Luận văn tính chính quy của nghiệm nhớt đối với bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (604.39 KB, 2 trang )
4 231
BỘBỘ
GIÁO
GIÁO
DỤC
DỤC
VÀVÀ
ĐÀO
ĐÀO
TẠO
TẠOcủa bài toán Cauchy cho
- vìKhảo
sáttatính
chính
quy
của
nghiệm
nhớt
thực tế
chúng
mong
muốn
nhận
được
thông
tin tổng thể và đầy đủ hơn.
TRƯỜNG
TRƯỜNG
ĐẠIĐẠI
HỌC
HỌC
sư PHẠM
sư PHẠM
HÀHÀ
NỘI
NỘI
2 2
Lòi
mỏđây
đầu
phương
trình
Nhìn chung,
các nghiên
cứu
cổ điển
trước
hoặc
chưa
quan tâm tới tính toàn29
2.2
Tính
duyHamilton-Jacobi.
nhất
của
nghiệm
nhớt
..............
Mục lục
Lời cảm ơn
4.
Đối
tượng
và
vỉ cách
nghiên
cứunghiệm một cách mềm dẻo (do bản
cục của
hoặc
chưa
hiểu
1. nghiệm,
Lý do
chọn
đềphạm
tài có
3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm nhớt cho
Bàiphi
toán
Cauchy
phương
Hamilton
- Jacobi,
phương
trình
vi cục
phân
đặc
chất
tuyến
của cho
phương
trìnhtrình
Hamilton-Jacobi,
nghiệm
cổ và
điển
toàn
chỉ
Việc
nghiên
cứu
phương
trình
phi tuyến
nói
chung
phương
trình
vi
phương trình Hamilton - Jacobi
36
trưng,
công
thức
dạng
Hopf-Lax
cho
nghiệm
nhớt.
tồn
tại cảm
trong
một
số
lớp
khá
đặcnói
biệt),
vàđãtừvà
đóđang
nghiệm
suyvấn
rộng
Lời
ơn
i
phân
đạo
hàm
riêng
phi
tuyến
riếng
là một
đềrahếtđời.
sứcCó
cần
3.1 Công thức dạng Hopf - Lax và đặc trưng.................................
36
Phương
pháp
nghiên
cứu
nhiều
nghiệm
suy
rộng
được
đềlĩnh
xuấtvực
nhưPhương
: Nghiệm
toàn
Lipschitz,
thiết5.loại
của
giải
tích
hiện
đại:đãchỉ
trong
trình
đạocục
hàm
phi
Luận
văn
được
hoàn
thành
tạinghiệm
trường
Đại
học
Sưthức
phạm
Hà
Nội
2 riêng
dưới
sự
3.2
Tính
chính
quy
của
cho
bởi
công
Hopf-Lax
.
55
Lời cam đoan
ỉỉ
TRẦN
THỊ
PHƯƠNG
Nghiên
cứu
lý
thuyết,
thu
thập
tài
liệu,
đọc
và
phân
tích,
tổng
hợp
để
nhận
nghiệm
tích
phân,
nghiệm
nhớt...
Bài
báo
của
M.G.
Crandall
và
L.c.
Lions
năm
tuyến cấp
ta có
thấy hàng
cácSựcông
củahướng
rất nhiều
hướng
dẫn một
của chúng
thầy giáo
TS.thể
Nguyễn
Hữuloạt
Thọ.
giúptình
đõ và
dẫn các
tận
Luận chương
văn đượcnày
hoàn
thành
tại dụng
trường
Đại
phạm
Trong
chúng
ta sử
các
kếthọc
quảSư
trong
tàiHà
liệuNội
[2],2.[4], [8].
TRẦN
THỊ
PHƯƠNG
được
một
nghiên
cứu
về
tính
chính
quy
của
nghiệm
nhót
của
bài
toán
Cauchy
Kết
luận
60
1983
đã
đặt
nền
móng
đầu
tiên
cho
các
nghiên
cứu
về
nghiệm
nhớt,
vàvà
ngay
nhà toán
trêncủa
thếthầy
giói,trong
ttong suốt
đó Phương
ttình
HamiltonJacobi
đã
đang
Lời
mở học
đầutúc
tình,
nghiêm
quá
trình
thực
hiện
luận
văn
này
đã
giúp
Tôi TÍNH
xin camCHÍNH
đoan luận QUY
văn là công
nghiên cứuNHỚT
của riêngĐối
tôi dưới
hướng1
CỦAtành
NGHIỆM
VỚIsựBÀI
cho
trình
Hamilton-Jacobi.
sau
đóphương
đã
có tâm
rất
nhiều
những kết quả .kinh điển về nghiệm nhớt ra đời và tạo ra
được
quan
nhiều.
tác
giả
trưởng
thành
hơn
rất
nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả
dẫn
của
TS.
Nguyễn
Hữu
Thọ.
Tài
liệu
tham
khảo
61
TOÁN
CAUCHY
CHO
1.1Tập
đóng,
tập
mở
1
Kiến
thức
chuẩn
bị PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON- 4
6.
Đóng
góp
của
đề
tài
những
định
hướng
quan
trọng.
Phương
Hamilton-Jacobi
làtrọng
phương
trìnhnhất
đạo hàm
riêng
phi tuyến cấp
xin
bàyquá
tỏtrình
lòng
ơn, lòng
kính
sâu luận
sắc
vớikế
thầy.
JACOBI
Trong
trìnhbiết
nghiên
cứu và
hoàn
thành
văn đối
tôi đã
thừa những thành
1.1 1.1.
Tập
đóng,
tập
mở
...........................
4
Trình
bày
một
cách
hệ
vềgọi
cấu
trúc nghiệm
nhớtnhớt
vàĐối
chính
quy của
Vớinghĩa
muốn
được
tiếp
tới
lýNGHIỆM
thuyết
về nghiệm
củaVỚI
phương
Định
Cho
1°có
ẽcảm
1",
£thống
>cận
0,CỦA
ta
tập
TÍNH
CHÍNH
QUY
NHỚT
một
cómong
dạng
như
sau:
Tác
giả
xin
trân
trọng
ơn
Ban
giám
hiệu
trường
Đại
học
Sư
phạm
Hà
Nội
quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
1.2
Hàm
lồi
6
nghiệm
nhớt
củaTOÁN
bài....................................
toán
Cauchy
chodẫn
phương
trìnhNguyễn
Hamilton-Jacobi
môchọn
tả bởi
trình
Hamilton-Jacobi,
đượcCAUCHY
sự hướng
của Thầy
Hữu
Thọ, tôi
BÀI
CHO
PHƯƠNG
TRÌNH
2,
phòng
Sau
đại
học,
các
thầy
cô
giáo
trong
nhà
trường
cùng
các
bạn
học
viên
0 luận văn đã được chỉ rõ
Tôi xin cam đoan ỡĩi
rằng
tinỄttích
trong
B (+ngành:
xcác
° , thông
è ) Toán
:= Ịi
R"
:,dẫn
||ж
Chuyên
-77H(t,
giải
= 0tích
í > 0—
,ĩж
ẽ KII"
Hàm
liên
tục
Lipchitz................................................................
7
HAMILTON-JACOBI
thức
dạng
Hopf-Lax.
đềcông
tài cho
luận
văn
của
mình
vềX,
: li, Du)
đã
giúp
đõ,
tạo
điều
kiện
thuận
lợi
cho
tác
giả
trong
suốt
quá
ừình
học
tập
và
nguồn gốc.
Mã số: 60
46 01 02...........................
1.4
Liên
Fenchel
8
ởhình
đây H
được
gọi hợp
là M"
Hamiltonian.
làhoàn
cầuchính
mở
trong
có tâm tại
z°, đối
bánvói
kính
£.toán Cauchy cho phương trình
Tính
quy
nghiệm
nhót
bàiNội,
thành
luận
văncủa
này!
Hà
ngày 05 tháng 7 năm 2015
1.5 Vi
phân
rộng...........................
9
Những
nghiên
cứu suy
về phương
ữình Hamilton-Jacobi xuấtmhiện
/ _ __»từ
2 rất lâu, có
Hamilton-Jacobi
Định nghĩa 1.2. Tập í/ с K" gọi là mở nếu Vz° G и, Эе > 0 saoTác
chogiả
B{X°,E) c
Nội,
ngày
05 tháng
7 nămphương
2015
1.6 khảo
Hàm sát
nửa
10
lẽ từ việc
cáclõm
bài................................
toán biến phânHà
với
đầu
mút
động.
Có
nhiều
Hà
Nội,
ngày
05
tháng
7
năm
2015
u. 2. Mục đích nghiên cứu
Táccấp
giảmột
Đặcnghiên
tiling của
phương
đạo
hàm
riêng
phiphương
tuyến
11
LUẬN
VÃNtrình
THẠC
TOÁN
HỌC
pháp cổ1.7
điển
cứu
nghiệm
trơn,
địa SĨ
phương
của
ừình
Tác
giả này. Định
n
F c Mttúc
" gọi
là đóngnhớt
nếu u
M \Fbài
là mở.
Mô Tập
tả cấu
nghiệm
đối:= vói
toán Cauchy cho phương trình
1.7.1 Phương
ừình
vi những
phân
thường
trưng
11
LUẬN
VĂN
THẠC
Sĩ TOÁN
lý Cauchy-Kovalevskays
là một
trong
định
lý HỌC
đầuđặc
tiên nói
về sự.tồn tại,
n
n
Trần
Thị
Phương
Tập V -СJacobi
M gọithông
là lânqua
cậnđặc
củatiling
X GR
tồn tại
£ >quy
0 sao
В ( х , еnhớt.
) С ì/.
Hamilton
và nếu
xét tính
chính
củacho
nghiệm
1.7.2 địa
Điều
kiệnvói
biên
13
duy nhất nghiệm
phương
các ........................
dữ kiện được đặt ra là những hàm giải
3. nghĩa
Nhiệm
vụCho
nghiên
Định
1.3.
A làcứu
tập con bất
kì trong
Mn. Kí hiệu {Fj(Á)} eJ là họ tất 19
1.7.3
Nghiệm
NGƯỜI
HƯỚNG
DẪN
KHOA
HỌC:
tích. Các phương
pháp táchđịa
biến,phương
biến
đổi.....................
Legendre,Trần
tích Thị
phân
toàn
phần, lý
Phương
Tổng
quan
về
phương
pháp
đặc
trưng
đối
với
phương
tình
đạo
hàm
cả các tập đóng chứa A.
TS.
NGUYỄN
HỮU
THỌ
thuyết đặc trưng Cauchy, đồng dạng... đã góp phần làm phong phũ lĩnh vực
2 riêng
Nghiệm
nhớt
hàm Thị
riêng
cấp một
Phương
phi tuyến
cấpcủa
1. phương trình đạo Trần
21
nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi.
- Mô tả nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton22 trong nhiều bài toán yật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điển, địa
Tuy nhiên,
Jacobi thông qua nghiệm của phương ưình vi phân đặc trưng.
phương của phương trình Hamilton-Jacobi
chưa đáp ứng được yêu cầu
HÀHÀ
NỘI,
2015
NỘI,
2015
Chương 1 KiếnLòi cam đoan
thức chuẩn bị
27
33 35
34
32
41
39
37
50
46
44
45
47
48
42
43
49
51
52
13
16
10
12
11
14
15
68740
19
20
18
23
24
26
22
21
61
60
53
59
55
56
58
57
54
28
31
29
30
17
25
n
X
)iúng.
=vngt
Ê:)(l{toi
xv
)liờn
,nh
x,tiu
M
,do
(3.2)
xxG
l
mt
ng
c
trng
qua
(cú
t(
xm=
).
Theo
ngha,
egGi
l*
(t
,(1.1),
Xo).
Khi
nA
T
(2.9)
thit
ta
cú
Cui
0
ta
t
0k(t)
Tc
l
rng
Po]
b
trong
Do
0Khi
()
=
ta
S
dng
tớnh
n
iu
ngt
ca
hm
](t
p)
ttờn
[t,
txỏc
]ng
tanh
thy
rng
+
vúi
Biu
hng
dựng
trong
iu
thc
s
ny
phộp
ú,
i
ny
ch
>
bin
cú
ra
0phn
no
rng
dng
i
ú.
thớch
u(t,
Tng
hp
x)
t
vi
(
phn
).
biờn
nh
ang
lý
c
quan
chng
tõm.
minh.
Vúi
nm
gia
v
t\p\,
+
h,kh
,0)=
(t,
x,p)
c
bi
(3.4).
Núi
v
2:
Gi
s
H
=
+
v
(t)
khụng
i
du
Hn
na
[Trng
xú,
Khi
,2.
yT
ú
]g(ớCo)
cti
F
ớ,
=
v
F
[0,1]
()
t(II)
l
ali
mt
cIi(0,
úl
tp
ớxphng
00}
l
ng
m
c
tiling
rng
h
ti
xut
t
(0,
ytthc
).
