Luận văn phổ của một số toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Bùi Thị Hồng Hoa
BÙI THỊ HỒNG HOA

PHỔ CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ
PHỔ CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2015
Hà Nội - 2015


1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người đã tận tình hướng dẫn
chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn.

Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổ
Giải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng gia đình, bạn bè và
các thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa 17 đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn

thành luận văn này.

Bùi Thị Hồng Hoa


2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ
Ngọc Trí. Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu
tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố
trên bất kỳ tạp chí, phương tiện thông tin nào.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015 Tác
giả
Bùi Thị Hồng Hoa


3

MỤC LỤC
4

7
1

Kiến thức chuẩn bị
7

7
2

Phố của toán tử compact

11
25

3

Tính chất về phố của một số lớp toán tử

3.1 Toán tử đóng ...........................................................

25

29

37

37
Tài liệu tham khảo


4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Sự phát triển Giải tích hàm đã là công cụ quan trọng cho việc giải một số các
hiện tượng trong vật lý và là tiền đề để phát triển các nhánh mới của Toán học.
Một trong số đó là Lý thuyết phỗ. Mặc dù rất nhiều kết quả thuộc Lý thuyết phổ
có nguồn gốc đã lâu (như các kết quả của Riesz) song có lẽ Lý thuyết phổ
(Spectral Theory) được xem như một nhánh nghiên cứu "riêng", chẳng hạn là một
thư

mục

riêng

trong

các

bài

báo

tiền

ấn

phẩm

ở

đường

link

chỉ vài chục năm trở về đây.

Từ xây dựng ban đầu của Hilbert cùng với sự phát triển sau này của khái niệm
không gian Hilbert trừu tượng dẫn đến các vấn đề về phổ của một toán tử chuẩn
tắc trên không gian Hilbert, một vấn đề trong vật lý, lý thuyết cơ học lượng tử. Có
rất nhiều nhà khoa học đã bỏ công để nghiên cứu phát triển và làm giàu thêm các
kết quả trong Lý thuyết phổ, ví dụ như có Von Newman. Các kết quả đó có thể kể
ra ở đây bao gồm việc nghiên cứu sang đại số Banach theo một cách trừu tượng,
hay đại diện Gelfand trong các trường hợp giao hoán, phân tích điều hòa không
gian giao hoán và khác biệt nữa trong các phân tích Fourier... (Xin tham khảo
thêm ở Wikipedia mục viết về Lý thuyết phổ).


5

của một số toán tử ”. Tôi hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp tôi hiểu thêm hơn nữa các vấn đề cơ bản
của Lý thuyết phổ, giúp tôi các thông tin hữu ích về Tính chất phổ của một số lớp
toán tử và phổ của một số toán tử cụ thể. Đặc biệt chúng tôi mong muốn được tìm
hiểu một cách tiếp cận mà không tách ra một cách cụ thể trường hợp toán tử tuyến
tính bị chặn và không bị chặn. Chúng tôi cũng hy vọng từ đó luận văn này cũng
giúp những ai quan tâm hiểu thêm về một số các vấn đề cơ bản trong Lý thuyết
phổ, làm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu tiếp theo.

2. Mục đích nghiên cứu

+ Giới thiệu một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất về lý thuyết phổ cho
những người muốn tìm hiểu về vấn đề này.

+ Một số vấn đề chung liên quan đến phổ của toán tử compact, toán tử tự liên
hợp và phổ của một số toán tử cụ thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu cách trình bày về phổ mà không tách riêng nghiên cứu toán tử bị
chặn và không bị chặn. Nghiên cứu các tính chất cơ bản về phổ của toán tử
compact, toán tử tự liên hợp và một số ví dụ cụ thể về phổ của toán tử tự liên hợp.


6

+ Một tài liệu trình bày một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất về lý
thuyết phổ


7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

MỞ đầu

Kí hiệu. X ^ {0} , Y Ỷ {0}) và z ^ {0} là các không gian Banach trên c với chuẩn
II-Ị| (hoặc ||-|| x ). Không gian

£ (X, Y) — {r : X —»• Y : T là tuyến tính và liên tục}

được cho với chuẩn của toán tử ỊỊT|| = SUPII^II^ ||Tx||, và ta viết tắt là £(X) := £

(X,Y).

Cho D(A) là một không gian con tuyến tính của X và A : D(A) —»■ Y là tuyến
tính. Khi đó A, hoặc (Ả, D(A)), được gọi là toán tử tuyến tính đi từ X đến Y (và
trên X nếu X = Y) với miền xác định D(Á). Ta kí hiệu
N { A ) = { x e D (A) : A x = 0} ,

R (A) = ịy G Y : tồn tại X G D (^4) với y = Ax} là hạch và


8

Do đó, lim (Ax n ) = A( lim x n ) nếu cả hai (x n ) và (Ax n ) hội tụ.
n—>oc
n—>oc

) Cho X = ơ([0,1]) và Af = f' với
D(A) = { f e C 1 ( [ 0 ì l ] ) : f ( 0 ) = 0}.

và f,g G X sao cho f n f và Af n = f n g trong X khi n—> 00. Tồn tại / G O 1 ([0,1]) sao
cho /' = g. Do 0 = f n (0) —»• /(0) khi n—>oo, ta được / € D(A). Điều đó có nghĩa
A là đóng trên X. Ta thấy rằng Aịf = f' với

D ( A t ) = { f € ơ'([0,1]) : /(0) = /'(ũ) = 0}

fn(t) = <

1

0,

với mỗi 77, € N. Do đó, f n —>• f và —»• /' trong X khi 71 —>• 00, ở đây /(í) = t 2 .
Tuy nhiên, supp/ = [0,1] và / ị D(A).

c) Cho X = L p (R d ), 1 < p < 00, và m : R d —>•

c

là đo được. Định nghĩa Af =

mf với

D(A) = {f ex :mf e X } .


9

d) Cho X = L 1 ([0,1]), Y = c, và Af = /(0) với D{A) = c ([0,1]).
Khi đó A là không đóng. Thật vậy, xét các hàm f n G D(A) cho bởi

0 n
- <
n

t

<

1,

1

với mọi n G N. Khi đó \\fn\\i = — —> 0 khi n —> 00, nhưng Af n =

Z7Ỉ

/»(0) = 1.

Định nghĩa 1.2.3. Cho A là một toán tử tuyến tính đi từ X đến Y. Đồ thị của A
được cho bởi
gr(^4) = {(a;, Ax) G X X Y : X G D(A)} .

Đồ thị chuẩn của A được định nghĩa bởi \\x\\ A = ll^ll^ + ||i4a:||y. Ta viết [D(A)]
nếu ta nhóm D(A) với \\-\\ A .


10

tụ trong [D (-A)], tương ứng. Do đó, [D (i4)] là đầy đủ nếu và chỉ nếu (gr(^),
IHl^xy) là đầy đủ nếu và chỉ nếu gr(^) с X X y là đóng. 4)Mệnh đề 4)suy ra từ
mệnh đề 3) do
gr(A _1 ) = {(у, А~ г у) :y
là đóng trong Y X X nếu và chỉ nếu gr(-A) là đóng trong X X Y.

□

Định lý 1.2.5. (Định lý đồ thị đóng). Cho X và Y là các không gian Banach và
A là một toán tứ đóng đi từ X đến Y. Khi đó A là bị chặn (tức là, ||Ar|| < с ||ж||

với mỗi с > 0 và với mọi X G D (Á)) nếu và chỉ nếu D(A) là đóng trong X.
Nói riêng, một toán tử đóng với D(A) = X thuộc £ ( X , Y ) .

