Về sự tồn tại nghiệm nguyên của một số dạng phương trình điôfan điôfan

M

U

Nhi u bƠi toán th c t d n t i các ph
nguyên vƠ đòi h i nghi m c a ph

ng trình đ i s v i h s lƠ các s

ng trình c ng lƠ các s nguyên. Ch ng h n,

d ng tam giác vuông có ba c nh a, b, c lƠ các s nguyên, ngh a lƠ tìm b ba s
nguyên (a, b, c) th a mưn h th c a2 + b2 = c2. M t s ph
quen thu c

b c h c ph thông. Tuy nhiên còn nhi u lo i ph

c ng r t đáng đ
Ph

ng trình lo i nƠy đư
ng trình nh th

c quan tơm tìm hi u vƠ h c t p.

ng trình

iôph ng lƠ ph

nghi m nguyên. Ph

ng trình đ i s đòi h i tìm nghi m h u t ho c

ng trình đ i s lƠ ph

ng trình ch bao g m các bi u th c đa

th c c a m t ho c nhi u bi n s . Tính " iôph ng" c a ph

ng trình bi u hi n

ch các h s c a đa th c ph i lƠ các s h u t (ho c s nguyên) vƠ nghi m c ng
ch có th lƠ s h u t (ho c s nguyên).
Có r t nhi u d ng ph
v n h n c lƠ ph

ng trình

iôph ng, đ n gi n vƠ đ

c gi i quy t tr n

ng trình iôph ng tuy n tính c a hai hay nhi u bi n s , trong đó

t t c h s c a các bi n đ u lƠ các s nguyên (hay nói chung lƠ các s h u t ).
Hai d ng ph
th i
ph

ng trình quen bi t t th i s khai c a lý thuy t s , có t tr

iôph ng lƠ nh ng ví d rõ nh t v ph
ng trình nƠy đ u đư đ

c ng

ng trình

c

iôph ng. C hai lo i

i Babylon bi t đ n. ó lƠ

1. Ph

ng trình b c nh t (tuy n tính), hai bi n: ax + by = c.

2. Ph

ng trình b c hai (phi tuy n), ba bi n: x2 + y2 = z2.

Lu n v n nƠy có m c đích tìm hi u vƠ trình bƠy m t s d ng đáng chú ý c a
ph

ng trình iôph ng b c nhơt (tuy n tính) vƠ các b c cao h n (2, 3 vƠ 4). Xét s

t n t i nghi m nguyên c a các ph

ng trình nƠy, tính ch t c a các nghi m nguyên

c a chúng vƠ m t s cách tìm nghi m nguyên cho các lo i ph
C th trong lu n v n s đ c p t i các d ng ph

1

ng trình đ

ng trình iôph ng sau đơy:

c xét.


a) Ph

ng trình iôph ng tuy n tính (b c nh t): a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.

b) Các d ng ph

ng trình iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n:

x2 + y2 = n (hai bi n), x2 + y2 = z2, x2 + axy + y2 = z2 (ba bi n),
x.y = z.w, x2 + y2 = z2 + w2, x2 + y2 + z2 = t2 (b n bi n).
c) Ph

ng trình iôph ng b c ba: x3 + y3 = z3 (ba bi n).

d) Ph

ng trình iôph ng b c b n (ph

ng trình trùng ph

ng):

x4 ± x2y2 + y4 = z2, x4 ± y4 = z2 (ba bi n),
Lu n v n đ
Ch
trình
ph

c vi t thƠnh 3 ch

ng 1 "Ph

ng trình

ng:

iôph ng tuy n tính” trình bƠy khái ni m ph

ng

iôph ng tuy n tính, nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a
ng trình, đi u ki n c n vƠ đ đ ph

ng trình có nghi m nguyên. Xét m t s

bƠi toán có liên quan v nghi m nguyên không ơm c a ph
nh t vƠ các ví d minh h a. Cu i ch
Ch

ng 2 "Ph

ng trình

ng trình

iôph ng b c

ng nêu m t s bƠi t p áp d ng.

iôph ng b c hai" đ c p t i khái ni m b ba

Pytago (x2 + y2 = z2), b b n Pytago (x2 + y2 + z2 = t2) cùng các tính ch t vƠ m t s
d ng ph

ng trình iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n s (x2 + y2 = k(x - y),

x 2 + y 2 = z 2, x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = 2w2). Nêu tính ch t nghi m c a m t
s ph

ng trình iôph ng b c hai khác (xy = zw, x2 + y2 = z2 + w2, x2 + xyw + y2 =

z2, x2 + axy + by2 = z2). Cu i ch
Ch
đ

ng 3 "M t s ph

c c a ph

ng, nêu m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng.

ng trình iôph ng b c cao" đ c p t i tính không gi i

ng trình iôph ng b c cao h n hai có d ng
x3 + y3 = z3, x4 + y4 = z4, ...

ó lƠ các tr

ng h p riêng c a ph

ng trình Fermat x n + yn = zn v i x, y, z lƠ

các s nguyên. Ti p đó gi i thi u đ nh lý l n Fermat (còn g i lƠ đ nh lý cu i cùng
c a Fermat) nói r ng ph

ng trình xn + yn = zn v i n > 2 không có nghi m nguyên

khác không vƠ gi thuy t Euler nói r ng ph

ng trình xn + yn + zn = wn không có

2

Thang Long University Libraty


nghi m nguyên (khác không) n u n lƠ s nguyên l n h n hay b ng 4, cùng hai ph n
ví d . Xét m t s d ng ph

x4 + 6x2y2 + y4 = z2. Cu i ch

ng trình

iôph ng b c cao x4  y4 = z2, x4 + y4 = 2z2,

ng nêu m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng.

Do th i gian vƠ ki n th c còn h n ch nên ch c ch n lu n v n nƠy còn có
nh ng thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô vƠ các b n đóng góp ý ki n đ tác
gi ti p t c hoƠn thi n lu n v n sau nƠy.
Nhơn d p nƠy, tác gi lu n v n xin bƠy t lòng bi t n sơu s c t i GS.TS. Tr n
V Thi u, đư t n tình giúp đ trong su t quá trình lƠm lu n v n. Tác gi c ng xin
chơn thƠnh c m n các th y, cô giáo

B môn toán đư nhi t tình gi ng d y, các

cán b Phòng sau đ i h c vƠ qu n lý khoa h c, Ban giám hi u Tr

ng đ i h c

Th ng Long đư quan tơm, đ ng viên vƠ t o m i đi u ki n thu n l i trong quá trình
tác gi h c t p vƠ nghiên c u t i Tr

ng.

