Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản bằng phương pháp hình học

B
TR

GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O
NGă

I H CăTH NGăLONG

.......................................................

NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă

CH NGăMINHăMỌTăSỌăBÂTă
C ăBANăB NGăPH

NGăTH Că

NGăPHAPăHINHăHOC

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

HÀ N I - N M 2016


B
TR

GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O
NGă

I H CăTH NGăLONG

.......................................................

NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă-ăMAăHOCăVIÊN:ăC00271

CH NGăMINHăMỌTăSỌăBÂTă
C ăBANăB NGăPH

NGăTH Că

NGăPHAPăHINHăHOC

LU NăV NăTH CăS :ăTOAN VA THÔNG KÊ
CHUYÊN NGÀNH: PH

NG PHAP TOÁN S C P

MÃ S : 60460113

NG

IăH

NG D N KHOA H C:

PGS.TS V TH KHÔI

HÀ N I - N M 2016

Thang Long University Libraty

L I C Mă N
Luơn v n nay đ
Nôi v i s h
gia xin đ

c hoan thanh tai tr

ng

ai hoc Th ng Long Ha

ng dơn va chố bao tơn tốnh cua PGS- TS Vu Thê Khôi. Tac

c g i l i cam n sơu s c t i PGS- TS Vu Thê Khôi ng

đa đông viên, h

i th y

ng dơn nhiêt tốnh giup đ tac gia hoan thanh luơn v n

nay.
Tac gia cung xin g i l i cam n cac thơy cô giao trong BGH, Phong
đao tao – Khoa sau đai hoc tr

ng đai hoc Th ng Long Ha Nôi đa tao

điêu kiên cho tac gia hoc tơp, ren luyên va hoan thanh khoa hoc thac sy.

ông th i tac gia xin chơn thanh cam n t i cac thơy cô giao tr c tiêp
đ ng l p giang day va h

ng dơn khoa hoc l p cao hoc toan A3 đa nhiêt

tốnh trong t ng bai giang, trang bi t ng nơc thang kiên th c đê tac gia
v ng tin nghiên c u va hoan thiên luơn v n nay.
Tuy nhiên do s hiêu biêt cua tac gia con nhiêu han chê nên trong
qua trốnh nghiên c u va lam luơn v n không tranh khoi nh ng thiêu sot,
tac gia rơt mong nh n đ

c s chố bao t n tình, nh ng đong gop y kiên

quy bau cua quy thơy cô va cac đôc gia quan tơm t i mang kiên th c đ

c

nghiên c u trong luơn v n nay.
Tac gia xin chơn thanh cam n!
Hà n i, ngay 25 thang 5 n m 2016.
Tac gia

ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNguyênăThiăMinhăTrang

1


2

Thang Long University Libraty

M ă ÂU
Cac bai toan vê bơt đ ng th c noi chung la cac bai toan kho đôi v i
hoc sinh phô thông. ai đa sô hoc sinh phô thông tiêp cơn cac bai toan bơt
đ ng th c theo ph

ng phap đai sô dê dang h n so v i viêc tiêp cơn cac

bai toan bơt đ ng th c theo ph
phap hốnh hoc ch a đ

ng phap hốnh hoc. Ly do: M t la ph

c phô biên rông rai, hai la ph

ng

ng pháp nƠy đòi

h i các em ph i ch c ki n th c, v ng k n ng, bi t v n d ng linh ho t
trong vi c k t h p gi a đ i s vƠ hình h c vƠo bƠi toán sao cho phù h p.
M t khác tơm ly chung cac em h c sinh đ u r t s gi i các bai toan liên
quan đên ch ng minh b t đ ng th c vƠ n u có gi i thì đôi khi c ng ch th a
nh n nh ng công th c c ng nh l i gi i có s n môt cach thu đông mƠ
không hi u b n ch t vơn đê. Chính vì hi u đ
quan tr ng trong ch

