luận văn thạc sĩ toán điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN VĂN TU Y ÊN

cực

Đ IỀ U K IỆ N
T R Ị VÀ Ổ n Đ ỊN H
T R O N G TỐ I Ư U V É C T Ơ VỚ I T H Ứ T ự S U Y R Ộ N G

L U Ậ N Á N T IẾ N SĨ T O Á N HỌC

HÀ NỘI - 2016


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N VĂN TU Y Ê N

cực

Đ IỀ U K IỆ• N
T R Ị• VÀ Ổ n Đ ỊN
H
•
•
T R O N G TỐ I Ư U V É C T Ơ V Ớ I T H Ứ T ự S U Y R Ộ N G

C h u y ê n n g à n h : T o á n G iả i tíc h
M ã số: 6 2.46.01.02

L U Ậ N Á N T IẾ N S ĩ T O Á N H Ọ C

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PG S. TS. N G U Y Ễ N Q U A N G H U Y

HÀ NỘI - 2016


Lời cam đoan
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy.
Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong
bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Tác giả luận án

N g u y ễ n V ăn T u y ê n


Tóm tắt
Luận án trình bày một số kết quả mới về điều kiện cực trị và ổn
định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng.
Luận án gồm 3 chương. Chương 1 nghiên cứu một số đặc trưng
của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng như: mối quan hệ của khái niệm
nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển, sự tồn tại nghiệm và một
số tính chất tôpô của tập nghiệm. Chương 2 nghiên cứu về các điều kiện
cực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng. Chương 3 nghiên cứu tính chất

ổn định của tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối.
Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tích
chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. 2) Thiết lập các
điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng. 3) Thiết
lập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệm
của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trị
cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ
lồi. 4) Một số tính chất tôpô như tính đóng, tính trù m ật của tập điểm
hữu hiệu Pareto tương đối. 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự hội tụ
trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painleve của tập điểm hữu
hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của
ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối.


A bstract
This thesis presents some new results on the optimality conditions
and the stability analysis in vector optimization with generalized order.
The thesis consists of three chapters. Chapter 1 investigates some
characterizations of the optim al solution with generalized order optimal­
ity such as: compares this notion with the traditional notions, the exis­
tence solution and some topological properties of solution set. C hapter 2
establishes some optim ality conditions for vector optimization problems
with generalized order. The goal of Chapter 3 is to deal with the stabil­
ity analysis of a vector optimization problem using the notion of relative
Pareto efficiency.
The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the
notion of generalized order optimality. 2) Existence theorems in vector
optimization with generalized order. 3) Some criteria for the closedness
and connectedness of the set of generalized order solutions and some
sufficient optim ality conditions in convex vector optimization problems.

4) Some topological properties of the relative Pareto efficient set. 5) Some
sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence
in the sense of Kuratowski-Painleve of the relative Pareto efficient sets;
some criteria for the lower semicontinuity in the sense of Berge of the
relative Pareto efficient point multifunction.


M ục lục

M ở đầu
1

5

T ín h c h ấ t tô p ô c ủ a t ậ p n g h iệ m tr o n g tố i ư u v é c tơ với
t h ứ t ự su y rộ n g
1.1.

Khái niệm nghiệm

.................................................................

14

1.2.

Sự tồn tại n g h iệ m ....................................................................

24

1.2.1.

1.3.

2

13

Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng

.........................

24

1.2.2. Áp dụng cho bài toán tối ưuvéctơ

.........................

28

Tính chất tôpô của tập n g h i ệ m ..........................................

31

1.3.1. Tính đ ó n g .....................................................................

31

1.3.2. Tính liên t h ô n g ...........................................................

33

Đ iề u k iệ n tố i ư u cho b à i to á n tố i ư u v é c tơ với t h ứ t ự su y
rộ n g

40

2.1.

Một số kiến thức chuẩn b ị ....................................................

40

2.2.

Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộ n g ................

47

2.3.

Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự
suy r ộ n g ......................................................................................

56

2.3.1. Điều kiện cần cực t r ị ..................................................

57

1


3

2.3.2.

Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn c ụ c ..............

59

2.3.3.

Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương . . .

61

T ín h ổ n đ ịn h n g h iệ m c ủ a b à i to á n tố i ư u v é c tơ

65

3.1. Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đ ố i ......................

66

3.2.

Sự hội tụ trên của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối .

76

3.3.

Sự hội tụ dưới của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối .

86

3.4. Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto
tương đối

...................................................................................

K ế t lu ậ n

91
99

C ác c ô n g t r ìn h liên q u a n đ ế n lu ậ n á n

101

T ài liệu th a m k h ả o

101

2


M ột số ký hiệu
N

tập các số tự nhiên

К

tập các số thực

К := К u { io o }

tập các số thực mở rộng
không gian Euclide n-chiều

MỊ

tập các véctơ không âm của

K71

М”

tập các véctơ không dương của K71

X*

không gian đối ngẫu tôpô của không gian X

(x*,x)

cặp đối ngẫu giữa X* và

||я;||

chuẩn của véctơ

Ox

véctơ 0 trong không gian X

0

số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian cho trước

F : X =4 Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F

miền xác định của F

gphF

đồ thị của F

{ x n}, (x n)

dãy số thực, hoặc dãy véctơ

Bx

hình cầu đơn vị đóng trong X

В

hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn cho

X

X

trước
Вр(ж), B(a;,p)
B( x, p)

hình cầu đóng tâm x : bán kính
hình cầu mở tâm

X,

p

bán kính p

N{x)

tập tấ t cả các lân

N

tập tấ t cả các lân cận cân của điểm

b

{x )

3

cận của điểm

X
X


Lim sup

giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

Lim inf

giới hạn dưới theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N ( x ] Í2)

nón pháp tuyến Mordukhovich của

N ( x ] í])

nón pháp tuyến Frechet của

v /(x )

đạo hàm Frechet của / tại

df(x)

dưới vi phân Mordukhovich của / tại X

d°°f (x)

dưới vi phân suy biến của / tại

ôf(x)

dưới vi phân Frechet của / tại X

D*F(x,ỹ)(-)

đối đạo hàm Frechet của F tại (x , ỹ )

D*NF(x, ỹ)(-)

Í2

Í2

tại

X

tại X

X

X

đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x , ỹ )
X

và

X

X

X

X € rỉ

X

X

X —ì X và f ( x ) —>• f ( x )

Oí -ị. Oí

Oí —y Oí va. Oí ^ Oí

A c B

A là tập con của B

A n B

giao của hai tập hợp A và

A uB

hợp của hai tập A và B

A XB

tích Descartes của hai tập A và B

A\B

hiệu của hai tập A và B

A +B

tổng véctơ của hai tập A và B

int A

phần trong của tập hợp A

ri A

phần trong tương đối của tập hợp A

A, cl A

bao đóng của tập hợp A

bd (A)

biên của tập hợp A

Ac

phần bù của tập hợp

aff (A)

bao aphin của tập hợp A

conv (i4)

bao lồi của tập hợp A

cone (A)

bao nón của tập hợp

□

kết thúc chứng minh

4

A

A

B


Mở đầu
Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay còn gọi là Tối ưu đa mục
tiêu (M ulticriteria optimization) được hình thành từ những ý tưởng về
cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của F. Edgeworth (1881) và V. Pareto
(1906). Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ
tự được G. Cantor đưa ra năm 1897, F. Hausdorff năm 1906 và những
ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ
tự thỏa mãn những tính chất nào đó. Từ những năm 1950 trở lại đây,
sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H. w. Kuhn
và A. w. Tucker năm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G.
Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ mới thực sự được công nhận là
một ngành toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tới
ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác
mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương. Sau đó người
ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón
lồi bất kì. Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian
có thứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa
vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu
Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực s ự ... Nhiều nhà toán học
có tên tuổi như J. M. Borwein, M. I. Henig, J. Jahn, D. T. L u c ... đã
có những đóng góp quan trọng về sự tồn tại của các điểm hữu hiệu loại
này, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các lớp bài toán tối ưu khác

nhau.
Sau đó lý thuyết này được phát triển cho những bài toán liên quan
tới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều. Khái niệm về ánh xạ đa
trị đã được nhiều người đưa ra từ những năm của nửa đầu thế kỷ 20 do
nhu cầu phát triển của chính bản thân toán học và nhiều lĩnh vực khoa
học khác. Những định nghĩa, tính chất của ánh xạ đơn trị dần dần được
mở rộng cho ánh xạ đa trị.

c. Berge đã đưa ra các khái niệm

khác nhau

về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Tương
tự như vậy các khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên và Lipschitz
dưới cũng được đưa ra. Tiếp theo là tính khả dưới vi phân của hàm số,
dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương
theo nghĩa của F. H. C larke... Từ các khái niệm này người ta tìm được
những điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho các lớp bài toán tối ưu
khác nhau.
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề quan
trọng nhất khi nghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học và các bài
toán tối ưu véctơ. Sự tồn nghiệm của bài toán tối ưu véctơ trong các
không gian vô hạn chiều đã được nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu
(xem [2,19,26 28,37,41,42,61,64,71,74] và các tài liệu trích dẫn được
trích dẫn trong đó). Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các kết quả
về sự tồn tại nghiệm trong tối ưu véctơ đều được xét trong các không
gian véctơ tôpô với thứ tự sinh bởi một nón lồi. Một kết quả cổ điển
(xem, p. L. Yu [71]) chỉ ra rằng tập các điểm hữu hiệu Min (A I c ) khác

rỗng nếu c là nón lồi đóng và Ả là tập compact. Tuy nhiên, giả thiết
về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạn
chiều. Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đạt được về sự tồn tại điểm
hữu hiệu đã loại bỏ được hạn chế về tính compact. Chẳng hạn, Định
lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C-đầy đủ (C-complete) để thay cho tính
compact.

6


Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việc
nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị. Để đưa ra các điều kiện tối
ưu cho các bài toán tối ưu véctơ không trơn, người ta sử dụng các khái
niệm đạo hàm suy rộng. Chẳng hạn, M. Pappalardo và

w.

Stỏcklin [54]

đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini - Hadam ard để đưa ra một số
điều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiều
với thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng. Với các khái
niệm cơ bản như nón pháp tuyến không lồi của các tập hợp trong không
gian Banach, dưới vi phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàm
Frechet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm phát
triển, lý thuyết vi phân suy rộng do Giáo sư B.

s.

Mordukhovich khởi

xướng đã trở nên hoàn thiện và đưa đến nhiều ứng dụng quan trọng. Bộ
sách [49,50], gồm 2 tập, mỗi tập có 4 chương, được xuất bản năm 2006,
đã nhanh chóng trở thành một tài liệu quan trọng, được nhiều người sử
dụng. Bộ sách đó chứa đựng nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích không
trơn, Giải tích đa trị, Lý thuyết tối ưu, và ứng dụng.
Bên cạnh việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện cực trị,
tính ổn định cũng là một vấn đề rất quan trọng trong lý thuyết Tối ưu
véctơ và được nhiều nhà toán học quan tâm . Trong các tài liệu, có hai
hướng tiếp cận cơ bản khi nghiên cứu tính ổn định của bài toán tối ưu
véctơ. Hướng thứ nhất là khảo sát sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu của
các tập hợp có nhiễu đến một tập cho trước. Hướng thứ hai khi nghiên
cứu tính ổn định đó là nghiên cứu các tính chất liên tục của ánh xạ
nghiệm. Chẳng hạn, tính nửa liên tục dưới (trên) của ánh xạ nghiệm
hữu hiệu Pareto đã được khảo sát bởi Penot và Sterna-Karwat [55]. Luc,
Lucchetti và Malivert [44] đã nghiên cứu sự hội tụ của tập các điểm hữu
hiệu Pareto và Pareto yếu trong các không gian véctơ tôpô tổng quát.
Miglierina và Molho [47,48] đã nhận được các kết quả về sự hội tụ của
tập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu của các bài toán tối ưu

