Tính ổn định của các phương pháp runge kutta ẩn (LV01634)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

ĐỖ VĂN LỄ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP
RUNGE- KUTTA ẨN
Chuyên ngành

: Toán giải tích

Mã số

: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Khải

Hà Nội -2015


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá

trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Đỗ Văn Lễ


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn “Tính ổn định của các phương pháp
Runge-Kutta ẩn” không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Nếu sai tôi xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Đỗ Văn Lễ


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA

3

1.1 Bài toán giá trị ban đầu

3

1.2 Phương pháp Euler

4

1.3 Phương pháp một bước

6

1.4 Phương pháp Runge - Kutta

16

1.4.1 Khái niệm và phân loại

16

1.4.2 Tính phù hợp của phương pháp Runge - Kutta

18

1.4.3 Bậc của phương pháp Runge - Kutta

19

1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge - Kutta

20

1.4.5 Tính ổn định của phương pháp Runge - Kutta

22

CHƯƠNG 2:TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP
RUNGE - KUTTA ẨN

27

2.1 Kiến thức chuẩn bị

27

2.2 Các khái niệm ổn định

52

2.3 Điều kiện đủ B-, BS- và BS- ổn định

57

2.3.1 BS- và BSI- ổn định

57

2.3.2 B- ổn định

62

2.4 Các kết quả ổn định với một số lược đồ Runge - Kutta

65

2.4.1 Các phương pháp Gauss và Radau IA

65

2.4.2 Công thức Radau IIA

74

2.4.3 Các phương pháp Lobatto IIIC

77

KẾT LUẬN

79

TÀI LIỆU THAM KHẢO

80


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân là mô hình mô tả tốt các quá trình chuyển động
trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta
thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số.
Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần
giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh
mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.
Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra
những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính
xác cao. Một trong các phương pháp đó là phương pháp Runge-Kutta ẩn, có
nhiều ứng dụng vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Tính ổn định của các phương
pháp Runge - Kutta ẩn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn sẽ nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp Runge - Kutta ẩn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp Runge-Kutta, tính phù hợp, tính ổn định,
tính hội tụ của phương pháp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình vi phân;
Phương pháp Runge-Kutta ẩn.
5. Phương pháp nghiên cứu


2

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các
vấn đề liên quan tới đề tài.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
- Trình bày một cách hệ thống phương pháp Runge-Kutta;
- Trình bày tính ổn định của các phương pháp Runge-Kutta ẩn.

3

CHƯƠNG 1
PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA
1.1 Bài toán giá trị ban đầu
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử G là một miền trong R 2 và hàm f :G  R , hàm
khả vi liên tục y :  a, b   R được gọi là nghiệm của phương trình vi phân
thường phân bậc nhất y '  f  x, y  nếu:

 x, y ( x)   G

 y '( x)  f ( x, y ( x))

x   a, b .

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử G là một miền trong R n 1 và f : G  R n , hàm khả
vi liên tục y :  a, b   R n được gọi là nghiệm của phương trình vi phân
thường y '  f ( x, y) nếu:

 x, y ( x)   G

 y '( x)  f ( x, y ( x))

x   a, b .

Bài toán giá trị ban đầu: Cho hàm số y :  a, b   R n và hàm f : R  R n  R n .
Giải bài toán giá trị ban đầu:

 y '  f  x, y 


 y (a)  y0 .
Định lí 1.1.1. ( Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Cho hàm số f : R  R n  R n xác định liên tục trên miền:

(1.1)


4

D

 x, y  : a  x  b,   y  , t  1, n với a,b hữu hạn . Giả sử sự tồn
t

tại hằng số L sao cho:

f  x , y   f  x, y *   L y  y * ,   x , y  ,  x , y *   D ,
khi đó với y0  R n luôn tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
(1.1) sao cho y liên tục, khả vi   x, y   D .
1.2 Phương pháp Euler
Định nghĩa 1.2.1. Phương pháp Euler để tìm nghiệm của bài toán Cauchy

 y '  f ( x, y )

 y  x0   y0 ,

(1.2)

là việc tính xấp xỉ y j thay cho giá trị của nghiệm y  x j  tại những mốc cách

đều với bước lưới h là:

 x j  x0  h,

 y j 1  y j  hf ( x j , y j ),

j  1,2,3...
j  1, 2,3...

