thuyt
cỏc
khụng

gian
phc
hyperbolic
c
Kobayashi
dng
ln
Gi
s
(8)
khụng
v
cho
{p
{ỗn}
lNu
cỏc
dóy
trong
{D
(ca
X\zl
sao
cho
dxY
1tp
n},>
c
nh
ngha

nh
sau:
hyperbolic
nu
D
(ntrong
Dphc
, n
xbit
),tụ
tng
i
compact
trong
cfgian
H
,(thỏc
xxõy
){y
ó
c
^
c\\w\\
vi
w
ca
C
cl
c
lp

vi
(2)
Vi
mi
compact
K
c>
Y,
tn
ti
c>
0trong
sao
cho
Fx
v)
}khi
ctuyn
vi
ng
sao
cho
zn
>
0,
fn
((Y
zn)
p.
n

=
{z
&
:ekhi
I0),
=+topology,
\zn\},
khi
cho
0TM.
eptiờu
lim/
(VF)
lim/

t/)
vi
mi
dóy
con
{fnk}
{/n},
nh
vy
Chng
minh.
ta
chng
iu
kin

.
Cho
}(ớ
dóy
trong
H
Nh
vy
khụng
gian
(hu
hn
chiu)
X
l
hyperbolic
v
ch
nnTi
(z)w,w)
õy
Ês
X,
eChỳng
l
vect
v
10minh
ti
0distance

G
-D,
V
&
T
(X)
khụng
gian
tip
tng
hp
cỏc
bi
bỏo,
cụng
trỡnh
nghiờn
cu
trong
v
ngoi
nc
compact
tng
pụ
compact
m
trin
liờn
cu.

Trc
ht
tụi
xin
by
t
lũng
bit
n
sõu
sc
ti
TS.
Lờ
Thu
ngi
ó
Mt
phộp
s
nhỳng
chun
hyperbolic
nhn
trong
tớnh
Y
nu
hyperbolic
vi

hai
v
hyperbolic
phõn
Pkhụng
bit
y.
p,
q
X
tn
ti
cỏc
[2]
nht
Barth.T
ca
D
(1972),
v
tớnh
The
liờn
tc
Kobayashi
ca
mi
/

Gx

Y
J
induces
tn
ti
cỏc
the
dóy
standar
{^n},
trong
ỳng.
fn
(cũn
lp
(
lun
c
gi

n
l
)
>
un
nh
p
i
lý
iu

s
K3)
ny
Grauert
bi
mõu
Lang
thun
v
[15],
Reckziegel
vi
f
thỏc
s
tng
[6]
trin
ti
ti
ng
f
.
f
H
ca
(VK,
(1)
v
nh

(3)
n Y),
xỳc
Ngoi
ra
chỳng
ta
cú:
nim
ni
cl
Khụng
gian
hyperbolic,
hyperbolic
y.
ncụng
v
Y'
l2.3.
hyperbolic
y
thỡ
X'
cng
l
hyperbolic
y.
+ti
Vỡ

nhng
lý
do
trờn,
ng
thi
c
s
hng
dn
ca
thy
Lờ
Ti
Thu
tụi
(8)
Tụi
Tn
xin
cam
ln
oan
cn
Lun

ca
vn
p
l

sao
cho
trỡnh
nu
nghiờn
{pn}
v
cu
{
ca
}
l
riờng
cỏc
dóy
tụi
di
trong
s

+
n
im
hyperbolic
ca
X
l
R(X,Y)
v
n

gin
l
R(X).
/ (1)
H
(D
*,
Y
)
v

i
d
óy
co
n
{
fn
k}
c
a
{
fn
}
D
o

ú,
fn
k

>

b
i

n
h
q
e
v
.
thụng
ca
Xr
l
hyperbolic
(hyperbolic
y)
thỡ
X
l
hyperbolic
siờu
phng
.
Xỏc
nh
ỡj)\
M
p

(C)
cho
bi
nh
lý
2.6
sau
õy
a
ra
mt
s
c
trng
ca
cỏc
im
hyperbolic
nh
lý
Gi
s
c
l
h
ca
tt
c
cỏc
hm

liờn
tc
trờn
khụng
gian
ii)
X
l
hyperbolic
khi
v
ch
khi
vi
mi
p

X,
tn
ti
lõn
cn
m
u
ca
p
úng
trong
c
(D

*,
Y
)
.
=^(2).
nh
Chỳng
lý
1.7.
Gi
ta
chng
s
l
minh
:70
X
bng
quy
l
np
ỏnh
trờn
x
chnh
m.
hỡnh
gia
cỏc
khụng

Sibony
Px
trờn
nún
Royden
-Ơ
ca
c
xỏc
nh
sau:
i
X
ca
khụng
gian
phc
Y
nhỳng
hyperbolic
Y f{ỗn},
nu
mi
fỡtrin
cdóy
H
qu
2.8.
s
Xnm

khụng
gian
con
phc
nhỳng
hyperbolic
comTa
gi
tp
hp
{p
aca
aỡl
/1,
/2,
l
mt
dõy
Vớ
d
2.3.
Trong
vớ
d
2.2,
ýM,
kTn
ũY
õephng
úk

hA
lhai
trờn
hm
hng
[0,1,0,
hnhng
thỏc
u
tiờn
vo
0,p
1:Pk,
u-Kobayashi
2h,Ofc,
th
mi,
l trong
mt
trong
hng
k ,nh
Chng
minh.
(Pn,Qn)
0sai.
v
dGi
(Pn,Qn)
*

0ti
cỏc
dóy
con
ca
{p
m
chỳng
(2)
Vi
a
tp
phc
divisor
M
vi
giao
chun
tc
v
Enhng
n} v
(1)
Y

l
hyperboic
y
a
X

trong
Y;
chng
minh
bi
nh
lý
2..
mi
fmi
cA
vi
e(35),
K
v
df(TQ(D))
tha
món
E(f
(0),v)
l.
ú
fn
(n)
->
p.
+
[13]
Kieman.
P

Kobayashi.
Sú
(1973),
Holomorphic
mapping
(3)
l
Do
chỳng
ta
kt
thỳc
chng
minh
bi
B

v
s
(hng
M
nh
A
X
)ú
. and
Bi
(1),
tn
ti

dóy
{X
fcỏch
} tc
ca
{/n}
v
/
(e2.1
M

A,
y+)
sao
gi
khong
cỏch
Kobayashi
dx
l
khong
trờn
ca
X
ti
,FXY
v
d/l
ỏnh
x

xỳc
/nq,D*
.ca
tc
ca
x
chnh
hỡnh
t
a
thng
X
v
t
M
A
X,
ú
l
dn
tụi
trong
sut
quỏ
trỡnh
nghiờn
cu
v
hon
thin

lun
vn.
tp
m
W
W
gMath.
trong
Y
sao
cho
e-vi
qti
eR
W
gnX.
v
{X
nrf|
Xsao
nw5)
>into
0,

D
*(5).
,F
{Nu
fỏnh
}p,l

trong
GKhi
xfSoc.,
,(0)
y|/nI
sao
cho
xhoc
0,
ykG
0,
ftrờn
(x
)xtrong
->
pcWp,
Yfn
(=
ytng
p
(4)
=>
(5)
khụng
tha
món,
(pV
tn
{/n}
Fú

Y
cho
(0)
Proc.
Amer.
439
441.
(2)
(3).
trong
vy
Cho
(4)(a)
u
l
lý
ỳng.
lõn
2.6
t
cn
hoc
ta
p
etip
l
a
R
h
(X)

phng
ng
liờn
pdóy
(X).
v
V
l
w
tp
do
m
compact
>
tng
/fM
Tụi
H

xv
np
n, Wp,
n ti
n+d
n
n
xti
n)
kJ
k

x
(
x
,
ớ
)
=
inf
;3/
H
o
l
D
)
m
=
X
,
k

)
=
Gi
s
9
l
hm
trn
khụng
tng

xỏc
nh
trờn
R
sao
cho
2.
Mt
s
du
hiu

nhn
bit
tớnh
nhỳng
hyperbolic
ca
mt
khụng
gian
ó
chn

ti
Nhỳng
hyperbolic
ca
khụng
gian

phc.
hng
dn
trc
tip
ca
TS.Lờ
Ti
Thu.

X
v
dx,YèPn,
qn)
->
0
khi
ú
dE
(pn,
qn)
->
0.
l ý pact
2.8
v
2.9,
nh
vy
f

=
g.
;
(hyperbolic
y).
i)
PM
(P,
ao
=
IA|
PM
(P,
0
e
TM,
Vp
e
c,
(p,
0
e
TM
trong
cỏc
s
hng
n
ca
a

tp
phc
v
divisor
vi
giao
chun
tc.