7


véctơ lồi. Đối với hướng nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối
ưu véctơ lồi độc giả có thể tham khảo thêm các kết quả trong [41,45].
Ngoài ra, các kết quả nghiên cứu về tính liên tục của ánh xạ nghiệm
hữu hiệu Pareto và Pareto yếu còn được trình bày trong các sách chuyên
khảo [41,57] và các bài báo (xem [11-15,23,24,55]). Bằng cách sử dụng
các tính chất như tính chất trội (domination property), tính chất bao hàm
(containment property) và tính chất bao hàm liên hợp (dual containment

property) Bednarczuk [11-15] đã nghiên cứu các tính chất nửa liên tục
trên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục dưới
theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hiệu.
Gần đây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11,13] và đề
xuất các khái niệm mới tính chất bao hàm địa phương (local containment
property), tính chất K - trội địa phương (Zf-local domination property)
và tính chất đóng địa phương đều (uniformly local closedness) của một
ánh xạ đa trị, Chuong, Yao và Yen [23] đã nhận được các kết quả về
tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gian
véctơ tôpô Hausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk.
Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối
ưu véctơ qua các tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiều
khái niệm nghiệm tối ưu (nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm
tối ưu xấp xỉ, ...) dưới một quan điểm thống nhất nhờ tập hoàn thiện
(xem [22,30]). Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiện đòi hỏi không
gian ảnh phải được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường.
Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưu
tương ứng với một tập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn
là một vấn đề mở (xem [22, Section 5]).
Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển
của các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A. Y.
Kruger và B.

s.

Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài


liệu được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo
thứ tự suy rộng (hay nghiệm (/; Q)-tối ưu địa phương), ở đó / : X —»• z

là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự 0
là một tập bất kì chứa gốc. Một điểm

X €

X được gọi là một nghiệm

(/; 0 )-tố i ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận u của

X

và một dãy

{Zk) với ||zfc|| —¥ 0 khi k —> 00 thỏa mãn:
f ( x ) ệ. f ( x ) — 0 —Zỵ với mọi X G u và k G N.
Nếu 0 là một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, thì khái
niệm nghiệm tối ưu trên bao phủ các khái niệm nghiệm cổ điển trong
tối ưu véctơ như nghiệm Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệm
tối ưu theo nghĩa Slater) (xem [50,67]).
Cần nhấn m ạnh rằng, tập sinh thứ tự © không nhất thiết là tập
lồi hay là nón. Điều này đáp ứng đòi hỏi ngày càng tăng trong thực tế
và cả trong lý thuyết áp dụng của tối ưu véctơ; đặc biệt là trong các mô
hình kinh tế (xem [62]).
Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm
nghiệm, nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng còn là một công cụ hữu ích
để nghiên cứu các bài toán minimax (minimax problem) trên một tập
compact (xem [50, Example 5.54]). Giả

s ử X là m ộ t n g h i ệ m t ố i ư u

địa

phương của bài toán minỉmax
minimize với f : X —»• z và A c z* ỉà một tập compact yếu* theo dẫy (weak*
sequentially compact) của z* sao cho: tồn tại Zq € z v ớ i (z*,z0) > 0 v ớ i
mọi z* € A. D ể cho đơn giản, ta giả sử rằng ip{x) = 0. Khi đó,

X

là một

nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng của hàm f ứng với tập
sinh thứ tự
Q := {ze Z\{z\z) <0
9

Mz* E A}.


Việc xem nghiệm của một bài toán minimax như là nghiệm của một
bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng giúp chúng ta thuận lợi hơn
khi nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán này (xem [50,
Subsections 5.3.1, 5.5.19]).
Với những ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu các tính chất định tính
của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng của các bài toán tối ưu véctơ
có một ý nghĩa rất quan trọng. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi
mới chỉ có một vài nghiên cứu về các điều kiện cần cực trị (xem [9,50]
và các tài liệu được trích dẫn trong đó) và độ nhạy nghiệm (xem [34])
của lớp bài toán này.