Có 3 cách giải thích khác nhau cho công thức xấp xỉ của phương pháp Euler
là:
+) Thay đạo hàm bởi tỉ số sai phân:

y  x1   y ( x0 )
 y '( x0 )  f ( x0 , y0 ).
h
+) Từ phương trình tích phân tương đương có:


5

x1

y ( x1 )  y ( x0 )   f  , y ( ) d ,
x0

xấp xỉ bởi quy tắc hình chữ nhật:
x1

 f ( , y  d  hf  x , y .

0

0

x0

+) Sử dụng công thức Taylor:
y ( x1 )  y ( x0  h)  y  x0   hy '( x0 ) 

h2 n
y  x0   h  ,
2

với 0    1 và bỏ qua những số hạng còn lại , nghĩa là xấp xỉ:
y ( x1 )  y  x0   hy '  x0  .

Mỗi cách giải thích đó mở ra một khả năng cải tiến phương pháp Euler.
Chẳng hạn thay vì sử dụng công thức hình chữ nhật, ta sử dụng công thức
hình thang chính xác hơn:
x1

h

 f  , y   d  2  f  x , y  x    f  x , y  x   
0

0

1

1

x0

y1  y0 

h
 f  x0 , y0   f  x1 , y1  .
2

(1.3)

Quá trình được lặp lại và ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.2.2. Phương pháp Euler ẩn đối với việc tìm nghiệm bằng số của
bài toán Cauchy (1.2) sẽ xấp xỉ y j tới nghiệm đúng y ( x j ) tại những mốc
cách đều x j  x0  jh, j  0 bởi công thức:


6

y j 1  y j 

h
f  x j , y j   f  x j 1 , y j 1  , j  0 . (1.4)
2





Chú ý: Phương trình không tuyến tính (1.4) của phương pháp Euler ẩn có thể
được giải bởi dãy xấp xỉ liên tiếp với giả thiết hẳng số Lipschitz L của f và
bước h thỏa mãn Lh < 2.
Chứng minh. Ta phải giải phương trình (1.3) đối với y1 .
Đặt g ( y )  y0 

h
 f  x0 , y0    f  x1 , y )  , suy ra (1.3) được viết lại là:
2

y1  g  y1  , hàm g là co vì

g  y  g  z 

h
hL
f  x1 , y   f  x1 ,z  
yz  yz,
2
2

theo nguyên lí ánh xạ co ta có y1 là tồn tại và duy nhất.
Định nghĩa 1.2.3. Phương pháp Euler cải tiến để tìm nghiệm của bài toán
Cauchy (1.2) là việc xấp xỉ y j tới nghiệm đúng y  x j  tại những mốc cách
đều: x j  x0  jh, j  1,2,3... bởi công thức sau:

h
y j 1  y j   f  x j , y j   f  x j 1 , y j  hf ( x j , y j )   , j  0.
2
1.3 Phương pháp một bước

Định nghĩa 1.3.1. Phương pháp một bước để tìm nghiệm bằng số của bài
toán giá trị ban đầu:
 y '  f ( x, y )

 y ( x0 )  y0


7

là việc xây dựng xấp xỉ y j tới nghiệm đúng y  x j  tại các điểm cách đều:

x j  x0  jh, j  1,2,3...
với y j xác định bởi:

y j 1  y j  h ( x j , y j ; h) với j  0,
trong đó hàm:

 : G   0,    R,
được xác định bởi hàm f  x, y .
Nhận xét:
+ Phương pháp Euler là phương pháp một bước với hàm   x, y; h   f ( x, y ) .
+ Phương pháp Euler cải tiến là phương pháp một bước với hàm:

  x, y , h  

1
f  x, y   f  x  h, y  hf  x, y   .
2





Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi  x, y   G , giả sử      là nghiệm duy nhất
của bài toán giá trị ban đầu:

 '  f  ,  ,

  y,
với dữ liệu ban đầu (x,y), khi đó:
  x, y , h  

1
  x  h     x      x, y, h 
h


8

được gọi là sai số chặt cụt địa phương.
Phương pháp 1 bước được gọi là phù hợp nếu lim   x, y; h   0 hội tụ đều
  x, y   G và được gọi là phù hợp bậc p nếu:   x, y, h   kh p với

  x, y   G , h  0, k là hằng số.
Không giảm tính tổng quát ta giả sử f là liên tục đều và bị chặn trên G.
Định lí 1.3.3. Phương pháp một bước là phù hợp khi và chỉ khi:

lim   x, y; h   f ( x, y ),
hội tụ đều với   x, y   G .
Chứng minh. Giả sử f bị chặn, ta có:

t

t

0

0

  x  t    ( x )   '  x  s  ds   f  x  s,  x  s   ds  0 khi t  0 hội tụ
đều với   x, y   G .
Do f liên tục đều nên:
1 h
 ' x  t    ' x 
  '  x  t    '  x  dt  max
0 t  h
h 0
h 0

 max f  x  t ,  x  t    f  x,  x    0

hội tụ đều với   x, y   G .
Từ đó ta có:


9

  x, y , h     x , y , h   f  x , y 
1
  x  h     x     '  x 
h

h0
1h
    x  t     x   dt  0
h0


hội tụ đều với   x, y   G.
Vậy:
h 0

h 0

 0    f .

Định lí 1.3.4. Phương pháp Euler là phù hợp. Nếu hàm f có đạo hàm riêng
liên tục trên G thì phương pháp Euler là phù hợp bậc nhất.
Chứng minh:
Theo phương pháp Euler thì:   x, y, h   f ( x, y ) suy ra phương pháp Euler là
phù hợp.
Do f có đạo hàm riêng liên tục nên từ  '  f  ,  suy ra  có đạo hàm
riêng liên tục cấp hai và

 "  f x  ,   f y  ,  f  ,  .

(1.5)

Theo công thức khai triển Taylor ta có:

  x, y, h  

1
h
  x  h     x     '  x    " x   h   Kh, với 0    1
h
2

và K là hằng số sao cho:

f x  ,   f y  ,  f  ,   2 K .


10

Vậy phương pháp Euler là phù hợp bậc nhất.
Định lí 1.3.5. Phương pháp Euler cải tiến là phù hợp. Nếu hàm f có đạo
hàm liên tục đến cấp hai trên G thì phương pháp Euler cải tiến là phù hợp
bậc 2.
Chứng minh.
Ta có:

1
2

h0

  x, y; h    f  x, y   f  x  h, y  hf ( x, y)    f  x, y  (hội tụ đều).
Do f có đạo hàm liên tục đến cấp hai theo (1.5) ta suy ra  có đạo hàm liên
tục đến cấp ba:

 '''  f xx  ,   2 f yy  ,  f  ,   f yy  ,  f 2  ,  

 f y  ,  f x  ,   f 2  ,  f  ,  .

Theo công thức khai triển Taylor ta có:

  x  h    ( x)  h '( x) 

h2
h3
 x    "' ( x   h)  K1h3 ,
2
6

(1.6)

với 0    1 và K 1 được chọn sao cho:

f  x  h, y  k   f  x, y   hf y  x, y   kf y  x, y  

2
1
K2  h  k  ,
2

trong đó K 2 là một hằng số thỏa mãn:
f xx  x, y   K 2 , f xy  x, y   K 2 , f yy  x, y   K 2 .

Lấy k  hf ( x, y) và theo (1.5) ta có:


11

1
f  x  h, y  hf ( x, y )   f ( x, y )  h " ( x)  K 2 (1  K 0 ) 2 h 2 ,
2
với K 0 là hằng số sao cho f  x, y   K 0 , do đó:

h
2

1
4

  x, y; h   f ( x, y )   " ( x)  K 2 (1  K 0 )2 h 2 .