ú,
Bng
cn
D
cỏc
thit
thy
iu
i
thớch
tip
(1.2)
hp
theo.
ta
suy
ra
h
/k
l
hm
tc
u
t
cc
Tng
1.7.3
tiu
t
ta
im
t
Nghim
(s
,quy
V)
a
phng
nờn
ot,p)
V
t
cc
ti
(s
,yp)
J)
vi
vi
cựng
xnh
>
,u(t
\y\,
cha
Êkin
;j(gi
|ỗ|
R
(vi
R
>
0cc
no
ú),
(t,
s)
l
hm
liờn
trỡnh
vi
phõn
thng
ng.
tng
ch
yu
nh
sau.
Chỳ
ý[p,
3.1.3.
y(y)
Po
o)
thỡ
l
phõn
ca
hm
ti
hỡnh
thnh
nghim
trờn
thut
ca
phng
phỏp
tiờu
nht.
0trong
B
3.1.
Cho
V
0t(tT
nhc
mt
Xo))
lí
ngha
<
g(t)h(p)
D
dom
nht
V
M.
a
svi
ra:
rng
nu
t ca
(2.8)
nú,
/cho
:hp
>
R
c
li
nu
khi
X
c
ngha
1ti
bi
n
=
((to,
xlm
trờn
{H(r,p)dr.
tvy
X
M".
khng
nh
sau.
(
,bin
z,
p).
Cõu
hi
t
ra
l:
cú
th
(;c
,bt
z,
nh
th
m
vn
nh
1.7.
f|Ê'|,
l
mt
li,
úng
v
xỏc
nh
trờn
Khi
ú
f*
Khi
nh
lý
D
3.4.
Do
Xo)
ú,
ls
(lloi
D~u(t
t,nht
,w(0,;c)
XÊo)
oca
)da
l
n
tr.
c
Nh
gi
l
ta
trờn
phõn
(di
phõn)
Th
thỡ
cũn
kin
p(0)
p
thỡ
sao?
T
nh
lý
2.2
(Tớnh
hp
nghim
nht).
Cho
uphỏt
l
mt
nu)
gX.
ichng
)M".
m
<
ớ*.
C
th
,tng
ta
cú
p
p*.
Bng
cỏch
nh
lý
2.1,
chỳng
0R
:theo
0=
:gi
trong
ú
(t,x,p)
=s
x,p)
*(p)
f nghim
Khi
ú,
(tgn
2ú,
.
1Hm
66
)lý
,Tip
V
G
cGi
((0,
]lý
X
M
)nh
vmhm
l
u
V
nhiu
=
tti
cttong
vi
ỏp
iớ/iu
(dng
cIshii
di
cphi
i0Rtrit
hvi
uHopfno
nht
aminh.
Cho
0iu
kt
hp
vi
(2.12),
(2.13)
dn
3.2Tớnh
chớnh
ca
nghim
cho
b
cụng
thc
Lax
ớ
vi q 0 l(t 0 , x 0n). Cho
:
X
=
x
+
f
(,
qo)dr
l
ng
c
trng
loi
0
( t , x, ,xp y( x ), p>
) 0(0,0,0,0)
70
J H(T, p)dr.
tca
0 ỡ s
ỡ 1
0hiu
=úng
zgim
W)\
n e X tn ti lõn cn
\H{x,p)
u(x)
-a
H(x,q)\
z(y(x),s(x))
<
c\p-q\
F
gi
l
bao
A,
kớ
A.
'Tp
ớ{ii)f{x,g(x))
0{ (
ta
cú
1n) X
Xột
G
R
l
tp
m,
b
chn,
xuv
e=
1,2,3,....
D
uÊ([0,
(Ngoi
t0phng
,:=
)
=ltrờn
Hm
/[,
c
gi
l
Lipchitz
nu
mi
X
ớo
thụng
tớn
ca
gi
thit
(Ai),
d
dng
thy
rng
vi
(h
,thuc
mTa
nh,
dóy
trong
].
0)
trong
ú
H(t,p)
thuc
lp
T)
X
M
v
(x)
G
(M
m
))kl
m)hm
li.
khụng
õm,
khụng
theo
s
o
c
theo
Gi
s
u
tha
món
(1.5)-(1.6)
v
X
l
im
c
nh
no
ú
u.
sXCho
*
ti
p
:
e
<7*(p
)ra,
t
(3.10)
v
(3.11),
tav
Trc
ht
ta
xột
bi
toỏn
xp
x:
fo
e
L
(
0
,
T
),
G
(
t
,
X
,
,
p
e
([0,
]
X
R"
Xtvi
1v
X
R")
G
tha
món
u(t,
0lp
tMc
tc,
i((2.7)
p,p
D,p
Po
v
y
dv(p
)
sao
cho
gi
y->
c
du
=
iu
xy
kin
ra
nu
tng
A
=
thớch?
0
hoc
A
1.
hu
hn
0
v
do
ú
domf*
=
khi
v
0
ch
khi
f
i
hu
hn.
ca
uli
tthy
,6
X
)
ti
(
t
,
X
Q
)
.
tỡm
(1.6)
suy
ra:
v
gi
s
rng
kh
vi
ti
im
(
t
,
x
(0,
oo)
M".
ta
rng
X)
thuc
c
trong
(0,
ớ*)
X
M".
g
0
ớch
ca
chỳng
ta
l
dựng
h
phng
trỡnh
vi
phõn
thng
c
tiling
p
h
n
t0cú
i2EH
nh
X
=
lý
x(t,
3.9.
y)
Gi
=
y
s
+
cú
f
H
(Ai)
(
T
,
y(y))dr
v
(^
2)Trong
trng
hp
(
t,.)
l
mt
Mnh
1.1.
Cho
,
V
l
cỏc
hm
xỏc
nh
trờn
mt
tp
m
ệ
M
.
2 Hamiltonian
-D
s 2 F(x(s),
MPl
.0}
õy
H
(
x
,
p
)
hm
liờn
tc
theo
X
v
p
2
2
2
ớ
(o)
p(s)
=
D
z(s),
=
{z
E
p(s))
dom*/d*(z)
D
F(x(s),
z(s),
p(s)).p(s)
v( |(s s0 ,y )2/ :=
01phn
+ |it(oQt vny
)-x(-X
,+
%=
)+
()so)H(y,q)\
v{ti,p)
/-:o)
(dz>
ớ{ro+
z0.
50.(0)(X)
+
) --ớa?o|
(.=
^A)
0n
-+
(2.25) v
G(y,v(y),Dv(y))
=
0+
|x|pi(x),
S-=,pu(x)
o
),\)*=
>)
{) oz(|)X,
zX
)ta
x(x,
-A)
(>p
y-+A
+
yv{to,p)
,ip(Ps)
o))-Ê
)trong
{.V.
p0,=
t{ty)oG
)o=
\ ,{(nghiờn
(t
l/o|
)(2.24),
n c sao
(Ax
(1
=
y)
\
)<
{-ytrong
+
=
(1
.|p|)
) )(0,t
(y).
- Theo
1)
u{(HNu
,,to
px
Hchỳng
(s
H
(-v
Tv
pa?o
- y)
<
(3.18)
s
cu
cỏc
V
)0 )xR
A
y-0
) ,=
H
(PTotp
(J
ydng
) 1,
d-(+
i Tv
t,
(in)
y)
V
=
thỡ
g(x);
p(x)
=
p(y(x),s(x))
vi
X,pú
G
v
yz
T
)cong
(sao
tchng
, pchn.
)cho
=
{Vminh
xI>
(trong
-x
plý
),ni
-xim
(H
cký
r Lipchitz
*(s
(x
p,Brouwer).
)hiu
Cnh
Tchn
*(
(v
) im
- ,y=
H
, 0x
P(1.6)
) - con
(IM
,ncú
{,010)
)Êc
1,
gtvi
tnh
{tt)0
,-do
D
(k0,e),trờn
t))\l(t
0.
(2.14)
m
U
ca
X
cho
thu
f)l(t
u+ta
l
.
(Pm)m
l
b
Khi
x
=
ta
y
cú
+
J
th
T
mt
(Xo))
y(Cho
)U
) 0d,p)
Tdóy
.^
cng
ký
hiu
Khi
ú,
ti.
Bng
gi
thit
v
3.3,
tt
c
cỏc
t,
x)
E
c,
t
[0,
)
l
0](t
0,hp
0aV,
0H
xnh
x(
nh
thit
lý
cho
1.1
cỏc
(nh
lý
im
sau.
bt
ng
G
Ê
>
0,
ký
hiu
*
l
liờn
hp
Fenchel
y(y
ca
)
e
y(*(t
P
,x
,x
).
0
mt
ng
nm
u
X
vi
x
r.
Theo
ta
u
=
trờn
0
0
x
Theo
lý
3.3,
(ti,Xi)
,xo),
ú
=
=
vỡvỡ
, (I)
Do
ú
Núi
cỏch
khỏc,
trc
mt
=
(yi,
2
,
i
0r,
=
X
0
f
H
(
T
,
P
O
)
(
T
.
0
0
D
v
(
t
,
x
)
P
Khi
ú
nh
3.1.
Chỳng
ta
gi
hm
u(t,
x)
c
n nu
cho
bi
(3.3)
l
cụng
thc
0 rng
0(1.5)-(1.6)
xõy
nh
dng
ngha
1.15.
nghim
Ta
+núi
ca
bi
biờn
toỏn
du
l, H(t
c
chớ
vi
ớtlừm
ti
mi
gn
im
.
Chn
z
G
x
du
etn
v
ti
im
(ớ
,
Ê
)
(0>
Khi
ú
0mt
0s
hm
lừm,
ta
gi
s
thờm
,.)
l
ngt
vi
hu
ht
nÊ
nh
lý
1.3.
Mi
hm
li
xỏc
nh
trờn
M
v
ch
nhn
giỏ
tr
trong
M
u
eớrng
(i)
Gi
hm
V
t
cc
tiu
(tng
ng
cc
i)
ti
i/o
Ê
o.
Khi
ú
0ter
Chỳng
ta
cng
xột
D*u(t
,
x
)
l
gradient
ti
hn
ca
u(t,
X)
ti
(t
,
x
)
0
0
0
6
(
ớ
)
(
,
X
,
Ê
,
p
)
<
H
(
t
X
,
Ê
,
p
)
v
i
\
x
x
|
<
A
,
n
<
z{s),
Cho
/
:
>
tha
món
J(6)
u0 z(s)
+
HM
Xp, F(-x(s),
uM
,k Du
)
e A u p(s)).p(s)
=k to
0 trong
(
0
,
oo)
X
R
"
,
0(=t , D
<
vi
X
,
y,p,q
E
M
v
hng
s
c
>
0.
n
{
y
,
P
P
o
)
=
v
(
p
)
v
(
p
o
)
.
=
v(x)
v(po)
+
(y,Z~Po)
cho
u(t,
x)
l
kh
vi
liờn
tc.
Tip
ú,
gi
thit
cc
tiu
di
ta
ch
ra
rng
n
u(x
x
2
,
...,Ê-1,0)
=
g{x,x
,
gn
x
G
VM
= v2.1.
( tf, y Ê
) Mt
=
(y)
(tc
H'li,
,y
hu
,,=
ychn
)i,: ))khi
/xcong:
Hx
rliờn
, (ty,( l
ytc
) ))mt
dI-ằ
Tl lnghim
(iv
):=
Nu
uM
cmt
thỡ
goxJra
c(m
(
.dT)
.(ớuT=:
.kỏnh
)-c
.úng
s)
G
Li(0
xny
=
V+
nim
+
(rtrng
i
,(l
.y>
.)thng
.2)ca
(1.22).
nh
ngha
hm
liờn
u,
b
gi
nu
n(2
Cho
/)gi,
:l
>
mt
hm
hn,
/(c
u
v
na
(nh
P
m
m
sao
cho
pca
>
P
khi
00
.-yng
Do
xvit
(nh
t ,thỡ
xhn
)sau
lnht
na
chớnh
quy.
B(x,
e)
x
G
R
:l
||
II
hỡnh
cu
trong
M"
cú
tõm
(3.13)
ti
m
Bõy
cho
tr
l
ng
c
i
qua
)yỡ(y),
th
ta
bit
giỏ
ti
x
u(x)
=0li
g(x).
Nu
u
p(2.16)
n_1
pv
Ê
l(t
,
x
).
iu
suy
0,ú
0X)
gn
,
ta
s
gii
h
phng
trỡnh
vi
phõn
c
trng
(1.10)
vi
iu
kin
0mt
0-,hm
lý
3.1.
Gi
s
cú
(Ai).
Khi
ú,
hm
u(t,
c
nh
ngha
bi
*
khụng
l
li
ngt
trờn
tp
[
,
P
\
.
iu
ny
l
mõu
iun,
(
x
)
C
{R)
v
bn
t
A
:=
(),
h(y)
:=
(()),
khi
ú
V
=
h
trờn
A.
V
do
vy
bi
toỏn
tớnh
liờn
dng
ú
tc
Pi
Hopf
ca
:
M"
U
>
Lax
ta
nhn
cho
M
liờn
c
bi
tc,
toỏn
Pi(o)
Cauchy
=
0.
(3.1)
(3.2).
Mt
im
(ớ
,
Êo)
c
+
Cng
vỡ
nghim
nht
ca
nờn
e
5.
