Sự tồn tại điểm bất động của toán tử uo lõm chính quy đều tác dụng trong không gian banach với nón h cực trị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (841.94 KB, 56 trang )
BỘ GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN
S ự TÔN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
•
•
•
CỦA TOÁN TỬ K0 - LÕM CHÍNH QUY ĐỀU
TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VỚI NÓN h -
cực TRỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015
BỘ GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN
S ự TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
•
•
•
CỦA TOÁN TỬ uữ - LÕ M CH ÍNH QUY ĐỀU
TÁC DỤNG TRONG KH Ô NG GIAN BA N A CH
VỚ I NÓN h -
cực TRI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy
Hà Nội - 2015
Lòi cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải
tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lòi cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
đồng nghiệp đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho tôi học tập,
nghiên cứu, hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Học viên
Trương Thị Hải Duyên
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm
chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị” là công
trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn .
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Học viên
Trương Thị Hải Duyên
Mục lục
Mở đ ầ u .......................................................................................................
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.
Không gian Banach nửa sắp thứ t ự ............................................
4
1.1.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian
4
Banach..............................................................................
1.1.2. Dãy đơn điệu, cận ừên đúng và cận dưới đúng của một
8
tập họp...............................................................................
1.2.
Quan hệ thông ước giữa các phần t ử .........................................
10
1.3.
M0 - chuẩn trên không gian Eu .............................................
11
1.4.
Nón chuẩn tắc và nón h - cực t r i ............................................
15
1.4.1. Nón chuẩn tắc và tính ch ất.............................................
15
1.4.2. Nón h - cực ttị và tính ch ất............................................
18
1.5.
Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: M i
.....................
20
1.5.1. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự M .................
20
1.5.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự i
27
...................
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính
quỵ đều trong không gian Banach với nón h - cực trị
2.1.
2.2.
Khái niệm toán tử M0 - lõm chính quy đều và tính c h ất.......
37
2.1.1. Khái niệm toán tử u0 - lõm chính quy đ ề u ...................
37
2.1.2. Một số tính c h ất..............................................................
38
Toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong một số không
gian Banach................................................................................
39
2.2.1. Toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không
gian Eukleide к
.............................................................
39
2.2.2. Toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng ttong không
gian Banach £ .................................................................
2.3.
42
Sự mở rộng định lí tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm
chính quy đ ề u ....................................................................
44
Áp dụng....................................................................................
48
Kết lu ân ....................................................................................................
50
Tài liệu tham khảo..................................................................................
51
2.4.
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng
dụng. Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau
và gắn vói tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz,
Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,... Các nhà toán học đã xét các toán tử khác
nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Frese hay đạo
hàm tiệm cận, toán tử lõm...
Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm dương
của các phương trình toán tử (1962).
GS - TSKH Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không gian tuyến tính
với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của phương trình
không tuyến tính với các toán tử lõm (1984).
Các tác giả Kraxnoxelxki, Bakhtin đã nghiên cứu và công bố những kết quả
về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach vói một nón cố định
hoặc hai nón cố định, các toán tử được xét có chung tính chất u0 - đo được.
Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về điểm bất động của
toán tử lõm chính quy và các điểm bất động của toán tử ( к , и 0) ~ lõm chính
quy (2012). Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho
lớp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cố
định, nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được.
Để xét sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm hay lõm chính quy, các tác
giả kể ừên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của thầy giáo, PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi chọn
2
nghiên cứu đề tài: “ Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính
quy đều tác dụng trong không gian Banach vói nón h - cực trị”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động của toán tử u0 - lõm chính quy đều theo hướng bổ sung điều kiện cho
nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiều về không gian Banach nửa sắp thứ tự.
Tìm hiểu về nón chuẩn tắc và nón h - cực trị.
Tìm hiểu về nón trong không gian Banach M t .
lìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều
tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử
u0 - lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy
đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước có liên quan
đến điểm bất động của toán tử u0 - lõm chính quy đều tác dụng trong không
gian Banach với nón h - cực trị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử u0 - lõm
chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h - cực trị.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của luận văn
3
Luận văn trình bày tổng quát về không gian Banach nửa sắp thứ tự, một số
tính chất về toán tử u0 - lõm chính quy đều, toán tử u0 - lõm chính quy đều
tác dụng trong các không gian i
ể , sự mở rộng định lý tồn tại điểm bất
động của toán tử M0 - lõm chính quy đều. Các kết quả thu được có thể mở
rộng cho một số lớp toán tử khác. Hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham
khảo cho bạn đọc.