(1.7)

Từ (1.6) và (1.7) ta có:

1
2

  x, y, h    K1  K 2 1  K 0   h 2 .
4


Vậy phương pháp Euler cải tiến là phù hợp bậc hai.
Định nghĩa 1.3.6. Giả sử ta chia đoạn  a, b  bởi các mốc cách đều:
x j  x0  jh j  0,1, 2,..., n
x0  a, xn  b ,

xấp xỉ tới giá trị y j thay cho giá trị của nghiệm y  x j  của bài toán giá trị
ban đầu:
 y '  f ( x, y )

 y ( x0 )  y0

bằng phương pháp một bước, khi đó:

e j  e j ( h)  y j  y  x j  j  0,1,2,..., n
được gọi là sai số toàn cục và
E  E (h)  max e j ( h) ,
j  0,...,n


12

được gọi là sai số toàn cục lớn nhất.
Định nghĩa 1.3.7. Phương pháp một bước được gọi là hội tụ đều nếu

lim E (h)  0 và được gọi là hội tụ bậc p nếu E (h)  Hh p , h  0 và H là
h 0
một hằng số nào đó.
Bổ đề 1.3.8. Cho  j  là dãy số thực thỏa mãn:

 j 1  1  A  j  B

j  0,1,2....

(với hằng số A>0 và B  0 ), khi đó ta luôn có:

 j  0 e jA 

B jA
 e  1 j  0,1,2...
A

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp.
Đánh giá là đúng với j  0 .
Áp dụng bất đẳng thức 1  A  e A ta có:

 j 1  (1  A) 0 e jA  (1  A)
  0 e( j 1) A 

B jA
 e  1  B
A

B ( j 1) A
 e  1.
A

Vậy đánh giá đúng với j  1.
Định lí 1.3.9. Giả sử hàm  được mô tả trong phương pháp một bước là liên
tục đối với biến h và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

  x, y; h     x,z; h   M y  z


13

với   x, y  ,  x, z   G, h đủ nhỏ, khi đó phương pháp một bước hội tụ nếu
và chỉ nếu nó phù hợp.
Chứng minh.
*) Phù hợp suy ra hội tụ:
Giả sử phương pháp một bước là phù hợp. Xét 2 sai số liên tiếp ta có:





e j 1  e j   y j 1  y j    y x j 1  y  x j  


 h  x j , y j ; h    y  x j 1   y  x j  
 h   x j , y j ; h     x j , y ( x j ); h     x j , y ( x j ); h   .

Do đó: e j 1  e j  h  M y j  y  x j   c(h) 



(1.8)

với c(h)  max   x, y ( x); h  thỏa mãn c  h   0 khi h  0 .
a  x b

Do phương pháp 1 bước phù hợp nên suy ra:
e j 1  (1  hM ) e j  hc( h) , j  0,1,2..., n

Áp dụng bổ đề 1.3.8 với A  hM và B  hc(h) và sử dụng e0  0 ta có:
ej 

c  h  M ( x x
e
1
M



j



0

với j  0,1,..., n

suy ra:
E ( h) 

h 0
c  h  M b a 
e
1  0
M

Vậy phương pháp một bước là hội tụ.
*) Hội tụ suy ra phù hợp:





(1.9)


14

Giả sử phương pháp 1 bước là hội tụ nghĩa là khi h  0 thì xấp xỉ:

y j 1  y j  h  x j , y j ; h 

(1.10)

hội tụ đến nghiệm của bài toán giá trị ban đầu.
Đặt: g  x, y     x, y;0  . Từ định lý 1.3.3 ta thấy phương pháp một bước là
phù hợp đối với bài toán Cauchy:

 y '( x)  g ( x, y )

 y  x0   y0

(1.11)

Từ đó ta thấy rằng tính phù hợp dẫn đến sự hội tụ , công thức gần đúng (1.10)
cũng hội tụ đều đến nghiệm của (1.11) và nghiệm của bài toán Cauchy là
trùng nhau.
Do đó ta có: f  x0 , y0   g ( x0 , y0 ) với   x0 , y0   G
suy ra:   x, y; h   f  x, y  khi h  0 , suy ra phương pháp một bước là phù
hợp.
Định lí 1.3.10. Giả sử rằng phương pháp một bước thỏa mãn các giả thiết

của định lí 1.3.9 và nó là phù hợp bậc p nghĩa là:

  x, y; h   Kh p
khi đó:

ej 

K M x x 
e
1 hp,
M



nghĩa là sự hội tụ cũng có bậc p .
Chứng minh.