ý
t
(2.21)
ta
thy
ỏnh
x
gi
thit
rng
phn
gn
x
l
phng
v
nm
trờn
mt
phng
{x
=
0}.
Hn
>
0
v
:
M
>
M
thuc
lp
c
sao
cho
nthc
02tD
0:t0vnghim
Mnh
Bng
phng
1.3.
Cho
phỏp
Vu(t
c
:Ds
trng
K
mt
hm
hm
nh
li.
ngha
Hn
bi
na,
cụng
dng
Do
ú,
trong
(0,
T).
Cho
,\\
x)
l
nht
ca
bi
toỏn
Cauchy
(3.1
)-(3.2)
udom
(+>
)=xl
=
liờn
tc.
hoc
D~v
(
)
(tng
ng
Ê
D
v
(
)).
nh
sau.
0Cauchy,
:x
0,,
u
=
ttờn
{ớ
=
0}
X
1",
|Ê
u
(
t
,
x
o)
<
A,
p
(
t
o)|
<
A
v
h.k.n
\
t
t
\
<
A
Q
=
(7*
0
{y
G
ir|cr*(y)
<
+
00}
0
\(t
+
S
Q
)
+
{to
o)
)
+
Ê
(|z
|
+
M
)
Chỳ
ý
rng
ti
mt
im
(t
)
G
7
ú
u(t,
X)
l
kh
vi
s
cú
th
cú
(c)x(s)
=
DpF(x(s),z(s),p(s)).
Ta
xem
xột
cỏc
trng
hp
sau
Q
v
vit
k
=
{g{t)h
(po),p
Po)
g(t){h(p
)
h(p
))
Nhng
t
(2.11)
v
kh
vi
x0phng
)Xo))
iỡ
P( tti,Dv(t
0(ớ, x ) vi
Qu,thỡ
0,,x
nu
(tHm
x{x
l
im
u
x(Dt)bi
tn
ti
k
d
khỏc
t
vxỏc
)ca
H(x
))
0 /.(>0).
(2.17)
undo
(,x
t
X+
on
)y)
+
H>
(zo,
(=tz,
=<
0.im
0, =
t -(t
0nh
0, Po,
)
-d
/ol
1*0
-0uvv
Sol
(e).
gG
c
gn
x(x
trỡnh
fuhm
(x,y)
=ú
2->
p(2.7)
p(t,y)
=
k
y(y)
>
-dc
Po,
y)
(z-s
y).
0.(2.26)
ca
-tc
(2.8)
nu:
cng
liờn
trờn
R
.(ifcjZfc)
liờn
tc
di
nờn
p
G
l(t
,x
tc
l
Po
=
PBõy
gi,
cho
m
>
oo
ta
cú :
liờn
tc
Lipschitz
trờn
mi
tp
con
chn
ca
dom
(ii)
Nu
cỏc
na
vi
phõn
ca
ti
y0+00
l
khỏc
rng,
khi
vi
tt
(
t,
)
=
-
v
ly
,
=
1,2,
...ta
thy
rng
(ớfc,Zfc)
(0,z
)
x,
bỏn
E.
Khi
mi
ỏnh
x
liờn
tc
:
B(x
,
e)
>
B(x
,
e)
t
hỡnh
0ú
0cong,
0),
l
hng
s
theo
ng
ta
tỡm
c
giỏ
tr
ca
ti
X.
kkớnh
0C.
0khp
(i)
Gi
s
V
l
li
u
vi
hng
b
c
>
0.
Kh
ú
liờn
hp
Fenchel
tp
(r)
:=
max
{|pi(a;)|}
(r
^
0).
2
t
vi
mi
s,
0ớ(nh
J
(t,
0)
=
0
h.k.n.
ban
u:
2
(3.3)
l
mt
hm
Lipschitz
a
phng
tha
món
(3.1)
hu
R
cht
nú
l
li
trờn
D.
c
bit,
<7*1
li
trờn
\p,po\Do
ú,
trong
thng
(1.5)-(1.6)
<
tr
thnh
gi
l
chớnh
quy
i
vi
u(t,
Um
X)
nu
hm
ú
kh
vi
ti
im
ú.
Mt
im
=
nh
lý
1.8
lớ
n
s
tn
ti
nghim
a
phng).
Hm
u
xỏc
nh
duy
nht
na,
ta
gi
s
rng
(ổ,
z
)p)
lG
tha
nhn
c
vvtoỏn
khụng
c
trng.
:) p
ớ
Kh
ú,
vi
mi
z
E
ta
:
c
thc
Hopf
Lax.
Gi
s
rng
tn
uchỳng
( tq)
,hp
xG0hm
)nh
-1:
xv
{M
sbi
)[p,
- vi
u ớo
( 0Po]
,rng
00
)nghim
+=
l
( 0ri(t
, mt
0cú
.dng
>
]{t
,p)
=
0.
Hopf
Lax
u(t,x)
a
phng
c
ca
bi
Cauchy
(3.1)
Cho
(p,
M
X
ta
núi
(p,
q)
D*u(t
,
x
)
nu
ch
nu
tn
ti
0xỏc
0(trựng
:r,)y
0cụng
G
B
u
0
0
0
X
=
().
Trng
Gi
s
H(t,.)
hm
li.
Khi
ú,
ta
ly
o
nhn
c
nhiu
hn
mt
ng
c
trng
i
qua,
tc
l
X
o
)
cú
th
khụng
l
n
tr.
Tip
(
1
.
10
)ti
V*
v t ( tn0>
) . +Po
:x
nh
ngha
1.9.
Hm
li,
proper
/y0c
gi
l0 .i
hu
00
n{4
1 hn nu n
=
{(hp{po),p)
P )
4po)))g{t)
>vi
t 0 v
X
gn
vi
x
.
e
>
0.
0
v
{
s
,
)
+
H
(
i
/
o
,
D
v
(
s
,
i
/
o
)
)
>
ong
ú
A
>
0,
(
t
,
x
)
G
(0,
T)
X
M
,
V
e
C'
((0,
T)
X
R
),
v
nu
0
B(x,r)
=
{
B(x
,r)I
x
>
7(
,
(
Xt,x)
M
(t,s
Tớnh
duy
nht
ca
nghim
toỏn
c
phỏt
(,-)
-tp
(*(p)
2u
-X=
*{p
))
n
((,)
ớliờn
-tc,
))dT.
(3.15)
=
x (H-).
t<
,;nht
ynht
=
xi
+
,x,y
H
(bi
T<
y<( y2t))ng,
TH(T,p
. nờn
(i)
uvo
=
minh
ttờn
{(0,)
tcỏch
=
0}
sao
0vi
0,)trng
0thng
0tn
Do
thuc
bcho
chn
D
H
ti
Mlp
0(3.7)
Ta
s
chng
rng
7/
(ớ,
p)
0)
mi
.dCauchy
p=
cu
ny
chớnh
nú
cú
ớtlp
mt
bt
tc
l
tn
XX
G(y,
v
l
min
xỏc
ca
li
*.
Cỏch
tỡm
phng
trỡnh
v
c
Ta
mun
a
ra
cỏc
dng
yu
ca
(2.1)
vi
d(2.16)
G
([0,
]>
ni
trong
ớnh
(0q(.)
(Dv(t
xv
)v
,duy
xvi
G
M".
Hn
na,
u(t,x)
thuc
(V)
hp
bt
k,
nu
pcho
lÊmi
(ti
tdv(z).
,0H
xphõn
)T
thỡ
pu(t,
(t,
l),(X)
tp)
,0
x(l
.H
Chng
c
hon
thnh.
c
gi
l
k
dsl
nu
im
vi.
p(y)
tha
món
(2.7)
nờn
thit
nh
trong
(1.23)
c
v
tha
món
phng
trỡnh
o
hm
riờng
nh
lý
1.5.
Cho
fliờn
l
proper
trờn
Khi
ú
s
bti
chn
kh
n+1
nG
Xv
=
x{(ớo
-hm
e=Êo)}
,ú,
+im
T
, v.ti
yminh
(q(ổ)
y,x
), 0)x).
T)X
Theo
B
1.7.3,
cú
mt
hm
nht
sao
cho
p
v
b
ba
Du(t
,x
)
=
,x
U
khụng
t )X.
x(M
o)
=
(t
0 ti
Pli,
y(/))dr
P ( kh
0hm
0c
0g
t=
0domf*
iu
ny
chng
toy
ớ*
e
(0,
T)
sao
ng
trng
qua
(Ê*,
x),
M"
l
loi
y
rng
õy
ta
cú
th
xột
to
=
T.
- Do
(3.2).
Khi
ú,
tn
ti
(0,
t
)
sao
cho
u(t,
X)
l
kh
vi
ti
im
dóy
(
t
,x
)
c
Q\
sao
cho
u(t,
x)
kh
vi
(t
v
p(0)
q
(
y
)
,
2(0)
=
{
y
)
,
x(0)
=
y
(1.17)
Kýmt
hiu
6(.)
l
mụ
un
tc
ca
Chng
minh.
1.
p
dng
b
trờn
cho
u
vi
thay
cho
M
v
(t
,
x
)
k
k
k
5
k
k
l
mt
hm
na
lừm
vi
hng
s
na
lừm
>
0.
0 D
theo
ta
kt
qu
sau.
Hny
(2ncú
+1)
phng
trỡnh
phõn
cp
ny
gi
l cỏc
phng
trỡnhton
c
DxuX
(vi)ằ
+ Dttỡnh
v()
()mt
(
+riờng
V)
().
-1
=
to
to
ra
mõu
thun.
ý
rng
(2.1)
cha
phng
o
hm
cp
mt
hon
phi
Khi
ú
=
v
ỏnh
=
s
lm
phng
du
gn
im
x
.
Chỳ
1.2
Hm
li
0
Vỡiu
Khi
v
ú
b
p
chn,
:
[0,
00)
nờn
>
[0,
00
)
liờn
tc,
/>2(0)
=
0
v
0
0ca
0ớ X
2t , mi
Thnh
phn
ca
nghim
(3.7)
gi
l
ng
c
trng
xut
phỏt
biu
trong
nh
lý
(ii)
vi
V
etiờn
c
((0,
n
cho
Khi
liờn
hp
Fenchel
món
H
(tp
pGi
)u
-()
H
t
,=Canarsa
p
)(Ai)
-oo)
(khỏc,
H
(R"),
,t
p2tng
), ,ztha
p
-nghim
p(thớch
)pand
>0,
ú
nh
3.7.
s
cú
v
Cho
u(t,
X)
nghim
nht
ca
bi
Rừ
rj(t
,p)
<(sau.
0.
vnú
(v
zthit
) (A
=
( y0).
(3.13)
) c
- R.
v
,vi
Chỳ
+hm
V
(ca
3.1.3,
)H(t,p)
ta
cú
:(t,
[1]
E.
N.,
p.,
Jensen
c.,
Regularity
of
(
,rng,
Elý
)ú
sao
cho
X0Mt
.iu
p
Chỳng
ta
s
mt
kin
cho
v
(x)
nh
sau
Gi
s
ng
cong
c
tham
s
húa
bi
kch
M
);
Barron
õy
ch
trỡnh
by
cỏch
lp
.Sinestrari
trong
m
V
7
nu
nu
mi
(G
t,.R".
l-[0,ớo]
X)
X)
l
n
unu
=
gtcng
i)y0ddi
l)G
,
.(0,
.Vớ
,ýp,x{(TPl
O
l X.
Do
tagii
Xl
i (x)
X
i {x);
v
khi
hu
hn
v
liờn
tc
Lipschitz
ton
cc
trờn
g(y)
q(
yt,
)ú,
)dfgi
l
tha
nhn
c
vi
tt
y)rng
gn
x
.
(pớ
H
(/thy
tc
,c
pmi
)=
m
PÊ
i kV,
"m
) ____
Q
u
(
t
,
x
)
+
b
(
s
s
v
t
,
x
)
:ch
(I).
Khi
u(t,
X)
kh
vi
liờn
trờn
m
ớ*)
X
Tng
l
d
l
c
vi
A:
=
1
2
,
v
d
u
l
tớch
nu
(ớ,
x(t))
c,
u
(t,
X)
=
y(y
)
v
l(t,
X)
=
{y(y
)}
,
0
<
t
<
t.
t
Ngc
li,
t
nh
lý
3.2,
chỳng
ta
(t
,
)
e
l
chớnh
quy
nu
v
x
0
0
iay
cho
x
)
,
ta
khng
nh
rng
tn
ti
mt
hm
V
G
c
sao
cho
0trng
0 loi
Bõy
gi,
ta
xem
xột
tớnh
cht
ca
ng
c
(I)
ti
,Khi
x(1.13)
mt
trng
ca
phng
trỡnh
o
hm
riờng
phi
tuyn
cp
mt
(1.5).
0nh
),
t
cc
i
ti
(ớ
,
a?o)
do
ú
t
(2.20)
ta
cú
n-a
Do
ú,
lim
-py=
4
00
.
0dnh
q
),
q
)
->
(~H(t
,q
),q
)
D*u(t
,x
)
=
lim
<
lim
J
Chng
minh.
