Các điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

BÙI THỊ BÍCH PHƯƠNG

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN
QUY HOẠCH HAI CẤP TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và
bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá
trình học tập để tôi hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, ngày 16 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Bích Phương


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc
sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Các điều kiện tối ưu trong bài
toán quy hoạch hai cấp tuyến tính” được hoàn thành bởi chính sự nhận
thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 16 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Bích Phương


BẢNG KÝ HIỆU

R

tập số thực

Rn

không gian Euclide n− chiều

∅

tập rỗng

| x|

giá trị tuyệt đối của x ∈ Rn

grphF

đồ thị của F

A×B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

∀x

với mọi x

Argmin{f (x) | x ∈ ΣΩ} tập nghiệm của bài toán tối ưu vô hướng
A := B

A được định nghĩa bằng B

limsup

giới hạn trên cho dãy số thực

intΩ

phần trong của Ω

clΩ

bao đóng của Ω

convΩ

bao lồi của Ω

x, y
∂f (x)

tích vô hướng của x và y
dưới vi phân giới hạn
(dưới vi phân Mordukhovich) của f tại x

∇f (x)

gradient của f tại x

rgA

hạng của ma trận A

E

ma trận đơn vị có số chiều tương ứng

ep = (1, · · · , 1)T ∈ Rp

vectơ p chiều có các tọa độ bằng một

ΨL (·)

tập nghiệm của bài toán cấp dưới tuyến tính

R(B)

miền ổn định với một nghiệm của một quy hoạch
tuyến tính

∇f (x)

gradient của hàm f : Rn → R, gradient là một
hàng vectơ

∇x f (x, y)

gradient của hàm f : Rn × Rm → R tương ứng
với biến x


Mục lục
Mở đầu

1

1 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính

3

1.1

Mô hình và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tính chất hình học của quy hoạch hai cấp tuyến tính . .

7

2 Sự tồn tại nghiệm trong tối ưu hai cấp tuyến tính

12

2.1

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Mối liên hệ với các bài toán quy hoạch toán học khác . .

17

2.2.1

Tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2

Quy hoạch 0–1 tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

22

3 Các điều kiện tối ưu hai cấp tuyến tính

25

3.1

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

Một số điều kiện tối ưu khác . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.1

Trường hợp optimistic . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.2

Trường hợp pessimistic . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

40
iv


Tài liệu tham khảo

41


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán quy hoạch hai cấp được phát biểu lần đầu tiên bởi H. V.
Stackelberg năm 1934 trong cuốn chuyên khảo về kinh tế thị trường. Một
dạng đặc biệt của các bài toán quy hoạch hai cấp là trò chơi Stackelberg
đã được xem xét nhiều trong lý thuyết trò chơi kinh tế. Các bài toán

quy hoạch hai cấp được giới thiệu tới cộng đồng tối ưu hóa trong những
năm bảy mươi của thế kỷ 20. Sau thời điểm đó đã có một sự phát triển
nhanh chóng các nghiên cứu chuyên sâu cho lớp bài toán này theo cả
hai hướng nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng bởi các nhà toán học, kinh
tế và kỹ sư. Từ quan điểm toán học, bài toán quy hoạch hai cấp là bài
toán phức tạp có độ khó NP. Với những lí do này và trong khoảng thời
gian có hạn, tôi chọn nghiên cứu một lớp đặc biệt của các bài toán này
là “Các điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính”
cho đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết quy hoạch hai cấp, cụ thể là mô hình bài
toán, các khái niệm nghiệm, sự tồn tại nghiệm, mối quan hệ giữa bài
toán quy hoạch hai cấp và các bài toán quy hoạch toán học khác, điều


2
kiện cần và đủ tối ưu trong các bài toán quy hoạch hai cấp.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sự tồn tại nghiệm, mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch hai cấp
tuyến tính và các bài toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần và
đủ tối ưu trong các bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết tối ưu tuyến tính, quy hoạch hai cấp tuyến tính, sự tồn
tại nghiệm và các điều kiện tối ưu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giải

tích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu.

6. Đóng góp của luận văn
Trình bày tổng quan về lý thuyết quy hoạch hai cấp tuyến tính, sự
tồn tại nghiệm, mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính
và các bài toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần và đủ tối ưu
trong các bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính.


