Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN PHÚC KHANG

PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP
ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI

ỔN ĐỊNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HỒNG SƠN

Vinh, 2010

1

LỜI CẢM ƠN!

- Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình và hết lịng giúp đỡ của TS. Lê Hồng Sơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

- Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cơ giáo trong
khoa Tốn của trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng,
PGS.TS. Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS. Nguyễn Trung Hồ,
q thầy cơ khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên cao học

Toán khoá 16 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý chân thành để tác giả hoàn
thành luận văn.

- Cuối cùng, tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu.

Vì thời gian có hạn, bản thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn khơng thể
tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn
quan tâm vấn đề này.

Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Phúc Khang

2

MỤC LỤC

Trang
Mục lục .........................................................................................................
Lời cảm ơn ..................................................................................................2
Mở đầu ........................................................................................................2
Chương I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH.............................22
1. Định nghĩa và hàm mật độ, hàm phân phối của phân phối ổn định...........
1.1. Các định nghĩa về phân phối ổn định.....................................................
Định nghĩa 1.1.1. ..........................................................................................
Định nghĩa 1.1.2. ..........................................................................................
Định nghĩa 1.1.3. ..........................................................................................
Định nghĩa 1.1.4............................................................................................

Định nghĩa 1.1.5. ..........................................................................................
Định nghĩa 1.1.6. ..........................................................................................
1.2. Hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối ổn định...........................
Định lý 1.2.1. ................................................................................................
Định lý 1.2.2. ................................................................................................
Hệ quả 1.2.2. .................................................................................................
Định lý 1.2.3. ................................................................................................
2. Các tính chất cơ bản của phân phối ổn định..............................................
2.1. Moment và tính chất đi “heavy-tail”...................................................
Định lý 2.1.1. ................................................................................................
Định lý 2.1.2. ................................................................................................
2.2. Các phép toán của đại lượng ngẫu nhiên ổn định ..................................

3

Mệnh đề 2.2.1. ..............................................................................................
Mệnh đề 2.2.2. ..............................................................................................
2.3. Định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát ............................................
Định lý 2.3.1. ................................................................................................
Định lý 2.3.2. ................................................................................................
Chương II. ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH
2.1. Mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên của phân phối ổn định........................
Định lý 2.1.1. ................................................................................................
Bổ đề 2.1.3. ...................................................................................................
Định lí 2.1.4. .................................................................................................
2.2. Các phương pháp ước lượng chỉ số ổn định...........................................
2.2.1. Phương pháp ước lượng Hill...............................................................
2.2.2. Phương pháp ước lượng Zolotarev......................................................
2.2.3. Phương pháp ước lượng DPR .............................................................
KẾT LUẬN.......................................................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................

4

MỞ ĐẦU

Phân phối ổn định là một lớp phân phối xác suất phong phú với tính chất
đi “heavy-tail” và nhiều tính chất tốn học thú vị khác, cùng với định lý
giới hạn trung tâm. Lớp các phân phối ổn định được ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, tài chính, bảo hiểm,…và nó đã thu hút
được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học. Trong thời gian gần đây, một
trong những tính chất đặc trưng của phân phối ổn định đó là tính chất đi
“heavy-tail”, nghĩa là đi của phân phối ổn định “nặng” hơn đuôi của phân
phối chuẩn. Tuy nhiên việc nghiên cứu phân phối ổn định gặp nhiều khó khăn
hơn so với phân phối chuẩn. Vì một thực tế rằng, người ta không đưa ra biểu
thức giải tích cụ thể của hàm mật độ, hàm phân phối. Mặc dù vậy cùng với sự
phát triển của công nghệ thơng tin, việc tính tốn các giá trị hàm mật độ, hàm
phân phối có thể thực hiện được th ơng qua các phần mềm chuyên dụng.