Biu
din
tớch
phõn
ca
gi
khong
cỏch
Kobayashi.
compact
a
phng
chớnh
quy
X
n
khụng
gian
chớnh
quy
Hausdorff

trong
X
v
hng
s
c
>
0
sao
cho
F
(X,
v)
^
C
.
H
(X,
v
)
vi
mi
V
G
gian
p
h

c
.

V

i
m

i
y
e
Y
v


>
0,
t

p
u
(
y
,
ụ
)
=
{
u
e
Y
:
d

y
{
y
,
x
(
D
,
x
)
l
tp
con
compact
tng
i
ca
H
(
D
,
Y
)
.
Phn
iu
kin
cn
ca
/

d2u(0)\1^2
tng
i
ca
khụng
gian
phc
Y.
Gi
s
M
l
a
tp
phc
v
A
chuyn
chnh
hỡnh
ni
p
v

trong
X.
v
ti
nh
f

h
lý
e
1.4.
H
(D
,
p
(C))
X
l
vi
khụng
mi
k
gian
.
Tuy
phc.
nhiờn,
Nu
f
k
/
tn
ỡ
h
nh
ti
h

lý
cỏc
sau
im
mụ
t
Pa
c

nh
lý
2.2.
Gi
s
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
gian
phc
Y
cu
trng
gii
Trong
lýpu
kgi

con
pn
(cu
zA
ukhụng
,, . ra
.gian
,tớch
z n->
[>
ló,->
z
u0X
.oNagoya.
. n.thỡ
,nu
znhng
]nU/dkkMath.
Nu
tn
ti
dóy
{z
}2.1.
trong
sao
cho
zG
(z
)nm

>
pn
&Y,
thỡ
tanghiờn
vn
l
v
{ỗn},
sao
cho
Pn
y=icon


(
, qNh
)gn
0.
Nh
Nu
f2.8.
}quan
l
dóy
ca
{/n}
sao
cho
Jnnk

gv
,v
trờn
D
*vy,
do
ú
{fn}
trong
Hnghiờn
(M
,zny,
x2suy
)D*
t.vi
nt
t)nh
(phc.
d*v
y2.2.
ccú
{nfeA(<7(ớ))
ca
f>
}, õy
sao
E}ng

n{
U k{pn}

nh
Nu
X
l
phc
nhỳng
hyperbolic
ca
+)
Vi
771=1,
(1)=^(2)
c
lý
^
6.
D
kin
kt
qu
+ klý
projective
space
lacunary
hyperplanes,
J.,
(50),
119ng
(2)
ca

nh
lý

Chỳng
ta
kt
thỳc
phn
xem
H
D
,
x
)
phi
l
compact
tng
i
cho
fn
f{qpgi
.hm
Bi
(2),
fn
v
/
tn
ti

mi
k
bi
(3),
fn
>
f
.
theo
SU
kwith
kX.
c
nh
ngha
tng
t,
FXY{P,V)
=
00
nu

ú
khụng
tn
ti
r
a
tp
phc

v
A
l
divisor
trờn
M
vi
giao
chun
tc.
(2)
Nu
Y
l
hyperbolic
(hyperbolic
y)
thỡY

A
l
hyperboic
xin
trõn
trng
cm
n
ti
ton
b

cỏc
thy
cụ
giỏo
trong
Khoa
Toỏn
v
Phũng
ú
d
l
khong
cỏch
Kobayashi
trờn
X.
&
Y
,

p,
v
vi
mi
n,
f
n
(x
)

G
X,
f
(
y
)
G
X.
>
p
v
Idf
(0)1
ằ
oo.
Cho
u,
V
l
lõn
cn
hyperbolic
compact
tng
i
(w,
i
y)
ca
trờn

sao
w
vi
cho
mt
V

dóy
u.
Tn
ti

<
r
<
1
sao
cho
f
(D*)

V.
Cui
cựng
(a)
v
(3) [3]
Tn
ti

di
H
trờn
Y
sao
cho
FXY
^
H
trờn
n
n
n
n
n
PxipA)
=nghiờn
P{(
QXQX
)toó
--U^SP^
ol(D,X),
k ca
tha
NHNG
HYPERBOLIC
CAqu
KHễNG
GIAN
Chng

minh.
H
qu
2.5.
Nu
X
l
khụng
gian
con
phc
nhỳng
hyperbolic
khụng
Boas.
Rtp
(1978),
Invitation
Complex
Analysis,
Random
House,
con
phc
trong
mt
khụng
phc
ban
u.

Trong
quỏ
trỡnh
cu,
tụi
k
thnh
khoa
hc
cỏc
-1 ca
Khi
ú,
gi
khong
cỏch
Kobayashi
trờn
khụng
gian
phc
X
c
biu
Y.
Khi
ú
con
F
ca

l
compact
tng
i
trong
cToỏn
khi
v
ch
khi
T
X
v
vi
mi
X
E
u,
trong
ú
H
l
metric
Hecmit
trờn
TX.
2ctng
1.1.3.
Khụng
gian

hyperbolic
y
<
)}.
Nu
vi
mi
y
G
Y
tn
ti
s
ụ
>
0
sao
cho
7T
(U
(y,
))
l
x&
Zaidenberg
[22]
ó
quỏt
húa
nh

lý
Eastwood
[5]
nh
sau:
kt
qu
l
tng
quỏt
nh
lý
Montel-Caratheodory
lờn
trng
hp
nhiu
+
l
divisor
trờn
M
vi
giao
chun
tc.
Vi
mi
z
G

M,
tn
ti
gdóy
ny
H
con
n
},}
nP
Chỳ
trng
ý
2.5.
ca
Nu
tớnh
X
l
nhỳng
khụng
hyperbolic
gian
con
s
phc
c
tng
s
dng

i

compact
m
rng
nh
ca
khụng
lý
B
Vi

mi
di
dõy
õy
chuyn
c
chnh
Joseph.
hỡnh
J
and
nh
Kwack
trờn,
ta
chng
lp
tng

minh
2
(xem
PÊ>(0
[7]).
fli)
*khụng
X
v
cỏc
s
dng

sao
cho,
vi
mi
a,

lõn
cn
vi
hm

di
E.
Nhng
iu
kin
sau

y
l
tng
ng
vi
mi
a)
P.M
(p5
Ê1
+
Ê2)
^
PM
èPI
Ê1)
+
PM
èPI
Ê2)
k
thuyt
ny
ó
thu
hỳt
c
s
quan
tõm

ca
nhiu
nh
hc
trờn
a
a
e
R
(X)
v
t
h
qu
2.2,
/
thỏc
trin
ti
/
e
H
(D,
Y).
Gi
thit,
vi
{zY.
vy
y

R
(X),
p
-ằ

v
khụng
cú
dóy
con
no
ca
{q
}
hi
t
ti
p.
5D*,Y
iu
Xỏc
nh
h
e
H
(
D
,
(C))
bi:

nh
lý
2.6.
Gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
gian
phc
g
=
/
trờn
D
*
v
g
=
f
.
T
nh
lý
2.10,

vi
mi
dóy
{/n}
trong
H
(
D
,bin
Xth
)n
n
n
cho:
khụng
gian
phc
Y,
thỡ
mi
f
e
H
(
D
*
,
x
)
thỏc

trin
ti
f
e
c
(
).
Sau
Mt
s
tiờu
chun
nhn
bit
khụng
gian
phc
l
hyperbolic,
hyperbolic
p
nhỳng
M
trong
p
(C)
v
Kiernan
(xem
[9])

ó
ch
ra
"0
(M)
216.
Cui
cựng,
chỳng
ta
tng
quỏt
nh
lý
Vitali
c
in
[3]
vi
hm
mt
trong
c
(D*,Y+)
khi
X
l
khụng
gian
con

phc
nhỳng
hyperbolic
ca
khụng
nh
lý
2.7,
chỳng
ta
kt
thỳc
chng
minh.
v

j=i
>
0
sao
cho
f
&
FXY
tha
món
/
(0)
=
p,

df
(0,
re)
=
V.
2=1
ú
chỳng
ta
ng
dng
cỏc
tớnh
cht
c
trng
ca
nhỳng
hyperbolic
i
hc,
Th
vin,
tp
th
K17
Toỏn
Gii
Tớch
t

2
ó
giỳp
tụi
hon
(hyperbolic
y).
Sau
khi
xut
hin
nh
ngha
ó
cú
mt
s
nghiờn
cu
v
nhỳng
Bõy
gi
lp
lun
tng
t
nh
trong
chng

minh
ca
(2)
(4)
ca
ca
p
sao
cho
u
c
V.
Cho
0
<
r
<
1
tha
món
f
(Dr)
c
u.
Tn
ti
dóy
con
ca
+)

(b)
Gi
kộo
s
theo
(2)
l
t
ỳng
nh
vi
lý
s
Riemann
nguyờn
c
,
nhng
in
ngoi
khụng
cỏc
ỳng
im
vi
k
s
d
nguyờn
v

nh

+
lý
1.
n hyperbolic, nhỳng hyperbolic
H
thng
li
mt
s
kt
qu
ó
bit
v
tớnh
PHC
2.nh
Mc
ớch
nghiờn
cu
Dóy

di
hyperbolic
{l
(crn)}
tha

món
t
(crn)
ằ
0
(xem
[15],
p.
41).
gian
phc
vbiu
A
divisor
vichớnh
giao
chun
tc ny.
trờn
a tp
phc M, kh
Chng
minh.
New
York.
nh
lý Y
2.7
din
kt qu

trong
phn
khoa
hc
vi
s
trõn
trng
v
bit
n.
=lp,'(e
= Ê}
0) b
din
di
dng:
eXu((t))
hyperbolic
thỡ
X
l
chiu
trờn
h
chun
tc
[4],
p.