Chứng minh. ” <= Cho D ( A ) là đóng trong X . Khi đó D ( A ) là một không gian
Banach cho II-\\ x và \\-\\ A - Do ЦжЦд- < ||ж|| л với mọi X £ D (A), theo hệ quả của
định lý ánh xạ mở (xem ví dụ. Định lý 3.17 trong [8]) chỉ ra rằng một số с > 0 sao
cho II Ac||y < ||ж|| л < сЦжЦд. với mọi X G D(A).

” =>■ ” : Cho A là bị chặn và lấy x n G D (A) hội tụ đến X G X với ||-|| x . Khi đó
IIAx n — Ax m ||y < с||ж п — ж т || х , và vậy dãy (Ax n ) n là Cauchy trong Y. Sao cho tồn
tại у := lim Ax n trong Y. Tính đóng của Ả chỉ ra rằng X G D(A)\ tức là D(A) là
đóng trong X.

□

Mệnh đề 1.2.6. Cho A là đóng đi từ X đến Y, T £ £ ( X , Y ) , v à s £ C { Z , X ) .
Khi đó cấc toán tử sau là đóng.
1. В = A + T với D{B) =

D{A),


11

b) Cho z n G D (С) ,n G N, vầ z £ z,y G Y sao cho z n —)■ г trong z
và ASz n —> у trong Y khi n —> 00. Do

s

là bị chặn, x n := Sz n hội tụ

đến Sz. Do Ax n y vầ A là đóng, ta được Sz G D ( A ) và

A S z = y , tức

là, г G -D(C) và Ơ 2 = y .

Ví dụ 1.2.7. a) Cho E = С ь (к2 ) và A ỵ

□

= d ỵ với

D ( A k ) = {/ G E : tồn tại đạo hàm riêng d ỵ f và thuộc vào E } ,
cho к = 1,2. Đặt В = dị + d 2 ta có

С ([0,1]) sao cho т = о trên
với mọi f Е X . Khi đó toán tử T A với D ( T A ) = D{Á) là không đóng. Để thấy
được điều này, lấy hàm f n G D (Ä) sao cho f n = l trên -, 1

1.3 Phổ của toán tử


12

và phổ của nó là

a (A) = c\p (A).

Ta tiếp tục xác định điểm phổ của A bởi

ơp (A) = {л G С : tồn tại V G D (Л) \ {0} , với Ằv = Av} с ơ (A),

A e ơp (i4) là giá trị riêng của Ả và tương ứng V là véctơ riêng hoặc hàm riêng của
A. Cho A e p (A) toán tử
R (A, A) := (XI - AỴ l ■. X ^ X

А) : л G p (A)} được gọi là giải thức.

Ví dụ 1.3.2. a) Cho X = c d và T € C { X ) . Khi đó ơ (T) chỉ gồm các giá trị riêng Ai, \ m của T , ở
đây m < d .

b) Cho X = С ([0,1]), và A u = u ' với D (Л) = с 1 ([0,1]). Khi đó е л e D (Л)
và A e \ = Лед với mỗi A Ễ c. Do đó, X & ơ p (A) vậy ơ (A) =

ơ" ( A ) = c.
c) Cho X = С ([0,1]), và A u = u ' với


13

Định lý 1.3.3. Cho A là một toán tử đóng trên X và lấy X e p (A). Khi đó ta có
các mệnh đề sau đây.
1. A R ( X , A ) = X R ( X , A ) — I , A R ( X , A ) x = R ( X , A ) A x v ớ i m ọ i X e D
(j4) , v à
( R (À, A ) - R ( f j i , A ) ) = R (À, A ) R ( f i , A ) = R ( f j , , Ả) R (À, A )

Ị1 — A
nếu ịi G p ( A ) \ {A} . Đồng nhất thức cuối được gọi là phương trình giải
thức.