Gi
thit
V
t
cc
0
i
0
phng
0
ti
0
(T,
0
Xq),
ó
0
xột
=
x
+
J
Hp(r,
(y))dr.
Chng
ny
cho
vic
trỡnh
by
v
cu
trỳc
ca
nghim
nht
dng
0
y
Trng
hp
3:
Gi
s
H(t,.)
l
hm
lừm
ngt
vi
hu
ht
t
e
(0,
T).
ú,
tuyn,
cũn
(2.2)
l
bi
toỏn
giỏ
tr
ban
u
i
vi
phng
trỡnh
parabolic
ta
ý
rng
det<I>
=
detM/
=
1.
nh
lý
3.8.
Gi
s
cú
(j4i)
v
(A
).
Ngoi
ra,
cho
l
Lipschitz
trờn
Ta
i
tỡm
mt
hm
q(.)
=
q
{-))
sao
cho
Phng
trỡnh
c
cu
v
di
nhiu
gúc
núi
rng
ng
ó
l
(I)
ti
, kh
xmt
eo .0.
r,
nu
cr
(y)
2Du(x))
toloi
F{x,
0,
(
Hopf
V),
v,(iii)Gi
{t
X
)s
+
H
(^t-umt
x/u,c
,scong
v)vic
(equations
tna
,trỡnh
Xo))
=
Wớ(ớ
,(=
Zo)
+cỏc
H
((t
xV
,^c*
Du(t
ặ
=cht
0y(V*
Chng
dnh
by
v
ngha
v
s
tớnh
c
00
0) >
toỏn
(3.1)-(3.2)
xỏc
bi
cụng
thc
dng
-cn
Lax
(3.3).
tx
0: Gi
0((cho
0U
0-nh
0:
0 ))
(ii)
V,0ta
hng
s
na
lừm
Khi
ú
l=0 )
t
y),
tc
ng
c
xỏc
nh
2
.v
10
Th
vo
t
c
(Ta
t (0,
((2.14)
to=tng
,ny
xHamilton-Jacobi
);
()gi
tnh
,ytrng
))
,u(x),
(X
tp-)cú
xnmt
)h
ps|)
,v
qim
)chỳ
khi
ks.
o0is
Hamilton-Jacobi
\s
u
{l
tti
,hm
)u(h
( lừm
xpl
y,vi
\trong
+
when
\p)bi
ttoỏn
forward
backward,
Tr
c
v
ýtip
rng
(AI):
Vi
mi
()s
xim
)kD
GA
T)
,nghiờn
tn
ti
hng
s
dng
rG
k Nu
k )hai
01.4.
k-ớ/p(r,
k
kM
kPo^,
mt
y\po)dr,
ệ,
mt
hai
hm
,
vi
v
na
vi
phõn
p
thit
ta
gi
thit
(yto
thỡ
kt
qu
mnh
hn
c
trỡnh
by
2[0,
tr.
nh
ngha
ong
gi
b
chn
nu
tn
ti
m
>
sao
cho
nh
trong
ú,
lý
2.3.
(h
Vi
pcho
(Tp
pX
,im
P
ox
)M"
(2.18),
(
bi
h
(
))
l
mt
Cauchy
hng
T
(2.16)
ú,
7y'(ớ,
cú
p)
khụng
cng
u
V
t
cc
i
ngt
ti
(t
,x
).
(
2
.
11
)
=
trờn
A,
0
nh
ngha
1.7.
Tp
M
c
l
"
gi
l
tp
li
nu:
Cho
trc
mt
(yi,
2/2,
,
1
,0)
ta
gii
h
phng
trỡnh
vi
s
1 \ tr.
2
sỏnh
xhm
7l(t
l0x(.)
tớch.
ch
nu
xcỏc
)Ta
l
n
\x
-tớnh
1*0
=khụng
0(e),
khie
0.
(2.24)
ỡgii
=
po
iu
ny
mõu
thun
vi
(3.18).
2tng
ong
ng
ca
phỏt
biu
nh
lý
sau.
Cỏc
(
(.),z(.
ằÊ"())
Chng
minh.
t
phn
chng
minh
nh
lý
3.1.
=
+)\a
|A(y)
-xột
xp,cú
\tớnh
<
H
(iipH+oo
T
,.pnú
(ra
y>
)c
)0dyngt.
T
\ r)(ti,p)
<)
M.
...ca
Ncụng
g trờn
onkhỏc
Ký
ithc
r>
ap)
,0nghim
yhu
dU
(rt
z+
)=^),
vtrong
cht
it[0,
m
),po-cc
i
zqu
G
gim.
]vi
ta
cú
th
gi
s
õy
l
i
phng
7/(0,
=Hopf
(y
,0ta
p).
-khp
pp
}chng
-H
((p
*,
(minh
-u,
tcr
*Du)
(p(.)
p\M,
),tr
,=
gTha
quan
úmi
G
dxim
*t
(M
ptrong
)ntrờn
X
^
trong
(0,
oo)
X
(2.3)
-vó
Lax
v
quy
ca
nghim
nht
c
]'(t,p)
(0,
).
Ta
suy
=
,p)
=din
0.
tuyn
tớnh
m
bit
nú
nghim
trn.
s
eA
(2.2)
l
tỏc
nhõn
hiu
V=G
:=
(),
:quan
->
ta
t
M
.
Gi
s
rng
(t:,
x)
l
mt
phng
0biu
nhau.
Cú
nhiu
kt
phong
phỳ
v
c
sc
ó
cụng
b
trờn
Po
/(ớo,
Nu
y(y)
G
(/*(ớ
,tron
Xo))\/(ớo
thỡ
gi
l
loi
bn
ca
nht,
mt
loi
nghim
yu
ca
bi
toỏn
Cauchy
i
vi
ychớnh
00
50h
ũi
hi
p(0)
=
(
)
tha
món
sau
9
sup
{
t
e
t
)
/
(s,
x(s))
=
{
y
(
y
)
}
;
0
<
s
ới}
.
mt
hm
li
u
vi
hng
s
n0ln
Indiana
Uni
versity
Math.
Journal,
48
(1999),
385-409.
\\x\\
<
m
vi
mi
X
E
B.
N
sao
cho
:
IIpII
ca
hm
cũn
li
khỏc
Khi
ú
ta
cú
t
cc
i
a
(ớ
,tha
xli,
thỡ
trong
nh
lý
sau.
0V
0),rng.
nh
lý
1.4.
Gi
s
fhp
l
hm
hu
hn
mt
tp
li,
m
c., yKhi
ú,
nu
khụng
i
trờn
tH(y
quỏ
mt
ntdu
g*
h
iphng
(0,
m
n[0,
h
ti
tl
.].
1.4
Liờn
Fenchel
t
cc
i
,
)
t(pttrờn
phõn
Chỳ
thng
ý
3.1.2.
c
Nu
trng
l(t
(1.10),
,
x
)
=
{p}
món
l
n
iu
tr
thỡ
kin
tt
c
u
o
(1.17).
hm
riờng
ca
H
+
,
~^(
X
Q
)
2ey
)
>
0.
(2.28)
rng
tn
ti
Ê
T
)
sao
cho
ỏnh
X
y
I^
y
)
vi
x
{
t
*
)
=
y
+
Q
0ban
0
0
khi
A:
)
oo.
Do
ú,
0
0
q
(
l
)
=
(1.18)
Trong
tip
theo,
ta
tp
trung
cu
tớnh
kh
vi
ca
cụng
thc
Hopf
1 nghiờn
vi
Cho
iu
(\h
t
kin
,x
G
biờn:
(0,ớ*)
M"
v
cho
ng
thc
t
cng
t
c
ti
m
^vo
t
cc
tiu
a
ớo
1 úng
2im
n,l
Trng
0phn
hp
)Êtng
Gi
s
H
(thun.
t,p)
=a
g(t)h(p)
+
ng
thc
cú
th
u(t,
x)
l
mt
hm
Lipschitz
phng,
thỡ
x)
Vt,
0(3.16)
v
nú
l
mt
c
gi
l
nhng
c
trng.
Ta
cũn
gi
c
trng
gc,
hỡnh
Do
ú,
A
hm
liờn
t
hỡnh
cu
B'(x0,
chớnh
Theo
viNu
mi
x,y
M",
02:
<
<
T
v
>
0H
khi
r:k(t).
>
0.
ký
t(.)
uX
{to,
xtrỡnh
H(x
,px(.)
Du(t
(2.15)
nh
ngha
1.16.
Nu
d
+
thỡ
theo
du
xỏc
nh
mt
trng
vộc
t
vi
G
xỏc
nh
trờn.
ttc
0 )l
0dc
0 D*u(t,
Mt
khỏc,
t
x(s)
(x
(s),x
(s),
x(khuụn
(s))
cụng
thc
Hopf
Lax
c
:nh
X )t,s
=
y)
=
Jgi
H
(t,
y(y)),T,
ớe[0,T].
(3.8)
iu
ny
cng
dn
ti
chớnh
quy
húa
ca
Hamilton-Jacobi.
Chỳng
ta
hi
vng
khi
cho
e mụ
ớ,bi
Ngc
li,
xột
Ci
:(i)
ÊyV-x(t,
=
,,uj(r)
y)
=y+=
Ê0
4f
(xnny
y0M)
)))
)Tng
dkh
, T0.
vi
yX).
Gnú.
lhiu
*ny,
(ớo,
Ênh
0qu
)l
th
gii
trong
my
thp
k
qua.
Riờng
trong
lun
vn
tụi
ó
(II)
ti
im
ny.
2.
t
vl
:=
* phng
,mõu
]x(t
l
hm
lm
mn
theo
n:y
+
1)
bin
(
t,
Khi
ú
P(T
phng
trỡnh
Hamilton-Jacobi.
Trong
chng
ta
s
dng
cỏc
kt
ĩ
Vx,
Ê
M
{
+
(1
)
y
G
[0,1]}
n
n
1
=
Xo
J
(,
po)dr.
fx2\
xta
\H-----------lý
3.3.
s
cú
(Ai)
A
.Semiconcave
Ly
Mt
khỏc
(2.24)
fnh
vi
trờn
cvtrng
kh
liờn
tc
trờn
3.vi
Kt
hp
c
2Gi
hp
ttờn,
cú
vi
mi
G
t functions,
]:
Cho
Xột
M
l
(thỡ
t0trờn
mt
,)ta
xfs
)cng
:=
vXp
m
(vu
t ,Khi
v
)v
gi
s
:t.
Trong
(to
M
thuc
K
,]vi
0),=
<[,
).s
u(t,x)
ti
{t
,x
tn
ti
(t
x
=p,u
-H(t
lp
0cho
xvi
0c.,
02hm
tl
0,T: p).
v(y)
:=
(()),
{tG
y0c.
e[0,
,
(1.11)
JDo
(nh
rkh
[2]
,Chng
y{y))dr
Canarsa
p.
l
and
n
Sinestrari
ỏnh.
ú,
X
)ÊXHm
kh
liờn
tc
trong
Hamiltondi
m
Ta
vit
2,xo)
n)u(t,
+
1f
minh.
Cho
ztp
=
-\[1
A)po
\(t
lm
,tc
1],
ta
vit
2ri+1
lý
3.4.
Gi
cú
(A)
v
(A
trng
hp
H(t
lphng
hm
i
nghim
ta
tin
hnh
tng
V
=
X)
l
ca1
Theo
tớnh
cht
ca
di
vi
phõn
ca
li
ta
cú:
2 ):
Chng
minh.
1.
Gi
s
u
v
U
hai
nghim
nht
vi
cựng
mt
iu
kin
Lax
u(t,
X)
thụng
qua
cỏc
c
tiling.
vic
ta
nhc
li
ỏnh
x
a
tr
(t,
x)
I
l(t,
x)
l
na
liờn
trờn
nờn
taT.
cú
y nghim
{ y,.)
) e
1(6,
(x)
:=
{(ớ*,x)
/
p
l
{r)dr+\x\
(x
ny,
M").
phng.
A**
=
G
R
X
G
M"}
,0
<
ớ*
<
2
vit
li
nh
sau
compact.
chiu
ca
ton
b
c
trng
(x(.),z(.),p(.))
M
lờn
min
M".
n+1
lý
Brouwer,
A
cú
mt
im
c
nh
e
B'(x0,
M),
tc
l
A(x*)
=
X*
v
e
0
nh
ngha
1.12.
Cho
V
hm
/
:
R"
ằ
,
ta
nh
ngha
hm
untp
liờn
tc
ca
.
Khi
ú
(2.22)
suy
ra
1.5Vi
phõn
suy
rng
2p)dr
2o
ớ
t
iu
ny
cú
ngha
l:
nu
ta
bin
0
i
lm
phng
phn
biờn
thỡ
bi
toỏn
D
u
(y)
+
D
v
(
)
=
D
(u
+
v)
(y).
phỏp
tuyn
n
v
hng
ra
ngoi
v
(ớ
,
a^o)
+
G(ớo,
X
,
u
(
t
,
x
)
,
D
v
(
t
ớCo))
<
0.
