Luận văn giải tích trên lớp các hàm tuần hoàn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
• HỌC
• s ư PHẠM
• HÀ NỘI
• 2
===bdBŨIg8===

NGUYỄN THỊ THANH XUÂN

GIẢI TÍCH TRÊN LỚP CÁC HÀM TUẦN HOÀN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN
VĂN THẠC
SĨ TOÁN HỌC
•
•
•
Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà nội 2,
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình của thầy giáo trong suốt quá trình thực hiện luận

văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận
một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đới với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong trường và các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào Tạo tỉnh Vĩnh Phúc,
Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo đồng nghiệp trường TH PT Vĩnh Yên,
tỉnh Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên
và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học thạc sĩ và
hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

N guyễn T hị T hanh X uân


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của TS. Bùi Kiên Cường.
Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn này tôi đã kế
thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp
với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

N guyễn T hị T hanh X uân


5

M ục lục
B ảng ký h i ệ u ................................................................................

6

M ở đầu

7

1 M ột số kiến thứ c chuẩn bị
Xuyến trong M " ......................................................................

9

1.2 Một số không gian hàm trên Z " ..........................................

12

1.3 Một số không gian hàm trên x u y ế n ....................................

13

Các phép toán giải tích cơ bản trên xu yến

18

2.1

Sai phân hữu hạn trên z n ...................................................

18

2.2

Khai triển Taylor và đa thức trên z n ................................

22

2.3 Một số bất đẳng thức rời r ạ c .................................................

28

2.4 Liên hệ giữa đạo hàm và sai p h â n ........................................

30

2.5

Khai triển Taylor của hàm tuần h o à n ................................

36

2.6

Biến đổi Fourier trên x u y ế n ................................................

40

2.7

Không gian Sobolev trên x u y ế n ..........................................

41

1.1

2

9

K ết luận
Tài liệu tham khảo

43
44


6

B ản g m ột số kí hiệu
K

đường thẳng thực

Mn

không gian Euclid n - chiều

Tn = (M/Z)" = M"/Z" hình xuyến trong M"
(jm ^-pì)

không gian của hàm khả vi liên tục m lần
tuần hoàn chu kỳ 1


không gian các hàm giảm nhanh


7

MỞ Đ Ầ U

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải tích Fourier là một ngành toán học với nhiều m ặt ứng dụng
phong phú không chỉ trong toán học, mà còn trong khoa học và kỹ
thuật. Kể từ khi làm việc trên dòng nhiệt, Jeam Baptise Joseph Fourier
(từ 21 tháng 3 năm 1768 đến 16 tháng 5 năm 1830) trong luận tựa đề
"T h’eorie Analytique de la Chaleur’", Chuỗi Fourier và biến đổi Fourier
đã đi từ thắng lợi này đến thắng lợi khác để chiến thắng, lan tỏa ra các
lĩnh vực của toán học chẳng hạn, phương trình vi phân đạo hàm riêng,
giải tích điều hòa, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết số và hình học, toán tử
giả vi phân,... Ngày nay, với phép biến đổi Fourier trên xuyến, lý thuyết

giả vi phân trên xuyến đã được nghiên cứu, phát triển rộng rãi (xem
[3],[4]). Để phát triển những lý thuyết đó, trước tiên cần nghiên cứu các
phép toán giải tích trên các lớp hàm tuần hoàn.
Nhằm hệ thống hóa về các phép tính giải tích trên xuyến và được sự
hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu: "Giải tích trên lớp các hàm tuần hoàn" để thực hiện luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN c ứ u

Nghiên cứu về hàm tuần hoàn và tuần hoàn hóa
Nghiên cứu các phép tính giải tích trên xuyến
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN c ứ u

Nghiên cứu các phép tính trên xuyến


8

4. Đ Ố I T Ư Ợ N G VÀ P H Ạ M V I N G H I Ê N c ứ u

- Các phép tính giải tích trên M”, trên xuyến
- Một số không gian hàm trên Mn và trên xuyến.
- Biến đổi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn.
5. P H Ư Ơ N G P H Á P N G H I Ê N c ứ u

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến
đề tài và sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm.
6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ t à i

Luận văn là tài liệu tổng quan về giải tích trên lớp các hàm tuần

hoàn.