HƠ N i, tháng 05 n m 2016
Tác gi

Nguy n H i HƠ

3


Ch

NG TRỊNH IÔPH NG TUY N TệNH

PH
Ch

ng 1

ng nƠy đ c p t i ph

ng trình

có liên quan, đi u ki n c n vƠ đ đ ph

iôph ng tuy n tính, m t s khái ni m
ng trình có nghi m nguyên, các ví d

minh h a. Xét m t s bƠi toán có liên quan v nghi m nguyên không ơm c a
ph

ng trình

iôph ng tuy n tính. Cu i ch

dung c a ch

1.1.

ng đ

ng nêu m t s bƠi t p áp d ng. N i

c tham kh o t các tƠi li u [1], [2] vƠ [3].

C CHUNG L N NH T

M c nƠy nh c l i m t s khái ni m c n thi t trong lý thuy t s liên quan t i
ph

ng trình iôph ng tuy n tính:

c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s ,

c

chung l n nh t c a hai hay nhi u s nguyên ...
1.1.1.

c s vƠ ph n d

Xét t p s nguyên

= {0,  1,  2, ... }.

nh ngh a 1.1. V i a, b  , ta nói a lƠ
nguyên x sao cho a.x = b. Trong tr

c (divisor) c a b n u t n t i s

ng h p nƠy ta nói r ng b chía h t (divisible)

cho a hay b lƠ b i (multiple) c a a vƠ vi t a | b (đ c lƠ a lƠ
nói a không lƠ

c c a b vƠ vi t a b.

Ví d 1.1. Do 3 vƠ - 5 lƠ
không lƠ

c c a b). Trái l i, ta

c c a 15 nên ta vi t 3 | 15 vƠ - 5 | 15. Nh ng - 2 vƠ 7

c c a 15 nên ta vi t - 2 15 vƠ 7 15.

nh ngh a 1.2. V i b t k a  , các đi u sau đơy luôn đúng:
1 | a, - 1 | a, a | a, - a | a.
Ta nói 1, - 1, a vƠ - a lƠ các
lƠ đ n v (units), m i

c t m th

ng (trivial divisors) c a a; 1 vƠ - 1 g i

c b t k khác c a a g i lƠ

c th c s (proper divisors).

T lý thuy t s , ta có k t qu sau

4

Thang Long University Libraty


nh lý 1.1. (Thu t toán chia) V i m i a, b  , b  0, t n t i duy nh t q, r 
, 0  r < |b| sao cho a = bq + r. (Chia a cho b đ

c q lƠ th

ng s , r lƠ ph n d ).

Ví d 1.2. a) V i a = 21, b = 5 ta có q = 4, r = 1, vì 21 = 54 + 1.
b) V i a = 20, b = - 3 ta có q = - 6, r = 1, vì 20 = (- 3)(- 6) + 2.
c) V i a = - 13, b = 2 ta có q = - 7, r = 1, vì - 13 = 2(- 7) + 1.
d) V i a = - 11, b = - 7 ta có q = 2, r = 3, vì - 11 = (- 7)2 + 3.
1.1.2. S nguyên t vƠ h p s
nh ngh a 1.3. S nguyên d
không có

c th c s . S nguyên d

c th c s . N u a lƠ s nguyên d

ng a > 1 g i m t lƠ s nguyên t (prime) n u a
ng a g i lƠ m t h p s (composite) n u a có

ng vƠ các s nguyên t p1, p2, ... , pk th a mưn

p1p2 ... pk = a thì tích p1p2 ... pk g i lƠ phân tích th a s nguyên t (prime
factorization) c a a.
Ví d 1.3. Các s nguyên t < 40: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Các h p s : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, ...
nh lý 1.2. ( nh lý c b n c a s h c) M i s a  , a > 1, có phơn tích
th a s nguyên t duy nh t (không k s sai khác v th t các th a s ).
Ví d 1.4. 12 = 223; 18 = 232; 231 = 3711, ...
nh ngh a 1.4. Cho a, b 

. Ta đ nh ngh a

c chung l n nh t (greatest

common divisor) c a a vƠ b lƠ s nguyên l n nh t d mƠ c a vƠ b đ u chia h t cho
d: d | a vƠ d | b.

c chung l n nh t đ

Trong lu n v n nƠy ta s s d ng

c ký hi u lƠ (a, b) = d ho c
CLN(a, b) đ ch

CLN (a, b) = d.

c chung l n nh t c a a vƠ

b.

Ví d 1.5. Hưy tìm
±1, ±2, ±4, ±8; vƠ các

c chung l n nh t c a 8 vƠ 28. Ta th y các
c c a 28 lƠ ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, 28. T đó,

5

c c a 8 lƠ
c chung


c a 8 vƠ 28 lƠ ±1, ±2, ±4. Vì th ,

c chung l n nh t c a 8 vƠ 28 lƠ 4. Ta vi t gcd

(8, 28) = 4. Có th ki m tra l i r ng
nh ngh a 1.5. N u

CLN(21, - 6) = 3;

c chung l n nh t

CLN(- 10, 25) = 5, ...

CLN(a, b) = 1 thì ta nói hai s

nguyên a vƠ b lƠ nguyên t cùng nhau (relatively prime).
nh lý 1.3. N u a, b 
Ví d 1.6. Hưy tìm

và

CLN(a, b) = d thì

CLN(a/d, b/d) = 1.

c chung l n nh t c a 15 vƠ 40. B ng cách phơn tích ra

th a s nguyên t ta có 15 = 3×5 vƠ 40 = 23×5. T đó, ta tìm đ
nh t c a 15 vƠ 40 b ng 5, t c lƠ

c chung l n

CLN(15, 40) = 5. Ta th y

CLN(15/5, 40/5) =

nh lý 1.4. N u a, b, c 

c

CLN(3, 8) = 1.

sao cho a | bc và a, b nguyên t cùng nhau thì a | c.

nh lý 1.5. Cho a, b, c  . Khi đó CLN(a + cb, b) = CLN(a, b).
Ví d 1.7. Xét ba s : a = 130, b = 52, c = 12. Theo
CLN(130 + 12×52, 52) =

CLN(130, 52) hay

nh lý 1.4, ta s có

CLN(754, 52) =

CLN (130, 52).

ki m tra đ ng th c nƠy, ta c n tính CLN(754, 52) vƠ CLN (130, 52). Ta
th y
52 = 22×13, 130 = 2×5×13 vƠ 754 = 2×13×29.
T đó suy ra CLN(754, 52) = CLN(130, 52) = 26. K t qu ki m tra đúng.
nh ngh a 1.6. Cho a, b  . T h p tuy n tính (linear combination) c a a vƠ
b lƠ t ng có d ng ax + by, trong đó x, y  .
nh lý 1.6. Cho hai s a, b  . Khi đó d = CLN (a, b) là s nguyên d
nh nh t bi u di n đ

cd

ng

i d ng d = ax + by v i x, y  .