3

Chương 1

Bài toán tối ưu hai cấp
tuyến tính
Trong chương này ta sẽ trình bày mô hình, ví dụ và tính chất hình
học của bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính.

1.1

Mô hình và ví dụ

Bài toán tối ưu hai cấp tổng quát là một bài toán tối ưu trong đó
gồm hai biến x và y với x được chọn là một nghiệm của bài toán thứ
hai chứa tham số y. Do đó đây là bài toán có cấp bậc theo ý nghĩa các
ràng buộc của bài toán quy hoạch hai cấp được xác định bởi một bài
toán cấp dưới. Ta xét dạng của bài toán cấp dưới:
min{f (x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) = 0},
x

ở đó f : Rn × Rm → R,
Rq ,

g : Rn × R m → Rp ,

g (x, y) = (g1 (x, y) , ..., gp (x, y))T ,

(1.1)
h : Rn × Rm →

h (x, y) = (h1 (x, y) , ..., hq (x, y))T ,

có tập nghiệm kí hiệu là Ψ(y) với cố định y ∈ Rn và Ψ được gọi là ánh
n

xạ đa trị từ Rm vào Rn , kí hiệu là Ψ : Rm → 2R ,Ψ(y) = Sol(1.1) =


4
Argmin{f (x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) = 0}
x

= {x ∈ Rn : f (x, y) = min{f (x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) = 0}}.
x

Khi đó ta có bài toán quy hoạch hai cấp có dạng là:
“ min ” {F (x(y), y) : G(x(y), y) ≤ 0, H(x(y), y) = 0, x(y) ∈ Ψ(y)} ,
y

(1.2)

ở đó F : Rn × Rm → R,

G : Rn × Rm → Rk ,

H : R n × Rm → Rl .

Hàm F được gọi là hàm mục tiêu cấp trên, hàm G và hàm H được gọi
là các hàm ràng buộc cấp trên. Trong luận văn này chúng tôi chỉ tập
trung nghiên cứu các bài toán quy hoạch tuyến tính hai cấp có dạng
(1.1), (1.2), ở đó mọi hàm số được xét đều là các hàm affin và ràng buộc
cấp trên G (x (y) , y)

0, H (x (y) , y) = 0 phụ thuộc vào y.

Khi đó cho bài toán cấp dưới
min < c, x >: A1 x ≤ a − A2 y, x ≥ 0 ,
x

ở đó x ∈ Rn ,

y ∈ Rm ,

a ∈ Rp ,

A1 ∈ Rp×n ,

A2 ∈ Rp×m ,

(1.3)
c ∈ Rn .

Chú ý rằng sự mô tả của bài toán tối ưu tuyến tính phụ thuộc tham số
ở trên không thực sự hạn chế trong trường hợp tổng quát miễn là chúng
ta chỉ nhiễu tuyến tính vế phải. Trường hợp hàm mục tiêu của bài toán
cấp dưới phụ thuộc tham số cũng như trường hợp khi cả vế phải và hàm
mục tiêu là nhiễu tuyến tính có thể giải quyết bằng cách tương tự. Kí
hiệu
ΨL (y) = Argmin < c, x >: A1 x ≤ a − A2 y, x ≥ 0
x

là tập các nghiệm tối ưu của bài toán (1.3). Khi đó, bài toán quy hoạch
hai cấp có dạng:
min < d1 , x > + < d2 , y >: A3 y = b, y ≥ 0, x ∈ ΨL (y) ,
y

(1.4)


5
ở đó b ∈ Rl y ∈ Rm , và A3 ∈ Rl×m . Ta cũng chú ý rằng, dạng phát biểu
của bài toán trên thường được sử dụng để biểu thị tính bất định trong
định nghĩa của bài toán hai cấp trong trường hợp nghiệm của bài toán
cấp dưới không duy nhất.
Ví dụ 1.1. Xét bài toán cực tiểu của hàm mục tiêu cấp trên
3x + y → min,
với 1 ≤ y ≤ 6 và x là nghiệm của bài toán cấp dưới
min {−x : x + y ≤ 8, 4x + y ≥ 8, 2x + y ≤ 13} .
x