9

Chương 1
M ột số kiến thứ c chuẩn bị
1.1

Xuyến trong M71

Chúng ta kí hiệu cho hình xuyến T" = (M/Z)" = Rn/Z " và có thể
đồng nhất T" với hình lập phương [0; 1)" c Mn, trong đó ta đồng nhất độ
đo trên hình xuyến với giới hạn của độ đo Eucliean trên hình lập phương
này. Hàm trên T" cũng có thể được coi là hàm trên R" hàm tuần hoàn
chu kỳ 1 theo mỗi hướng tọa độ, tức là f ( x + k) = f ( x ) , \ / x € [0 , l]n và
\/k e z n. Chúng ta thường nói rằng những hàm đó là 1 tuần hoàn (thay
vì Z" - tuần hoàn). Chính xác hơn ta định nghĩa quan hệ tương đương
trên không gian Eucliean K".
X~ y

X — y & Z”,

trong đó các lớp tương đương là
[z] = {y G Mn : X ~ y}
= {x + k:k

10

Điểm X € Rn được ánh xạ tự nhiên tới điểm [x] € Tn và ta thường viết
x ẽ T " thay cho [x] e Tn. Chúng ta có thể đồng nhất các hàm trên Tn
với Zn - tuần hoàn, hàm trên R n một cách tự nhiên / : T —> c đồng
n h ất với hàm g : K" —> c th ỏ a m ãn

g( x) = f ( [ x] ) , Vx e R".
Trong trường hợp như vậy chúng ta thường viết g = / và g (X) = / (x)
và ta nói như sau:
• " / l à tuần hoàn"
• "g e c°° (T)n" khi "g G C 00 (M)” là tuần hoàn"
V í d ụ 1.1. Hình xuyến 1 chiều T 1 = M1 / z 1 là đẳng cấu với đường tròn
s 1 = {z G M2 : |Ị^|Ị = 1}
= {(cos (t ), sin ( t ) ) ; t £ M} .
qua ánh xạ
[í] I y (cos {2tĩÌ) ; sin (27rt)).
nên chúng ta đồng nhất mọi hàm trên T 1 với hàm trên s 1
Chúng ta sẽ sử dụng một số ký hiệu sau:
Một véc tơ a = (ữj)n=1 € Nq được gọi là một đa chỉ số.
Nếu

X = {Xj)n=1 £ Mn và a £ Nq

ta viết

xa := Xị1..-X^n.

Với các đa chỉ số a < Ị3 nghĩa là aj < /3j, Vj G { 1 ; n}.
Ta viết /3! := /?i!.../3J và

11

và do đó

(1.1)

(x + y Ỵ =
/3với ữ G N" và I Ễ Mn chúng ta viết

( 1 .2 )
1/2

(1.3)

trong đó dXj =
Ta dùng kí hiệu D x = —Ỉ27ĩdx. = —ỉ 2tĩ-^-, trong đó i =

là đơn

vị ảo. Ta cũng kí hiệu

Đ ịnh nghĩa 1.1. (Hàm tu ần hoàn). Cho hàm / : Mn —>Y là hàm 1 tuần hoàn hay tuần hoàn chu kỳ 1, nếu / (x + k) = / (X), Mx e R n, k e

z n.
Không gian của hàm khả vi liên tục m lần tuần hoàn chu kỳ 1 được
ký hiệu bởi

cm(Tn).

Không gian các hàm kiểm tra là không gian các

hàm khả vi vô hạn

với tô pô xác định bởi:
Dãy hàm

Uj

hội tụ về hàm u trong ( ^ ( T " ) nếu và chỉ nếu

tụ đều đến dau với mọi đa chỉ số
Kí hiệu D{T”).

Oi

G Nn.

d a Uj

hội


12

C h ú ý 1 . 1 . Không gian Ơ°°(T") là không gian Eréchet, không khả định
chuẩn.
Đối ngẫu của -D(T"), ký hiệu D'{Tn) là không gian các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên .D(Tn) với tô pô yếu *.
Ký hiệu s (Mn) là không gian kiểm tra Schwartz các hàm khả vi vô

hạn giảm nhanh và S' (Rn) là không gian đối ngẫu của nó. Hạn chế của
các hàm trong s (Rn) trên lưới z n có vị trí quan trọng trong tuần hoàn
và giải tích rời rạc.