4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
•
1.1.
Không gian Banach nửa sắp thứ tự
1.1.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con của
không gian E khác rỗng. Tập K được gọi là một nón của không gian E ,
nếu:
i, K là tập đóng trong không gian E ;
ii, V
x
t
h
ì
a x +Py e K;
iii, Vxe K : x ^ 6 thì - x £ K .
(ớ là phần tử không trong không gian E )
Định lí 1.1.2. Giao của hai nón (chứa phàn tử khác ớ) là một nón.
Chứng minh:
Giả sử Kl,K2 là hai nón trong không gian E . Ta chứng minh K = K1n K 2
cũng là nón trong không gian E .
Thật vậy:
Vì Ki,K2 là hai nón trong không gian E nên KỊfK2 đóng ừong .Esuy ra K
đóng trong E .
V x,yeK ,V a,j3eR
^ K l7K2
=> a x +P y € Kv a x +P y € K2 => a x + P y € K => a x + Py GK
\/ x €:K, x ^ O ^ > x g K v x €:K2
Vì KỈ,K2 là nón trong không gian E nên —X Ể Kv —X Ể ^ 2 => —XỂ K.
Vậy giao của hai nón (chứa phần tử khác ớ) là một nón. □
Định lí 1.1.3. Giả sử F là tập con của không gian E khác rỗng, lồi, đóng, bị
chặn và không chứa phần tử không 0 của E . Khi đó, tập:
K(F ) = ịz - t x : X G F,t > 0} là một nón trong không gian E .
5
Chứng minh:
Vì F =É0=>3jce F =>z -1.XG K(F) =>K(F) =£0. Ta chứng minh K ( F )
thỏa mãn ba tiên đề về nón:
i, Chứng minh K(F)ỉầ tập đóng.
Ta chứng minh 3m>0,M > 0 để m<\\z\\
(1.1)
Ta có F bị chặn nên tồn tại số M >0 sao cho: ||z|| < M , Z ^ F .
Nếu inf|M |=0=>3dãy { z T с F để lim |z j = 0 nên limz = в trong E .
n_1
zef
и -> °°
и —>00
”
Khi ấy Ớ G F do F đóng, trái giả thiết F không chứa о .
Do đó
in f
|Ы| ф 0, giả sử
z e F 11 11
in f
||z|| —m> 0=> llzll ^ inf llzll => llzll ^ m, Vz e F.
z e F 11 11
11 11
z e F 11 11
11 11
Bây giờ ta đi chứng minh tập K(F) là tập đóng.
Ta có nhận xét phàn tử không 9 GK(F) vì в = O.JE với x e F .
Lấy môt dãy bất kì {un}°° cz K(F) sao cho lim« = и trong E . Nếu и —в
*• 'w_1
n—
>0О п
thì u g K(F). Giả sử и ф в, theo định nghĩa giới hạn, với (e = —||w||>0)
(3n0 e N
sao cho Vw>w0 có: \\un - u ị < —||m||.
Khi đó
< L -и || < Ậ||m|
11
"
11
2
1
_
a 1,1 H „ „ 3 |U | W_ ^ _
Do vậy —\\uị\ < \\un\\ < — и , Vw > n0.
Mặt khác do un e K ( F ) nên un =tnzn,tn > 0 ,zn G F (n = 1,2,3,...)
Theo (1.2) ta có:
(1.2)
6
1 II II и
L
.............
3 II II
L
1 11.11
u\\ <
O
N
L Lz
3 II I
< : „ „ \\u\\
2 \\z„
1 „ „
3 „ „
Từ (1.1) ta CÓ: m< z <M ,Vz e F =>—— и
"
2M 11 " 2m" 11
0
Do vậy tồn tại dãy con IÍ I” <={tn}°°=1 sao cho Ịim í. = i0 •
1
3
Tacó: ——\\u < in < ^ — и ,Vi„ >0.
2M 11 0 2m" 1
II
II
Ta xét dãy con
Zn.-~u
ịzn. Ị
thì:
< ì
ín
+
Zn..'0 ì
<
Do vậy Ịim znt ~ T U = о
Vậy
M
+■ и„щ- и
1
Kị 4 + — и - и
í,0
■>0
и e F và и = L ' О
—и
\Ч J
là tập đóng.
ii, Vx,y e K (i7), ta chứng minh X + y GKịF^j
Thật vậy Ух, y GК ịF ) thì:
JC= í1Z1,í1 >0,Zj G F
y = t2z2,t2 >0,z2 e F
=>x+y = t1zl +t2z2.