j

0



j  0,1,2..., n


15

c(h)  max   x, y( x); h   Kh p ,

Do
nên từ (1.9) suy ra:
ej 

c  h  M (x x )
K M (x x )
e
 1  (e
 1) h p .
M
M



j

0



j

0

Hệ quả 1.3.11. Phương pháp Euler và Euler cải tiến là hội tụ.
Nếu f khả vi thì phương pháp Euler hội tụ bậc một.
Nếu f khả vi liên tục đến cấp hai thì phương pháp Euler hội tụ bậc hai.
Ta có thể xây dựng phương pháp một bước với bậc cao hơn như sau:
Cho một tập hợp các số thực:
sl ; l  2,3,...,m

cli ; i  1,2,...,l 1;l  2,3,..., m

 l ; l  1,2,..., m
Các hệ thức:
k1  f ( x j , y j )
k2  f ( x j  s 2 h, y j  c 21k1h)
k3  f ( x j  s 3h, y j  c31k1h  c32 k 2 h)
....................
m 1

km  f ( x j  s m h, y j  h  cmi ki )
i 1

được tính toán 1 cách đệ quy và dãy xấp xỉ được xác định bởi:
m

y j 1  y j  h i ki .
i 1


16

Phương pháp Euler được mô tả bởi m=1, 1  1 .
Phương pháp Euler được mô tả bởi m=1, s2  1, c21  1,1   2 

1
.
2

Mục đích cơ bản trong việc xây dựng phương pháp bậc cao hơn là cho 1

số m, xác định các hệ số cao cho bậc của tính phù hợp và hội tụ là lớn nhất có
thể.
Năm 1895, Runge giới thiệu phương pháp 1 bước để giải phương trình vi
phân và được mở rộng hệ phương trình vi phân bởi Kutta năm 1901. Phương
pháp này được gọi là phương pháp Runge-Kutta. Đây là phương pháp thành
công nhất của lớp các phương pháp một bước và ngày nay được sử dụng rộng
rãi.
Định nghĩa 1.3.12. Phương pháp Runge-Kutta để tính nghiệm bằng số của
bài toán Cauchy (1.2) xây dựng bởi sự xấp xỉ y j tới nghiệm chính xác y  x j 
tại các mốc cách đều: x j  x0  jh với j  1,2,3,... với bước h bằng cách sử
dụng phương pháp 1 bước với bậc cao hơn:
k1  f ( x j , y j )
h
h
k2  f ( x j  , y j  k1 )
2
2
h
h
k3  f ( x j  , y j  k 2 )
2
2
k 4  f ( x j  h, y j  h k 3 )
y j 1 

h
 k1  2k2  2k3  k4   y j .
6

1.4 Phương pháp Runge - Kutta

1.4.1 Khái niệm và phân loại


17

Định nghĩa 1.4.1. Dạng tổng quát của phương pháp Runge – Kutta s nấc cho
bài toán giá trị ban đầu (1.1) là:
y  y  h s bk

n
i i
 n 1
i 1

s
ki  f  xn  ci h, yn  h aij ki  , i  1, s
j 1




(1.12)

s

ta giả sử điều kiện ci   aij , i  1, s luôn được thỏa mãn.
j 1

Để thuận tiện cho việc trình bày ta ghi các hệ số xuất hiện trong các công thức
(1.12) vào bảng được gọi là bảng Butcher:

c1
c2
...
cs

a11
a21
...
a s1
b1

a12
a22
...
as 2
b2

... a1s
... a2 s
... ...
... ass
... bs
T

T

Ký hiệu: A   aij  là ma trận cấp s  s, c   c1 , c2 ,..., cs  , b   b1 ,b2 ,...,bs  là
các vec tơ s chiều. Khi đó phương pháp Runge-Kutta (1.12) được xác định
duy nhất bởi bảng Butcher:
c

A

bT

Nhận xét: Nếu ta đặt:


18

s

Yi  yn  h aij f ( xn  c j h, Y j ),

i  1, s

ki  f  xn  ci h, Yi  ,

i  1, s .

i 1

Khi đó phương pháp Runge-Kutta có thể viết dưới dạng:
 y  y  h s b f ( x  c h, Y )

n
i
n
i
i

 n 1
i 1

s
Yi  yn  h aij f ( xn  c j h, Y j ) ,i  1, s.

j 1

(1.13)

