skkn các hướng tiếp cận khác nhau khi giải bài toán hình học không gian lớp 11, 12

.

.
Bài toán hình học không gian là
c sinh G

.

B
ắ

ữ

ừ
ẽ
N
ữ
ừ

ầ

ũ
hai ũ
ễ
ầ
ũ

ẹ
sáng
: " Các hướng tiếp cận khác nhau khi giải bài toán hình học không
gian lớp 11, 12 "

ũ
ng
ầ
ử ụ
và các câu liên quan,
ặ
?

?
ũ

?
ầ
ắ
ữ

ử ụ

ụ
ẽ


A.

Ả PHÁP CŨ THƯỜ

LÀ

g ả bà toán ìn
n

ông g an, chúng tô t

ng

a :
1.

ng

t

2.

o bà tậ á

3. G

n

ìt

t.
ụng.
ên bảng t ìn bà . G áo v ên

à chúng tô t

ng

1.

n

ng t ng

2.

n

n

3.

n

ông b t

4.

n

ông t

5.

n g

B.

ng

n ững
t

v

n

ên

g ả bà toán

ông b t bắt ầ từ

ng

á t a ộ

t ậ
a

t a ộ Ox z

4.

t ống bà tậ vận ụng.

ng ên ứ

nt ứ

ên

ng g
gả

á

ột ố ìn

ng ố

ụt

và

ng

ông g an.

ng ẫn
n tì

á
ng tự.

n.
:

n

ng

an.

x t bà toán t

5. H t ống bà tậ tự

1.

o

g ả bà toán ìn

t ống á
ịn

ả t n
á n
a :

ở ầ .

3.

tích bài toán.

.

Ớ CẢ T Ế

bà toán

ng ẫn t

2.

bà tậ .

g ữa á bà toán.

ụ n ững n
t ên, chúng tô
g ả bà toán ìn
ông g an thông q a á g ả
ng

t vào à

à:

en.

ắ

1.

n

n ng t.

ố

Ả PHÁP

á

ông b t vận ụng
n

ữa bà và n ận xét.

nt ứ

.

2

n tì
á

gả

bà toán
á n a và

a t á

n


ứng t
g ữa á

2.
ên

ố

ột bà toán
n b t
nt
ữ
ng b t và
ng ần tì

n a bà toán tì
ịn
ng
ng

á gả.
3. Có n
ng giả
t bài toán nên t
n o t t ong v g ả bà
toán. n
n o

n t
t ng
. B t g ả bà toán ìn
ông
g an b ng
ng á to ộ oá từ
ôn tậ
n t ứ v hìn g ả t
trong không gian.
4. á
a t á bà toán, giú
n
bà toán
n t
ên
g ữa á bà toán.
n
ông n b ng
g ả á bà toán
ông g an từ
gi
n b t
v
n, g
n t
n
á n ìn ộng n g ữa
nt ứ
và
t o a ự ên t a

ố
ìn

x ô và ng
5.
n

.
t ống bà tậ tự
ng á g ả t

n ng vận ụng n

Bài toán mở đầu:
v

nt
n y n
ng n

án g á
ựa
o
n

t ìn bà bà t .

CẤP BÀ TOÁ

t bà toán á

n bà toán. ì vậ t
tì
bà toán tì t
t
g ả toán n o t

v ông g

n b t
o từng bà .

PHÁP T Ế HÀ H

Ả PHÁP 1: C

gả

g
n t

o t áng t o và ỹ n ng t n toán

C. PHƯƠ
.

n

DN, v

n ố v

n

àv

ỗ bà toán
ng tô ôn
g ả bà toán g ả bà toán và
o
n
o ìn

M N ần

ịn

á

ýt ứ g
a t á bà toán

S.AB D
t à t ng

xá

n

n
t o

á b ng a 2 , BM

a SA S .

n t

t

ố

chóp S.ABCD.
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán và tìm lời giải cho bài toán
Y
H1. Bà toán

o gì? Yê

ầ gì?

ầ

1. Bài toán cho:
●

S.AB D à ìn

● BM

 DN

Bà toán
ố
3

ữ

ê
ầ : n
S.AB D.

t

t


S.AB D có tính

H2. Hìn

2. ABCD là hình vuông

t gì?

SO  ( ABCD) v

O à g ao

a AC và BD.
nào
xá ịn
BM  DN ?
(
t
n
à b
nn t ố v
n ).

· , DN )
3. Dựng ( BM

tn t
t
S.AB D ần t n
ng nào?

ố
n ững

4. D n t

á và

?

5. D n t

á .

H3. Là

H4.

t

H5. Y

tố nào
n

H6.
Sa

tn

ả t n n ững

tì

tố nào?

6.

bà toán giáo viên ê

ầ

ng ao.

ng ao SO.
n

n v

ìn :

S

M
N
G
E

A

D

O
B

Bà toán

t

F

nt ứ

· , DN ) và tính SO.
ống: Dựng ( BM

n vào 2 tìn

· , DN ) ta ần n
ựng ( BM

à từ

C

t

nào à g

ng tô g

n g

g ữa a
n

ng t ẳng.