Ví d 1.8. Gi s a = 57 vƠ b = 247. Ta th y 57 = 3×19 vƠ 247 = 13×19. T
đó CLN(57, 247) = 19. Ch n x = 9, y = - 2, ta có
57×9 - 247×2 = 513 - 494 = 19 = CLN(57, 171).

6

Thang Long University Libraty

nh lý 1.7. N u a, b, m, n 

và c là

c s chung c a a và b thì c c ng là

c s c a ma + nb, ngh a là
(c | a vƠ c | b)

c | (ma + nb).

Ví d 1.9. Gi s a = 18, b = 33, vƠ c = 3. Ta có 18 = 3×6 vƠ 33 = 3×11. Vì
th , 18 vƠ 33 chia h t cho 3. Gi s m = 8, n = - 2. Khi đó
8×18 - 2×33 = 144 - 66 = 78.
Rõ rƠng 3 lƠ

c c a 78, vì 78 = 3×26.

nh lý 1.8. N u a, b là các s nguyên d

ng thì t p h p các t h p tuy n tính

c a a và b b ng t p các b i nguyên c a CLN(a, b).
Ví d 1.10. Gi s a = 68, b = 153. Ta th y 52 = 22×17 vƠ 117 = 32×17. Do đó
CLN(68, 153) = 17. V i b t k

ph

tìm đ

x, y

c s nguyên k nghi m đúng

ng trình 68x + 153y = 17k. Tìm x vƠ y đ cho k = 2, t c lƠ x, y th a mưn 68x

+ 153y = 17×2 = 34. Chia c hai v cho 17, ph
Ta tìm đ
1.1.3.

ng trình rút g n còn 4x + 9y = 2.

c x = 5 vƠ y = - 2, vì 4×5 - 9×2 = 20 - 18 = 2.
c chung l n nh t c a n  2 s nguyên

nh ngh a 1.7. Ta m r ng đ nh ngh a

c chung l n nh t cho n s nguyên

v i n ≥ 2. Xét n s nguyên, không cùng b ng 0. Ta đ nh ngh a
c a chúng lƠ s l n nh t trong các

c chung l n nh t

c chung c a n s đó vƠ vi t CLN (a1, a2, ... ,

an).
Ví d 1.11. Có th th y CLN(3, 9, 12) = 3 vƠ CLN(5, 25, 45) = 5.

Tuy nhiên, đôi khi ta g p nhi u h n ba s nguyên ho c nhi u s ph c t p mƠ
ta không th d dƠng tìm đ

c

c chung c a chúng. Trong nh ng tr

ng h p nh

th , ta có th dùng đ nh lý sau đơy.
nh lý 1.9. N u a1, a2, ... , an là các s nguyên, không cùng b ng 0, thì
CLN(a1, a2, ... , an-1, an) = CLN (a1, a2, ... ,

7

CLN(an-1, an)).


Ví d 1.12. Tìm

c chung l n nh t c a 112, 378, 693 vƠ 2016.

Phơn tích các s nguyên ra th a s nguyên t vƠ dùng

nh lý 1.9, ta th y

112 = 24×7, 378 = 233×7, 693 = 32×7×11, 2016 = 25×32×7.
CLN(112, 378, 693, 2016) = CLN (112, 378. (693, 2016))

= CLN(112, 378, 63)

= CLN(112, (378, 63))
= CLN (112, 63) = 7.
nh lý 1.10. N u c, d 

và c = dq + r, v i q, r 

thì

CLN(c, d) =

CLN(r, d).

Ví d 1.13. Xét đ ng th c
75 = 12×6 + 3.
N u phơn tích đ ng th c nƠy theo

nh lý 1.10, ta th y

c = 75, d = 12, q = 6 vƠ r = 3.
Ta có 75 = 52×3, 12 = 223. Áp d ng đ nh lý ta đ

c CLN(75, 12) = CLN(3,

12) = 3.
1.2. PH
Ph

NG TRỊNH TUY N TệNH V I CÁC H S

NGUYÊN

ng trình có d ng
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c,

trong đó a1, a2, ... , an, c lƠ các s nguyên cho tr

(1.1)
c, đ

c g i lƠ ph

ng trình

iôph ng tuy n tính. Ta gi thi t n  1 vƠ t t c các h s a1, a2, ... , an đ u khác 0.
Ta b t đ u v i tr
iôph ng tuy n tính đ

ng h p n = 2. K t qu c b n liên quan đ n ph

ng trình

c nêu trong đ nh lý sau.

nh lý 1.11. Gi s a, b, c là các s nguyên, a và b khác 0. Xét ph

ng trình

iôph ng tuy n tính hai bi n

8

Thang Long University Libraty


ax + by = c,
1. Ph

(1.2)

ng trình (1.2) có nghi m nguyên khi và ch khi d =

chung l n nh t c a a và b) là

CLN(a, b) (

c

c s c a c.