(2.6)
Do
0 ằ
(x,
ú,
p)
trong
-*{p)~
bt
k
trng
H(r,
hp
no,
<
max
ta
cú
p
(x,
=
P
q)
v
do
*
ú
(q)
l(t,
X)
H(r,
=
{po}
q)dr
cho
3.
0
Tip
cỏc
nghim
tc
ỏp
u
dng
ca
b
(2.2)
trờn
s
hi
cho
t
ti
trong
mt
M
loi
,
nghim
tỡm
c
suy
hm
rng
V
G
ca
l
t
0
0
0
0
:
trỡnh
by
mt
s
vn
sau:
Trong
phn
ti,
ta
cn
thờm
vo
iu
kin
cho
hm
Hamilton
H
=
p(s)
=
p
(
y
,
s
)
=
p
(
y
2
,
l
,
s
)
Ê
(
+
|yo|
)
=
0(1).
ong
ti
liu
[8].
l
ng
c
trng
no
ú
qua
(ớ
,
x
).
Khi
ú,
ta
cú
th
vit
li
I
nh
(1.16)
u
nh
ngha
1.14.
Ta
núi
rng
mt
0
hm
0
V
:
7
ằ
M
l
na
li
nu
u
:=
V
vif6.
u
(
t
+
h
,
x
+
k
)
u
(
t
,
x
)
P
t
h
(
p
,
)
Ly
(2.27)
tr
(2.28)
ta
cú
2
<
H(y
,
-'-(x
y
)
2
sy
)
H(x
,
\
J\x\
2
n
0
0 H{t
0 0l
0 0 g(y)
0 0 : q.(y))
0
v
(,/ g(y)
lthit
tha
nhn
c,
tc
(y,
tha món
nhng
D*u(t
D
,xo).
:/ q(y))
0z,x
0) f(z
=
(A
,
,
)Gi
x
eớ/,
=
).
Khi
ú
0
0
0
_____
[
n
(0,ớ)
X
M".
Jacobi
equations
and
optimal
control,
Birkhauser,
Boston
2004.
Ngoi
ra,
ta
cú
nh
lý
sau:
òú
=sr1.10.
bi
toỏn
nu
nú
l
nghim
ờn
va
nghim
di.
u(x)
=
g(x),
ca
ncho
V).
nh
(i)
ngha
Nu
)lim
'cho
(91chng
tva
,inf
pMt
)=0tt
>
hm
0kin
thỡ
7(x,q)
ttrn
)thc
cp
<,,.)
Tl
hai
( nht
(t
,
)M
ằ
M
c
gi
li
u
lừm,
ta
gi
thit
thờm
rng
l
lừm
vi
hu
khp
t G
(0,J
ban
u
nhng
trong
nm
trong
khong
con
no
ú
M.
u
0/T
phỏp
Cauchy
bi
-+oo]
(3.2).
vtoỏn
bi
V
x()).
Rừ
rng
<
vỡ
[00,
y-(3.1)
(li,
ymt
^pH(t
(ớ
Êo)
v
cnp:Hopf
l
loi
(I)
ti
x()).
Tip
theo
ta
t
rng
nghim
l
nghim
c
0n
0()
0max
Iti
0X(
Bõy
gi,
cho
u(t,x)
xỏc
nh
cụng
dng
-e)nghim
Lax
v
cho
tvi
,lbi
xphõn
Ta
cũn
cn
phi
tỡm
iu
ban
u
tng
ng
phng
in.
0)Mt
u(t,x)
<
H(r,q)dT
q(9,
etrỡnh
Gi
nu
s
/G
u:
W
*
=
cc
i
phng
l
mt
hm
(ớo,
xstrn
G
rng).
oo)
M"
biờn
(1.5)-(1.6)
s
bin
thnh
bi
toỏn
cú
dng
tng
n(m
(Ký
tV
,c
xhiu
o)
G
(0,
T
)5a
X
M
,*(q)
=
bi
yly/(mt
ythc
))h
ltrong
{t.
t (0,
)
,
tt
c
(t,
x)
c,
0
<
t
<
t
.
(2.1).
sao
<
cho
z
Nh
(
s
)
mong
i,
z
gii
(
y
hn
s
=
ú
z
xỏc
(
y
,
nh
y
.
cho
.
,
y
ta
,
nht
ca
(
1
toỏn
21
V
)
0=
0,x
0hai
(M)-K
0,0)
0,l*
khi
1)
ú
H
thng
li
khỏi
2)mt
nim
v
cỏc
tớnh
cht
c
bn
v
nghim
nht
ca
(A
)
:
Hm
Hamilton
H
=
H(t,
p)
xột
mt
dng
sau
:
l c
2Pỡ .Q
Xột
bi
toỏn
2
Cho
(t
,x
)
e
ớ.
(ớo
Êo)
l
tp
tt
c
e
M
sao
cho
cú
mt
ng
Khi
ú
vúi
Ê
>
0
nh,
m
V
t
cc
i
a
phng
ti
(
t
,
x
)
+
vúi
na
lừm.
0
0
c v(p
: oX)1>(0)
=-V(tk,Xk)k
x(
J()p>
T
pr\{(ớo,Êo)}
Tv(p
iu
kin
tng
thớch
t 0hiu
Do
|v(a:)|
^|x|p
+
,--0,,nờn
=
.Dớ;(0)
=J) )-ds0.
Hn
v(z)
<
Xv(p
)2(R"
+y\x\
)v(p
):+*=
X(v(p)
+
).
77(0,p
) =xca
,(1
pu0c
Phm
)H - (cr*(po))
< Q0.)) sao
2(2|a:|)
Cho
(l
Ta
ký
D(3.14)
()
Mt
khỏc,
,M
(ớ,nh
)
lvbi
^ < u(Êo,
)
-ú,
scho
,mt
(p,
) tp
=)
u (m
te D*u(t
) -,M
(n,xo)
Xo)v
+ bi
ô(0,
xệ
- (0,
X
o v
a o2c Ê ệ.
12 h xỏc
Khi
nghim
nhútu(t
x)
ca
toỏn
(3.1
)-(3.2)
c
n
n
Xột
hm
th
V
nh
sau:
2
2
^Viscosity
0=:
Suy
(vi
ra
9qu
>
0)
nh
Ta
lý
cú
kt
Gi
(j4i).
sup
(u
u)
c
>0t:
Ê| 0.
^nh
h
)
(2.19)
Khi
Gi
utng
l
nghim
ca
(1.5),
tacxbiờn
to
T
bõy
gi,
gi
thờm
rng
H(
t,
v
(x)
thuc
cIbi
T).
Cho
((ớ,
xta
)M.
G
Psau.
otnu
and
yX
)Lions
G
l;(II)
{s
,
xti
o
):
v(ớ,
(to,
x\>
ộx
t X)
khỏc,
vi
t3.2.
ts
ớo]>
c=c
l
loi
x(ớ))
lý
0 ỡ(,
0C
0Cho
/*
M
cú
khng
nh
ú
chỳng
cn
qu
sau.
[3]
Crandall
G.
p.
solutions
of
HamiltonC
h
b.
n
ghng
m
i0)
n
hthit
.)+A(ớ+s
o[0,
(s
xcú
)-ythc
e(|s
G
t*)
xl
vcho
:,)+e
X
=
Xngha
+
N
(.r
,n
pv
o) nh
dltr.
ớỡ.thng
Ta
ký
hiu
ong
(1.10)
ú
X
)na
h
hphng
ny
T)
s
M
|ớt=:kt
cú
ớL.,
ớch.
|(<
+p)
<
r)0.
v
pt
\J >
v(ớ,a;)
:=
(s
,2/
-(0,
+
{t
So)
(
+
|z/o|
).pl
Vỡ
0 )+4
0(ta
0\lp
0u
07
{x
-thỡ
2
).<
(2.29)
1.6Hm
lừm
(2 .12
iu
0o
kin
thớch
ca
cỏc
kin
u
(ng
xphng
)Vo\
(t
>=
)+00}
)Tgn
X,
0)l
) .<
( 1 -)1 2 )
(ii)
Nu
f(t,p)
rj(ti,p)
<
(-
(0,
P
*t
Dv
>
Dv
(vy
tlun
xxsau.
to
Ta
gi
:=
{j
1"
f(x)
l
min
hu
hiu
ca
hm
/r nú
0tng
v
(+
tnh
odom/
,v
Xs
)e:c
+Othỡ
H
(ớCo,
D
vqua
ttrỡnh
Xo))
(2.1)
t
cc
-ta
loi
tiu
nghim
a
ngt
gii
ti
thiu
,x(y
x0d
trong
Lý
phn
bi
toỏn
Cauchy
cho
((
trỡnh
tthy
:
x(s)
=
x(y,
s)
y
-1,
s)
nhn
mnh
s
H
(1.16)
xỏc
cho
ta
n
phng
xỏc
nh
n
sp
=
(p,
c
trng
xut
phỏt
(0,
y)
v
i
im
(t
,
).
Ta
cú,
Chỳng
va
rng,
nu
c
trng
c
loi
(I)
ti
(ớ
,
x
)
thỡ
l
u).
2Hamilton-Jacobi.
,r]xR"
m
0
<
t
<
T
(t
,
x
)
>
(
T,
x
).
Do
0
0
0
(y,P-Po}
{(7*{p)
V*{Po))
e
Ê
na,
nu
X
0
ta
cú
a)
H(t,.)
mt
hm
hoc
vi
mi
ớ *trong
)liờn
(,
T)
khxcụng
vicú,
ti
vl l
(tng
ng
D~v
(y))
l(thc
tp
G( hoc
nh
biMfo ng.
nh
2.1.
(2.3),
(2.4),
(2.5)
(2.6)
tng
1 cỏc
U
+
H
Xtt
u c
, (3.3)
D
ulừm
)( giỏ
=Hl
0p X(trip
(0,
o;l
X
X
*(ớfc,
+lý
\c
T ,+p(3.1)
x()M
)hxỏc
dX
. -tc
dng
-y,)li
Lax
m (0,
Ta
vi
P
o=
G
(X
t Cỏc
tk
,hm
oT) v
sau:
0phõn
0
f)h
fca
Ta
t
trong
thụng
qua
0 ,trng.
00 ,(
v
0Gi
ú=cú
xột
húH
thc
m
u
(l
t ,H(t,p)
), xHopf
c+q t\(0,
trng
n
h, 9xEo)
toỏn
ikh
.o
3vi
i (1983),
to()sitrong
ti/o)
, tuyn
Xdi
=
Phng
trỡnh
vi
c
(3.2)
nh
sau
Q 1-42.
Q ) . cp
Ta
=
ingha
{cỏc
y ) -Amer.
'ti
ibi
=tb
o () 3
3.3.
Jacobi
equations,
Trans.
Math.
Soc.
277
s
mt
nghim
ca
phng
trỡnh
riờng
phi
X
!
l
Nh
ó
trỡnh
by
trờn,
vi
mt
im
x
Ê
ta
cú
th
ngay
t
u
T
gi
thit,
ta
cú
1 ca
(khụng
bi
V
do
ú,
ta
cú
77
(
0trng
,
p
)
<
0,
r
j
(
t
,
p
)
<
0
J .v tớnh
Chn
1.7
0
<
c
Ê,
X
<
1
v
t
phng
trỡnh
o
hm
riờng
ph
tuyn
v
nh
trờn
ta
cng
cú
2)
Trỡnh
by
mt
s
kt
qu
chớnh
quy
ca
nghim
nht
cho
sau:
2
n e
Ta
gi
(1.15),
iu
kin
tng
Mt
b
{x
,z>(-)}.
,p
)ti
lV
,x
) (c>y(1.16)
y{3R
( lG
*l()
tl
xnhng
.0+
Do
ú,
l*
,x
y.
0Ta
cú
mnh
quan
(I)
mi
im
(t,x)
2V|ổ|
c,
3
0/(M
<
ts,trng
.)Ce
Tuy
1thớch.
2i
nhiờn,
i
c
0(vi
0=
00ớ
thu
(ti,Xi,p)
<
vi
mi
p(t
0vi
Suy
ra,
Po
nim
tÊjti
l
mt
nghim
>
0,
^,2l
c
R,
ca
bi
X)
toỏn
(1.5)-(1.5)
sup{w(Ê,
trong
u,
ta
uGi
trong
oGi
(thit
y+
l<
, )(1.10)-(1.17)
oG
l
ng
qua
(,ba
t .
,
Xo)
c
nh
trong
ú
Pi0ca
oPphn
yc
o)
G
lthuc
({)Xtcỏch
,)xằ
x(lp
)dựng
trng
i
qua
xKh
)ng
c
2.1.
M"
ti
im
xt<
no
ú.
ú
tn
ớo
0z(s)
n)
yDo
fvy,
x) G
j=ú
x(
rta
fÊ&
0|Ê|
,ca
mi
X
=
{ng
xq
.ttp
.(t
.(ti,Xi,po)
,u(x(s
)c
=
trng
M
vy
Ê loi
(ph
M B
+ ~I ]sthuc
o
ls
/t jnghim
I)yv o
/xột
+kh
l\
c
/<
ox0,lvi
.biờn
Do
bng
::=t'1
X
=
H
p)yu(t,
(vo
T
pG
)v
d+
T
,p/v(x)
0ca
<
<
T
u
:=
))
(1.7)
0<Ê
7*(ớo,Zo)
{
H
t
q
)
,
q
/(ớ
,đo)}
Trong
ny
ớ
luụn
c
t
l
con
m
M
.