Phân loại:
+ Nếu aij  0, j  i, i  1, s hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp
Runge-Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge-Kutta hiển (hay phương pháp
Runge-Kutta cổ điển).
+ Nếu aij  0, j  i, i  1, s hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp
Rune-Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge-Kutta nửa ẩn.
+ Trong trường hợp còn lại thì phương pháp Runge – Kutta (1.12) được
gọi là phương pháp Runge-Kutta ẩn. A không là ma trận tam giác dưới.
1.4.2 Tính phù hợp của phương pháp Runge-Kutta
 y '  f ( x, y ),
Xét bài toán giá trị ban đầu: 
.
 y (a)  y 0 ,

Xét lớp phương pháp tổng quát:
k


j 0

j

yn j  h f ( yn  k ,yn  k 1 ,..., yn , xn ; h)


19

khi:
k  1,  1,  1, f y , x ; h  s b k ,
 n n  ii
1
0

i 1

s
ki  f  xn  ci h, yn  h  aij k j  , i  1, s,
j 1




thì ta có phương pháp Runge-Kutta dạng (1.12). Khi đó điều kiện cần và đủ
để phương pháp Runge-Kutta (1.12) phù hợp là:
 1  0
j

j 0

 f  y  xn  , xn ;0 

 f  xn , y  xn  

1
j j


j 0

  f ( y  xn  , xn ;0)  f  xn , y  xn  
a

  bi  1
i 1

s

Vậy với

b

i

 1 thì phương pháp Runge-Kutta là phù hợp.

i 1

1.4.3 Bậc của phương pháp Runge-Kutta
Định nghĩa 1.4.2. Sai số chặt cụt địa phương của phương pháp Runge-Kutta
(1.12) tại xn 1 tại Tn 1 được xác định bởi công thức:

Tn 1 : y  xn 1   yn 1
với giả thiết yn  y  xn  , Y j  y  xn  c j h  , j  1, s
s

hay là Tn 1 : yn 1  yn  h bi ki .
i 1


20

Định nghĩa 1.4.3. Bậc của phương pháp Runge-Kutta (1.12) là số nguyên p
lớn nhất sao cho Tn1  0  h p 1  .
Gọi y n 1 là giá trị tính theo phương pháp Runge-Kutta tại xn 1 , yn  y  xn  là
giá trị đúng, khi đó y n1  yn   f  yn , xn ; h  .
Do vậy: y  xn1   y n1  Tn1 .
Khai triển Taylor tại xn ta có:
Tn 1  y ( xn 1 )  y  xn    f ( y  xn  , xn ; h)
 hy '( xn )  hf  xn , y ( xn )   0  h 2 
 0(h 2 ),

như vậy mọi phương pháp Runge-Kutta (1.12) phù hợp đều có bậc p  1 .
1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta
Định nghĩa 1.4.4. Phương pháp Runge-Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi
phương pháp Runge –Kutta (1.12) là phù hợp và thỏa mãn điều kiện nghiệm.
Đa thức đặc trưng của phương pháp Runge-Kutta (1.12) là:

p( )    1,
luôn thỏa mãn điều kiện nghiệm.
Vì vậy phương pháp Runge-Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp
Runge-Kutta (1.12) thỏa mãn điều kiện phù hợp. Nghĩa là phương pháp

s

Runge-Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi

b

i

i 1

Ví dụ

1 .


21

Ví dụ 1: Phương pháp Runge – Kutta hiển 2 nấc cho bởi bảng Buttcher:
0

0

0

1
2

1
2

0

0

1

(Phương pháp Euler cải tiến: b1  0, b2  1, c2 

1
).
2

Ví dụ 2: Phương pháp Runge – Kutta nửa ẩn với bảng Butcher:
0

1
2

0

1
2

1
2

0

1
2

1
2

(Nhận xét: s  2; p  2 ta có phương pháp Runge – Kutta 2 nấc cấp 2).
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của phương pháp Runge – Kutta cho bởi:

k 
 1

h
yn 1  yn  (k1  3k3 ) , với: k2 
4


 k3 


Lời giải:
Ta có bảng Butcher là:

f ( xn , yn )
1
1 

f  xn  h, yn  hk1 
3
3 

2

2


f  xn  h, yn  hk2 
3
3