c b t đ ng th c lƠ m t ph n

ng trình ph thông vƠ h c t t b t đ ng th c s thúc

đ y t duy toán h c c a h c sinh phát tri n m nh m nên tác gi đư manh
dan tốm hiêu, nghiên c u va chon đê tai “Ch ng minh môt sô bât đ ng
th c c ban b ng ph

ng phap hinh hoc” cho lu n v n c a mình nh m

m c đích phát huy tốnh tốch c c, t duy, sang tao c a các em đ i v i m ng
ki n th c nƠy. T đó các em có th v ng tin khám phá cách gi i m i nƠy
vƠo các bƠi ch ng minh b t đ ng th c khó, c ng nh chinh ph c các bƠi
toán ch ng minh b t đ ng th c trong các đ thi đ i h c hƠng n m.
Tóm l i thông qua lu n v n nƠy, tác gi mu n:
- T ng thêm v n ki n th c cho các em h c sinh.
-

Kh i d y ni m đam mê toán h c c a các em.

-

T o cho các em thói quen t rèn luy n cho mình có m t kh
n ng t duy toán h c khoa h c.

3


GI I THI U
Luơn v n “Ch ng minh môt sô bât đ ng th c c ban b ng ph

ng phap

hinh hoc ” gôm co
- M đơu.
- Ba ch

ng nôi dung.

Ch

ng I Ph

Ch

ng nƠy d a theo Ch

ng pháp bi u di n s d

ng b ng đ dƠi đo n th ng

ng I c a tƠi li u tham kh o [1] vƠ các tƠi li u

tham kh o [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12], [13], [14]. Ch

ng nƠy trình

bƠy ch ng minh cac b t đ ng th c b ng cách so sánh đ dƠi c a các đo n
th ng vƠ s d ng m t trong các ph
đ ng th c AM-GM cho hai s d

ng pháp d

i đơy đ thi t l p b t

ng vƠ m t s các b t đ ng th c khác.

1. Nguyên ly bao ham.
2. Nguyên ly tr c đia.
3. So sánh Pythagore.
4. B t đ ng th c tam giác (đa giác).
5. So sánh đ th c a các hàm s .
Ch

ngăII Ph

Ch

ng nƠy d a theo Ch

ng pháp bi u di n s d

ng b ng di n tích ho c th tích

ng II c a tƠi li u tham kh o [1] vƠ các tƠi li u

tham kh o [2], [3], [6], [11], [15]. Ch

ng nƠy trình bƠy ch ng minh các

b t đ ng th c b ng cách s d ng cac sô d
ho c th tích c a m t v t th theo ph

ng bi u thi cho sô đo di n tích

ng pháp nguyên lý bao hƠm, dùng

nguyên lý bao hƠm đ thiêt l p b t đ ng th c AM- GM vƠ m t s b t
đ ng th c khác có liên quan.
Ch

ngăIII M t s bƠi t p áp d ng

Ch

ng nƠy l y t tƠi li u tham kh o [1] vƠ ph n l n do tác gi t gi i.

Ch

ng nƠy trình bƠy m t s các bƠi t p ch ng minh b t đ ng th c c

b n theo các ph
-

ng pháp đ

c nêu

ch

ng I vƠ ch

ng II.

Kêt luơn va tai liêu tham khao.
4

Thang Long University Libraty


CH
PH

NGăI

NGăPHAPăBIÊUăDIÊNăSỌăD

NGăB NGă ỌăDAIă

OANăTH NG
M t công c đ n gi n va r t hiêu qua trong viêc ch ng minh m t
b t đ ng th c đó lƠ coi các s d
Trong ch

ng nƠy vƠ ch

ng biêu th cho đô dai cac đo n th ng.