2. N u (x, y) = (x0, y0) là m t nghi m riêng c a (1. 2) thì m i nghi m nguyên
t ng quát c a ph

ng trình (1.2) có d ng
x = x0 +

b
a
t, y = y0 - t,
d
d

(1.3)

trong đó t là s nguyên.
3. N u c = CLN (a, b) và |a| ho c |b| khác 1 thì có th tìm đ

c m t nghi m

riêng (x, y) = (x0, y0) c a (1.3) sao cho |x0| < |b| và |y0| < |a|.
Ch ng minh. 1. N u d không lƠ
th có nghi m. N u d lƠ

c s c a c thì rõ rƠng ph

ng trình không

c s c a c thì chia hai v c a (1.2) cho d, ta ch c n

ch ng minh r ng d lƠ t h p tuy n tính v i các h s nguyên c a a vƠ b. Mu n v y
ta dùng thu t toán clit.
Rõ rƠng lƠ n u b | a thì

CLN(a, b) = b. Trái l i, gi s a = bq + r v i các s

nguyên q, r v i 0 < r < b. D ki m tra l i r ng m i
c chung c a b vƠ r vƠ ng

c l i. T ng quát ta có

Nh n xét nƠy đ a t i cách tính tr c ti p

c chung c a a vƠ b c ng lƠ
CLN (a, b) =

CLN(b, r).

c chung l n nh t c a hai s nguyên. M t

cách h th ng nh sau: Ta đ t a = r1, b = r0 (gi thi t a > b > 0):
r1 = r0q0 + r1,

0  r1 < r0,

r0 = r1q1 + r2,

0  r2 < r1,

r1 = r2q2 + r3,

0  r3 < r2,

r2 = r3q3 + r4,

0  r4 < r3,





Phép chia nƠy cu i cùng ph i k t thúc, b i vì ph n d ngƠy cƠng bé d n:

9


r1 > r0 > r1 > r2 > ...  0,
vƠ luôn không ơm. Nói m t cách khác, đ n m t lúc nƠo dó rn1 s chia h t cho rn
sau đó (vƠ đ l i ph n d rn+1 = 0). Ta nh n đ


c


0  rn < rn1,

rn2 = rn1qn1 + rn,
rn1 = rnqn + 0 (rn+1 = 0).
T đó suy ra

rn = CLN (rn1, rn) = CLN (rn2, rn1) = ... = CLN (rr1, r0) = CLN (a, b).
Có th th c hi n theo th t ng
CLN(a, b) d

c tr l i các phép toán trên đơy đ bi u di n

i d ng t h p tuy n tính c a a vƠ b.

T các công th c trên suy ng

c tr l i ta có: r1 = r-1 - q0r0, r2 = r0 - q1r1.

T ng quát: rk = rk-2 - qk-1rk-1 v i k = 1, 2, ... , n.
Xác đ nh các s nguyên xk vƠ yk theo h th c truy h i:
x1 = 1, x0 = 0, xk = xk2  qk1xk1, k = 1, 2, ... , n.
y1 = 0, y0 = 1, yk = yk2  qk1yk1, k = 1, 2, ... , n.
Ta ch ng minh b ng qui n p r ng rk = axk + byk v i k = 1, 2, ... , n. Th t v y,
r1  a = ax1 + by1 (theo đ nh ngh a c a r1 vƠ do x1 = 1, y1 = 0),
r0  b = ax0 + by0 (theo đ nh ngh a c a r0 vƠ do x = 0, y = 1), ...
rk = rk2  qk1rk-1 = (axk2 + byk2)  qk1(axk1 + byk1)
= a(xk2  qk1xk1) + b(yk2  qk1yk1) = axk + byk v i m i k = 1, 2, ... , n.
Nói riêng,

b

c k = n ta có
CLN(a, b) = rn = axn + byn.

0 = axn+1 + byn+1 = a(xn1  qnxn) + b(yn1  qnyn) = rn-1 - qnrn = 0.
xn+1 = xn1  qnxn, yn+1 = yn1  qnyn, a|xn+1| = b|yn+1|.

10

Thang Long University Libraty


Có th ki m tra th y r ng {xk} vƠ {yk} luơn phiên đ i d u, |xn+1| = b / CLN(a,
b) vƠ |yn+1| = a / CLN (a, b). T đó |xn| < b vƠ |yn| < a, tr khi n = 0 vƠ q0 = 1, t c
lƠ tr khi a = b = 1.
2. Ta có

b 

a 


ax + by = a  x 0  t  + b  y 0  t  = ax0 + by0 = c v i m i t  .
d 
d 


3. K t lu n đư đ

c ch ng minh

K t qu chính liên quan t i ph

đi m 1.
ng trình

฀
iôph ng tuy n tính t ng quát đ

c

cho trong đ nh lý sau.
nh lý 1.12. Ph

ng trình (1.1) có nghi m nguyên khi và ch khi
CLN(a1, a2, ... , an) | c.

N u ph

ng trình có nghi m thì ta có th ch n đ

m t nghi m b t k c a ph

c (n - 1) nghi m sao cho

ng trình là t h p tuy n tính c a (n - 1) nghi m này.

Ch ng minh. Gi s d = CLN (a1, a2, ... , an). N u c không chia h t cho d thì
(1.1) không có nghi m, b i vì v i các s nguyên x1, x2, ... , xn b t k thì v trái
(1.1) chia h t cho d, trong khi đó v ph i l i không chia h t cho d.
Th c ra, ta c n ch ng minh r ng

CLN (x1, x2, ... , xn) lƠ m t t h p tuy n

tính c a x1, x2, ... , xn. V i n = 2. đi u nƠy đ

c suy ra t

nh lý 1.11. V i n > 2 thì

do
CLN(x1, x2, ... , xn) =
Nên

CLN( CLN(x1, x2, ... , xn1), xn)

CLN (x1, x2, ... , xn) lƠ t h p tuy n tính c a xn vƠ

B ng qui n p cho th y

CLN (x1, x2, ... , xn1).

CLN(x1, x2, ... , xn) lƠ t h p tuy n tính c a x1, x2, ... , xn.

฀
Ví d 1.14. Tìm nghi m nguyên c a ph

ng trình

3x + 4y + 5z = 6.

11


Gi i. V i đ ng d modulo 5 ta có 3x + 4y  1 (mod 5). Do đó
3x + 4y = 1 + 5s, s  .
M t nghi m c a ph
đ

ng trình nƠy lƠ x0 = - 1 + 3s, y0 = 1 - s. Áp d ng (1.3) ta

c x = - 1 + 3s + 4t, y = 1 - s - 3t, t 

vƠ thay th ng

trình ban đ u cho z = 1 - s. Do đó các nghi m c a ph

c tr l i vƠo ph

ng

ng trình lƠ
฀

(x, y, z) = (- 1 + 3s + 4t, 1 - s - 3t, 1 - s), s, t  .
1.3. BÀI TOÁN LIÊN QUAN
nh ngh a 1.8. Cho n s nguyên d

ng a1, a2, ... , an v i

= 1, ta đ nh ngh a g(a1, a2, ... , an) lƠ s nguyên d

CLN (a1, a2, ... , an)