2. Phỗ ơ(A) là đóng, B (A, Vll-R(A,>4)ll)

c

PW

và

00

B (m, A) = (X - fx) n R(\, A) n+ l =
n=0

nếu |A — /xỊ < V||iỉ(A j4)II• C ấ c chuỗi hội tụ hoàn toàn trong c (X, [D (A)]), đều
trên B (A, V||iỉ(A A)||) với mỗi ố e (0,1). Mặt khác,
I,

^ / .MI

c(À)

\\R(^Á)\\C(X,[D(A)]) ^

mọi ịi £ B (A, ố /||iỉ(A A)||) và một hằng số c(À) chỉ phụ thuộc vào À.
3. Hàm p(A) —>■ c, [X, [D (-A)]), A I—y R ( \ , A , ) , là đồng nhất thức
thường khác với
(J^j R ( \ , A ) = {-l)"n\R(X,A) n+ '
với mỗi ĩỉẽR.
4-

Chứng minh. 1) Theo mệnh đề 1)


14

R (A, A ) {ịiR (/X, i4) - j4Æ (/z, A)) = R (A, i4).

Phương trình giải thức được biểu diễn bởi phép trừ và hoán vị A và ụ,.

2) Cho \n — A| < ổ /||iỉ(A^)|| với mỗi ỏ e (0,1) và X € X với ỊỊa^ll < 1. Ta có
Il

(A - Mr-R^r'xIL < ||Æ(^)|r (IIMfl (A,yl) Rị\ A)"i|| + I|/Ỉ(A, j4)n+1ĩ||)
< s n (||Aiỉ (A, ,4)11 + 1 + \\R (A, A) II) =: s n c (A) ,

ở đây ta áp dụng 1). Vậy các chuỗi trong 2) hội tụ hoàn toàn trong £ (X, [D (A)])
đều trên B (A, & /\\R{\ j 4)||) và chuẩn có thể được ước lượng bởi c (À) (1 — ổ) -1
(Xem trong [8j). Cũng sử dụng ( f i l — A ) R (À, A ) = { ị i — À) R (À, A ) + I ,
ta được
00

(/i/ - A ) R , = - £ (A - r ì n + 1 R ( X , A ) n + 1 +
n =0

00

( X - ụ , Ỵ R ( A, A Ỵ = I ,
n=0

và đồng dạng Rp (ịil — Á)x = X với mọi X e D(A). Do đó, Ị 1 G p (A) và R f l =

R ( f j L , A).

3) Từ A !-»• R (A, A ) G c (X , [ D (i4)]) là bị chặn địa phương, do được đánh
giá trong 2) phương trình giải thức suy ra ánh xạ A !-»■ R (A, A ) € L (X , [ D
(i4)]) là liên tục. Phương trình giải thức cũng chỉ ra mệnh đề

3) cho n = 1. Thừa nhận 3) có giá trị với mọi 71 e N. Khi đó ta được


15

Mệnh đề 1.3.4. Cho íỉ e R d ,m € с (íĩ) ,X = Cb (rỉ), và Af = mf với
D(A) = {f eX :mf e X} .
Khi đó A là đóng,

ơ (A) = m (íỉ),
và R (Л, A) f = —---------/ với mọi X e p (А) và f £ X.
Cho một tập con đóng (compact) (S' с с một toán tử đóng (bị chặn)B trên
một không gian Banach với ơ ( B ) = s.

Chứng minh. Lấy Л Ệ m (fỉ) và g G Cb (fỉ). Hàm / := —--------------------g thuộc

c b (П) và Л/ - mf = g vì vậy mf = Xf - g G с ъ ( n ) . Vậy / е D ( A ) và / là nghiệm
duy nhất trong D ( A ) của phương trình Л/ — A f = g .
Nghĩa là Л G p (A ) và R (Л, Ä ) g = —---------g .
Trong trường hợp đó Л = m ( z ) với một số 2; ẽ ri, ta
được
{ { X I - A ) /) ( z ) = X f { z ) — m ( z ) f { z ) =
0
với mỗi / € D ( A ) . Kết quả, X I — A không là toàn ánh và vậy Л e ơ ( A ) . Ta kết

luận ơ (A) = m (íỉ) có phổ là đóng.
Mệnh đề cuối được suy ra từ Ví dụ 1.3.2c) nếu s = 0. Mặt khác, xét Q = s .
Xác định A và X như trên. Khi đó, ơ ( A ) = s và A là bị chặn nếu s là compact (ở
đây С ъ ( S ) = с ( S ) ) .
□