Tập tất cả các cặp (x, y) thỏa mãn các ràng buộc cả cấp trên và

cấp dưới kí hiệu là M , tương tự các hướng cực tiểu của hàm mục tiêu
của cả các bài toán cấp trên và cấp dưới kí hiệu bởi các mũi tên và được
minh họa trong Hình 1.1.
Tập chấp nhận được của bài toán cấp dưới với mỗi giá trị cố định
y là giao của tập M với tập tất cả các điểm nằm trên trục Oy. Bây giờ,
nếu hàm f (x, y) = −x là cực tiểu trên tập này, thì ta vẽ một đường nét
đậm biểu thị nghiệm tối ưu của bài toán cấp dưới:

6, 5 − 0, 5y với 1 ≤ y ≤ 3,
x(y) =
8 − y
với 3 ≤ y ≤ 6,
với mọi 1 ≤ y ≤ 6 là tập tất cả các điểm trên đường nét đậm. Do đó,
các đường nét đậm cho ta tập chấp nhận được của bài toán cấp trên.
Trên tập này, hàm mục tiêu cấp trên đạt được cực tiểu là:

19, 5 − 0, 5y với 1 ≤ y ≤ 3,
F (x(y), y) =
24 − 2y
với 3 ≤ y ≤ 6.
Nghiệm tối ưu toàn cục đạt được tại điểm D = (2, 6)T và có giá trị tối


6

x

f(x,y)

A

E

F(x,y)

M

D
B

1
y

1

Hình 1.1: Bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính.


7
ưu là 12.
Từ Hình 1.1 ta thấy, kể cả trường hợp đơn giản nhất là các hàm
tuyến tính, bài toán quy hoạch hai cấp là một bài toán tối ưu không lồi
và không khả vi. Vì vậy, khi tìm nghiệm tối ưu hay là tìm các điểm dừng
của các bài toán này có thể gặp rất nhiều khó khăn.

1.2

Tính chất hình học của quy hoạch hai
cấp tuyến tính

Hình 1.1 gợi ý rằng tập chấp nhận được của bài toán quy hoạch hai
cấp tuyến tính có biểu diễn dưới dạng hợp các mặt của tập M . Chúng
ta sẽ chỉ ra rằng tính chất đúng cho lớp bài toán hai cấp tuyến tính tổng
quát.
q

Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ Γ : Rp → 2R được gọi là đa diện nếu đồ
thị của nó
grphΓ := {(x, y) ∈ Rq × Rp : x ∈ Γ(y)}

(1.5)

là hợp của một số hữu hạn các tập lồi đa diện.
Nhắc lại rằng, một tập được gọi là lồi đa diện nếu nó là giao của
một số hữu hạn các nửa không gian.
Xét bài toán (1.3) có tập nghiệm là
ΨL (y) = Argmin < c, x >: A1 x ≤ a − A2 y, x ≥ 0
x

ta có
Định lý 1.1. [2, Theorem 3.1] Ánh xạ ΨL (·) là đa diện.


8
Chứng minh. Do tính đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính, x ∈ ΨL (y)
nếu và chỉ nếu tồn tại λ ∈ Rp sao cho
A1 x + A2 y ≤ a, x ≥ 0, λ ≥ 0, λ, A1 x + A2 y − a = 0,
A1T λ + c ≥ 0, x, A1T λ + c = 0.
Với mọi tập I ⊆ {i, . . . , n},

(1.6)

J ⊆ {1, . . . , p} xét tập nghiệm M (I, J)

của hệ đẳng thức (bất đẳng thức) tuyến tính
(A1 x + A2 y − a)i = 0, i ∈ J, (A1 x + A2 y − a)i ≤, i ∈
/ J,
xj = 0, j ∈
/ I, xj ≥ 0, j ∈ I, λi = 0, i ∈
/ J, λi ≥ 0, i ∈ J,
(A1T λ + c)j = 0, j ∈ I, (A1T λ + c)j ≥ 0, j ∈
/ I.
Khi đó, điều kiện (1.6) được thỏa mãn. Tập M (I, J) là đa diện và hình
chiếu của nó cũng là đa diện trên Rn × Rm . Từ đồ thị của ΨL (·) là hợp
của các tập M (I, J), ta có các khẳng định sau. Nếu một tập M (I, J) là
khác rỗng thì hình chiếu của nó trên không gian Rn × Rm bằng tập tất
cả các nghiệm của hệ:
(A1 x + A2 y − a)i = 0, i ∈ J, (A1 x + A2 y − a)i ≤ 0, i ∈
/ J,
xj = 0, j ∈
/ I, xj ≥ 0, j ∈ I.
Tập này xác định một mặt của tập lồi đa diện {(x, y) : A1 x + A2 y ≤
a, x ≥ 0}. Mặt khác, nếu một số điểm trong (x, y) của một mặt của tập
{(x, y) : A1 x + A2 y ≤ a, x ≥ 0} là chấp nhận được, thì x ∈ ΨL (y), suy
ra tất cả các mặt có tính chất này.
Sử dụng Định lý (1.1) cho quy hoạch hai cấp tuyến tính có thể tìm
được hàm mục tiêu cực tiểu trên mỗi phần của grphΨL (·) phụ thuộc vào
các ràng buộc cấp trên của bài toán (1.4). Mỗi bài toán con này là một
bài toán tối ưu tuyến tính. Do đó từ Định lý (1.1) ta thu được hệ quả
sau