ng l n nh t N sao cho ph

ng

trình
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = N
không có nghi m nguyên không ơm.
BƠi toán xác đ nh g(a1, a2, ... , an) đ

c bi t v i tên g i bài toán s ti n

Frobenius (Frobenius coin problem). Frobenius lƠ ng

i nêu ra bƠi toán xác đ nh

s ti n l n nh t không th tr b ng các đ ng ti n có m nh giá a1, a2, ... , an.
Ví d 1.15. (Sylvester, 1884) Cho a, b lƠ hai s nguyên d

ng v i

CLN (a,

Gi i. Gi s N > ab - a - b. T (1.3) suy ra r ng các nghi m c a ph

ng trình

b) = 1. Khi đó g(a, b) = ab - a - b.
ax + by = N có d ng (x, y) = (x0 + bt, y0  at), t  . Gi s t lƠ s nguyên sao cho
0  y0  at  a  1. Khi đó
(x0 + bt)a = N  (y0  at)b > ab - a - b - (a - 1)b = - a,
kéo theo x0 + bt > - 1, ngh a lƠ x0 + bt  0. Suy ra r ng trong tr
ph

ng h p nƠy

ng trình ax + by = N có nghi m nguyên không ơm. Do v y
g(a, b)  ab  a  b.

12

Thang Long University Libraty


Bơy gi ta ch còn ph i ch ra r ng ph

ng trình

ax + by = ab  a  b
không có nghi m nguyên không ơm. Th t v y, n u trái l i thi
ab = a(x + 1) + b(y + 1).
Do

CLN (a, b) = 1 nên ta th y r ng a | (y + 1) vƠ b | (x + 1), đi u nƠy kéo theo

(y + 1)  a vƠ (x + 1)  b. Vì th
ab = a(x + 1) + b(y + 1)  2ab.
Mơu thu n nƠy cho th y r ng
g(a, b)  ab  a  b.
Vì th g(a, b) = ab  a  b.
Nh n xét 1.1. Tr

฀

ng h p n = 3 l n đ u tiên đư đ

c Selmer vƠ Beyer,gi i

quy t tr n v n, b ng cách s d ng thu t toán phơn s liên t c. K t qu c a hai ông
đư đ

c đ n gi n hóa b i Ro dseth vƠ sau đó b i Greenberg.
Nh n xét 1.2. Ch a bi t m t công th c t ng quát nƠo cho n  4. Tuy nhiên, có

m t s c n trên đư đ

c ch ng minh. N m 1942, Brauer đư ch ng minh r ng
g(a1, a2, ... , an) 

n

 d i1

 1 ,
 di


 a i 
i 1

trong đó di = gcd(a1, ... , ai). Erdo vƠ Graham (1972) đư ch ra r ng

a 
g(a1, a2, ... , an)  2an1  n   an
n
vƠ
t2
2t 2
 5t  (n, t) 
,
n 1
n

trong đó
(n, t) =
Bơy gi gi s ph

max

0 a1  a n  t

ng trình

13

g(a1, a2, ... , an).


a1x1 + a2x2 + ... + amxm = n,
trong đó a1, a2, ... , am > 0, có nghi m nguyên không ơm vƠ gi s An lƠ s nghi m
nguyên không ơm (x1, x2, ... , xm) c a ph

ng trình. Ta có

nh lý 1.13. (i) Hàm sinh c a dãy (An)n1 là
f(x) =

1
, |x| < 1,
(1  x a1 )(1  x a m )

ngh a là An b ng h s c a só h ng xn trong khai tri n hàm f thành chu i l y th a.
(ii)

ng th c sau là đúng
An =

1 (n)
f (0).
n!

(1.4)

Ch ng minh. (i) Dùng chu i l y th a, ta có

1
= 1 + x a k + x 2a k + ... , k = 1, 2, ... , m.
ak
1 x
Do đó
f(x) = (1 + x a1 + x 2a1 + ... ) ... (1 + x a m + x 2a m + ... )
= 1 + A1x + ... + Anxn + ...
(ii) L y đ o hƠm c p n c a f t i x = 0, ta nh n đ

c công th c (1.4).

฀

Ví d 1.16. Tìm s c p s nguyên không ơm (x, y) sao cho
x + 2y = n.
Gi i. Theo

nh lý 1.13, s c n tìm b ng
An =

1 (n)

f (0),
n!

trong đó
f(t) =

1
.
(1  t )(1  t 2 )

Ta có

14

Thang Long University Libraty


f(t) =

1
1
1
1
1
1
.

.
+
.

,
2 ( t  1) 2
4 ( t  1) 4 ( t  1)

do đó
f(n)(t) =

1 (1) n (n  1)! 1 (1) n n!
1 (1) n n!
.

.
+
.
.
2 ( t  1) n 2
4 ( t  1) n 1
4 ( t  1) n 1

Nh v y

(n  1)! n! ( 1) n n!
f (0) =
+
+
4
2
4
(n)

vƠ
2n  3  (1) n
1 (n)
An = f (0) =
.
4
n!

฀

1.4. BÀI T P ÁP D NG
1. Ch ng minh các tính ch t sau đơy vƠ cho ví d minh h a:
a) N u a, b 

và d =

b) N u a, b, c 

CLN(a, b)  1 thì

CLN(a/d, b/d) = 1.

sao cho a | bc và a, b nguyên t cùng nhau thì a | c.

c) Cho a, b, c  . Khi đó CLN(a + cb, b) = CLN (a, b).
d) Gi s a, b, c, m, n  . N u a | b vƠ a | c thì a | (mb + nc).
e) N u c, d 
2. Gi i ph

và c = dq + r, v i q, r 

thì CLN (c, d) = CLN (r, d).

ng trình sau:
6x + 10y  15z = 1.

BƠi gi i. L y modulo 3 ta th y y  1 (mod 3). Do đó y = 1 + 3s, s . Ph

ng

trình tr thƠnh
6x  15z = - 9 - 30s,
hay t

ng đ

ng 2x - 5z = - 3 - 10s. Chuy n qua modulo 2 ta đ

t c lƠ z = 1 + 2t, t  , vƠ x = 1 - 5s + 5t. V y nghi m c a ph
(x, y, z) = (1 - 5s + 5t, 1 + 3s, 1 + 2t).

