Luận văn thạc sĩ toán đa thức và phân thức hữu tỉ dành cho học sinh chuyên toán

TR

B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

NGUY Nă

CăLAI ậ C00449

AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT
DĨNHăCHOăH CăSINHăCHUYểN TOỄN
TịMăT TăLU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C
CHUYểNăNGĨNH:ăPH

NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P

MĩăS :ă60ă46ă01ă13

NG

IăH

NGăD NăKHOAăH C:ăTSăBỐIăHUYăHI N

Hà N i – N m 2016


M CăL C
Trang
1

M căl c…………………………………………………………….……………………………......
3
M ăđ u ……………………………………………………………………………...........................
4
L iăc mă n ……………………………………………………………………………………......
Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt
I
5
VƠnhăđaăth căm tăbi n………………………………………………………….....
I.1
a th c trong vành K[X ] ……………………………………………………………
5
I.2

Tính ch t c a vành K[X ] ……………………………………………………………

6

I.3

Phép đ o hàm………………………………………………………………..………......

6

I.4
II

Hàm đa th c………………………………………………………………….………......
S ăh cătrongăvƠnhăđaăth c…………………………………………….…………

II.1

Phép chia có d

6
7

………………………………………………………………………….

7

II.2

a th c b t kh quy…………………………………………………………..………

8

II.3

Phân tích đa th c( nhân t hóa đa th c) ……………………………..………

8

III

Nghi măc aăđaăth c…………………………………………………………………

9

III.1 Không đi m c a đa th c…………………………………………………….………

9

III.2 Tính ch t c a không đi m và đ o hàm………………………………..………

9

III.3

nh lý Berzout……………………………………………………………….….…….

9

III.4

a th c n i suy Lagrange………………………………………………….………

9

IV

Phơnăth căh uăt

……………………………………….……………….……………

9

IV.1

Các đ nh ngh a……………………………………….…………………………………

9

IV.2

Phép phân tích m t phân th c h u t

10

IV.3 Các ph

…………………………………………

ng pháp phân tích m t phân th c h u t

……………….………

IV.4

ng d ng c a phép phân tích m t phân th c h u t

Ch

ngă2.ăCácăd ngătoánăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt

……………………

10
10

1

Thang Long University Libraty


I

BƠiătoánăs ăh căc aăđaăth căh ăs ănguyên…………………….…………

11

I.1

Bài toán v tính chia h t c a đa th c………………………………….………

11

I.2

Ch ng minh đa th c kh quy, b t kh quy……………………….…………

12

I.3

M t s bài toán v đa th c Chebyshev………………………………..………

14

II

Nghi măc aăđaăth c…………………………………………………………………

14

II.1

Tìm nghi m c a đa th c…………………………….………………………………

14

II.2

Tính ch t c a nghi m c a đa th c………………………………….…….……

15

II.3

Nghi m b i và đ o hàm c a đa th c……..……………………………………

18

III

BƠiătoánăxácăđ nhăđaăth c………………..………………………………………

19

III.1 Xác đ nh đa th c khi cho bi t nghi m c a đa th c ……..……......………

19

III.2 Dùng ph

ng pháp h s b t đ nh …………………………………………..….

III.3 Tìm đa th c khi bi t m t s giá tr c a đa th c và đ o hàm………….
IV

Phơnăth căh uăt

…………………………………..…………………………………

IV.1 Phân tích phân th c h u t
IV.2

20
21
23

………..……………………………………………….

23

ng d ng c a phép phân tích phân th c h u t vào tính tích phân.

23

Ph năIII:ăK tălu n …………….………………………………………………………………

TƠiăli uăthamăkh o…………………………………….….……………………………………

2


M ă
Trong ch

ng trình môn Toán

U

b c Ph thông, h c sinh đ

c ti p c n v i

đa th c t b c THCS, đ n THPT chuyên. Bài toán v đa th c và phân th c h u
t xu t hi n trong h u h t các cu c thi. Hi n nay, các tài li u v đa th c c ng khá
đa d ng và phong phú. Tuy nhiên, đa s đ u khó đ i v i các h c sinh m i b t
đ u ti p c n. Vì v y tôi l a ch n các d ng toán đi n hình v đa th c và phân
th c h u t đ nghiên c u và ph c v cho h c sinh các l p chuyên toán ph
thông.
Lu năv năăg mă2ăch

ng:

Ch

ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv đaăth căvƠăphơnăth căh uăt .