/

Ví dụ 1.3.5. Cho X — c ữ (K+ ) = {/ G с (K+) : lim^oo/
00

(t ) = 0} với


16

cho t > 0.

roc

00
/

e

(R.A № -.)

W

|

ás

< £J

e

-B..^ẵr

=

với mọi t > t s , ò đây ta thay r = s — t . Vậy Дд/ € Со (M+) và Л ẽ p ( Á )
với R \ = R (А, Л). Nếu ReA < 0, thì ел € X và e ' x = Лед € X. Do đó, ел là một
hàm riêng với giá trị riêng A và {А e

с

: Re А < 0} С ơ ( А ) . Do ơ ( A ) là

đóng, ta suy ra

{Л Định lý 1.3.6. C h o T € £ { X ) . K h i đ ó ơ ( T ) là một tập compact khác rỗng.
Bán kính phổ r (T) := max {|A| : A e ơ (T)} được cho bởi

r ( T ) = lim ||T"||i = inf uni- <11711,
n—>QO
nẽN

và cho Л G с với IЛI > r (T) ta có

R (А, T ) = J2^~ n ~ 1 T n := Rx-

n =0


17

và tương tự R\ (XI — T) = I. Do đó, Л e p(T) và R\ = R (A, T). Do nó là tính
đóng, phổ ơ (T) С В (0, r) là compact. Lại có, tồn tại r(T) là giá trị cực đại của
một tập con compact của M, và r(T) < r.

2) Lấy s > r(T), Ф e

Ф (-R (Л, T))

£(x)*, và m e N. Ta xác

cho Л € cr (T).

Chú ý rằng /ф : p (T) —>■

Ta có

Сш( ф) = л/ >“Ф(Я(>,Г)МА.

27гг 7|AỊ=e

Do đó, ЦТ" 1 !!™ < sc(s)™ và vậy r < s. Tức là r(T) = r.
<Ш!

с

định /ф (Л) =

là khả viphức.


18

với mọi Л e С và Ф G C { x * ) . Áp dụng định lý Hahn-Banach (xem ví dụ của
định lý 2.9 trong [8]), ta có R ( X , T ) = 0, điều này không xảy ra khi R ( А, T ) là
đơn ánh và X Ф {0}.

□

Ví dụ 1.3.7. a) Cho X = с ([0,1]) và xác định toán tử Volterra V trên X bởi
Vf(t)=

Ị

f{s)ds

J 0

cho t € [0,1] và / G X . Khi đó y G C ( X ) và

\v"f(t)\ <

г

г... Г" 1 \\f\Lds n ...d Sl < Iii/IL

J 0J 0

J 0

n

-

với mọi n € N, t € [0,1], và / € X. Do đó, Ị|v™|| < —. Cho / = 1 ta có

1

. . . . 1_


—

II

А) ж|| > с ||ж||
19

Định nghĩa 1.3.8. Cho A là một toán tử bị đóng trên X. Khi đó ta gọi
với mọi X G D ( A ) . Kéo theo ước lượng dưới là Л Ệ ơ p (i4). Mặt khác, nếu y n
= \ x n — A x n y trong X khi n — > oo với mỗi x n G D (i4), khi đó tacó ( x n ) là
Cauchy trong X , vì vậy x n hội tụ đến X
ơ ap (A) = Л € С : tồn tại x n € D (А) với ||ж п || = lvới mọi íỉẽff,

G X . Do

đó, A x n = \ x n — y n —>■ X x — y và tính đóng của A tại X €
Xx — Ax = y.