ng ti p theo, ta ch ng minh cac b t đ ng th c

b ng cách so sánh đ dƠi các đo n th ng va s d ng m t trong nh ng
ph

ng pháp sau đơy
1. Nguyên ly bao ham. Ch ng minh m t đo n th ng lƠ m t t p con

c a m t đoan th ng khác. Chúng ta s t ng quát ph
ch

ng ti p theo khi coi các s d

ng pháp nƠy trong

ng lƠ bi u th cho sô đo cua di n tích

vƠ th tích. Các b t đ ng th c s đ

c ch ng minh thông qua các m i

quan h t p h p con.
2. Nguyên ly tr c đia. Th c t lƠ con đ

ng ng n nh t n i hai đi m

lƠ đo n th ng n i hai đi m đó.
3. So sánh Pythagore. M nh đ I.19 trong cuôn sach c s c a
Euclid “Trong b t kì hình tam giác nƠo c nh đ i di n v i góc l n h n lƠ
c nh l n h n”. Do đó trong m t tam giác vuông c nh huy n luôn lƠ c nh
l n nh t. Vì v y đ so sánh hai đo n th ng ta coi m t đo n th ng ng v i
c nh bên vƠ đo n còn l i ng v i c nh huy n c a m t tam giác vuông.
4. B t đ ng th c tam giác (đa giác). M nh đ I.20 trong cuôn sach
c s phat biêu r ng “Trong m t tam giác, t ng c a hai c nh b t kì luôn

l n h n c nh th ba”. Do đó khi ba đ

ng th ng t o thƠnh m t tam giác

thì đ dƠi c a m t c nh b t kì trong tam giác luôn bé h n ho c b ng t ng
đ dƠi hai c nh còn l i (t
giac lƠ m t tr

ng t cho các đa giác). VƠ bơt đ ng th c tam

ng h p đ c bi t c a nguyên ly tr c đ a.
5


5. So sánh đ th c a các hàm s . N u đ th c a hƠm s
n m phía trên đ th c a hƠm s

trong m t kho ng giá tr

trong kho ng giá tr đó. VƠ vì đo n th ng n i t
t i đi m
đ ng th c

thì
đi m

có đ dƠi l n h n ho c b ng không nên b t
đ

c thiêt l p.

Hìnhă1.1
Trong hình 1.1 phía trên ta kh ng đ nh r ng có th k t h p các s d

ng

v i chi u dƠi c a cac đo n th ng.

B tăđ ng th căliênăquanăt iăhìnhătamăgiác

1.1

Theo nguyên ly tr c đia, n u ba s d

ng

vƠ

tam giác ABC thì

lƠ đ dƠi các c nh c a
. Ng

c l i phat biêu

nay c ng đúng v i nguyên lý bao hƠm. Không m t tính t ng quát ta có th
gi s

. Khi đo v i b t đ ng th c

trong hình 1.2, ta th y đo n th ng co đô dai
th ng co đô dai

đ
đ

c minh h a

c bao phu b i hai đo n

vƠ . Th c t , đơy cung lƠ quá trình mƠ b t c ng

i

nƠo c ng cơn dung đ d ng m t hình tam giác v i đ dƠi các c nh cho
tr

c b ng th

c k vƠ compa.

6

Thang Long University Libraty


Hìnhă1.2
K t qu đ n gi n nƠy có m t s h qu h u ích, đ c bi t khi tam giác đa
cho lƠ tam giác vuông.
. Xet tam giac vuông co chiêu dai cac canh bên la

Ví d . Cho

, va chiêu dai canh huyên la

.

Khi đo, nhốn vao hốnh 1.3 ta thơy r ng
Nêu ta cho

ho c

a  b  a b

thố

Hìnhă1.3
Trong ch

ng nƠy chúng ta s b t g p các ph

ng pháp khác nhau

c a vi c tìm trung bình các s . Có l giá tr trung bình n i ti ng nh t lƠ
Trung Bình Công, trung bình công c a hai s

vƠ

bình khác lƠ c n b c hai c a trung bình bình ph
trung bình bình ph

ng đôi v i hai s

vƠ

C n b c hai c a trung bình bình ph
thu t đi n va ng
ca gia tri d

ng th

lƠ

lƠ

. Giá tr trung

ng, c n b c hai c a
.

ng xu t hi n trong v t lý, k

i ta s d ng nó đ đo đ l n cua nh ng đai l

ng l n ơm, ch ng h n nh sóng.
7

ng nhơn

Trong hình 1.4 chúng ta s d ng hai l n b t đ ng th c tam giác đ ch ra
r ng đ i v i hai s d

ng

vƠ , c n b c hai c a trung bình bình ph

gi a trung bình công vƠ

ng

l n trung bình công [5], t c lƠ

a

b

Hìnhă1.4
Các ý t
đ ng th c sau đ

ng t

ng t đ

c áp d ng cho ba s d

ng

vƠ bơt

c thiêt lơp

a

b

c

Hìnhă1.5
Co thê thơy t hình 1.5 bên trái [5], b t đ ng th c nƠy d n đ n ch n cho
tông chi u dƠi các c nh c a m t tam giác đ

c t o nên t ba đ

ng chéo

8

Thang Long University Libraty


c a các m t bên c a m t hình h p ch nh t ho c hình h p v i chi u dƠi
biên

1.2

vƠ nh

hình bên ph i c a hốnh 1.5.

ng g păkhúc

Nguyên lý tr c đ a đ i v i nh ng đ
1.4 vƠ 1.5, có th đ

ng g p khúc đ

c minh h a

hình

c m r ng cho các b t đ ng th c khác.

Ví d . Cho b n s d

ng b t kì

vƠ

ta có
.

Bơt đ ng th c đ

c minh h a trong hình 1.6 [7].

Hìnhă1.6.
T đo ta co thê m r ng cho

bi n s vƠ thu đ

c tr

ng h p đ c

bi t B t đ ng th c c a Minkowski (Hermann Minkowski, 1864-1909) đ i
v i các s d

ng

vƠ

[14]:

Hìnhă1.7

9


1.3

n-giácătrongăm-giác

M t -giác lƠ m t đa giác

c nh. N u ta v m t đa giác

bên trong m t

đa giác khác (minh h a hình 1.8). Hi n nhiên ta co b t đ ng th c di n tích
nh ng liêu có x y ra b t đ ng th c chu vi?. Nhìn chung cơu tr l i lƠ
không vì ta luôn có th v đ

c bên trong đa giác nƠy m t đa giác khác có

chu vi l n b t kì.
Nh ng n u ta chố xet cac đa giác l i thì cơu tr l i lƠ có. Vơy môt
hình - giác lƠ l i n u đo n th ng n i hai đi m b t kì (n m trên ho c n m
trong) c a - giác thì n m trong - giác đó.

Hìnhă1.8
Bơy gi xet m t

- giác l i ch a trong m t - giác l i nh minh h a

hình 1.8.
bi u th cho các đ nh c a - giác theo chi u

Gi s
kim đ ng h

(đ

thu n ti n ta gi

bi u th các đ nh c a

g i

giao đi m c a c nh

s

), t

- giác v i

v i m t c nh nƠo đó c a

ng t

ta

. G i

lƠ

- giác (v i ch y t

1 đ n ), áp d ng b t đ ng th c đa giác cho mi n đa giác có các đ nh
đ nh

c a

- giác (v i

luôn n m gi a

vƠ

) va

. S d ng kí hi u gia tri tuyêt đôi bi u thi đ dƠi các c nh c a đa giác,
ta có

10

Thang Long University Libraty


Ch ng minh chu vi c a - giác thì nh h n ho c b ng chu vi c a
Th t v y. T b t đ ng th c

- giác.

, ta có

................

……………
B

C ng v v i v ta có

B

Suy ra chu vi c a - giác l i nh h n ho c b ng chu vi c a
V yn um t

- giác l i.

- giác l i ch a trong m t - giác l i thì ta luôn có chu vi

cua - giac nho h n ho c b ng chu vi cua

-giac.

Cach lam nay rơt co ốch trong viêc thiêt lơp bơt đ ng th c chu vi cua
đa giac lôi va đơy cung chốnh la chốa khoa dơn đên khai niêm vê phep tốnh
gơn đung sô

cua Archimedes (287-212 tr

11

c công nguyên).