Nếu ij = 0 hoặc t2 = 0 thì rõ ràng x + y e F (Vì khi ấy л: + y = л e K(F) hoặc
x +y =yeK (F ))
Neu tv t2 >()=>?! +t2 > 0 có: x + y = {tl +t2) — — Zj + — —z2
ự j + í 2 tị + í2 J
7
Do F là tập lồi nên —- — Zị H— - —z2 e F,
h + t2
h + t2
mà
+t2 > 0 nên x + y e K ị F Ỵ
Vjce^r(F);Vứre]R
(1.3)
chứng minh a x e K ị F ) .
Có V x e K ( F ) ^ x = tz,t > 0 , z e F
=>ax = atz. Do a > 0;f > 0 =>
> 0 mà z e F nên atz GK (F ).
=>ccxgK(F).
(1.4)
Từ (1.3) và (1.4) suy ra Vjc, y G Í ,V a ,^ e M
thì a x + /3yG K.
iii, Vjc e K (F);JC ^ Q ta chứng minh - X & K (F ) bằng phản chứng.
Giả sử 3w0 G Ấ '(F) sao cho u0 * 0 và -u 0 GẨT(F).
=>0 = uo+ ( - uo) e K ( F )
và u0 = txz{,tx > 0;zx e F;-Uữ= t2z2;t2 > 0; z2 e F,
Mặt khác :
Nếu
+ í2 > 0:
0 —Uq+ (—Wq) —
+t2Z2 —(^1 + ^2 )
íj + í2
^1
^1+^2
^2
/
do —^ — Z1H— —— z2 ^ F
h+h
h+h
Vì t +12 > 0 => —- — zl H— - —z2 = ỡ.
h + t2
h + t2
^ * ớ e F . Trái giả thiết F không chứa 0 .
Nếu íj + 12 = 0 thì íj = í2 = 0 => u0 = 0, không đúng giả thiết.
Vậy, - u 0 e K ( F ) .
Do đó K ( F ) là nón ừong không gian định chuẩn E .u
Định nghĩa 1.1.4.
8
Với hai phần tử X,y GE ta viết X < y (hoặc y > *), nếuy - x e K .
Đinh
lí 1.1.5.
s
Quan hệ " < " xác định trong định nghĩa 1.1.4 là một quan hệ sắp thứ tự trên
không gian E .
Chứng minh :
+ VxeE,
x
-
x
= ỡ g K nên X < X => quan hệ "< " có tính chất phản xạ.
+ Ух, У&Е,Х<У và J < л; thì y - x & K và X - y GK.
Do
=
nên nếu х - у ф в thì mâu thuẫn với điều kiện iii, của
định nghĩa 1.1.1.
Do đó X —у = в <=>x = у . Suy ra quan hệ "< " có tính chất phản đối xứng.
+ V x , y , z e E , x < y và y < z thì y - x & K và z - y e K .
Do z - x = ( z ~ y ) + ( y - x ) e K nên X
Vậy quan hệ "<" xác định trong định nghĩa 1.1.4 ở trên là một quan hệ sắp
thứ tự trong không gian E vói nón K. □
Khi đó ta nói E là không gian Banach nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ
phận) theo nón к .
Định nghĩa 1.1.6. Không gian Banach thực E cùng vói quan hệ sắp thứ tự
xác định trong định nghĩa 1.1.4 gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
(hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón к Œ Ê .
1.1.2. Dãy đơn điệu, cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập họp
Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón к Œ E .
Định nghĩa 1.1.7. Dãy điểm (л; )°°=
Dãy điểm ( j ) ”=1 с E gọi là dãy không tăng, nếu ^
>... > yn > ...
9
Các dãy không tăng, dãy không giảm gọi là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.1.8. Tập con M a E gọi là bị chặn trên bởi phần tử и G E , nếu
( V x g M ^ x < u ; tập con
M
gọi là bị chặn dưới bởi phàn tử
V
e £ , nếu
(V ig M )jc > v ; tập M gọi là bị chặn trong không gian E, nếu ( э « > 0 )
Định nghĩa 1.1.9.
+ Phần tử z e E gọi là cận trên đúng của tập con M œ E, nếu
•
(Vxe M ^ x < z \
• Nếu (3u ễ £ ) ( V jễ M ) ĩ< h , thì z
+ Phần tử w GE gọi là cận dưới đúng của tập con M czE, nếu
•
(Vjc s M ) jc> w ;
• Nếu (3 v e £ ')(V jc e M )x>v, thì w>v.
Kí hiệu w = inf M .
Định lí 1.1.10. Phần tử cận trên đúng, cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một
tập hợp là duy nhất.
Chứng minh:
+ Cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất:
Giả sử zv z2 G E là các cận ừên đúng của M . Khi đó:
zỉ,z2 GẼvầ thỏa mãn Vjc cận trên đúng thì z2 < Z1 và zl
+ Cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất:
Giả sử wv w2 GE là các cận dưới đúng của M . Khi đó:
10
wv w2<=E và
thỏa mãn V x g M đều có X > Wj và X > w2 nên theo định nghĩa
cận dưới đúng thi w2>wl,wl >w2^ w 1- w 2.
Vậy cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất. □
1.2.
Quan hệ thông ước giữa các phần tử
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к Œ E.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X, y GE. Phần tử X được gọi là thông ước vói phần
tử y nếu tồn tại hai số dương a - a ( X, y),j3 - ß { x , y) sao cho a y < X < ßy.
Định lí 1.2.2. Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không
gian E.
Chứng minh :
+ Tính chất phản xạ: Rõ ràng v_y e E, ta luôn có: l . y < y < ĩ . y ^ y thông ước
với y .
+ Tính chất đối xứng: Neu X thông ước với y thì theo định nghĩa 1.1.6 tồn
1 x < 1y < — X hay y
tai hai sô dương a , ß sao cho a y < x < ß y . Do đó —
ß
a
thông ước với X.
+ Tính chất bắc cầu: Giả sử x , y , z ^ E trong đó X thông ước với y và y
thông ước với z. Ta chứng minh X thông ước vói z . Khi đó tồn tại các số
dương
sao cho:
ocly < x < ß 1y, a 2z < y < ß 2z ^ > a,a2z < x < ß xß 2z.
Đặt a = Oi^a^ß = Д Д . Khi đó a z < x < ßz, với а > Q,ß > 0.
Nên, JC thông ước với z.
Vậy quan hệ thông ước trên không gian E là một quan hệ tương đương trên
không gian E n
11
Kí hiệu K(u0) là tập hợp tất cả phàn tử X ^ E thông ước với phần tử
Uq £ K \ | ớ | .
Định lí 1.2.3. К ịuữ) là tập lồi và K { uq) < ^ K \ {ớ}.
Chứng minh:
+ K(u0) là tập lồi
Giả sử
ta chứng minh fjc + (l-f) y G ^ (м 0).
X thông ước với Uq => З а р Д sao cho: oụi0 <х< Ди0.
у thông ước vói Uq => 3 a 2,ß 2sao cho: a 2u0 < y< ß 2u0.
>{cự + a2( \- f ) ) u ữ < tx + (l- t) y <(/3^ + J32( l- t ) ) u 0.
Đặt a = m in(a1,a 2) > 0 , /? = т а х ( д , д ) > 0
Ta có:
a , ß > 0 và auữ <(«jí + a 2( \ - t ) ) u ữ <íx + ( l - í ) j + A ( 1 - Í ) ) M0 - ß uü
hay íJC+ ( l - í ) y G K { uq).
+ K ( uo) œ K \ { 0 }
Giả sử X GК(и0) ta sẽ chứng minh x ^ ù v ầ X
auữ e ^XỊớ}.
=>x = x —auữ+ auữ & K \ {ớ}.
=>jce/s:\{0}. □
1.3.
u0 - chuẩn trên không gian Eu
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к cz E,
u0 g K \ ( 0 ) .
12
Định nghĩa 1.3.1. Phàn tử
gọi là M0 - đo được, nếu tồn tại các số
không âm Sị ,s2 sao cho —5,м0 < x
Định lí 1.3.2. Đối với mỗi phần tử X E Eu , tồn tại các số không âm nhỏ nhất
a ( x ) ,ß ( x ) sao cho - a [ x ) u Q< x < ß [ x ) u Q.
Chứng minh:
Giả sử, X e E => Bí1!, s2 > 0 sao cho —
< X < s2uữ
=^>X + SịUqg к và —X + S2U0 Gк
Xét hai ánh xạ:
f:R
g:M
f I—»
x + tuữ
f I—»
-x + tuữ
f liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ vói
một số thực trên không gian E . Khi đó, do к là tập đóng trong không gian
E , nên
Giả sử inf
Khi đó (Зп0 e N
là tập đóng trong K. với chuẩn thông thường.
= -00 => 3(t
Ỵ_
а M sao cho lim
f ( t ) = - 00.
V
J n —1
Ịị --^QC
n0)í
< 0. Do đó
1
X
—- ( x + ínM0)e.Âr hay
- u 0 g K.
К
к
Cho « —»00 ta được - u 0 € K, mâu thuẫn với tính chất của к .
Điều đó chứng tỏ 3inf f ~ \ K ) > ^ o v à 3inf f - \ K ) G
Xét tập {í > 0 : JC+ tuữ e к }, hiển nhiên Sj e {í > о : X + tu0 e ÆT}
=> 3inf {í > 0 : X + tu0 e ÆT} = а = a(x) > 0
và nghĩa là X + auữ > 0 hay - a u 0 < X.
13
Tương tự g liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân
vectơ với một số thực trên không gian E . Khi đó, do K là tập đóng ừong
không gian E , nên g l(K) là tập đóng ừong R vói chuẩn thông thường.
Giả sử inf g~l(K) = -00 => 3(t
y°
c: M sao cho limg(ín)
= - 00.
V
/ 71—1
M_VQO
n0)tn <0. Do đó
- u0 g K.
Cho n —»00 ta được —uữ e K, mâu thuẫn với tính chất của K .
Điều đó chứng tỏ 3inf
> -00 và 3inf g-1^ ) e
Xét tập [t > 0: tuữ- X e K \ , hiển nhiên Sị e [t > 0: tu0 - X e Ẵ'}
=> 3inf {í > 0: —X + tu0 e K} = p = p{x) > 0,
nghĩa là Ị3uữ- X > 0 hay X < J3u0.n
Định lí 1.3.3. Eu là không gian tuyến tính con của không gian E .
Chứng minh:
+ Với mọi x,y g Eu ta chứng minh x + y e E
Do X, y GEu nên tồn tại các số thực
, í2, í3, í4 G K
sao cho
- t xuữ < x < t 2u0 và - t 3u0 < y < t 4uữ,
từ đó ta có - ( t ỉ +t3}u0< x + y < ị t 2+t4)uQ.
Vì vậy x + y<=EUo.
+ Với Vjc g Eu
«0, VẮ e i ta chứng° minh Ảx G Eu
«0
Do x g E u nên tồn tại các số thực dương tv t2 sao cho —tịU0 < x < t2uữ.
Nếu Ằ > 0 thì ( - / 1 )m0 < ẳ x < (ýlí2)m0.
Nếu Ẫ <0 thì —Ả > 0 và
14
-ị-X)tịUữ > (-A)jc > ị-X )t2uữ <=>- ị - X ) t 2uữ <Лх< (-Я)?,м0
Do đó Vjc g Eu , v a e l ta luôn có ẲX G Eu .
Uq
Uq
Vây Eu là không gian tuyến tính con của không gian E . □
Định lí 1.3.4. Ánh xạ:
I :E„«0 —» IR
■ III.
I IL0
ЛСI—>
таоа\а{х), ß{x)}
là một chuẩn trên không gian Eu , trong đó a(x ),y ổ (x ) xác định trong định lí
1.3.2.
Chứng minh:
Ta nhận thấy ngay II.
II xác đinh một ánh xạ từ không gian E vào K.
II Ни0
+ Vx €EE“о, ta có bất đẳng thức - a { x ) u ữ < X < ß ( x ) u 0
và X L = m ax{a(x),^(x)} nên M__ > 0
“о
= 0 o m a x |« (x ) ,y ỡ ( j) | о a ( x ) = ß ( x ) = о о X = в.
+ Với Vjc g E u
»0, \/Я GM
D o j t e i i ,3tv t2 Eầ.
< x < t 2u0.
Neu Я > 0 thì -ẲtịU0 <ĂX< Ẳt2uũ
inf /ừ, —/linf íị = /Uar(jt)
và inf Ẫt2 = Ầinf t2 = Ẩyỡ(je).
Từ đó
| ắjc| = тах{л,«(л:)д/?(л:)| = /tmax{a(;*:),/?(jt)j = A||jc|| = |л ||л | .
Neu Ả < 0 thì - Ả > 0 và
-(-Я )^ и 0 < ( - ắ ) x < (~X)t2uữ
- ( - X ) t 2uữ <Лх < (-Я )^и0
Ta có:
inf (~Ẳt2) = -/lin f t2 = -Äß(x)
15
inf (-Ắtị ) = -Ắ inf í, = -Ầa(x)
nên suy ra
||/Lc|| =тах|(-А)/?(л;)Д-А)а(л;)| = (-Я)тах|/?(л:),а(;с)| = (-Л<)||л:|| =|^|||jc| .
Tóm lại, V x e Eu
“o’,V A eK ta có \\ảx\\_
II II«0 = I|A|||jc|L
III II«0
+ \/x,y& E
О
ta sẽ chứng minh IIIIx+ yИи0II <
Ibcll+ |Ы|II .Nw0
II Ии0
Do X,y GE =>3tv t2,t3,t4 GM.
< x< t2u0,—t3u0 < x < t4u0,
Suy ra -(ij + t3)u0 < (x + y) < (i2 + t4)u0.
T ừ i n f (íj + í 3 ) < í j + í 3 ^ i n f
+ í 3 ) < i n f íj + i n f í3 .
Tương tự ta có: inf ịt2 + í4)
Giả sử ịịx+ y I = inf
||jc+
II
.
+ 13) thế thì
y\\ < in f t1 + i n f t3 < m a x { in f tẤ, in f í2} + m a x { in f t3, in f í4}.
I IU q
Từ đó ta có Il \\x+■ 'I yl u0I < l IIl j c l l llu 0+ 1 1 wy-'\\uữ
I .
Tương tự cho trường họp ||jc+ y\\ = M ( t 2+t4).
N ê n t a c ó || j c + v l l < II j c I + 1 Ы 1 . V j c , у е £
II
11и 0 II
II U q
II
II U q
m0
.
Vây ||jc|| = m ax |a(jt),/?(;c)j, Vjc G E xác định một chuẩn trong Eu . □
Chuẩn ||.| xác định trong định lí 1.3.4 gọi là u0 - chuẩn.
1.4.
Nón chuẩn tắc và nón h - cực trị
1.4.1. Nón chuẩn tắc và tính chất
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к œ E ,
uữ G ^T\{ớ}.
16
9
r
r
Định nghĩa 1.4.1. Nón K gọi là chuân tăc, nêu 3Ổ > 0 sao cho Ve,,e2 G K
Định lí 1.4.2. Các mệnh đề sau là tương đương:
a) K là nón chuẩn tắc;
b) 3M >0 saocho V yeẪ ^Ịớ} và \/x & E y thì 1*1 < m |jc | .||j|| ;
c) 3N > 0 sao cho Vx,ỵ € K :x< y thì ịxị < iVll^ll .
Chứng minh:
a) => b)
Giả sử K là nón chuẩn tắc, nhưng không tìm được số dương M để có mệnh
đề b), nghĩa là Vn e N sao cho 3yn E lK \jớ} và 3xn G Ey sao cho:
(1.5)
Hệ thức (1.5) chứng tỏ:
•
xn ĩ£ ỡ ịy n e N
•
Đ ặ t
8n
= x n
+
X{
E\\
n-IWL
-y n’ K
= ~ xn
+
Ta có: g g K và y GÃ'; hơn nữa,
í. n
=>g, e K \ ị d } , h n e K \ { 9 } y n = 2,3,...
17
fl+ì ì
n \ \ E
n -\\yn\\E
\ y n \ \ E = \\X n\ \ E
x„
IIh I <11II—X I H—"n
II
n \\e
« I I E „
II
n -ư n E
£
o
I ỗ
n
h
_|_
n
KỈ
w \\e
___
n H
£
O n
0 / 1
h
_|_
\\e
n
"
n\\y
2
o
n
_|_
b?
h
n
\\h
° n
K n 1
, ,
£ l l p£
Ốn
,
-yn +-
■u?
h
n _________________ n
0 / 1
_|_
8
—\\h
«
hw
\\h
l l "'71
n II
F
L — /ỉ
l l ° n | l £
O n
We
____
2
p n H
n \ \ E
£
On
h
\\h
O f l
1 8
< 2 \\xn
H n\\E
+
ĩl. s£ » í
Cho /ĩ —^ 00, ta được lim
« I I E
_|_
2 Jt
> 0, Vn e N
n)
= JC M ì > 0, Vn e N
^ n)
_Ik«II£
. \\y
F
V
II
e;
n \ \ E
ỵ
.\\h
n \
< — ,Vw> 2.
n- 1
= 0, mâu ứiuẫn tính chuẩn tắc của
e
nón K. Do đó,
3M >0 saocho V yeẪ ^Ịớ} và \ / x G Ẽ y thì ||jc||
b)=>c)
Giả sử mệĩứi đề b) được thỏa mãn và X, y e K,x < y. Ta có:
• Nếu y = ỡ, thì x - 0 và ||jc|| = ||;y1= 0. Chọn N - M > 0 ta được
||jc|L = 0 = Af.|| j|| ■
II
\\E
I I *7 I I e
• Nếu y * 6 thì x+ y ^ d hay x+ je ^ r\{ ớ } ;
* GEx+y, vì -(* + y) < X < X + y, nên 11*11 < 1.
Từ đó và từ mệnh đề b) ta được 1*1 < A/" ||jc||
\\y\\ ^M ||j|| .
Do đó
3N = M > 0 sao cho V x,y& K thỏa mãn *< y thì ||jc||
Giả sử mệnh đề c) được thỏa mãn.
18
'ýeỉ,e2 E K sao cho 1^1 = ||e2|| =1, ta có: ex&-KXỊớ}, eỉ,e2 & K \ị9 },
Nên \\e,
I < iV. ||e,
+
II 1|Ie
II 1
2 IIE
.D o đó, 3 ổ = —
> 0 sao cho \\e, +eẦ > ổ. □
N
Đinh
lí 1.4.3.
s
Nếu K là nón chuẩn tắc, thì Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn.
Chứng minh:
Lấy một dãy cơ bản bất kì (jc Ỵ c= E theo u0 - chuẩn:
V s > 0 đều 3n„eN
u
sao cho v«,m > nn
thì II\\xn - X m ||M
II q <£
u
- e u 0
=^>0<
(1.6)
—xm+£U0 <2suữ,\/n,m>nữ.
K là nón chuẩn tắc, nên (3N > o) sao cho
||jcn —xm+ £u0ị<2£Nịu0ị,Vn,m> n0
=>\\xn- x m\\-£\\u0\\<2£N\\u0\\y n,m >n0
=> 1^ —jcm|| < s{2N + 1)||m0||, Vn,m > n0.
Hệ thức trên chứng tỏ, dãy điểm (*„)"
là dãy cơ bản trong không gian
Banach E , nên limX = x e E trong không gian E .
71— >00
Cho m —>00 trong hệ thức (1.6), ta được
—£U0 < x n —x < £U0, V n > n 0 => ||jcb —jc||
< s , V « > n0 , X —Xn G E ^
và X = (X
—x„)
.
\
n J + x„
n e E„
w0
Vậy Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn. □
1.4.2. Nón h - cực trị và tính chất
Định nghĩa 1.4.4. Nón K được gọi là h - cực trị, nếu vói mỗi dãy điểm
không giảm (jt )"=1 <- K
và bị chặn trên bởi phần tử UG K , nghĩa là
19
xl
Ỵ
Œк và bị chặn
dưới bởi phần tử v g K , nghĩa là y l > y 2 > . . . > y
đều tồn tại
su p (* X lG tf, inf (ynỴn ị GК.
Định lí 1.4.5. Neu к là nón h - cực trị, thì к là nón chuẩn tắc.
Chứng minh:
Giả sử К không là nón chuẩn tắc, tức là
(V«eN
ЕК)(Эх„е.К)|л:„НкИ
sao cho
Il
II 1
k + ?n < n 2Khi đó, chuỗi:
(^ + J !) + (^2 + J2) + ... + (x„ + Jn) + ...
hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach nên chuỗi đó hội tụ trong không
gian E.
Đặt
u
=
+ y n \ Z n = x v + x 2 + - + xn ( n =
n=1
ứlì
k , +i - z B|| = b . +i|| = l,V n eN
Suy ra (zn)”_j không là dãy Cauchy ữong không gian E . Tức là ( zn)” 1
không hội tụ.
Mặt khác, dãy (z )™_1 bị chặn bởi phần tà li. Hơn nữa,
n
z „ ^ z n+1, zn < Y ,{ xj + y j ) ^ u
Ĩ=1
