Luận văn thạc sĩ toán một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc 2

M CL C
Trang
L i cam đoan ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ3
L i m đ u ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ4
CH

NG 1

KI N TH C CHU N B
1.1. Th ng d b c hai…….…………………………………………………..6
1.2. Bi u di n s nguyên d

ng thành t ng c a các bình ph

ng................14

1.2.1. Bi u di n s nguyên d

ng thành t ng hai s chính ph

ng……14

1.2.2. Bi u di n s nguyên d

ng thành t ng b n s chính ph

ng......16

1.3. M t s tính ch t c a liên phân s ……………………………………….19
CH
M TS

L P PH

NG 2

NG TRỊNH NGHI M NGUYÊN B C HAI

2.1. Ph

ng trình d ng x2  dy2  1. ……………………………………......23

2.2. Ph

ng trình d ng x2  dy2  1…………………………………….....31

2.3. Ph

ng trình d ng x2  y2  z2 ...………………………………………37

2.4. Ph

ng trình d ng x2  y2  n . ………………………………………...40

2.5. Ph

ng trình d ng x2  y2  z2  t 2  n ………………………………...42

Trang 1

2.6. Ph

ng trình d ng x2  py  n  0 ……………………………………...43
CH
M TS

PH

NG 3

NG PHÁP GI I PH

NGUYÊN B C HAI

PH

NG TRỊNH NGHI M
THÔNG

3.1. Ph

ng pháp phân tích………………………………………………….45

3.2. Ph

ng pháp s d ng tính ch t chia h t và chia có d …………………48

3.3. Ph

ng pháp s d ng b t đ ng th c……………………………………49

3.4. Ph

ng pháp xu ng thang (lùi vô h n)…………………………………51

3.5. Ph

ng pháp tham s …………………………………………………...53

3.6. Ph

ng pháp quy n p ….……………………………………………….54

Bài t p đ ngh ………………………………………………………………57
H

ng d n ho c đáp s ……………………………………………………..58

K T LU N ………………………………………………………………...62
TÀI LI U THAM KH O…………………………………………………63

Trang 2

Thang Long University Libraty


L i cam đoan
Tôi xin cam đoan, d

i s ch b o và h

Công Minh, lu n v n chuyên ngành ph
s l p ph

ng d n c a PGS.TS Nguy n

ng pháp toán s c p v i đ tài:“ M t

ng trình nghi m nguyên b c hai ” đ

c hoàn thành b i s nh n

th c và tìm hi u c a b n thân tác gi .
Trong quá trình nghiên c u và th c hi n luân v n, tác gi đã k th a
nh ng k t qu c a các nhà khoa h c v i s trân tr ng và bi t n.
Hà N i, tháng 05 n m 2016
Tác gi

Hoàng V n N ng

Trang 3


L im đ u
Ph

ng trình và bài toán v i nghi m nguyên là m t đ tài lí thú c a S

h c và

i s , là m t trong nh ng d ng toán lâu đ i nh t c a Toán h c.

Ph

ng trình nghi m nguyên đ

th III, nó vô cùng đa d ng và th

c nghiên c u t th i Diophant th k

ng không có quy t c gi i t ng quát. M i

bài toán, v i s li u riêng c a nó, đòi h i m t cách gi i riêng. Thông qua vi c
gi i ph

ng trình nghi m nguyên, các nhà toán h c đã tìm ra nh ng tính ch t

sâu s c c a s nguyên, s h u t , s đ i s . Gi i ph

ng trình nghi m nguyên

đã đ a đ n s ra đ i c a liên phân s , lý thuy t đ

ng cong eliptic, lý thuy t

x p x Diophant, th ng d b c hai…
Trong các kì thi h c sinh gi i T nh, Qu c gia, Qu c t , ph
nghi m nguyên v n th
luôn đ

ng xuyên xu t hi n d

ng trình

i các hình th c khác nhau và

c đánh giá là khó do tính không m u m c c a nó.
M c đích chính c a lu n v n là nêu ra m t s l p ph

ng trình nghi m

nguyên b c hai và cách gi i cho t ng d ng. Bên c nh đó lu n v n c ng đ a ra
m t s ph
hai

ng pháp th

ng dùng đ gi i ph

ng trình nghi m nguyên b c

ph thông.

