Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp spline collocation với phương trình vi tích phân

B ô• GIÁO DUC
• VÀ ĐÀO TAO
•
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG CÔNG HUÂN

PHƯƠNG PHÁP SPLINE COLLOCATION
VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUÂN
• VĂN THAC
• S ĩ TOÁN HOC
•

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể các
thầy cô giáo trường T H PT Tam Đảo, Vĩnh Phúc đã giúp đỡ, tạo mọi
điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại
học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và hoàn th àn h luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
T ác g iả

D ương C ông H uân


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn
luận văn: P h ư ơ n g p h á p s p l i n e c o llo c a tio n g iả i p h ư ơ n g t r ì n h t í c h
p h â n là công trình nghiên cứu của tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừ a những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
T ác g iả

D ương C ông H uân


M ục lục
M ở đ ầ u ...
C h ư ơ n g 1 . K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

1

3

1. 1. Không gian tuyến tính

3

1 . 2 . Không gian định chuẩn

8

1.3. Xấp xỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều

10

K ế t lu ậ n

72

T ài liệu th a m k h ả o

73


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học, phương pháp spline collocation là m ột trong những
phương pháp giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân thường,
phương tình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân. Ý tưởng của
phương pháp này là chọn m ột không gian hữu hạn chiều chứa các nghiệm
có thể có của bài toán, không gian thường dùng là không gian các đa

thức đặc biệt gồm các đa thức từng đoạn (piecewise polynomial)-gọi là
các spline có bậc hữu hạn đã biết nào đó và chọn các điểm trong miền
xác định nằm trong không gian các đa thức hữu hạn chiều đó, các điểm
này gọi là các điểm collocation và chọn nghiệm m à thỏa m ãn phương
trình đã cho tại các điểm collocation đó. Như vậy, nghiệm xấp xỉ của
phương trình nhờ đó thu được bằng phương pháp spline collocation.
Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline collocation giải xấp
xỉ phương trình vi tích phân nói chung và nâng cao tốc độ hội tụ của
phương pháp (siêu hội tụ) mà các luận văn Thạc sỹ của học viên trước
chưa đề cập, đồng thời nâng cao kiến thức đã học trong chương trình
đại học và cao học, tôi chọn đề tài P h ư ơ n g p h á p s p l i n e c o llo c a tio n
g iả i p h ư ơ n g t r ĩ n h v i t í c h p h â n làm luận văn cao học của mình.

2. M ục đích nghiên cứu
- Trình bày m ột số khái niệm về phương pháp spline collocation, về
phương trình tích phân Volterra cấp hai, áp dụng phương pháp spline
1


collocation cho phương trình tích phân Volterra.
- Nghiên cứu sự siêu hội tụ của phương pháp spline collocation với các
phương trình vi tích phân.
- Xây dựng nghiệm spline collocation cho m ột lớp phương trình vi tích
phân.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân, cụ thể là
lớp phương trình tích phân Volterra, sự siêu hội tụ của nghiệm xấp xỉ.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đ ố i tư ợ n g n g h iê n cứ u : Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương
trình vi tích phân bằng phương pháp spline collocation.
P h ạ m v i n g h iê n cứ u : Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước
ngoài liên quan đến giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân
bằng phương pháp spline collocation.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6. N hữ ng đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành m ột tài liệu tham khảo tố t cho sinh viên và
học viên cao học về phương pháp spline collocation.
2


Chương 1
K iến thức chuẩn bị*
1.1. K hông gian tu y ến tín h
Trong mục này, ta nhớ lại các khái niệm về không gian tuyến tính,
không gian con, chuẩn và cơ sở.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. Cho X là tập hợp gồm các phần tử

X,

y, z , . . . mà ta

gọi là các vectơ, và cho p là trường số thực hoặc phức. Trên X ta trang
bị hai phép toán cộng và nhăn như sau:
Phép cộng, kí hiệu là:

+ : X X X — >X

(x ,y) I— >x + y
Phép nhăn với vô hướng, kí hiệu là
• : p X X — >X
(À, X) I— > Xx
và thỏa mãn 8 tiên đề sau đây:
1. (x + y) + z =
2 . x + y = y + x,
3.

