Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC
Chun ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - Năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mở Đầu

Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ-ợc đánh giá là một trong
những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m-ơi. Đ-ợc hình thành từ
những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công
trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học.
Vào năm 1925, Nevanlinna đà phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất
phát điểm là công thøc nỉi tiÕng Jensen. Lý thut cã néi dung chđ yếu là định lý
cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết.
Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng:
Ch-ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna.
Ch-ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph-ơng trình
vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi
phân phức của tác giả Ping Li.
Kết quả của luận văn:
Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hµm ( víi hµm nhá cđa f
z

coi nh- lµ hƯ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p1, p2 lµ 2 hµm nhá cđa e vµ

1 , 2 là 2 hằng số khác không. Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị của

Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph-ơng trình vi phân phi
tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc:

f n  z   P  f   p1e1z  p2e2 z .
Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS TSKH Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến

S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên

1




Thầy, Thầy không chỉ h-ớng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông
cảm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học
tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Toán học
Việt Nam đà giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học và
luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ và
Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình,
bạn bè đà quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
L-u Thị Minh Tâm

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

Ch-ơng I
Cơ sở lý thuyết Nevanlinna

1.1. Hàm phân hình
1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi là điểm bất th-ờng cô lập của hàm f(z)
nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó.
1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ-ợc gọi là
f z .
cực điểm của f(z) nếu lim
z a

1.1.3. Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức

đ-ợc

gọi là hàm nguyên.
Nh- vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất th-ờng hữu hạn.
1.1.4. Định nghĩa: Hàm f(z)

đ-ợc gọi là hàm phân hình trong miền

D nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất th-ờng là
cực điểm.
Nếu D =

thì ta nói f(z) phân hình trên

, hay đơn giản, f(z) là hàm

phân hình.
*Nhận xét: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm
z  D, f  z  cã thĨ biĨu diƠn đ-ợc d-ới dạng th-ơng của hai hàm chỉnh hình.

1.1.5. Định nghĩa: Điểm z0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) nếu trong
lân cận của z0 , hàm f  z  

1

 z  z0 

m

h  z , trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong

lân cËn cđa z0 vµ h  z0   0 .
1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f(z) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f(z) và f(z) cũng có các cực điểm tại những ®iĨm nhSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3




nhau. Đồng thời, nếu z0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z0 là cực điểm cấp
m+1 của hàm f(z).
*Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ-ợc các cực điểm trên D.
1.1.7. Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong , điều kiện cần và đủ để

f(z) không có các điểm bất th-ờng khác ngoài cực điểm là f(z) là hàm hữu tỷ.
1.2. Định lý cơ bản thứ nhất
1.2.1. Công thức Poisson-Jensen
f z 0 là một hàm phân hình trong hình tròn

Định lý: Gi¶ sư

 z  R víi 0  R   . Gi¶ sư

a    1, 2,...M  là các không điểm, mỗi không điểm

đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó, bv(v = 1,2,N) là các cực điểm của f trong
hình tròn đó, mỗi cực điểm đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó. Khi ®ã nÕu
z  r.ei ,  0  r  R  , f  z   0; f  z    th×:

1
log f  z  
2

2

 log f  Re 
0

M

R  z  a 

 1

R 2  a z

  log

i

R2  r 2
d
R 2  2 Rrcos      r 2

N

R  z  bv 

v 1

R 2  bv z

log

(1.1)

.

Chứng minh
*Tr-ờng hợp 1. Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong

z R .

Khi đó ta cần chứng minh:

1
log f z 
2

2

 log f  Re 
0

i

R2  r 2
d .
R 2  2 Rrcos      r 2

(1.1a)

+ Tr-ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng
minh:
S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4




1
log f  0  
2

2


 log f  Re d.
i

0

Do f(z) không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm log f(z)
chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:

1
log f 0  
2 i

2


 log f  Re  d.

dz
1
log
f
z




z 2

z R

i

0

Lấy phần thực ta thu đ-ợc kết quả tại z = 0.
1
log f  0  
2

2


 log f  Re  d.
i

0

+ Víi z tïy ý, chóng ta xét ánh xạ bảo giác biến R thành   1 vµ biÕn
  z thµnh   0 . Đó là ánh xạ:



R z
R 2  z

.

