SKKN: Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Sở g d & đt hng yên
Trờng THPT Trng Vơng
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự Do Hạnh Phúc
sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2012- 2013
- Họ và tên: Tô Minh Hải
- Ngày tháng năm sinh: 26-08-1961
- Năm vào ngành: 1984.
- Chức vụ : Phó hiệu trởng .
- đơn vị công tác: Trờng THPT Trng Vơng.
I/ phần mở đầu
1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ
2 Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng
pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc
điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để giải
quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn giản
hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông qua phơng
pháp toạ độ và phơng pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán,
cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số.
Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ trong
mặt phẳng, vì thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải
quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện.
3- Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu :
- Khách thể: Học sinh lớp 12.
- Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong
chơng trình THPT.

- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 .
2
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
II Quá trình thực hiện đề tài :
1 Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài:
Trớc khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lợng của học sinh thông
qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết
các bài toán hình học không gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau:
Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ độ:
Cho hình lập phơng ABCD. A B C D cạnh a . Tìm khoảng cách giữa hai
mặt phẳng (AB D ) và (C BD) .
30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các
điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u
Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu
2- Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức
Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình
Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng đụng cho học sinh thông qua
một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hớng phát triển,
mở rộng .
3 Kết quả thực hiện đề tài:
Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ
độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ SH
vuông góc với mp (ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và đáy ABCD bằng 60
0
.
a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp (SCD).
b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK

SD và tính góc
giữa hai mặt phẳng (ASD);(CSD).
c/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ
các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u.
III Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài
Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán
hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và
tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ. Do đó
học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy
đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian,
thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng ph-
ơng pháp toạ độ.
Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp.
3
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong
bài toán đợc thuận tiện.
Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
và ngợc lại.
Nhận xét, đánh giá , xếp loại của
Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm
Văn Lâm, ngày 30 tháng3 năm 2013
Ngời viết
tô minh hải
4

Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Nội dung
- - - - - - - - - - - -
Chơng I
Một số kiến thức cơ bản.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba trục toạ độ xOx, yOy, zOz
vuông góc với nhau từng đôi một tại
điểm O. Gọi
, ,i j k
r r r
là các véctơ đơn
vị tơng ứng trên các trục xOx,
ozzoyy
,,
:
. Hệ ba trục toạ độ nh vậy
gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông
góc Oxyz hoặc đơn giản là toạ độ
Oxyz.
+ Trục Ox gọi là trục hoành.
+ Trục Oy gọi là trục tung.
+ Trục Oz gọi là trục cao.
+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ.
2/ Vectơ đối với hệ toạ độ.
+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý
v
r
. Vì ba vectơ
, ,i j k

r r r
không
đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho:
v xi y j zk= + +
r r r r
+ Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ
v
r
, kí hiệu là
( ; ; )v x y z
r
hoặc
( ; ; )v x y z=
r
. Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
vectơ
v
r
.
+ Với hai điểm
( )
1 1 1 1
, ,M x y z
và
( )
2 2 2 2
, ,M x y z
thì:
( )
1 2 2 1 2 1 2 1

, ,M M x x y y z z=
uuuuuur
+ Nếu có hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
thì:
5
x
O
y
z
j
r
k
r
i
r
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
(i).
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
, ,v v x x y y z z+ = + + +
ur uur
(ii).
( )

1 2 1 2 1 2 1 2
, ,v v x x y y z z =
ur uur
(iii).
1 1 1 1
( , , )kv kx ky kz=
ur
(iv).
1 2 1 2 1 2 1 2
. . . .v v x x y y z z= + +
ur uur
(v).
1 2 1 2 1 2 1 2
0v v x x y y z z + + =
ur uur
(vi). Tích có hớng của hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
là một vectơ

v
r
đợc xác định bởi:
1 1 1 1 1 1
1 2

2 2 2 2 2 2
, , ,
y z z x x y
v v v
y z z x x y


=
ữ


ur uur r
3/ Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm
( )
1 1 1 1
, ,M x y z
và
( )
2 2 2 2
, ,M x y z
, thì khoảng cách d giữa
1
M
và
2
M
là độ dài của vectơ
1 2
M M

uuuuuur
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
d M M x x y y z z= = + +
uuuuuur
.
4/ Chia một đoạn thẳng cho tr ớc theo một tỷ số cho tr ớc.
Điểm
( )
, ,M x y x
chia đoạn thẳng
1 2
M M
theo tỉ số k:
1 2
MM k MM=
uuuuur uuuuur
đợc xác
định bởi công thức:
1 2
1 2
1 2
1
1
1
x kx
x
k

y ky
y
k
z kz
z
k


=





=





=



Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của
1 2
M M
, khi đó toạ độ của M là:
1 2
1 2