X

+ (y + z),

\/x,y,z€ .X \

Vx,|/€l;

36 € X , Vx G X : X + 9 = x;

ị . \/x G X , 3 — X G X : X + (—x) = ớ;
3


5. (A + ịì)x — \ x + ịix,

ổ. A[ịix) = (A/jl) x ,

VA, jiiG P , \/ x , e X ;

va ,/i G P,Va:, € -X";

7. A(x + 2/) = Ax 4- Ay,

Vx, y , z € X-,

8. Vx £ X : 1 ■X = x;
phần tứ —X gọi là phần tử đối của phần tứ X, phần tứ 8 gọi là phần

tử không, khi đó ta nói (X , +, •) (Taoặc đơn giản X ) là một không gian
tuyến tính trên trường p. Tùy theo trường p là thực hoặc phức thì ta gọi
X tương ứng là không gian tuyến tính thực hoặc phức.
V í d ụ 1 . 1 . 1 . Không gian tuyến tính thực C[a,b].
Xét tập hợp tấ t cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên
đoạn [a,b], (—oo < a < b < +oo). Các phép toán cộng và nhân với vô
hướng trên C[a, 6] xác định như sau:
Phép cộng:
+ : C[a, 6] X Cịa, 6] — > Cịa, 6]

(x,y)

I--- >x + y

xác định bởi (a? + y){t) = x{t) + y(t), V í G [a,b].
Phép nhân với vô hướng:
• : M X C ị a , 6] — > C ị a , 6]

(À, a?)

I— > Xx

xác định bởi (Ax)(t) = Xx(t), V í e [a,b].
Dễ dàng thấy rằng tập hợp C[a, b] cùng với hai phép toán cộng và
nhân với vô hướng ở trên lập th àn h một không gian vector trên trường
số thực K.
4


V í d ụ 1.1.2. Đặt Pn[a,b] ỉà tập hợp tất cả các đa thức bậc không vượt
quá n xác định trên đoạn [a, tíị.

Tức là
P n [ a, b] =

{ a nt n + • • • + d ị t + a ữ : dị E M , j =

1 , 2 , . . . , n , a < t < b}.

Tương tự như đối với C[a, b], ta dễ dàng thấy rằng Pn[a, b] là một không
gian tuyến tính thực. Phần tử không của không gian này là đa thức không
(hàm không). Hơn nữa, vì mọi đa thức đều liên tục nên, Pn[a, b] с [а, Ь].
V í d ụ 1.1.3. Đặt L 2[a, b] là tập hợp tất cả các hàm xác định và đo được
trên đoạn [a, b] và
b

Ị \ f { t ) \ 2dt < 00,
a

trong đó tích phẫn hiểu theo nghĩa Lebesgue.

Ta cũng kiểm tra được rằng L 2[a, b] cùng với phép toán cộng hai hàm
số và nhân m ột vô hướng vổi một hàm số, tức là nếu f , g £ L 2[a, tíị và
V ael:
f + g e L 2[a, b] và a f G L 2[a, b]
cũng là một không gian vectơ thực.
Ta nhớ lại khái niệm về không gian con tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2. Một tập con M của không gian tuyến tính X được
gọi là một không gian con của X nếu
i) M là tập con của X \
ii) Với mọi x , y € M ta có a x + ß y G -M, Va, ß

5


Dễ dàng thấy rằng, tập hợp Pn[a, b] là không gian con của không gian
C[a, b]. Không gian Cịa, b] là không gian con của không gian L 2[a, b].
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính và B n =
{ x i i x 2, . . . , x n} là tập hợp n phần tử của X . Tập B n được gọi là độc lập
tuyến tính nếu và chỉ nếu từ phương trình
aiXi + a2x 2 + -----b anx n = 6
kéo theo a,ị = a2 = • • • = an = 0.
Nếu B n không độc lập tuyến tính thì ta gọi B n là phụ thuộc tuyến
tính.
V í d ụ 1.1.4. X ét tập hợp

Mỗi hàm t k, 0 < k < n, có bậc là k. Do đó, nếu ta lấy t trong đoạn
[a, b], ta thấy rằng B n là tập con của p n[a, 6]. Khi đó, B n là tập con độc
lập tuyến tính của không gian Pn[a, 6] là các đa thức có bậc không vượt
quá n. T h ật vậy, giả sử
p(t) = ant n + ----- 1- d ịt + aQ = 6.