1.2

Một số không gian hàm trên z n

Đ ịnh nghĩa 1.2. (K hông gian Schwartz S { z n)). Ký hiệu S ( Z n) là
không gian các hàm giảm nhanh z n —> c . Tức là, If € b ấ t kỳ M < oo tồ n tạ i m ộ t hằn g số

M sao cho

k ( OI < c v,m ( 0 - m
đúng với mọi £ e Z". Tô pô trên íS(Z") được cho bởi họ nửa chuẩn pk,
trong đó k e N v h p k((p) := supíeZ„{£}j 1^(01Đ ịnh nghĩa 1.3. (H àm suy rộng ôn hòa tS'(Zn)). Không gian đối
ngẫu của «S(Z") gồm tấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
ip G íS(Z") có dạng
w(0 ^ ( 0 -

(■u,(p) :=
íeZn


13

Chú ý 1.2. Với hàm u : z n —»■c tăng nhiều nhất theo cấp đa thức tại
vô cùng, tức là, tồn tại các hằng số M < oo và Cn M sao cho

H í)l <

cu,M(ị)M

xảy ra với mọi £ G z n. Khi đó u £ íS'(Zn).
Đ ịnh nghĩa 1.4 (Không gian F(Z")). Cho 1 < p < oo, chúng ta xác
định các không gian hàm sau:
(i) £p(Zn) = { / : z n —»■c :

l / ( ĩỉ)lp < °°} v^i chuẩn

||/||„ Z ., =

(ii)/°°(Zn) = { / : z n

(

£

1 /M K r ■

c : su p { Ị/(n )Ị,n G z n} < oo} với chuẩn

ll/ll/~(Z") = su p { |/(n )|,n G z n}.
B ổ đề 1.1. Không gian S (Z n) trù mật trong không gian £(Zn).

1.3

Một số không gian hàm trên xuyến

Đ ịnh nghĩa 1.5. (Không gian L 2(Tn)). Không gian L 2(Tn) là không
gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi
(1.4)
trong đó z là liên hợp phức của z E c .
Đ ịnh lý 1.1. Trong L 2{Tn), họ các hàm số {e£,£ G z nj xác định bởi
ec(x) = e2nix<
tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L 2(Tn).

(1.5)


14

Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra tính trực giao
( e f , e j ỉ2 (r) = 0 với

V,

và tính chuẩn tắc
(eÍ 5eí ) i 2(T") = 1 với mọi ( g Z "
do vậy vấn đề cần thiết là chứng minh ta có một cơ sở. Chúng tôi muốn áp
dụng Định lý Stone-Weierstrass để chứng minh rằng tập E = span{e£ :
£ € Z nỊ trù mật trong ơ (T n). Nếu ta có điều này, ta có thể sử dụng tính
trù m ật của ơ (T n) trong L 2(Tn), khi đó nó là một cơ sở. Theo Định lý
Stone-Weierstrass tấ t cả những gì ta cần phải chỉ ra là E là một đại số
đối hợp tách các điểm của Tn. Rõ ràng E tách các điểm. Cuối cùng, từ
công thức

= e^+v suy ra E là một đại số, nó cũng là đối hợp bởi vì

công thức ẽị = e_£.

□

Với cơ sở trực chuẩn cho bởi (1.1), hệ số Fourier của u e L 2(Tn) là
(1 .6 )

và chúng là xác định với mọi £ nhờ bất đẳng thức Holder và tính compact
của T”.
B ổ đề 1.2. (C ông thức P lancherel). Nếu u e L 2(T") thì ủ € £2(Zn)
và
ủ\\e2(zn) — IMU2(T")N hận x ét 1.1. Các hàm e^(x) = ei 2 l ĩ X trong ( l . l ) t h ỏ a mãn e^(x + y) =
e^(x)e^(y) và |e^(x)| = 1 với mọi x , y G Tn. Điều ngược lại cũng đúng,
cụ thể:


15

Đ ịnh lý 1.2. (B iểu diễn u nita của Tn). Nếu f € L1(T") thỏa mãn
f ( x + y) = f { x ) f ( y ) và \f(x)\ = 1 với mọi x , y e T", thì tồn tại ( G Z n
sao cho f = e£.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh trường hợp một chiều vì trường
hợp tổng quát Tn suy ra từ trường hợp một chiều.
Do đó,

X

e T1, ta có thể coi T tuần hoàn trong M, và ta có thể chọn

A > 0 sao cho A = / Q

A/ ( r ) d r Ỷ 0- Giá trị À như vậy tồn tại bởi vì nếu
ngược lại ta có thể có / = 0 hầu khắp nơi theo hệ quả của định lý khả
vi Lebesgue, mâu thuẫn với giả thiết. Kết quả là ta có thể viết
f ( x + T)drdT = A 1 /

f(x) = A 1

Từ đây ta thấy rằng /
đúng với mọi

X

e

L 1 (M) kéo theo / liên tục tại

X.

f(r)dT.

Vì điều này

€ T ta được / G Ơ 1 (T). Bằng quy nạp, ta thu được

/ G Ơ°°(T). Lấy đạo hàm đẳng thức bên trên, ta thấy rằng / thỏa mãn
phương trình
f'{x) = A 1( f ( x + A) - f ( x ) ) = A 1 (/(x )/(A ) - f ( x ) ) = c 0f { x ),
với Co = A- 1 (/(A) — 1). Giải phương này ta tìm được f ( x ) = f(0 )e c°x.
Nhắc lại rằng 1/(0)I = 1 ta được \f(x)\ = eReC°x. Vì \f(x)\ = 1 nên
Reơo = 0 , và do đó

c0=

i27ĩ£ với { e K . Cuối cùng, từ kết quả / tu ầ n

hoàn kéo theo ( G z.

□

Đ ịnh nghĩa 1.6. (K hông gian Lp(Tn)). Với 1 < p < oo gọi Lp(Tn) là
không gian các hàm u G L 1 (T”) sao cho


16

Với p = oo, ký hiệu L°°(T”) là không gian các hàm u e L 1(T”) sao cho
IMI Lf(T") = esssupxẽTn |w (x )| < 00.

Đ ịn h lý 1.3. Với mỗi 1 < p < 00, không gian Lp{Tn) là không gian
Banach.
H ệ quả 1.1. (B ất đẳng thứ c H ausdoff-Y oung). Cho 1 < p < 2 và
- + - = 1. Nếu u G Lp(Tn) thì ủ G £9(hn) và
ll^llí«(zn) ^ IMUpcr*)-

Chứng minh. Phát biểu bên trên suy ra từ định lý nội suy Riesz-Thorin
bằng ước lượng đơn giản ||w||^<*=(Zn) < ||m||ìi(X") và công thức Plancherel
I1wỊ|í2(z") = IMIi 2(T") trong Nhận xét 1 .2 .

□

Đ ịnh nghĩa 1.7. (K hông gian hàm suy rộng tuần hoàn T>'{Tn)).
Không gian đối ngẫu V '( T n) = >C(C°°(Tn),C ) của không gian 5(T")
được gọi là không gian các hàm suy rộng tuần hoàn. Với u e T>'{Tn) và
ip G Ơ°°(T"), ta sẽ viết
u{N hận x ét 1.2.
1) Với bất kỳ 'ộ e C°°(Tn),

là một hàm suy rộng tuần hoàn, sinh ra phép nhúng ĩỊj €E ơ°°(Tn) c
V '{Tn). Lập luận tương tự, ta cũng có phép nhúng của không gian
Lp(Tn), 1 < p < 00, vào V'{Tn).