Ch

ngă2.ăCácăd ngătoán v đaăth căvƠăphơnăth căh uăt .

Hà n i. ngày 15 tháng 5 n m 2016
Tácăgi

Nguy nă

căLai

3

Thang Long University Libraty


L IăC Mă N
Lu n v n này đ

c hoàn thành d

is h

ng d n khoa h c c a ti n s

Bùi Huy Hi n. Em xin chân thành c m n Th y đã t n tâm, nh t tình h

ng d n

em trong su t th i gian h c t p và làm lu n v n. Tác gi c ng xin chân thành

c m n tr

ng

i h c Th ng Long, c m n các Th y, Cô giáo c a Nhà tr

ng

đã nhi t tình gi ng d y cho em trong su t th i gian qua. C m n các Th y, Cô
giáo tr

ng THPT Chuyên B c Giang đã giúp đ , t o đi u ki n cho tôi có nhi u

th i gian tham gia h c t p nâng cao trình đ . C m n các b n h c viên l p Cao
h c Th ng Long khoá 03 đã giúp đ tôi trong c quá trình h c t p t i tr

ng!

Hà n i. ngày 15 tháng 5 n m 2016
Tácăgi

Nguy nă

4

căLai


CH

NGă1

TịMăT TăM TăS ăKI NăTH CăCHUNGă
V

AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT

I.ăVĨNHă AăTH CăM TăBI N.
I.1. aăth cătrong vƠnhă K[X ]
I.1.1.ă nhăngh a
I.1.1.1.ă nhăngh aă1.
V i m i dãy  a n n thu c K , ta g i I  {n  , a n  0} là giá c a  a n n .
a th c m t bi n, có h t l y trong K là dãy  a n n b t k thu c K có giá h u
h n.
I.1.1.2.ă nhăngh aă2.
Cho đa th c P   a n n  K[X ] .
S t nhiên n l n nh t sao cho a n khác không đ

c g i là b c c a P , vi t

deg  P   n . Khi đó a n g i là h t cao nh t c a P , n u P  0 và a n  1 thì P g i

là chu n t c.
I.1.2. Các phépătoánăc aăđaăth c.
I.1.2.1.ăPhépăc ng.
Cho các đa th c P   a n n  K[X ] và Q   bn n  K[X ] . Khi đó t ng c a
chúng đ

c vi t và tính theo công th c P  Q   a n  bn n  K[X ] .

I.1.2.2.ăPhépănhơn.
Cho các đa th c P   a n n  K[X ] và Q   bn n  K[X ] . Khi đó tích c a
chúng đ

c vi t và tính theo công th c là P .Q   cn n  K[X ] .

I.1.2.3.ăPhépăh păđaăth c.

5

Thang Long University Libraty


Cho các đa th c P   a n n  K[X ] , Q   bn n  K[X ] . Ta g i đa th c h p
c a P và Q đ

c vi t là P Q ho c P  Q  và đ

c xác đ nh theo công th c
N

P Q  P  Q    a nQ n .
n 0

I.2.ăTínhăch tăc aăvƠnhă K[X ] .
I.3.ăPhépăđ oăhƠm.
I.3.1.ă nhăngh a.
N

V i m i đa th c P   a n X n  K[ X ] , đa th c đ o hàm c a P , ký hi u là P '

n0

đ

N

N 1

n 0

n 0

c xác đ nh b i P '   na n X n1    n  1 a n1 X n  K[ X ] .

Ta ký hi u P 1  P ', P  2   P ' ',..., P  k   P  k1  ', k 

*

.

I.3.2.ăTínhăch tăc aăphépăđ oăhƠm.
Côngăth căLeibniz.
o hàm c p k,  k   c a đa th c tích PQ đ

c tính b ng công th c

k

 PQ     Cki P i Q k 1 .
k

i 0

I.4.ăHƠmăđaăth c.
I.4.1ă nhăngh a.
N

Cho đa th c P   a n X n  K[ X ] . Khi đó ta có hàm P : K  K xác đ nh b i
n0

N

quy t c x  K , P  x   a n xn đ
n 0

c g i là hàm đa th c liên k t v i P .

I.4.2.ăM nhăđ 1.
Cho P , Q là các đa th c trong K[X ] ,   K ta có

6


P   Q  P   Q, P Q  P Q, PQ  P .Q .