1 2
2
2
2
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


5/ Góc giữa hai vectơ
Góc

giữa hai vectơ
1 1 1 1

( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
xác định bởi:
6
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
cos
.
x x y y z z
x y z x y z

+ +
=
+ + + +
.
6/ Hai vectơ cùng ph ơng
Hai vectơ
1 1 1 1
( , , ) 0v x y z=
ur r
và
2 2 2 2
( , , ) 0v x y z=

uur r
cùng phơng với nhau khi
và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
2 1
v kv=
uur ur

cả ba định thức sau đều bằng 0:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ,
y z z x x y
y z z x x y
.
7/ Ph ơng trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.
Một vectơ
0n
r r
đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )

nếu
nằm trên đờng thẳng vuông góc với
( )

.
Mặt phẳng
( )

hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm
0
( )M


và một
vectơ pháp tuyến của nó.
b. Định lý.
Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phơng trình
dạng:
2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + +
và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một mặt phẳng.
8/ Ph ơng trình đ ờng thẳng
a. Định nghĩa: Vectơ
a
r
là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d)
0
//( )
a
a d







r r

r
b. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt
phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
0 1
( ) :
0 2
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


với điều kiện
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C
trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
7
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
9/ Ph ơng trình mặt cầu
Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm
( , , )I a b c
cho trớc một

khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phơng trình:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R + + =
.
Chơng II
Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ.
I/ H ớng dẫn học sinh sử dụng ph ơng pháp toạ độ.
Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng
chúng ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song
song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có
thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những
chữ, véc tơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định
hớng rõ ràng hơn và khả năng tìm đợc lời giải nhanh hơn. Để thực hiện đợc
điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần
nắm đợc quy trình giải toán bằng phơng pháp toạ độ thích hợp.
Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp.
Bớc 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ.
Bớc 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán.
Bớc 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình
học.
Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn toàn làm đợc nhờ
các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc 3
học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải
các bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phơng pháp
cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa
vào một số đặc điểm của bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với
điểm cố định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn với các trục
toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi.
II/Giải bài toán định l ợng trong hình học không gian.

8
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ thì
rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ độ
ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản.
phơng pháp chung
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng bao
gồm:
Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng.
Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
Tính độ dài đoạn thẳng.
Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA B C D ta thờng thết lập hệ trục toạ độ
dựa trên ba cạnh AB, AD và AA tơng ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD. A B C D

cạnh bằng a.
a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng A B và AC.
b/ Gọi K là trung điểm DD. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đờng thẳng
CK và A D .
c/ Mặt phẳng (P) qua BB và hợp với hai đờng thẳng BC , B D hai góc
bằng nhau. Tính các góc này.
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với
,B Ax D Ay
và
A Az

, khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0A B a C a a D a

( ) ( ) ( ) ( )
0;0; , ;0; , ; ; , 0; ; .A a B a a C a a a D a a

a. Ta có
( ) ( )
;0; & ; ;A B a a AC a a a


uuur uuuur
Gọi

là góc tạo bở A B và AC ta có:

.
cos 0
2
' . '
A B AC
A B AC



= = =
uuur uuuur
uuuur uuuur

.
Gọi d
1
là khoảng cách giữa A B và AC. ta có:
9
A
C
D
B
x
y
z
B
A
C
D
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải

1
' , ' . '
6
' , '
A B A C AA
a
d
A B A C


= =

uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
.
b. Ta có:
( )
0; ; , ;0; & ' 0; ; .
2 2
a a
K a KC a A D a a



ữ ữ

uuur uuuur
Gọi

là góc tạo bởi CK và A D , ta có:

. '
1
cos
10
. '
KC A D
KC A D

= =
uuur uuuur

uuur uuuur
.
Gọi d
2
là khoảng cách giữa CK và A D , ta có:

2
, ' ,
3
, '
KC A D KD
a
d
KC A D


= =


uuur uuuur uuur
uuur uuuur
c. Ta có BB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB A ) và (BCC B ) nên:

( ) ( )
0 0
' : ' :
0
y x a
BB BB
x a y

= =



= =

Mặt phẳng (P) qua BB có dạng:

( ) ( ) ( )
: 0 : 0 1; ;0P x a my P x my a vtpt n m + = + =
r
Vì (P) hợp với BC , B D (có vtcp là
( )
1
0;1;1u
ur
và
( )
2
1; 1;1u
uur
) hai góc bằng nhau
( giả sử là

) nên:

( ) ( )
2
2 2
1

sin 3 2 1 4 2 0
2 1 3 1
m m
m m m m
m m


= = = + =
+ +

2 6m =
.
Với
2 6m = +
ta đợc:

( )
( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 1
sin
5
22 8 6
4 6
2 6 2 1


= = = =

+


Với
2 6m =
ta đợc:

( )
( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 1
sin
5
22 8 6
4 6
2 6 2 1

+ + + +
= = = =

+
+
+


.
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB; AC; AD vuông góc với nhau từng

đôi một, biết AB=a. AC=b, AD=c.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD).
10
A
B
C
D
x
y
z
g
I
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)
(0; ;0); (0;0; )
A B a
C b D c
= =
= =
a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện, giả sử toạ độ của I là
( ; ; )I x y z
.
Tacó
2
2

2
a
x
b
y
c
z

=



=



=




Toạ độ điểm I là:
( ; ; )
2 2 2
a b c
I =
.
* Xác định bán kính R

2 2 2

2 2 2
1
4 4 4 2
a b c
R IA a b c= = + + = + +
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm
( ; ; )
2 2 2
a b c
I =

và bán kính:
2 2 2
1
2
R a b c= + +
b. Phơng trình mp(BCD):
1 1 0
x y z x y z
a b c a b c
+ + = + + =
Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h. ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
1
1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )

abc
a b c
h
a b b c c a
a b c a b c
+ +
= = =
+ +
+ + + +
Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là:
2 2 2 2 2 2
abc
h
a b b c c a
=
+ +
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phơng ABCD.ABCD có AC
vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Giải
11
z
D
C
B
A
y
C
D
x
B

A
O
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.
Giả sử hình lập phơng có cạnh a.
Ta có toạ độ các điểm là:
A(0;0;0); B(a;0;a); C(a;a;0);
D(0;a;a); C(a;a;a).
Ta có:

( )
; ;AC a a a

=
uuuur
;
( )
0; ;B C a a

=
uuuur

( )
' ;0;D C a a=
uuuur
.

( )
. .0 . . 0 ' 'AC B C a a a a a AC B C

= + + =
uuuur uuuur uuuur uuuur
' 'AC B C

(1)

'. ' . .0 .( ) 0 ' ' ' 'AC D C a a a a a AC D C AC D C= + + =
uuuur uuuur uuuur uuuur
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
( )
' ' 'AC B CD
.
Vậy suy ra điều phải chứng minh.
* Bài tập
Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA B C D đờng cao h. Mặt phẳng
(A BD) hợp với mặt bên (ABB A ) một góc

. Tính thể tích và diện tích xung
quanh hình lăng trụ.
Bài 2: Cho hình hộp ABCDA B C D có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh
bằng a, góc
à
0
60A =
, B O vuông góc với đáy ABCD, cho BB =a.
a/ Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b/ Tính khoảng cách từ B, B đến mp(ACD )

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với đáy. Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc nhị diện (B. SC.
D) bằng 120
0
.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ
SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và mặt đáy (ABCD)
bằng 60
0
.
a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK

SD và tính số đo
góc giữa 2 mặt phẳng (A S D ) và (C S D ).
c/Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian
phơng pháp chung
12
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần
chứng minh.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:
AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b.
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh là đờng
vuông góc chung của hai cạnh đó.
Giải
Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB và CD.

Ta cần chứng minh:
IK AB
IK CD





Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho

(0;0;0)A
.
Giả sử trong hệ trục toạ độ đó

1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )B x y z C x y z D x y z= = =
Khi đó

1 1 1 2 3 2 3 2 3
2 3 1 2 3 1 2 3 1
( ; ; ); ( ; ; )
2 2 2 2 2 2
( ; ; )
2 2 2
x y z x x y y z z
I K
x x x y y y z z z
IK
+ + +
= =