Với những ứng dụng rộng rãi của phân phối  - ổn định, việc ước lượng
chỉ số đuôi  của phân phối là cần thiết và có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Như

chúng ta đã biết, ước lượng Hill là một trong những công cụ phổ biến nhất
dùng để ước lượng tham số đi của những phân phối có tính chất heavy-tail.
B. Hill đã cơng bố cơng trình nghiên cứu của mình về phương pháp ước
lượng này năm 1975. Tuy nhiên một nhược điểm của phương pháp ước lượng
Hill là cần phải khảo sát một mẫu có cỡ rất lớn, đặc tính này của ước lượng
Hill là một khó khăn lớn cho các nhà thống kê khi áp dụng vào thực tế. Tuy
nhiên, trong những năm cuối thế kỷ XX, đầu thế kỷ XXI, nhiều nhà nghiên
cứu thống kê đã cải tiến lại phương pháp Hill thành nhiều mơ hình ước lượng

khác nhau phù hợp với từng phân phối heavy-tail, điển hình như P. Hall trong
[7], S. Resnick và C. Starica trong [16], E. Hausler và J. Teugels trong [8].

5

Dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Hồng Sơn, chúng tôi đã chọn đề
tài:” Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của
phân phối ổn định ”.

Ngoài phần mở đầu, kết luân, luận văn được trình bày thành hai chương:
Chương 1. Đại cương về phân phối ổn định

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản và các công cụ cần thiết để
nghiên cứu về phân phối ổn định.
Chương 2. Các phương pháp ước lượng chỉ số đi của phân phối ổn
định

Trình bày 3 phương pháp về ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo của TS Lê Hồng Sơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
Thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
khoa Toán của trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,
PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hồ,
q thầy cơ khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên cao học
Toán khố 16 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý chân thành để tác giả hoàn
thành luận văn.
Cuối cùng tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu.
Vì thời gian có hạn, bản thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn khơng thể

tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn
quan tâm vấn đề này.

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

6

KẾT LUẬN:

Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1. Đã trình bày có hệ thống các khái niệm cơ bản của phân phối ổn định.
2. Dùng công cụ Excel để mơ phỏng các đại l ượng ngẫu nhiên có phân
phối ổn định.
3. Sử dụng các phương pháp ước lượng Hill, Zolotarev và DPR để đánh

giá ước lượng của tham số mũ  của phân phối ổn định.

Hướng mở của luận văn:
1. Tiếp tục nghiên cứu các phương pháp ước lượng khác, sử dụng các
phần mềm ứng dụng khác để mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối ổn định và ước lượng tham số mũ của phân phối ổn định.
2. Sử dụng các phần mềm đã có để mơ phỏng và ước lượng tham số mũ
của các model toán học, như model: ARMA, ARCH, GARCH.

7

Chương 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH

Phân phối ổn định là một lớp phân phối xác suất phong phú với tính chất
đi “heavy-tail” và nhiều tính chất tốn học thú vị khác. Lớp phân phối này
được mơ tả bởi Paul Levy trong các cơng trình nghiên cứu của ông về tổng
của các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối năm 1920. Một tính
chất quan trọng của phân phối chuẩn được nêu trong định lý giới hạn trung
tâm dạng tổng quát. Định lý phát biểu rằng, phân phối giới hạn của tổng
chuẩn hóa các đại lượng ngẫu nhiên cùng phân phối nếu có thì chỉ có thể là
phân phối ổn định. Từ tính chất quan trọng đó, cùng với các nghiên cứu sau
này về phân phối giới hạn, lớp các phân phối này đã được ứng dụng rộng rãi
trong lý thuyết xác suất cũng như trong lý thuyết thống kê toán học. Tuy
nhiên, việc nghiên cứu lớp các phân phối ổn định gặp rất nhiều khó khăn vì
một thực tế rằng: trừ một số trường hợp đặc biệt như phân phối Gauss,
Cauchy, Levy… nói chung hàm mật độ và hàm phân phối của đại lượng ngẫu
nhiên ổn định khơng có biểu thức giải tích cụ thể. Tuy nhiên phân phối ổn
định mô tả khá đầy đủ thơng qua hàm đặc trưng. Ngồi ra với sự phát triển
của khoa học kỹ thuật đã có nhiều chương trình máy tính đáng tin cậy để tính
tốn các giá trị của hàm phân phối và hàm mật độ của phân phối ổn định.
Trong chương này, chúng tơi trình bày các định nghĩa và một số tính chất cơ
bản của phân phối ổn định. Đặc biệt mơ tả cụ thể tính chất đuôi heavy-tail của
phân phối ổn định.
1. Định nghĩa và hàm mật độ, hàm phân phối của phân phối ổn định
1.1. Các định nghĩa về phân phối ổn định
Như chúng ta đã biết, một tính chất quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn (hay phân phối Gauss) là tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên
có cùng phân phối chuẩn cũng là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