Luận án này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm, các
tính chất tôpô của tập nghiệm, các điều kiện cực trị và tính ổn định của
các bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng. Luận án bao gồm phần
mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.1
phân tích khái niệm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy
rộng. Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo
thứ tự suy rộng. Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng và
tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự
suy rộng.
Chương 2 nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ
với thứ tự suy rộng. Mục 2.1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải
tích biến phân. Các kiến thức này là cơ sở để đưa ra các điều kiện tối ưu
trong các mục tiếp theo của chương này. Trong Mục 2.2, bằng cách tiếp
cận trên không gian ảnh chúng tôi đã đạt được một số điều kiện cần,
điều kiện đủ cho một điểm hữu hiệu suy rộng. Các kết quả về điều kiện
cần có thể coi là trường hợp đặc biệt của các kết quả trong [9,50]. Tuy
nhiên kết quả về điều kiện đủ là mới. Trong mục cuối của chương này,

10


chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho điểm là nghiệm tối ưu theo
thứ tự suy rộng dưới các giả thiết về tính lồi.
Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của
bài toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối. Bằng
cách sử dụng cách tiếp cận của Luc [44] chúng tôi nhận được các kết
quả về sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Các kết quả
này mở rộng kết quả của [44, Theorem 2.1] và [45, Proposition 3.1] từ
tập điểm hữu hiệu Pareto yếu sang tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối.

Để nhận được kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu
hiệu Pareto tương đối của bài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tự
được sinh bởi một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, chúng tôi
đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao hàm tương đối
(relative containment property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối
(relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đối
theo nghĩa Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của một
ánh xạ đa trị. Các kết quả nhận được mở rộng và làm m ạnh hơn các kết
quả tương ứng trong [11,12]. Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày một
số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.2 trình bày
các kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập
điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội
tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto
tương đối. Trong mục cuối chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho
tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
- Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2).
- Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện
Toán học).
- Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu

11


cao cấp về toán).
- The 8th Vietnam-Korea Workshop “M athem atical optimization
theory and applications” (University of Dalat, 8-10/12/2011, Dalat, Viet­
nam).
- Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Khoa Toán (Trường ĐHSP Hà Nội
2, 25 -26/10/2014).

- Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12 (Ba Vì,
23-25/04/2014), lần thứ 13 (Ba Vì, 23-25/04/2015).
Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được
đăng ở Nonlinear Analysis [67], Acta Mathematica Vietnamica [68] và
gửi đăng ở Vietnam Journal of Mathematics [35], Taiwanese Journal of
Mathematics [69].
Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2. Tác
giả xin chân thành cám ơn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy đã tận tình
hướng dẫn để có được những kết quả trong luận án.
Xin chân thành cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm, PGS. TS. K huất Văn Ninh, TS. Trần Văn Bằng và
các thành viên của Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Giáo sư trong hội đồng chấm
luận án cấp cơ sở về các ý kiến đóng góp quí báu cho Luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà
Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, và cán bộ công nhân viên của
Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn động viên giúp đỡ tác giả.
Xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh, gia đình và bạn bè đã luôn
khuyến khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu.

12


Chương 1
Tính chất tôp ô của tập nghiệm
trong tối líu véctơ với th ứ tự suy
rộng
Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển
của các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, Kruger

và Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài liệu được trích
dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm (/; 0 )-tố i ưu địa phương
(hay còn gọi là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng), ở đó / là một ánh
xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự 0 là một tập
bất kì chứa gốc. Mục đích của chương này là trình bày một số đặc trưng
của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng.
Mục 1.1 trình bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tự
suy rộng và mối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệm
nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ. Mục 1.2 trình bày một số kết quả về
sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.3 khảo sát một
số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài
toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng.
Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35,68].


1.1.

K hái niệm nghiệm
Cho z là một không gian Banach. Với mỗi tập 0 c

kí hiệu

/(0) là tập hợp 0 n (—0).
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z
là một tập chứa 0 z ■ Một điểm z G A được gọi là một điểm hữu hiệu
suy rộng (generalized efficient point) của A tương ứng với 0 , nếu tồn tại
một dãy {zỵ\ c z với \\zk \\ —»• 0 khi k —> oo thỏa mãn
A n { z - 9 - z k) = ® V k e N.

(1.1)

Tập hợp tấ t cả các điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với
0 được kí hiệu là GMin (A I 0 ).
N h ậ n x é t 1.1. (i) (1.1)

Z — Zỵ ị Ả + 0

VẢ; € N.

(ii) Nếu tồn tại một lân cận u của Z và một dãy {zk} c z với
||zfc|| —> 0 khi k —y oo thỏa mãn
U n A n { z - G - z k) = Q V k e N,

(1.2)

thì Z được gọi là một điểm hữu hiệu địa phương suy rộng (local general­
ized efficient point) của A tương ứng với 0 .
Đ ịn h lý 1.1. Cho A ỉà một tập con khác rỗng trong z và 0 c z

chứa

0z- Khỉ đó
GMin (A I 0 ) = A n bd (A + 0 ).