+ + +
=
uur
Theo giả thiết, ta có:
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
AB AB a x y z a
AC AC b x y z b
AD AD c x y z c
= = + + =
= = + + =
= = + + =
uuur
uuur
uuur
13
A
B
K
g
g
D
C
I
x
y

z
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Ta có
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
2( )
2
BC c BC c x x y y z z c
a b x x y y z z c
a b c
x x y y z z
= = + + =
+ + + =
+
+ + =
Tơng tự ta cũng có:
2 2
BD b BD b= =

2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
a b c
x x y y z z
+

+ + =
và
2 2 2
2 3 2 3 2 3
2
b c a
x x y y z z
+
+ + =

2 3 1 2 3 1 2 3 1
1 1
.
2 2 2
x x x y y y z z z
IK AB x y z
+ + +
= + +
uur uuur
2 2 2
1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1
2
x x x x x y y y y y z z z+ + + +
=
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
a b c a c b
a

+ +
ì
=

0
IK AB
=

uur uuur
Chứng minh tơng tự ta có:
IK CD
uur uuur

IK AB
IK CD








uur uuur
uur uuur
IK
là đờng vuông góc chung của cặp cạnh đối diện AB và
CD.
Chứng minh tơng tự ta cũng có IK là đờng vuông góc chung của các cặp đối
diện còn lại.

ĐPCM.
Bài 2: Cho hình lập phơng ABCD. A B C D cạnh a.
Trên BD và AD lần lợt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho
(0 2)DM AN x x a= =
CMR: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải
14
D
A
B
C
D
A
B
C
x
y
z
M
N
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)
(0; ;0); (0;0; )
A B a
D a A a
= =

= =
Khi đó

( ; ;0)
(0; ; )
C a a
D a a
=

=
Gọi
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )M x y z N x y z= =
Ta có:
2 1 2 1 2 1
(0; ;0); ( ;0;0);
( ; ; )
BC a BA a
MN x x y y z z
= =
=
uuur uuur
uuuur
Mặt khác theo giả thiết:
(0 2)DM AN x x a= =
Đặt :
(0 1)
2
x
k k

a
=

1 1
1 1
1 1
( )
0 0
x a k a x a ka
DM k DB y ka y ka
z z
= =


= = =


= =

uuuur uuur
2
2
2
0
x ka
AN k AD y
z ka
=

= =


=

uuur uuuur
Xét
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
, ', . . 0. .0 .0.D BC BA MN a a z z y y x x a= + +
uuur uuur uuuur
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
. .0 . 0.0.x x a a y y a z z
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
2
0 0
0
a z z a y y
a z z y y
a ka ka
=

= +
=
=
Suy ra
, ',BC BA MN
uuur uuur uuuur
luôn luôn đồng phẳng.
Suy ra MN luôn luôn song song với (A BCD ) cố định.
Bài 3: Cho tứ diện DABC có ba cạnh DA; DB; DC vuông góc với nhau từng
đôi một. Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh nếu
( )

là
mặt phẳng bất kỳ qua O thì khoảng cách từ D xuống
( )

bằng tổng đại số 3
khoảng cách từ A, B, C đến mp
( )

.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz vuông góc
sao cho:
Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ
15
A
B
CD
x

y
z
O
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
diện. thì toạ độ của O là:
; ;
2 2 2
b c a
O

ữ

Mặt phẳng
( )

bất kỳ đi qua O có dạng:
0x y z d

+ + + =
Không mất tính tổng quát. giả sử
0d

Do
( )

qua O nên:

( )
0
2 2 2

2 0 1
b c a
d
b c a d


+ + + =
+ + + =
Kí hiệu
, , ,
D A B C
h h h h
tơng ứng là khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng
( )

. Theo công thức tính khoảng cách ta có:

( )
2 2 2 2 2 2
, 2
D
d
d
h

= =
+ + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
, 3

B B
a d
a d
h h Sgn a d




+
+
= = +
+ + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
, 4
A A
a d
a d
h h Sgn a d




+
+
= = +
+ + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
, 5

C C
c d
c d
h h Sgn c d




+
+
= = +
+ + + +
Cộng trừ vế (3), (4), (5) ta đợc:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3
6
A B C
b c a d
Sgn a d h Sgn b d h Sgn c d h



+ + +
= + + + + +
+ +
Từ (1), (2), (6) suy ra:
( ) ( ) ( )
D A B C
h Sgn a d h Sgn b d h Sgn c d h

= + + + + +
Điều đó chứng tỏ
D
h
là tổng đại số của
, ,
A B C
h h h
16
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Chú ý:
1 0
( ) 0 0
1 0
x
Sgn x x
x
>