15

c z  1 (mod 2),

ng trình đư cho lƠ
฀


3. Cho ba s nguyên d

2abc - ab - bc - ca lƠ s d

ng a, b, c nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng

ng l n nh t không th bi u di n đ

cd

i d ng xbc +

yca + zab, trong đó x, y, z lƠ các s nguyên vƠ không ơm.
4. Tìm s các b ba (x, y, z) nguyên, không ơm sao cho
x + y + 2z = n.
BƠi gi i. T đ nh lý 1.13 ta nh n th y r ng s c n tìm lƠ
An =
trong đó hƠm sinh f đ

1 (n)
f (0),
n!

c cho b i
f(t) =

1
.
(1  t )(1  t )(1  t 2 )

Ta có
f(t) =

1 1
1 1
1 1
1 1
.
.
.
.
+

+
,
2 ( t  1) 3 4 ( t  1) 2 8 t  1 8 t  1

do đó

1 (1) n (n  2)! 1 (1) n (n  1)!
+ .
f (t) =  .
4 ( t  1) n 3
4 ( t  1) n 2
(n)

1 (1) n n!
1 (1) n n!
 .
+ .
.
8 ( t  1) n 1 8 ( t  1) n 1

Nh v y

(n  2)! (n  1)! n! ( 1) n n!
f (0) =
+
+

8
8
4
4
(n)

vƠ

2(n  1)(n  3)  1  (1) n
1 (n)
An = f (0) =
.
8
n!
5. Tìm s nguyên d

ng n sao cho ph

฀

ng trình

x + 2y + z = n

16

Thang Long University Libraty


có đúng 100 nghi m nguyên không ơm (x, y, z).
BƠi gi i. Dùng k t qu c a bƠi t p 4, ta th y r ng s b ba các s nguyên
không ơm (x, y, z) th a mưn ph

ng trình x + 2y + z = n lƠ

2(n  1)(n  3)  1  (1) n
1 (n)
.
An = f (0) =
8
n!
N u n = 2k thì An = (k+1)2. Suy ra k = 9 vƠ n = 18.
N u n = 2k + 1 thì An = (k + 1)(k + 2) vƠ đ ý r ng ph

ng trình (k + 1)(k + 2)

= 100 không có nghi m nguyên.

฀

6. Cho a, b, c, d lƠ các s nguyên sao cho v i b t k hai s nguyên m vƠ n luôn
t n t i hai s nguyên x vƠ y th a mưn ax + by = m vƠ cx + dy = n. Ch ng minh

r ng ad - bc =  1.
7. Cho n lƠ s nguyên l n h n 3 vƠ gi s X lƠ t p g m 3n2 ph n t thu c t p
{1, 2, ... , n3}. Ch ng minh r ng t n t i 9 s khác nhau a1, a2, ... , a9 thu c X sao cho
h ph

ng trình tuy n tính thu n nh t
a1x + a2y + a3z = 0,
a4x + a5y + a6z = 0,
a7x + a8y + a9z = 0,

có nghi m nguyên khác 0.
BƠi gi i.

ánh s các ph n t thu c X theo th t t ng d n x1 < x2 < ... < x3n2

vƠ đ t
X1 = {x1, ... , xn2}, X2 = {xn2+1, ... , x2n2}, X3 = {x2n2+1, ... , x3n2}.
Ta xác đ nh hƠm f : X1X2X3  X  X nh sau:
f(a, b, c) = (b - a, c - b).
Mi n xác đ nh c a f g m n2n2n2 = n6 ph n t . M t khác, mi n giá tr c a f lƠ
m t t p con c a X  X g m các c p có t ng không quá n3. T p nƠy có s ph n t lƠ

17


n 3 (n 3  1 n 6
. k =
<
.
2

2
k 1
n 3 1

Theo nguyên lý chu ng b cơu, ba b 3 (ai, bi, ci) (i = 1, 2, 3) nƠo đó t

ng

ng v i cùng m t c p trong X  X, trong đó x = b1 - c1, y = c1 - a1, z = a1 - b1 lƠ m t
nghi m nguyên khác không.

ý r ng ai không th b ng bj do X1 vƠ X2 lƠ hai t p

r i nhau, v.v ... vƠ n u a1 = a2 thì hai b 3 (a1, b1, c1) vƠ (a2, b2, c2) trung nhau, ta
g p mơu thu n. V y 9 s trong ba b 3 nói trên lƠ khác nhau.
8. Cho h ph

฀

ng trình tuy n tính thu n nh t
a11x1 + a12x2 + ... + a1qxq = 0,
a21x1 + a22x2 + ... + a2qxq = 0,








ap1x1 + ap2x2 + ... + apqxq = 0,
trong đó q = 2p vƠ aij  {- 1, 0, 1}. Ch ng minh r ng t n t i nghi m {x1, x2, ... , xq}
c a h v i các tính ch t sau:
(a) xj nguyên v i m i j = 1, 2, ... , q;
(b) t n t i j sao cho xj  0;
Tóm l i, ch

ng nƠy đư trình bƠy l i m t s khái ni m c b n c a lý thuy t s :

c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s ,

c chung vƠ

c chung l n nh t c a

các s nguyên, thu t toán Euclid, bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph

ng trình

iôph ng tuy n tính, đi u ki n t n t i nghi m nguyên vƠ xét bƠi toán liên quan t i
ph

ng trình iôph ng tuy n tính. Cu i ch

ng nêu m t s bƠi t p áp d ng.

18

Thang Long University Libraty

Ch

PH
Ch

ng 2

NG TRỊNH IÔPH NG B C HAI

ng nƠy đ c p t i b ba Pytago, b b n Pytago cùng v i các tính ch t c a

chúng vƠ m t s d ng ph

ng trình

iôph ng b c hai c a hai, ba hay b n bi n s .