8

chuẩn. Nghĩa là, nếu đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, X1 và X 2
độc lập có cùng phân phối với X và bất kỳ hằng số dương a, b, luôn tồn tại

số dương c và d  R sao cho:

d (1.1)

aX1 bX 2 cX  d,

Như ta đã biết, phân phối chuẩn là một trường hợp đặc biệt của lớp các
phân phối ổn định. Tuy nhiên, tính chất đặc trưng (1.1) của phân phối chuẩn
cũng đúng đối với lớp các phân phối ổn định. Tính chất đó thể hiện qua các
định nghĩa sau của phân phối ổn định.

Định nghĩa 1.1.1. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định
nếu với mọi X1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X và với bất kỳ hằng

số dương a , b, luôn tồn tại số dương c và d  R sao cho (1.1) thỏa mãn.

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định theo nghĩa hẹp
nếu (1.1) đúng với d 0.

Định nghĩa 1.1.2. Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được gọi là đồng dạng
nếu tồn tại các hằng số A  0 và B  R sao cho

d

X  AY  B.

d bằng nhau theo nghĩa phân phối.

"  "

Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có thể được phát biểu
rằng: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu với mọi

X1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X , thì với mọi hằng số dương a

và b, aX1  bX 2 luôn đồng dạng với X .

Như chúng ta đã biết, phân phối ổn định, trừ một số trường hợp đặc biệt
như phân phối Gauss, phân phối Cauchy hay phân phối Levy, đều khơng có
biểu thức giải tích cụ thể cho hàm mật độ và hàm phân phối. Tuy nhiên, lớp
các phân phối ổn định có thể được mô tả một cách đầy đủ thông qua công cụ
hàm đặc trưng, (xem [14]).

9

Định nghĩa 1.1.3. Đại lượng ngẫu nhiên X đươc gọi là  - ổn định nếu hàm
đặc trưng của X có dạng:

exp    t  1 i  tan  sign ( t)  i  t  ,2   1,
   1,
 ( t ) 
  2  
 exp    t 1 i  sign (t) ln t   i  t  ,
    

với 0   2,  1  1,   0,   R,  1, u 0,
 u 0,
Sign (u )  0, u  0.

 1,


Khi đó ta viết X ~ S(;  ;; ).

Nhận xét: định nghĩa 1.1.3 cho thấy rằng, một đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối ổn định nói chung phụ thuộc vào 4 tham số: tham số ổn định hoặc tham
số mũ đặc trưng   (0; 2]; tham số về độ lệch   [ 1; 1] ; tham số địa phương
  0 và tham số định vị   R.

Phân phối của X là đối xứng quanh gốc tọa độ O khi  0 và  0 , trong
trường hợp này hàm đặc trưng X có dạng đơn giản:

 ( t ) e  t  .

Sau đây ta mô tả một số trường hợp đặc biệt của phân phối ổn định.
Ví dụ 1. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Gauss, kí hiệu
N ( ,  2) , nếu có một hàm mật độ

f (x)  1 exp   (x  )2  2  , với x  R.

2a   4a 

Dễ dàng nhận thấy, phân phối Gauss là một phân phối 2  ổn định, với
( 2,  0,   2 a ,  ), nghĩa là X ~ S (2; 0; 2  ; ).

Ví dụ 2. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Cauchy, kí hiệu
Cauchy ( ,  ) , nếu hàm mật độ

10

f (x)  a2  (x  b)2 1  , X R.

Dễ dàng nhận thấy, phân phối Cauchy là một phân phối 1  ổn định, với
( 1,  0,  a ,  b), nghĩa là X ~ S (1; 0; a ; b).

Ví dụ 3. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Levy, kí hiệu Levy ( ,  ) ,
nếu có hàm mật độ

f (x)  a 3 1 exp     ,   x .
2 (x  b) 2  2(x  b) 

Dễ dàng nhận thấy, phân phối Levy là một phân phối 12  ổn định, với

(  12 ,  1,  a , b), nghĩa là X ~ S (12 ; 0; a ; b).

Trên đây là 3 trường hợp đặc biệt của phân phối ổn định có thể viết biểu
thức giải tích cụ thể của hàm mật độ.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu thêm một số định nghĩa tương đương về lớp
các phân phối ổn định.

Định nghĩa 1.1.4. Đại lượng ngẫu nhiên không suy biến X được gọi là ổn
định nếu và chỉ nếu với mọi n 1, tồn tại hằng số cn  0 và dn  R sao cho:

d (1.2)

X1  X 2  ...  X n cn X  dn ,

trong đó X1, X 2,..., X n độc lập cùng phân phối với X , với   (0, 2].

Đại lượng ngẫu nhiên X là phân phối ổn định theo nghĩa hẹp nếu

d n 0, n.

Người ta chứng tỏ được rằng hằng số cn trong (1.2) ln có dạng: cn n 1 .

Khi đó (1.2) trở thành:

d1

X1  X 2 ...  X n n  X  dn.

Ta nói X là  - ổn định.

11

Định nghĩa 1.1.5. Đại lượng ngẫu nhiên X là ổn định nếu và chỉ nếu

d

X a Z  b ,

với 0   2,  1  1, a  0, b  R và Z là đại lượng ngẫu nhiên với hàm
đặc trưng:

exp    t  1 i  tan  sign (t)  i  t  ,2 1,
   1.
Z ( t) 
  2  

 exp    t 1 i  sign (t) ln t   i  t  ,
    

Với những đặc tính về sự ổn định của tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu
nhiên ổn định, chúng ta có thể mơ tả cụ thể tính ổn định của tổ hợp tuyến tính
như sau:

Định nghĩa 1.1.6. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối  - ổn

định nếu

d  a 
  Z   tan    ,  1,
X   2  1, (1.3)

 Z ,


(1.3)
với Z Z ( ,  ) cho bởi (1.2), đại lượng ngẫu nhiên X , có hàm đặc trưng

exp    u  1 i  (tan  a ) (sign u)  i  u  ,2 1,
   1.
 (u) (1.4)
  2   (1.4)
 exp    u 1  i  (sign u) ln u   i  u  ,
     

12

Khi phân phối được chuẩn hóa, nghĩa là tham số tỉ lệ  1, tham số vị trí
 0, thì kí hiệu S ( ;  ; 0) được dùng như một sự rút gọn đối với

S( ;  ; 1; 0).

1.2. Hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối ổn định
Định lý 1.2.1. Phân phối ổn định là phân phối liên tục với hàm mật độ khả vi
vô hạn.

Trong phần này, chúng ta kí hiệu f (x  ,  ,  ,  ) và F(x  ,  ,  ,  ) cho
hàm mật độ và hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X ~ S ( ;  ; ;  ).

Khi được chuẩn hóa, tức là  1 và  0, f (x  ,  ) được sử dụng cho hàm
mật độ, và F(x  ,  ) sẽ được sử dụng cho hàm phân phối.