Nh- vËy   R t-¬ng øng víi   1 . Trªn   R , ta cã:

log   log

Nªn

R   z 
R  z
2



d

R

2

z

d
zd

 2
 2
   z R  z
R  z



Do log f(z) là chỉnh hình trong

log f z 



 log R  log  z   log R 2  z .
2

 d

   z 

.

(1*)

z R , theo định lý Cauchy ta có:

1
d
log f  
.

2 i   R
 z

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5

(2*)




Mặt khác

1
zd
1
d
log
f


log
f

.




R2
2 i R
R 2 z 2 i   R

z
Do z  z  R suy ra

R , nên hàm log f

R2
R2
R nghĩa là điểm
z
z

(3*)

nằm ngoài vòng tròn

1



R 2 là hàm chỉnh hình. Nh- vậy tích phân trong
z

vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta cã:

log f  z  

R

2

z

1

log f   2
2 i   R
R  z



2



 d

  z 

.

(1.2)

i
i
H¬n nữa, trên R , R.e , d  iRe d vµ

R

2

   z   R  R  re     Re
i  

 z

i

 rei  

 Rei R 2  2 Rrcos      r 2 .
KÕt hợp với (1.2) ta thu đ-ợc:
2

log f Re  R

1
log f  z  
2

R

i

2

0

2

 r 2  d

 2 Rrcos      r 2

.

LÊy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta đ-ợc:

1
log f  z  
2

2

 log f  Re  R

R

i

0

2

2

 r 2  d

 2 Rrcos    r 2

.

Đây là điều cần phải chứng minh.
S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6



(1.3)


* Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong

z R ,

nh-ng có hữu hạn không điểm

và cực điểm cj trên biên

R . Víi   0 nhá tïy ý, ta ®Ỉt:





D   z  R  U j   c j   .



Gäi  D lµ chu tuyến của D và

là các cung lõm vào trên D bao gồm

những phần trên đ-ờng tròn R cùng với các phần lõm vào của đ-ờng tròn

nhỏ bán kính



và tâm là các không điểm hoặc cực điểm f(z) trên R . Giả



i
sử z re trong miền z R , tồn tại



đủ nhỏ sao cho

R2  z

1
log f  z  
log f   2
2 i D
R  z



2

z  D . Khi ®ã:

 d

z

(1.2a)

Giả sử z0 là một không ®iĨm hay cùc ®iĨm cđa f(z) trªn   R và
cung tròn ứng với z0 trên D . Khi ®ã trªn



0 ,

f  z   c  z  z0   ...
m

trong ®ã m > 0 nÕu z0 là không điểm và m < 0 nếu z0 là cực điểm. Suy ra

1

log f z O  log  khi   0 .


Nh- vËy:

1

 2 



1

 O  log  .M . ,



trong ®ã M là một đại l-ợng bị chặn. Ta thấy
S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7



lµ


1

O  log  .M .  0 khi  0 .


Cho

0

trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích

phân trong vế phải của (1.3), tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Nh- vậy ta cũng thu
đ-ợc công thức (1.3) trong tr-ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1).
*Tr-ờng hợp 3. Bây giờ ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các

không điểm và các cực điểm trong z R đặt:

f

1

R  a 

M




N

R   bv 

v 1

R 2  bv

.

.

(1.4)

R 2 a

1

Hiển nhiên không có không điểm hoặc cực điểm trong z R . Nhvậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm . Hơn thế nữa,
i
nếu   Re th× :

R   a 
R  a
2



R   a 



   a



 1,

R   bv 

vµ

R  bv
2



R   bv 



   bv



 1,

f       .

nªn
VËy

1
log   z  
2
1

2

2

2

 log   Re  R
0

 log f  Re  R

0

R

i

R

i

2

2

2

2

 r 2  d

 2 Rrcos      r 2

 r 2  d

 2 Rrcos     r 2

.

(1.5)

Mặt khác:
S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên

8




M

R  z  a 

 1

R2  a z

log   z   log f  z   log 
M

R  z  a 

 1

R2  a z

 log f  z    log

N

R  z  bv 

v 1

R 2  bv z

 log 

N

R  z  bv 

v 1

R 2  bv z

  log

.