Trình bƠy tính ch t nghi m c a m t s ph

ng trình iôph ng b c hai khác vƠ các

ví d , Ti p theo, xét nghi m nguyên không ơm c a m t s bƠi toán có liên quan.
Cu i ch

ng nêu m t s cơu h i vƠ bƠi t p áp d ng, liên quan t i ph

iôph ng b c hai. N i dung c a ch

ng đ

ng trình

c tham kh o ch y u t tƠi li u [4] vƠ

[5].
2.1. B

BA PYTAGO VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

M t trong nh ng ph

ng trình

iôph ng n i ti ng nh t lƠ ph

ng trình

Pytago
x2 + y2 = z2,
Ph

(2.1)

ng trình nƠy liên quan t i các tam giác vuông có đ dƠi ba c nh lƠ các s

nguyên, đư đ

c Pytago nghiên c u chi ti t vƠ đư đ

c bi t đ n ngay t th i c x a

Babylon.
Tr

c h t đ ý lƠ n u b ba s nguyên (x0, y0, z0) th a mưn ph

thì m i b ba s có d ng (kx0, ky0, kz0), k 

c ng th a mưn (2.1). ó lƠ ly do cho

phép ta ch c n tìm nghi m (x, y, z) c a (2.1) v i gcd(x, y, z) = 1.
đ

ng trình (2.1)
i u nƠy t

ng

ng v i x, y, z t ng đôi nguyên t cùng nhau.
M t nghi m (x0, y0, z0) c a (2.1) v i x0, y0, z0 t ng đôi nguyên t cùng nhau

g i lƠ m t nghi m nguyên th y (primitive solution). Rõ rƠng lƠ trong m t nghi m
nguyên th y có đúng m t s lƠ ch n x0 ho c y0.

19


nh lý 2.1. M t nghi m nguyên d

ng nguyên th y b t k c a ph

ng trình

(2.1) (x, y, z) v i y ch n có d ng
x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2,
trong đó m, n là hai s nguyên d

(2.2)

ng, nguyên t cùng nhau v i m > n và m + n l .

Ch ng minh. Các s nguyên x vƠ y không th cùng lƠ s l , b i vì
z2 = x2 + y2  2 (mod 4),
ta g p mơu thu n. Do đó có đúng m t trong x vƠ y lƠ s ch n.
ng nh t th c
(m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2
cho th y r ng b ba s cho

(2.2) th c s lƠ m t nghi m c a ph

ng trình (2.1) vƠ

y lƠ s ch n. Do x ph i lƠ s l nên không m t t ng quát ta có th gi thi t r ng m
lƠ s l vƠ n lƠ s ch n.
H n n a, n u

CLN (m2 - n2, 2mn, m2 + n2) = d  2 thì d lƠ

cc a

2m2 = (m2 + n2) + (m2  n2)
vƠ d lƠ

cc a
2n2 = (m2 + n2)  (m2  n2).

Do m vƠ n nguyên t cùng nhau nên ta suy ra d = 2. Vì th m2 + n2 lƠ s ch n,
trái v i m l vƠ n ch n. T đó suy ra d = 1 vƠ vì th nghi m (2.2) lƠ nguyên th y.
Ng

c l i, gi s (x, y, z) lƠ m t nghi m nguyên th y c a (2.1) v i y = 2a.

Khi đó x vƠ z lƠ hai s l vƠ do đó các s nguyên z + x vƠ z - x lƠ các s ch n. Gi
s z + x = 2b, z - x = 2c. Ta có th gi thi t r ng b vƠ c nguyên t cùng nhau, b i vì
z vƠ x s có

c chung khác 1. M t m t, 4a2 = y2 = z2 - x2 = (z + x)(z - c) = 4bc, t c

lƠ a2 = bc. Do b vƠ c nguyên t cùng nhau nên suy ra r ng b = m2 vƠ c = n2 v i m vƠ
n lƠ hai s nguyên d

ng nƠo đó. Ta nh n th y r ng m + n lƠ s l vƠ

x = b  c = m2  n2, y = 2mn, z = b + c = m2 + n2.

฀

20

Thang Long University Libraty


Ba s (x, y, z) d ng (2.2) g i lƠ b ba nguyên th y.
nghi m nguyên th y c a ph

li t kê t t c các

ng trình (2.1), ta gán các giá tr 2, 3, 4, ... cho m vƠ

sau đó v i m i giá tr nƠy ta l y các s nguyên n mƠ lƠ nguyên t cùng nhau v i m,
m > n vƠ m + n l .
B ng sau đơy lƠ 20 nghi m nguyên th y đ u tiên, s p x p theo qui t c nói trên.
C t cu i cùng m i b ng lƠ di n tích tam giác t
m
2
3
4
4
5
5
6
6
7
7

n
1
2
1

3
2
4
1
5
2
4

x
3
5
15
7
21
9
35
11
45
33

y
4
12
8
24
20
40
12
60
28

56

z
5
13
17
25
29
41
37
61
53
65

dt
6
30
60
84
210
180
210
330
630
924

ng ng (xy/2).

m
7

8
8
8
8
9
9
9
10
10

n
6
1
3
5
7
2
4
8
1
3

x
13
63
55
39
15
77
65

17
99
91

y Z dt
84 85 546
16 65 504
48 73 1320
80 89 1560
112 113 840
36 85 1386
72 97 2340
144 145 1224
20 101 990
60 109 2730

H qu 2.2. Nghi m nguyên t ng quát c a (2.1) có d ng
x = k(m2 - n2), y = 2kmn, z = k(m2 + n2),
trong đó k, m, n 

(2.3)

(m, n nguyên t cùng nhau, m > n và m + n l ).

 M t m r ng tr c ti p c a (2.1) lƠ ph

ng trình b c hai v i b n n s :

x2 + y2 + z2 = t2.
Nghi m d

(2.4)

ng (x, y, z, t) c a (2.4) bi u th đ dƠi các c nh vƠ đ

ng chéo c a

kh i h p ch nh t. Ta mu n tìm các tình hu ng mƠ m i đ dƠi đ u lƠ s nguyên.
nh lý 2.2. M i nghi m nguyên d

ng (x, y, z, t) c a ph

ng trình (2.4) v i

y, z là s ch n có d ng
l2  m 2  n 2
l2  m2  n 2
, y = 2l, z = 2m, t =
,
x=
n
n

21

(2.5)


trong đó l, m là các s nguyên d

ng tùy ý và n là

l 2  m 2 . M i nghi m nh n đ

c đúng theo cách này.

Ch ng minh.

ng nh t th c
2

 l2  m2  n 2 

 + (2l)2 + (2m)2 =
n



cho th y r ng b n s
Ng

c tùy ý c a l2 + m2, nh h n

(2.5) lƠ nghi m c a ph

 l2  m2  n 2 


n




2

ng trình (2.4) vƠ y, z lƠ s ch n.

c l i, chú ý lƠ ít nh t hai trong ba s nguyên x, y, z ph i lƠ s ch n, b i vì

trasim l i thì t2  2, 3 (mod 4), mơu thu n. Gi s y = 2l, z = 2m v i l vƠ m lƠ các s
nguyên d

ng nƠo đó.

t t  x = u, ta có

x2 + 4l2 + 4m2 = (x + u)2 hay u2 = 4(l2 + m2) - 2ux.
Do đó u2 lƠ s ch n, T đó u = 2n v i n nguyên d

ng nƠo đó. T đó

l2  m 2  n 2
l2  m2  n 2
vƠ t = x + u = x + 2n =
,
x=
n
n

trong đó l, m, n lƠ các s nguyên d

ng vƠ n lƠ

c c a l2 + m2 nh h n

l2  m2 .