N i dung c a lu n v n g m ba ch
Ch

ng 1: Ki n th c chu n b .

Ch

ng 2: M t s l p ph

Ch

ng 3: M t s ph

ng:

ng trình nghi m nguyên b c hai.

ng pháp gi i ph

ng trình nghi m nguyên b c hai

ph thông.

Trang 4

Thang Long University Libraty


Lu n v n này đ

c hoàn thành v i s h

PGS.TS Nguy n Công Minh – Tr
dành nhi u th i gian h

ng

ng d n và ch b o t n tình c a

i h c s ph m Hà N i. Th y đã

ng d n và gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t

quá trình làm lu n v n. Tôi xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n Th y.
Tôi xin c m n S N i V , S giáo d c và
Tr

ng THPT Ph

ng S n, t Toán Tin tr

ào t o t nh B c Giang,

ng THPT Ph

ng S n đã t o

Tôi xin g i t i các th y cô khoa Toán Tin, Phòng Sau

i h c & Qu n

đi u ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa h c này.

lí Khoa h c Tr

ng

i h c Th ng Long, c ng nh các th y giáo, cô giáo

tham gia gi ng d y khóa cao h c 2014 – 2016 l i c m n sâu s c v công lao
d y d trong quá trình giáo d c, đào t o c a nhà tr

ng.

ng th i tôi xin c m n t i t p th l p Cao h c Toán CTM3-BG
Tr

ng

i h c Th ng Long đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p

và làm lu n v n này.
Tuy nhiên do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n v n th c
s nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót,
tôi r t mong đ

c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a các th y cô và đ c gi

quan tâm đ n lu n v n này.
Hà N i, tháng 05 n m 2016
Tác gi

Hoàng V n N ng

Trang 5

CH
Trong ch

NG 1. KI N TH C CHU N B

ng này trình bày các ki n th c c b n v th ng d b c hai bao

g m: Kí hi u Legendre và các tính ch t, lu t thu n ngh ch b c hai và áp d ng
trong vi c tính kí hi u Legendre (xem  2 ). Trình bày các v n đ v bi u di n
m t s nguyên d
chính ph

ng thành t ng c a hai s chính ph

ng, t ng c a b n s

ng. Nêu ra m t s tính ch t c b n c a liên phân s (xem 3 ).

1.1. Th ng d b c hai
nh ngh a 1.1. Gi s p là s nguyên t l và a nguyên t v i p. S a đ
g i là m t th ng d

b c hai theo modulo p n u ph

x2  a (mod p) có nghi m. N u ng

c

ng trình đ ng d

c l i, ta nói a là b t th ng d b c hai

modulo p .
B đ 1.1. Gi s
Khi đó ph

p là s nguyên t l , a là s nguyên không chia h t cho p .

ng trình đ ng d

x2  a (mod p) không có nghi m, ho c có đúng

hai nghi m không đ ng d modulo p.
nh lý 1.1. N u p là s nguyên t l , thì trong các s 1,2,..., p  1 có đúng

p 1
th ng d b c hai theo modulo p.
2
nh ngh a 1.2. Gi s

p là s nguyên t l , a là s nguyên không chia h t

a
cho p . Kí hi u Legendre   đ
 p

c đ nh ngh a nh sau:

a
i.    1 n u a là th ng d b c hai theo modulo p.

 p

Trang 6

Thang Long University Libraty


a
ii.    1 n u a là b t th ng d b c hai theo modulo p.
 p
nh lý 1.2. (Tiêu chu n Euler) Gi s
d

p là s nguyên t l , a là s nguyên

ng không chia h t cho p . Khi đó
p 1
a
2
 p   a (mod p) .
 

nh lý 1.3. Gi s

p là s nguyên t l , a và b là các s nguyên không

chia h t cho p . Khi đó:

a b
i. N u a  b(mod p) thì      .

 p  p
 ab   a  b 
ii.       .
 p   p  p 
 a2 
iii.    1.
 p
nh lý 1.4. N u p là s nguyên t l thì ta có:
p 1
 1 
i.    (1) 2 .
 p

p 1
2
ii.    (1) 8 .
 p
2

 p
q
nh lý sau đây cho ta m i quan h gi a các kí hi u Legendre   và  
q
 p

Trang 7


v i p, q là các s nguyên t l .

nh lý này th

tính toán v i các kí hi u Legendre.

ng đ

c s d ng trong vi c

ch ng minh lu t thu n ngh ch b c hai

ta d a vào hai b đ sau đây.
B đ 1.2. (B đ Gauss) Gi s

p là s nguyên t l , a là s nguyên không

chia h t cho p . N u s là s các th ng d bé nh t c a các s nguyên a ,2a ,...,

p 1
p
a l nh n
, thì
2
2
a
s
 p   (1) .
 