9
Hệ quả 1.1. [2, Corollary 3.1] Nếu nghiệm tối ưu của bài toán cấp dưới
(1.3) là xác định duy nhất với mỗi giá trị của tham số y, thì tồn tại
một nghiệm tối ưu của bài toán (1.4) là một đỉnh của tập lồi đa diện
{(x, y) : A1 x + A2 y ≤ a, A3 y = b, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Sử dụng chứng minh của Định lý 1.1 dễ thấy đồ thị của ΨL (·) là tập
lồi đa diện nên nó cũng là tập liên thông. Suy ra tập chấp nhận được
của bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính (1.4) cũng là liên thông. Ví
dụ sau cho thấy rằng điều này không đúng nếu tồn tại một nghiệm tối
ưu của bài toán (1.3) có hai giá trị khác nhau của tham số y.
Ví dụ 1.2. Xét bài toán hàm mục tiêu cấp trên cực tiểu
3x + y → min,
với 0 ≤ y ≤ 8, x ≤ 5 và x là nghiệm của bài toán cấp dưới
min{−x : x + y ≤ 8, 4x + y ≥ 8, 2x + y ≤ 13, 2x − 7y ≤ 0}.
x

Hình 1.2 minh họa tập chấp nhận được của ví dụ này. Nghiệm tối
ưu của bài toán cấp dưới là



3, 5y


x(y) = 6, 5 − 0, 5y




8 − y
với y ∈

8 10
15 , 7

13
8,

với

8
15

≤y≤

với

13
8

≤ y ≤ 3,

với 3 ≤ y ≤ 8,

∪ [3, 8], x ≤ 5 cố định. Ta thấy tập chấp nhận được của

bài toán trong ví dụ trước thay đổi tính cực trị nếu ràng buộc cấp trên
x ≤ 5 được đưa vào bài toán cấp dưới. Khi đó tập chấp nhận được của
bài toán cấp trên lại không liên thông và bằng tập các điểm (x(y), y) với


8


3, 5y với 15
≤ y ≤ 10

7,

x(y) = 5
với 10
7 ≤ y ≤ 3,



8 − y với 3 ≤ y ≤ 8.


10

-x

min

x

ràng buộc cấp trên

B

1
y

1

Hình 1.2: Bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính với tập chấp nhận
được không liên thông.


11
Vì với x = 5 thì có nhiều giá trị của y (tập liên thông là tập với mỗi giá
trị của x thì có một giá trị của y).
Kết luận: Chương một trình bày cụ thể mô hình của bài toán tối
ưu hai cấp tuyến tính; mối liên hệ của bài toán này với các bài toán quy
hoạch khác.


12

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm trong
tối ưu hai cấp tuyến tính
2.1

Sự tồn tại nghiệm

Ở chương trước ta đã xét bài toán quy hoạch hai cấp (1.4) có dạng:
min < d1 , x > + < d2 , y >: A3 y = b, y ≥ 0, x ∈ ΨL (y) .
y

Trong trường hợp tổng quát hơn ta xét bài toán quy hoạch hai cấp được
thay thế bởi
ΨL (y) = Argmin{ y 1 , x : A1 x + A2 y 2 ≤ a, x ≥ 0},