.

Cách dựng (a¶, b)
Cách 1:

n O t ộ a ( o b) ựng b'
a O ong ong v
g g ữa a và b' ( o b và b') à g g ữa a và b.

4

b( o

a). K


b'

a

a
O

b

b

b'
O

n ( P)  a,(Q)  b sao cho ( P)  (Q)  d ễ xá

Cách 2 : a

a O ựng á

ng t ẳng ong ong v
a’ và b’ à g g ữa a và b.
Cách 3: Sử ụng

ng

á ve t .

Cách 4: Sử ụng

ng

á to

ừ

n

Sa

ựng

Dẫn

t

t à a’ b’. K

n Od ,
g

g ữa

ộ oá.
· , DN ) .
( BM

ựng
· , DN ) à
( BM

n bà toán:

a b ần

ịn .

t

nào

tn

SO?

3
2

n SO  3OG  EF  3OE .

Là t nào t n
L nà g áo v ên v

EF?
êng t á t ên

t n toán t ong ìn
n o
n ).

t

ẳng và bà toán nà

ẳng (bài toán t ở nên

n g ản

n gả

v bà toán
t xong

I

E

A

D

O

B

n

ễ àng
n

Cách 1:
Cách 2: G
àn

át

n a á

ựa vào ta

gả

t n EF.

g á OED t o ịn

J  EF  CD  EF 

vậ bà toán

C

F

ý côsin.

1
IF . Tính IF theo ịn
2

t xong.
5

ý P tago t ong ta g á IF .


G áo v ên

t a tìn

SO?
n ng
N

ống n

gắn vào ìn
n
ng

ử ụng

ng

ta

S.AB D ột
á t a ộ a.

á t a ộ

· , DN ) thì làm sao tính
( BM

ông ựng

a ta ần

t a ộ Ox z
ả à

á b
Y

H1.

n

H2.

t a ộ n ững

nào?
ỉn

t

nào?

1. Ox  OA; Oy  OB; Oz  OS

t a ộ Ox z?

t a ộ á

n

n không?

ầ

2. O, M, N. Suy ra
á

H3. á

n g ản

ìn

?

ả

to

ộ

B D S A

3. Dựng ìn

aB D S A

trên Ox, Oy, Oz.
4.

H4. Tính SO?

t SO  h

uuuur uuur
BM  DN  BM .DN  0  h

z
S

M
N
A

D

O

ng g ả
t
Sa
Sa
(

ng g
ê ầ

C

B

x

y

t nà g
n
n
n t ìn bà

n

ả

t

n ẹ n àng

n ov

ng n ìn á n a
gả
g ả bà toán t o á
à á

ghiên cứu sâu lời giải, đề xuất những bài toán mới
ng ẫn
n g ả xong bà toán t ên ựa t ên
g ả t t BM v ông g v DN ta t n
SO ìn

6

t

á

t ên ồng

t bà toán.
ựa
n.
ả bài toán

S.AB D oàn


toàn xá
sinh:

ịn

ob t

ao và

nt

á )

ng tô

t

t a

o

I.1. Câu hỏi bổ sung:
: Hãy tính:
1. G g ữa a
ng t ẳng AB và S ; BM và S .
2. G g ữa
ng t ẳng DN và t ẳng (SB ).

3. G g ữa a
t ẳng (BND) và (SA ).
: Hãy tính:
1. K oảng á từ N n
2. K oảng á từ M n
3. K oảng á g ữa a
õ àng

t

ẳng (SAD).
ng t ẳng S .
ng t ẳng AN và BD.

ng ẫn
t a ộ á

ng t ẳng v t
ng t ên à
t

t

n g ả bà toán b ng

ỉn

á t
n g ản.

ên
n

a

ong

t

an tì
gả

ông g an t ng
t ông t
ng t ì
ận bà toán b ng n
ng á

a t

t ong

a D. a

D1 ố xứng v

A

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD1

gả

á t a ộ á
ỉ

ng
ỏ b

t bà toán t o

ng ìn

a ố
o

vậ v
g
g ả bà toán ìn
ng
n .

n

ỏ n

D1 và g ữ ng ên á g ả t

n

t ban ầ

bà toán sau:
á AB D1 à ìn t ang v ông t

A và B

1
AD1  a 2 . G M, N, D, O ần
t à t ng
2
SA, SC, AD1, AC. SO v ông g v
t ẳng (AB D) BM v ông g v DN.
tính:
1.
t
ố
S.ABCD1.
2. G g ữa a
ng t ẳng AB và S ; BM và S .
3. G g ữa
ng t ẳng D1N và t ẳng (SB ).
4. G g ữa a
t ẳng (BND1) và (SAC).
5. K oảng á từ N n t ẳng (SAD1).
6. K oảng á từ M n
ng t ẳng S .
7. K oảng á g ữa a
ng t ẳng AN và BD1.
t ỏa

a

t á

t
. N
á n a

ông g an à t ứ ần t t. G áo v ên
t
n
n
n ỹ n ng t n toán ng n t ìn bà
I.2. Thay đổi dữ kiện đáy:
: Ẩn
D .

v t

ẳng t ì v
n

ng

n: AB  BC 

7

a

: Bỏ
(vì lúc này ông

B t o a
ng t ẳng
ong ong v
ng t ẳng BM
n
B) à OK (v K à t ng
a DM). K
gả

t

v

t BM v ông g

DN

a bà toán gố

DN. Ta có bài toán sau:
Bài 2: Cho hình chóp S.A D
t ẳng v ông g v
á .