Khi đó p ( t) = 0, Ví ẽ [a, 6]. Do đó, p ( t) là một đa thức có nhiều hơn n
nghiệm và theo định lí cơ bản của đại số th ì an = an_ 1 = • • • = a 0 = 0.
Do đó, B n là độc lập tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính X được gọi là có số chiều
là n nếu không gian X chứa một tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính
{íCi, rc2, ■■■, x n} và mọi tập hợp gồm n + 1 vectơ là phụ thuộc lập tuyến
tính.
6


Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính {xi, x 2, .. •, x n}
trong X được gọi là một cơ sở của X nếu với mọi vectơ X e X ta có thể
biểu diễn X dưới dạng tổ hợp tuyến tính
X = CịXi

của các vectơ

Xi ,

+ C2X 2 + ------1- c n x n

1 < i < n và các hệ số

Cị,i =

1 , 2 , . . . , n là duy nhất.

V í d ụ 1.1.5. Đặt X = p n[a, b] và B n = { l , t , . . . , t n}.
Ta thấy rằng, mỗi đa thức pit) trong X được biểu diễn duy nhất dưới

dạng tổ hợp tuyến tính
p(t) = antn + ----- 1- ait + a0
của các vectơ trong B n. Hơn nữa, tập B n là độc lập tuyến tính trong X .
Do đó, B n là một cở sở của X = Pn[a, 6]. Từ đây suy ra rằng, Pn[a, 6] có
s ố c h i ề u l à 77, +

1.

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.6. Cho X là một không gian tuyến tính và B n =
{^1 ,X 2 , . . . , x n} là một tập độc lập tuyến tính của X , span của B n là

một không gian tuyến tính con hữu hạn chiều của X . span của tập các
vectơ {^ 1 , . . . , x n} là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có
ữịXị + Ũ2X2 + •••+ cnx n
của các vectơ {^ 1 , . . . , x n}.

Lưu ý rằng, các vectơ span của các vectơ Ф không nhất thiết là độc
lập tuyến tính. Chẳng hạn, tập hợp các hàm {t, |t|} trong tập hợp tấ t cả
các hàm C[ 0,1] không độc lập tuyến tính trong C[a,b] nhưng span của
{t, |í|} tồn tại và gồm tập hợp của tấ t cả các đoạn thẳng
y = m t,

ni G M, 0 < Í < 1
7


đi qua gốc của (y—t )-m ặt phẳng. M ặt khác, tập các vectơ {(1,1), (—2,1)}
là độc lập tuyến tính trong M2 và span của hệ là toàn bộ không gian M2.
Đối với tập tấ t cả các đa thức {1, í, t 2, . . . , t n} độc lập tuyến tính và
tạo thành một cơ sở của Pn[a, b]. Nhưng mỗi đa thức trong Pn[a, b] là một

hàm liên tục và các phần tử trong C[a,b] cũng là các hàm liên tục. Do
đó, span của { 1 , t, t 2, . . . , t n} là một không gian tuyến tính con n-chiều
của không gian Cịa, 6].

1.2.

K hông gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p (p = M hoặc C).
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Một chuẩn, kí hiệu II • II, trong X là một ánh xạ đi
từ X vào M thoả mãn các điều kiện:
1) IMI > 0 với mọi X £ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi

X

= 9 (9 là kí hiệu phần tử không);

3) IIAa:|| = IAỊ ||x|| với mọi số X € p và mọi X € X ;
4) ||x + y II < ||a;|| + II.//II với mọi X, y € X .
Số ||a;|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X & X . Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi
là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo p là thực hay
phức).
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. Dãy { x n} trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x ữ € X nếu


Khi đó, ta kí hiệu

lim x n = x 0 hoặc x n —> £ 0, khi n —> 00.
ĩl—^oo

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3. Dãy {x n} trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim \\xm - x n\\ = 0.
ra, n—>00
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dẫy cơ bản trong X đều hội tụ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
p. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu thoả mãn:
1) A ( x + y) = A x + A y với mọi

X,

y E X;

2) A (ax) = a A x với mọi X G X , a € p.
A cúng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1)
thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn 2) thì A được
gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = p thì toán tử A gọi là phiếm hàm,
tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.6. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c > 0 sao cho:
IIÁcII < c ||x|| với mọi X G X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.7. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. K í hiệu
L ( X , Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào
không gian Y. Ta đưa vào L ( X , Y ) hai phép toán:

9


1) {A + B )(x ) = A x + B x , với A , B € L ( X , Y ) , V x € X.
ữ G P ,Ẩ e L ( X , Y ) , toán tử kí hiệu là a A được xác định bởi
biểu thức
(olA) (x ) — a (A x ).
D ễ dàng kiểm tra được A + B G L (X , Y ) , a A € L (X , Y )và hai phép
toán trên thoả mẫn tiên đề tuyến tính. Khỉ đó, tập L (X , y ) írđ thành
một không gian tuyến tính trên trường

p.

Ta trang bị một chuẩn như sau

trên L (X, Y )
P l l = sup IIAxll, VA e L ( X , Y ) .
IIX
EI< 1
Khi đó, tập L ( X , Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.
Đ ịn h lý 1.2.1. Nếu Y là một không gian Banach thì L ( X , Y ) là không
gian Banach.
V í d ụ 1 . 2 . 1 . Không gian C[a,b] là không gian Banach.
V í d ụ 1.2.2. X é t không gian L 2[a,b] trong ví dụ 1.1.3 với chuẩn xác
định bởi

V h = ( Ị l/(í)l2V
là một không gian Banach.

1.3. x ấ p x ỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Giả sử f G Cịa, b]. Một hàm g € C[a, b] được gọi là
một xấp xỉ tốt của f nếu II/ — g II < e với e đủ nhỏ.

10


Bài toán tìm m ột xấp xỉ tố t nhất của m ột hàm một biến cho trước
m à ta biết rằng phương pháp cổ điển nhất là xấp xỉ hàm f ( t ) bởi một
tổng hữu hạn
f ( t ) = C i ậ i ( t ) + c2Ộ2{t) + ■■■+ cnậ n (t)

theo các hàm đơn giản

Các hệ số Ck là các hằng số được xác định

nhờ các điều kiện áp đặt trên / . Tổng quát hơn, ta xấp xỉ / như một
tổng vô hạn (chuỗi Fourier)
00

sin akt + bỵ cos akt]
k=0
trong đó a là hằng số cho trước. Khi sử dụng chuỗi Fourier để tính toán,
ta thường chặt cụt các chuỗi vô hạn này và xấp xỉ bởi một tổng hữu hạn
f ( t ) = Co + Cị sin at + bị cos at + c2 sin 2at
+ &2 COS 2at + ■■■+ cn sin ant + bn COS a n t ,
trong đó các hằng số Cj và bị, 1 < ỉ < n, được x á c định nhờ các điều kiện

đặt trên f ( t ) .
Tiếp tục thực hiện cách như trên, ta thu được các hàm xấp xỉ đơn giản
hơn các hàm lượng giác. Chẳng hạn, ta có thể lấy ệi(t) là các đa thức

hoặc các đa thức từng mẩu. Đặc biệt, nếu ộk{t) =

1< к < n + 1

thì
f { t

)

=

cnt n

+

cn_ ị t n

1

+

•

•

•

+

C ịt

+

C o

là một đa thức có bậc n hoặc nhỏ hơn n, và các hệ số Cfc được xác định
nhờ các ràng buộc trên f ( t ) .

Bây giờ ta giả sử rằng f ( t ) là hàm được xấp xỉ, liên tục và thuộc C[a, b]
với [a, b] cho trước. Khi đó, nếu ta chọn các hàm của ta ậi (t),
11

, ộn(t)


trong C[a,b], hàm xấp xỉ
f ( t ) = Cịội(t) + c2ậ 2(t) H------- f cnộ n(t)

thuộc vào span của { ậ i , . . . ,фп} mà là một không gian con hữu hạn
chiều của C[a, tíị. Nếu { 01 , 02, • • •, Фп} là độc lập tuyến tính th ì X n =
sp a n { 0 !,. . . , фп} là m ột không gian con n chiều của C[a, b].
Nếu ta chọn kĩ th u ật này để xấp xỉ f ( t ) bởi hàm f ( t ) = Ciậi(t) +
Ciộiit) + • • • + cnậ>n(t) th ì ta phải quyết định xem những gì làm cho f i t )
là một xấp xỉ tốt của f ( t ) . Như ta đã nói ở trên, một hàm / là xấp xỉ

tố t của / nếu chuẩn II/ — /II là nhỏ. Như vậy, bài toán của ta là chọn
các hàm ộỉ và các hệ số Cị trong định nghĩa của hàm f ( t ) sao cho
II/ -

+ c2ậ2{t) 4------- b cnận(t ))II

là nhỏ và hi vọng / là nghiệm duy nhất đối với các hệ số Cị đó.

Vì ta phải xác định n hằng số chưa biết, nên ta phải áp đặt ít nhất
n ràng buộc hoặc điều kiện lên / để xác định các hằng số đó. Hơn nữa,
ta phải chọn các ràng buộc theo hướng mà làm cho II/ — /II là nhỏ.

12


Chương 2
Giải xấp xỉ nghiệm của phương
trình vi tích phân bằng phương
pháp spline collocation
2.1. Phương pháp spline collocation cho phương trình
tích phân V olterra cấp hai
2 .1 .1 . H à m sp lin e
Đ ịn h n g h ĩa 2.1.1. Một hàm spline bậc ba là một đa thức bậc ba từng
đoạn khả vi liên tục hai lần.
Những hàm spline bậc ba xuất hiện một cách tự nhiên khi ta cải tiến
các đa thức Lagrange bậc ba s3(t) e C[a,b] và các đa thức từng đoạn
bậc ba Hermite s( t ) G c l [a,b\ của m ột hàm f ( t ) cho trước.
Ta sẽ thấy rằng các hàm như thế là tồn tại và

311

-

1 6

và
^ -

^

96

'

Đặc biệt, liệu có tồn tại đa thức bậc ba từng đoạn hai lần khả vi liên tục
s( t ) m à nội suy được các giá trị của f i t ) tạ i các nút íj, 0 < ỉ < n trong
phép phân hoạch 7r của đoạn [a, b] m à xấp xỉ tố t hàm / ( í) ? Câu trả lời
13


là có, tồn tại những đa thức s ( t) như vậy và các hàm như thế thuộc vào
lớp Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 .2 . (Da thức spline bậc ba) Không gian Ss(7ĩ) là tập tất
cả các hàm s ( t) e c 2[a, b] mà khi ta hạn chế xét trên các khoảng con
( t i, t i+1),0 < i < n — 1 của đoạn [a, b], các hàm đó trở thành đa thức bậc

ba.

s 3(ĩĩ) thực sự là một không gian tuyến tính và vì không gian này
chứa tập hợp tấ t cả các đa thức bậc ba nên có vô hạn các hàm trong
không gian Ss( 7r) này. Tuy nhiên, ta sẽ chứng tỏ tồn tại duy nhất hàm
s ( t) trong S 3(7r) thỏa m ãn điều kiện
s'{to) = f { t 0)

s iti) = f ( u )

0< i < n

(2.1.1)

s'{tn) =
i(b — a)
n
t - 1 < t 0 và t n+2 > t n+1 > t n và các hàm Bị{t) xác định bởi
T h ật vậy, tại các nút

Xi

= x ữ -\-------------- tata thêm
thêm vào
vàobbốn nút t - 2 <

t G [tị-2, tị-i]

Bi(t) - ft3

h 3 + 3h2(t - tị-i) + 3h(t - íj_ i )2 - 3(t - t ị - 1)3,

t G [ti-i,ti\

h 3 + 3h2(ti+1 - t ) + 3h(ti+1 - t )2 - 3(íi+i - t)3,

t e [íi,íi+i]

(íi+2 - í)3,

t € [íị+1 , íi+ 2]

0

còn lại.
( 2 . 1 .2 )

Mỗi hàm Bị(t) là khả vi liên tục hai lần trên toàn bộ đường thẳng

14


thực và

/
4

nếu j = i
nếu j = i — 1 hoặc j = ỉ + 1

Bi{tj) - ì
0

nếu j = i + 1 hoặc j = i — 1

và Bị (í) = 0 với t > t i + 2 và t < tị_ 2 - Kết quả này đã được J. Schoenberg
(1966) chứng tỏ rằng các hàm B spline là các spline duy nhất không âm
có giá compact nhỏ nhất với các nút tại í _2 < t - 1 < • • • < £ „ < tn+1

