Luận văn thạc sĩ toán học tính Taut yếu và siêu nồi của miền Hartogs Banach

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG
ĐAI HÓC
Sư PHAM
HÀ NÔI
2
2______________
•____________
•
___________•______

NGUYỄN NGỌC THÀNH

TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA
MIỀN HARTOGS BANACH

LUẬN
VẰN THẠC
SĨ TOÁN HỌC
•
•
•

HÀ NỘI, 2015


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
______________________ 2_____________ •_____________________________ 2________________________

•

NGUYỄN NGỌC THÀNH

TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA
MIỀN HARTOGS BANACH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI THU

HÀ NỘI, 2015


Lời cám ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Tài
Thu. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình
hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy
cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ
chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm
ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Hà Nội, tháng 8 năm 2015
T ác g iả

N g u y ễn N gọc T h à n h

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Tài Thu.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 8, năm 2015
T ác g iả

N g u y ễn N gọc T h à n h


M ụ c lục
Lời cám ơn

i

Lời cam đoan

ii

Mục lục

iii

M ở đầu

3

C hư ơ n g 1. K iến th ứ c ch u ấ n bị

7

Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy và taut

7

Giả khoảng cách kobayashi

7

Không gian hyperbolic

9

Không gian hyperbolic đầy

9
9

1.1.4. Không gian Taut

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi

10

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp

10

1 .2 .2 . Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới
Hàm điều hòa dưới

12

12
12

1.3.2. Hàm đa điều hòa dưới

13

14

1.4. Tập đa cực
Đ ịnh nghĩa tập đa cực

14

1.4.2. Các tính chất của tập đa cực

15

Miền Hartogs

(X)

15


iv

K ẾT LUẬN
T ài liệu th a m k h ảo

42
43


3

M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng
lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20, là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây,
lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng
minh bởi Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly,... Những
công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển
mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích
toán học, đó là giải tích phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, lý
thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những
lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh
hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tấ t cả các

ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức. Theo quan
điểm của A. Weil,

s.

Lang và p. Vojta, bài toán sau cùng này có liên

quan mật thiết với hình học đại số và hình học số học. Có thể nói giải
tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao
nhau của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải


4

tích phức, Hình học đại số và Lý thuyết số.
Một trong những hướng nghiên cứu của giải tích phức hyperbolic là
nghiên cứu tính chất hình học của các miền
Miền Hartogs đã được nghiên cứu từ lâu trong giải tích phức. Nhiều
tính chất đẹp đẽ về phương diện giải tích lẫn hình học của miền Hartogs
đã được chứng minh. Trong những năm gần đây, miền Hartogs tiếp tục
được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không
gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic, đặc
biệt là tính hyperbolic đầy đã được khảo sát tương đối chi tiết. Tuy
nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các tính chất hình học của miền
Hartogs trong không gian giải tích Banach chiều vô hạn còn ít được quan
tâm. Ta có thể thấy ngay sẽ xuất hiện những khó khăn lớn về mặt kỹ
thuật khi chuyển từ việc nghiên cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô
hạn chiều. Chẳng hạn đối với miền Hartogs trong không gian giải tích
Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây

dựng được khái niệm tau t theo kiểu Wu cho lớp miền này.
Với những lý do trên, chúng tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu về
tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach.
Trong đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính tau t và tính siêu lồi.
Với tên đề tài là: “Tính taut yếu và siêu lồi của miền Hartogs Banach”.


5

2. M ục đích nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính tau t và tính siêu lồi của
miền Hartogs trong không gian phức sau đó mở rộng một số kết quả
sang không gian giải tích Banach.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy
của không gian phức.
Nghiên cứu tính tau t và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không
gian phức.
Nghiên cứu tính tau t yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong
không gian gian Banach.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là tính tau t và tính siêu lồi của miền Hartogs
trong không gian phức
Tính tau t yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian
Banach.
Phạm vi nghiên cứu là miền Hartogs trong không gian phức và miền
Hartogs trong không gian Banach.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức và phương pháp nghiên cứu của giải tích


6

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài
nước

6. D ự kiến kết quả nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính tau t và tính siêu lồi của
miền Hartogs trong không gian phức.


7

C hương 1
K iến th ứ c chuẩn bị
1.1. K hông gian hyperbolic, hyperbolic đầy và ta u t
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa, khái niệm
và các kết quả đã biết. Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu về những vấn đề sau:
• Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy và taut
• Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
• Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới
• Tập đa cực
• Miền Hartogs

(X)

1.1.1. G iả k h o ản g cách ko b ay ash i

i) Giả sử D là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức
D = {z

€ c : Ị^Ị < 1}


8

Trên D ta xét metric Bergman - Poincaré Pd cho bởi

1 — \a\
P d ( z i , z 2)

1 + 7^
= In -------

ị _

z1-z2

,Vzi , Z 2 € D

l - z ±z 2

ii) Giả sử X là không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X. Xét
dãy điểm pữ — P , P I , ...,pk — q của X, dãy điểm ai,a2,
ánh xạ chỉnh hình /i, / 2 ,

€: D và dãy

fk € Hol ( D , x ) sao cho:

fi (0) = Pi- 1
fi( a i) = P i,V i = 1 , 2 , k
Ta gọi tập hợp {p0,pi, ...,Pk, Oi, o2,

ak, / 1 , / 2 ,

/fc} là một dây chuyền

chỉnh hình nối p và q trong X.
k
Với mỗi dây chuyền chỉnh hình như trên, ta lập tổng ^2 Pd {0, ữj). Đặt
2=1

dx{p,Q.) = inf

/O£»(0,aj) Ị theo tấ t cả các dây chuyền chỉnh hình nối

p và q có thể có.
Dễ thấy hàm dx '■X X X —> M là một giả khoảng cách và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
iii) Giả khoảng cách Kobayashi có các tính chất sau:
+ ) dx là hàm liên tục và xác định tô pô của X
+ ) N ế u / : X —» y i à ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức
thì f giảm khoảng cách, nghĩa là:
dx{p,q) > d y (f(p ),f(q )),V p ,g e X
+ ) d o = Pd

9

1.1.2. K h ô n g g ian h y p e rb o lic
Các định nghĩa sau (xem Kobayashi [12] )
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Không gian phức X được gọi hyperbolic nếu giả khoảng
cách Kabayashi dx là khoảng cách trên X, tức là:
dx {p, q) = 0 ^ p = q, Vp, q Barth [2] đã chứng minh, nếu dimX < oo và dx là khoảng cách trên
X thì dx xác định tô pô của X.
Như vậy không gian phức (hữu hạn chiều) X là hyperbolic khi và chỉ
khi giả khoảng cách Kobayashi dx là khoảng cách trên X.
1.1.3. K h ô n g g ian h y p e rb o lic đ ầy
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Không gian hyperbolic X được gọi hyperbolic đầy nếu
mọi dãy Cauchy đối với dx đều hội tụ trong X.
Kobayashi [12] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu
hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng bị
chặn trong X đều là compact.
1.1.4. K h ô n g g ia n T a u t
Giả sử X, Y là các không gian phức. Trên Hol(X, Y) ta trang bị tô
pô compact mở. Các định nghĩa sau (xem Wu[18] và Kiernan [9])
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.
i) Dãy

c Hol (X , Y ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi

tập con compact K của X, mỗi tập con compact L của Y, tồn tại jo € N
sao cho fj (K ) n L = 0 , với mọi j > j ữ.


10

ii) Họ Hol(X, Y) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy {/i}^! chứa
một dãy con hoặc hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc phân kỳ
compact.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Không gian phức X được gọi là tau t nếu họ Hol(M,
X) là chuẩn tắc với mỗi không gian phức M.
Kaup [8] đã chứng minh rằng không gian phức X là tau t nếu và chỉ
nếu họ Hol (Dn, x ) là chuẩn tắc với mọi n > 1.
Sau đó Barth [1] đã chứng minh khẳng định mạnh hơn là không gian
phức X là tau t khi và chỉ khi họ Hol(D, X) là chuẩn tắc.
Kiernan [9] đã chứng tỏ rằng không gian phức X là tau t thì X là
hyperbolic và nếu X là hyperbolic đầy thì X là taut. Các khẳng định
ngược lại đều không đúng.
Ta có thể dễ dàng chỉ ra một miền bị chặn trong

c n mà

miền taut. Đồng thời Rosay [4] đã xây dựng một miền trong

không là

c 3 là tau t

mà không là hyperbolic đầy.

1.2. B iểu diễn tích phân của giả khoảng cách K obayashi
1.2.1. B iểu d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ản g cách K o b ay ash i tr ê n
đ a tạ p
Royden [14] đã xây dựng trên mỗi đa tạp phức X giả mêtric vi phân
Royden - Kobayashi Fx trên không gian tiếp xúc TX như sau:

Fx {x,v) = inf { ị , 3 f e Hol(Dr,M ) s a o c h o f ( 0) = x , f ' ( e o) = v}


11

Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi
trên đa tạp

trong đó ílp q là tập hợp tấ t cả các đường cong liên tục từng khúc nối p
với q, tham số hóa bởi t € [0, 1].
Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng:
i) Fx là hàm nửa liên tục trên trên TM.
ii) X là hyperbolic khi và chỉ‘ khi với mỗi p ẽ X , tồn tại lân cận mở
u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho Fx (X, V) > C.H (X, V) với mọi
TxX và với mọi

X

€

u , trong đó H là metric Hecmit trên TX.

Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có:
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Giả sử X là không gian phức, TX là không gian tiếp
xúc Zariski của X, e0 =

Q- \ z=0 £ T 0D r

sao cho

If' (u ) =

V.

Nón Royden

-

Kobayashi Fx được xác định:
ConX : = {t> G T X ; 3

—

If1(u )}

Giả metric vi phân Royden - Kobayashi Fx là hàm trên TX được xác
định như sau:

Đ ịn h lý 1.1. Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi
p e X , tồn tại lân cận mở u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho
Fx (x , v ) > C.H (x , v ) với mọi V € TxX và với mọi X G u , trong đó H
là metric Finsler trên TX.


12

1.2.2. B iểu d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ản g cách K o b ay ash i tr ê n
k h ô n g g ian p h ứ c
Venturini [16] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng
cách Kobayashi trên không gian phức.

Giả sử X là không gian phức,

X

e X và £ G Jk{X)x giả metric

Venturini được định nghĩa như sau:
F ị ( x , i ) = inf { 1 ;3 / s H o l ( D , X ) , f ( 0) =

X ,jt (f)x

= r ị}

Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X được biểu
diễn dưới dạng:
dx(p,q) = inf | s u p / F j ( 7 (i), jk 7 (t))dt : 7 e n p,q
l k>i 0
ở đó fìpg là tập hợp tấ t cả các đường cong giải tích thực liên tục từng
khúc nối p với q.

1.3. H àm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới
1.3.1. H à m đ iề u h ò a dưới
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Giả sử íỉ là một tập con mở trong IRn
Hàm u : ri —»■ [—oo,+oo) ,u Ỷ ~ ° ° trên mọi thành phần liên thông
của íỉ được gọi là điều hòa dưới trong íỉ nếu u thỏa mãn hai điều kiện
sau:
(i)

u là nửa liên tục trên trên

với mỗi số thực s.

tức là tập ị z G Q : u (z) < s} là mở


13

(ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của íỉ, với mỗi hàm
h : G —»• M điều hòa trong G và liên tục trên G sao cho u < h trên dG
thì u < h trong G.
1.3.2. H à m đ a đ iề u h ò a dưới
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Giả sử Q là một tập con mở trong c n.
Hàm ip : íỉ —> [—00 , +oo) được gọi là đa điều hòa dưới trong íỉ nếu (f
thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i)

liên thông của ri.
(ii) Với mỗi điểm z ữ €

và mỗi đường thẳng phức l (£) = z ữ + w.^

đi qua z° (ở đó w € Cn,£ G c , hạn chế ip lên đường thẳng này, tức là
hàm

liên thông của tập mở {£ £ c : ỉ (£) G ri}.
Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới sau:
Hàm

: s~2 —>> [—00 , +oo) nửa liên tục trên trên miền Q c c n là đa

điều hòa dưới trên

khi và chỉ khi: Với mọi 2 ° G

và mỗi w € Cn, tồn

tại r 0 = r 0 (z° ,w ) sao cho
2tĩ
(p {zữ) < Y~ f ụ>{z° + wreu)dt với mọi r < r0.
0

Hàm đa điều hòa dưới tp thuộc lớp c 2 (ri),
đủ là tại mỗi điểm z £

là miền trong Cn cần và

đối với w G Cn tùy ý ta có bất đẳng thức sau:
n

Hz{fi,v= 1

Nếu (f thuộc lớp c 2 (ri) và với mọi z ẽ ri, H z (yp, w) > 0,w £ c n\ {0}
thì íp được gọi là đa điều hòa dưới chặt trong miền íì c Cn.


14

Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hòa
dưới trên X là hàm ip : X —> [—00 , + 00 ) thỏa mãn: Với mỗi z ẽ X tồn
tại lân cận u của z và một ánh xạ song chỉnh hình h : и —>• V, với V là
một không gian con phức đóng của một miền G nào đó trong Cn, và tồn

tại một hàm đa điều hòa dưới íp : G —>• [—00 , + 00 ) sao cho ip\ự — ĩpoh.
Để ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa
phương.
J. E. Fornaess và R. Narasimhan [5] đã chứng minh rằng: Hàm nửa
liên tục trên Ц) : X —> [—00 , + 00 ) là đa điều hòa dưới khi và chỉ khi Ц) о /
là điều hòa dưới hoặc = —00 với mọi ánh xạ chỉnh hình / : D —»■ X
trong đó D là đĩa đơn vị mở trong c .
Ký hiệu PSH(X) là tập tấ t cả các hàm đa điều hòa dưới trên không
gian phức X.
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Giả sử X là không gian phức. Hàm ip : X —> M
gọi là vét cạn đa điều hòa dưới nếu —00 < с < + 00 .

1.4. Tập đa cực
1.4.1. Đ ịn h n g h ĩa tậ p đ a cực
Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Giả sử X là không gian phức. Một tập E с X được
gọi là tập đa cực (đa cực đầy) nếu với mỗi điểm а £ E tồn tại một lân
cận V của a và một hàm đa điều hòa dưới

■ [—00 , + 00 ) sao cho
E n V С {z e V :

15

1.4.2. C ác tín h c h ấ t c ủ a tậ p đ a cực
Tập đa cực có nhiều tính chất, tuy nhiên tính chất sau đây hay được
sử dụng
Đ ịn h lý 1.2. Hợp đếm được của các tập đa cực là

1.5. M iền H artogs

một tập

(X)

Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Giả sử Ц) là hàm nửa liên tục trên trên
phức X. Miền

không gian

(X ) được xác định bởi:

n v (X) = {{z, Л) G X
được gọi là miền Hartogs.

đacực.

X

С : |A|

< e"^W}

с X

X

с


16

C hương 2
T ín h ta u t y ếu và siêu lồi củ a m iền
H a rto g s B an ach
Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không
gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã
đạt được nhiều kết quả. Tuy nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các
tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach
vô hạn chiều còn ít được quan tâm. Ta có thể thấy ngay rằng sẽ xuất
hiện những khó khăn lớn về m ặt kỹ thuật khi chuyển từ việc nghiên
cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô hạn chiều. Chẳng hạn đối với
miền Hartogs trong không gian giải tích Banach ta không có được tính
compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm tau t theo
kiểu Wu cho lớp miền này.
Mục đích đầu tiên của chương này là mở rộng các kết quả của Sibony
sang trường hợp không gian và nghiên cứu tính tau t và tính siêu lồi của
miền Hartogs trong không gian phức.
Mục đích thứ hai là nghiên cứu tính hyperbolic, hyperbolic đầy, tau t


17

yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính
hyperbolic, hyperbolic đầy và tính tau t trong không gian phức.

2.1. T iêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và Taut
trong không gian phức
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số tiêu chuẩn để nhận biết
tính hyperbolic, hyperbolic đầy và tau t trong không gian phức.

Kobayashi [12] đã đưa ra một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic
và hyperbolic đầy:
Đ ịn h lý 2.1. Giả sử X là không gian phức con của không gian phức Y.
(1) Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic;
(2) Nếu Y là hyperbolic đầy và X là đóng thì X là hyperbolic đầy
Đ ịn h lý 2.2. Giả X, Y là các không gian phức và f : X

Y là ánh xạ

chỉnh hình. Giả sử Y ’ là không gian con của Y và X ' = / -1 (Ì''). Nếu
X và Y ’ là hyperbolic đầy thì X ’ cũng là hyperbolic đầy.
Đ ịn h lý 2.3. Giả sử X là không gian phức. Nếu tồn tại họ các điểm
pa € X và các số dương ôa sao cho, với mỗi a, ỏa - lăn cận:
u a = { q e X :d x (Va, q) < ổa }
là hyperbolic và {Ua} là phủ mở của X thì X là hyperbolic.
Đặc biệt, nếu mỗi p E X , tồn tại số dương ố sao cho ố - lân cận
u (p,ô) = {q e X : dx (p , q) < ổ}


18

là hyperbolic thì X là hyperbolic.
Đ ịn h lý 2.4. Giả sử X là không gian phức. Nếu tồn tại số dương ỏ
sao cho với mỗi p € X , ỏ - lân cận

u(p, ô) là hyperbolic đầythì X là

hyperbolic đầy.
Đ ịn h lý 2.5. Giả sử X là không gian phức và 7Ĩ : X
chỉnh hình giữa các không gian phức.

—»■X là ánh xạ phủ

Thế thì

(1) Nếu p,q € X và p,q G X với Iĩ(p) = p và Iĩ(q) = q
dx{p,q) = inf d± {p,q)
q
ở đó infimun được lấy với mọi q G X sao cho 7ĩ(q) = q.
(2) X là hyperbolic (hyperbolic đầy) nếu và chỉ nếu X là hyperbolic
(hyperbolic đầy);
(3) Nếu X ỉà hyperbolic thì 7Ĩ : ( X , d ỵ ) —> ( X ,d x ) là đẳng cự địa
phương và dỵ = 7 r * dỵ ■
Đ ịn h lý 2.6. Giả sử 7T : X —>• Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không
gian phức. Với mỗi y g Y và ỗ > 0, tập u(y; ỗ) = u € Y : dy (y , u ) < ỏ.
Nếu với mỗi y e Y tồn tại số ỏ > 0 sao cho 7T_1 (u (y,ỗ)) ỉà hyperbolic
thì X là hyperbolic.
Eastwood [3] đã chứng minh được định lý sau:
Đ ịn h lý 2.7. Giả sứ lĩ : X —> Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không
gian phức. Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở {Ui}
sao cho với mỗi 7T_1 (Ui) là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic
(hyperbolic đầy).


19

Đ ịn h lý 2.8. Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là hàm chỉnh
hình bị chặn ở trên X. Thế thì không gian con mở
X' = { p e X : f ( p ) ^ 0 } = X _Z ero(f)
là hyperbolic đầy.

Đ ịn h n g h ĩa 2.1.
i) Cho Y là không gian phức. Không gian con X c Y được gọi là
hyperbolic đầy địa phương ở trong Y nếu mỗi điểm p € X có lân cận Vp
ở trong Y sao cho Vp n X là hyperbolic đầy.
ii) A được gọi là Cartier divisor ở trong không gian phức Y nếu với
mỗi điểm X G A có lân cận V ở trong Y sao cho A n V được xác định
bởi f = 0, ở đó f là hàm chỉnh hình ở trên V.
Đ ịn h lý 2.9. Giả sử Y là không gian phức và Ả là Cartier divisor của
Y. Thế thì
(1) Y - Ả là hyperbolic đầy địa phương ở trong Y;
(2) Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì Y - Ả là hyperbolic (hy­
perbolic đầy).
Wu [19] đưa ra định nghĩa:
Đ ịn h n g h ĩa 2.2.
i) Không gian phức X với hàm khoảng cách ố xác định tô pô của X
được gọi là ổ - tight nếu Hol(D, X) là đồng liên tục với ỏ.
ii) Không gian phức X được gọi là tight nếu nó là ỏ - tight với một
C h ú ý 2.1. Nếu X là hyperbolic thì nó là dx - tight.
Kiernan [9] đã chứng minh được:

ố.