I.4.3.ă nhălỦ( nhălỦăTaylorăđ iăv iăđaăth c).
Cho đa th c P  [X ], N  , th a mãn deg  P   N ,   . Ta có công th c
N

P   X   

P

n 0

n

  X n .

n!

I.4.4.ăM nhăđ ă2.
Ánh x
F : K[ X ]  K K
P

P

Là đ n Ánh khi và ch khi K vô h n.
II.ăS ăH CăTRONGăVĨNHă AăTH C.
II.1.ăPhépăchiaăcóăd .
nhăngh aătínhăchiaăh t.

II.1.1.

Cho A, P là hai đa th c trong K[X ] và   K .
Ta nói A chia h t P ( trong K[ X ] ) và ký hi u là A P , khi và ch khi t n t i đa
th c Q  K[ X ] sao cho P  AQ .
II.1.2. Tínhăch tăc aăquanăh chiaăh t.
II.1.3.ăPhépăchiaăEuclide.

nhălỦ.
Cho các đa th c A, B  K[ X ], B  0 . T n t i duy nh t c p đa th c
2
 Q, R   K[ X ] sao cho

A  BQ  R, deg  R   deg  B  , Q , R l n l

t là th

ng và d

trong phép chia Euclide A cho B .
II.1.4.ă nhăngh aă

căchungăl nănh t(UCLN),ăB iăchungănh ănh t(BCNN).

7

Thang Long University Libraty


II.1.5.ă Tínhă ch tă c aă

că chungă l nă nh t(UCLN),ă B iă chungă nh ă

nh t(BCNN).
II.1.6. aăth cănguyênăt ăcùngănhau.
II.1.7. Cácăđ nhălỦ vƠătínhăch t.
Cho A, B, C , P , Q là các đa th c trong K[X ] và   K .
M nhăđ ă1.

N u đa th c A, B khác không, nguyên t cùng nhau và đa th c C chia h t
B thì A và C nguyên t cùng nhau.

nhălỦ 1 ( nhălỦăBezout).
i u ki n c n và đ đ các đa th c P1 , P2 ,..., P khác không, nguyên t cùng
nhau trong toàn th là t n t i các đa th c Q1 , Q2 ,..., Qn khác không sao cho
n

 PQ
i 1

i

i

 1.

nhălỦă2( nhălỦăGauss).
N u đa th c A, B khác không, nguyên t cùng nhau và đa th c A chia h t
BC thì A chia h t C .

M nhăđ ă2.
II.2.ă aăth căb tăkh ăquy.
II.2.1.ă nhăngh a.
M t đa th c P  K[ X ] g i là b t kh quy (nguyên t ) khi và ch khi
deg  P   1 và P ch có

c trong K[ X ] là   K \{0} và  P  K[ X ],    K\{0} .

II.2.2.ăTínhăch tăc aăđaăth căb tăkh ăquy.

M nhăđ ă1.
M nhăđ ă2.
II.3.ăPhơnătíchăđaăth c(ănhơnăt ăhóaăđaăth c).

8


nhălỦ.
H ăqu .
M nhăđ .
III.ăNGHI MăC Aă AăTH C.
III.1.ăKhôngăđi măc aăđaăth c.
III.1.1.ă nhăngh a 1.
Cho P  K[X ], a  K . Ta nói r ng  là m t không đi m hay m t nghi m c a
P khi và ch khi P    0 .

III.1.2.ă nhăngh aă2.
Cho P  K[X ], a  K . Ta nói r ng  là không đi m c p b i không th p h n
k khi và ch khi P  X    .
k

III.2.ăTínhăch tăc aăkhôngăđi m vƠ đ oăhƠm.
III.2.1.ă nhălỦăViet.
III.2.2.ă

oăhƠmăv iănghi măc aăđaăth c.

III.3.ă nhălỦăBerzout.
Cho đa th c P  X   a n X n  a n 1 X n 1  ...  a1 X  a 0  K[ X ] n u   K là m t
không đi m c a P khi và ch khi ta có P  X    X    Q  X  .

III.4.ă aăth căn iăsuyăLagrange.
nhălỦ.
IV.ăPHÂNăTH CăH UăT .
IV.1. Cácăđ nhăngh a.
IV.1.1.ă nhăngh aă1.
IV.1.2.ă nhăngh aă2.
IV.1.3.ă nhăngh aă3.

9

Thang Long University Libraty


IV.1.4.ă nhăngh aă4.
IV.1.5.ăTínhăch t.
IV.2.ăPhépăphơnătíchăm tăphơnăth căh uăt .
IV.2.1. Cácăb ăđ .
B ăđ ă1.
B ăđ ă2.
B ăđ ă3.
B ăđ ă4.
IV.2.2.ă nhăngh a.ă
IV.2.3.ă nhălỦ.
IV.3.ăCácăph

ngăphápăphơnătíchăm tăphơnăth căh uăt .

Ph

ngăphápă1: Ph

ng pháp đ ng nh t h s .

Ph

ngăphápă2: Ph

ng pháp chia theo l y th a t ng.

Ph

ngăphápă3: Ph

ng pháp h s b t đ nh.

IV.4.ă ngăd ngăc aăphépăphơnătíchăm tăphơnăth căh uăt .

10


CH
CỄCăD NGăTOỄN V

NG 2

AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT

I.ăD NGă1.ăTệNHăCH T S ăH CăC Aă AăTH CăH ăS ăNGUYểN.
I.1.ăBƠiătoánăv ătínhăchiaăh tăc aăđaăth c.
BƠiătoánăI.1.1.

Cho P  x  x4  4 x3  ax2  bx  1 . Tìm t t c các giá tr c a a , b, c đ P  x 
vi t thành bình ph

ng c a m t đa th c.

BƠiătoánăI.1.2.
2
Tìm ph n d trong phép chia x100 cho  x  1 .

BƠiătoánăI.1.3.
Tìm các s

a , b, c sao cho P  x  x3  ax2  bx  c chia h t cho x 2 và

P  x  x3  ax2  bx  c chia cho x2  1 d

2x .

BƠiătoánăI.1.4.
Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a n , đa th c P  x   x  1

2 n 1

 xn  2

luôn chia h t cho đa th c Q  x  x2  x  1 .
BƠiătoánăI.1.5.
Tìm t t c các giá tr c a n

đ đa th c P  x  x2 n  xn  1 chia h t cho đa

th c Q  x  x2  x  1 .
BaiătoánăI.1.6.
Cho đa th c P  x  , bi t P  x  chia cho  x  2014  và  x  2015 l n l

td

a , b . Tìm phép d trong phép chia P  x  cho  x  2014  x  2015  .

BƠiătoánăI.1.7.
Ch ng minh r ng UCLN c a xm  1 và xn  1 là xUCLN m,n 1 .

11

Thang Long University Libraty


I.2.ăCh ngăminhăđaăth căkh ăquy,ăb tăkh ăquy
BƠiătoánăI.2.1.
Cho P  x  [x] và có b c n l , nh n giá tr b ng 1 ho c 1 t i n giá tr
nguyên khác nhau. Ch ng minh r ng P  x  [x] b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.2.
Cho P  x  th a mãn xP  x  1   x  2014  P  x và P  2014   2014! . Ch ng
minh r ng f  x  P 2  x  1 b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.3.
Cho a , n nguyên và p là m t s nguyên t th a mãn p  a  1 . Ch ng
minh r ng f  x  xn  ax  p b t kh quy trong [x] .
BƠiătoánăI.2.4.
n

Cho P  x   a i xi  [x] th a mãn a 0 nguyên t , a 0  a1  ...  a n . Ch ng
i 0

n

minh r ng P  x   a i xi  [x] b t kh quy trong [x] .
i 0

BƠi toánăI.2.5.
Cho a, m, n nguyên d

ng, p là s nguyên t th a mãn p  a  1 . Ch ng

minh r ng đa th c f  x  xm  x  a   p b t kh quy trên [x] .
n

BƠiătoánăI.2.6.
Ch ng minh r ng đa th c f  x   x2  12  x2  22  ...  x2  n2   1 b t kh quy trên
[x] .

BƠiătoánăI.2.7.
Cho đa th c P  x   x2  7 x  6  13 .
2n

12


Ch ng minh r ng n u P  x  Q  x .R  x , Q  x , R  x  [x], Q  x , R  x  const thì
deg  Q  x   deg  R  x   2n . T đó ch ra P  x  b t kh quy trên

[x] .

BƠiătoánăI.2.8.
Cho đa th c f  x trên [x] có b c n . N u t n t i ít nh t 2n 1 s nguyên,
phân bi t m sao cho f  m nguyên t thì f  x b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.9.
Ch ng minh r ng đa th c P  x   x2  x  1 b t kh quy trên [x] .
2n

BƠiătoánăI.2.10.
Cho s nguyên t

p  5 . Tìm s các đa th c b t kh quy trên

[x] c a đa

th c có d ng P  x  x p  pxk  pxl  1, k  l ; k, l  {1, 2,3,..., p  1} .
BƠiătoánăI.2.11.
Ch ng minh r ng n u p là m t s nguyên t thì đa th c P  x 

xp 1
b t
x 1

kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.12.
Cho s nguyên t

p và s nguyên a không chia h t cho p . Ch ng minh

r ng đa th c P  x  x p  x  a b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.13.
Cho n là s nguyên d

ng. Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ đa

th c P  x  xn  4 kh quy trên [x] là n chia h t cho 4.
BƠiătoánăI.2.14.
Cho n  , n  1. Ch ng minh r ng P  x  xn  5 xn 1  3 b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.15.

13

Thang Long University Libraty


Cho n  , n  4 , ch ng minh r ng P  x  xn  x3  x2  x  5 b t kh quy trên [x] .
I.3.ăM tăs ăbƠiătoánăv ăđaăth căChebyshev.
Các bài toán v đa th c Chebyshev t

ng đ i khó v i đa s h c sinh, v i

m c đích gi i thi u cho các h c sinh chuyên m i ti p c n v i đa th c nên tôi
ch n l c m t s bài toán th

ng g p c a đa th c Chebyshev.

BƠiătoánăI.3.1.
a) Cho f  x  2 x2  bx  c . Tìm các s b, c 
b) Cho f  x  4 x3  ax2  bx  c . Tìm các s

đ v i m i x [  1;1] thì f  x  1 .
a , b, c 

đ v i m i x [  1;1] thì

f  x  1 .

BƠiătoánăI.3.2.
Tìm các s th c a , b, c sao cho f  x  max x3  ax2  bx  c đ t giá tr nh
[ 1;1]

nh t.
BƠiătoánăI.3.3. ( ng d ng đa th c Chebyshev gi i ph
Gi i các ph

ng trình b c cao).

ng trình sau

a) x5  10 x3  20 x  18  0 .
b) 16 x5  20 x3  5 x  3  0 .
BƠiătoánăI.3.4.
Cho s th c  th a mãn 6 a  6

1
1
 6 . Hãy tính giá tr c a A  4 a  4 .
a
a

II.ăD NGă2.ăNGHI MăC Aă AăTH C.
II.1.ăTìmănghi măc aăđaăth c.
BƠiătoánăII.1.1.
Tìm t t c các nghi m c a đa th c sau v i a  a  1  0.
P  x   a 2  a   x2  x  1   x2  x  a 2  a  1 .
2

3

14

2

3


BƠiătoánăII.1.2.
Cho đa th c P  x  axn  axn 1  c2 xn 2  ...  cn  2 x2  n 2bx  b có b c là n và có
n nghi m d

ng. Hãy tìm t t c các nghi m c a đa th c trên.

II.2.ăTínhăch tăc aănghi măc aăđaăth c.
BƠiătoánăII.2.1.
Cho đa th c Cho đa th c P  x  a n xn  a n 1 xn 1  ...  a1 x  a 0 , a n  0. Gi s
là nghi m c a đa th c. Ch ng minh r ng x0  1  0max
 i  n 1

x0

ai
.
an

BƠiătoánăII.2.2.
Ch ng minh r ng m i đa th c b c ch n v i t t c các h s l đ u không
có nghi m h u t .
BƠiătoánăII.2.3.
n

n

i 0

i 0

Cho 2 đa th c P  x   ai xi , Q  x   b j x j , bi t an  bn là s nguyên t và
a n1  bn1 . G i m là nghi m h u t chung c a P  x , Q  x . Ch ng minh r ng m là

s nguyên.
BƠiătoánăII.2.4.
Ch ng minh r ng tích hai nghi m th c c a đa th c P  x  x4  x3  1 là
nghi m c a đa th c Q  x  x6  x4  x3  x2  1 .
BƠiătoánăII.2.5.
n 1

Cho đa th c P  x  1   a i xi  xn , a i  0, i  1, n  1 và P  x  có n nghi m
i 1

th c. Ch ng minh r ng P  2   3n .
BƠiătoánăII.2.6.

15

Thang Long University Libraty


Cho đa th c P  x  xn  an1xn1  ...  a1x  a0 , a k  1, k  0, n 1 . Ch ng minh
r ng n u P  x  có n nghi m th c thì n  3 .
BƠiătoánăII.2.7.
n 1

Cho đa th c P  x  1   a i xi  xn , a i  0, i  1, n  1
i 1

và ta có a1  a 2  ...  a n1  3, a n1  2 .Ch ng minh r ng đa th c P  x  không th có n
nghi m th c.
BƠiătoánăII.2.8.
Cho 3 s th c a , b, c th a mãn đi u ki n a n  bn  cn  , n 

*

. Ch ng

sao cho a , b, c là 3 nghi m c a ph

minh r ng t n t i 3 s nguyên p, q, r 

ng

trình
x3  px2  qx  r  0.

BƠiătoánăII.2.9.
Cho P  x  [x] . Ch ng minh r ng n u P  0  và P 1 đ u l thì P  x  không
có nghi m nguyên.
BƠiătoánăII.2.10.
Cho P  x  là đa th c nguyên và P  x  1 có nghi m nguyên là x1 , P  x  2
có nghi m nguyên là x2 , P  x   3 có nghi m nguyên là x3 . Ch ng minh r ng
x1 ; x2 ; x3 theo th t là nghi m nguyên duy nh t c a các ph

ng trình

P  x  1; P  x  2; P  x  3 .

BƠiătoánăII.2.11.
Cho P  x  1  x2  x9  xn  xn  ...  xn  x1992 , 9  ni  ni 1  1992, ni  . Ch ng
1

s

2

minh r ng nghi m c a P  x  (n u có) không th l n h n

16

1 5
.

2


BƠiătoánăII.2.12.
Cho P  x  x3  6 x2  ax  a . Tìm t t c các giá tr c a a đ 3 nghi m c a
P  x  là x1; x2 ; x3 th a mãn

3

  x  3
i 1

i

3

0.

BƠiătoánăII.2.13.
Cho P  x  x3  ax2  bx  c  [x] . Ch ng minh r ng n u có 1 nghi m c a





P  x  b ng tích 2 nghi m còn l i thì 2P  1 P 1  P  1  2 1  P  0  .

BƠiătoánăII.2.14.
n

Cho P  x   a i xi  [x] . Ch ng minh r ng n u
i 0

p

q

là nghi m c a P  x 

thì ta luôn có  p  mq  P  m , m  .
BƠiătoánăII.2.15.
Cho đa th c v i h

s

nguyên là P  x  . Th a mãn t t c

các s

P  0  ; P 1 ;..., P  m  1 đ u không chia h t cho m; m  ; m  2 thì P  x  không có

nghi m nguyên.
BƠiătoánăII.2.16.
Cho

f  x  [x]

có ít nh t 2 nghi m th c. Ch ng minh r ng

P  x  f  x   f '  x  c ng có ít nh t 2 nghi m th c.

BƠiătoánăII.2.17.
Cho P  x  [x] . Ch ng minh r ng n u   2  3 là nghi m c a P  x  thì
P  x  c ng nh n

2  3 làm nghi m.

BƠiătoánăII.2.18.

17

Thang Long University Libraty


Cho đa th c P  x  b c 4 có 4 nghi m d
th c R  x 

ng phân bi t. Ch ng minh r ng đa

1 4x
 1 4x 
P  x  1  2  P '  x  P ''  x c ng có 4 nghi m d
2
x
x 


ng phân

bi t

BƠiătoánăII.2.19.
Cho đa th c

P  x  xn  a n 1 xn 1  ...  a1 x  a 0

có n nghi m không âm. Ch ng

n

minh r ng  a1   a 0n 1 .
n
BƠi toánăII.2.20.
Cho đa th c

P  x  x3  2 x2  2 x  m .

Ch ng minh r ng

P  x

không th có 3

nghi m h u t phân bi t v i m i m .
II.3.ăNghi măb iăvƠăđ oăhƠmăc aăđaăth c.
BƠiătoánăII.3.1.
Cho các đa th c

P  x  x3  2 x2  3 x  4; Q  x   x3  5 x2  10 x  10 .