Ch ng minh. Gi s u1, u2 ,..., us là các th ng d d
v1 , v2 ,..., vt là các th ng d nh nh t nh h n

( ja , p)  1, j : 1  j 
s

ch

ng nh nh t l n h n

p
và
2

p 1
p
a. Vì
c a các s a ,2a ,...,
2
2

p
nên các th ng d nh nh t thu c 1,2,..., p 1 . Ta
2

ra r ng t p

 p  u1, p  u2 ,..., p  us , v1 , v2 ,...,vt 

p 1
p  1

s

1,2,...,
 . Vì
2
2 


chính là t p

 p  u1, p  u2 ,..., p  us , v1, v2 ,..., vt  đ

u nh h n

p 1
nên ta ch c n ch ng t r ng chúng không đ ng d nhau modulo p.
2
Hi n nhiên p  ui  p  u j (mod p)

và vi  vj (mod p) , n u i  j ; vì n u

không ta suy ra ma  na (mod p) , hay m  n(mod p) , đi u này không x y ra
v i m  n mà 1  m, n 

p 1
.T
2

ng t

p  ui  vj (mod p) ; vì n u không thì

m  n(mod p) , đi u này không x y ra khi m  n và 1  m, n 

p 1
.
2

Trang 8

Thang Long University Libraty


V y thì
 p 1
( p  u1 )( p  u2 )...( p  us )v1v2 ...vt  
!
 2 

hay
 p 1
(1) s u1u2 ...us v1v2 ...vt  
!(mod p).
 2 

Do

a

p 1
2

 p 1
 p 1

!  a .2a...
 a  u1u2 ...usv1v2 ...vt (mod p)
2
2





suy ra

(1) a
s

p 1
2

 p 1  p 1

!  
!(mod p) .
 2   2 

 p 1
Vì ( p, 
!)  1 nên
 2 

(1) s a

p 1
2

 1(mod p) .

Suy ra
p 1
a
s
2
 p   a  (1) (mod p).
 

V y

a
s
 p   (1) .
 
Trang 9


B đ 1.3. N u p là s nguyên t l và a là s l không chia h t cho p thì
p 1
2

 ja 

  p 
a
j 1
.
 p   (1)
 
Ch ng minh. Gi s u1, u2 ,..., us là các th ng d d
v1 , v2 ,..., vt là các th ng d d

ng nh nh t l n h n

ng nh nh t nh h n

p
và
2

p
c a các s a, 2a,...,
2

 p 1

 a . Ta có
 2 

 ja 
ja  p    r j ,
 p

trong đó r j là m t u j ho c v j .
Nh v y
p 1
2

p 1
2

t
 ja  s
ja
p
u





 p   j  vj .
j 1
j 1
j 1
  j 1

Nh trong ch ng minh b đ Gauss đã ch ra r ng t p  p  u1, p  u2 ,..., p  us ,
p  1

v1 , v2 ,..., vt  c ng chính là t p 1,2,...,
 , nên
2



p 1
2

s

t

s

t

j 1

j 1

j 1

j 1

j 1

 j   ( p  u j )   vj  ps   u j   vj .
Suy ra
Trang 10

Thang Long University Libraty

p 1
2

p 1
2

p 1
2

s
 ja 
ja   j   p    ps  2 u j ,

j 1
j 1
j 1
j 1
 p

hay
p 1
2

p 1
2

s
 ja 
(a  1) j  p     ps  2 u j .
j 1

j 1  p 
j 1

Vì a , p l nên suy ra
p 1
2

 ja 

   s(mod 2).
j 1  p 

V y
p 1
2

 ja 

  p 
a
s
j 1




(
1)
(
1)

.
 p
 

nh lý 1.5. (Lu t thu n ngh ch b c hai) Gi s

p và q là các s nguyên t

l khác nhau, khi đó
p 1 q 1
.
 p  q 
2 2
(
1)


.
 q  p 
  

Ch ng minh. Xét các c p s nguyên ( x, y) v i 1  x 

S các c p ( x, y) nói trên là

p 1
q 1
và 1  y 
.
2

2

p 1 q 1
.
. Ta có qx  py v i m i c p s ( x, y) .
2
2

Chia các c p s ( x, y) nói trên thành hai nhóm. Nhóm th nh t g m các c p

( x, y) mà qx  py , và nhóm th hai g m các c p s ( x, y) mà qx  py .
Trang 11


Ta th y nhóm th nh t g m các c p s ( x, y) mà 1  x 
i v i m i x c đ nh, 1  x 

p 1
qx
và 1  y  .
p
2

p 1
 qx 
, có đúng   các s
2
 p

y : 1 y 

qx
.
p

Nh v y nhóm th nh t có s c p là:
p 1
2

 qj 

 p .
j 1

T





ng t nhóm th hai có các c p s là:
p 1
2

 pj 

 q .
j 1





V y
p 1
2

 qj 

p 1
2

 pj 

 p    q  
j 1





j 1





p 1 q 1
.
.

2
2

Theo b đ 1.2. ta suy ra
p 1
2

 qj 
 p
j 1  


 p  q 
 q  p   (1)
  
Lu t thu n ngh ch b c hai th

ng đ

q 1
2

.(1)

 pj 

  q 
j 1

 (1)

p 1 q 1
.
2 2

.

c dùng đ tính kí hi u Legendre, c ng

chính là xét xem m t s nguyên a có là th ng d b c hai c a s nguyên t

p

hay không. Sau đây ta xét ví d minh h a.
 13   26   41 
Ví d 1.1. Tính các kí hi u Legendre sau:   , 
.
,
 17   73   103 

Trang 12

Thang Long University Libraty


L i gi i. Theo lu t thu n ngh ch b c hai ta có:

 13  17 
    (1)
 17  13 

131 17 1
.
2
2

 13   17 
 1 hay      , m t khác ta có 22  17(mod13)
 17   13 

2
 17   2 
 13 
nên       1. T đó ta có    1 .
 17 
 13   13 

Ta có
 26   (1).2.13   1  2  13 


     
73   73  73  73  .
 73  

 1 
   (1)
 73 

731

2

73 1
 2
;    (1) 8  1 .
 73 
2

Theo lu t thu n ngh ch b c hai ta có:
131 731
.
 13  73 
2
2
1
    (1)
 73  13 

mà
13 1
3
2
 73   8   2   2   2   2 
8
 1 .
                 (1)
 13   13   13   13   13   13 
2

Ta có 41  1(mod 4) còn 103  3(mod 4) nên theo lu t thu n ngh ch b c hai ta

 41   103 
 103   21 
103

21(mod
41)

có 
mà
nên
 


   .
 103   41 
 41   41 
 21   3.7   3  7   41  41   1  1 
 
              (1).(1)  1 .
 41   41   41  41   3  7   3  7 

Trang 13


1.2. Bi u di n s nguyên d
1.2.1. Bi u di n s nguyên d

ng thƠnh t ng c a các bình ph
ng thƠnh t ng hai s chính ph

ng
ng

B đ 1.4. N u p là s nguyên t không có d ng 4k+ 3 thì có các s nguyên x,
y sao cho x2  y2  p .
Ch ng minh. Khi p  2 , ta có 2  12 12 . Gi s p là s nguyên t d ng
4k+ 1. Do (-1) là th ng d b c hai mod p nên có s nguyên x, 0 < x < p đ
x2 12  kp v i s nguyên k nào đó. G i m là s nguyên d

cho ph

ng nh nh t sao

ng trình x2  y2  mp có nghi m nguyên x, y. Hi n nhiên là m < p, vì

kp  x2 12  ( p 1)2 1  p2 .

Chúng ta s ch ng t r ng m  1. Gi s là m  1. G i a, b là các s nguyên
sao cho 

m
m m
m
 a  ,   b  v i a  x (mod m) và b  y (mod m), ta có
2
2 2
2

a 2  b2  x2  y2  mp  0 (mod m).
Th thì có s nguyên t sao cho a 2  b2  tm. Suy ra

(a 2  b2 )( x2  y2 )  (tm)(mp)  tm2 p

T đ ng th c
(a 2  b2 )( x2  y2 )  (ax  by)2  (ay  bx)2

và a  x (mod m), b  y (mod m), ta có
ax  by  x2  y2  0 (mod m)

ay  bx  xy  yx  0 (mod m)
Nh v y (ax+ by)/m và (ay-bx)/m là các s nguyên và
Trang 14

Thang Long University Libraty


tm2 p
 ax  by   ay  bx 


 tp.
 m   m 
m2

 

2

2

Chúng ta còn ph i ch ng t 0  t  m . Ta có 0  km  a 2  b2  2

theo 0  t 

m2 m2

kéo
4
2

m
. V y t  m . N u t  0 , thì a 2  b2  tm  0 , kéo theo a  b  0 .
2

Th thì x  y  0(mod m) . Nh ng x2  y2  mp , nên m2 | mp , hay m | p , đi u
này không x y ra vì 0  m  p . 
nh lý 1.6. S nguyên d

ng n là t ng c a hai s chính ph

ng khi và ch

khi m i th a s nguyên t d ng 4k  3 c a n xu t hi n v i s m ch n trong
khai tri n n thành tích các th a s nguyên t .
Ch ng minh. Gi s ng

c l i là có th a s nguyên t

s m l 2j+ 1 và n  x2  y2 .
(a,b) = 1 và m  a 2  b2 . Gi s

p  3 (mod 4) c a n có

t d = (x,y),a = x/d, b = y/d, m  n / d 2 , thì
p k là l y th a l n nh t c a p chia h t d. Th

thì m chia h t cho p 2 j 2 k 1 v i 2j-2k+ 1 là s nguyên d

ng, v y p|m. Nh ng

p | a vì n u p|a thì p | b  m  a 2 , và đi u này vô lý v i (a,b) = 1. G i z là s
nguyên mà az  b (mod p). Th thì
m  a 2  b2  a 2  (az)2  a 2 (1 z2 ) (mod p).

Vì p|m nên p | a 2 (1  z2 ) . Nh ng (a , p)  1 nên p |1  z2 , hay z2  1(mod p).
và đi u này không x y ra khi p  3 (mod 4).
Gi s phân tích c a n không có th a s nguyên t d ng 4k  3 v i s m l .
Khi đó ta có n  t 2u trong đó u không có th a s nguyên t d ng 4k  3 .

Trang 15


Theo b đ 1.4. m i th a s nguyên t không có d ng 4k  3 , đ u là t ng c a
hai s chính ph

ng và h th c
(r 2  s 2 )(v2  w 2 )  (rv  sw)2  (r w  sv)2

ta suy ra u là t ng c a hai s chính ph

ng. Gi s u  x2  y2 , khi đó ta có

n  (tx)2  (ty)2 . 
1.2.2. Bi u di n s nguyên d

ng thƠnh t ng b n s chính ph

B đ 1.5. N u m, n đ u là t ng c a b n s chính ph
t ng c a b n s chính ph

ng

ng thì tích mn c ng là

ng.

Ch ng minh. Gi s m  x2  y2  z2  t 2 và n  a 2  b2  c2  d 2 . Ta có

mn  ( x2  y2  z2  t 2 )(a 2  b2  c 2  d 2 )  (ax  by  cz  dt )2
(bx  ay  dz  ct )2  (cx  dy  az  bt )2  (dx  cy  bz  at )2 .
B đ 1.6. N u p là s nguyên t thì có các s nguyên x, y, z, t sao cho

x2  y2  z2  t 2  p .
Ch ng minh. Tr

ng h p p  2 hi n nhiên ta có
12 12  02  02  2  p .