< Trong
0cn
nghim
nht
ca
(2.16),
0+
b
nu
thit,
suy
ra
1
0
u
=
(7
trờn
{t
=
0}
X
M
.
v
(
z
)
<
{
,
p
P
o
)
v
(
)
.
t
T
(2.18)
dn
n
ớ*)
X
R".
v
{
v
+
h
)
b)
H(ớ,
p)
=
ta
s=gi
s
dng
k(t)
vi
kt
qu
hm
g,
ti
/,
(liu
[7].
ú
g(t)
khụng
i
xscỏc
L
ỳCho
( D+v
týochng
)2.1.1.
+minh.
c(ớo)
+
t(0(e)),
ii)
khi
uX
gi
v(t
,+
+2xlcỏc
,o)
D
v(t
x-ta
))
Chỳ
Thc
t
cú
rt
nhiu
cỏch
lp
cỏc
tng
ng
vi
sthit,
s)(vi
e{\x\)
sH
Vỡ
X
=
x(t)
=
xny
+
/\Xo);
(,
)1
t
cng
F{y,g{y),q{y))
R"
0().
0<
(h
t=Theo
,fg(t)h(p)
xxgi
)(y
,(H(x
q)0nờn
)p-x,((t
thit
*}y(3.13)
((trong
qy{p},tp
qkhi
)cú
dH(t
T
>oo
(3.3)
Chng
tH
=
=
(.h,
mt
(1.5),
trỡnh
c
tiling
l
úng
i
Dv{x)
=
^-p
t,dng
0 ,p).
i,
j=
1Po>
[y)
=*phng
|c
limsup
Cauchy
trờn
G
:ú
t)Ê(
,r
y:=
)max
=
xDifferential
+-(,x
{2\x\)--=-p
))toỏn
)f,
T
,=
tn+
[ằ
Q
,mt
]x-h
(3.12)
mt
tớnh
tng
quỏt)
thit
phn
biờn
l
gn
v
nm
(ớfc,
Xfc)
-ằ
(ớ
,\x
{u
(t
),u
,x
))
-Ơ
(p,
)
|)_T
2n+1
(L
sp
{kkt
xphõn
fT
(thng
)bi
,hn,
y:2))
M
(1.3)
0(*(p)
krng
k,a)
kn,x
kloi
(:
y,p
*(p
))
=
(
H(r,p)
tf
(t,Po)
+
)
=
0().
(2.25)
epi/
:=
{(,
G
M
X
x
)
<
}
[4]
Evans
L.
c.,
Partial
Equations,
Graduate
Studies
in
0y
cụng
thc
dng
Hopf
Lax
ca
cho
trỡnh
to
=
ma
trn
gradient
ca
f.
Df
=
Mt
khỏc,
tn
ti
mt
ng
c
trng
c
(I)
ti
(Ê*,Ê*)
c
mụ
t
nh
M
tha
món
(1.15),
(1.16)
c
gi
l
tha
nhn
c.
Chỳ
ý
rng
z
l
sau.
loi
(II),
ta
nhn
qu
khỏc
kt
qu
ú
c
phỏt
biu
v
{kh
Xo)
+
H(x
,
D
v(t
,
<
0.
X trng
<
(
|
|
+
I
z
/
o
l
)
+
\
^
1
+
_
|
_
(
|
|
_
|
|
)
^
.
vi
bt
k
2x
\x\
E
c,
ti
\x\
E
[0,
to]
v
khng
nh
u
tiờn
X
=
x
H
(
t
,
H
(
t
,
ớrj,(/))dr.
(3.10)
B
1.2
u
(
(Tớnh
t
+
h
nghch
,
x
+
k
o
)
a
u
(
t
phng).
,
)
>
Gi
{
t
+
thit
h
,
x
ta
+
cú
iu
,
p
)
kin
{
t
khụng
,
x
,
p
)
c
Ê0
0
0
Ê
ngha
3.1.
0 0hm
0 riờng
xem
s
món
phng
no
V
I
Theo
nh
ngha
Mnh
3.1.
0v=(H
p x o
ptrong
0( trong
0c hx=Hp,
0ỡ 0 trỡnh
0
0
0
hs
mxột
V Gnh
cp
nh
RV "mt
) trong
s atha
otB
o
geK"
I
J
I
,p)-H;
P
=
0.
(3.5)
p
\h\
( t , du
s , X ,vi
y ) mi
:= luớ (
t , X(0,
) - T).
( sI
, R"
y )h^O
- 0A(1t + s )
2 x ))
00 ^ 0.
0
n
u
{to,
x
)
+
H(x
,
Du(t
,
v
(2.11)
suy
ra
t
0
0
0
0
(2.3),
chng
hn
cúTa
th
thay
VlG
l(t
,v
CM
(2.4)
- (2.6)
ta
nh
ngha
1.13.
mt
2
M
lTrong
na
lừm
(v
hiu
sc
2G
Ký
hiu
l
tp
cỏc
im
i
sup{u(Ê,
)Lipschitz
!ằ()}
trờn
M"
(vi
mi
0núi
0li
Chng
k)
Gnúi
minh.
rn0=
nh,
Theo
gi
thit,
hm
trờn
M
,ký
khi
ú
D
t
vi
x(.).
zIHamiltonian
(X
.(t)
)xmi
m(x(.))
v
=
uc
(du
xX0hm
.ca
)0hm
))X.Rhode
õy
H
:gia
(p(.)
0 ,rng
o|x|
oD*u(t
)Vcc
XD
1"
M
R":li.
ằ
v
giỏ
tr
ban
u
cú
:)
nnh
Khi
ú,
mt
quan
h
,((x)
xbi
v
tp
, ...
c
cho
bi
hay
khỏc
(x)
l
mt
mt
phng
=
0.
0,H(t,
))hm
(2 20)
vi
mi
ycỏch
G
gn
x/Jacobi,
.AMS,
lxca
Math.
Vol.
19,
Providence,
Island
1998.
on
p(s)
:=
Du(x(s))
(vi
1
.ta
8
2.1Khỏi
nim
v
mt
s
tớnh
cht
chung
nghim
nht
Khi
ú,
nu
Hamilton
uIl
V
t
cc
trong
a
trng
phng
hp
ti
H
(A
t=
X
p
G
)
(0,
xột
oo)
cỏc
X
di
M
m
m
Qú,
trong
nh
lý
3.3
i
qua
(
t
,
a:
).
Vỡ
/(ớ*,
l
tr
nờn
l(t
,
x
),
cng
l
c
xỏc
nh
duy
nht
bi
iu
kin
biờn
v
t
vic
chn
,
nhng
vộc
t
p
v X*)
D,xo).
u
trong
nh
lý
sau
.
1
/
0tiu
0(I)
X
/
0t*.
X
0c
ó
c
chng
minh.
trng
Fp
(
,
z,p)
0ú
tn
ti
mt
khong
m
ớ
1
cha
0,
v
lõn
cn
>
J
H
(
T
*
,
P
)
+
{
p
,
}
Gi
(ớ*,
X*)
l
giao
im
ca
c
v
mt
phng
A
*
:
t
=
Khi
ú
l
ng
c
trng
loi
ti
(t
Khi
l(t,x
)
=
{
P
Q
}
tc
(1.12)
l
ta
thy
Gi
(ớ*,
Ê*)
giao
im
ca
c
v
mt
phng
*
:
t
=
ớ*.
Do
ỏnh
x
y
I-ằ
l
trờn
th
ca
hm
f.
0
do (2.24)
(2.25)
v
iu
kin
ban
u.
Ta
cú
th
ly
Ê
>
0
nh
t
Q
=
v
gi
/*l
hm
liờn
hp
(hay
liờn
hp
Fenchel)
ca
hm
/.
V cú
77
'(ớ,p)
=
(
H
(
t
,
p
)
,
p
p
)
H
(
t
,
p
)
)
,
t
G
[0,
io]
,1
Mnh
3.1.
Cho
(ớ
,
Êo)
1
Khi
ú
mt
ng
c
trng
i
qua
(
t
,
3.
Vỡ
(
t
,
So,
x
,
)
p
>
(
0
t
,
t
,
x
,
0
x
)
,
ta
0
nh
ngha
3.2.
Cho
u
=
u(t,
x)
:
>
M
v
l(t
,
x
)
G
ớ.
Cho
(/,
A:)
e
0
{(,),-p
)
)dr.
(3.16)
0
0
3.1
Cụng
dng
+l2oh, xi -( +
k t) -i v
u((ttc
ặ
) -0)trng
PK
t hh -i (p,
,) v i m i ( t , x ) e n ,
t
ra.
Vthc
Ê C
(tng
l E
m
suy
tt
cc
=v
n
gm(t)
M.
c(R).
t rnmax{w(ớ,
u0 n( tgHopf
ILax
))nú
úcỏc
Vỡdng
nú
th
thay
i
a
phng
bng
cc
i
cc,
hoc
cc
i
a
phng
(ớ)
l[0,
khụng
gian
na
lừm)
nu
tha
món
tớnh
cht:
tn
s
1.7.1
Phng
trỡnh
vi
phõn
u(x
thng
=>()}.
v(x
),,thũng
c
trng
t=
T]),
=
X)
Khi
ú
xột
yu
Do
ú
2 ton
2hon
S
cỏc
c
lng
(2.24),
(2.25)
0
(2.28),
0-[0,
sau
ú
cho
Ê\y
>
0hng
dom
(7*
{q
e-hm
/*(q)
<
+
00}
l
mt
con
(v
li)
trờn
Chỳ
ýgiũ
3.1.4.
1.
Nu
H(t,p)
=trong
H(p)
iu
kin
(b
A2n+trng
),
b)
ton
M
>
M
ó
c
xỏc
nh.
n
hm
l
uthỡ
00)
ằM,
uR=>.
2chn
\
(|z
- y\
+
(ts)
):v
Êtp
(la?!
\dng
)ti
, ta
lýNúi
sau
:
Bõy
ta
s
dựng
h
phng
trỡnh
vi
phõn
c
thit
Vi
iu
kin
ban
u
a
=
lim
sup
-1
v
nhng
thụng
tin
trong
iu
kin
(3.16)
chỳ
ý
rng
J
gc
(liờn
rX(1.10)
)tM"
dtrng
T
0
trờn
ú
nghim
nht
kh
vi.
v(t
,
v(z)
x
)
+
H(x
v(po)
Dv(t
<
(
,
,
x
))
+
+
(1
A)po
P)
<
0.
t23.1,
n
tt.
p
dng
nh
lý
ta
thy
rng
u(t
X)
l
kh
vi
tc
trong
(0,
cú
th
khụng
tn
ti
hoc
cú
tn
ti
nhng
khụng
duy
nht,
Kt
hp
vi
(2.15)
ta
c
iu
phi
chng
minh.
e
e
E
ỡ
s
e
2
Bõy
gi
ly
p
l(t
,xo).
Nu
r}'(t,p)
>
0
thỡ
:
7
i(t,p)
<
T
(
,p)
<
0.
Cũn
Hm
/
c
gi
l
proper
nu
dom/
0
v
f(x)
>
00
vi
V
.
w
cú
ca
x
thỡ
trờn
v
(t
,
x
M"
)
+
H(x
,
mt
,
lõn
Dv(t
cn
,
Xo))
V
ca
^
0.
x
trong
M
vi
mi
X
Ê
1
n
mi
(t,
x)
G
,
0
<
t
<
t
.
x(t*,y)
l
n
ỏnh
v
Z(ớ,
x)
0
nờn
tn
ti
duy
nht
ũng
i
qua
t
0
0
0
0
nh
[5]
lý
Ishii
3.5.
H.,
Gi
Uniqueness
s
cú
(t4i)
of
v
unbounded
(A
).
Hn
viscosity
na,
gi
solutions
thit
thờm
of
Hamiltonrng
H,
\ hm
JuX biờn
!(s),p
J 2xi
/ (x,
MXo)
<
U)(t
+vi
w(t
);
v(0,0)
t
cc
ti
,ti
x ec
),duy nht
R"
B
1.1
(iu
kin
khụng
c
trng).
Tn
nghim
q(.) V,
ca
Mt
khỏc,
O02biờn
cho
bi:
ớ*
cú
dng
cú
ngha
l:
p(s)
=,c
(p
(s),
...,p
(s))
vÊ,im(t
Cho
H
: )ký
H
l
mt
liờn
tc
theo
p)
v eo
theo t\
hn
na
X o
M,
ta
hiu
(h,k)>
1.7.2
iu
kin
4.
Vi
x
^
l
hm
theo
hng
phỏp
tuyn
(hng
ra
ngoi)
ca
u.
0
<
(
T-t
y
V
e
ngt,
hoc
cc
i
ton
cc
ngt.