D ( A ) và

và \x n — Ax n —»• 0 khi n —>• oo là

phổ điểm xấp xỉ của A và

Kết quả, nếu ( X I — A ) D ( A ) là đóng và Л ị ơ p (i4), khi đó tồn tại nghịch
= {A
G và
€: (XI
— trên
Á) Dmiền
(A) làxác
không
đảoơ(r X(A)
I —
A ) _1
đóng
địnhtrù
( Xmật
I —trong
A ) DX}
( A ) . Định lý đồ thị
đóng 1.2.5 chỉ ra tính bị chặn của ( X I — Ay 1 . Do đó,
||x|| = \ \ ( X I — Ay 1 ( X I — A)x\\ < С \ \ { X I - A ) x \ \

là phổ thặng dư của A.
Mệnh
đềX1.3.9. Cho G
một
đóng
A trên
cáclà mệnh
sau:
với mọi
D (toán
Á ) vàtửmột
hằng
số с X>ta0.có
Tức
Л Ệ ơđề
a p (A).
1. ơ ap (A) = ơp (А) и {А € С : (XI — A) D (A) là không đóng trong X}.
2)
từ 1).
2. Mệnh
ơ (A) đề
= ơ2)ap suy
(А) ra
u oy
(A).
3. d ơ ( А ) С ơ a p ( A ) .
(Chú ý rằng các hợp không cần rời nhau.)

Chứng minh. 1) Ta có Л ị ơ ap (i4) nếu và chỉ nếu с > 0 sao cho

20

3) Cho Л Ç. ỠƠ (A). Khi đó tồn tại A n € p ( Á ) với A n —> A khi n —> 00.
Theo định lý 1.3.3(4), II-R (A„,-A)|| —> oo khi n —> oo và do đó ta có
Уп

&X sao cho ||y n || = 1

oo khi n —> 00, ở

với mọi n € N và a n := IIд (Л п, A ) y n \\ -»■

đây ta

có thể giả sử a n > 0 với mọi 77, e N. Tập

x n — —R (A n , Á)y n G D ( A ) . Khi đó ta có ||ж п || = 1 với mọi 71 e N và

X x n — Ax n = (A — A n ) x n + —y n —> 0 khi n —>• 00. Vậy Л G сг ор (A).

□

an
Mệnh đề 1.3.10. Cho A ỉà đóng trên X và X € p { A ) . Khi đó, ta có
d(X,ơ(A))'

5. Nếu A không bị chặn (tức là D (A) Ỷ X), khi đó 0 e ơ (R (Л, A)).
Chứng minh. Lấy /Lí €

c\

{0} ta có

Từ ị i R (Л, A ) : X — > D (A) là song ánh, ta được mệnh đề 2) cho j = p ,

XI - A .

□


21

í Ẽ 1. Từ ví dụ 3.8 trong [8], ta có T ( t ) là phép đẳng cự trên X với nghịch đảo (T (í)) -1 = T (—t )
với mỗi í Ễ R. Theo định lý 1.3.6 ta có ơ ( T ( t ) ) С 5(0,1). Theo mệnh đề 1.3.10
ta có ơ ( T (í)) -1 = ơ ịr{t)~ 1 ^ = ơ (T (—t)) С 5(0,1) vì vậy ơ (T ( t ) )

С

dB

(0,1) với

mọi í ẽ M. Cố định í / 0. Với mỗi Л

G ж, hàm e\ € ж

thuộc

Cb (M) С L°° (M) và

(r(t)eA)(S)=ex<*+1> = eA1eA (s)

với mọi s e M. Do đó, ơ ( T (t)) = ơp ( T (t)) = Ỡ5 (0,1) cho p = oo.