Tr

c h t ta ch ng t r ng n u p là s nguyên t l thì có các s nguyên x, y, z

v i 0  x, y 

p
sao cho x2  y2 1  zp . Vì x2  y2 (mod p) kéo theo x   y
2

 p 1 
(mod p) nên các s 0 ,1 ,..., 
 là đôi m t không đ ng d mod p.
 2 
2

2

2

 p 1 
1  0 , 1 1 ,..., 1  
 đôi m t không đ ng d mod p.
 2 
2

C ng v y, các s

2

2

Trang 16

Thang Long University Libraty


2
2

 p 1 
 p 1  
 2 2

2
2
Vì 0 ,1 ,..., 
, 1  0 , 1 1 ,..., 1  
 có c th y p  1 s nên


 2 
 2  




có 0  x, y 

p
sao cho x2  y2 1  zp . G i m là s nguyên d
2

sao cho ph

ng trình x2  y2  z2  t 2  mp có nghi m nguyên (x; y; z; t).

ng nh nh t

Hi n nhiên m < p vì
 p 1 
mp  x  y  1  0  2 
1  p2 .

 2 
2

2

2

2

2

Chúng ta s ch ng t r ng m = 1. Gi s m > 1. N u m ch n thì t t c các s x,
y, z, t đ u là s ch n ho c đ u là s l , ho c hai trong chúng là s ch n và hai
s còn l i là s l . Nh v y, không m t tính t ng quát, ta có th gi s r ng :

x  y(mod 2) và z  t (mod 2). Khi đó các s ( x  y) / 2;( x  y) / 2;( z  t ) / 2;
( z  t ) / 2 đ u là các s nguyên và
m
 x y   x y   z t   z t 
p


 
 
 
 
2
 2   2   2   2 
2

2

2

2

đi u này vô lý v i gi thi t v tính nh nh t c a m.
Bây gi gi s m là s l . G i a, b, c, d là các s nguyên sao cho:
a  x (mod m), b  y (mod m), c  z (mod m), d  t (mod m) và



m
m m
m m
m m
m
 a  ,  b  ,  c  ,  d  .
2
2 2
2 2

2 2
2

Ta có
a 2  b2  c 2  d 2  x2  y2  z2  t 2 (mod m).

Trang 17


Do đó

a 2  b2  c2  d 2  km
v i k là s nguyên nào đó.
Nh ng
0  a 2  b2  c2  d 2  4 

2

m
2
 m
2
 

nên 0  k  m. N u k  0 ta có a  b  c  d c ng nh

x  y  z  t (mod m).

Khi đó m2 | mp hay m | p ; và đi u này không x y ra vì 1  m  p . Th thì

k  0 . Ta có
( x2  y2  z2  t 2 )(a 2  b2  c2  d 2 )  mp.km  m2kp.

Theo đ nh lý 1.8. ta có

m2 kp  (ax  by  cz  dt )2  (bx  ay  dz  ct )2
(cx  dy  az  bt )2  (dx  cy  bz  at )2 .
T a  x (mod m), b  y (mod m), c  z (mod m), d  t (mod m) ta có
ax  by  cz  dt  x2  y2  z2  t 2  0 (mod m)

bx  ay  dz  ct  yx  xy  xz  yt  0 (mod m)
cx  dy  az  bt  zx  ty  xz  yt  0 (mod m)
dx  cy  bz  at  tx  zy  yz  xt  0 (mod m).
Suy ra X  (ax  by  cz  dt ) / m ; Y  (bx  ay  dz  ct) / m;

Z  (cx  dy  az  bt ) / m ; T  (dx  cy  bz  at) / m là các s nguyên.
Trang 18

Thang Long University Libraty


Ta có

X 2  Y2  Z 2  T 2 

m2 kp
 kp ,
m2

và đi u này vô lý v i gi thi t v tính nh nh t c a m. 

nh lý 1.7. M i s nguyên d

ng đ u là t ng c a b n s chính ph

ng.

Ch ng minh. Khi n  1 là hi n nhiên. Khi n  1 thì n là tích c a các s nguyên
t . Theo b đ 1.5. và b đ 1.6. ta suy ra đi u ph i ch ng minh.
Ví d 1.2. Bi u di n thành t ng các s chính ph
a. S 5825 thành t ng c a hai s chính ph

ng.

b. S 299 thành t ng c a b n s chính ph

ng.

ng:

L i gi i.
a. Ta có

5825  25.233  52 (132  82 )
 (42  32 )(132  82 )
 652  402  282  712  7 2  762.
b. Ta có

299  13.23  (22  22  22  12 )(32  32  22  12 )  17 2  32  12  02
 152  62  32  12  152  72  52  02  162  52  32  32.
1.3. M t s tính ch t c a liên phân s

nh ngh a 1.3. Cho a 0 là s nguyên, còn a1 , a 2 ,..., a n là các s nguyên
d

ng. Khi đó đ i l

ng  a0 ; a1, a 2 ,..., an  đ
Trang 19

c kí hi u nh sau:


 a 0 ; a1, a 2 ,..., a n   a 0 

1
a1 

1
a2 

1
a 3  ... 