D ki m tra l i r ng m i nghi m (x, y, z, t) c a (2.4) v i y vƠ z lƠ s ch n
nhơn đ

c chính xác t công th c (2.5). Th t v y, theo (2.5) ta có
l=

y
z
tx
,m= ,n=
.
2
2
2

Do đó các s nguyên l, m, n đ

c xác đ nh duy nh t theo (x, y, z, t).

฀

nh lý 2.2 không nh ng kh ng đ nh v s t n t i nghi m c a ph

ng trình

(2.4) mƠ còn đ a ra ph

ng pháp đ tìm ra các nghi m nƠy. D dƠng th y r ng đ

lo i b các nghi m v i các n ng

c, ta có th

v t b các c p (l, m) v i j < m vƠ

ch xét nh ng s n mƠ x lƠ s l . Vì th ta c ng lo i b các nghi m mƠ t t c x, y, z,
t đ u lƠ s ch n.
Sau đơy li t kê 10 nghi m đ u nh n đ

c theo cách nƠy.

22

Thang Long University Libraty


l

m l2 + m2 N

x

y

z

t

1

1

2

1

1

2

2

3

2

2

8

1

7

4

4

9

3

1

10

1

9

6

2 11

3

1

10

2

3

6

2

3

3

18

1 17 6

6 19

3

3

18

2

7

6

6 11

3

3

18

3

3

6

6

4

2

20

1 19 8

4 21

4

2

20

4

4

4

4

32

1 31 8

1

8

7

9

9

8 33

Nh n xét 2.1. (i) M t cách quen bi t đ t o ra "b t Pytago" lƠ
x = l2 + m2  n2, y = 2lm, z = 2mn, t = l2 + m2 + n2,
trong đó l, m, n lƠ các s nguyên d
c các b t đ

ng. Ng

i ta c ng đư bi t r ng không ph i t t

c t o ra theo cách nƠy. Ch ng h n, (3, 36, 8, 37) lƠ m t ngo i l .

M t khác, h nghi m nƠy hoƠn toƠn giông v i h nghi m c a (2.1).
(ii) Các công th c sau t o ra t t c các b t Pytago các s nguyên:
x = m2 + n2 - p2 - q2,
y = 2(mp + nq),
z = 2(np - mq),
t = m2 + n2 + p2 + q2,

23


trong đó m, n, p, q lƠ các s nguyên tùy ý. Ch ng minh c n s d ng các s nguyên
Gauss (v

t ngoƠi ph m vi lu n v n).

(iii) Ph

ng trình
x 12 + x 22 + ... + x 2k = x k2 1 ,

(2.6)

lƠ s m r ng t nhiên c a (2.1) vƠ (2.4). T góc đ hình h c, nghi m (x1, x2, ... ,
xk, xk+1) bi u th kích th
đ

ng chéo t

c x1, x2, ... , xk c a siêu h p trong

ng ng. T t c các nghi m nguyên d

CLN(x1, x2, ... , xk) = 1 c a ph

k

vƠ đ dƠi xk+1 c a

ng (x1, x2, ... , xk, xk+1) v i

ng trình (2.6) có d ng:





1 2
m1  m 22    m 2k 1  m 2k ,
q
1
x2 = m 1 m k ,
q

x1 =



xk-1 =
xk =

1
m k 1m k ,
q





1 2
m1  m 22    m k2 1  m 2k ,
q

đơy m1, m2, ... , mk lƠ các s nguyên tùy ý vƠ q > 0 đ

c ch n sao cho

CLN (x1, x2, ... , xk) = 1.
(iv) V i k = 5 các đ i s bao g m spin trong v t lý t o ra các b 6 s Pytago:
x1 = m2 - n2,
x2 = 2(n0m1 - n1m0 + m3n2 - m2n3),
x3 = 2(n0m2 - n2m0 + m1n3 - m3n1),
x4 = 2(n0m3 - n3m0 + m2n1 - m1n2),
x5 = 2mn,
x6 = m2 + n2,
trong đó m, n, m0, m1, m2, m3, n0, n1, n2, n3 lƠ các s nguyên sao cho

24

Thang Long University Libraty


mn = m0n0 + m1n1 + m2n2 + m3n3.
Ví d
ph

2.1. (Ph

ng trình Pytago "ơm") Tìm nghi m nguyên d

ng trình
x2 + y2 = z2.
Gi i. Ph

ng trình t

ng đ

(2.7)

ng lƠ

 xy 
x +y =  
 z 
2

2

2

i u nƠy có ngh a lƠ z | xy vƠ x2 + y2 lƠ m t s chính ph
Khi đó x2 + y2 = t2 v i s nguyên d

ng t nƠo đó vƠ ph
t=

Gi s d =
vƠ

ng c a

ng (perfect square).

ng trình tr thƠnh

xy
.
z

(2.8)

CLN(x, y, t). Khi đó x = ad, y = bd, t = cd, trong đó a, b, c 

CLN (a, b, c) = 1. Ph

+

ng trình (2.8) rút g n thƠnh
z=

abd
.
c

(2.9)

T cách ch n t suy ra r ng
a2 + b2 = c2,

(2.10)

do đó a, b, c t ng đôi m t nguyên t cùng nhau. Khi đó s d ng (2.7) ta suy ra r ng
c | d, t c d = kc, k 

+.

Ta nh n đ

c

x = ad = kac, y = bd = kbc, t = cd = kc2, z = kab.
Chú ý t i (2.10) vƠ công th c (2.2), ta có a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2,
trong đó các s nguyên d
Nghi m c a ph

ng m vƠ n th a mưn các đi u ki n c a

ng trình (2.7) đ

c cho b i công th c

x = k(m4 - n4), y = 2kmn(m2 + n2), z = 2kmn(m2  n2),
trong đó k, m, n 

+

vƠ m > n.

Nh n xét 2.1. N u a, b, c lƠ các s nguyên d

25

ng th a mưn

nh lý 2.1.