17

2) Theo đẳng thức hàm kiểm tra (da'ộì ự}) =

{ộ, (—

t a mở rộng

định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng bởi

(9“ỉ,f) ■■=( / , ( - I ) w a v ) .
3) Tôpô của V '( T n) = £(Ơ°°(T"), C) là tôpô yếu*.
N hận x ét 1.3. (Đ a thứ c lượng giác). Không gian TrigPol(Tn) các
đa thức lượng giác trên xu y ến được địn h n g h ĩa bởi
TrigPol(Tn) := spane^ : £ £ Z".
Do đó, / € TrigPol(T") có dạng
/M = E

/ ( í ) e i2' i£ ,

trong đó /(£ ) 7^ 0 với chỉ hữu hạn các điểm £ G Z". Trong chứng minh
của Định lý 1.1 chúng ta chỉ ra rằng TrigPol(T") trù m ật trong cả ơ (T n)
và trong L 2(Tn) theo chuẩn tương ứng. Hơn nữa, tập các đa thức lượng
giác thực sự trù m ật trong C°°(Tn), vì vậy một hàm suy rộng được đặc
trưng bởi giá trị chúng tại các véc tơ

với mọi ( Ễ Z". Ngoài ra, tồn

tại các ánh xạ tuyến tính u e L(span{e£|£ e Z"},C ) mà không thuộc
£(C°°(Tn) , C), nhưng mà sự xác định của hệ số Fourier ủ(£) = u(e
hoàn toàn có ý nghĩa.


18

Chương 2
Các phép toán giải tích cơ bản trên
xu yền
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu số [3], [4],
[6] đã nêu trong danh mục các tài liệu tham khảo.

2.1

Sai phân hữu hạn trên

zn

Trong phần này chúng ta phát triển công thức tính rời rạc mà cụ thể
chúng ta sẽ trình bày và chứng minh một phiên bản rời rạc của công
thức khai triển Taylor trên

zn. Chúng ta

sẽ sử dụng vài quy ước mà sẽ

được thực hiện trong công thức: Tổng trên một tập chỉ số rỗng bằng 0,
tích trên một tập chỉ số rỗng bằng 0! = 1 , 0° = 1 .
Đ ịnh nghĩa 2.1 (Sai phân tiến và lùi
1 < i , j < n- Giả sử

ỏj

và Ag). Cho ơ :

e Nq được xác định bởi
1 , nếu i = j
0 , nếu i Ỷ 3

—> c và


19

Ta định nghĩa toán tử sai phân tiến và lùi riêng Af. và Af. lần lượt bởi
= ( 0 = ơ (£) - ơ (f - ỗj ) ,
Và với a G Mg ta định nghĩa

Chú ý 2.1 (các quan hệ cổ điển). Một vài công thức quen thuộc tương
tự công thức đạo hàm cổ điển vẫn đúng cho sai phân, chẳng hạn tính
chất giao hoán, nghĩa là

trong đó s và t là vô hướng,
mà việc chứng minh được thực hiện theo quy nạp khá đơn giản. Ngoài
ra, chúng ta có một số tính chất sau:
M ệnh đề 2.1 (Công thức choA^ và Ag). Với đa chỉ số a e N”, với mọi
hàm ộ :—>c, ta có


20

Chứng minh. Ta đưa vào phép tịnh tiến Ej = ( / + A e.) tác động lên
hàm ệ : Zn —> c bởi
Eị ệ ( i ) := ( / + AÍJ) 0 ( O = 0 K + Ổj ).
Đặt E a := E ^ 1...E*n. Áp dụng công thức nhị thức, ta có
( 0 = ( E - I Ỵ ộ (0

= e ( “ ) (-1)'“^ '^ « )
/9= £ ( - 1 )'“^ ' 1 “ W + « /><«
Vp )

Để chứng minh Mệnh đề đối với sai phân lùi, ta chú ý rằng E j Ag. =
■

D

B ổ đ ề 2.1 (Công thức sai phân Leibniz). Cho ệ : 'lị) : z n —>• c . Khi đó

A? ( « (í) = E ( “ ] ( Aí ^ « ) ) Ar ^
ạ
K + /5)

(2 .1 )

Chứng minh. Trước tiên ta dễ dàng kiểm tra được rằng.
A?

{.<№)(&)

=W )
= 0 (0
= ự>(t)

{í + õj)~ {<№) ( 0
(f + ôj) - 'ệ (£)) + (</>(£ +
(t) + f a t (t)) ý (t + S j ) .