Ch ng

minh r ng các đa th c đã cho có m t nghi m duy nh t và hãy tính t ng 2 nghi m
c a chúng.
BƠiătoánăII.3.2.
P  x , deg  P  x   n  1,

Cho đa th c monic
Ch ng minh r ng

có n nghi m th c là x1; x2 ;...; xn .

1
1
1

 ... 
 0.
P '  x1  P '  x2 
P '  xn 

BƠiătoánăII.3.3.
Cho đa th c

f  x

có b c là n . Các s

a, b

th a mãn đ ng th i các đi u

ki n sau
f  a   0,  1 f '  a   0,  1 f ''  a   0,...,  1 f 
1

2

18

n

n

a   0 .


f  b   0,  1 f '  b   0,  1 f ''  b   0,...,  1 f 
1

2

n

n

b   0 .

Ch ng minh r ng t t c các nghi m th c c a đa th c

f  x

đ u thu c

Cho đa th c f  x có 3 nghi m là a , b, c;  a  b  c  và ph

ng trình

kho ng  a ; b  .
BƠiătoánăII.3.4.

x2  mx  n  0 có nghi m. Ch ng minh r ng ph

ng trình

f ''  x  mf '  x  nf  x   0

có nghi m thu c kho ng  a ; c  .
BƠiătoánăII.3.5.
Cho đa th c f  x  nxn  2   n  2  xn 1   n  2  x  n . Ch ng minh r ng f  x
luôn chia h t cho  x  1 v i m i s t nhiên n  1.
3

III.ăD NGă3.ăBĨIăTOỄNăXỄCă

NHă AăTH C.

III.1. Xácăđ nhăđaăth căkhiăchoăbi tănghi măc a đaăth c.
BƠiătoánăIII.1.1.
Tìm t t c các đa th c P  x  [x] nh n x  1  2  3 3 làm nghi m. Ch ng
minh r ng deg P  x  6 .

BƠiătoánăIII.1.2.
Xét t p h p các đa th c P  x  khác h ng, th a mãn đi u ki n
P  x2  1  P  x .P   x , x  . Hãy tìm trong t p h p đó 1 đa th c có b c bé nh t

nh ng có nghi m l n nh t.
BƠiătoánăIII.1.3.

19

Thang Long University Libraty


Tìm t t c

các đa th c b c 4 d ng P  x  x4  bx2  c,  b, c  0  sao cho

P  x  x2  0 không có nghi m th c nh ng P  P  x   x4  0 có nghi m th c.

BƠiătoánăIII.1.4.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x có b c n , có

n nghi m th c và th a

mãn P  x .P  2 x2   P  2 x3  x ,  .
BƠiătoánăIII.1.5.
Tìm t t c các đa th c P  x 
Q  x 

 x , là monic b c 2, sao cho t n t i đa th c

 x mà các h s c a đa th c R  x  P  x Q  x đ u thu c t p {1;1} .

Bài gi i
III.2. Dùngăph

ngăphápăh ăs ăb tăđ nh.

BƠiătoánăIII.2.1.
2
Cho đa th c P  x  ax  bx  c,  a  0  . Ch ng minh r ng t n t i nhi u nh t

1 đa th c Q  x  b c n th o mãn P  Q  x   Q  P  x  .
BƠiătoánăIII.2.2.
Cho 4 s nguyên t khác nhau p1 , p2 , p3 , p4 . Ch ng minh r ng không t n
t i đa th c Q  x  b c 3 có h s nguyên th a mãn
Q  p1   Q  p2   Q  p3   Q  p4   3 .

BƠiătoánăIII.2.3.
Tìm t t c các đa th c P  x  v i h s th c tho mãn ph

P  x2   P 2  x v i m i x thu c

.

BƠiătoánăIII.2.4.

20

ng trình


Tìm t t c các đa th c P  x  th a mãn P  x2  2x   P  x  2 v i m i giá tr
2

th c c a x .
BƠiătoánăIII.2.5.
Tìm t t c các đa th c P  x  h s th c th a mãn
P  x2   x 3P  x  P   x  P 2  x  2 x2

v i m i giá tr th c c a x .
BƠiătoánăIII.2.6.
Tìm t t c các đa th c P  x  h s nguyên th a mãn 16P  x2    P  2x v i
2

m i giá tr th c c a x .
BƠiătoánăIII.2.7.
Tìm t t c các đa th c P  x  h s th c th a mãn
 x y  2  x y 
P  x P  y   P 2 
P 

 2 
 2 

v i m i giá tr th c c a x, y .
BƠiătoánăIII.2.8.
Cho a  0, b, c  . n  1, n  . Ch ng minh r ng t n t i nhi u nh t 1 đa th c





P  x  có h s th c b c n th a mãn P ax2  bx  c  a  P  x   bP  x  c v i m i
2

giá tr th c c a x .
III.3. Tìmăđaăth căkhiăbi tăm tăs ăgiá tr c aăđaăth căvƠăđ oăhƠmăc aănó.
BƠiătoánăIII.3.1.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x th a mãn  P  a   P  b   P  c    a  b  c 

v i m i s nguyên a , b, c .
BƠiătoánăIII.3.2.

21

Thang Long University Libraty


Tìm t t c các đa th c P  x 

 x th a mãn

P  7  5, P  5  7 và P 12 

không chia h t cho 35.
BƠiătoánăIII.3.3.

Tìm t t c các đa th c P  x  b c n th a mãn đi u ki n
P  x2  y2   P  x  y .P  x  y  , x, y  .

BƠiătoánăIII.3.4.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x . Th a mãn đi u ki n

P  x  y   P  x  P  y   2 xy, x, y  .

BƠiătoánăIII.3.5.
Tìm t t c các đa th c P1  x , P2  x , P3  x , P4  x sao cho v i m i x, y, z, t 
th a mãn xy  zt  1 thì P1  x P2  y   P3  z  P4  t   1 .
BƠiătoánăIII.3.6.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x có d ng

P  x  n !.xn  a n1 xn1  ...  a1 x   1  n  1
n

có các nghi m là x1; x2 ;...; xn  . Và xk   k; k  1 .
BƠiătoánăIII.3.7.
Ch ng minh r ng t n t i duy nh t 1 đa th c P  x  có d ng
P  x  xn  a n 1 xn 1  ...  a1 x  a 0 th a mãn đi u ki n
n  n  1 P  x   x  a  x  b  P ''  x ; x  .

BƠiătoánăIII.3.8.
Tìm t t c các đa th c P  x  b c n th a mãn đi u ki n sau

22


P  x  1  P  x  2 x  1, x  .

IV.ăD NGă4.ăPHÂNăTH CăH UăT .
IV.1.ăPhơnătíchăphơnăth căh uăt .
BƠiăt p IV.1.1.
Phân tích các phân th c sau thành t ng các phân th c đ n gi n:
1) F 
3) F 

x

 x  1 x  2
1

 x  1  x  2 
4

5
2) F  3x  1 .

.

3

x  x  2

2

4) F  2 x  53 .
2

.

x

 1

8
4
5) F  x  x  23 .
2

x

 x  1

IV.2.ă ngăd ngăc aăphépăphơnătíchăphơnăth căh uăt ăvƠoătínhătíchăphơn.
BƠiăt păIV.2.1.
0

1. Tính tích phân I1  

x

1

 x  1 x  2 

dx

4
5
2. Tính tích phân I 2   3x  1 dx
3

x  x  2

3

3. Tính tích phân I3  
2

1

 x  1  x  2 
4

3

dx

1
2

2
4. Tính tích phân I 4   2 x  53 dx
2
0

x

 1

1
8
4
5. Tính tích phân I5   x  x  23 dx
2
0

x

 x  1

23

Thang Long University Libraty


K TăLU N
Lu n v n đã thu đ

c nh ng k t qu sau:

- Trình bày tóm t t lý thuy t chuyên đ đa th c và phân th c h u t .
- Cung c p h th ng bài t p đa d ng, phù h p đ h c sinh th s c v i nhi u
c p đ khác nhau.
Các bài toán trong lu n v n ch y u đ

c trích ra t các tài li u ôn thi h c

sinh gi i qu c gia, Qu c t , t các đ thi h c sinh gi i THPT qu c gia, Qu c t
và khu v c.
Th c t , các n i dung c a lu n v n này đã đ

c d y cho h c sinh các l p

chuyên Toán và có nhi u ph n, bài toán làm t i li u cho h c sinh chuyên trong
nh ng n m g n đây và thu đ

c nh ng k t qu khá t t.

Hi v ng lu n v n s là m t tài li u b ích cho giáo viên và h c sinh
chuyên Toán.
Tácăgi