D
nhiờn
do
mi
quan
h
tng
ng
ca
cỏc
0
sao
cho
vi
mi
X,
z
G
ầ1,
on
[x
z
X
+
z]
v
nh
lý
1.6.
Gi
s
f
:
K"
>
M
l
hm
li,
proper
v
úng.
Khi
ú
hm
:
c
T
ú
(t,
x)
cliờn
vi
mi
(ớ,(|
X)
ớỡ.
tng
ng
vi
(2.3)
sau:
1.3Hm
tha
món.
tc
u(t,
x),
vi
=
D
u=song
=
(u
,...,u
). Tlm
Ta st
vitc
H =ú
H(t,x,Ê,p),
trong
ú,
T
*Du
nm
gia
tLipchitz
v
+eCauchy
h+
UD
X xột
toỏn
=ú
xnh
xớt
i
0-l
x.+|ớDo
Ta
cỏc
trng
hp
sau:
nghim
ca
chớ
v
iu
ta B
cn
xỏc
Bõy
ta
phng
ỡnh
Hamilton-Jacobi
u thỡ
( tlp
,ớ*)
X xột
o c.
)(3.19)
-)'(ớ,p)
( sngiũ
y chỳng
)phỏp
-(1.5)-(1.6)
lun
( to
+khụng
So)
-0bi
j riờng
y=
\gn
-nờn
Soi
*))
Xo
jx,
H
(cho
T
,)Py
O
)mt:
. quc
*
)rng
^(
(tXgi
)rng
(*
fe=i
0 ,ta
Tuy
cũn
hn
ch
hi
vng
cỏc
kt
trong
lun
t
kt
Nh
phng
trc,
vỡ
Po
=
-y(y)
(vit
3.1
X
M
.nhiu
D
kin
biờn
tng
thớch
Xột
phng
trỡnh
hm
phi
tuyn
cp
n0,
nu
<
ta
cú
:
ớ
tn
ti
duy
nht
s
Ê
I
,y
Ê
w
sao
cho
X
=
x(y,
s).
2
(ớ*,
X*).
ng
ny
chớnh
l
c.
Do
ú,
ta
cú
th
li
c
nh
sau
nh
ngha
1.8.
Hm
/
c
l
hm
li
(t..,
úng)
nu
tp
hp
epi
lvn
tp
Jacobi
equations,
Indiana
Univ.
Math.
J.
33
(1984),
721-748.
v
(u
(ifc,a:
),u*(i
,a:
))
=
(~H(t
,q
),q
)
vi
q
l(t
,x
)
nh
lý
3.6.
Gi
s
cú
(^4i)
v
(^
2)Trong
trng
hp
H
(
t,.)
l
mt
^
f
,
^
\
t
fc
fc
fc
k
k
k
k
k
k
(1.18)-(1.19)
vi
mi
y
Ê
gn
vi
x
,
nu
vi
X,
y
G
M
,
t,
s
>
0.
Khi
ú
tn
ti
mt
Mt
khỏc,
vỡy
E
dv(p
)
nờn
H+
H
(
x
0,
^
{
%
)
+
2
)
<
0.
(2.27)
c
Xột
(ớ
,
Ê
0)
(0,
ớ*)
X
Vi
mi
y
G
ta
t
0chng
0
Cho
Ê
>
0,
ta
nhn
n
Chng
minh.
Ta
s
dng
ký
hiu
nh
trong
phn
minh
nh
lý
thuc
lp
c
.
Ly
(ớ
,
Êo)
Ê
ỡ
v
cho
C:
X
=
x
t
)
x
+f
H
(t,
y
(
y
)3.3.
)dT
v iu
ny
suy
ra
ớ
0
p
0
t
<
t
,
t
a
c
ú
P
o
G
l
(
t
,
X
)
v
h
n
n
a
(
t
,
X
)
G
(
t
o
,
).
"
2\
x
x(0)
=
y
,
v(0)
=
(
y
)
;
p(0)
=
y
(
y
)
,
y
R
.
(3.6)
Bõy
gi
ta
quay
tr
li
hon
thin
lý
thuyt
tng
quỏt
v
c
trng
cho
h
thc
trờn
nờn
ta
cú
th
nht
(hoc
nghim
nht
trờn,
liờn
hp
f*thng
cng
l
hm
li,
proper
v
Ngoi
m(Êq
+
/t,
al
?0
A;)
m(*
0
,yI ra:
X)
-mõu
ph
-thun
(g,
/g)trong
_phng
x Jf
thay
d-mt
rú,
ngha
<úng.
0.
ớo(t
r=
zl
\im
xu
E
Êth
Trng
hp
1\
Gi
Chỳng
ta
ch
ra
rng
khỏi
nim
nht
khụng
vi
khỏi
nim
og
ú
and
p
l
bin
cho
v
gradient
phng
2cỏc
22Du
nh
1.5.
=
Jacobian
ca
=J+
Ta
i
h
lm
biờn.
xInh
=chng
+
(nht
,yi,cu
(TTrng,
)-di
)x)
dca
T
(3.11)
nh
iu
kin
ban
u
tng
,s
q)
=
Q
*{q)
-0xe=minh
Jnghim
(t,
eới,q
toú
tc
lngha
2yta
H
(cỏc
tf0i
,
0gn
,Khi
0-Xi
0y
,gn
)m
vi
-Ê
x
|kho
+s
ImV
2trờn
0)tt
)m(t,.)
>ng:
u{t
,li.
)H
2
- du
2|
. v
Khi
ú,
tn
ti
dóy
(/i
,/H
fc
)ccho
>
0,H0|detZ)f|
cho
=tnu
a,
hn
(q)
Tp)phn
,(x(s))
ephng
yL
(j
)(,r
)Xo)
dlim
,3.3,
ớe[0,T]
(3.9)
0tỏc
2.2Tớnh
duy
nht
ca
nghim
0 ti
2.Cỏc
Trong
[7]
cỏc
gi
ú
m
chng
c
gi
(M
A)
v
(A
s
l
ti
liu
tham
nghiờn
rng
phng
trỡnh
r{p,q,h,k)
=phi
p*(s)
usao
tThm
2 khi
v
cỏc
lp
lun
trong
phn
minh
nh
lý
ta
thy
n phng
t
cc
a
ngt
xtp
.zthit
(1.9)
Bõy
gi
gi
nh
rng
x
r,
x
s
nm
trờn
mt
rng
ỏnh
x
X
>
s,
.
li
(t..,
úng)
trong
khụng
gian
M"
xM.
hm
li,
ta
gi
s
thờm
rng
H(t
,.)
l
mt
hm
lừm
ngt
vi
hu
nh
ngha
1.11.
Gi
s
/
l
mt
hm
xỏc
nh
trong
mt
X
C
.
Khi
úx2n)/
(
x
+
z
)
+
(
x
z
)
2
u
(
X
)
<
C
\
,
im
(ớ
u(x)
,
So
v(x)
=
\x\pi(x)
/
p
(r)dr
|x
Chỳng
ta
ch
ý
rng
gi
thit
ca
nh
lý
trờn
l
tng
ng
vi
iu
sau.
d{x
,...,x
)
e
W'
0
2
1
n
m'(t)
+
inf
H
(
t
,
X
,
u
(
t
,
x
)
,
D
v
(
x
)
)
^
0
trong
x>'(0,T)
(2.4)
Ly
p
G
trong
ú
(t,
Xớ)
G
v
il
G
[0,
t
).
s
kim
tra
rng
[6]
Lions
P.
L.
and
Perthame
t
o
>
>
B.,
0
Remarks
0on Hanilton-Jacobi
0
+
n
phng
trỡnh
hm
cp
1.
pTa
+th,
Po
thỡ
nghim
nht)
ca
(2.1)
bng
mt
trong
cỏc
dng
ú.
vo
tnghim
,c
p
)vit
Q
,-PDu(x)
)h
(0bi
y
,X=
P
-(0hP
o(=
(*(p)
-*(p
)),
t(hay
[0,ớo).
òh >
0(tng
Khi
ú,
mt
di
c
trng
toỏn
--,xo).
nghim
ca
FTrc
Sx
,z\p
0->
F(x,u,Du)
trong
(1.5)
xtK)
gi
D
(y)
(tng
(V(riờng
pzc
ng
p)->
)v
-H(x
(y))
l
p(3.1)
trờn
)(t
pvi
)
phõn
Ly
t
di
viv
phõn)
lcng
mt
trng
loi
(II)
ht
gi
s
u00.
G
Khi
C^QO,
ú,
00
tn
X
M
ti
) 9tha
(1.20)
(0,
món
P
ỡnh
o
hm
riờng
tng
ng.
pcho
C
c
nh
eca
chn
r,t0-0Dv(T,
7,...
nh
0-u
trờn.
xỏc
nh
Dv{y).D&{x).
Q
=
X
*ti
+
)^
i/p(r,p*)iZr
v
hm
ang
tr
l(ny
na
liờn
trờn,
do
ú
/c
>
oo
ta(3.2)
thy
Do
ú,
ta
cú
th
li
c
nh
sau
vx
)))t xet
-in.
v
()(x=du
p
>,
\>c
p
+
(1
A)po
-Khi
P
oGú
) )dng
mt
Chng
minh.
Cho
X
iD~v
Ê)V
0{(x,y)
<
t
.
tựy
ýrng
p
ÊM"
ký
n(ti,
iu
mõu
thun
chng
rng
nh
lý
chng
minh.
Ta
thy
rng
ỏnh
{t
,x
{t
,x
)nghim
as
e,
v
(T,
+
,
))
<
0.
(y,
0c.
tha
món,
thỡ
hm
u(t,
X)
c
xỏc
nh
bi
cụng
thc
Hopf
Lax
núi
riờng
v
trỡnh
vi
phõn
o
hm
riờng
tuyn
+
0)phng
0xõy
m
1 phi
=
0
v
b
ba
(x,
z
,
p
l
tha
nhn
Ta
s
dng
mt
nghim
u
ca
2
R
,
f(x)
=:=
sup
f*{y)}
(1.4)
Theo
B
1.7.4
vi
mi
X
G
ta
cú
a
phng
duy
nht
ca
p
2\
x
\
htHamilton-Jacobi
t
(0,
T).
Cho
u(t,
x)
l
nghim
nht
ca
bi
toỏn
(3.1
)Nu
xột
cỏc
lli,
mt
tp
m
v
f trờn
>
M
thuc
lptớnh
,R"
c
gi
l
hm
Lipchitz
(liờn
tc
Lipchitz)
X
nu
ti
mt
thc
K
>
xnht
,Vo)
pim
XHamiltonians,
i
vi
hm
proper
(chng
hn
li
M"
vo
M)
li
ca
Tn
ti
duy
mt
c
trng
loi
(I)
ti
X*
cs
i
qua
w
(*0
+
hng
,p
xmeasurable
0Po)
+ta
)-0 -.){(7*{p)
u(ớ
,gi
X
o,duy
)s
- hm
P
t:=
h
mx
-ca
(t
,[0,
k tn
)T]
(H
{t,p
),pPo)
<
H(t,p)
H(t,p
).
p
=
p
Gi
s
ngc
li
p
t
p=
0 fc
0(ớ*,
equations
with
time-dependent
0 .>
(y,p*(Po))
<
0.
(3.17)
Vi
T
0
c
nh,
p(0)
chỳng
p,
2
(
xột
0
=
tớnh
z
x(0)
nht
nghim
nht
i
vúi
bi
(1.14)
+0tr
t 0G
(ớ
,sl
)minh.
vp
=
lim
(~H(t
q^\x\p
))
=lừm
tf(ớ(b
)-Tc
l
(p,
)
G
H(ớ
, a?o).
v
t, to
yeR"
(3.4)
a.
Lm
phng
biờn
0hm
0cho
ktc
ỡ Trong
ku
p
(r)dr
hiu
Nh
yy
z(.)
cho
giỏ
tr
ca
u
dc
ng
cong
v
p(.)
l
giỏ
ca
gradient
Chng
1.
Cú
th
gi
thit
2 (\x\)2(ớ
h
phng
trỡnh
vi
phõn
(3.5)
(3.6)
c
nh
ngha
bi
ca
V
(y
)
ti
y
G
ệ.
trng
hp
thụng
thng,
D
v
(y
)
hoc
D~v
cng
mt
ng
c
trng
i
qua
im
,
x
).
Bờn
cnh
ú,
c
C,
l
õy
c
gi
l
hng
s
na
ca
u.
)núi
sao
(2.7)
c
,
nu
l
loi
u
liờn
(I)
ti
(9,x(9))
v
b
chn
v
thỡ
c
u
l
l
nghim
loi
(II)
nht
vi
ca
tt
c
Nhỡn
chung,
bi
toỏn
giỏ
tr
ban
u
i
vi
phng
trỡnh
HamiltonJacobi
2
0
0
Bõy
gi
chỳng
ta
a
rabng
nh
ngha
nghim
nht
ca
bitrỡnh
toỏn
Cauchy
i
hoc
l
nghim
nht
ca
bi
toỏn
(3.1)
>/ |x|h
-vn
(3.2).
Hn
na,
nu
()1
chung.
Rt
cm
n
c
ó
theo
dừi
lun
v0.
rt
mong
c
quý
T
(1.5)
suy
1 (3.3)
(1.5)-(1.6)
trong
xPthc
cỏch
tớch
phng
vi
phõn
thng
;>00
n ú:
phng
trỡnh
:ra
Vỡp
,(Ê
P
ong
nờn
(ớằ
yu).,cụng
pgn
o 0))gi
(
p(0,
Thmchớ,
nuu(t,x)
iu
ny
(3.2)xỏc
nh
bi
dng
-*e(Lax.
ú,
vi
mi
(t 0 ,c
ẻv'
= 2n
>
Gi
thit
(i
/o)
e u , Appl.,
ZHopf
a0n+1
=phõn
f(.x,
<
.613-621.
Khi
0vi
sao
cho:
0 )!)/ớ*)
M
sao
nú
tng
iu
kin:
im
,
x
).
Nhỡn
chung
ti
im
(t
,
x
)
X
M
m
ú
l
Theo
y
nh
Ê
l*
ngha
(t
,x
nghim
nht
ta
cú
ớ
ớ
+
<
0cho
0/)
0
nKhi
0biờn:
0vi
iu
kin
Nonlinear
Anal.
The
ory
Meth.
11
(1987),
v
0trỡnh
toỏn
Cauchy
Z)
w(ớ
,^o)
=+phng
(Pj)
Êtp
M
|ệ.
limsup
r(p,
,
/,(1.10)
/c)
-(t
,y)
(úp*
tNu
,nh
Vi
xú,
)Ta
mi
c,t
(=V
t,(s
eyba
x)
G
ớ,
t
cp
G
ti
giỏ
tr
ln
nht
Do
VG
(núi
z
) ta
,(Mo]ztha
)cc
-x(.)
{0nhn
ytiu
, chng
p(s,y)
} (t,
V
(X)
p-ớE
o(
).l
Tip
ieo,
ly
khụng
G
\ eC,
pM
, Pv
om
\te
.p(.).
Vi
Xú
tng
,0
ta>cú
0tt
ỡ 0s,x
0 t,x)
7
](t,p)
=
{t,x,p
)
{t,x,p
),
(
[0,ớ
]
v
vy
nh
lý
c
minh.
Chỳng
s
dng
h
vi
phõn
c
trng
gii
bi
e
0v
t
ti
(T,
),
bng
cỏch
chng
minh
t
ta
s
cú
1trn
0
Du.
Vy
Ta
nờn,
phi
b
chn
sao
c
cho
cú
th
,
z,p)
tớnh
c
l
z(.)
c
trng
(1.20)
tha
=
x(ỡ/,s)
(1.22)
/
||2
(y)
c
gi
l
na
vi
phõn
ca
V
ti
y
Ê
ng
cong
tớch
phõn
ca
X
=
H
p
(
t
,
y
(
y
)
)
,
do
ú
chỳng
phi
trựng
nhau.
Vi
mi
hm
/
:
M"
ằ
,
hm
liờn
hp
/*
luụn
luụn
li
úng.
Hn
na,
ó
c
khng
nh
l
khụng
cú
nghim
u
vi
mi
t.
í
tng
n
ong
ú
p(y)
J<
ÊX)
D.
Vỡ
hm
at,
trnu
y/(ớ*,
y)
llna
liờn
tclừm,
d
,.thin.
vi
phng
trỡnh
Hamilton-Jacobi
dng
n
gin:
Lipschitz
trờn
thỡ
l
hm
na
li.
gi
úng
gúp
ý0Cho
lun
thờm
Do
r}'(t,p)
0
mi
ớvn
)gI[0,
to]
-;hon
H
(hi
t,.)B
mt
hm
ngha
1.6.
y)tng
=M
=
c
trng
(1.10)
ng.
Hn
na,
ta
thy
p(0)
=ỏp
p,
z(0)
=(II)
z,
x(0)
=
x
l
uu(t,
=g
ờn
rmt
rTng
C
dz
u
-vi
:H
ớ
K,
w
G
sc
(f)
vi
hng
s
lừm
+>ti
0.-im
=
*()
(
1,n
1)na
(MH(
,pkin
0nu
thy
rng,
ng
cong
x(.)
i
qua
ta
phi
ũi
rng
X i-,:=
lD
sai,
tc
pIdet
)Ơ
(*(p)
*(p
))
iỡ
dng
3.1,
ta
thy
x0)inh
Mnh
ớIú,
0(Vx
0=
\ta
H
{cú
t ,1.2.
xl
, Ê(y,p
,cú
) fhai
t0i=
,nhiu
yDyf
q
)
\
\
x
y
\
+
|Ê
Ê'l
\
p
q
\ (2.9)
)(2.21)
,(1.6)
(t
,s
,x
,y
)
=
max
(t,s,x,y).
=
0,
=
Du{0)
=
0
kh
vi,
cú
th
ng
c
trng
loi
(I)
hoc
(ớ*,
|
ớ
c
r
do
(2.10)
0hay
0,<
0w(0)
n
0{
1,
.
.
.
,
)
=
{(hp{Po),PPo)
{h{p
)
h(p
)))g(t)
0 0thit
U
+
H
(
x
,
D
u
)
=
.
U
+
H(
X,
Du)
=
0
trong
(0,
T]
X
M
ca
hm
(t,
X
,
.)
t
c.
D
thy
rng,
vi
gi
(j4i),
l(t
,
X)
7^
0.
m'(t)+
sup
H(t,
X
,
u(t,
x),
Dv(x))
^
0
trong
^'(o,
T).
(2.5)
toỏn
giỏ
tr
biờn
(1.5)-(1.6)
chớ
ti
mt
lõn
cn
ca
mt
phn
biờn
kt
ca
Theo
thit,
r(ớ*,
X*)
n
tr,
do
ú
/(ớ*,
X*)
lsolutions
n
tr.
rng,
n
theo
bt
ng
thc
ngc
li.
Chng
minh.
Xột
Nguyen
Hoang,
Regularity
of
defined
by
món.
T
gi
tr
ta
luụn
/p-(1.4))
gi
)
eớtthit
,2cng
cú
iu
kin
ny.
Chng
minh.
Cho
[0,T]
xR
")cng
Chỳ
ýli,
rng
nu
V
l
mt
hm
li,
di
D~v
(x)
trựng
vi
Nh
vy,
mnh
chng
minh.
khi
/gi
trong
(1.3)
sup
c
thay
th
bng
y, ta
(t..,
x)
l
e(t..,
Ên
trờn,
v
theo
gi
/(Ê*,
y)
{p(y)}
l
tr
vúi
y Rừ
enu
M
lun
Vi
mi
m
G
N,
fi
{thit
ta
\()
xuc
+t(t
(1
()k=
tto]
h(khi
felừm,
0viscosity
)ú
++
(1
khi
)
fú
( phõn
y
(1.1)
ú
l[7]ú
XầzK
(ớ)
vhp
)+yl+
x- evi
))
0._max
{chn
t--------------------------------------------|
+
h ,x
x e=
)-+|j(x
u
tu(,,0xxtrỡnh
,xDv
Xtc
)k(t
pe:,-vúi
h
(p,
(fc,fc)e t,
ta
cú
r(t,p)
>
0
mi
Ê
[0,
1-vi
m thng
iu
kin
biờn
phự
cho
h
phng
phõn
c
trng
vi
x(.)
Kh
hm
:
X
I - ằvi
l
l
mi
&
ớỡ
sao
cho
x
-i)
=
()
n
n
sau
ớch
ca
cỏc
hm
nh
lýB
(nh
hm
n).
Ginghiờn
thitÊo)
f cu
G5 do
c liờn
([/;
M
v Jy(x
,
i/o)
0.
Khi
Q
X*),
gi
F,
gtrong
l nhng
slý chỳng
hmcho
trn.
i vic
qua
(to,
ú hp
Ê*)) Fenchel
cú
th
khụng
l
n
,
01.2
=
u(0)
-giỳp
v(0).
h,
k)
0 Arxiv:
du.
cú
húa
cỏc
phộp
tớnh
cú
liờn
quan,
trc
hthm
tax)
s
nh
lýn
cduy
(I)
ti
(t,
v
l(t,
x)
=
{p*},
V(ớ,
G*
0>
(ú,
1.
2)
tớnh
nht
ca
nht,
thit
rng
hm
Hamilton
H
tha
1/0*0
-3.3,
f>(0,0)
{gin
ydu
) lINu
\\x
-,x
yII
;for
Va;,
Ê=ta
X
formula
Hamilton-Jacobi
equations,
l
khụng
i
trờn
[0,
tD*u(t
ol
]nghim
vỡ
gi
thit
gU(t
(0}
tgi
)
i
du.
gradient
di
dv
()
im
Chỳ
ýHopf-Type
trong
3.1.1.
ca
domf*
li
domf).
v
Lipschitz
trờn
R"
thỡ
dom
b
Do
,x
0)
=
,x
).
c
rng
hm
n
tr
y2(t..,
hm
gx)
p(y)
trờn
l
{tyt+liờn
Xkhụng
R
Do
. 0)ú
A
:c,
M"
R"
(2.16)
(t
,s
)
=
sup
(t,x,t,x)
>
-.
(2.22)
=
y(x),
s
=
s(x).
tc.
u
^2
\k\
l
0ca
0I^
0=,y
0V.
+(x)
(1.15)
(nu
khụng
ta
cú
th
xột
(
x
)
:=
u
(
x
z
)
(
x
D
u
(
x
)
X
thay
th
cho
0
0
ri
ct
r
ti
2
.
Nhng
trờn
thc
t
ta
cũn
phi
gii
h
phng
trỡnh
vi
phõn
thng
Tht
vy,
cho
V
l
hm
trn
v
u
V
t
cc
i
a
phng
ti
(
t
,
x
)
,
khi
0
khi
ú
c
cng
l
ng
c
trng
qua
(Ê*,
X
*).
Theo
gi
thit,
c
l
loi
c
li.
Chỳ
rng
(t)
p)
B
vi
tn
v
do
(2.4),
(2.5)
hon
ton
cú vi
ngha.
ú
ti
mt
tp
m
V
mi
x,p)
vi
yú
V,
v
tpcú
mphỏp
R
x G
vtn
cúý
th
vit
di
dng
R (t,
0 , [0,r]xR"
0X)ta
thm
chớ
nghiờn
/(ớ*,
X*)
cu
cng
bi
toỏn
khụng
(1.5)-(1.6)
.
Tuy
phng
ta
trng,
õyw,l
,
=
-(x
{t,
,G
Pdựng
onhiờn
) , (t,
x)eC,
tew
[0,^c
ớo]
Cú
ngha
lớsau
V=
t
cc
a
ngt
ti
:liờn
Xn+1
x(ớ,y)
=i
+tớnh
H ((t0.
T, ,
yy ({ yy ) )) d) T
[0,T]
món
iu
kin
tc
Lipschitz
: phng
(2013),
1208.3288v2.
c
:
Xy
=
x(t)
=
X
onhc
+
j
H
d r, ớe
a
ra
mt
s
cht
c
bn
v
na
vi
phõn
ca
cỏc
hm
õyp
kin
M,l
c
M
.
iuMnh
{Ai)
c
tha
món.
Chỳng
ta
li
õy
mt
nh
lý
cn
U nhng
+ H(x,
Du)
==phn
0u
trong
uca
:=
(0,
00
)XM
(2.7)
mmi
1x)
c
trng
ú
vi
im
ban
nny,
Chng
minh.
Cho
(po,
o)
l
mt
t
H
0,
Êo)>khicúpo
H{t
(I)
ti
im
nờn
im
(ớ,
G
,
0
<(ớ
t<
ớ*
l
chớnh
quy
=
theo
,q )
0
=
F(x,u(x),Du(x))
((),(),().(())).
=
(
)
.
B
2.2
(Cc
tr
ti
thi
im
cui).
Gi
s
l
mt
nghim
nht
ca
mt
ỏnh
x
g
:
w
>
R
thuc
lp
sao
cho
vi
K c
,
gi
y
G
l
M
hng
v
s
E
Lipchitz
[0,1]
ca
/
trờn
X.
phng phỏp bin i phng
0 trỡnh o hm riờng thnh mt h phng
0
{
) =
u
-
-
0
p
0
0
- <
J
0
*(p) -
p
Chng 3 cu trỳc v tớnh chớnh quy ca
7 Nghim
nghim
nhút
cho
phng
trỡnh
Hamilton
Chng
2
ca
phng
trỡnhTi
liu
tham
kho
, nht
Ket lun
.
Jacobi
o hm riờng cp mt
e
e
0
p
t
y
s
2
0
2
0
0
<
J
0
0
P
r f(y) _ ,
0:
0
J
Q
0
{
{
e
0
I
0
0:
p
0
e
0
e
0
n
S =4
: 00
0
Q
2
J
0
2
n
u
rp
0
0
e
1
0
0
p
0
0
1/4
0
m
rp
J
0
0
Vf" /
0
0
0
0
0
0
0
0
n
0
0
0
m
m
2
J
0
2
P
=
0
m
0
2
m
0
0
Q
p
m
2
m
J
t
p
p
n
c