= =


<

*Bài tập
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCDA B C D cạnh bằng a. CMR khoảngcách từ
một điểm bất kì trong không gian đến một trong các đờng thẳng AA , A C ,
CD không thể đồng thời nhỏ hơn

2
a
.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho
2
a
BM =
.
3
4
a
DN =
. CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài 3: Đờng thẳng (d) tạo với 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau các góc bằng
nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng
( )

chứa các đờng thẳng
này. CMR hình chiếu vuông góc (d ) của đờng thẳng (d) lên mặt phẳng
( )


cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đờng thẳng (d
1
) và (d

2
)
Iv/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học
không gian
phơng pháp chung
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm càn tìm quỹ tích, từ đó suy ra
quỹ tích của nó.
17
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC vuông cân với
AB=AC=a và AA
1
=h. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của BC và A
1
C
1
. Tìm
trên đoạn EF điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC
1
A
1

). Tính
khoảng cách đó.
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B

Ax,
khi đó:
A(0;0;0). B(a;0;0). C(0;a;0).
A
1
(0;0;h). B
1
(a;0;h). C
1
(0;a;h).
Vì E, F là trung điểm của BC và A
1
C
1
nên:
E
( , ,0)
2 2
a a
và F
(0, , )
2
a
h
.

Phơng trình đờng thẳng EF đợc cho bởi:
2 2
( , ,0)
2 2
: .
2
( ,0, )
2
a a
x t
a a
Qua E
a
EF EF y t R
a
vtcp EF h
z ht

=





=




=

uuur
Vì I

EF nên
( , , )
2 2 2
a a a
I t ht
. t

[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC
1
A
1
) nên
( , , )
2 2 2 2 2 2
a a a ah a ah
t ht t I
a h a h a h
= =
+ + +
.
Khi đó điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là:
2

1 2 1 2
E F
I
a
x kx a a
x k
k a h k h

= = =
+
*Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) và (ACC
1
A
1
) là
18
E
F
A
B
C
A
1
x
y
z
B
1
C
1

Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
.
2
I
ah
d z
a h
= =
+
Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
AM:BM=k. với 0<k

1.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A( - a;0;0) & B(a;0;0), khi đó với điểm
M(x;y;z) ta có:

( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2

2 2
2 2
1
2
1 1
x a y z
AM AM
k k
BM BM
x a y Z
a k
ak
x y z
k k
+ + +
= = =
+ +

+

+ + + =
ữ




Phơng trình trên là phơng trình mặt cầu có:
tâm
( )
2

2
1
;0;0
1
a k
I
k

+
ữ
ữ


bán kính
2
2
1
ak
R
k
=

*Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng

cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R, SA=h
(0<h<2R) và vuông góc với mặt phẳng

. Gọi M là điểm di động trên đờng
tròn (C). Tính h theo R để tồn tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai

đoạn AM và SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của
đoạn vuông góc chung này.
Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đờng stròn tâm O và O
1
, bán kính R,
chiều cao hình trụ bằng h. Trên hai đờng tròn (O) và (O
1
) có hai điểm di động
A, B. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm OO
1
và AB.
a/ CMR IK là đờng vuông góc chung của OO
1
và AB.
b/Tính độ dài IK trong các trờng hợp:
19
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
+ AB=kh. với 1<k<
2
2
4
1
R
h
+
+
( )
1
,OA O B

=
uuur uuur
Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động.
Bài 3: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C sao
cho OA=OB=OC. Giả sử (d) là đờng thẳng qua O, các điểm A , B , C là các
điểm đối xứng với A, B, C qua (d). Các mặt phẳng đi qua A , B , C tơng ứng
vuông góc với các đờng thẳng OA, OB, OC cắt nhau tại M. Tìm tập hợp các
điểm
Tài liệu tham khảo
1/ Văn Nh Cơng. Hình học 12. NXB Giáo dục - 2008.
2/ Trần Văn Hạo . Hình học 12, NXB Giáo dục - 2009.
3/ Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí. Phơng pháp giải toán hình học giải tích
trong không gian. Nhà xuất bản Hà Nội - 2010.
20
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Mục lục
Nội dung 2
Chơng I. Một số kiến thức cơ bản 5
Chơng II. Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ 8
1/ Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ 8
2/ Giải bài toán định lợng trong hình học không gian 9
3/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian 13
4/ Bài toán về điểm và quỹ tích trong không gian . 17
21