<

tn+2 - Tức là,bất kì spline bậc ba s( t) với các nút như trên m à triệt tiêu
bên ngoài mọi khoảng ( t j - i , t j +2) phải đồng nhất bằng 0. Hơn nữa, vì
mỗi B ị(t) cũng là đa thức bậc ba từng đoạn với các nút của phân hoạch
7T, mỗi B ị(t) €

Để tính s(t) ta sử dụng bảng dưới đây, trong đó

chứa các giá trị B ị(t) và các đạo hàm của B ị( t) tại các nút đó. Vì B ị(t)
và các các đạo hàm của B ị(t) triệt tiêu tại các nút khác nên ta không
đưa vào trong bảng.
tj- 2
Bj(t)

0

B'iit)

0
0

1

4

3

0

ft

t j +1

tj+2

1

0

3
~h

6

12

6

h2

h2

h 2‘

0
0

B ả n g 2.1:

Đ ặt B = {-S_1, B 0, . . . , B n+1 } và B 3(7r) = spanB. Các hàm trong B là
độc lập tuyến tính trên [a, 6] do đó B$(iĩ) có số chiều là (n + 3). Ta có
kết quả sau
Đ ịn h lý 2 .1 .1 . Tồn tại duy nhất hàm s ( t ) trong B 3(7r) thỏa mãn (Ị2.1.1Ị).

15


C h ứ n g m in h . Giả sử s ( t) € 5 3(7r), khi đó
s(í) = X _ i5 _ i(í) + x 0B 0(t) H------- h Xn+i 5 n+i(í).

(2.1.3)

Vì s(í) thỏa m ãn điều kiện (2.1.1) nên với 0 < ỉ < n ta có
s'(t0) — x - i B ^ ^ t o ) + x ữB'0(tữ) + • • • + x n+íB /n+1(tũ) — f r(tữ)
s'(tị) = x - i B ^ t ị ) + x ữB'0(tị) + ----- f x n+1B'n+1(ti) = f ( t ị )
s'(tn) =

(2.1.4)

+ x 0B'ữ(tn) 4------- h x n+1B'n+1(tn) =

Ta thu được hệ phương trình tuyến tính gồm n + 3 phương trình A x — b
với

X

= {x_1, x 0, . . . , x n+l)T,b = U /{t0) , f { t 0) J { t 1) , . . . , f { t n) , f /(tn))T,

và m a trậ n A các hệ số thu được từ bảng 1^1

/

3
h

1 4
0

V

\

3
h

0 ^ 0 0 0
1 0
14

0 0
10

0

0 0 1 4

10

0

0 0

0

0 0

1
„

4
3

~h

1
„

3

V

Vì m a trậ n A có đường chéo trội. Do đó A không suy biến nên hệ (2.1.4)
có nghiệm duy nhất.

□

Ta có kết quả sau.
Đ ịn h lý 2 .1 .2 . B s (7r) = S 3(tt).
C h ứ n g m in h . Từ định nghĩa của

ta có B 3(ĩĩ) c 53 (7ĩ). Ta

chứng minh bao hàm thức ngược lại như sau, lấy f ( t ) ẽ S ị (7ĩ). Khi đó,
ĩ ' { t ữ) , f itn) và

< i < n hoàn toàn xác định. Giả sử s ( t) € B 3(7ĩ)
16


là spline duy nhất từ (2.1.1). Khi đó f ( t ) — s(t) = g(t) triệt tiêu tại
mỗi tị, 0 < i < n và do đó g'(t0) , g'(tn) cũng vậy. Vì cả / và s đều
thuộc c 2[a, b], g(t) e c 2[a, 6]. Nên theo định lí Rolle ta có g'{t) có ít

< ĩji < t i+1 và hai nghiệm tại t Q và t n. Vì vậy

nhất n nghiệm tại

g'{t) có ít nhất n + 2 nghiệm, do đó g"{t) có tít nhất n + 1 nghiệm
zi: to < z0 < 2/ 0 , y0 < Z\

<

Vu

2/1 <

^2

< 2/2, • • ■ , ĩ / n - l <

z n < tn.