Mặc dù hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối ổn định khơng có
biểu thức giải tích cụ thể nhưng với sự phát triển của tin học, các giá trị của
hàm mật độ và phân phối của phân phối ổn định được tính tốn khá chính xác
bằng các phần mềm chuyên dụng.

Một trong những chương trình được sử dụng rộng rãi và hiệu quả là
chương trình “Stable Program” được giới thiệu bởi J.P. Nolan trong [14].

Định lí 1.2.2. (Tính chất phản xạ). Với mọi  và  , Z ~ S ( ;  ) trong (1.4)

ta có:

d

Z ( ,   )  Z ( ,  ).

Hệ quả 1.2.2. Hàm mật độ và hàm phân phối của Z ( ,  ) đại lượng ngẫu
nhiên thỏa mãn :

f  x , f  x , 

và

F  x  ,   1  F   x  ,    .

13

Từ tính chất phản xạ ta thấy, để nghiên cứu hàm mật độ và hàm phân phối
của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định, ta chỉ cần mơ tả chúng với
x  0 là đủ.

Như đã nói ở trên, hàm mật độ của phân phối ổn định khơng có biểu thức
giải tích cụ thể, tuy nhiên chúng có thể được biểu diễn thơng qua một chuỗi
hội tụ.
Định lí 1.2.3. Giả sử Z Z ( ;  ),0    2 được biểu diễn trong (1.4). Khi
đó, với  x  0 :

1  ( 1)n 1     n  1 Sin  n  x n  1 , 0    1,
 n n 1 n! 1    2,
f (x  ; ) 
n 1

 1 ( 1)  n     n 1
  1 Sin  n  x ,
 n n 1 n!    



trong đó:     2 với   .k   ; k      1  Sign1    .

Nếu  1,

1  n 1 n 1

f (x 1; 0)   ( 1) n bn (  ) x ;

n n1

với

1  n 1  
bn ( )  exp  t ln t  t Sin  (1   )t  dt.
(n 1) 0  2

Xét trường hợp thứ nhất khi  0 . Trong trường hợp này, tính chất phản
xạ phát biểu rằng:

f (x  , 0)  f ( x  , 0).

Do đó hàm mật độ và hàm phân phối đối xứng quanh O.
Khi   0, phân phối ổn định lệch sang bên phải, nghĩa là đi phía bên
phải của phân phối ổn định nặng hơn đi bên trái, hay nói cách khác:

P(X  x)  P(X   x), với mọi x  0.

14

Khi  1, phân phối ổn định hoàn toàn lệch sang bên phải. Từ tính chất
phản xạ ta có: khi   1, phân phối ổn định hoàn toàn lệch sang bên trái, và
khi   0, phân phối ổn định lệch sang bên trái, nghĩa là đi phía bên trái của
phân phối ổn định nặng hơn đi bên phải, hay nói cách khác:

P( X  x)  P( X   x), với mọi x  0.
Khi  0, phân phối ổn định đối xứng quanh trục x  . Các phân phối
đặc trưng như phân phối chuẩn, phân phối Levy và phân phối Cauchy là các
ví dụ cụ thể cho tính chất trên cũng như tính chất “heavy-tail” của phân phối
ổn định.
Khi  2, phân phối là phân phối chuẩn. Chú ý rằng tan 2 0 trong (1.4).
Vì vậy hàm đặc trưng là thực và vì thế phân phối ln đối xứng, khơng liên

quan gì về giá trị của  . Trong kí hiệu, d Trong trường hợp

Z (2,  ) Z (2, 0).

tổng quát   2, tất cả những phân phối ổn định càng trở nên đối xứng hơn và

 trở nên kém ý nghĩa trong các ứng dụng và khó khăn hơn để ước lượng

chính xác.