Thay log   z  vµo (1.5) ta thu đ-ợc kết quả.
*ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của
modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong z R , thì
ta có thể tìm đ-ợc giá trị của modulus f(z) bên trong đĩa z R .
Khi z = 0 ta đ-ợc hệ quả quan trọng hay đ-ợc sử dụng về sau:
* Hệ quả: Trong những giả thiết của định lý, đồng thời nếu

f z 0,

thì khi z = 0 trong định lý (1.2.1) ta thu đ-ợc công thức Jensen.

1
log f 0  
2

2

 log f  Re

i

M

a

 1

R

 d   log

0

N

bv

v 1

R

  log

.

(1.6)

Khi f  z   0, công thức trên đây chỉ cần thay đổi chót Ýt. ThËt vËy, nÕu

f  z   0, hàm f(z) có khai triển tại lân cận z = 0 d¹ng:

f  z   c z x  ...,    Z 
XÐt hµm

R f  z 
  z 
ta thÊy
z

  0   0,  , ®ång thêi khi

  Rei ,     f   . Tõ ®ã ta cã:
1
log c 
2

2

M

a

 1

R

i
 log f  Re  d   log
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

N

bv

v 1

R

  log

  log R.




Nhận xét:
Giả sử f(z) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của

hàm f(z) tại ®iĨm z0  G , ký hiƯu

g  z 

o r dz0 ,f là số nguyên m sao cho hàm

f z

z z0

m

chỉnh hình và khác 0 t¹i z0. Nh- vËy:

ord z0 f  m > 0 nếu z0 là không điểm cấp m , bằng 0 nếu f(z) chỉnh hình,
khác 0 tại z0, bằng m nếu z0 là cực điểm cấp m.
Với ký hiệu trên công thức Poisson-Jensen có thể viết d-ới dạng:
1
log f z  
2

2

 log f  Re

i

.

0

R2  z

2

Rei  z

d    ord f  .log
2

Rz  
R2   z

,

trong ®ã tỉng lÊy theo mäi  trong hình tròn R .
1.2.2. Hàm đặc tr-ng
1.2.2.1. Một số khái niệm
Phần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc tr-ng và các
tính chất của chúng. Tr-ớc hết ta định nghĩa:
log+x = max{logx,0}.
Rõ ràng nÕu x > 0 th× logx = log+x – log+(1/x).
Nh- vậy:

1
2

2

1

log
f
Re
d




0
2
i

2

1
log
f
Re
d




0
2
i



2

log
0

1
d ,
f Rei

ta đặt:

1
m R, f  
2

2

 log



f  Rei  d .

(1.7)

0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10

Hàm m(R,f) đ-ợc gọi là hàm xấp xỉ.
Gọi r1,r2,.,rN là các môdun của các cực điểm b1,b2,bN của f(z) trong

z  R.
Khi ®ã
R

N

N
R
R
R
log

log   log dn  t , f ,


bv v 1
rv 0
t
v 1

(1.8)

trong đó n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong z t , cực điểm bậc q

đ-ợc đếm q lần.
Thật vậy, tr-ớc hết bằng ph-ơng pháp tích phân từng phần ta có:
R

R

R

R

R
R
R
dt
0 log t dn  t , f   log t .n  t , f  0  0 n t , f  d log t 0 n t , f t ,
mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử 0 r1 r2  ...rN  R .
Khi ®ã:
r

R

r

R

dt 1
dt 2
dt
dt
n

t
,
f

n
t
,
f

n
t
,
f

...

n
t
,
f
,








0

r
t 0
t r1
t
t
N
ta thÊy r»ng:

0, t  r1
1, r  t  r
2
 1
n  t , f   2, r2  t  r3
...

 N , rN  t  R
nªn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11



(a)


r

R

r

R

dt 1
dt 2
dt
dt
0 n  t , f  t  0 n  t , f  t  r n  t , f  t  ...  r n t , f  t
1
N
r1

r

R

dt 2 dt
dt
  0.   1.  ...   N .
t r1 t
t
0
rN
 log t r2  2 log t r3  ...  N log t r
r

r

1

R

2

N

 log r2  log r1  2  log r3  log r2   ...  N  log R  log rN 
(b)

 N log R   log r1  log r2  ...  log rN 
  log R  log r1    log R  log r2   ...   log R  log rN 
N

  log
v 1

R
;
rv

tõ (a) vµ (b) ta đ-ợc (1.8).
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm N(R,f). Giả sử n(t,f) là số cực điểm của hàm
f(z) trong hình tròn z t ; r1,r2, rN là môdun của các cực điểm b1,b2,,bN
( mỗi cực điểm đ-ợc tính một số lần bằng bậc của nó). Khi đó ta cã:
R