(2.1)

x

với y = (y 1 , y 2 )T ∈ Rn+m ,
Rp×m ,

x ∈ Rn ,

a ∈ Rp ,

A1 ∈ Rp×n ,

A2 ∈

A3 ∈ Rl×m . Khi đó, ánh xạ ΨL (·) là đa diện. Nếu nghiệm tối

ưu cấp dưới là xác định duy nhất với mọi giá trị của tham số thì có thể
sử dụng Định lý Weierstrass để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm
tối ưu trong bài toán quy hoạch hai cấp. Bằng cách sử dụng quy hoạch
tuyến tính phụ thuộc tham số dễ thấy nếu bài toán (2.1) có một nghiệm
tối ưu duy nhất với mọi giá trị tham số thì các nghiệm này định nghĩa


13

một hàm số liên tục x : Rn+m → Rn với {x(y)} = Ψ(y) với mọi y sao
cho bài toán (2.1) có một nghiệm tối ưu. Khi đó, nếu nghiệm này được
thay vào bài toán quy hoạch hai cấp (1.4), thì ta nhận được bài toán
min{ d1 , x(y) + d2 , y : A3 y = b, y ≥ 0},
y

(2.2)

với định nghĩa cực tiểu tốt tương ứng với y. Bài toán tối ưu này là liên
tục nhưng không khả vi. Sử dụng Định lý Weierstrass ta có
Định lý 2.1. (Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hai cấp
tuyến tính)[2, Theorem 3.2] Nếu tập M := {y ≥ 0 : A3 y = b} là khác
rỗng và compact, bài toán cấp dưới (2.1) có nhiều nhất một nghiệm tối
ưu với mọi y ∈ M và tập chấp nhận được của bài toán (1.4) là khác
rỗng, thì bài toán này có ít nhất một nghiệm tối ưu.
Như vậy nghiệm tối ưu (toàn cục) và tất cả các nghiệm tối ưu địa
phương có thể tìm thấy tại các đỉnh của một số các tập đa diện. Các
tập này là hình chiếu của tập nghiệm mỗi một hệ đẳng thức (bất đẳng
thức) tuyến tính sau lên Rn × Rm . Mỗi hệ này tương ứng với hai tập chỉ
số I ⊆ {1, . . . , n} ,J ⊆ {1, . . . , p} và được xác định như sau
(A1 x + A2 y 2 − a)i = 0,

λi ≥ 0,

với i ∈ J,

(A1 x + A2 y 2 − a)i ≤ 0,

λi = 0,

với i ∈
/ J,

(A1T λ + y 1 )j = 0, xj ≥ 0 với j ∈ I,

(2.3)

(A1T λ + y 1 )j ≥ 0, xj = 0 với j ∈
/ I,
A3 y = b, y ≥ 0.
Nếu hàm mục tiêu của bài toán cấp dưới không phụ thuộc vào cách chọn
y, thì các nghiệm tối ưu của bài toán (1.3), (1.4) có thể tìm thấy tại các
đỉnh của tập {(x, y) ≥ 0 : A1 x + A2 y ≤ a, A3 y = b} tương tự với kết quả
của Hệ quả (1.1).
Giả sử tính đơn trị của Định lý 2.1 không thỏa mãn trường hợp các
bài toán tối ưu cấp dưới tuyến tính có một tham số trong hàm mục tiêu


14
nhưng không tham số hóa tập chấp nhận được trừ khi nghiệm tối ưu là
hằng số trên tập M . Khi đó, từ lựa chọn y không thể kiểm tra được lựa
chọn x, điều này đánh giá độ khó của giá trị hàm mục tiêu trước khi
biết cách chọn của bài toán cấp dưới. Trong nhiều cách giải, mỗi cách
cần một số giả thiết về mối liên hệ giữa x và y. Ta sẽ nghiên cứu hai
mối liên hệ sau.
Thứ nhất, giả sử lựa chọn y có thể ảnh hưởng đến lựa chọn x để tìm
được nghiệm tối ưu tốt nhất trong trường hợp bài toán tối ưu đã biết
trước kết quả. Từ đó ta thu được bài toán quy hoạch hai cấp optimistic:
min{ d1 , x + d2 , y : A3 y = b, y ≥ 0, x ∈ ΨL (y)},
x,y

(2.4)

trong đó hàm mục tiêu là hàm tối ưu theo hai biến x, y độc lập. Một
nghiệm tối ưu của bài toán (2.4) được gọi là nghiệm tối ưu optimistic
của bài toán quy hoạch hai cấp (1.4), (2.1). Chú ý rằng, nếu bài toán
này có một nghiệm tối ưu thì nó tương đương với bài toán sau
min{ϕo (y) + d2 , y : A3 y = b, y ≥ 0},
y