Như chúng ta đã biết khơng có cơng thức nào được đưa ra cho sự xác định

vị trí của mode. Tuy nhiên, mode của phân phối Z ~ S ( ;  ; 0) , kí hiệu

m ( ,  ) , bằng các phần mềm Stable trong J.P. Nolan[14]. Giá trị của m ( ,  )

được hiển thị cho  0 . Theo các tính chất phản xạ, m ( ,   )  m ( ,  ). Ta

có

P(Z  m ( ,  ))  P (Z  m ( ,  ))

khi   0 ,

P (Z  m ( ,  )) P (Z  m ( ,  )) 12

khi  0 , và cũng dựa vào tính chất phản xạ

P (Z  m ( ,  ))  P (Z  m ( ,  ))

15

khi   0.
Các tính chất và mơ phỏng của phân phối ổn định sẽ được mô tả và chứng
minh cụ thể trong Chương II.
2. Các tính chất cơ bản của phân phối ổn định
2.1. Moment và tính chất đi “heavy-tail”
Ta có phân phối chuẩn cũng như tính chất đi của phân phối chuẩn đã
được trình bày trong nhiều tài liệu về lý thuyết xác suất. Ở đây chúng tơi giới
thiệu tính chất tiệm cận đuôi cho những phân phối ổn định nhưng không phải
là phân phối chuẩn.
Định lý 2.1.1. Cho X ~ S ( ;  ; ;  ) với 0    2,  1   1.
Khi đó ta có:

P( X  x) ~  c 1    x  ,

f (x  ,  ,  ,  ) ~   c (1   ) x ( 1) ,

   ( )

khi x   , , với c sin   .

2 

Dùng tính chất phản xạ ta có, các tính chất tưong tự: cho  1  1, ta có

P( X   1) ~  c (1   )x   ,

và
f ( x  ,  ,  ,  ) ~   c (1  ) x (1). khi x  .

Một hệ quả của tính chất heavy tail là không phải tất cả những kỳ vọng cấp
p đều tồn tại.
Định lí 2.1.2. Giả sử X ~ S ( ;  ;; ), 0    2. Khi đó E X p   khi và chỉ
khi 0  p   và

16

    p 
Cos   .1  
p  2    
E X   p  .
Cos   .1 p
 2

Với  ,  được xác định trong định lí 1.2.3.

Nhận xét: Từ định lý 1.2.3, ta có: Nếu X ~ S ( ;  ;  ;  ), 0    2 thì

E X 2  .

2.2. Các phép toán của đại lượng ngẫu nhiên ổn định
Một tính chất cơ bản của luật ổn định là tổng các đại lượng ngẫu nhiên  

ổn định cũng là   ổn định. Trong trường hợp độc lập, mối liên hệ giữa tham
số của phân phối chuẩn được cho bởi mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 2.2.1 Phân phối ổn định có các tính chất sau đây:

(a) Nếu X ~ S ( ;  ; ;  ) và a 0, b  R ,

a X  b ~ S ( ;(sign a) ;   ; a  b).

(b) Hàm đặc trưng, hàm phân phối và hàm mật độ liên tục đối với tất cả
bốn tham số ( ,  , , ).

(c) Nếu X1 ~ S (1 ; 1 ;1 ;1) và X 2 ~ S (2 ; 2 ;2 ;2 ) là độc lập thì
X1  X 2 ~ S ( ;  ; ; ) với

1 1  2 2    

    ,  1  2 ,

1  2

   
1 2   tan      1 1  2 2  ,  1,

  2
 
 1 2  2    ln   1 1 ln 1  2 2 ln 2  ,  1.
 

Mệnh đề 2.2.2. Đại lượng ngẫu nhiên X ~ S ( ;  ;; ) có các tính chất sau

đây :

(a) Nếu X ~ S( ,  , , ) , thì với a 0, b  R , ta có:

17

 S (;(sign ) ; a  ; a   b) ,  1,
  1.
aXb ~  2
S (1;(sign a) ; a  ; a   b    ln a ) ,
 

(b) Nếu X1 ~ S (1 ; 1 ;1 ;1) và X 2 ~ S (2 ; 2;2;2 ) độc lập, thì

X1  X 2 ~ S ( ;  ; ; )

với

1 1  2 2    

    ,  1  2 , 1   2 .