M ặt khác, g"(t) là đa thức Lagrange từng đoạn tuyến tính với các
nút trong phân hoạch 7T. Vì g"(t) tuyến tính từng đoạn và theo sự phân
bố của các nghiệm Zị của g"{t) nên g"{t) = 0 trên [to,tn]. Nhưng do
g(t) = a t + b v ầ g(t0) = g(tn) = 0, g(t) - 0. Như vậy s(t) = f ( t ) € B 3(Tĩ)
nên S 3(ĩt) c B 3(7r).
Định lí được chứng minh.

□

H ệ quả 2 .1 .1 . dini(Sl3(7r) = 71 + 3 và B = { B _ 1 , B 0, . . . , 5 n+1} /ồ một cơ
sở của không gian S 3(ĩĩ).

H ệ q u ả 2 .1 .2 . Tồn tại duy nhất spline bậc ba s ( t) thỏa mãn (Ị2 . 1 . 1 Ị).
Hàm s được gọi là nội suy spline bậc ba của f.
Nội suy bậc ba duy nhất của một hàm f ( t ) cho trước không chỉ là nội
suy đa thức bậc ba f ( t ) tại các nút tị, 0 < i < n. Có vô hạn các spline
như thế, chẳng hạn ta có thể chứng m inh hoàn toàn tương tự định lí
2 .1.1 có tồn tại duy nhất spline s ( t) xác định bởi (2.1.3) là nghiệm của

bài toán
V (ío )

=f"(to),

ễ(ti)

= f( tị),

0 < i < n,

(2.1.5)

= ĩ " { t n).
Hàm spline s ( t) được gọi là nội suy tự nhiên spline bậc ba của f ( t ) . Ma
17


trậ n A được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của hàm S(t) và trong
tính toán từ m a trậ n A chỉ theo dòng đầu tiên và cuối cùng, điều này
cho phép nội suy bậc hai thay thế bởi các đạo hàm bậc nhất. Các phần
tử được cho trong bảng |2.l[ Trong trường hợp tổng quát, cho trước 77,+ 3
số thực phân biệt tị < ĩ 2 <■■■ < ĩ n+3 và n + 3 số nguyên ĩiị, ta có thể
đặt câu hỏi: liệu có tồn tại m ột spline bậc ba s ( t) là nghiệm nội suy của
bài toán
= /("<>№),

I < i < n + Ĩ.

Trong các trường hợp câu trả lời là không.Trong trường hợp câu trả lời
là có th ì câu hỏi bằng cách nào xác định được các spline bậc ba nội suy
ra f ( t ) , hoặc không nội suy f ' ( t 0) và cũng không nội suy

Ta có

thể xây dựng, các nội suy Lagrange bậc ba A0(t) và Ai(í) cho f ( t ) tại
nhiều nhất là các nút t 0 < ti < t 2 <

và í n_3 < t n_2 < í n- 1 < t n. Khi

đó, để thu được sL(t) cho trong (2.1.3) ta phải giải hệ
s'L{to) — K { t o)j

0 < ỉ < n,

s l {U) =

(2 . 1.6)

«Í(í») = KMn)Theo trên, hệ (2.1.6) tồn tại và duy nhất của sL(t). Hơn nữa, ta có thể
thay đổi vế phải của hệ A x = b của Định lí 2.1.1. Ta cần ước lượng sai
số II/ —-SiII, nếu II/ —s|| là o(h4) trên [to, tz] và nếu max If ( t ) —A0(í)| =
o(/i4) = max \f(t) - xn(t)\ trên [tn- 3, t n] thì do

If ( t ) - An(í)| < |/ ( í) - Ao(í)| + |A0(Í) - sự ) I
trên [tn- 3 , t n] ta có thể chứng tỏ được II/ — s l \\ = o(h4) nếu II/ — s\\ =
o{hA).

18


V í d ụ 2.1.1. Tìm hàm spline bậc ba s ( t) nội suy hàm f ( t ) = 5t + 1 trên
i

đoạn [0,1] với các nút t = - , ỉ = 0, 5.

5

m

2
1
6
7
Ta đặt t _2 = ——, Í _1 = —- , t 6 = - và í 7 = - , ta có
5
5
5
5
(2.1.7)

s(t) = X _i5_!(í) + x QB Q(t) H------- h жn+l-®n+l (^)Vì h — - nên — = 5. Hơn nữa
5
h
s'(0) = /'(0 ) = 5,
s ộ = fC - ) = i + 1 ,

0 < г < гг.

S'( l) = /'(1 ) = 5.
Do đó, hệ A x = b là

( -1 5

0 15 0 0

0

0

0

1

4

1

0 0

0

0

0

0

1

4

1 0

0

0

0

1
Æ0

2

3
4

1

0

0

0

0 0

0

0

0

0 0 -1 5

4

1

0 15

5

\ жб/

6

w
Do đó, ta thu được s(t) =

+ 1.

2.1.2. P h ư ơ n g p h á p sp lin e c o llo c a tio n
Trong mục này giả sử X là không gian tuyến tính con của C[a, b]. Giả
sử L là toán tử tuyến tính m à miền xác định là toàn bộ X , và toàn bộ

19


miền ảnh cũng thuộc không gian X . Cho {01 , 02, ■■■,Ộn } là tập con độc
lập tuyến tính của X , và đặt
= s p a n { 0 i , 02 , • • • ) Ộ n }

X ỵ

là một không gian con N chiều của X . Xét phương trình tuyến tính sau:
L x = y,

(2.1.8)

với y là cho trước trong không gian X . Nghiệm xấp xỉ xịt) của (2.1.8)
thu được bằng phương pháp collocation là việc tìm một hàm x ^ i t ) sao
cho
Xn{Ì) = ữlộl {t) + CI2 Ộ2 {t) + • + ữn0jv(í)
trong X ỵ là nghiệm của hệ N X N phương trình tuyến tính:
N

L x N (ti) = ' ỵ 2 a j L ộ j (ti) = y(tị),
j =1

ĩ
(2.1.9)

trong đó t ị , t 2, . . . , t N là các điểm phân biệt của D m à tại đó các hạng
tử của (2.1.9) hoàn toàn xác định. Hàm x N (t) nếu tồn tại được gọi là
collocate của y ( t ) tại các điểm

t ị , . . . ,t]y.

B ất kì hàm / ( í ) thu được bằng

cách đó được gọi là m ột nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp
collocation.
Trong mục này, ta nghiên cứu m ột vài lớp toán tử L và m ột số các
không gian con X N sao cho nghiệm collocation tồn tại và duy nhất, và
đánh giá nhiễu ||z — Zjvll trong các trường hợp đó. Trước khi trình bày
nội dung phương pháp collocation ta xét m ột vài ví dụ sau:
V í d ụ 2 .1 .2 . X ét bài toán giá trị ban đầu

Lx{t)

= x"{t) — x ( t ) = 1,

a^(0)

= z ( l) = 0.
20


Đ ặt ộị(t) = t(t — 1) và 4>2(t) = t 2(t — l)j khi đó
Lội( t) — 2 —t(t — 1) và L ộ 2(t) = Qt — 2 —t 2{t—

1)

và
L ộ 2(0) = —2,

L</>i(0) = 2,

L 0 i(l) = 2,

và L</>2( 1 ) = 4.

Đ ặt ti = 0 và t 2 = 1. Xấp xỉ collocation
x(t) = a i ệ i ự ) + a2ộ 2{t),
sắp xếp lại vế phải của phương trình thứ nhất tại tị —0,và t 2 — 1 được
cho bởi hệ phương trình tuyến tính
(

2

2

Ì

M

=

V-2 4 w

A

V

I1/

trong đó y (0) = y( 1) = 1. Giải hệ này ta thu được ữ! = —và а 2 = —, do
3
6
đó
x(t) = ị t ( t - 1 ) + ị t 2( t - l ) .
Nghiệm chính xác là
1

x ( t ) = -—-—~[еь + e1 *] — 1 .
( e + 1)1
Ta trình bày giá trị của x ( t ) , x ( t ) và sai số e(t) = Ix(t) — x(t)\ theo
các giá trị của t trong bảng sau: Tiếp theo ta xét bài toán tổng quát hơn

và qua đó ta sẽ thấy việc sử dụng các hàm spline để thu được nghiệm
collocation.
V í d ụ 2 .1 .3 . Giả sử bài toán biên ban đầu
Lx(t)

= x"(t) + p(t)x'(t) + q(t)x(t), 0 < t < 1,

ж(0)

= ж(1 ) = о,

có nghiệm duy nhất x ( t ) và p và q là các hàm liên tục trên [о, 1 ].
21