N

N
R
R
R
log
  log   log dn  t , f .

bv v 1
rv 0
t
v 1

Hàm đếm đ-ợc định nghÜa bëi c«ng thøc sau:
N

R

R
dt
N  R, f    log
  n t, f  .
bv 0
t
v 1
R
 1 N
 1  dt
R
N  R,    log
  n  t,  .

a 0  f t
f 1

(1.9)

(1.10)

Với cách định nghĩa này công thức Jensen (1.6) sẽ đ-ợc viết lại nh- sau:

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12




 1
 1
log f  0   m  R, f   m  R,   N  R, f   N  R,  .
 f 
 f 
 1
 1
m  R, f   N  R, f   m  R,   N  R,   log f  0 .
f
f

Hoặc

Bây giờ ta đặt:

T  R, f   m  R , f   N  R , f  .

(1.11)

Khi ®ã công thức Jensen đ-ợc viết lại một cách rất đơn giản là:

1
T R, f T R,   log f  0  .
 f

(1.12)

Giá trị m R, f là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của log f z trên z R
trong đó f là lớn. Giá trÞ N  R, f  cã quan hƯ víi cực điểm. Hàm T R, f đ-ợc
gọi là hàm đặc tr-ng Nevanlinna của hàm phân hình f z  , cã vai trß quan träng
chđ u trong lý thuyết của hàm phân hình.
1.2.2.2. Một số tính chất của hàm đặc tr-ng
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số tính chất đơn giản của hàm

m R, f  , N  R, f  , T  R, f . Chú ý a1, ,ap là các số phức thì

log



p

a log
v 1

và

log

p

p

v



v 1



av ,



p

 av  log p max av   log av  log p.
v 1

v 1,..., p

v 1

¸p dơng c¸c bất đẳng thức trên cho hàm phân hình f1 z  ,..., f p  z  vµ sư
dơng (1.7) chúng ta thu đ-ợc các bất đẳng thức sau:
S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13




 p
 p
1) m  r ,  f v  z     m  r , f v  z    log p.
 v 1
 v 1
2)

 p
 p
m  r ,  f v  z     m  r , f v  z  .
 v 1
 v 1

3)

 p
 p
N  r ,  f v  z     N  r , f v  z  .
 v 1
 v 1

4)

 p
 p
N  r ,  f v  z     N  r , f v  z  .
 v 1
 v 1

Sư dơng (1.11) ta thu đ-ợc
5)

p
p
T r , f v  z     T  r , f v  z    log p.
 v 1
 v 1

6)

 p
 p
T  r ,  f v  z     T  r , f v  z  .
 v 1
 v 1

Trong tr-ờng hợp đặc biệt khi p 2, f1  z   f  z  , f 2  z   a = constant, ta

suy ra T  r , f  a   T  r , f   log a  log 2 . Và từ đó chúng ta có thể thay

thế f + a, f bëi f, f ’a vµ a bëi - a, suy ra:

T  r , f   T  r , f  a   log a log 2.

(1.13)

1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna
1.2.3.1 .Định lý
Giả sử f là hàm phân hình, a là một số phức tùy ý, khi ®ã ta cã:



1 
1 
m  R,

N
R
,


  T  R, f   log f  0   a    a, R  ,
 f a
 f a 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14

  a, R   log  a  log 2.

trong đó:

Ta th-ờng dùng định lý cơ bản thứ nhÊt d-íi d¹ng:



1 
1 
m  R,
  N  R,
  T  R, f   O 1 ,
f

a
f

a




trong đó O(1) là đại l-ợng giới nội khi r   .
Chøng minh:
Theo (1.11) vµ (1.12) ta cã:





1 
1 
1 
m  R,

N
R
,

T
R
,




  T  R, f  a   log f  0   a .
 f a
 f a
 f a 
Tõ (1.13) ta suy ra:

T  R, f  a   T  R , f     a , R  .


Víi   a, R   log a  log 2 . Tõ ®ã ta cã:



1 

1 
m  R,
  N  R,
  T  R, f   log f  0   a    a, R  .
f

a
f

a





Víi   a, R   log a  log 2 . Định lý đ-ợc chứng minh xong.