(1.3)

Hơn nữa, GMin (Ả I 0 ) ỉà đóng nếu Ả đóng trong z .
Chứng minh. Giả sử Z là một điểm hữu hiệu suy rộng bất kì của A tương
ứng với 0 . Khi đó, tồn tại một dãy {zỵ\ c z với ||zfe|| —»• 0 khi k —»• oo
sao cho Z — Zk Ệ {A + 0 ) với mọi k € N. Vì vậy, Z — Zk € {A + 0 ) c với

mọi k £ N. Lấy u là một lân cận tùy ý của
14

Z.

Vì Z £ A và 0z € 0 nên


ta suy ra z G {A + 0 ). Do đó, и п {A + 0 ) ф 0. Từ lim (z — zk) = z
ta có z — z k G u với к đủ lớn. Vì vậy, Z — z k € и п (А + 0 ) c với к đ ủ
lớn. Suy ra и п (A + 0 ) c Ỷ 0- Vì vậy Z € bd (A + 0 ). Điều này kéo theo
GMin (А I 0 ) С А П bd (A + 0 ). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại
lấy z € A П bd (A + 0 ) tùy ý. Từ z G bd {A + 0 ) ta

В ịz,

CÓ

n {A + 0 ) c Ф 0 \ / k e N.

Với mỗi к £ N, chọn Xk € в (z, |-) П (A + 0 ) c. Ta

lim x k = z và
k—ïoo
{a;fe} С {A + ©)c. Đặt zk = z —x k, với к = 1,2 ,... Suy га
lim Zỵ
k-ịoo

=

0 và z —Zfc =

Xk

CÓ

G (A + 0 ) c VẢ: € N,

hay là
z — zk ệ (A +
v/c G N.

Điều này chỉ ra rằng Z là một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng
với 0 . Vì vậy,
GMin (A I0) = A n bd (A + 0).
Cuối cùng, nếu A là một tập con đóng của z , từ tính đóng của bd (A+0),
ta suy ra GMin (A I 0 ) đóng. Định lý được chứng minh.

□

N h ậ n x é t 1.2. (i) Từ Định lý 1.1, ta có G M i n ( A | 0 )

с b d Æ T hật

vậy, giả sử tồn tại một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0
không là điểm biên của Ả. Từ z G A ta suy ra

Z

€ int A. Vì vậy, tồn tại

một lân cận u của Z sao cho и с A. Từ A c A + 0 t a c ó ỉ 7 C Ẩ + 0 .
Do đó, z G int (A + 0 ), mâu thuẫn với (1.3).
(ii) Nếu A mở hoặc A + 0 mở thì GMin (A I ©) = 0. T hật vậy, nếu A
mở, thì từ А С A + 0 ta suy ra А с int (A+0). Do đó, Anbd (A+0) = 0,
hay là GMin (A I0) = 0. Nếu A + 0 mở, thì bd (A + 0) = 0. Theo Định

lý 1.1 ta cũng suy ra GMin {A I 0) = 0.

15


V í d ụ 1.1. Lấy z = M2,A = { x = (XI , X 2) G M2

Ix 2 = —^1,0 < Xị <

1}, và 0 = {a; G M2 I x 2 =

—X i } u {a; € M2 I x 2>

X\) u { x G M2 I

^2

=

|a;i|}. Dễ thấy rằng © là một nón không lồi và
A + 0 = {x € M2 I x 2 > 1^11} u {x € M2 I Xi
u { x € M2 I x 2 =

—2 < x 2 < Xi}
—Xi, X\ > 1 } .