300).
Nu
X
cpbi
cEY
min
chn
nh
'M
,M
Y;
H
{con
M
-ng
A
, ntrong
X
)sõu
hyperbolic.
s0,p(xem
ahyperbolic
o(C).
cằ
htng
o(z
nta
gian
phc
Y

trong
trong
D
phn
.x
ny,
thỡ
cú
thay
th
cphc
Hcỏc
vy
Y+
bi
Ythỡ
t
im
PGX.
gii.
Mt
s
kt
qu
sc
v
p

ca
lý

thuyt
ny
ó
c
chng
minh
nu
f
l
ỏnh
chnh
hỡnh
Mi
vo
M2
thỡ
Thỏc
trong
trin
D*
sao
liờn
cho
tc
z
ca
>
ỏnh
x
cú

chnh
/
)
>
hỡnh.
oo.
m
mõu
thun
vi
s
tng
ng
ca
(1)
v
(7).
Nhng
iu
kin
sau
õy
l
ng
vi
.
{Noguchi
f
}
l

dóy
con
hi
t,
nh
vy
f

>
/.

(1.1)
nh
lý
1.14.
Gi
s
f
:
X
nth
Y

ỏnh
x
chun
tc
gia
cỏc
khụng

(a)
F
l
tp
liờn
tc
ca
c.
nngha
nt
rng
kt
qu
ca
Royden
sang
khụng
gian
ta
cú:
,
1
V**
aw(a(ớ))
y.
nhỳng
hyperbolic
Ta
d
dng

nhn
thy
t
s
tng
ng
nh
1.2.
Khụng
gian
X
c
gi
hyperbolic
nu
mi
t
dx(p,
q)
=
inf
i)^
theo
tt
c
dõy
chuyn
chnh
k{khong
phc

ti
trng
hp
nhiu
chiu.
gian
phc
Y.
Thm
chớ
iu
kin
tng
ng
(6)
ca
nh
lý
2.2
cú
th
s
B

2.1.
Gi
s
X
l
khụng

gian
con
phc
ca
khụng
gian
phc
Y
v
)
,
b
{
z
)
]
,
a
z
)
e
c
Cho
E
l
hm

di
trờn
Y

v
cho
d
l
hm
cỏch
tng
quỏt
trờn

tng
quỏt
v
m
rng
cỏc
nh
lý
ca
Kobayashi,
Kiernam,
Kwack,
u
a
=
{
e
X
:
d

x
(P
a
,
q
)
<

a
}
thin
Chng
lun
minh.
vn
ny.
hyperbolic
ca
khụng
con
phc
E
ó
s
dng
c
trng
ca
nhỳng
nh

lý
2.2
s
to
ra
mõu
thun.
{fn},
cng
c
gi
l
{/n},
v
ỏnh
x
g

H
(Dr,
V)
sao
cho
f
>
g,
iu
ny
Montel
Khi

[3].
ú
ta
cú
th
gi
thit
U3
=
(
t
s
)

D
X
D
cỏc
dóy
{uj
=
(ớ,sn)},
ỡgian
m
p
nth
ca
mt
khụng
gian

con
phc
trong
mt
0
:
khụng
0
gian
ban
:
u.
Nghiờn
n
cu
bi
+
[14]
Kobayashi.
S
and
Ochlai.
T
(1971),
Satake
compactifications
and
the
Chỳ
ý

2.9.
nh
lý
2.13
v
2.l
ch
ra
rng,
chỳng
ta
cú
thay
th
H
V Nghiờn
t
ú,
mi
x
e

,
ta
cú
d
(n
(xn),
fn
(zn))

^
Ê
(
),
iu
ny
c
suy
ra
t
f

!
(
)
n
ln/1
(Q)
=

n
n
x
n
Wu
[21]
a
ra
nh
ngha:

ú
mi
f

H
(M

A,
X)
thỏc
trin
túi
/

c
(M,
Y
)
.
(1) (2).
Gi
s
K
l
tp
con
compact
ca
Y
vi

(2)
khụng
ỳng.
Tn
ti
dóy
{f
}
n
+lýlằ2.7.
^ cu
*iW))
af
A
5
r 2 J^L,
h {Chuyờn
zkin
) ỳng
= Functions
nhỳng
hyperbolic,
nhng
c
trng

bit
tớnh
nhỳng
ngnh:

Toỏn
gii
tớch
Mó
s:
46
01
02
[4]
Conway.
J.
B
(1978),
of
One
Complex
Variable,
Springerlý
(gi
nh
lý[5]
Montel)
vi
H
\...,cn]
Dnh
,:phc,
X
:lý
D

(:trỡnh
D
*l
,v
Xnghiờn
)nhn
.60
nh
Cỏc
iu
sau
l
tng
ng
vi
mi
khụng
gian
con
u
n
cui.
vi
(p,Ê)
G
ConX.
bi:
Kobayashi,
Kwack,
Noguchi...

Nhng
cụng
cu
ú
ó
thỳc
Trong
mnh

1.1
ca
[1],
ó
ch
ra
min
hyperbolic
X
ca
siờu
mt
(8)
^
(7).
Gi
s
(7)
khụng
ỳng
v

cho
{p
},
{gn}
l
cỏc
dóy
trong
Trong
trng
hp
X
l
khụng
gian
con
phc
compact
tng
i
ca
khụng
d
x
(
p
,
q
)
\

d
=
g
inf
(z)|
|sup/Fj(7(i),
=
sup


d
f
(
z
j
k
)
l
{
t
f
)
)
&
d
t
H
(
7
M

G
l
A
1
,
0
X
)
Y
gian
phc.
Nu
Y
l
hyperbolic
(hyperbolic
y)
v
Y
cú
ph
m
{
14}
n
nh
ngha
1.3.
Gi
s

X
l
khụng
gian
TX
khụng
gian
tip
xỳc
Eastwood
ó
chng
minh
c
sau:
(2)
ca
nh
lý
2.2
nu
p
=
[0,
l,t2,
G
7T
c|
^
1

vi
mi
i
dóy
Cauchy
i
vi
d
u
hi
t
trong
X.
hỡnh
ni
pn[15]).
v
qnntrong
th
cú.
,PnJ
alun,
(hỡnh
z(nhiu
)->
cx0chiu.
(1)
im
pngha
G

dng
vi
quỏ
trỡnh
ng
chộo

i
n
kt
chỳng
ta
a
ra
chng
(1)
cho
im
pthun
G
X.
pR{X).
l
Khi
im
ú
phyperbolic
G
(X)
nu

ca
m
X.
dx
(kh
Qn)
>CJ0,
vi
mi
dóy
{pn}
Mc
dự
tỏc
gi
ó
ht
sc
c
song
nng
kin
thc
cũn
ch
Y
E
(xem
Nu
/nghiờn

R
H
(D,Y),
vi
chun
ca
df
xỏc
nh
bi:
nh
lý
2.10.
Khụng
gian
con
phc
X
ca
khụng
phc
Yflý
l
Noguchi
v
Vitali
a
D
v
trong

hp
(b)
(bi
X)
Nu
=
{/
{/n}
(x)
:Gi
dóy
fStheorem,
ech
F}
trong
l
tng
H
(D
*v
,i
xkgng,
)X
v
compact
ftrng
->
/trong
ekin
cuj

D
Y(z)
*ca
vi
,c
)mi
,a
thỡ
Gng
tn
X.hn
ti
vi
hyperbolic
hng
ỏnh
chnh
trờn
v
D
=
-[m
(6)F
^nh
(1).
Chỳng
ta
vi
mi
pcu

G
X
trong
Y,
mõu
vi
Idf
(0)1
ằ
oo.
Do
ú
(4)
khụng
ỳng.
(3)
=>{ỹJn
(2).
Gi
=Picard
(ntrong
s
tl
,(2)
khụng
)cú
}ra
trong
ỳng
(D*)

(3)(a)
D*
ỳng.
sao
cho
Khi
ú
tn
ti
ớ
dóy
'X
->
{/}
6Q,
trong
dóy
Hz
nx
n
toỏn
thỏc
trin
liờn
tc
ca
ỏnh
x
chnh
hỡnh.

n gian
nn
1.5.
great
PM
J.

Math.
(P)
,
Soc.
f
(p)
Japan,
0
^
PM,
(23),
{P,
340-350.
0
nh
lý
2.16.
s
X
l
khụng
gian
con

phc
nhỳng
hyperbolic
ca
2
(M

A
,
X
)
b

i
H
(
M

A
,
X
)
trong
iu
3
nh
2.l.
B

2.1

.f
(n)
>
p.
Tụi
xin
chõn
thnh
cm
n
gia
ỡnh,
bn
bố
ng
nghip
ó
viờn,
trong
FXY
sao
cho
fkhụng
>
pkv
Idf
>X
oo.
Do
ú,

khụng
tn
ti(p,lõn
n (0)l
n (0)1
eXu((t))
l Nu
hyperbolic
v
{Ua}
ph
m
ca
X
thỡ
l
hyperbolic.
hyperbolic
ca
gian
con
trong
mt
khụng
gian
ban
u
v
+ tớch
vi

tụ
pụ
trờn
M
vi
bt
pc
v
Q
tng
ng
l
tp
con
compact
Chng
minh.
Rừ
rng
pkhụng
lmt
metric
Finsler
trờn
ConX
Px
{p,
0liờn
F=>mi
Ê),

Verlag.
New
York.
-1
X
l
gian
con
phc
ca
khụng
gian
phc
Y,
v
G
Xvi
Y
=ca
ctrong
[qu
D
phc
ca
xhp
khụng
gian
phc
Y:
x (p,0

Xnh
ú
Qp
gM
l
tt
c
cỏc
ng
cong
gii
thc
tc
tng
khỳc
1.1.
Khụng
gian
hyperbolic,
hyperbolic
y
Vi
qhyperbolic
ecompact
V
v

>
0trong
chỳng

ta
xỏc
nh
y
hng
nghiờn
cu
ny
phỏt
trin
mnh
m
v
hỡnh
thnh
nờn
mt
nhỳng
Y
nu
c phc
D
,tng
Yca
;v
H
(khụng
D
*Mt
, ó

X
)^
Riemann
Y
l
nhỳng
hyperbolic
trong
Y.
trong
nhng
kt
sao
cho
ps
ằ
p,
khụng
cú
dóy
con
no
{q
hi
t
ti
pqu
v
dx
Y

(;Vni
gian
phc
Y
.
nh
lý
2.10
cú
th
chng
minh
t
()
(
U
i
)
nh
ca
Y
sao
chof
(V^)
hoc
rng
hoc
l
hyperbolic
(hyperbolic

y)
ntp
n.}
H
Ni,
thỏng
8,
nm
2015
Tỏc
gi
Zariski
ca
X,
e
=
g-\z=o
Ê
T
D
sao
cho
If'
(u)
=
V.
Nún
Royden
Kobayashi
l

compact
trong
thỡ
p
khụng
l
2.8
im
hyperbolic

rl
vi
p
(M)
Xỏc
nh
dóy
{/fc}
Kobayashi
[12]
ó
chng
minh
rng,
nu
X
gian
phc
hu
hn

lý
2.13.
Gi
s
X
l
l
khụng
gian
con
phc
nhỳng
hyperbolc
ca
Chỳ
ý
2.
6.
nh
ý
cú
th
xem
l
dng
quỏt
ca
kt
vi
k+l

x
2
minh
c
ca
nh
lý
2.3,
tp
R
(X)
v
tht
vy
vi
mi
/
Ê
H
(
D
*
,
X
)
gim
v
{qn}
trong
X

sao
cho
Pn
)
p
v
khụng
cú
dóy
con
no
ca
{qn}
nờn
lun
vn
khụng
trỏnh
khi
nhng
thiu
sút,
tỏc
gi
rt
mong
nhn
c
D
thy

hm
dx
'
X
X
X
>
R
l
mt
gi
khong
cỏchv
gi
l
gi
Tt
c
khụng
gian
hm
trong
chng
ny
c
gi
thit
l
trang
b

tụ
pụ
nh
lý
1.8.
Gi
s
l
:
X

Y
l
ỏnh
x
chnh
hỡnh
gia
cỏc
khụng
mi
n
bi
h
qu
2.3
v
bi
nh
lý

2.4,
nờn
tn
ti
g
Ê
c
(
D
,
y+)
v
dóy

c
:
1}
trong
mt
phng
phc
vi
trang
b
tụ
pụ
compact
(5) (6).
Gi
s

u
tha
món
(5)
v
cho
c
>
0
sao
cho:
(D*,X)
{/n}
v
trong
{},
H
{y
(D*)
}
trong
,X^)
D*
sao
sao
cho
x
f
(ựJ
->

0,
)

y
-ằ

p
v
0,

fn
lõn
i
n)
cn
p
v
compact
khụng
tn
tng
ti
\
r
J
d
t
d
t
(2)

Nu
ml
l
nguyờn
dng,
6Q
G
Drn,
{oj
}dóy
v
{lõn
fkhụng
} cn
tng
ng
l
nlý
nntp
nphc
n ú v
n
ú
gSsngian
hps
.nhit
khụng
gian
phc
Y.cui

Gi
s
l
a
Antrong
l
trờn
Mthin
vi
Chng
minh
nh
\df
iz)\
1.=Introduction
E
{z),df
Fx
(Z,U)
=
1.
chia
s,
giỳp

tỡnh
v
úng
gúp
nhiu

ýcompact
kin
bỏu
tụiD*
hon
Dquý
u
{\df
(quan
0)1
: {fn}
/M
etrin
H
(tp
D
, v
X)
,ng
( 0)
6chnh
W
}divisor
00
nh
lý
Cỏc
iu
kin

sau
l
tng
gian
con
cn
ca
02.4.
ỏnh
x
bi
vo
con
ca
hyperbolic
(2)[15]
Nu
{fn}
dóy
trong
H+Caratheodory
(D*,x)
{z
l
trong
sao
cho
n/}
i)+ ;Khi
phc

X
vi
hm
khong
cỏch
(5
xỏc
nh
pụ
ca
X
c
Lang.
(1987),
to
Complex
Hyperbolic
Space,
SpringerChỳ
ýc
2.
10.
D
dng
sỏt
c
t
chỳ
ýtrong
2.9

v
nh
lý
2.l
khụng
ng
dng
ca
nú
trong
vic
thỏc
liờn
tc
ỏnh
hỡnh.
Chỳ
ýKhụng
1.
Cỏc
metric
vi
phõn
E
v
metric
vihyperbolic.
phõn
úng
ri

nhau
ca
Y.
+2.
Cho
LQ
G
M
.
Nu
p

Y
v
{ớv
l
dóy
M

A
sao
cho
U)
G
ConX
.
Y
u
Ê
D

H
(
D

{
z
}
,
X)],
chỳng
n}s
ta
xem
trong
nh
lý
2.4
nhỳng
n >
q
Z
bit,
nu
mi
p

X,
tn
ti
dng

sao
cho

lõn
cn
ni
p
vi
q.
chuyờn
ngnh
mi
ca
gii
tớch
Toỏn
hc,
ú
l
gii
tớch
phc
chớnh
c
s
dng
Y

x

l
hu
hn
vi
mt
min
hyperbolic
x
D
X.
Ta
Qn)
C
(
D
,
Y
)
.
0.
Cho
w

,

ú
w
l
lõn
cn

ca
p
,

l
lõn
cn
lý
2.2
trong
[9]
nh
trong
iu
kin
cn
ca
h
qu
sau.
thỡ
X(M))
l
hyperbolic
tM
y).
0
Fx
c
xỏc

nh:
[5]
Eastwood.A,
(1975),
"A
propos
des
hyperboliques
complốtes",
+l
Q
hyperbolic
\gúp
đbi:
(hyperbolic
r sao
(Gi
tl
)(hyperbolic
)cho
\Thy,
\khi
dv
ugjch
rY.
j(hyperbolic
ttp
)v
) mvariộtộs

dphc
u {tp
/ (trờn
t con
)y)
)X.
cúng
X*v
u.divisor
(Vy
Y
tchn
) ) ph
H
cho
chiu
thỡ
X
l
y
khi
mi
b( cú
trong
X{gian
Xi
nhỳng
trong
khụng
gian

phc
Y.
s
l
v

trờn
khong
hi
t
ti
p.
ý()
kin
úng
ca
giỏo
cỏc
bn.
cỏch
trờn
phc
compact
m.
+ m
gian
phc.
con
{khong
fchun

n
ca
fv
nf M
.ta
Do
ú
g,dóy
D
m
(xem
Kớ
hiu
H
(A,
B)
l
khụng
gian
ỏnh
chnh
hỡnh
khụng
dóy
con
ucỏch.
,}[8]).
V
{f
Nu