*ý nghĩa:
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna, ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ

1
nhất. Hàm đếm N R,
đ-ợc cho bëi c«ng thøc:
 f a


1  M
R
N  R,


log

,
a
f a 1
trong đó

a là các nghiệm của ph-ơng trình

f z a trong hình tròn

z R.
S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên

15




2


1  1
m  R,

 f  a  2

Hµm xÊp xØ:



 log
0

1

f  Rei  a 

d .

Nh- vËy, nếu f nhận cng nhiều giá trị gần a ( tức l f Rei a nhỏ, thì
hàm m càng lớn. Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm
đo độ lớn của tập nghiệm phương trình f z a v độ lớn tập hợp tại đó f(z)
nhận giá trị gần bằng a. Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản
có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l-ợng giới nội). Vì thế, định
lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) nhận mỗi giá trị a ( và giá
trị gần a ) một số lần như nhau. Đây l một tương tự của định lý cơ bn của
đại số. Hàm đặc tr-ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh- đặc tr-ng
cho cấp tăng của một hm phân hình.
Nhận xét:
Nếu hàm f cố định, ta có thể viết


1 



1 

m  R, a  , N  R, a  , n  R, a  , T R lần l-ợt

1

thay cho m R,
, N  R,
 , n  R,
 , T R, f nếu a là hữu hạn và
f

a
f

a
f

a


 


m  R,   , N  R,   , n  R,   thay cho m  R, f  , N  R, f  , n  R, f  .
NÕu chóng ta cho R biến thiên thì định lý cơ bản thứ nhất có thể đ-ợc viết
d-ới dạng nh- sau:

m R, a   N  R, a   T R O 1 .

Với mỗi a là hữu hạn hay vô hạn. Số hạng m(R,a) dần tới trung bình nhỏ
nhất có thể đ-ợc của f a trên vòng tròn

z R , số hạng N(R,a) dần đến số

nghiệm của ph-ơng trình f z a trong z R . Với mỗi giá trị của a, tổng của
hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a.
S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16




1.2.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xét hàm hữu tû

z  ...  a
p

f  z  c

p

, trong ®ã

z  ...  b
q

c  0.

q

Gi¶ sư p > q. Khi ®ã f  z    khi z , nh- vậy khi a hữu hạn m(r,a) = 0
với mọi r > r0 nào đó. Ph-ơng tr×nh f(z) = a cã p nghiƯm sao cho
n(t,a) = p(t>t0), nh- vËy:
r

N  r, a    n t, a 
a

dt
 p log r  O 1 khi
t

r,

Do ®ã, khi r   ,

T  r , f   p log r  O 1 ,
vµ

N  r , a   p log r  O 1 , m  r, a   O 1 , víi a   .

NÕu p < q,

T  r , f   q log r  O 1 ,

N  r , a   q log r  O 1 ,

m  r , a   O 1 , víi

a  0.

NÕu p = q, N  r , f   q log r  O 1 ,

N  r , a   q log r  O 1 ,

m  r , a   O 1 ,

ac.

víi

Nh- vËy, trong mäi tr-êng hỵp

T  r , f   d log r  O 1 ,
N  r , a   d log r  O 1 ,
trong ®ã

m  r , a   O 1 ,

víi

a  f  ,

d = max(p, q).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

Trong tr-ờng hợp này, m(r, a) là bị chặn khi r ngoại trừ một giá trị
của a là

f . Nếu ph-ơng trình

f(z) = a có nghiƯm béi  t¹i  víi

0    d , th×

m  r , a    log r  O 1 ,

N  r , a    d  a  log r  O 1 .

VÝ dơ 2: XÐt hµm f  z   e  e
z

r  cos  i sin  

   log

log f  z   log f re




i



i

, víi z  re . Khi ®ã

r cos  ir sin 

e



r cos

 log e

,

log er cos , cos   0

,
0, cos   0



r cos

log
e
,






2
2

,
0,     3
 2
2




r
cos

,





2
2

=
.

0,     3
 2
2
1
m f , a 
2

Tõ ®ã:

2

 log




 
i

f re

0

1
d 
2

2

r

 r cos d .



2

Do hàm e không có không điểm trong z r nên N(r, f) = 0,
z

nh- vËy, T  r , f   m  r ,    N  r ,   

r



.

Do ®ã

T  r, f  

VÝ dô 3: XÐt P  z   az  ... ap , là một đa thức và f  z   e
p

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18

r



P z 

.

. Khi ®ã