Từ đó ta có
bd {A + 0 ) = {x G R 2 I x 2 = —X\ , X\ < 0 hoặc

> 1}

u {x € M2 I x 2 = X i, £1 < 0 }
u {x £ M2 I x 2 = X\ — 2}.
Vì vậy

GMin (A I0) = A n bd (A + 0) = {(0,0), (1, -1)}.
Tiếp theo, chúng ta thiết lập một số quan hệ giữa các điểm hữu
hiệu suy rộng và các điểm tựa của tập A. Nhắc lại rằng, Z € c \A được
gọi là một điểm tựa (supporting point) của A nếu tồn tại z* £ z* \ {0}
thỏa mãn
{z*i z) = sup{(z*, z) I z € A}.
Khi đó, z* được gọi là một hàm tựa (supporting functional) của A tại Z.
Kí hiệu 0* là tập cực (polar set) của 0 :
0* = {z* e z* I ( z \ 9 ) < 0 Vớ € 0 } .
M ệ n h đ ề 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach
z và © c z chứa 0z ■ Nếu Z £ A là một điểm tựa của A tương ứng với
hàm tựa z* € 0*; thì z £ GMin {A I 0 ). Do đó, ta có
u { A ° ự ) I2 * € 0 w

0} c GMin (A I 0 ),

ở đó A °(z*) = {zQ G Ả I (z*, zữ) = sup(;z*, z), z G A}.

16


Chứng minh. Giả sử phản chứng, Z ị GMin {A I 0 ). Theo Định lý 1.1,
Z

ị bd (A + 0). Vì

Do đó,

Z

Z

€ A c A + 0 và

Z

ệ. bd (A + O) nên

Z

€ int (A + 0).

không là điểm tựa của A + 0 . Vì vậy, tồn tại z € A và 9 € 0

thỏa mãn
(z*,z) < (z*,z + 9).
Vì

(1.4)

€ ©* nên {z*,0) < 0. Điều này và (1.4) suy ra
(z*,z) < ự , z ) ,

trái với định nghĩa của Z. Mệnh đề đã được chứng minh.

□

Mệnh đề sau chỉ ra rằng, nếu A + 0 là một tập lồi với phần trong
khác rỗng, thì mọi điểm hữu hiệu suy rộng của tập A cũng là điểm tựa
của tập hợp này.
M ệ n h đ ề 1.2. Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach
z , và © c z chứa 0Z . Giả sử rằng, A + 0 là một tập lồi và có phần
trong khác rỗng. Khi đó,
GMin (A I 0 ) = lJ{A °(z*) I z* € 0 w

0}.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.1, để chứng minh mệnh đề trên ta chỉ cần
chỉ ra rằng
GMin (A I 0 ) c |J { A 0(2 *) \z* e Q* , z * ^ 0}.
T hật vậy, lấy Z € GMin (A I 0 ) tùy ý. Theo Định lý 1.1, Z là một điểm
biên của Ả + 0 . Do A + 0 là một tập lồi có phần trong khác rỗng nên
cl (A + 0 ) cũng có các tính chất này. Vì vậy, tồn tại một hàm tựa z* của
c l(A + 0 ) tại Z (xem [18]). Từ (z*,z) > (z*, z) với mọi z € c l (A + 0 ),
ta suy ra
{z*, z) > (z*, Z + 9)

17

với mọi 9 € ©. Do đó, (z*, в) < о với mọi ớ G 0 . Điều này có nghĩa là
z* £ ©*. Từ А С А + 0 с cl {А + 0 ) ta suy ra z* là một hàm tựa của
A tại Z, hay là z €

Do đó, ta có

GMin (A I 0 ) С Ị J { ^ ° C O \z* e Q* , z* ^ 0}.
Chứng minh kết thúc.

□

Nếu z là một không gian Banach hữu hạn chiều, thì điều kiện
UA + 0 có phần trong khác rỗng>: trong Mệnh đề 1.2 có thể bỏ được.
H ệ q u ả 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong м ш và 0 с м ш là
một tập bất kì chứa gốc. Nếu A + 0 lồi, thì
GMin (A I 0 ) = 1J{A 0( ^ ) \z*

Ф 0}.