Nếu p G [l,oo), ta sử dụng e\ để dựng một hàm riêng xấp xỉ. Với n € N tập f n
=

l[ 0,„]e A . Khi đó ta có ||/ n || p = 71^||1 [0>п ]|| р = 1 và
\\T (í) fn - e x t f n \\p = n^\\e x t (l[-í,n-í] - l[ 0,n]) IIp = n^\2t\^

khi n —>■ 00. Kết quả là, ơ (T (t)) = дв (0,1) nếu t Ф 0. b)
Lấy X = c 0 (M) và Au = u' với

D (A) =

cị

(E) :=

{/ 6 c1

Theo ví dụ 1.3.5 ta thấy Лер (A) nếu Re А 7^ 0 và

(K)

:/,/'£ ơ„ (R)}.

0,

22

A* y* = z*.

Ta thấy rằng
(Ах, y*) = (x, A*y*) với mọi X G D ( A ) và y* €
D (A*). Nhận xét 1.3.13. Cho A là tuyến tính đi từ X đến Y với D (Л) = X .

a) Do D ( A ) là trù mật, có ít nhất một véctơ г* = A*y* theo định nghĩa 1.2.12
vì vậy A* : D ( А * ) — > X * là một ánh xạ. Rõ ràng A * là tuyến tính. Nếu А £
£ ( X , Y ) , khi đó theo định nghĩa 1.3.12 trùng với định nghĩa của A * trong §4.4
của [8J, ở đây D ( A * ) = Y * .

b) Toán tử A* là đóng đi từ Y* đến X*.

Chứng minh. Cho y* G D (A*) ,y* G Y*, và z* G X* sao cho 2/* —> y* trong
Y* và z* := A*y* n z* trong X * khi n —> oo. Lấy X G D ( A ) . Khi đó
( x , z * ) = lim (x,z* n ) = lim (Ax,y* n ) = ( A x , y *).
n - ¥ 0О

n —¥00

□
c) Nếu T G £ ( X , Y ) , khi đó tổng A + T với D { A + T ) = D ( A ) có liên hợp
( А + T Ỵ = A * + T * với D { ( A + T ) * ) = D ( A * ) .

Chứng minh. Lấy X e D(A) và y* & Y * . Ta được


23

chỉ nếu có một véctơ y* e x*\{0} sao cho (Xx — A x , y *) = 0 với mỗi X e D ( A ) .
Điều này tương đương với đẳng thức (A x , y *) = (x , X y *) với mỗi X e D ( A ) ,
điều này có nghĩa là y* G D (j4*) \ {0} và A*y* = Xy* tức là À e cr p (-A*).
2) Cho À € p(-A). Lấy ÍC € D ( A ) , X * € X*, và tập y* = R ( X , A ) * x * . Khi
đó ta có

((À/ — i4)

y*) = (i? (À, -A) (À/ — A ) X , X * ) = ( x , X *).

Do đó, y * e D ( A * ) và X* = ( X I — A)*y* = (\I — A * ) y * i ta sử dụng nhận xét
1.3.13. Điều này có nghĩa là X I — A * là toàn ánh. Mặt khác, lấy X * e D ( A * )
và X e X . Ta tính
{ x , R ( X , A Ỵ ( X I - A * ) X * } = { R (À, A )

X , (ÀI - A * ) X *)

= ( ( X I — A ) R (À, A ) X , X *) = ( x , X *),

theo định nghĩa 1.3.12 và R (A, A ) X thuộc D ( A ) .

Do đó, R ( A, A ) * (AI — A * ) X * = X * sao cho X I — A * cũng là đơn ánh.
Khi đó tồn tại R (A, A * ) — R { A, A Ỵ .

Kết quả, cho A e p ( A * ) . Lấy X e D ( A ) . Với mỗi a;* e -X - *, ta tính được


24

R) = ơ p (L ) = В (0,1) nếu X = c 0 hoặc X = ữ với

< p < oo và ơ> (R) = cTp (L) = 5 (0,1) nếu X = Ế 1 . Nếu X = ỉ°°, thì R = L* cho L
trên i 1 vì vậy ơ (R) = в (0,1).