SKKN Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Đại số lớp 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN
GIẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10"
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do thực hiện đề tài:
1. Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông.
Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích.
Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các
phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan
tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản,
yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,
2. Cơ sở thực tiễn:
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng
thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh không biết cách
lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “vô
cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức,
đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài:
“Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức
trong chương trình đại số lớp10”
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận;
2. Phương pháp điều tra thực tiễn;
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm;
4. Phương pháp thông kê.
III. Đối tượng nghiên cứu:

Các bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức
(*)
(**)
(***)
B. PHẦN NỘI DUNG
1. Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức đơn giản :
Chúng ta biết rằng chứng minh bất đẳng thức là một chuyên đề rất hấp dẫn bởi nó đòi
hỏi cao về kỹ năng và tư duy sáng tạo của học sinh. Ở đề tài này tôi muốn giới thiệu một
số bất đẳng thức được khai thác và phát triển từ một bất đẳng thức đơn giản trong sách
giáo khoa Đại số 10.
a.Ví dụ 1(Bài 4 trang 79, SGK Đại số 10- Ban cơ bản)
Chứng minh rằng : Nếu (*)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh :
Cách 1 : (*)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Cách 2 :
Ta có
(vì ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Nhận xét 1 : Vì a,b là hai số dương nên từ (*) ta có thể suy ra một bất đẳng thức mới
Ở bài toán này nhiều giáo viên cho là dễ nên có thể không cần phải hướng dẫn hoặc
hướng dẫn qua loa. Như vậy là vấn đề cơ bản chưa được giải quyết đã bỏ sót một trong
những yếu tố quan trọng trong phát triển tư duy cho học sinh. Theo tôi, cần cho học sinh
suy nghĩ và hướng dẫn khai thác các bài toán qua đó vận dụng từ bài toán đơn giản trên
để hướng dẫn giải các bài toán có liên quan.
Bài 1: Cho a,b ≥0, chứng minh rằng
(1)
Hướng dẫn : Bất đẳng thức (1) được chứng minh nhờ việc áp dụng nhận xét trên 3 lần
Bài 2 : Cho a,b,c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng :

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có :
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta được :
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 2 : Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên dưới dạng cách nhìn khác
mà thôi. Tuy nhiên nếu như học sinh không biết vận dụng ví dụ trên thì liệu bài toán trên
học sinh giải được không phải đơn giản chút nào. Và ở bài toán sau đây, chúng ta có thể
đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1. Ta lại có bài toán mới
sau.
Bài 3: Cho a và ab=1. Chứng minh rằng
Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Bài 4 : Chứng minh rằng
Trong đó a,b,c là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dung bất đẳng thức (*) ta được
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số thực dương ta được
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chưng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài toán trên về những bài toán mũ, thì việc quy lạ về
quên tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tương tự nhằm phát
huy tư duy của học sinh.
Bài 5:

Cho ba số a,b,c . Chứng minh rằng
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
(1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0
Bài 6 : Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
Tương tự
,
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 7 : Chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì ta có
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 8 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Bài 9 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 4 : Nếu ở bài toán trên chúng ta cộng điều kiện nữa abc=1, ta có bài toán mới
sau đây
Bài 10 : Cho a,b,c là ba số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng :
Nhận xét 5 : Nếu ta lại đặt ta lại có bài toán mới sau
Bài 11 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng :
Nhận xét 6 : Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1 Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 12 : Cho x,y,z là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
Bài 13 : Cho a,b,c thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a+b+c
Nhận xét 7 : Việc chứng minh các bài toán 10,11,12,13 không khó, nếu biết sử dụng linh
hoạt các bài toán tương tụ bài 9. Nếu học sinh không biết vận dụng bài 9 (Tức sẽ vận
dụng ví dụ 1) thì e là sẽ khó làm đối với các em học sinh, kể cả đội tuyển học sinh giỏi.
Bài 14 : Chứng minh rằng :
Trong đó a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được :
Tương tự
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 8 : Nếu chúng ta lại đặt Ta lại có bài toán mới sau

Bài 15 : Chứng minh rằng Trong đó x,y,z là ba số thực dương
và xyz=1.
Nhận xét 9 : Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt thì ta có thể
giải bài toán 5 đơn giản hơn
Bài 16 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng
Hướng dẫn : Bài toán này trở về việc chứng minh bất đẳng thức
Áp dụng bài toán 15 ta có ngay kết quả.
Nhận xét 10 : Ta lại có bài toán tổng quát bài toán 15 sau đây :
Bài 17 : Cho m là một số không âm; x,y,z là ba số thỏa mãn x+y+z=0.
Chứng minh rằng :
Nhận xét 11 : Từ bài toán tổng quát trên qua quá trình phân tích, nhận định phát huy tư
duy sáng tạo cho học sinh, ta xây dựng bài toán tổng quát ví dụ 1.
Bài 18 : (Bài toán tổng quát ví dụ 1)
Cho là các số thực không âm , . Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số thực không âm ta có :

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng
thức sau :
Bài 19 : Cho là các số thực dương , . Chứng minh rằng :

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta được :

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Nhận xét 12 : Từ những ví dụ minh họa thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên bằng
nhiều cách, nhiều hướng khác nhau. Hướng cho học sinh hiểu rõ được những vấn đề cơ
bản của nó, học sinh sẽ giải quyết được các bài toán trên đây dễ dàng hơn, qua đó nâng
cao hứng thú tìm tòi, rèn luyện tư duy khai thác và sáng tạo của học sinh.
b/Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng nếu (**)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh :
(**)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Bài 1 : (Bài toán tổng quát)
Cho là các số thực không âm , . Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+2 số thực không âm ta có :

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất
đẳng thức sau.
Bài 2 : Cho hai số dương a,b .Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Đây chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dương nên ta được điều phải chứng
minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Trong đó a,b,c là ba số thực không âm.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :

(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 4 : Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
(2)
Và áp dụng kết quả Bài 9 ta được
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 5 : Chứng minh rằng :
Trong đó x,y,z là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Tương tự
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 6 : Cho a,b,c là ba số thực dương .Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (**) cho n=3 ta có
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Nhận xét 13 : Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một bất
đẳng thức
(***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức này quả thật không
khó. Tuy nhiên, nếu người thầy biết hướng dẫn nhìn nhận khai thác bài toán cơ bản trên
thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc làm đơn giản, qua đó ta lại có
một bài toán mới .
Bài 7 :
Các số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng (***) ta có
Tương tự
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =1
Các bài tập tương tự
Áp dụng các bất đẳng thức (*), (**) và các bất đẳng thức tổng quát của chúng giải các bài
tập sau :
Bài 8 : Cho ba số dương a,b,c. chứng minh rằng
Bài 9 : Cho a,b,c là ba số dương và . Chứng minh rằng :
Bài 10 : Cho a,b,c,d là những số thực dương . Chứng minh rằng :
Bài 11 : Cho là các số thực dương , . Chứng minh rằng :
2. Kết Quả :
Khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy các em đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập
trên. Cụ thể :
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung Bình Yếu
10A 25 3 12% 5 20% 15 60% 2 8%
10B 27 1 3,7% 6 22,2% 19 70,4% 1 3,7%
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với bất đẳng thức, không bị áp lực
phải ngồi học trong các giờ toán, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học tập .
3.Bài học kinh nghiệm :
Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy tư duy toán :

Theo tôi việc phát triển tư duy cho học sinh là một việc làm rất quan trọng của người thầy
giáo. Nó đòi hỏi người thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để định hướng các em học sinh
biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, các phương pháp chứng minh, nhận
định bài toán trên nhiều phương diện. Bản thân tôi trong quá trình dạy học đã thường
xuyên áp dụng và thấy rằng tương có hiệu quả. Để đạt được những hiệu quả đó, tôi đã
thực hiện một số biện pháp sau:
- Luôn tăng cường tham khảo tài liệu, đặc biệt là nghiên cứu kĩ sách giáo khoa (đây là
một tài liệu quan trọng hơn bao giờ hết), qua đó cố gắng ghi lại những bài toán có thể
khai thác các ứng dụng của nó, gải bài toán được trong nhiều cách nhằm phát huy khả
năng sáng tạo và tư duy của học sinh.
- Trong quá trình giảng dạy người giáo viên cần phải biết cách hướng dẫn nhằm cung cấp
cho các em học sinh các phương pháp tiếp cận loại bài toán đó và thường xuyên đặt câu
hỏi : Bài toán này có thể khai thác từ bài toán nào ?Ứng dụng của nó ra sao ?
- Giáo viên cần phải chuẩn bị các kiến thức hướng dẫn để học sinh tự khám phá , tự đặt
bài toán tổng quát và độc lập giải quyết nó
- Đứng trước một bài toán giáo viên cần hướng dẫn và phân tích cho các em học sinh ,
phải xem xét nó cách nhìn nhận vấn đề khác nhau, qua đó tìm ra được các định hướng
được cách giải bài toán cho học sinh và cách khai thác ứng dụng của nó.
- Từ việc khai thác các ứng dụng của nó giáo viên có thể hướng các em học sinh biết lật
ngược được vấn đề, hướng dẫn chuyển đổi các dạng bài toán về các bài toán mới hay hơn
và hiệu quả hơn.
C.PHẦN KẾT LUẬN
Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, ứng dụng các bài toán đơn giản sách giáo khoa vào
giải các bài toán khác nhằm phát triển tư duy cho học sinh là việc làm cần thiết đối với
mỗi giáo viên, qua đó phát triển cho học sinh tư duy toán học, khả năng vận dung và sự
linh hoạt trong giải quyết vấn đề. Đi từ những vấn đề đơn giản giải quyết các vấn đề phức
tạp phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, từ đó làm cho học sinh yêu thích và
hăng say học tập môn toán hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân đã đúc rút ra trong quá trình nghiên cứu.
Rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến, bổ sung để bản thân ngày càng hoàn

thiện hơn và có nhiều kết quả tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !