Một số dạng toán về đa thức

B
TR

GIỄO D C VĨ ĨO T O
NG

I H C TH NG LONG

---------------------------------------

THỂN V N D

M TS

D NG TOỄN V

A TH C

LU N V N TH C S TOỄN H C

HƠ N i ậ 2016


GIỄO D C VĨ ĨO T O

B
TR

NG

I H C TH NG LONG

---------------------------------------

THỂN V N D

M TS

- C00439

D NG TOỄN V

A TH C

LU N V N TH C S TOỄN H C
CHUYểN NGĨNH: PH

NG PHỄP TOỄN S

C P

Mĩ S : 60460113

NG

IH

NG D N KHOA H C: TS. Lể ỊNH NAM

HƠ N i ậ 2016

Thang Long University Libraty


L I CAM OAN
Tôiăxinăcamăđoanăd i s giúpăđ ,ăh ng d n c aăTS.ăLêă ìnhăNam,ă
lu năv năcaoăh căchuyênăngànhăph ngăphápătoánăs ăc p v iăđ tàiă“M t s
d ngătoánăv đaăth c”ăđ căhoànăthànhăb i s nh n th căvàătìmăhi u c a b n
thânătôiătrongăth i gian h c t păvàănghiênăc u t iătr ngă i h căTh ngăLong.
Trong quáătrìnhănghiênăc uăvàă th c hi n lu năv n,ătácăgi đãăk th a
nh ng k t qu c aăcácănhàăkhoaăh c v i s trânătr ngăvàăbi tă n.
HàăN i, ngàyă15ăthángă6ăn mă2016
Tácăgi

THÂNăV NăD


M CL C
Trang
L i nói đ u

1

1. T ng quan v đa th c

3

1.1. Vànhăcácăđaăth c m t bi n …………………………………………….3
1.2. Nghi m c aăđaăth c ………………………………………………..….4
1.3. M tăvàiăbi u di năđaăth c ………………………………………………8
2. Các bƠi toán v nghi m c a đa th c

10

2.1. Cácăbàiătoánăv s nghi m c a đaăth c ……………………………….10
2.1.1. Tìmănghi m c aăđaăth c v i h s nguyên……………………….10
2.1.2. aăth căkhôngăcóănghi m h u t ….……………………………..12
2.1.3. S t n t i nghi m th c c aăđaăth c ……………….……………..18
2.2. Cácăbàiătoánăv đánhăgiá,ă
2.2.1. M t s đ nhălýăv

căl

căl

ng nghi m c aăđaăth c ……………26

ng nghi m …………………………….26

2.2.2. M t s víăd ………………………..……………………………30
3. Các bƠi toán v xác đ nh đa th c

33

3.1. Xácăđ nhăđaăth c d aăvàoăđ cătr ngănghi m ………………………...33
3.2. Xácăđ nhăđaăth c th aămãnă P  f  x .P  g  x   P  h  x  ………….40
3.3. Xácăđ nhăđaăth c th aămãnă P  f  x .P  g  x   P  h  x   Q  x …..50

Thang Long University Libraty

4. M t s d ng toán khác v đa th c

53

4.1. Cácăbàiătoánăv tínhăchiaăh t c aăđaăth c …………………………….53
4.1.1. aăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x ……………………….53
4.1.1.1. Ch ngăminhăđaăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x …..53
4.1.1.2. Tìmăđi u ki n c a tham s đ đaăth c P  x chia h tăchoăđaă
th c Q  x …………………………………………………………………...59
4.1.2. Cácăbàiătoánăchiaăh t c a bi u th c nghi m c aăđaăth c …………63
4.2. ng d ngăđaăth căđ gi iătoán ………………………………………..64
4.2.1.

ng d ngăđaăth c gi i h ph

ngătrình …………………………64

4.2.2. ng d ngăđaăth c ch ng minh b tăđ ng th c ……………………72
4.2.2.1. ng d ngăđaăth c b c hai ch ng minh b tăđ ng th c …….72
4.2.2.2.

ng d ngăđaăth c b căbaăđ ch ng minh b tăđ ng th c …77

K t lu n ……………………………………………………………………..83
TƠi li u tham kh o ………………………………………………………….84


L I NịI

U

aăth călàăm tăkháiăni măc ăb năvàăquanătr ngătrongătoánăh cănóiăchungă
vàătrongăđ i s nóiăriêng.ăTrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i qu căgia,ăOlympicătoánă
qu c t ,ăthiăOlympicăsinhăviênăgi aăcácătr
toánăv đaăth căc ngăđ

ngăđ i h căvàăcaoăđ ngăthìăcácăbàiă

căđ c p nhi uăvàăđ

căxemălàăm t d ngătoánăkhóă

b c trung h c ph thông.
Hi nănayăđãăcóănhi uătàiăli u vi t v đaăth c.ăTuyănhiênăcácătàiăli uănàyă
ch y uătrìnhăbàyăv lýăthuy tăxâyăd ngăvàăcác tínhăch t c aăđaăth c,ăbàiăt păápă
d ngăcònăít.ăV i mong mu năcóăm tătàiăli u tham kh o h uăíchăgiúpăchoăh c
sinh t ônăt păvàăgiáoăviênăcóătàiăli u tham kh oăđ gi ng d yăvàăt sángătácă
đ

căcácăbàiătoánăv đaăth c,ătácăgi đãăch năđ tàiă“M t s d ngătoánăv đaă

th c”.
Cácăbàiătoánăv đaăth căkháălàăphongăphú, Tuyănhiênă đ tàiănàyătácăgi
ch n m t s ch đ c ăb n v đaăth c hay g pătrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i:
Ch

ng 1. T ng quan v đa th c: Trìnhăbàyăcácăkháiăni măvàăcácătínhă

ch tăc ăb n c aăđaăth c.
Ch

ng 2. Các bài toán v nghi m c a đa th c:ăNêuăcáchăgi iăcácăbàiă

toánăv s nghi m c aăđaăth c,ăcácăbàiătoánăv đánhăgiá,ă
Ch

căl

ng nghi m.

ng 3. Các bài toán v xác đ nh đa th c:ăTrìnhăbàyăm t s d ngăbàiă

toánăxácăđ nhăđaăth căđi năhìnhăhayăg pătrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i.
Ch

ng 4. M t s d ng toán khác: Trìnhăbàiăcáchăgi iăbàiătoánăch ng

minhăđaăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x , bàiătoánătìmăđi u ki n c a tham

1

Thang Long University Libraty


s đ đaăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x vàă ng d ng c aăđaăth căvào gi i
h ph

ngătrìnhăđ i x ng vàăch ng minh b tăđ ng th c.
Lu năv nănàyăđ

h

c th c hi n t i Tr

ngă

ng d n c aăTS.ăLêă ìnhăNam, gi ngăviênăTr

i H căTh ngăLongăd
ngă

is

i H căBáchăKhoaăHàă

N i.ăNhânăd pănày,ătácăgi xin g i l iăcámă năđ năcácăth yăcôătrongăkhoaătoánă
Tr

ngă

i H căTh ngăLong đãăh

ng d nătácăgi trong nh ngăn măv a qua

và lòng bi tă năsâuăs c t iăTS.ăLêă ìnhăNamăng

iăđãăt nătìnhăh

ng d nătácă

gi hoànăthànhălu năv nănày.
M c dùătácăgi đãăcóănhi u c g ng, song do th iăgianăvàătrìnhăđ có h n
nênăb n lu năv năkhôngătránhăkh i nh ng thi uăsótănh tăđ nh.ăTácăgi r t mong
s nh năđ
nàyăđ

c nh ng đóngăgópăquýăbáu c a th yăcôăvàăb năđ căđ b n lu năv nă

căhoànăthiênăh n.
Tôiăxinăchânăthànhăcámă n!
HàăN i, ngàyă15 thángă6 n mă2016
Tácăgi
THÂNăV NăD

2


CH

NG 1
A TH C

T NG QUAN V
Trongăch

ngănàyăs trìnhăb y các khái ni măvàăcácătínhăch tăc ăb n c a

đaăth c:ăKháiăni măvànhăđaăth c trênăm t mi nănguyên, nghi m c aăđaăth c,
cácăđ nhălýăth

ng g p c aăđaăth cănh ăđ nhălýăBezoút,ăViéte,ăđ nhălýăc ăb n

c aăđ i s ,ăđ nhălýăgiáătr trungăbình…ăvàăcácăbi u di năđaăth c quen thu c nh ă
bi u di n Lagarange, bi u di n Taylor, bi u di n Newton.
1.1. VĨNH CỄC A TH C M T BI N
Cho K làăm t mi nănguyên cóăđ năv 1. Kíăhi u

K  x  { f  x  a 0  a1x 

 a n xn a i  K , n  }

v i x làăbi n. Gi s
f  x  a 0  a1 x 

 a n xn , g  x  b0  b1x 

 bm xm  K  x .

Khôngălàmăm tătínhăt ngăquát,ătaăcóăth gi s m  n ,ăvàă m  n  s . Khiăđó
g  x  b0  b1x 

 bn s xn s  K  x .

 bn xn  bn1xn1 

Trênă K  x cóăquanăh b ng nhau: f  x  g  x khiăvàăch khi ai  bi v i m i

i  0,..., n vàă bn1 

 bns  0 .

n

Phépăc ng: f  x  g  x    ai  bi  xi  bn1 xn1 
i 0

 bn s xn s .

m n  i


f
x
g
x
Phépănhân:ă        a j bi  j  xi .
i 0  j 0


3

Thang Long University Libraty


B ng vi c ki mătraăcácătínhăch t th t c,ătaărútăraăđ

c r ng v iăhaiăphépă

toánăc ng vàănhânăđãănêuăthìă K  x tr thànhăm tăvànhăgiaoăhoánăcóăđ năv 1.
Khiăđóă K  x đ

K  x đ

c g iălàăvànhăcácăđaăth c c a bi n x trênă K ,ăcácăph n t c a

c g iălàăcácăđaăth c c a bi n x trênă K .
aă th c f  x  a 0  a1 x 

 a n xn đ

c g iă làă cóă b c n vàă vi tă làă

deg f  x  n , n u a n  0 ,ăcácăph n t a n , a n1,..., a1, a 0 đ
c aăđaăth c f  x ,ătrongăđóă a n đ

c g iălàăcácăh s

c g iălàăh s cao nh tăvàă a0 đ

c g iălàăh

s t do.
Quy

c: aăth că0ălàăđaăth căcóăb c  .

nh lỦ 1.1. Cho K làăm t mi nănguyên.ăKhiăđóăvànhăcácăđaăth c K  x làăm t
mi nănguyên.ăNgoàiăra,ăn u f  x , g  x  K  x làăcácăđaăth căkhácăđaăth c 0,
thì
deg  f  x g  x   deg f  x  deg g  x .

1.2. NGHI M C A A TH C
nh ngh a 1.2. Choăđaăth c
P  x  a n xn  a n1 xn1 

Ph n t   K đ

 a1 x  a 0 .

c g iălàănghi m c aăđaăth c P  x n u
P    a n n  a n1 n1 

4

 a1  a 0  0 .


nh ngh a 1.3. Choăđaăth c P  x  K  x vàă   K . N u t n t i m t s t
nhiênă k sao cho P  x chia h t cho  x    nh ngă P  x khôngăchiaăh t cho
k

x 

k 1

thìă  đ

c g iălàănghi m b i b c k c a P  x .

Khi k  1 thìă đ

c g iălàănghi măđ n,ă k  2 thìă đ

c g iălàănghi m

kép.
nh lỦ 1.2. (Bezoút)
Ph n t  làăm t nghi m c aăđaăth c b căd

ngă P  x  K  x n uăvàă

ch n u P  x   x    Q  x v i Q  x  K  x và deg Q  x  deg P  x  1 .
H qu 1.1.
Choăđaăth c b căd
i.

ngă f  x  K  x . Khiăđó,ătaăcó:

N u 1,..., m  K làăcácănghi m c a f  x ,ăthì

f  x   x  1  x  1 

 x   m  g  x v

i g  x  K  x

vàă deg g  x  deg f  x  m ;
ii.

S nghi m c aăđaăth c f  x trong K khôngăv

tăquáăb c c a f  x .

H qu 1.2.
Choăđaăth c P  x  a n xn  a n1 xn1 

 a 0  K  x .

N uăđaăth c P  x cóăquáă n nghi măthìă P  x  0 t călàă an  a n1  ...  a0  0 .
nh lỦ 1.3. (

nh lỦ c b n c a đ i s )

Choăđaăth c f  x 

 x b

ngă n .ăKhiăđóă f  x cóăítăm t nghi m

căd

ph c.
5

Thang Long University Libraty


H qu 1.3.
M iăđaăth c f  x 

 x b

căd

ngă n luônăcóă n nghi m ph c.

nh lỦ 1.4. (Viéte)
N u 1,..., m làăcácănghi m c a m tăđaăth c b c m là
f  x  a 0 xm  a1 xm1 

 am

ng K ,ăthìă

trênătr

a1











1
1
2

m

a0

a2

 2  1 2    m1 m 
a0



m am

 m  1 2  m   1 a .
0


nh lỦ 1.5. Choă đaă th c f  x  a n xn  a n1 xn1 
phânăs t i gi m

p a 0 vàă q a n ;

b)

 p  mq  f  m

N u

v i m .

nhălýăgiáătr trung gian c aăđaăth căliênăt c)

Gi s hàmăs

 a ; b . N

 x .

p
làănghi m c aăđaăth c f  x thì:
q

a)

nh lỦ 1.6. (

 a1 x  a 0 

f liênăt cătrênăđo n  a ; b , nh năgiáătr th cătrênăđo n

u f  a   f  b  thìăv i m i s th c M n m gi a f  a  vàă f  b  , t n

t iăítănh t m tăđi m c   a ;b  sao cho f  c   M .
6


H qu 1.6.1.
Choăđaăth c P  x 
thìăph

 x . N

u t n t i a,b 

sao cho P  a .P  b   0

ngătrìnhă P  x  0 cóănghi m th c trong  a ; b  .

nh lỦ 1.7. (

nhălýăRolle)

Choăhàmăs th c f  x liênăt c,ăxácăđ nhătrênă  a ; b ,ăcóăđ oăhàmătrênă

 a; b  vàă f  a   f b  .ăKhiăđóăt

n t i c   a ;b  sao cho f '  c   0 .

H qu 1.7.1.
Choă hàmă s
ph

f  x liênă t că trênă  a ; b ,ă cóă đ oă hàmă trênă  a ; b  . N u

ngătrìnhă f '  x  0 cóă n nghi m th căphânăbi tătrênă  a ; b  thìăph

ngătrìnhă

f  x  0 cóănhi u nh t n  1 nghi m th căphânăbi tătrênă  a ; b  .
H qu 1.7.2.

Cho P  x 

 x . N

u t n t i a,b 

sao cho P  a   P  b  thìăph

ngă

trìnhă P '  x  0 cóănghi m th c trong  a ; b  .
nh lỦ 1.8. (Quy t căxétăd u Descartes)
Choăđaăth c P  x  a n xn  a n1 xn1 
G i Z  P  làă s nghi măd

 a1 x  a 0 

 x; a n  0 .

ngăc aăđaăth c P  x (đ m c s b i)ăvàă

V  P  làăs l năđ i d uătrongădãyăcácăh s khácăkhôngă a n , a n1,..., a1, a0 c a
P  x . Th thìăV  P   Z  P  vàăăV  P   Z  P  làăm t s ch n.

7

Thang Long University Libraty


G i N  P  làăs nghi măâmăc aăđaăth c P  x (đ m c b i)ăvàă W  P  làă

s l năđ i d u trongădãyăcácă h s khácăkhôngăc aăđaăth c P   x . Th thìă

W  P   N  P  vàă W  P   N  P  làăm t s ch n.
H qu 1.8.1.
Choăđaăth c P  x  a n xn  a n1 xn1 

 a1 x  a 0 v iăcácăh s th c,

a n  0 . N u a n ao  0 thìăs nghi măd

ngăc aăđaăth c P  x (đ m c b i)ălàă

s ch n, n u a n a0  0 thìăs nghi măd

ngăc aăđaăth c P  x (đ m c b i)ălàă

s l .
H qu 1.8.2.
N uăcácăh s c aăđaăth c P  x đ i d uăđúngăm t l năthìă P  x cóăđúngă
m t nghi măd

ng.

1.3. M T VĨI BI U DI N A TH C
nh lỦ 1.9. (Lagarange)
Cho f  x làă m tă đaă th c b c n trênă m tă tr
x0 , x1,..., xn làă n  1 ph n t phânăbi t trong K .

a  0 .ăKhiăđóătaăcó:
n


x  xk 
f  x    f  xi  
;
x
x

i 0 
k i , k 0 i
k
n

i.

n

ii.

f  x  
i 0

f  xi  g  x
.
g '  x i  x  xi

8

ng K cóă đ c s 0ă vàă
n

t g  x  a   x  xi  v i
i 0


nh lỦ 1.10. (Taylor)
Cho P  x làăm tăđaăth c b c n  0 trênăm tătr

ngăKăcóăđ c s 0ăvàă

a  K .ăKhiăđó,ătaăcó

P ' a 
P ''  a 
2
P  x  P  a  
x a 
x a 
1!
2!



P

n

a 

n!

x a

n

.

nh lỦ 1.11. (Newton)
Cho P  x làăm tăđaăth c b c n  0 trênăm tătr

ng K vàă n ph n t

a1,..., a n  K .ăKhiăđó,ăt n t iăcácăph n t 0 ,..., n  K đ

P  x  0  1  x  a1   2  x  a1  x  a 2  

 n  x  a1 ... x  a n  .

9

Thang Long University Libraty


CH

NG 2
CỄC BĨI TOỄN V NGHI M C A A TH C
Trongăch

ngănàyătrìnhăbàyăhaiăd ngătoánăv nghi m c aăđaăth c: D ng

1ălàăcácăbàiătoánăv s nghi m c aăđaăth c, d ngă2ălàăcácăbàiătoánăv đánhăgiáă
căl

ng nghi m

2.1. CỄC BĨI TOỄN V NGHI M C A A TH C
2.1.1. Tìm nghi m c a đa th c v i h s nguyên
Ph

ng pháp gi i:

tìmănghi m h u t c aăđaăth c

f  x  a n xn  a n1 xn1 

 a1 x  a 0 

 x .

Ta th c hi nănh ăsau:
B

c 1 : S d ngăđ nhălýă1.5 ta nh m nghi m c aăđaăth c f  x ;

B

c 2 : S d ngăs ăđ Hoocneăđ phânătíchăđaăth c f  x thànhătíchăcácăđaă

th c b c nh h n.
Chú Ủ :

 N u t ngăcácăh s c aăđaăth c b ngă0ăthìăđaăth căcóănghi m x  1 ;
 N u t ngăcácăh s b c ch n b ng t ngăcácăh s b c l thìăđaăth căcóă
nghi m x  1 .
Ví d 1 Tìmănghi m c aăđaăth c
f  x  2 x4  x3  7 x2  x  2 .

Gi i :

10


Gi s

p
làă nghi m c aă đaă th c f  x , theoă đ nhă lýă 1.5 thìă p 2, q 2 nênă
q

p {-2;-1;1;2},q {-2;-1;1;2} ,

 p  q  f  1  3 .

m tă khácă

 p, q  { 2; 1 ,  2;1 ,  1; 2,  1;2 , 1; 2 , 1;2 ,  2; 1,  2;1}
th y 2,

Suy

ra

th l i ta

1
làănghi m c aăđaăth c f  x .
2





S d ngăs ăđ Hoocneătaăphânătíchă f  x   2 x  1 x  2  x2  x  1 .
1
1 5
1 5
.
Suy ra f  x cóă4ănghi m x  2; x  ; x 
;x 
2
2
2

Ví d 2 Tìmănghi m c aăđaăth c
f  x  32 x4  56 x3  20 x2  26 x  3 .

Gi i :
f  x  32 x4  56 x3  20 x2  26 x  3  2. 2 x  7. 2 x  5. 2 x  13. 2 x   3.
4

3

4

t t  2 x đaăth c f  x tr thành
g  t   2t 4  7t 3  5t 2  13t  3 .

T ngăcácăh s b c ch n b ng t ngăcácăh s b c l b ng -6.ăSuyăraăđaăth c

g  t  cóănghi m t  1.





Suy ra g  t    t  1 2t 3  5t 2  10t  3 ,
t  1
g t   0   3
2
 2t  5t  10t  3  0

1.
11

Thang Long University Libraty


p
làă nghi m c aă đaă th c (1),ă theoă đ nhă lýă 1.5 thìă p 3, q 2 nênă
q

Gi s

p {-3;-1;1;3},q {-2;-1;1;2} ,

m tă khácă

 p  q  f  1  10 .

Suy

ra

 p, q  { 3; 2 ,  3;1 ,  3;2 ,  1; 1 ,  1;2 , 1; 2 , 1;1, 3; 2 , 3; 1, 3;2}
th l i ta th y

3
làănghi m c a (1).
2

S d ngăs ăđ Hoocneătaăđ

c

 3
t
1   2t  3  t 2  4t  1  0  2
t  2  3.
1 3 2 3
Suyăraăđaăth c f  t  cóăb n nghi m  ; ;
.
2 4

2

Nh n xét : Khiătìmănghi m c aăđaăth c f  x taăcóăth đ t n ph t  px đ
đ aăbàiătoánătìmănghi m c aăđaăth c bi n t v i h s đ năgi năh n,ăcóăth gi m
b t vi c ki mătraăcácănghi m.
2.1.2. a th c không có nghi m h u t
Ph

ng pháp gi i :

ph

ngăphápăch ng minh ph n ch ng. Ta gi s đaăth căcóănghi m h u t

ch ngăđaă th că khôngă cóă nghi m h u t ta s d ng
p
q

vàăs d ngătính ch n l , tính chia h tăđ suyăraăđi u gi s làămâuăthu n.
Ví d 1
Ch ng minh r ng m iăđaăth c b c ch n P  x 
nguyênăl đ uăkhôngăcóănghi m h u t .
Gi i :
12

 x cóăcácăh

s làăs

P  x  a 2 n x2 n  a 2 n1 x2 n1 

Gi s

 a1 x  a 0 , ai làăs nguyênăl

i  1,2,...,2n  .

p
làăm t nghi m h u t c aăđaăth c P  x trongăđóă p, q  ,  p, q   1.
q

Taăcóă q a 2n , p a0 . Do a 2 n , a 0 làăs l nênă p, q c ngălàăs l .
2n

 p
 p
p
Màă làănghi m c a P  x nênă a 2 n    a 2 n1  
q
q
q

Suy ra a 2 n p 2 n  a 2 n1. p 2 n1.q 

2 n 1



 a1

p
 a0  0 .
q

 a1. p.q 2 n1  a 0 q 2 n  0 1 .

Do p, q,a i  i  1,2,...,2n  đ uălàăs nguyênăl nênăv tráiă(1)ălàăs l màăv ph i
b ngă0ăkhôngăph iălàăs l đi uănàyămâuăthu n.ă i uănàyăch ng t đi u gi s
làăsai.

 x vàăgi s f  0 f 1 f  2...f  2015 khôngă
ng minh r ng f  x khôngăcóănghi mănguyên.

Ví d 2 Choăđaăth c f  x 
chia h t cho 2016. Ch

Gi i :
Gi s

f  x cóănghi mănguyênă x  p .ăTheoăđ nhălýă1.5 thìăv i s nguyênă m

taăcóă p  m f  m . T đóăsuyăra
p  p  1 p  2 ... p  2015 f  0  f 1 f  2 ...f  2015  .

M tăkhácă p  p  1 p  2 ... p  2015 2016 .
Suy ra f  0  f 1 f  2 ...f  2015 2016 đi uănàyăm u thu n v i gi thi t.ăNh ă
v yăđi u gi s làăsai.
V yăđaăth c f  x khôngăcóănghi mănguyên.
13

Thang Long University Libraty


Nh n xét : Bàiătoánătrênăv năđúngăn u ta thay 2016 b i m t s nguyênăd
b t k . Ví d 3 d

ngă

iăđâyălàăbàiătoánăt ngăquátăc a Ví d 2.

Ví d 3
Choăđaăth c f  x 

 x vàăgi

cho n v i n làăm t s nguyênăd

f  0 f 1 f  2...f  n  1 khôngăchiaăh t

s

ngăb t k . Ch ng minh r ng f  x khôngăcóă

nghi m nguyên.
Ví d 4

 x th aă mãnă P  0 , P 1 đ uă làă s
c P  x khôngăcóănghi mănguyên.

Choă đaă th c P  x 
Ch ng minh r ngăđaăth

nguyênă l .

Gi i :
Gi s  làăm t nghi mănguyênăc aăđaăth c P  x ,ătaăcóă

P  x   x    Q  x , Q  x 

 x .

Suy ra P  0    0    Q   , P 1  1    Q 1 .
Do P  0  , P 1 đ uălàănh ng s l nênă  0    , 1    c ngălàănh ng s nguyênă
l .ă i uănàyăvô lýăvìă  0    , 1    làăhaiăs nguyênăliênăti pănênăph iăcóăm t
s ch n.
V yăđi u gi s làăsai.
Nh n xét :
bàiătoánătrênăđi u quan tr ng khôngăph i s 0ăvàă1ămàăquanătr ngălà
hai s 0, 1 ph iăcóăm t s ch n, m t s l vàă P  0  , P 1 làăs l .ăD
m tăbàiătoánăt

ngăt nh ăth .
14

iăđâyălàă


Ví d 5
Choăđaăth c P  x 

làăm t s nguyênăd



 x th

ngăchoătr

 



aămãnă P 2015k .P 2016k  2017k v i k

c. Ch ngăminhăđaăth cănàyăkhôngăcóănghi m

nguyên.
Gi i :



 





 



T gi thi t P 2015k .P 2016k  2017k taăcóă P 2015k , P 2016k làăs l .

 làă m t nghi mă nguyênă c a P  x suy ra P  x   x    Q  x ,

Gi s

Q  x 

 x .

Taăcóă

P  2015k    2015k    Q  2015k  ,
P  2016k    2016k    Q  2016k  .



 

Do P 2015k , P 2016k









đ uă làă s l nênă 2015k   , 2016k   c ngă làă







nh ng s l đi uănàyămâuăthu năvìă 2015k   , 2016k   cóăm t s ch năvìă

2015k làăs l cònă 2016k làăs ch n.ăMâuăthu nănàyăch ng t đi u gi s làă
sai.
V yăđaăth cănàyăkhôngăcóănghi mănguyên.
Ví d 6
Choă cácă đaă th c

P  x , Q  x 

 x

vàă a 

th aă mãnă

P  a   P  a  2015  0 , Q  2014  2016 . Ch ng minh r ngă ph

ngă trìnhă

Q  P  x   1 khôngăcóănghi mănguyên.

15

Thang Long University Libraty


Gi i :

P  a   P  a  2015  0 suy ra P  x   x  a  x  a  2015.g  x .
V i x

taăcóătrongăhaiăs x  a , x  a  2015 cóăm t s ch nănênăă P  x ch n

v i x  . Gi s x0 

làănghi m c aăph

ngătrìnhă Q  P  x   1

 Q  P  x0    1  Q  x   x  P  x0   .h  x  1

 Q  2014   2014  P  x0  .h  2014 

 2016   2014  P ( x0 ).h  x0   1 (*).
Do P  x0  ch nănênăv tráiă(*)ălàăs l màăv ph i (*) ch n.ă i uănàyămâuăthu n.
Suyăraăđi u gi s làăsai.
Nh n xét :
Bàiătoánătrênăcóăth t ngăquátăthànhăbàiătoánăsau :
BƠi toán
Choăđaăth c P  x , Q  x 

 x vàă m, n, p 

th aămãnă

P  2n   p  2m  1  0 , Q  2 p  chia h t cho 2. Ch ng minh r ngăph

ngă

trìnhă Q  P  x   2q  1 vôănghi m ( q  ).
Ví d 7 (

thi h c sinh gi i t nhăPhúăYênăn mă2009-2010)

Choăđaăth c f  x  x4  2011x3   2010  a  x2  2009 x  a , a  .
Ch ng minh r ngăđaăth cănàyăkhôngăth cóăhaiănghi mănguyênă(phânăbi t ho c
trùngănhau).

16


Gi i :
Gi i s

x0 làă m t nghi mă nguyênă c a f  x .ă Taă cóă f  x0   0 màă

f 1  2a  2009 làă m t s

 f  x   f 1   x
0

Tr

o

l

nênă f  x0   f 1 làă s

l . M tă khácă

 1 doăđóă x0  1 c ngălàăm t s l hay x0 làăs ch n.

ng h p 1 : Gi s đaăth c f  x cóăhaiănghi mănguyênă x1, x2  x1  x2  . Khi

đó
0

f  x1   f  x2 
x1  x2

 x13  x12 x2  x1 x22  x23  2011 x12  x1 x2  x22    2010  a  x1  x2   2009.

i uănàyăvôălýădoăv ph iălàăm t s l vì x1 , x2 đ uălàăs ch n.
Tr

ng h p 2 : Gi s đaăth c f  x cóănghi măképă x1  x2 .ăKhiăđóă f   x1   0.

i uănàyăkhôngăth x yăraăvì
f   x1   4 x13  6033x12  2  2010  a  x1  2009 làăs l vìă x1 làăs ch n.

Taăđ

căđi u ph i ch ng minh.