1
a n1 

1
an

g i là liên phân s h u h n có đ dài n . V i m i k  n , Ck   a0 ; a1, a 2 ,..., a k 
đ

c g i là gi n phân th k c a liên phân s đã cho.
nh ngh a 1.4. Cho a 0 , a1, a 2 ,... là dãy vô h n các s nguyên v i ai  0, i  1.

V i m i k  * đ t Ck   a0 ; a1, a 2 ,..., a k  . Khi đó t n t i gi i h n

lim Ck   .
k 

Ta g i s  là giá tr c a liên phân s vô h n  a0 ; a1, a 2 ,... , và kí hi u

   a0 ; a1, a 2 ,... .
nh ngh a 1.5. Ta g i liên phân s vô h n    a0 ; a1, a 2 ,... là tu n hoàn
n u dãy  a n  tu n hoàn k t m t ch s nào đó t c là: T n t i các s nguyên
d

ng m và k sao cho v i m i n  m ta có a n  a nk s nguyên d

đ

c g i là chu kì c a liên phân s    a0 ; a1, a 2 ,... . Khi đó ta vi t

ng k

  a 0 ; a1, a 2 ,..., a m1, a m , a m1, a mk1  .

 Tính ch t 1. M i s h u t đ u có th bi u di n d i d ng m t liên phân s
h u h n.

Trang 20

Thang Long University Libraty


 Tính ch t 2. Cho liên phân s h u h n  a0 ; a1, a 2 ,..., an  . Gi s hai dãy s
nguyên d

ng p0 , p1, p2 ,..., pn và q0 , q1, q2 ,..., qn đ

c xác đ nh nh sau:

p0  a 0 ;

q0  1;

p1  a 0 a1  1;

q1  a1;

p2  a 2 p1  p0 ;

q2  a 2 q1  q0 ;

...
pk  a k pk 1  pk 2 ;

...
qk  a k qk 1  qk 2 .

Khi đó gi n phân th k , Ck   a0 ; a1, a 2 ,..., a k  đ

Ck 

c cho b i công th c:

pk
.
qk

 Tính ch t 3. V i m i k  1,2,..., n , thì pk qk1  pk1qk  (1)k1.

Ck 

 Tính ch t 4. Gi s

là dãy gi n phân c a liên phân s h u h n đ

dài n :  a0 ; a1, a 2 ,..., a n  . Khi đó ta có m i liên h sau:
(1) k 1
v i 1 k  n
Ck  Ck 1 
qk qk 1
Ck  Ck2 

a k (1)k
v i 2  k  n.
qk qk2

 Tính ch t 5. V i các gi n phân Ck c a liên phân s h u h n  a0 ; a1,..., a n 
ta có các dãy b t đ ng th c sau:
1) C1  C3  C5  ...

2) C0  C2  C4  ...
3) M i gi n phân l C2 j 1 đ u l n h n dãy gi n phân ch n C2 j .
Trang 21


 Tính ch t 6. V i m i k  0,1,..., n thì ( pk , qk )  1(t c là pk và qk là nguyên
t cùng nhau).

 Tính ch t 7.    a0 ; a1, a 2 ,... là m t s vô t . Ng c l i m i s vô t đ u
bi u di n m t cách duy nh t d

i d ng m t liên phân s vô h n.

 Tính ch t 8. V i    a0 ; a1, a 2 ,..., an  , m i k nguyên d ng ta luôn có:
  Ck 

1
.
qk qk 1

 Tính ch t 9. S vô t  có bi u di n liên phân s tu n hoàn khi và ch khi
nó là s vô t b c hai (t c  là nghi m c a m t tam th c b c hai v i h s
nguyên)

 Tính ch t 10. N u d là s không chính ph ng thì bi u di n liên phân s
c a

d là tu n hoàn và có d ng d   a ; a1, a 2 ,..., a n ,2a  v i a   d  . H n

n a dãy (a1, a 2 ,..., a n ) là đ i x ng t c là a1  a n , a 2  a n1, a3  a n2 ,... .