(2.5)

ở đó
ϕo (y) = min{ d1 , x : x ∈ ΨL (y)}.
x

Thứ hai, nếu lựa chọn y không thể ảnh hưởng đến lựa chọn x trong
trường hợp bài toán tối ưu không biết trước kết quả. Ta thu được bài
toán được gọi là bài toán hai cấp pessimistic:
min{ϕp (y) + d2 , y : A3 y = b, y ≥ 0},
y

(2.6)

ở đó
ϕp (y) = max{ d1 , x : x ∈ ΨL (y)}.
x

Một nghiệm tối ưu pessimistic của bài toán quy hoạch hai cấp (1.4),
(2.1) được định nghĩa là một nghiệm tối ưu của bài toán (2.6).

15
Với bài toán hai cấp optimistic ta có thể sử dụng tính đa diện của
ánh xạ ΨL (·) để nghiên cứu sự tồn tại của các nghiệm tối ưu. Suy ra quy
hoạch hai cấp optimistic có thể được thay cho một số hữu hạn các bài
toán tối ưu tuyến tính có nghiệm tối ưu tốt nhất để giải bài toán gốc.
Suy ra
Định lý 2.2. (Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hai cấp
optimistic)[2, Theorem 3.3] Xét bài toán quy hoạch hai cấp optimistic
(2.4) và cho tập M := {(x, y) ≥ 0 : A1 x + A2 y 2 ≤ a, A3 y = b} là khác
rỗng và bị chặn. Khi đó, nếu tập chấp nhận được của bài toán (2.4) là
khác rỗng, thì bài toán (2.4) có ít nhất một nghiệm tối ưu.
Ở đây ta không cần tìm các nghiệm trên các đỉnh của các tập lồi
đa diện (2.3). Nếu sử dụng bài toán hai cấp pessimistic thì không tồn
tại các nghiệm tối ưu như ví dụ sau
Ví dụ 2.1. Xét bài toán
−x2 − 10y1 − 10y2 → “ min ”,
y

với 0 ≤ yi ≤ 1,i = 1, 2 và
x ∈ ΨL (y) := Argmin{− y, x : x1 +x2 ≤ 3, −x1 +x2 ≤ 1, x1 −x2 ≤ 1, x ≥ 0}.
x

Tập chấp nhận được và hướng cực tiểu hóa với hàm mục tiêu của
bài toán này được chỉ ra trong Hình 2.1.
Khi đó,

ΨL (y) =










2
1

nếu 0 ≤ y2 < y1 ≤ 1,

1
2

nếu 0 ≤ y1 < y2 ≤ 1,



conv




M (0, 0)

2
1

,

1
2

nếu 0 < y1 = y2 < 1,
nếu 0 = y1 = y2 ,


16

0≤y1X2

1

0≤y2
1

X1

Hình 2.1: Tập chấp nhận được cấp dưới và các hướng cực tiểu hóa.


17
ở đó M (0, 0) kí hiệu là tập chấp nhận được của bài toán cấp dưới . Do
đó, với y2k > y1k , lim y1k = lim y2k = 1 ta có
k→∞

k→∞

lim ϕp (y1k , y2k ) = lim (−10y1k − 10y2k − x2 (y1k , y2k )) = −22.

k→∞

k→∞

Từ x2 ≤ 2, suy ra giá trị hàm mục tiêu tối ưu của bài toán hai cấp không
thể nhỏ hơn −22, nhưng với y1 = y2 = 1 ta có ϕp (1, 1) = −1 và giá trị
hàm mục tiêu cấp trên bằng −21. Do đó, giá trị cận dưới của ϕp (·) bằng
−22 và ϕp (·) = −22. Nên bài toán hai cấp pessimistic không có nghiệm
tối ưu.
Ở đây, giá trị cận dưới của hàm mục tiêu trong (1.4) tương ứng với
một đỉnh (x, y) của một số tập lồi đa diện. Đỉnh này là tối ưu nếu nó là
chấp nhận được với bài toán (2.6) trong trường hợp ít nhất nếu ΨL (y)
chứa duy nhất một điểm.

2.2

Mối liên hệ với các bài toán quy hoạch
toán học khác

Bài toán quy hoạch hai cấp có mối quan hệ gần gũi với các bài toán
khác trong quy hoạch toán học. Ở đây ta sẽ đưa ra hai mối liên hệ. Đó
là liên hệ giữa bài toán quy hoạch hai cấp với bài toán tối ưu đa mục
tiêu và bài toán quy hoạch 0–1 tuyến tính.

2.2.1

Tối ưu đa mục tiêu

Trong mục này ta nghiên cứu mối liên hệ của bài toán tối ưu hai
cấp (1.3), (1.4) với bài toán tối ưu hai mục tiêu, ta thấy được mối liên
hệ này như trong Hình 1.1. Ở đây, các điểm nằm trên đường thẳng AB


18
tạo nên tập tất cả các điểm tối ưu Pareto của bài toán
“ min ”
x,y

c

0

1

2

d

d

x
y

: A1 x + A2 y ≤ a, A3 y = b, x, y ≥ 0 ,

các kí hiệu tương tự như đã sử dụng trong công thức (1.3), (1.4). Tuy
nhiên, chỉ có điểm hữu hiệu chấp nhận được với bài toán quy hoạch hai
cấp là điểm A điểm này có giá trị hàm xấu nhất trong hàm mục tiêu
cấp trên. Do đó, trong tổng quát không thể sử dụng phương pháp của
tối ưu đa mục tiêu để giải trực tiếp các bài toán quy hoạch hai cấp. Dễ
thấy nghiệm tối ưu (optimistic hay pessimistic) của bài toán quy hoạch
hai cấp là tối ưu Pareto với bài toán tối ưu đa mục tiêu tương ứng nếu
c = αd1 với α ≥ 0. Kết luận này không đúng trong tổng quát nếu c
không song song với d1 . Điều này được minh họa trong ví dụ sau:
Ví dụ 2.2. Xét bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính:
2x2 − y → min,
y

0 ≤ y ≤ 3,
x ∈ Ψ( y),
ở đó
Ψ(y) = Argmin{−x1 : 100x1 − x2 ≤ 1, x2 ≤ y, x ≥ 0}.
x

Khi đó, cực tiểu hóa theo −x1 ta có
100x1 = 1 + x2 = 1 + y,
hay
Ψ(y) =

(1+y)
100

y

,

với 0 ≤ y ≤ 3. Thay vào hàm mục tiêu cấp trên suy ra
2x2 − y = 2y − y = y → min : 0 ≤ y ≤ 3.


19
Do đó,

1
, x∗2 = 0
100
là nghiệm tối ưu (toàn cục) duy nhất của bài toán quy hoạch hai cấp
y ∗ = 0, x∗1 =

tuyến tính. Mặt khác, nghiệm này không là hữu hiệu (tối ưu Pareto) và
cũng không là hữu hiệu optimistic với bài toán tối ưu hai mục tiêu
2x2 − y
−x1

→ “ min ”,
y,x1 ,x2

0 ≤ y ≤ 3, 100x1 − x2 ≤ 1,
x2 ≤ y, x ≥ 0,
ta có
yˆ = 3, xˆ1 =

1
, xˆ2 = 0,
100

và

1+ε
, x2 = ε,
100

y = 3 − ε, x1 =
với mỗi ε ≥ 0 đủ nhỏ:

Giá trị hàm mục tiêu vectơ của bài toán tối ưu hai mục tiêu với ba
điểm (x∗ , y ∗ ), (ˆ
x, yˆ), (x, y) tương ứng là
2x∗2 − y ∗
−x∗1
Ta có

2x∗2 − y ∗
−x∗1

=

0

=

≥

−1
100

0
−1
100

=

>

ˆ 2 − yˆ
2x
=
xˆ1

2x2 − y
x1

=

−3
−1
100

.

−3 + 3ε
−(1+ε)
100

,

với ε > 0 đủ nhỏ. Suy ra nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch hai cấp
tuyến tính không cần là hữu hiệu với bài toán tối ưu vectơ tương ứng.
Sau đây ta chỉ ra rằng mối liên hệ giữa hai cấp tuyến tính và các bài
toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính là gần gũi hơn trên những gợi
ý quan sát được. Tương tự, với mỗi bài toán quy hoạch hai cấp tuyến
tính, tồn tại một số bài toán đa mục tiêu tuyến tính sao cho nghiệm tối