Nh n xét :
ch ng minh m tăđaăth căkhôngăcóăquáă n nghi mănguyênătaăth
s d ngăph

ng

ngăphápăph n ch ng. Khi ch ng minh ta s d ngăthêmăcácătínhă

ch t v chia h t,ătínhăch n l c a s nguyên,ăs phânătíchăm t s nguyênăthànhă
tíchăcácăs nguyênăkhác…

17

Thang Long University Libraty


2.1.3. S t n t i nghi m th c c a đa th c
D ng 1. Ch ng minh đa th c có nghi m th c
Ví d 1 Ch ng minh r ngăđaăth c P  x  x4  3x2  5 x  2 cóăđúngăhaiănghi m
d

ng.
Gi i :

Dãyăd u c aăcácăh s làă+ă- - +ănênăs l năđ i d u c aădãyăh s làă W  2 . G i
ngăc aăđaăth c P  x làă N . Theo quy t c d uăDescatesăthìă N  2

s nghi măd

vàă 2  N làăs ch n suy ra N  0 ho c N  2 . M tăkhácă P  0.P 1  10  0
nênăđaăth căcóăítănh t m t nghi m thu c kho ng  0;1 .ăDoăđóă P  x cóăđúngă
hai nghi măd

ng.

Ví d 2 Ch ng minh r ngăđaăth c P  x  x5  3x4  x3  8 x2  10 x  2 cóăđúngă
hai nghi măd

ngăvàăítănh t m t nghi măâm.
Gi i :

Dãyăd u       nênăs l năđ i d u c aădãyăh s làă W  2 . G i s nghi m
d

ngăc aăđaăth călàă N . Theo quy t c d uăDescartesăthìă N  2 vàă 2  N làăs

ch nănênă N  0 ho c N  2 màă P  0.P 1  38  0 nênăđaăth căcóăítănh t
m t nghi m thu c kho ng  0;1 . Suy ra N  2 t căđaăth c P  x cóăđúngăhaiă
nghi măd

ng.

Xétăđaăth c G  x  P   x   x5  3x4  x3  8 x2  10 x  2 .
Dãyăd uăcácăh s làă       nênăs l năđ i d uăcácăh s c aăđaăth c làă
WG  3 . G i s nghi măd

ngăc a G  x làă NG . Theo quy t c d u Descartes

18


thìă NG  3 vàă 3  NG làăs ch nănênă NG  1 ho c NG  3 .ăDoăđaăth c G  x cóă
ítănh t m t nghi măd
Ví d 3 (

ngănênăđaăth c P  x cóăítănh t m t nghi măâm.

thi h c sinh gi i qu c gia – VMO 2003)

Choăhaiăđaăth c
P  x  4 x3  2 x2  15 x  9,
Q  x  12 x3  6 x2  7 x  1

a) Ch ng minh r ng m iăđaăth căđã choăcóăbaănghi m th căphânăbi t ;
b) Kýăhi u  ,  làănghi m l n nh t c a P  x vàă Q  x . Ch ng minh r ng

2   2  4.
Gi i:
a) Taăcóăhaiăđaăth c P  x , Q  x liênăt cătrênă .
9  33  15  33
3
Ta l iăcóă P  2   1, P  1  18, P     , P 

2  3 
9
2

2
1
Q  2   57, Q  1  2, Q     , Q 1  12 .
9
3
3   3 33 

Suy ra P  x cóăbaănghi mătrongăcácăkho ng  2; 1 ,  1;  ,  ;
.
2 2 3 


1 1
Q  x cóăbaănghi m n mătrongăcácăkho ng  2; 1 ,  1;  ,  ;1 .
 3  3 
3
33
b) Vìă  làănghi m l n nh t c a P  x nênă   
và
2
3

19

Thang Long University Libraty


4 3  2 2  15  9  0
 4 3  15  2 2  9

 16 4  124 4  261 2  81  0 * .

3
33
Vìă   
nênă 4   2  0 .ă
2
3

t

3 4   2 
3

,

ta s ch ng minh  làănghi m l n nh t c a Q  x . Th t v y:

 3 4   2  
  16 6  124 4  261 2  81  0 (Theo (*)).
Q   Q


3


 1 21   1 
 3 33 
Vìă    ;
   ;1 hay  làă nghi m l n nh t c a

 nênă    ;
3
6
2
3

 3 



Q  x .ăSuyăraăđi u ph i ch ng minh.
Ví d 4 (

thiăOlympicăToánăsinhăviênă2001)

Cho a ,b,c,d,e làăcácăs th c. Ch ng minh r ng n uăph

ngătrình

ax2   b  c  x  d  e  0

cóănghi m th c trong [1; ) thìăph

ngătrình

ax4  bx3  cx2  dx  e  0
c ngăcóănghi m th c.
Gi i :
G i x0 [1; ) làăm t nghi m c aăph

ngătrìnhăă ax2   b  c  x  d  e  0 .

Suy ra ax02  bx0  e    bx0  d  .
t f  x  ax4  bx3  cx2  dx  e .ăKhiăđó

20