AD  CD  a 2 . G

DN.
S.ACD.

t à t ng

b t OK v ông g
1.
t
ố

v

2. G

g ữa a

ng t ẳng AD và SC.

3. G

g ữa

4. G

g ữa a

ng tự ta
á AB D à ìn

t

t á

t a
n.
:

ẳng (S D).

t

ẳng (SAD).
ng t ẳng S .
ng t ẳng MN và SD.

ng
t t a
á AB D ông ả à ìn v ông à
ữ n ật ìn t o ... ừ
ta
tn
bà toán á n a .

I.3. Thay đổi dữ kiện chiều cao
ong bà toán gố
t

O àt

n

ễ àng t

a S t ên

ìn

a S t ên

t

t

v

n a 2. G
DN.

ố

M N ần

v

t

S.ABCD.

2. G
3. G

4. G

g ữa a
ng t ẳng AB và SC; BM và SC.
g ữa
ng t ẳng DN và t ẳng (SBC).
g ữa a
t ẳng (BND) và (SAC).
n

6. K oảng á
7. K oảng á

từ M n
g ữa a

t

t

t à t ng

1.

từ N

t

t

g ữ ng ên g ả

ẳng (AB D) b ng á

tn :

5. K oảng á

g

v

éo ỉn S

ẳng (ABCD) là A ta có bài toán sau:

Bài 3: Cho hình chóp S.AB D SA v ông g
v ông g

nga SO v ông g

ìn v ông AB D. B

ìn

à ìn v ông

A và DM

ẳng (CDM) và (SAD).

từ N n
từ M n
g ữa a

ẳng (AB D) v

a SA S

tn :

ng t ẳng DM và

5. K oảng á
6. K oảng á
7. K oảng á

v

t bên SA à ta g á
n t S và n
t ong
á A D à ta g á v ông n t D t ỏa
n

M N O K ần

t

n t àn OK v ông g

ẳng (SAD).

ng t ẳng S .
ng t ẳng AN và BD.

8

ẳng (AB D)

á AB D

a SA S . B t BM


: ìn
a S t ên
ABC, ta có bài toán sau:

t

Bài 4: Cho hình chóp S.AB D
t ng t
a ta
t à t ng

ẳng (AB D) à G t ng t

á AB D à ìn v ông

g á AB SG v ông g v
a SA S . B t BM v ông g

1.
2. G

t
ố
g ữa a

3. G
4. G

g ữa
ng t ẳng DN và t ẳng (SBC).
g ữa a
t ẳng (BND) và (SAC).

n a 2.G

t ẳng (AB D). G
v DN.
t nh:

giác
G à
M N ần

S.ABCD.
ng t ẳng AB và SC; BM và SC.

5. K oảng á

từ N

n

t

6. K oảng á

từ M

n

ng t ẳng S .

7. K oảng á

g ữa a

n vị t

a ta

ẳng (SAD).

ng t ẳng AN và BD.

ng tự ta

t t a
ìn
ốn. ừ
ta

vị t
tn

ìn

a S t ên
bà toán á n a .

t

ẳng (AB D)

I.4. Thay đổi giả thiết BM vuông góc với DN.
ong bà toán gố g ả t t o BM v ông g
g ữa a
ng t ẳng BM và DN b ng 900. a
t

o ìn

N ần

t à t ng

S.AB D

a SA S . B t BM t o v DN g

t
ố
g ữa a

3. G
4. G

g ữa
ng t ẳng DN và t ẳng (SBC).
g ữa a
t ẳng (BND) và (SAC).

bà toán

.

n a 2. G M

600. Hãy tính:

S.ABCD.
ng t ẳng AB và SC; BM và SC.

5. K oảng á

từ N

6. K oảng á
7. K oảng á

từ M n
g ữa a

n

t

ẳng (SAD).

ng t ẳng S .
ng t ẳng AN và BD.

I.5. Chuyển giả thiết thành kết luận và ngược lại.
á
t ảtn
ở ần
ỏ b
t và g ả t

t BM v ông g

o ìn

S t ov

n a g

1.

t

n t

n

á AB D à ìn v ông

1.
2. G

Bài 6:

n à og
g ữa a
ng

n   600 ta có bài toán sau:

n

Bài 5:

gảt

DN
ng

  300 ,  450 ,  600 ...ta

t ẳng BM và DN à α v
ẳng

v

v

S.AB D
α t ỏa
ố

DN t àn

ng ta
t

ận ta

á AB D à ìn v ông

n tanα = 11 .