B tăđ ng th c Archimedes
Trong cu n sách nói v ph

ng pháp đo đ

x p x t l gi a chu vi m t đ

ng tròn, Archimedes đư tính

ng tròn v i đ

ng kính c a nó b ng vi c

s d ng các đa giác ngo i ti p vƠ n i ti p m t đ
chu vi c a đ

ng tròn. Khi tính x p x

ng tròn v i chu vi các hình đa giác 96 c nh ông đư phát

hi n ra
3

=3

<3

<<3

<3

i u nƠy m t l n n a kh ng đ nh r ng s

=3

.

Bơtă đ ngă th că gi aă trungă binhă công ậ trungă binhă nhơn (AM-

1.4

GM)
Tiêp theo sau trung bình công thì trung bình quan tr ng th hai lƠ trung
bình nhơn. Cho hai s d

ng

vƠ , trung bình nhơn c a

vƠ

lƠ

.

Ví d .
N u m t khoan đ u t
đ

c t ng lên b ng

(v i hê sô

đ

c t ng

trong n m đ u tiên (T c lƠ

v i hê sô

vƠ

trong n m th hai

). Khi đó lưi trung bình thu v hƠng n m kí hi u
ho c

vì

. N u ta s d ng trung bình công thay

th ta s có th tính nh m r ng t l lưi trung bình hƠng n m lƠ
trung bình công c a

lƠ

vƠ

lƠ

vì

. T ví d nƠy ta suy ra trung

bình công l n h n ho c b ng trung bình nhơn.
T đo b t đ ng th c n i ti ng
đ

ap dung cho cac sô d

ng

c goi la bât đ ng th c gi a trung bình công và trung bình nhân,

đ ng th c x y ra khi

. T nay v sau b t đ ng th c nƠy đ

c vi t t t

lƠ b t đ ng th c AM- GM.

12

Thang Long University Libraty


Có nhi u cách ch ng minh tr c quan b t đ ng th c nƠy, m t trong
nh ng cách đ n gi n nh t sau đơy lƠ s d ng so sánh Pythagore.

Hìnhă1.9
D dƠng kiêm tra tam giác
ph

hốnh 1.9 lƠ tam giác vuông vì co bình

ng c nh huy n b ng t ng bình ph

ng hai c nh góc vuông vƠ do đó

. Chia c hai v c a b t đ ng th c nƠy cho 2 ta đ

cb t

đ ng th c AM- GM.
hiêu rõ h n v t m quan tr ng c a b t đ ng th c AM-GM ta
cùng tham kh o cơu chuy n v i tiêu đ “ Th a giáo s Ostrowski, theo
ngài b t đ ng th c nào là quan tr ng nh t?”.
NhƠ toán h c Alexander M. Ostrowski (1893-1986) đư có nhi u đóng góp
quan tr ng cho lý thuy t c a b t đ ng th c. Ostrowski th
d các cu c th o lu n v b t đ ng th c đ

ng xuyên tham

c t ch c t i Oberwolfach c a

c. Trong cu c th o lu n nƠy m t đ ng nghi p đư k l i vi c ông nghe
th y m t nhƠ toán h c tr tu i đư h i giáo s : “Th a giáo s , theo ông b t
đ ng th c nƠo lƠ quan tr ng nh t”. NhƠ toán h c tr tu i nƠy c ng đư bi t
r t nhi u v nh ng đóng góp c a ông Ostrowski trong l nh v c nƠy vƠ anh
y đư r t ng c nhiên b i cơu tr l i c a ông Ostrowski: “T t nhiên lƠ b t
đ ng th c gi a trung bình c ng vƠ trung bình nhơn”.

13


BƠiătoán 1.4.1. Trong t t c các hình ch nh t n i ti p đ
đ

c trong m t

ng tròn bán kính , hình vuông có di n tích l n nh t.

Hìnhă1.10
Ch ng minh.
Gi s

vƠ

bi u th đ dƠi các c nh c a m t hình ch nh t khi đó
. Kí hi u

lƠ di n tích c a hình ch nh t.

Áp d ng b t đ ng th c AM- GM, ta thu đ

ng th c x y ra khi
m tđ

c m t giá tr l n nh t trên A:
xy

A.

. T đó ta có hình ch nh t n i ti p đ

c trong

ng tròn có di n tích l n nh t la hình vuông. ( ).

BƠiătoán 1.4.2. Bai toan c a Dido
Dido lƠ m t công chúa đ n t Phoenician c a thƠnh ph Tyre (hi n
nay lƠ thƠnh ph Lebanon). Dido r i thƠnh ph khi anh trai c a bƠ gi t
ch ng c a mình vƠ bƠ đ n Chơu Phi vƠo kho ng 900 n m tr

c công

nguyên g n v nh Tunis. Dido quy t đ nh mua m nh đ t t ông ch c a
m t đ a ph

ng tên lƠ King Jarbas c a v

Phi. Vì v y bƠ vƠ nh ng ng

ng qu c thu c tơy nam Chơu

i tùy tùng c a bƠ có th đ nh c

đó. BƠ đư

tr Jarbas m t s ti n nhi u b ng m nh đ t bƠ có th rƠo quanh b ng m t
t m da c a m t con bò.

có đ

c cƠng nhi u đ t cƠng t t Dido đư c t

mi ng da bò thƠnh nh ng d i m ng vƠ bu c chúng v i nhau . M nh đ t
nƠy sau đó tr thƠnh thƠnh ph Carthage.

i u nƠy dơn đ n bƠi toán c a

14

Thang Long University Libraty


Dido: LƠm th nƠo đ bƠ y có th đ t đ
rƠo quanh đ

c nh ng d i da bò trên đ t đ

c cƠng nhi u đ t cƠng t t?. N u chúng ta gi đ nh r ng m t

đ t b ng ph ng vƠ b đ a trung h i th ng thì gi i pháp t i u chính lƠ đ t
d i da bò trong hình bán nguy t [12]. i u mƠ truy n thuy t đư k l i cho
chúng ta đúng nh nh ng gì Dido đư lƠm. Bơy gi chúng ta gi i quy t m t
bai toan có liên quan: Hình d ng c a hình ch nh t co diên tốch l n nhơt
trong hình 1.11 lƠ gì?

Hìnhă1.11
N u

vƠ

bi u th đ dƠi các c nh c a hình ch nh t vƠ

dƠi c a d i da bò thì

. Tốm

lƠ chi u

sao cho di n tích

đat

gia tri l n nhơt?.
L i gi i.
Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có
A

xy

ng th c x y ra khi

x

xy

y

L

. Vì v y hình ch nh t co diên tốch l n nhơt

khi chi u dƠi g p hai l n chi u r ng.
BƠiătoán 1.4.3. Bai toan c c đai c a Regiomontanus
VƠo n m 1471 Johannes Muller (1436- 1476) đư l y tên
Regiomontanus đ t cho n i sinh c a ông, Konigsberg vƠ ông đư vi t m t

b c th cho ông Christian Roder noi v bƠi toán t o góc nh sau:
vi trố nao trên trái đ t mƠ co thê nhốn đ
đ ng v i goc nhốn l n nhơt?.

15

c thanh treo theo ph

ng

ng th ng


Trong tác ph m kinh đi n c a ông 100 bài toán quan tr ng c a
toán h c c b n [4]. Heinrich Dorrie vi t r ng “BƠi toán nƠy đáng ph i đ
ý hang đơu đ c bi t nh bƠi toán quan tr ng nh t ph i đ i m t trong l ch
s toán h c t th i c x a”. L i gi i d

i đơy đ

c d a theo [8].

Hìnhă1.12
T hình 1.12 ta th y cái thanh đ
ng

c treo bên trên ph n m t c a

i quan sát. Kho ng cách t đ nh vƠ đáy c a thanh treo đ n đ

t m t ng

i quan sat (song song v i m t đơt) l n l

kho ng cách t v trí ng
c a ng

i quan sát đ n thanh treo,

t lƠ

vƠ

ng ke
lƠ

lƠ gi i h n góc nhìn

i quan sát t đ nh đ n đáy c a thanh treo. Tìm

đ góc

đ t giá

tr c c đ i.
L i gi i.
Cho

vƠ

bi u th góc mƠ gi i h n c a m t nhìn th y đ

đáy c a thanh treo theo t m m t c a ng
cot

Vì
nhìn


a

b

a

b x

x a x b
x b
x a

lƠ hƠm ngh ch bi n trong cung ph n t th nh t nên góc

đ t c c đ i khi

AM-GM ta đ

i quan sát. Khi đó



cot

c đ n đ nh vƠ

đ t giá tr c c ti u. Áp d ng b t đ ng th c

c k t qu sau

16

Thang Long University Libraty


cot

a

b

a

b x

a

ng th c x y ra khi
c n ph i đ ng

x

ab
b a b x

a

. V y ng

hay

b

i quan sát

m t kho ng cách b ng trung bình nhơn gi a chi u cao

c a đ nh vƠ đáy c a thanh treo.

1.5

Cacăb tăđ ng th c trungăbinhăkhac

Cho hai s d

ng

vƠ , ta luôn có

min

Nhi u giá tr trung bình có th

max

l ng vƠo gi a

vƠ

nh trung bình đi u hòa. Trung bình đi u hòa c a

vƠ

xác đ nh nh ngh ch đ o c a trung bình công đ i v i hai sô d

ng

t c lƠ:

đ

c

, ,

.
Trung bình đi u hòa x y ra m t cách t nhiên

vố du nh n u chúng ta lái xe ô tô v i quưng đ
80km/h vƠ quưng đ

nhi u v trí s p x p,

ng 100km v i v n t c

ng 100km khác v i v n t c 120km/h khi đó v n t c

trung bình cho t ng quưng đ

ng lƠ 96km/h, kêt qua nay c ng chốnh la

trung bốnh điêu hoa cua 80 va 120.
Th t d đê ch ra r ng trung bình đi u hòa c a hai s d

ng

vƠ

nh h n ho c b ng trung bình nhơn (Áp d ng b t đ ng th c AM-GM
cho hai s

,

đ ch ng minh). Vì v y b n giá tr trung bình ph i th a

mưn

17


min

max

BƠiătoán 1.5. B t đ ng th c Mengoli và s phân kì c a chu i đi u hòa
Pietro Mengoli (1625- 1686) đư thi t l p b t đ ng th c: Cho b t kì

,

ta luôn co
ki m ch ng b t đ ng th c Mengoli ta c n ch ng minh

, áp d ng b t đ ng th c gi a trung bình đi u hòa vƠ trung bình

V i

công cho hai s d

ng

vƠ

V y b t đ ng th c Mengoli đư đ

, ta có

c ch ng minh.

Mengoli s d ng b t đ ng th c c a mình đ đ a ra b ng ch ng ban đ u
v s phơn kì trong chu i đi u hòa
Gi s chu i h i t lƠ m t s th c , khi đó

Áp d ng b t đ ng th c Mengoli ta th y đ

Suy ra

đ

c vi t lƠ

c s mơu thu n

la chuôi phơn kố.

Các b t đ ng th c trong b n giá tr trung bình cua

đ

c minh

h a trong hình 1.13 [9]. S dung so sanh Pythagore ta có

18

Thang Long University Libraty


Hìnhă1.13
Nhi u giá tr trung bình khác có th đ
vƠ

ví d nh trung binh phan điêu hoa

trung binh

i bi n Ravi

Xet môt tam giac co đô dai cac canh lơn l
tron đ

,

vƠ trung binh logarit

Heron

1.6

c đ a vƠo gi a

t la

va ngoai tiêp đ

c minh h a trong hình 1.14 . N i tơm c a đ

đ nh cua tam giac vƠ cac đi m ti p xúc c a đ
tam giác ta đ

ng

ng tròn v i các

ng tròn v i các c nh c a

c ba c p tam giác vuông đ ng d ng trong hình 1.14 . Khi

đo tôn tai ba s d

ng

vƠ

S bi n đ i nƠy đ

c g i lƠ đ i bi n Ravi.

sao cho

.

Hìnhă1.14
Khi đó
VƠ nêu la n a chu vi thố

, do đó ta luôn co
19


vƠ
BƠiătoán 1.6.1. B t đ ng th c c a Padoa

B t đ ng th c [13], do Alessandro Padoa (1868- 1937) phát bi u
lƠ các c nh c a m t tam giác thì

r ng: N u

.
Ch ng minh.
S d ng đ i bi n Ravi, b t đ ng th c c a Padoa t

ng đ

ng v i

b t đ ng th c sau
B t đ ng th c trên d dƠng ch ng minh khi s d ng b t đ ng th c AMt

GM:

ng t cho

vƠ

, do đó
.

ng th c x y ra khi vƠ ch khi

suy ra

V y

.

( ).

BƠiătoán1.6.2. N u

biêu thi đô dai các c nh c a m t tam giác thì

S d ng đ i bi n Ravi, b t đ ng th c trên t

ng đ

ng v i b t đ ng th c

Ch ng minh.
Do b t đ ng th c (1) t

ng đ

ng v i b t đ ng th c (2) nên đ ch ng

minh b t đ ng th c (1) ta ch c n ch ng minh b t đ ng th c (2).
V i ba s d

ng

. Áp d ng b t đ ng th c gi a trung bình c ng vƠ

c n b c hai c a trung bình bình ph

ng cho

vƠ

(xem

m c 1.1

ho c 1.5), ta có

20

Thang Long University Libraty


.T

ng t cho

vƠ

.

Do đo
.
ng th c x y ra khi vƠ ch khi

suy ra

.

V y

)

Soăsánhăđ th

1.7
T

hình 1.15 [10] cho thơy v i moi
tiêp xuc v i đ

Hypebol:
t ađ

ng th ng

t i đi m có

M t khac vì Hypebol lƠ ham l i nên đô thi cua nó n m phía

trên đ

ng ti p tuy n

. T bơt đ ng th c
K t qu trên c ng đ
sô d

thố m t ph n đ th c a

ng
T

v im i

t đo suy ra
v i

ta suy ra

c rút ra t đ ng th c AM- GM khi áp d ng cho hai

va .
ng t ta cung co hƠm
thu c

hay

trên m t t p S n u

.

Hìnhă1.15

21

Ýt

ng t

ng t trên đ

c áp d ng đ thi t l p Bât đ ng th c cua

Jordan (Camille Jordan,1832-1922): Cho
sin

Trong hình 1.16 chúng ta có m t ph n đ th c a hƠm
v i ti p tuy n

t i g c t a đ vƠ c t đ

g c t a đ vƠ đi m

ng

Vì v y đ th c a hƠm

suy ra hƠm s sin n m phốa trên đ

ng

ti p xúc

t i hai đi m lƠ
lƠ lõm trên

va n m phốa d

iđ

ng

, t đo ta co bơt đ ng th c
sin

Hìnhă1.16
Th c ra ta c n ph i th n tr ng khi s d ng đ th hƠm đ thiêt l p
b t đ ng th c vố t ví d trong hình 1.17 cho th y r ng cos

v i

. Nh ng đ th không nói cho chúng ta t i sao b t đ ng th c có

th áp d ng vƠ nó không gi ng v trí nh hình 1.15 vƠ 1.16,
lõm ho c l i c a hƠm đ

đơy tính

c thay th cho l p lu n c a b t đ ng th c mƠ

chúng ta nhìn th y trong đ th .

22

Thang Long University Libraty

Hìnhă1.17
H

ng t t nh t đ thiêt l p cos

lƠ

th ng vƠ kho ng cách gi a các đi m cos

tròn l

sin

c tính đ dƠi đo n
vƠ

trên đ

ng giac nh hình 1.18 vƠ lƠm đ n gi n hóa bƠi toán.
cos
cos

Hìnhă1.18

23

cos

ng