20

Đ ịn h lý 2.10. Không gian phức X là hyperbolic nếu và chỉ nếu nó là
tight.
U rata [17] sử dụng bổ đề Brody để chứng minh được định lý sau:
Đ ịn h lý 2.11. Giả sử X là không gian phức với hàm độ dài E và G =
Aut(X, E) ỉà nhóm tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả sử X / G là compact. Khi

đó X là hyperbolic đầy nếu nó không chứa đường thẳng phức h :

c—
>X .

Đ ịn h n g h ĩa 2.3. Không gian phân thớ (X, 7T,M) gồm các không gian
phức X, M và toàn ánh chỉnh hình 7T : X —>M
Ký hiệu:Xr = 7T_1 (r) , X u = 7T_1 {U) với r € M, u c l .
Đ ịn h lý 2.12. Giả sử (X, 7Ĩ , R ) là không gian phẫn thớ với thớ hyperbolic
compact. Nếu R là hyperbolic (hyperbolic đầy) và mỗi thành phần liên
thông của X r là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic
đầy).
Do Due Thai and Nguyen Le Huong [15] đã đưa ra tiêu chuẩn sau để
nhận biết tính taut.
Đ ịn h lý 2.13. Giả sử 7Ĩ : X —¥ Y là ánh xạ chình hình riêng giữa các
không gian phức sao cho với mỗi y e Y tồn tại một lân cận Uy sao cho
7T_1 (Uy) là taut. Khi đó nếu Y là taut thì X cúng là taut.
H ệ q u ả 2.1. Giả sử ĨT : X —)■ Y là ánh xạ chỉnh hình hữu hạn riêng
giữa các không gian phức. Nếu Y là taut thì X củng là taut.
Zaidenberg [20] đã tổng quát hóa định lý Eastwood [3] như sau:


21

Đ ịn h lý 2.14. Giả sử f : X —»■Y là ánh xạ chuẩn tắc giữa các không
gian phức. Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở {K:}
của Y sao cho / -1 (V^) hoặc là rỗng hoặc là hyperbolic (hyperbolic đầy)
thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).

2.2. T ính ta u t, siêu lồi của m iền H artogs

Năm 1981 Nessim Sibony đã nghiên cứu mối liên hệ giữa sự tồn tại
của hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên đa tạp phức và tính hyperbolic.
Để làm được điều này Sibony đã đưa ra khái niệm giả metric vi phân
PM trên không gian tiếp xúc của M (M là đa tạp phức hữu hạn chiều).
Định nghĩa P m tương tự như giả metric vi phân Caratheodory E m bằng
cách thay thế hàm chỉnh hình bị chặn bởi lớp các hàm đa điều hòa dưới
bị chặn. Giả metric Pm là giảm khoảng cách đối với ánh xạ chỉnh hình
và lớn hơn E M nhưng nhỏ hơn giả metric vi phân FM. Sau đó Sibony đã
sử dụng giả metric P m để chứng minh rằng nếu đa tạp phức M có hàm
liên tục vét cạn đa điều hòa dưới bị chặn thì M là hyperbolic và là taut.
Trong phần này, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của Sibony sang trường
hợp không gian phức.
2.2.1. G iả m e tric S ib o n y tr ê n k h ô n g g ia n tiế p x ú c
Giả sử u là hàm số lớp c 2 trên tập mở của c n và w = { W \ , W n) e
c n. Ta ký hiệu L u{p) w,w) = Ề ĩ ă ế wiwj
i,j=1 s 1
là dạng Levi của u tại p. ở đó u là hàm số trong lân cận

u

và £ € TpM,ò đó TpM là không gian tiếp xúc của M tại p.

của điểm p