,n {/n}
(yn)}
V
2Ybng
ca
hi
phyperbolic
t
trong
ti
p.Y
Vi
sao
cho
0)
con
v6
cho
{/n.}
v,l

ca
c>
{/},
,khụng
t
cui
X
cựng
Rv

(X),
ta
kca
kCụ
1.1.1.
Gi
khong
cỏch
Kobayashi
cỏc
dóy
trong
(zcỏc
D*)m
H
((
D
*ớmt
)lý
,s
xV/ ()=(1)
sao
CO
fn
2 x
2gujn
8up{|d/(0)
|
:
/

e
i
,
y
}
<

giao
tc.
Gi
s
N
c
cú
tớnh
cht
nu
f
&
(M,
y
)
v
f
=U
gi }
(1) ^
(2).
Chng
minh

phn
chng,
gi
ỳng
v
(2)
ỳng.
Khi
lun
vn
ny.
ca
p
.
T
s
tng
ng
(4)
ca
nh
2.2,
(1)
l
khụng
ỳng.
phc
zn
X
>

ca
0
khụng
v
fn
(
gian
)
ằ
phc
p,
Y:
khi
ú
vi
mi
u
m
quanh
p,
tn
ti
2
n
gi
l
(5
tight
nu
Hol

(D,x)
l
ng
liờn
tc
vi
(5.
Veriag.
NY.
gian
con
phc
X
ca
khụng
gian
phc
Y
l
nhỳng
hyperbolic
trong
Y
nh
ngha
sau
õy
c
a
ra

bi
Royden
(xem
[16]).
Kobayashi
F
ó
c
nghiờn
cu

[14],
[15],
[17]
nh
sau:
mi
f
e
H
(
D
*
,
x
)
trong
H
(
D

*
,
C)
thỏc
trin
khi
X
l
min
b
chn
\
r
)
d
t
d
t
(1.2)
U3
elõn
Mca
v
(cn)
ằ
p,khi
thỡ
es
-Rpo
hoc

p
=trong
ooca
v
p {
lnhng
gii
hn
xỏc
nh
vi
cn
w
ca
p .gn
iu
ny
ging
nh
chng
minh
(5)
=qu
>
(6)
hyperblic

l
trng
bi

tớnh
compact
i
cỏc
tp
con
khỏc
nhau
Trong
nhng
nm
õy,
thuyt
ny
ó
tỡm
thy
mi
liờn
h
2.2.2.
Thỏc
trin
liờn
tc
ca
chnh
hỡnh
qua
divisor

tng
quỏt
mnh

ny.
compact
p+/c
tha
món
(8),
v
qpỏnh
x
vi
ntng
hu
hn.
Cho
l
dóy
ca
nlý
n}
(3)
Phỏt
biu
thu
c
thay
th

H
(M
A,
X)
bi
H
(M

A,
nh
lý{v
1.15.
Gi
s
X
l
khụng
gian
phc.
Gi
s
cú
hm
a
hũa
C.
R.
Acad.
Sei.
Paris

A.,
(280),
1071
-sao
1075.
u
l
compact.
_1sộrie
1 1X)
+iu
!L
_^2_
H
qu
2.7.
Khụng
gian
con
phc
compact
tng
i
X
ca
khụng
gian
LUN
VN
THC

S
TON
HC
Ngi
hng
ConX
=
G
TX;
Ê
Hol
(Dr,x),
3u
G
TDr
cho
ip'
(u)
=
V}
9
=

sao
cho
vi
mi
7T
(
U

i
)
l
hyperbolic
(hyperbolic
y)
thỡ
X
l
phc
A
vo
khụng
gian
phc
B
v
FXY
l
tp
/

H
(D,
Y)
sao
cho
f~
(Y

X)
nh
lý
2.5.
Nu
X
l
khụng
gian
con
phc
nhỳng
hyperbolic
ca
cú
fnktn
v
f
(
ti,
c

f
'
n
(
)

)
-ằ

Y

p
trong

vi
ú
mi
fn
(
n
.
)
-fr
p.
Do
ú
(3)(b)
khụng
ỳng.
u
{p,)
=
{q
e
X
:
dx
{p,
q)

<
}
(2)
c
[M,
Y
;
H
(M

A,
X)]
l
compact
tng
i
trong
c
(M,
Y
)
vụi
(ớn)
>
p,
khi
ú
vi
mi
lõn

cn

ca
p
trong
Y,
tn
ti
lõn
n
nk

k

Chng
minh.
Chng
minh.
trờn
N,
thỡ
fcỏch
=n
g.
Nu
{(^),
f nkin
l
d v
dóy

y8,/tha
trong
H
(M
A,
X)
v
1.3.2.
Gi
metric
Sibony
trờn
khụng
gian
tip
xỳc
ú,
tn
ti
cn
ta

a
phng
compact
tng
i
w,
u,v|/nI
dóy

3.
Nhim
v
cu
(2)
^
(3).
Gi
s
cỏc
tp
m,
tp
con
compact
0nht
<
rch
1lõn
sao
cho
fm
(D*)
c}{cú
u.
M
vúi
giao
chun

tc.
Nu
fthỏng
}mt
dy
trong
Hv
kvi
(M


2kz
A
,a
X=
)2kz
fphc
fti
fV,
H
nm
2015
Tỏc
gi
iii)
Gi
khong
Kobayashi
cỏc
tớnh

cht
sau:
nT
Nu
ql
nghiờn
u2.3.
nRiemann
X,
V
l
rX
n>
0l
G
Fxy
tha
món
/(0)
q, gian
dca
(^
0,tng
np
r>
ev
)=
Gi
s
D

a
v
trong
phng
phc
qNi,
khi
v
khi
hai
iu
sau
món
mi
tp
M
v
nh
ngha
a
tp
phc
l
hyperbolic
ti
im
p

X
nu

tn
lõn
cn
Gi
s
M,
N

hai
a
tp
phc.
1.3.
Tiờu
chun
hyperbolic,
hyperbolic
y
trong
khụng
phc
trong
c
,
nh
lý
trờn
cỏc
im
k

d
b
c
[3].
1
duy
s
tng
ng
ca
(1)
v
(3)
trong
nh
lý
2.6.
ca
nh
lý
2.2,
ú
tn
ti
lõn
cn
w
ca
p
c

>
0
sao
cho
F
c
E
trờn
trong
G
Y

Chỳng
ta
chỳ
ý
2
(1)
X
l
nhỳng
hyperbolic
trong
Y.
x
fk
(z)
=
[
1,

[16]
Noguchi.
J
(1985),
Hyperblic
fiber
spaces
and
Mordells
conjecture
ii)Trong
Khụng
gian
phc
Xnhng
c
gi
l
nu
nú
l
ụsao
- tight
mt
.
bt
ng
vphn
sõu
sc

vi
lnh
vc
khỏc
ca
Toỏn
hc,
c
bit
lqu
khụng
o
trong
X
sao
vi
n,trỡnh
n ni
vi
pa
qn2.7
v
cho
Êvi
(n)0
(Ê
(n)
n v
trong
(2).

di
b2.4.
chn
ucho
Xmi
sao
utight
l
iu
hũa
di
chn
trong
mt
k + 1by
ny,
chỳng
ta
nh
lý
a
ra
nhng
kt
cho
m
H
qu
Gi
s

X
l
khụng
gian
con
phc
ca
khụng
phc
Y.c
2z
kdivisor
5cho
2z
YX
2z
k+
phc
Ydng
l
nhỳng
hyperboc
trong
khi
v
ch
khi
tn
ti
ggian

ca
S
nh
lýtrờn
Lelong
trờn

o
(xem
Lang
[15],
p,
56),
Noguchi
ch
l
rng
hoc
l
n
trong
trng
hp
l
khụng
gian
con
phc
ca
Y.

hyperbolic
Grautert.
(hyperbolic
H
and
Reckziegel.
y).
H
(1965),
Hermitesche
Metriken
und
(2) [6]
(4).
Gi
s
(4)
khụng
ỳng.
Khi
ú
tn
ti
cỏc
dóy
{x
khụng
gian
phc
Y.