Ch ng h n bi u di n liên phân s vô h n c a 17, 21, 29, 31 là :

17   4;8 ;
21   4;1,3,1,8 ;
29  5;2,1,1,2,10  ;
31  5;1,1,3,5,3,1,1,10  .

Trang 22

Thang Long University Libraty


CH

NG 2. M T S

L P PH

NG TRỊNH NGHI M

NGUYÊN B C HAI
2.1. Ph

ng trình d ng x2  dy2  1 (v i d là s nguyên d

ng).

Xét ph

ng trình x2  dy2  1 (2.1), trong đó d nguyên d

ng. Ta th y n u

(x;y) là m t nghi m c a (2.1) thì (x;-y), (-x;y), (-x;-y) c ng là nghi m c a
(2.1). Vì v y sau đây ta ch yêu c u tìm nghi m x, y nguyên d
trình (2.1) có tên g i là ph

ng. Ph

ng

ng trình Pell lo i 1 (xem 5 ).

B đ 2.1. Cho d là s vô t , khi đó t n t i vô s c p s nguyên d
d

ng (p; q):

p 1

q q2

Ch ng minh. Theo tính ch t c a liên phân s vô h n (trang 22, m c 1.3. tính
ch t 8) ta có:

k :  

pk
1


v i   .
qk qk qk 1

Mà theo cách xác đ nh qk  , thì:

qk1  ak qk  qk1  ak1qk1  qk2  qk
Vì th v i m i k ta có:



pk
1
1
1


 2
qk qk qk 1 qk qk qk

Ch n p  p ; q  q ;   d , ta có:
k
k
d

p 1
 .
q q2

Trang 23

B đ 2.2. T n t i vô s c p s nguyên d

ng ( p; q) sao cho:

p 2  dq 2 1  2 d

Ch ng minh. Th t v y theo b đ 2.1, t n t i vô s c p s nguyên d

ng

( p; q) sao cho:

d

p 1
1
 2  0  q d  p   q  0.
q q
q

Mà
p  q d  p  q d  2 q d  q d  p  2q d






1

 2q d  q  2q d  1  2 d q
q

 p 2  dq 2  1  2 d .

nh lý 2.1. (
chính ph

i u ki n t n t i nghi m) N u d là s nguyên d

ng thì ph

ng trình (2.1) có nghi m nguyên d

Ch ng minh. Gi s d là s không chính ph
c p s nguyên d

ng không

ng.

ng. T b đ 2.1. t n t i vô s

ng ( x; y) sao cho : x2  dy2  1  2 d .

t I   1  2 d ;1  2 d  . V i m i s k  I kí hi u
Ak  ( x; y)  * : x2  dy2  k.

Do đó t n t i k  I đ

Ak   . Suy ra t n t i  x1; y1   ( x2 ; y2 )  Ak đ
x1  x2 (mod k ), y1  y2 (mod k )

và
Trang 24

Thang Long University Libraty


x12  dy12  x22  dy22  k.
Xét tích

( x1  y1 d )( x2  y2 d )  x1x2  dy1 y2  d ( x1 y2  x2 y1 )

(2.2)

Vì

x1x2  dy1 y2  x12  dy12  0 (mod k )
x1 y2  x2 y1  x1 y1  x1 y1  0 (mod k )

V y t n t i u, v sao cho
x1x2  dy1 y2  ku

(2.3)

x1 y2  x2 y1  kv

(2.4)

T (2.2), (2.3), (2.4) suy ra

( x1  y1 d )( x2  y2 d )  k(u  v d ) ;
( x1  y1 d )( x2  y2 d )  k(u  v d ).
Nhân v v i v hai đ ng th c trên v i nhau và chú ý r ng

 x1; y1   ( x2 ; y2 )  Ak  x12  dy12  x22  dy22  k,
ta đ

c

k 2  k 2 (u 2  dv2 )  u 2  dv2  1.
Ta ch ng minh u, v  0 . Rõ ràng u  0 . N u trái l i v  0 thì u  1 suy ra

Trang 25