Chú ý rằng các kết quả trên không đòi hỏi rằng 0 phải là một nón
với © \ /(©) Ф 0. Hệ quả 1.1 là một mở rộng của [71, Lemma 4.5] từ
điểm hữu hiệu (xem Định nghĩa 1.3 ở bên dưới) sang điểm hữu hiệu suy
rộng.
V í d ụ 1.2. Trong K2, cho
Ai = {z = (zu z2) I 0 < Zỵ < 1 ,22 = 0},
A 2 = { z = (zu z2) I 0 < Zị < 1, z2 = 1},
A 3 = { z = (zu z2) \Z! = 0,0 < z2 < 1},
A ị = {z = (Zị, z2) \zị = 1,0 < z2 < 1},

А = А г и Аз и A3 u At,
0 = К X {0}.
Bằng các tính toán đơn giản ta có 0* = {0} X к và
Aữí
A°(z
) _= ị

[°’ 4 x w

nếu

G {°} x (°’+ 0 °)

[0,1] X { 0 }

nếu

€ { 0 } X ( —0 0, 0).

18


Vì vậy,
GMin (A I 0 ) = I J i ^ V ) I г* e e w

0}

= [0,1] X { 0 , 1>.

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của điểm hữu
hiệu suy rộng.
M ệ n h đ ề 1.3. Cho A là

một

tập con khác rỗng trong z và 0 с z là

một tập chứa 0Z . Nếu 0 D 0 , thì
GMin (А I 0 ) С GMin (А I 0 ).

(1.5)

M ệ n h đ ề 1.4. Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 с z là
một tập chứa 0z thỏa mãn 0 + 0 = 0 . Khỉ đó
GMin (А I 0 ) = A n GMin ((A + 0 ) I 0 ).

(1.6)

Chứng minh. Theo Định lý 1.1, ta có
GMin (А I 0 ) = A n bd (A + 0 ),

(1.7)

GMin ((A + 0 ) I 0 ) = (A + 0 ) n bd [(A + 0 ) + 0].

(1.8)

và

Từ 0 + 0 = 0 và (1.8) ta có
GMin {{A + 0 ) I 0 ) = (A + 0 ) n bd (A + 0 ).

(1.9)

Từ (1.9) và А с А + 0 ta suy га
А п GMin {(А + 0 ) I 0 ) = А п [{А + 0 ) n bd {А + 0)]
= A nbd (A + 0)
= GMin ( А \ в ) .
Mệnh

đề được chứng minh.

□
19


Trong Định nghĩa 1.1 chúng ta không đòi hỏi 0 là một nón lồi và
cũng không đòi hỏi © phải có phần trong khác rỗng. Nếu 0 là một nón
lồi với với ri © ^ 0, thì khái niệm điểm hữu hiệu suy rộng bao phủ các
khái niệm điểm hữu hiệu cổ điển trong tối ưu véctơ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Giả sử 0 là một nón lồi với ri0 ^ 0. Một điểm z e A
được gọi là một điểm hữu hiệu Pareto tương đối/điểm hữu hiệu Slater
(relative Pareto efficient point/S later efficient point) của A tương ứng
với 0 , nếu
A n (z —ri 0 ) = 0.

(1.10)

Tập hợp tấ t cả các điểm hữu hiệu tương đối của A tương ứng với 0 được

kí hiệu bởi RMin (A I 0 ).
Nếu 0 là một nón lồi trong z , thì 0 sinh ra một quan hệ thứ tự
trên z như sau:
X

ZI,Z2 G

> y và không có y >

z, z2 >

X,

nếu z2 —

Z\

hoặc là,

X

Zi €

0 . Ta viết

X > y

nếu

€ y + 0 \ /(0 ). Một nón 0 được gọi

là nhọn nếu /(0 ) = {0^}.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Cho © là một nón lồi trong z, A c z là một tập con
khác rỗng.
(i) Một điểm z e A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto yếu/điểm hữu hiệu
yếu (weak Pareto efficient point/w eak efficient point) của A tương ứng
với 0 , nếu
A n (z — int 0 ) = 0 và int 0 ^ 0 .
Tập hợp

tấ t cả các điểm hữu hiệu Pareto yếu của A tương ứng với

0

được kí hiệu là WMin (A I 0 ).
(ii) Một điểm z e A được gọi là một điểm hữu hiệu Pareto/đ iể m hữu
hiệu (Pareto efficient point/efficient point) của A tương ứng với 0 , nếu
(z > y , với y G A nào đó
Tập hợp

) => (y > z).

tấ t cả các điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với 0 được

kí hiệu bởi Min (A I 0 ).
20