S.ABCD.
9

t

n t àn

bà toán a :
n a 2 . AB và


2. G M N ần t à t ng
a SA S . n g
3. Tính g g ữa a
t ẳng (BND) và (SAC).
4. Tính k oảng á

g ữa a

g ữa a

ng t ẳng BM và DN

ng t ẳng AN và BD.

I.6. Lồng khối chóp vào trong khối lăng trụ.
Lồng ố
S.AB D vào t ong ố ng t ụ tứ g á v va t S n A’. a
có bài toán
Bài 7: Cho ng t ụ tứ g á ABCD.A’B’ ’D’ á AB D à ìn v ông n
ìn

a 2.

a A’ t ùng v

t ng

a AA’

A’ t ỏa

t

O

a ìn v ông. G

n BM v ông g

v

M N ần

DN.

tn t

t à

t

ố

át

tá

ng t ụ.
á
ụng.

toán

ì t ên t ự t v

v
a ố
nên
ng n
bà toán ìn

n

nê t ên õ àng
xá

ịn g

n nữa á
ng
ên n
.
không g an b ng

ần t n

ng

á t a ộ

oảng á

a

ần t n

à

n

t ong
ng t ìn ìn
11
ì vậ v t ang bị o á
ỹ n ng g ả
ng á t a ộ à t ứ ần t t.

.
Ả PHÁP 2: HƯỚ
Ẫ HỌC S H TH ẾT LẬP HỆ TỌA
CHO
T SỐ HÌ H CỤ THỂ VÀ C
CẤP PHƯƠ
PHÁP TỌA
Ể Ả BÀ TOÁ HÌ H HỌC KHÔ

A

OXYZ
HÓA

II.1 Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho một số hình cụ thể.
ong nộ
ng nà chúng tô
a a o
n
ột ố ìn t
ng g
t ong bà tậ : ình chóp, hìn
ng t ụ ìn ộ
ữ n ật ìn ậ
ng
ác
tự xâ ựng và gắn
to ộ Ox z ột ách thí
ng o t ộng
nhóm sau khi cá
xong bà " to ộ t ong ông g an". Sa â à nộ
ng o t ộng n óm:
Thiết lập hệ toạ độ trong các hình sau:
II.1.1 Hình chóp:
II.1.1.1 Hình chó
1.1 Hình chóp tam giá

SAB
S

A

C
H

B

10


1.2 Hình chó

á

SAB D
S

A

D

O
C

B

II.1.1.2 Hình chóp có
ên SA vuông gó
áy.

2.1. Hình chóp SABC có SA vuông gó
áy và tam giác ABC vuô

A

S

C

A

B

2.2 Hình chóp SABC có SA vuông gó

B

áy và tam giác ABC vuô

S

C

A

B

2.3 Hình chóp SABCD có SA vuông gó

áy và ABCD là hì

ữ

S

A

D

B

C

2.4 Hình chóp SABCD có SA vuông gó

áy và ABCD là hình thoi

11


S

A

D

B

C

II.1.2 Hình lăng trụ:
II.1.2.1. L
ụ
AB A’B’ ’
A

1.1. áy là tam giác ABC vuô
A

C

B

C'

A'

B'

A

1.2. áy là tam giác ABC câ
A

C

B

C'

A'

B'

II.1.2.2 L

ụ

2.1. áy ABCD là hì

AB D A’B’ ’D’.
ữ

(K

ụ

ó

B

ì
C

D

A

B'

C'

A'

D'

12

ữ

)


2.2. áy ABCD là hình thoi
B

C

D

A

B'

C'

A'

to

D'

Trong quá trìn g ảng
chúng tô t
ộ t ong ông gian" chúng tô
a ýý

ng t
â
nv
a t á

bà "
ịn ng a v

t ụ to ộ t ong ông g an
a a ác ví ụ vào t ong bà g ảng t ì ầ
t
các em không b t gắn
to ộ vào t ong ác hìn
ỉ ột ố ít các em khá g ỏ
phát
n á t
vuông, hìn ậ

t ậ
ng.

to

ộ Ox z t ong

Sau khi nghiên ứ
t ứ .
t
t
t

ịn ng a

ó là: Phân tí

t ậ

ả
to

ng à
ng án t

ng

ột ố ìn

n g ản n

áp trong quá trìn t

a ồng ví ụ vào bà g ảng ý t

t
á rõ t. 100%
ộ t ong ìn
n g ản: ta

VD1: Hình chóp SABC có SA vuông gó
án 1:
n t ụ to ộ Ox z n
Gố O  A
Tia Ox  Tia At, At // BC
Oy 

AB

Oz 

AS

Oy 

BC

Oz 

Bt, Bt // AS

B

z
S

B
y

t

C

ìn v .
S

x

t

O
C

ụ

áy là tam giác câ

13

A

z

B

A

y

VD2: Hì

n

a a
ẳng n:

áy và  ABC vuô
ìn v .

x

ộ Ox z n

nt ụ
n
ng (

O A

án 2:
n t ụ to
Gố O  B
Tia Ox  Tia BA

n

t chúng tôi

n n ận b t và át
n v ông, hìn ậ

n t ng bìn
) ác em khá và g ỏ t ì
t ậ
to ộ t ong ột ố ìn
ứ t
n.

: ta

ách
ả ố
n


án 1:
n t ụ to
Gố O  M M à t ng

ộ Ox z n
B

ình v .

z

A'

B' M'

Tia Ox  Tia MA
Oy 
Oz 

MB
MM' (MM' // AA')

x
A
C
M
O
B

y

án 2:
n t ụ to ộ Ox z n
ìn v .
Gố O  A
Tia Ox  Tia At, At // CB
Oy 
AM M à t ng
B
Oz 

z
A'

C'
B'

A O

AA'

t

t ậ

to

a ìn

tính hìn

X t át từ ột
à gố O 3 t a ô

●

●

X t át từ
t a tụ

y

Khai thá tốt á
gian và trong hìn
ong
ao

ụt

o ác hình giáo viên ần n n
và ựa t ên nguyên tắ

n : Dựa t ên

a :

ẻ a 3 t a ô ột v ông góc thì ta t
ng
ột v ông gó óng vai trò tia Ox, Oy, Oz.

an

ong ong và
ẳng.

ột ình có n

ov

B

ột
ẻ a 2 t a v ông gó v i nhau thì
ứa góc vuông ó.

●

●

ộ

to

C

M

x
t

K

C'

an

ng án t
ộ á

ỉn

ó ta t

ó

t ậ

ột

v ông góc trong hìn

t ậ
ên

n

to

ộ t ì nên

an à

ông

n

ng án

n g ản t ận

t ong

á

trình tính toán.
II.2. Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp.
Sa â à ột ố ình chó t
ng g
ng án t t ậ
to ộ t ng ứng.
2.1. Hình chóp SABC có SA vuông gó
n t ụ t a ộ Ox z n
ìn v :

á

t ong

á trìn

à

bà tậ và
A

áy là  ABC vuô
z
S

A

O

C
y
B

14

x


2.2. Hình chóp SABC có SA vuông gó
( ã trìn bà ở D1)

á

áy là  ABC vuô

2.3. Hình chóp SABC có SA vuông gó

á

áy là  ABC câ

n

t ụ t a ộ Ox z n

B
A

S

ìn v :

z

C

A

O

y

B
x

2.4. Hình chó
SAB
n t ụ t a ộ Ox z n

S

ìn v :

z

y

O
C

B

G

2.5. Hình chó
SAB D
n t ụ t a ộ Ox z n

z
A

ìn v :

x

S

A

D

O

y

C

B
x

2.6. Hình chóp SABCD có SA vuông gó
n t ụ t a ộ Ox z n
ìn v :

á

ữ

y ABCD là hì
z
S

D

A

y

B
C
x

trìn t

á

ng

t ậ

to

ác, giáo viên

ng ẫn

n

ần n

ộ. Ngoài ra, trong các hình trên có t
15

o t t ong
ó n

á

ình có


n ững
vào

ng án t t ậ

ng án tốt n t.

to

ộ

ng ác

ác nhau, giáo viên nên phân tí

II.3. Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ.
ng tự ần ình chóp, trong quá trình là bà tậ ta
3 L
ụ
AB A'B' ' ó áy là  ABC vuô
A
z A'
n t ụ t a ộ Ox z n
ìn v :

ng t

ng g .

C'

B'

A

O

y
C

B

3

L

ụ

x

AB A'B' ' ó áy là  ABC câ

A

( ã trìn bà ở D2)
33 L

ụ
ữ

n

AB D A'B' D’' ó áy ABCD là hì

ữ

( ò

ình

)
t ụ t a ộ Ox z n

ìn v :

A'

z

D'
C'

B'
A O

D

B

y
C

x

nt

Cá
34 L
n

ụ

ng tự n

AB D.A'B' 'D’ t ở t àn

ìn

ậ

ng.

AB D A'B' 'D’ ó áy ABCD là hình thoi.

t ụ t a ộ Ox z n

ìn v :

D'

z

C'

A'

B'
D

y
O

A
x

B

ác hìn
ng t ụ ác, giáo viên
ng ẫn
cao và tín
t a agá á
t t ậ
t ụ to ộ t í
gả
ác bài toán hìn
ông g an b ng
giáo viên ần

ng ẫn

ỉn
ên quan, ựa vào
Bài toán n g ản a
ông
vuông góc. Giáo viên a a

n

n

t ụ to

C

ột í

n

ựa t ên
.
ng phá to
. Lậ to

t ụ to ộ ,
n và tính ộ à
ột ần ụ t ộ vào á
n
ng á g ả toán.
16

ng
ộ

ộ ác

n
a ình.
t ụ to ộ


Phương pháp:
:
n t ụ to

B
B

: Dựa vào

ộ Ox z t í
n

úý

a bà toán

xá

n vị t í

ịn to

ộ

a gố O.

a

a
ng và t ần t t t ong t ụ to ộ .
xá ịn t a ộ a
t ong ông g an ta à n
a :
• Xá ịn M1, M2, M3 ần
t à ìn
a M t ên á t ụ Ox O Oz.
• ì ộ à
ố a OM1, OM2, OM3 là x, y, z
•K

M

M ( x; y; z)

B
3:
n ác tín
t ìn
t ong g ả t t o
sang tín
t
ố và g ả tí
a bà toán v bà toán
cá
n t ứ v to ộ g ả
t bà toán.