- 0 (0 ) ^ (£ + ỏj)


Chúng ta sử dụng công thức này và phép quy nạp trên a G NJ:
A T s' « ) te) = a £,a ? w o (í)
= a í . £ | “ ) ( a ^ ( ĩ ) ) a “- V ( í + «
ậ=£

( “ ) [ ( A> ( f ) ) A “+Í'" V (í + P)
a\ p)

/ 3 <■a

+

-

( a ^ (ệÍ( )í ))) AA“"V
“ " V ((í
í +
+ /3
p +
+ S
Siịi ị

E ...................
p\ p - ỏi /

| a “+í'-'!v>(í + /3)

/ o , \ . nJ.X._R . . .
E ( O“L++ỗj ì\ (A
?*(«)Ar *■'*«+«.
/3 < a + 6 j

\

/

.... „ M

^^

4.. _ ,

= 0 nếu 7 £ a hoặc 7 Ệ Nq.

Trong (*) chúng ta sử dụng quy ước ị

)
Còn (**) là do công thức tổ hợp
( a \ + (

w

“

\ = ( a + ỗA

U -* J

12 21

Vp ì

Mệnh đề được chứng minh.

□

H ệ quả 2.1. Với sai phần lùi, ta có
A ị (v3 (0 ý (0 ) = Y , ( a ì
ạ
( o ) A “_/V (£ + a).

B ổ đề 2.2 (Tổng từng phần). Giả sử rằng ĩp, tp : Z" —ì
ọ (í)

«) = ( - l f 53

c.

(í))v- (í)

Khi đó
(2.3)


22

miễn là chuỗi ở cả 2 vế hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh. Chúng ta kiểm tra khi |a| = 1 :
X ! ^ t é ) A t ứ té) =

ỆeZ"

ỗj ) -

Ф ( 0 ) 4> ( 0

£eZ"

Ф (0 (~

( £ - tfj))

=
£eZn

= ( - i ) 1 ^ ^ K ) Ã íjV(ỉ).
£eZn
Bằng quy nạp, ta chứng minh được bổi đề vổi mọi a G Nq điều phải
chứng minh.

2.2

□

Khai triển Taylor và đa thức trên

ъп

Đ ịn h n g h ĩa 2.2 (Đa thức rời rạc). Cho в G z n và a G Nq ta định nghĩa
0(°о =

tron g đó oị0'1 = 0 và

= 9<*> № - fc) = 0, («,. - 1)... (ổ,- - fc).

(2.4)

Cũng giống như toán tử đạo hàm đối với đa thức, ta cũng có
B ổ đ ề 2.3. Với các đa chỉ số а , 7 thỏa mẫn 7 < a ta có
AJ0(“) = a {l)ea- \
Chú ý 2.2. Toán tử sai phân giảm bậc của đa thức 1 đơn vị. Trong giải
tích số, đa thức 9 —»• 9

đôi khi xuất hiện ẩn dưới dạng hệ số nhị thức

Tiếp theo, chúng ta trình bày về việc lấy "tích phân rời rạc".


23

Đ ịnh nghĩa 2.3 ( Phép lấy tích phân rời rạc). Với 6 > 0 , chúng ta viết
:=

và Ik- b

.

(2.5)

—b
0Trong phần tiếp theo chúng ta kí hiệu

j9 ỵki jka- 1 1 _
1k1ỉ k2- ' ỉ ka 1 -

1,

nếu a = 0 ,

lị 1 ,

nếu a = 1 ,

ĩ 1!,’ nếu a = 2 .
V, l ị«1 l k2
C h ú ý 2.3. Ta có thể coi i ị 6^ là phiên bản rời rạc của tích phân 1 lớp

e

Ị ...d£, tron g đó sai phân

đóng vai trò của toán tử v i phân

0
B ổ đề 2.4 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân rời rạc một chiều).
Nếu 6 £ z và a £ N thì
=

Chứng minh. Chúng ta chú ý rằng k

( 2 -6 )

= 1, A k k ^ = iki~1 và I ị A k k ^ =

từ đó (2 .6) được chứng minh bằng quy nạp.

□

Chú ý 2.4. Ta chú ý rằng Bổ đề 2.4 có dạng của định lý cơ bản của
phép tính tích phân:

c đủ trơn, ta

Với f

có

Sự kiện trên tương ứng với

IỊ

khi / : z

c.

(0 = f ( ỡ ) - f (0)


24

BỔ đề 2.4 sẽ suy ra trực tiếp phiên bản nhiều chiều của nó, tức là
H ệ quả 2.2 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân rời rạc nhiều

chiều). Nếu 9 €

zn và a

€ Nq thì

n

1

IỊ4 .)íSỈ-,£ ) lll =/* ’

3=1
trong đó

nu

<2-7)

Ii có n9hĩa là tích ỉ xỉ 2...ỉn, với Ij = iịị. 1)/ ^ ,21) . . . / ^ ’“í)" 1).

Đ ịnh lý 2.1 (Khai triển Taylor trên Z"). Cho p : Z" —>c. Khi đó
p(í+») =

E

(í)+M Í.0),

M

raax

0<“>A“+“p (í + V)

(2.8)

|a |= M ,v eQ (ớ )

trong đó Q (6) := {v G Z" : |i)j| < |ỡj|,Vj = 1 , 2 .
Chứng minh. Chứng m in h Đ ịn h lý 2.1 tro n g trư ờ ng hợp n = 1
Ta chỉ ra phần dư là
(2.9)
T hật vậy, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Dễ dàng thử lại
với M = 1


25

Áp dụng (2.6) và (2.9) ta thu được
1
M\

m ax

0 (M )

A f+"p (Ệ + v)

(2 . 10)

Do đó định lý Taylor rời rạc 1 chiều được chứng minh.
Chứng m in h Đ ịn h lý 2.1 cho công thức khai tr iể n T a ylo r n —
chiều.
Cho 0 7-

ữỄ

Nq, kí hiệu m a := min {j : OLị Ỷ 0}- Cho 0 G

ỉ G { 1 , n } ta xác định
V

( 9 , ỉ,

V (9, i, k

zn và

) bởi

k ) : = ( 0 1 , 0i_i,

k,

0 , ... 0)

nghĩa là
9j,

nếu 1 < j < i,

k, nếu j = i,
0 , nếu ỉ < j < n.

Chúng ta khẳng định rằng phần dư có thể viết dưới dạng
r M ( £ , 0) =

(2 .11)

^ 2 Ta
\a\ = M

trong đó với mỗi a , ta có
n

r«(£»ỡ) = n Iỉa,i)Ik(uỉ) ■jkkuZ)l)Aíp^ +ự

k

“"*«)));

3= 1

(2 . 12)
Ta chứng minh (2.12) bằng quy nạp. số hạng dư thứ nhất ri có dạng
như đã nêu bởi:
71

ri (£, 0) = p (£ + 6) - p (£) =

r5i (£, ớ),
i=1


26

trong đó
r ỏi ( f , 0 ) = ỉk K ip ^ + ư (ớ ’ *’ k ) ) ;

ở đây rfi. có dạng (2 . 12 ) với a = ỏi,m (a) = i và a m = 1.
Giả sử rằng (2.12) là đúng đến bậc |a| = M. Khi đó
rM+1 (í, 9) = r„
(í, 0/) - £
- V-

a\

A“p (í)

|a | = M

q|=M

'
TT

=

'
T^{jĩa j —

1)

Ị 0i

II

\a\ = M j = 1

X

[p (£ + I/ (0, m a , A: (ma , a mJ ) ) - p (0]

ở đó ta đã sử dụng (2.12) và (2.7) để thu được đẳng thức cuối cùng. Kết
hợp điều này với đẳng thức
ma
p(£ + V

(0, m a, k)) - p ( £ ) = ỵ 2 Jỉí/(fl’m“’fc)iA**p (£ +

V

(9 , i, /)),

2= 1

ta nhận được
r

Tm +

(t

n\

_

=

n

ma

|a| = M j = l

Í=1

\ " TT 7-0j ỵ k U A )
2 ^ l l Jfc(j.i) fcõ'.2) —Jfcăai)

A“+í-p(í + "(0-M(O))
n
TT T^j ĩrk{j,
k{j^1) ĩ k

\ " 7-I'(e,ma , k ( m a , afna))i

1)

k(j>Pj)
\P\ = M + l j = l

& ịv (€ + v (ỡ, mạ, k {mạ, /3mJ ) ) ;
Do đó chứng minh của phép quy nạp đẳng thức (2.12) được hoàn thành.