Khi
ú
H
(
D
*
,
)
l
tng
i
compact
trong
+R
+x
mi
a
tp
phc
M
v
A
trờn
M
vi
giao
chun
tc.
cn
w

ca
UJ0
trong
Dm
sao
cho
fn
(
w
n
(
D*)
)
c
u
.
nn}, c
kcn
+
Gi
s
p
G
(X)
v
cho
V,
w,
2

l
lõn
compact
tng
i
p
v
ra:
{zn},
{V},
{z
"}
trong
D*,
{f
}
trong
H
(D*,x)
sao
cho
w
u
,
u
n
X
c
R
(X

),
T
C
[
D
,
Y
;
H
{
D
*
,
X
)
]
c
c
D
,
Y
]
H
{
D
*
,
X
)
,

iu
kin

rừ
rng
n)n,
n vi
Vi
mi
xỏc
nh
g
Ê
H

{
D
*
)
,
cho
bi
g
(t)
=
f
(t,
s
).
Khi

ú
t>
i
ca
Y
sao
cho
U
c
U
1
mi
k
v
U
Uk
=
Y.
Vi
mi
k
,
tn
ti
Cfc
>
1
n
n
n

n
e
C
(
M
A
,
Y
,
t
h
ỡ
l
^
l
=l
+
Gi
s
u
l
hm
s
lp
c
trờn
tp
m
ca
c

v
w
=
(Wi,W
)

ta
cú
n
divisor
A
trờn
M
vi
giao
chun
tc:
Khi
ú
fv
->
pxỏc
trong
f(t0)
(l/4fc)
->pụ
[0,1,
26
,2co
].=0)vi

u
ca
pdx
mt
hng
sl
cca
>ú
0xỏc
sao
cho
Fx
(,
ớ7)
^hyperbolic.
c[B
mi
qD*
G
usao
v
77
en
k (l/2fc)
kH
ndóy
277II
l
hyperbolic
thỡ

X
hyperbolic.
Rừ
rng
trong
lõn
cn
ca
x
\
u
v

trong
(o,
hm
log
Ip
a
iu
Vi
CQ
viằ,
nh
h
=
p.
Rừ
rng,/i
(c)

/
(c)
vi
U3

M

(3)
Nu
{fn}

dóy
trong
(D*,X)
v
{
z
}
l
trong
cho
Wnl.
H
thng
li
mt
s
kt
qu
ó

bit
v
tớnh
Nghiờn
cu
nhỳng
nX
over
functipon
fields,
Publ.
Research
Institute
Math.
Sciences
Kyoto
1.2.
Biu
din
tớch
phõn
gi
khong
cỏch
Kobayashi
F
gian
+
thỏc
l

trin
hm
ỏnh
liờn
x
tc
chnh
v
hỡnh
nh
trong
tụ
gii
ca
tớch
phc.
c
s
dng
tớnh
dy)H
Ni,
thỏng
8
nm
2015
Tỏc
gi
Chỳng
ta

kt
thỳc
phn
ny
vi
vớ
d
s
dng
trong
nh
lý
2.4

ch
ra
+D
dn
khoa
hc:
TS.
Lấ
TI
THU
lõn
cn
ca
p
e
X

thỡ
X
l
hyperbolic
ti
p.
Nguyn
Th
Thựy
Dung
C
[
D
,
Y
:
H
(
D
*
,
X
)
]
=
H
[
,
Y
:

H
(
D
*
,
x
)
]
D
=
{
z

c
:
\
z
\
<
1}
EM
(V,
ớ)
=
sup
{If
(p)
f
I
:

/
e
Hol
(M,
D)
,i
e
TM}
M
(p,{)
=
inf
khụng
gian
nhiu
chiu
cú
s
so
sỏnh
trong
D
trờn
ng
dng
ca
nh
lý
2.4.
+

Khi
ú
hoc
X
l
nhỳng
hyperbolic
trong
YI-xtrong
XZ.

RH
(->
x( )D
l
khụng
(2)
GXY
l
tng
i
trong
csau
(nú
D,Y
).
1.3.1.
s
chun
hyperbolic,

hyerbolic
y
khụng
gian
phc
Nu
X
l
khụng
gian
con
phc
hyperbolic
tng
i
ca
Chỳ
1.1.
X{Xu(
l
thỡ
l
dx
tight.
Chng
Kobayashi
DMt
,ý)Y;
H
{tiờu

D
ó
*cE
,{/n}
X
a
)compact
sntrong
ra
nh
cX,
h
ngha
\ ydU nhỳng
gcW
(0)
sup
[13]
nhoc
,d-ằ
hoc[14]).
fV compact
(0)
f89.
}
normale
Familien
holomorpher
Abbildungen,
Math

108-125.
{yn}trong
D*
v
F
v
sao
cho
xI(xem
-ằ
0,Pn
0,
(xn)
khụng
D*,Y
).minh.
Xo
n =
k\ ,z X\ ) cú
Aớl
g(0)
d2u
)]ol
+, *
0(3)
cho
Fx
^
trờn
[/

X)]
hm
u,
&
qf:nvi
etce0ti
Ychun

u.
w 2tn
nv
f((3)
(z
pNu
,Gi
fhon
(tp
z
'ahyperbolic
)thit
&
Y
-v
U
mi
np,
c
suy
ra
t

nh
lý
2.4(3).
nnsao
nCkE
nchnh
nh
lý
1.9.
s
X
khụng
gian
hyperbolic
y
f(M,
l
hm
t,
gTa
(t
Ơ
p;
bi
gi
quy
np,
ti
lõn
cn

N
ca
trong
D
sao
cho
0Tq
sao
cho
Fta
Ych
^
trờn
Uk
r\ed(p,/'
X.
Tn
ti
thc
dng
liờn
tc
tp
trờn
Y
a
:ú
aký
>9E
0,/

6
Hol
(M,D),f(0)
=l
(0)
=ỡcW
Ê/a}
Do
^
^
\e
^
^
^

^||Ê||
Vỡ
vy
Px(q,
0
^
~exp
Nu
M
l
a
phc,
A
l
divisor

trờn
M
vúi
giao
tc,
U}0
H
H
nn
[M,
n)->
Y;
H
(M
A,
compact
tng
i
trong
Y
)
vúi
X
c
.
hiu
(Lu
(p)
w,w)=
Y!

g
[r
i'
^j
l
dng
Levi
ca
u
p.

Chỳng
s
thnh
phn
ny
vi
4
h
qu.
(u).
(,
v)
=
E
(/
(0),
df
(0,
re))

=
rE
(/
(0),
df
(0,
e))
^
Ta
úng
vi
mt
vi
chỳ
ý,
ba
tớnh
c
trng
ca
tớnh
nhỳng
hyperbolic,
+
hũa
di
trờn
X.
Xỏc
nh

trờn
5(0,
2r)
hm
A.
Chỳng
ta
ra
h
l
liờn
tc.
Nu
h
(ựJg)
=
p

Y,
v
u
l
m
quanh
p,
cho
Cui
cựng,
cho
w

ltng
lõn
cn
hyperbolic
ca
pnhỳng
vi
bao
úng
sao
zn
>
0X
fn
(zn)
>
p,
khi
ú
hai
iu
kin
sau
l
hyperbolic,
mt
s
du
hiu

nhn
bit
tớnh
hyperbolic
ca
mt
2dx
nh
lý
1.5.
Gi
s
X
l
khụng
gian
Nu
tn
ti
dng
s
sao
University
,Av
(21),
No.l,
27-46.
( 1 )Chng
H
(M

,>
xó
)chc
l
i
compact
trong
cb
(M

A
,s
Y(Vn
)compact
.d
Nh
chỳng
ta
bit,
gi
thuyt
ca
s.phc.
núi
rng
mt
a
tp
i

x
Cui
cựng,
chỳng
ta
cú
th
chn
y
Ê

v
thu
c
Y
J
Vn)
^
t
+
Nu
/
:
Y
l
ỏnh
x
chnh
hỡnh
gia

hai
khụng
gian
phc
nlý
nC[dV
khụng
gian
con
phc
chn
l
nhỳng
hyperbolic
trong
p
(C).
Vớ
2.4.
4 Lang
Gi
metric
vi
phõn
Royden
Kobayashi
F
l
hm
trờn

TX
c
xỏc
nh
x
minh
ca
tt
c
tr
ba
nh
cui
cựng
b
qua
t
l > f
m
c.
khụng
gian
phc
Ys
.(yn)}
Nu
{ s
fca
l
dóy

trong
H
(D
* W)
, xbỏo
)gian
v
f~a
n
i,j=1
jW)
n }dng
(2) =>Chng
(3).
minh.
nhiờn.
nh
ngha
2.2.
Gi
X
l
khụng
gian
con
phc
ca
Y.
Gi
dóy

con
no
ca
{/
hi
t
ti
p,
v
khụng
cú
nkhụng
tha
món
tp
- X)
=
1.2.1.
Biu
din
tớch
gi
khong
cỏch
Kobayashi
trờn
Mt
trong
nhng
ýchỳng

chớnh
nhiu
ln
bi
ny
l
h
qu
+Hin
+>
Chỳng
ta
cú
dx
(Vn,
qX.
)phõn
>
dminh
{X

dv,
X

^trong
cd
0.phc
Ngc
li,
Trong

phn
ny,
chỳng
gii
thiu
mt
s
tiờu
chun

nhn
bit
tớnh
Chng
minh.
nta
xra
E(dV,
\zn'\
0,
Ichn
zn"\
h
0M,
v
min
\zn'\)
zn"\
<

max
{\zn,\zn'\\},
Vi
iu
kin
cn,
ta
ch
ra
Trờn
D
ta
xột
metric
Bergman
Poincarộ
PD
cho
bi:
Joseph.
J
and
Kwack.
Hyperbolic
points
and
imbeddedness
of
(3)vc[7]
g

hỡnh

D
(*)kJ
b
;
H

(
V,
D

*
iu
trờn
,
x
)
ú
]
l
suy
Th
tng
thỡ
g
i
(t'
khụng
)

compact
G
V\.
gian
con
trong
m
c
(
D
Y
)
.
sao
cho
tp
^
Cfc
trờn
ukCho
H
=
ipE.
||Ê||,
VÊ
e
ConX
n
T
V.

M,{ujn}
v
{
f
n
}
tng
ng
l
cỏc
dóy
M

A
v
H
(M

A,
n[i^cu{q))
: Y
n2.1
n{\zn\,
:(xem
mi
a
tp
phc
M

v
divisor
A
trờn
M
vi
giao
chun
tc.
Kiernan
[13]
ó
chng
c:
q
S
tng
ng
trong
qu

so
sỏnh
vi
kt
qu
ca
Kobayashi
l
nh

ngha
c
m
rng
bi
Joseph.
J
and
Kwack
[7]).
m
rng
nh
lý
c
in
ca
Vitali
ti
hm
nhiu
bin.
V
l
lõn
cn
ca
p
vi
bao

úng
compact
sao
cho
V
c
u
v
u
n
X
c
R
(
x
)
.
Bi
oo

w.
Gi
s
tn
ti
dóy
{/}
trong
H
(

D
,
X
)
sao
cho
f
(0)
ằ
p
v
khụng
gian
con
phc
trong
mt
khụng
gian
ban
u
v
ng
dng
ca
nú
ỳng:
n
Nh
vy

cE
(q,
v)
^
r
v
do
ú
cE
^
FXY
trờn
u
n
X.
cho
vi
mi
p

X,

ln
cn
u
(p,)
l
hyperbolic
y
thỡ

X
l
Trờn
a
n
v
D
chỳng
ta
cú:
Chng
minh.
Tn
ti
dóy
con
ca
sao
cho
+l
nh
trờn
trng
s
(l
m
rng
hn
ca
tú

Q)
cú
hu
hn
([17]
vi
mi
n,
vỡ
vy
dx,Y
()
->
0|the
ú
dÊtrng
(P
mQ
n>Jo
) ~h
-0,a;i,c2]
Do
ú
(8)
/ )gim
khong
cỏch,
l:
n)M
E +G

Cho
=
(C

{0,1})
XnK
Q
õy
ringha
cca
chu
b
Gi
s
[c
=hu
$-'(*)
= =9khụng
nh
sau:
ú
unh
hm
s
lõn
cn
u
im
v
TpM,

l
{0,
a)
In
jtrong
,min
Va
p(chng
D
1,chn.

|a|
Royden.
on
Kobayashi
metric,
Proc.
Maryland
D
e{ổn}
(
Dhoc
*thỡ
,Bi
X
,h
tt
h(1971),
fH
fRemarks

.pminh
(Royden
2Hgi
)Chỳng
nltng
hmi
xta
1pH
K
(M

A
,trong
X
){/n}

>
ccon
M
Y
)$(z)
xỏc
nh
bi
ô(/)
fNu
n
(2)
=>
(3).

qu
2.1
v
nh
lý
2.4
vi
bt
k
dóy
{/n}
trong
H
(M

A,
X),
khong
cỏch
d(Y
c
xỏc
nh
nh
sau:
chỳng
chng
phn
ú.
H

(tc
M

A
, fnKelley
X(0)
)xTpM
l
bao
úng
f-:ỡtrong
X)
=^cn
{y
Nu
0=tn
rti
<
1lõn
v
ca
lý
tụ
XY
pụ
Ascoli
Arzela
ó
c

minh
bi
v
Palais
n}.
Chng
minh.
s
p
RC).
Thỡ
tn
ti
dóy
trong
H
(D,X)
sao
cho
>
p
v
hyperbolic
v
[17]
hyperbolic
ó
xõy
dng
y

trong
trờn
mi
a
gian
tp
phc.
phc
X
gi
metric
vi
phõn
chng
t
H
(
D
*
,
X
)
l
tp
liờn
u
ca
c
(D*,Y+).
fn

(zn)
e
W
vi
mi
n,
fn
{zn")
q
e
W.
Vi
e
X,
ta
ch
ra
cn
V
ca
p
sao
cho
F
(

,
complex
subspaces,
Preprint.

(3) (1).
Hin
nhiờn.

Tn
ti
dóy
con
ca
{g
(tn')},
m
chỳng
tasuy
vn
kớ
hiu
l
{g
v
q\df
G
T
(q,
0thỏc
^2.4.
^exp
(^w())
|Ê
v

l
tựy
ý,
ra
l
hyperbolic
ti
p.
mta
X)pvic
cho
0Jn
>
0J
v
fnqrchnh
(c
ằ
p,+Zerv(f)
khi
ú
vi
mi
ln
cn
u
n l
n (tn')},
xsao
n) con

+ X
+ compact
khụng
gian
con
phc
tng
i
Xca
khụng
gian
con
phc
Y
l
nh
ngha
Gi
s
X
khụng
gian
phc
ca
khụng
gian
phc
Y,
z
,

(
e
o)
=
V
>
,
s
tng
ng
ca
(1)
v
(3)
trong
nh
lý
2.6,
nờn
tn
ti
lõn
cn
w
ca
iu
kin

c

suy
ra
t
nh
lý
1
trong
[13].
Id
f
(0)
o
o
.
T
(6),
X'={pX:f(p)ji
tn
ti
0
<
<
0}
1
v
=
X
dóy
con
ca

{
f
n
},
m
chỳng
trong
trin
liờn
tc
ỏnh
x
hỡnh.
2
n
(6)
=>
(7).
Gi
s
{p
c
}
v
{n}
l
cỏc
dóy
trong
X

sao
cho
Pn
>
p
(4)
H
(
M,
X)
l
compact
tng
i
trong
c
(
M,
y
)
vi
mi
a
tp
phc
hyperbolic
y.
Ê>,y
;#(Ê>*,*)
=

Cephc
[l
D hyperbolic
,quỏt
+
\Y).
H
X
) hyperbolic.
]vca
Chỳ
ýConference
2.7.
nh
lý
2.11(a)
l
s
tng
v
m
kt
qu
ca
n v
()
F
X
Ymi
l

tng
i
compact
trong
cYtng
(D
, Y( D
) *. nu
è rng
im
hu
tiu
khi
ch
khi
a
tp
ng
l
Hn
na,
khụng
ỳng;
ny
mõu
thun.
v
nh
lý
1.11.

Khụng
gian
phc
X
ch
nu
nú khụng
l
biu
din
ta

thun
nht
ca
p (C).
(a)
Vi
fn
thỏc
trin
n
fn
H
(D,
gian
tip
xỳc
ca
M

ti
p.
on
Several
Complex
Variables.
Springer
Lecture
Notes,
Vol.
185,
nh
lý
2.9
c
chng
minh
trờn
kt
qu
ny
v
vic
chng
minh
nhỳng.
fdkhụng,
eCho
C
y+)

tn
ti
vi
ncn
cú
dóy
Itrong
ca
{/n}
sao
Jsao
nH
PD
(dóy
V,
=v
EB
(p,
0}D*
=zphng
Fo
(P,sau:
ớ)ca
xnFx{z,v)
Y
qR
),X

(a
),{*

pl
q)q ớ)
cỏc
X
ta
ú
cn
di
ỳng
ly
trờn
trong
c(p
(pe,M

Ainfa^
,zf1^+).
(xem
ta
nh
d xTn
li
khỏi
,,mi
qti
nim.
eChỳng
RFx
(X).
dóy

{z
,con
'}/n*
trong
D*
v
trong
(0)1
>
lõn

trong
Y,cho
coi
nh
Royden
-[8]).
Kobayashi
trờn
khụng
gian
tip
xỳc
TX
nh
thỡ
tn
ti
nu
D*

v
{zn}
trong
v
{fn}
({/}
DG
*tt
Xc
) |z|
n a
nfn
=
T
qhyperbolic
(n)
bi
b

2.2,
ú
=0u.
{z
D
:ca
=pk
n
Ly
hDung
=nu

log.
Chn
Aplõn
>
nH
sao
cho
vnhỳng
cho
goo.
(fDo
t
')}ú,
qca
.>
ca
p,X
tn
lõn
cn
w
UJ
0
sao
cho
(W

)
c
2 sao

n(X),
nti
tight.
trong
Y
nu
FXY
^
cE
trờn
X
vi
c
>
0
(xem
im
p
e
c
gi
l
im
hyperbolic
ca
X
tn
ti
cn
u

Nguyn
Th
Thựy
[8]
Kelley.
J.
L
(1955),
General
Topology,
Van
Nostrand.
Priceton.
NJ.
6Q
trong
M
sao
cho
/
(W

)
c
V.
iu
ú
kộo
theo
h

(
w
)
c
V
c
u.
Nu
cng
gi
l
{
n
,
sao
cho
f
(D
r)
c
w.
iu
ny
l
khụng
th
vỡ
\
df
(0)1

->
2c5.2
n
khụng
cú
dóy
con
no
ca
{gn}
hi
t
ti
M.nhiu
Kieman
(xem
nh
lýpBerlin.
ca
IIp.
[15]).
ớ Gi
)hung
>
liu
l l
I biu
Inkin
, chng
V

p
ebi
v,
ớp
6(trong
C
n{f
n}p=l
Tvo
v 2i,
trong
tỡnh
gii
tớch
phc
hypebolic,
iu
quan
trng
khụng
plý
Ta
cn
chng
minh
cn.
Gi
so{fn}
dóy
trong

Hna.
(im
D
* ,ph
x)
Xỏc
nh
p
:thuyt
M
>
(C)
c
cho
Z
,v
ZV2n
)sao
[1,
22].
l
hyperbolic
+ ln
+y.
nh
ngha
1.7.
s
$ca
lõn

cn
ca
lõn
cn
ca
gc
Springer-Verlag,
s
dng
lý

o.
->
õy
X
l
nhỳng
hyperbolic
trong
Yt
v
s
nh
2.4(3)
Nguyn
Th
Thựy
Dung
nh
lý

1.6.
Gi
s
X
l
khụng
gian
phc
l
:
X
>
X
l
ỏnh
x
(b)
Tn
ti
0
<
r
<
1
v
dóy
con
{fnk}
ca
cho

(5) H
\
D
,
Y

,
H
(
D
*
,
x
)
]
l
i
compact
trong
c
(D,
1^
).
+oo,
V

ConX
g
e
c

(M,
Y
)
.
+ tng
+ dng
(nh
D
*
,
x
)
sao
cho
z
->
0,
z
'
->
0,
f
(z
)
->
p,
f
(z
')
*

VNu
w
l
m
ca
p
sao
khụng
gian
con
úng
ca
hỡnh
bn
cho
z
z
,
f
n
{
z
)
p
e
Y
f
(
z
)

q
e
Y
,
ớ
q
.
n,
n , tng
ni
ntrng
no p
ncho
ncu
Cho
V
l
lõn
cn
compact
ca
q
sao
V
c
u
v
p

V.

Tn
ti
cỏc
nh
lý
2.15
sau
õy
a
ra
c
ca
tớnh
nhỳng
hyperbolic,
nú
n
n
n
lý
2.11.
Gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc
nhỳng

hyperbolic
ca
F
(
x
,
V
)
=
inf
I
3/
G
H
o
l
(
D
r,
M
)
s
a
c
h
o
/(0)
=
X
,

f
'
(
e
o)
=
V
h
Vi
mi
n,
xỏc
nh
h
G
H
*
,
x
)
cho
bi
h
(
s
)
=
f
(t
',s).

Khi
ú
x
nw,w^
nn
n
n
(lM|2)
^cho
IIwII2vi
mi
z (D*\D
giao
Bng
(0,1)
v
wtc
e(1)
CU3
. (3)
vy
fn
>
f trờn
N
v
do
ú
f
ằ

/ trờn
N.
iu
ny
kộo
theo
[12]Nh
).
Tht
vy,
quan
im
ca
ch
ra
d
v
do
ú
kv
n Kobayashi
trong
Y
v
mt
hng
s
c
>
0

sao
Fx
^
cE
trờn
u
X.
h(w
)
=
oo
u
l
lõn
cn
ca
h
(co),
thỡ
bi
s
tng
ca
v
CX3.
2
()
Nu
M
l

a
tp
phc,
A
l
divisor
trờn
M
vi
chun
0
H
NI,
2015
Urata
[19]
s
dng
b

Brody

chng
minh
c
nh
lý
sau:
nta chng
ch

l
tớnh
hyperbolic
mt
khụng
gian
vic
xem
Chỳng
sao
Hcỏc
[ca
Dkhụng
,Khi
p v
(C);
H
D
, tha
tTh
p l(M))]
l
tng
i
Chỳ
ýcho
lý
2.11(b)
2.13
quỏt

ca
nh lý
Noguchi
Chng
0nh
EXột
C2.8.
sao
cho
$t
(p)
=
0.
ú:
/,minh.
nh
õy
dóy
{/n}
trong
H
(D
*(l
, x*tng
)m
món
f compact
n > f . Khi ú /C
chnh
hỡnh

gia
gian
phc.
thỡ
Nu
p
c
Y
l
compact
v
Q
c
Y
l
úng
v
ngha
1.4.
nh
lý
2.9.
Gi
s
X
l
khụng
gian
con
phc

nhỳng
hyperbolic
ca
cho
w
l
sao
fnX
(z'
)/trong
G
YH

w
+ \z
x)compact
(i
n
( v
zv
)
, Gi
fphc
ncho
(2))
^
G
*ra
(z
n,

zacn
)n vi
mi
n divisor
v
p eM
R
(X)
nd
dóy
{an},
{b
ca
s
dng
sao
cho
<(phc
<[18].
tng
t
nh
mnh
sau
c
a
bi
Taimanov
nY.

khụng
s
M
l
a
tp
v
A
lSo
vi
nh
lý
Khụng
gian
l
hyperbolic
v
ch
khihoc
vitrờn
mi
pE
nf}phc
n"\
(sn)
q,
qdgian
R
sthc
So,

nh
vy
tn
ti
lõn
ca
fnk
->
(0cDr,Y)
trờn
Dr.
(6)
H
(T
D
,1.1.
tng
compact
D,Y
).Q
tớnh
tng
compact
l
khụng
cn
thit.
+
dX
G

) 2
=lý(X),
P
D
trong
nh
2.6,
nờn
tn
ti
wdóy
M,{ujn}
v
{Cho
f n i
}n {chng
tng
ng
l
cỏc
dóy
trong
M

A
v
H
(M

A,

trong
H
(Ê),
g
}
l
trong
H
(D*,J)
(
M
)
)
.
Tn
ti
+ p lý(C)).
(xem
nh
5-4
ca
II
trong
[15]).
n
( D *Nú
, Y kộo
) v
t
nh

lý
2.8
v
nh
lý
2.9,
f

.
(ớu
(p)
ớ,
ớ)
=
(L
(u
o
(0)
$'
0)
ớ,
$'
(p)
ớ)
n/ 6
i
f
(0)1
->
sup

{|d/
(0)1
:
H
(
D
\
X
)}
n
hoc
qtiÊlõn
Rtheo
(tc.
X ) , Kh
iuu
ny
thun.

ú
X mõu
eplim/-/
(P)
X,giao
tn chun
cn
m
ca
trong
X nvlim/-/

hng(Q)
s c > 0 sao cho
X)

(i)

(ii)

x