Cá
ng toán t
ng g : ính cá
•
tí
ố a
n.
• D n tí t t n.
• Gó g ữa hai
ng t ẳng.
• Gó g ữa

ng t ẳng và

• Gó g ữa hai t
• K oảng á từ

ẳng.
n

• K oảng á

từ

• K oảng á

g ữa hai

n

t

ẳng.

t

ẳng.

t ận a bà toán
ố g ả tí . Sử ụng

tố a :

ng t ẳng.
ng t ẳng

III. GIẢ PHÁP 3: HỆ THỐ

éo nhau.

K Ế THỨC HÌ H HỌC L Ê Q A

III.1. Cung cấp lý thuyết về quan hệ vuông góc, góc và khoảng cách
III.1.
ù :
a  c
ab
b // c

a  ( P )

ab
b  ( P )

•

•

b //( P)
•
ab
a  ( P)

a  b; a  c
 a  ( P)
• b  c  I
b  ( P); b  ( P)


(Q)  ( P); ( R)  ( P)
 a  ( P)
•
(Q)  ( R)  a

( P)  (Q)
• ( P)  (Q)    a  ( P)
a  (Q); a  


• a ( P); b  ( P) : b  a  b  a' (a' à ìn

a a t ên (P))

b  ( P)
 a  ( P)
b // a

(Q) //( P)
 a  ( P)
a  (Q)

•

III.1

ng t ình

G

•

ữ
17


G

g ữa ha
ng t ẳng a và b à g g ữa a
ột
và ần

t ùng
ng v a và b.

III.1 3 G

ữ

ặ

• Xá ịn ìn
tì g ao
I
ng t ẳng a (
à
ng t ẳng
g ữa

t ẳng a’.
III.1.4 G
a)

v ông g a’ a
a
ng t ẳng a và
ông t ùng v I) và xá
a I và .

ng t ẳng a và
n

ữ
:G

t

ng t ẳng a t ên (P): ông t
ng ta
t ẳng (P). Sa
n
M t ên
ịn M  (P), H (P). K
a’
n

ẳng (P) à g

g ữa

ng t ẳng a và

ặ
g ữa

t

ẳng (P) và

t v ông g

v

t

t

ẳng (Q) à g

ẳng (P) và

t

g ữa a

ẳng (Q).

b)
:
Cách 1: Sử ụng ịn ng a.
Cách 2:
• ì

g ao t

•

n

•K
III.1

t

n

g

a

t

ẳng (P) và

ẳng ( ) v ông g

ịn g ao t

n a và b

a

g ữa (P) và (Q)

K

(M; ) = M (
III.1 6 K

n

t

ẳng (Q).

v

g ao t

t

ẳng ( ) v
àg

n .
a

t

g ữa a và b.

ừ

:

à ìn
ừ

a M t ên ).
ặ

:

M

N

H
P

(M;(P)) = M (

ng

· .
MIH

àg

t ẳng a và b ần

• Xá

a

: o
ng t ẳng a ông v ông g v
t ẳng (P). K
g
ng t ẳng a và
t ẳng (P) à g g ữa
ng t ẳng a và

ng t ẳng a’
a’ à ìn
a
ng t ẳng a t ên t ẳng (P).
:

a)
g ữa
t ong
b)

•G

ng t ẳng a’ và b’ ùng

à ìn

a M t ên (P)).

18

ẳng (P) và (Q).

ng


n tự t

Cách 1:

M

Q

d
H

P

B
:
• Dựng

à ìn

• Dựng

(Q)

• ì
•

g ao t
ong

t

a M t ên
a M và v ông g

n

ẳng (Q)

v

• ậ
B

à ìn
: Tính MH.

a M t ên (P).

(P) t

(P).

ẳng (Q)
a M và v ông g
ta à n
au:
ng t ẳng a

v

t

.

.

3: K t ận: (M;(P)) = M .
ong á nà
ốt

ột

v

ựng M v ông g

a M v ông g

• Dựng

ẳng (P):

a (P) và (Q) à .

•S

B

t

gả
v

t bà toán à

(P). N

vậ

a M và v ông g

ựng
v

ả

ựng
t

t
ẳng (Q)

ng t ẳng  n

t ong

(Q).
•

ừ ột
b t ì t ên
ng t ẳng  .

ng t ẳng a

ựng

ng t ẳng b v ông g

v

•K
(P) = (a; b).
Chú ý:
•N
ẵn
ng t ẳng v ông g v (P) t ì
ựng
à ìn
a
M t ên (P) ta ỉ ần ựng
ng t ẳng 
a M và ong ong v
g ao
a  v (P) à ìn
a M t ên (P).
•N
ìn
á
n bên b ng n a t ì ìn
a ỉn t ên
t á
t ùng v

t

ng t n ngo t

agá

á .

•N
ìn
á
t bên t o v v
á á g b ng n a và ìn
a ỉn ìn
t ên
t á t ộ
n t ong a g á á t ì ìn
ỉn t ên t á t ùng v t
ng t n nộ t
agá á .
19

a


Cách 2: n g án t
Á ụng t ong t ng
ta ựa vào

ột ố

v

ựng ìn

a M t ên (P) g

n t ì

ý a :

• ì
ột
N t tn
oảng á
• Tính d(N;(P)).
• Xét vị t t ng ố a MN và (P)

n (P) ột á

ễ àng.

a

N

N

M

M

I
K

H

P

H

K

P

N

MN//(P) t ì (M;(P)) = (N;(P))

N

MN  (P) = I thì

•

n tỉ ố

IM
IN

a

Chú ý: ố v
t
ựng
vậ

n

t

(P) ễ xá
Cách 3:
a

ột tứ
g v ông
G ả ử (P)
TH1: MAB

á nà
a

t ên

t

từ M

n (P)

ốt v n
à ta ả tì a
N t ên
t ẳng (P) ột á

N
ễ àng. ì

ý:
Nn

ựng

oảng á

ng
ìn

ta ần

•

d ( M ; ( P)) IM

;
d ( N ; ( P)) IN

ẳng v ông g

ẳng v ông g
v

(P))

v

(P) ( o

ồng t

vị t t

aN

t

ng ố

ễ àng
a MN v

ịn .
n bà toán t n

oảng á

tn

(M;(P)) v bà toán t n

n
o
ng ao a ìn
a ột tứ n v ông.
a ba
A B
ông t ẳng àng
à tứ

n v ông t M t ì (M;(P)) =

1
1
1
1



2
2
2
h
MA
MB
MC 2

20

o

v

ng ao

xá

ng ao
từ ỉn

ịn bở


TH2: MAB

à tứ

b ng n a và b ng
TH3: NAB
t t ng ố

n

n at ì

oảng á

từ

ột ỉn x ống

t ố

n

a 6
.
3

à tứ
n v ông t
a MN v (P)

N ( o tứ
n
a (M;(P)).

III.1 7 K
ữ
Ta có a//(P) t ì (a;(P)) = (M;(P)) v
ữ

III.1.8.K

).

n

(N;(P)). Dựa vào vị

ặ

:

M à

b t ì t ên a.

ặ

:
M
P

N

Q

(P)//(Q) t ì ((P);(Q)) = (M;(Q)) v M à
o
((P);(Q)) = (N;(P)) v N à
III.1 9 K
ữ
a) Bài toán:
o a
ng t ẳng a b éo n a t ì
v ông g và ắt a
ng t ẳng a b ần
ng t ẳng

g

o n t ẳng AB g

à

b t ì t ên (P)
b t ì t ên (Q).
é
ôn tồn t
t t A và B.

ng v ông g

ng

à o n v ông g

ng

n t

ột

ng t ẳng

a a và b.
a a b.
a

A

b

B

ữ

b)

é

:

• (a;b) = AB v AB à o n v ông g
ng a a và b.
• (a;b) = (a;(P)) v (P) à t ẳng ứa
ng t ẳng b và (P) ong ong v a.
• (a;b) = ((Q);(P)) v (Q) (P) à a
t ẳng ong ong ần
t ứa a
ng t ẳng a b.
III.1.
•
t

ố

nt

á S

ng ao

1
V  S .h
3

21

à:


•

t

ố

ng t ụ

nt

á S

ng ao

à:

V  S.h

III.2. Kiến thức cơ bản cần thiết về tọa độ trong không gian
III.2.1ụ
gồ 3 t ụ Ox O Oz ô ột v ông g
g à
t ụ to
trong không gian.
ên á t ụ Ox O
●

K

Ox z o

Ox:
● O :
Oz:

ụ

t à i, j , k .

ao

(Ox ) (O z) (Ozx): M t
● O: Gố to
ộ
III.2.2.
G
to ộ

t
t ẳng

ắ
a

ẳng to

:

t ả á

ộ

ịn ng a t n

t ên

an

à

ột ố

nt ứ

bản ần n ắ

g áo v ên ê

.

uuur
1. AB  ( xB  xA ; yB  y A ; yB  y A )

2. AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A ) 2
3. o

ộ t ng

M

a o n t ẳng AB à

 x  xB y A  y B z A  z B 
M A
;
;

2
2 
 2

4. o

ộ t ng t

G

a  ABC là

 x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC 
G A
;
;

3
3
3



5. o

ộ t ng t

G1

a tứ

n AB D à

 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  z D 
G1  A
;
;

4
4
4




6. a  b  a.b  0 (a  0, b  0)
7. a ùng

n to

ộ

ên g ữa to ộ a v t và to ộ a
t.
vô
ng a a v t và ứng ụng. Lý t
t ên an n
ng t ìn
ng t ìn
t ẳng. á ông t ứ t n g
oảng á .

Sa
n

n vị ần

(O i, j, k )

●

g

á v t

ụ oàn
ụ t ng

●

●

Oz ta g

ộ v ông g

ng b  0  a  k b (k 

)( o
22

a, b  0 )

ầ

av t
ng
ng
n


a.b

8. cos( a,b) =

a .b

9.

n

nt

n t

t

n t

tứ

t

ố

VABCD. A' B 'C ' D '

12.

n g

Gả ử

G

n

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD

6

VABCD 

11.

gá

1 uuur uuur
 AB, AC 

2

S ABC 

10.

ta

ộ

uuur uuur uuur
  AB, AD  . AA '

g ữa a

ng t ẳng.
ur

r

1

v t

ỉ

ng u1 ( x1; y1; z1 )  0

d2

v t

ỉ

ng u2 ( x2 ; y2 ; z2 )  0

g ữa 2

ng t ẳng

r

d2 là 

tn :

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2

cos  =

x12  y12  z12 . x22  y 22  z 22

g ữa a

t

G ả ử (P1)

v t

á t

n n1 ( x1; y1; z1 )  0

(P2)

v t

á t

n n2 ( x2 ; y2 ; z2 )  0

13.

G

n g

1,

uur

g ữa 2

14.

n g

ng t ẳng và

v t

ỉ

(P)

v t

á t

g ữa ( ) và (P) à 

15. K oảng á

uur

r

tn :

x12  y12  z12 . x22  y 22  z 22

g ữa

sin  =

r

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2

Gả ử( )
G

ur

ẳng (P1), (P2) là 

t

cos  =

ẳng

t

ẳng

r
r
ng u( x1; y1; z1 )  0
r
r
n n( x2 ; y2 ; z2 )  0

tn

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
x y z . x y z
2
1

từ

2
1

ột

2
1

2

2

2
2

n

ột

2
2

(0 0    90 0 )

t

ẳng

Trong không gian, cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 +C2  0) và
M (x0; y0; z0) t ì ta
oảng á từ M n (P) à:

23


Ax0  By 0  Cz 0  D

d(M, (P)) =
16. K oảng á
ong

A2  B 2  C 2

từ

ột

ông g an

và

M.

a

d(M,d) =

n

o

ột

ng t ẳng.

ng t ẳng

oảng á

từ M

M M , u

a M0
n

v t
ỉ
ng t ẳng

ng u
à

0

u

17. K oảng á g ữa 2
ong ông g an o 2
a M1

d1

v t
a

ng t ẳng éo n a .
ng t ẳng éo n a

oảng á

;
ỉ

ng u1

g ữa

1

1,

d2.

a M2

d2

v t

ỉ

ng u 2

và d2 là:

ur uur uuuuuuur
u1 , u2 M 1M 2
d(d1,d2) =  ur  uur
u1 , u2 




Ả PHÁP 4: HỆ THỐ

IV.

Bài 1:

o ìn

S.AB D

ẳng (AB D) AB = a; S
t

BÀ TẬP VẬ

1.

n t

ố

2.
3.

n
oảng á từ
n g g ữa a

t

Ụ

AB D à ìn

ần

tt ov

ữ n ật, SA v ông g

(SAB) và (SAD) á g

S.AB D.
n (SBD).
ẳng (SB ) và (S D).

Hướng dẫn
S

J
K
H

I

A

D

O
C

B

24

v

45o ;30o

t


1.

n t

t

ố

S.AB D.
Y
gì?

H1. Hình
H2.
H3.

1. SA  ( ABCD) ; AB D à
n ật

ìn

ữ

2. SA, AD

t n VS . ABCD ần t n ?
n ứ vào

ầ

t n SA AD

·SAB)) ; ( SC
·,( SAD)) xá
H4. ( SC ,(
n t nào?

3. S
ần
t t o v (SAB) và
(SAD) các góc 45o ;30o
4. Dựng ìn
(SAB); (SAD) ần

ịn

a S t ên
t àB D

·,( SAB)  B
·SC  45o
 ( SC
·,( SAD)  CSD
·
( SC
 30o

5.

H5. Tính SA; AD

Dựa vào v
2.

n

tì

oảng á

bà toán n

từ

ong ta g á S D t n

ong ta

g á SB t n

SB, BC.

ong ta

g á SAB t n

SA.

t ên ễ àng t n

tn

oảng á

(SBD) ta

ả à

à

H2.
H3. Ta ng
nào
(

ễ

từ
t

n

1. Dựng

nào?

ìn

a

t ên

t

2. Không
từ
n?

3. d ( A,(SBD)) ASBD à tứ

n v ông

t A

)

4. AC  (SBD)  O à t ng

H4. d (C,(SBD)) và d ( A,(SBD)) có
an

ầ

(SBD)

ông?

n oảng á
n (SBD) ễ t n

t n g án t

VS . ABCD .

n (SBD).
Y

H1.

SD, SC.

gì?

AC
 d (C,(SBD))  d ( A,(SBD))

5.

H5. Tính d ( A, ( SBD))  h

25

1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AD 2

a