1  2

Một trong các cơng thức giới thiệu có liên quan đến tổng của n đại lượng

ngẫu nhiên có phân phối ổn định đối với X j ~ S ( j ;  j ;j ; j ) , j 1, 2, 3,..., n

độc lập và bất kỳ w1, w2 ,..., wn có biểu thức xác định như sau:

w1X1  w2 X 2  ...  wn X n ~ S ( ;  ; ; )

với

n 

  wj j
j 1

 j 1 n  j  sign wj  wjj 

  

  j wj  j  tan       j  j wj j  ,2  1,
   1.
 j wj  j  2    ln    j  j wj j ln wj j  ,

Lưu ý: Nếu  j 0, j , sau đó  0 và   j wj  j.

Một tính chất quan trọng các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định là:
nếu X1, X 2,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối,
X j ~ S(;  ; ;  ) thì

X1  X 2 .....  X n ~ S ( ;  ; n 1 ; n ) ,

với

18

   1 
n   tan  n  n ,  1,
 1.
n  2 
 n   2 n ln n,
 

Chúng ta khẳng định rằng khơng có phân phối nào khác có tính chất này,

nếu có thì chỉ duy nhất đó là phân phối ổn định.

2.3. Định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát

Định lý giới hạn trung tâm nói rằng tổng chuẩn hóa của các đại lượng

ngẫu nhiên với phương sai hữu hạn, hội tụ về một đại lượng ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn. Cho X1, X 2,..., X n là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

cùng phân phối với nghĩa cùng kỳ vọng  và phương sai  2 . Định lý giới

hạn trung tâm phát biểu rằng

X n  X1  X 2 ... X n  n ,

với

X n   d Z ~ N (0,1) , khi n   .

n

Để thuận tiện trong việc sử dụng các kí hiệu, chúng ta có thể viết lại dưới
dạng như sau:

d

an ( X1  X 2 ...  X n )  bn  Z ~ N (0,1) khi n  

với an  1 và bn  n  .
n 

Các định lý giới hạn trung tâm tổng quát cho thấy, nếu giả thuyết hữu hạn

của phương sai khơng thỏa mãn, thì phân phối giới hạn duy nhất thể chỉ có

thể là phân phối ổn định.

Định lý 2.3.2. Giả sử X1, X 2,..., X n là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc

lập cùng phân phối, tồn tại hằng số an  0, bn  R và Z là đại lượng ngẫu

nhiên không suy biến với:

19

d

an ( X1  X 2 ...  X n )  bn  Z ,

nếu và chỉ nếu Z là  - ổn định với 0   2.

Ta ký hiệu X  DA(Z ) nếu tồn tại hằng số các an  0,bn  R sao cho

d (1.5)

an ( X1  X 2 ...  X n )  bn  Z ~ S ( ;  ; 1; 0)

với X1, X 2,..., X n là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
với X .

Định lý 2.3.2 chứng tỏ rằng X  DA(Z) khi và chỉ khi X có phân phối ổn
định. Trong chứng minh định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát, Levy
cũng đưa ra các dạng của các hằng số an và bn .

Ví dụ như, giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên với xác suất đuôi thỏa mãn:

x P ( X  x)  c và x P ( X   x)  c
khi x   , với c  c  0 và 1    2 . Đặt  EX , khi đó ta có:

d

an ( X1  X 2 ...  X n )  bn  Z ~ S ( ;  ; 1; 0) khi n   ,

với

an ((2( ) sin (2 )) ( (c  c ))) 1 n 1 , bn n an 

và   (c  c (c  c ) ).

Chương II

ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH