Phương pháp tựa đảo cho bài toán parabolic phi tuyến ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Thị Thủy Tiên

PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN
PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Thị Thủy Tiên

PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN
PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:
60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình làm luận văn này, tôi đã tìm và tham khảo ở nhiều sách
vở, các bài báo toán học của các nhà khoa học và luận văn, luận án đã có.
Nhưng tôi xin cam đoan không sao chép và xin chịu mọi trách nhiệm với lời
cam đoan của mình.
Tác giả


Lời cảm ơn
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy – GS.TS
Đặng Đức Trọng, người đã trực tiếp hướng dẫn và luôn tạo điều kiện, giúp đỡ
cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô đã hết lòng dạy bảo và
truyền đạt kinh nghiệm trong suốt hai năm qua.
Cảm ơn bạn bè, các bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 đã luôn
khuyến khích, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa
vững chắc giúp tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn của mình.

Học viên
Đoàn Thị Thủy Tiên.


MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 5
1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ....................................................... 5
1.2. Không gian Hilbert............................................................................... 7
1.3. Lý thuyết toán tử ................................................................................ 10
1.4. Phổ của toán tử ................................................................................... 13
1.5. Không gian C ([ 0, T ]; H ) ................................................................... 14
1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều .................................................... 14
1.7. Định nghĩa bài toán không chỉnh ....................................................... 18
1.8. Lược đồ chỉnh hóa ............................................................................. 19
1.9. Bổ đề Gronwall .................................................................................. 22
1.10. Bổ đề: một số bất đẳng thức được sử dụng...................................... 22
Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH ........................................................... 24
2.1. Các định lý quan trọng ....................................................................... 24
2.2. Chứng minh các định lý quan trọng ................................................... 26
Chương 3. ÁP DỤNG .................................................................................... 41
KẾT LUẬN .................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48


1

MỞ ĐẦU
Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý
ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc
được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp.
Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là
bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết
mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lí do tại sao bài toán

này được gọi là ngược thời gian).
Phương trình parabolic ngược thời gian là lĩnh vực được nghiên cứu rất
sôi động thu hút nhiều nhà toán học nổi tiếng trong và ngoài nước bời nó có
nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật như: vật lý, cơ học, vật lý địa cầu, xử
lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nay ở nước ngoài đã có hơn 300 công trình
công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín, trong đó có sự tham gia của nhiều nhà
toán học nổi tiếng như John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, có
thể kể đến là hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu là Đinh Nho Hào và Đặng Đức
Trọng. Ngoài ra, một số nhà toán học có tên tuổi cũng quan tâm hướng nghiên
cứu này như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,…
Trong bài, ta xét bài toán giá trị cuối sau

=
ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) )

T ) , u (T ) ϕ
( 0 ≤ t <=

( 0.1)

trong đó A là toán tử tự liên hợp xác định trên không gian vectơ con D ( A ) của
không gian Hilbert H sao cho − A sinh ra nửa nhóm co compact S ( t ) trên H .
Từ A−1 compact, ta có một cơ sở riêng trực chuẩn {φ p } của H và giá trị riêng
1

λp

của A−1 sao cho A−1φ p =

1

λp

φ p . Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng


2
0 < lll
∞.
1 ≤ 2 ≤ ..., lim p =
p →∞

Cho ϕ ∈ H là giá trị cuối đã được xác định và f :  × H → H là một hàm
Lipschitz. Ta cũng biết rằng bài toán phi tuyến không thuần nhất ( 0.1) là bài
toán không chỉnh. Thật vậy, lời giải không nhất thiết phải tồn tại ϕ ∈ H , và
−1
( 0.1) không ổn định vì S ( t ) không là họ các toán tử tuyến tính bị chặn. Một

ví dụ cho bài toán ( 0.1) là bài toán nhiệt ngược
=
ut − ∆u f ( x, t , u ) ,

=
u ( x, t ) 0,

=
u ( x, t ) ϕ ( x ) ,

( 0,π )

=
Ω
với

H
= L2 ( Ω ) và

N

( x, t ) ∈ Ω × ( 0,T ) ,
( x, t ) ∈ ∂Ω × ( 0,T ) ,

( 0.2 )

x ∈ Ω,

⊂  N . Đây là một ví dụ cho bài toán ( 0.1) tương ứng với

A = −∆ (được liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất)

2
và có cơ sở riêng φ p ( x ) =  
p 

N /2

sin ( p1 x1 ) ...sin ( pN xN ) và giá trị riêng

λ p = p . Ở đây ta kí hiệu =
p ( p1 ,..., pN ) ∈  N=

, x ( x1 ,..., xN ) ∈  N và
2

p = p12 + ... + pN2 .
2

Bài toán có một lịch sử lâu dài. Trường hợp f = 0 tuyến tính thuần nhất
của bài toán này được nghiên cứu bởi khá nhiều tác giả với nhiều cách tiếp
cận khác nhau. Sau công trình tiên phong của Lattès và Lions [9] vào năm
1967, Miller [13], Payne [14, 15] và nhiều tác giả khác, đa số họ đều xấp xỉ
bài toán tuyến tính bằng cách nhiễu toán tử A . Phương pháp của họ gọi là
phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method, gọi tắt là phương pháp QR)
hữu hiệu cho bài toán thuần nhất, tuy nhiên trong trường hợp phi tuyến vẫn
chưa được hoàn tất. Năm 1983, Showalter [16] đưa ra một phương pháp khác
gọi là phương pháp tựa giá trị biên (quasiboundary value, gọi tắt là phương
pháp QBV) để chỉnh hóa bài toán phi tuyến thuần nhất, đưa ra ước lượng ổn


3
định hơn các phương pháp từng có. Năm 1994, Clark và Oppenheimer [4]
chỉnh hóa bài toán tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp QBV. Gần đây,
một số phiên bản khác của phương pháp QBV trong bài toán tuyến tính đã
được đưa ra bởi Denche và Bessila [5] và Hao et al. [6]. Một số phương pháp
chỉnh hóa khác cho bài toán tuyến tính được phát triển bởi Ames và Hughes
[2], Huang et al. [7], Ivanov et al. [8], Lee và Sheen [10], và Mel’nikova et al.
[12].
Mặc dù đã có nhiều công trình về bài toán ngược trong trường hợp tuyến
tính thuần nhất, nhưng trường hợp phi tuyến thì hiếm hơn. Mới đây, Long và
Dinh [11] đã xấp xỉ ( 0.1) với thời gian cuối T = 1 bởi bài toán
−(1−t ) β AA β

v′β ( t )=
f=
+ Aβ vβ ( t ) e
( vβ ) , v β ϕ ,

trong đó =
Aβ A ( I + β A )

−1

là một toán tử xấp xỉ của A . Tuy nhiên, họ thu

được đánh giá sai số của t −2 ( ln (1 / ε ) )

−1

với mỗi t > 0 . Đánh giá này thuộc

loại logarit tại t > 0 cố định nhưng không dùng được khi t = 0 .
Nội dung chính của luận văn là dùng phương pháp QR để chỉnh hóa bài
toán và cải tiến kết quả hội tụ của các phương pháp trước đây, đồng thời
chứng minh phương pháp này có độ ổn định tốt hơn các nghiên cứu trước đó.
Đặc biệt, phương pháp này thật sự hiệu quả khi xét đến bài toán phi tuyến.
Bài toán ( 0.1) được xấp xỉ bởi

d ε
=
u ( t ) + Aε u ε ( t ) B ( ε , t ) f ( t , u ε ( t ) ) =
( 0 ≤ t < T ) , u ε (T ) ϕ
dt

( 0.3)

trong đó Aε và B ( ε , t ) được định nghĩa theo ( 0.4 ) và ( 0.5 ) dưới đây.

=
v
Với mỗi v ∈ H có khai triển
nghĩa các toán tử như sau

∞

v pφ p ,
∑
p =1

v p ∈=
, p 1,2,..., ta định


4
∞

S ( t )( v ) = ∑ e

−tl p

p =1

v pφ p ,

(

)

1 N
−T l
Ae ( v ) = − ∑ ln el p + e p v pφ p ,
T p =1
∞

(

, t )( v ) ∑ 1 + l p e
B ( ee
=
p =1

T lp

)

t −T
T

( 0.4 )

v pφ p , t ∈ [ 0, T ] ,

t −T

T

∞

(

, t )( v ) = ( A + S (T ) ) ( v ) = ∑ l p + e
Q ( eee
p =1

−T l p

( 0.5)

)

t −T
T

v pφ p ,

với N ∈ * , N =
N ( ε ) sao cho lN ≤ T −1 ln (T ε −1 ) .
Ngoài phần mở đầu giới thiệu về đề tài cũng như nội dung cần đạt được,
luận văn được viết thành ba chương chính:
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Phần này trình bày cơ bản những định nghĩa, ví dụ, định lý về các không
gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, đại số
Banach, phổ của toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… và các bổ đề là các bất đẳng
thức được sử dụng để chứng minh trong chương 3.

Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH
Phần này nêu và chứng minh các định lý quan trọng.
Chương 3. ÁP DỤNG
Phần này đưa ra một ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp đã trình bày.


5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Đa phần các kết quả dưới đây được tổng hợp từ [1], [3].
1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1.1. Kí hiệu K là trường số thực  hoặc trường số phức  .
Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên K là một tập

X ≠ ∅ , trong đó có một phép cộng X × X → X và một phép nhân vô hướng
K × X → X , thỏa mãn các điều kiện
1)

x + y = y + x,

2)

( x + y ) + z =x + ( y + z ) ,

3)

x,
Tồn tại θ ∈ X , gọi là phần tử trung hòa sao cho x + θ =

4)

∀x ∈ X \ {θ } , tồn tại − x ∈ X , gọi là phần tử đối của x sao cho
x + ( − x ) =θ ,

5)

λ ( x + y ) = λ x + λ y,

6)

( λ + µ ) x =λ x + µ x,

7)

( λµ ) x = λ ( µ x ) ,

8)

Tồn tại phần tử 1∈ K sao cho 1.x = x

với mọi x, y, z ∈ X , mọi λ , µ ∈ K .
Ví dụ.
1. C [ a, b ] tập hợp các hàm thực (hoặc phức) liên tục trên [ a, b ] là không
gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số và phép nhân
thông thường.


6


x
2. l=  =

2

∞

( x1 , x2 ,..., xn ,...) , xi ∈ K , ∑ xi
i =1

2


< ∞  là không gian tuyến tính


với phép cộng và phép nhân một số theo tọa độ.
1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.1.2.1. Cho X là không gian vectơ trên trường K. Chuẩn trên X là
một ánh xạ
. :X →

thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau
N1: x ≥ 0, ∀x ∈ X ;
N2:=
λx λ x ,

x = 0⇔ x= θ,

∀x ∈ X , λ ∈ K ,

N3: x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X .
Định nghĩa 1.1.2.2. Một không gian vectơ X trên K cùng với chuẩn . trong
nó được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn trên K (thường gọi là
không gian định chuẩn), kí hiệu ( X , . ) .
Định nghĩa 1.1.2.3. Một dãy { xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là
dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 , tồn tại n0 (phụ thuộc ε ) sao cho với mọi
n, m ≥ n0 ta đều có xn − xm < ε .

Định nghĩa 1.1.2.4. Một không gian được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi
dãy Cauchy đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.2.5. Một không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian
Banach.
Ví dụ.
1. C [ a, b ] với chuẩn x : = sup x ( t ) là không gian Banach.
a ≤t ≤b

1/2

2
 ∞
2. l là không gian Banach với chuẩn x =  ∑ xi  .
 i =1


2

7
1.1.3. Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Định nghĩa 1.1.3.1. Cho ( X , .

) là không gian định chuẩn và

f : X → X . Ta

có:
 f là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số k ≥ 0 sao cho với mọi

x, y ∈ X , f ( x ) − f ( y ) ≤ k x − y .
 Số k bé nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là hệ số Lipschitz
của f .
 Nếu k < 1 ta nói f là ánh xạ co hệ số k hay đơn giản f là k – co.
 Điểm x0 ∈ X là điểm bất động của f nếu f ( x0 ) = x0 .
Định lý 1.1.3.2. (Định lý điểm bất động) Cho

(X, . )

là không gian

Banach. Khi đó mọi ánh xạ co f : X → X đều tồn tại điểm bất động duy
nhất, nghĩa là phương trình f ( x ) = x có nghiệm duy nhất.
1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1.
 Cho X là một không gian vector trên trường số K ( K =  hoặc

K =  ). Một ánh xạ từ X × X vào K , ( x, y )  x, y được gọi là
một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

x, x = 0 ⇔ x = θ ,

i)

x, x ≥ 0;

ii)

y, x = x, y ( y, x = x, y nếu K =  ),

iii)

x + x′, y = x, y + x′, y ,

iv)

λ x, y = λ x, y ,

với mọi x, x′, y ∈ X , λ ∈ K .


8
 Nếu .,. là một tích vô hướng trên X thì cặp ( X , .,.

)

được gọi là

không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita, không gian

với tích vô hướng).
 Nếu .,. là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x  x =

x, x là

một chuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Một không
gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi
tích vô hướng). Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta
nói

( X , .,. )

là không gian Hilbert. Từ đây về sau ta kí hiệu H là

không gian Hilbert.
Ví dụ.
1. Không gian L2 ( X , µ ) (với X là tập đo được Lebesgue bất kì trong  n
, µ là độ đo Lebesgue) là không gian vector gồm tất cả các hàm đo
được f từ X vào K sao cho f

2

khả tích Lebesgue.

Với mọi f , g ∈ L2 ( X , µ ) , ánh xạ

( f ,g) 

f , g = ∫ f g dµ
X

là một tích vô hướng trong L2 ( X , µ ) . Tích vô hướng này sinh ra
1/2


2
chuẩn f =  ∫ f  . L2 ( X , µ ) là không gian Hilbert.
X

∞


=
2. l 2 ( x1 , x2 ,..., xn ,...) : xk ∈ , ∑ xk 2 < ∞ .
k =1



Trong l 2 , với x = { xi } , y = { yi } , ánh xạ

( x, y ) 

∞

x, y = ∑ xk yk
k =1


9
là một tích vô hướng. Tích vô hướng này sinh ra chuẩn

1/2

 ∞

x =  ∑ xk 2  . ( l 2 , .,.
 k =1 

) là không gian Hilbert.

3. Trong C [ a, b ] các hàm thực liên tục trên [ a, b ] thì ánh xạ
b

x, y = ∫ x ( t ) y ( t ) dt

( x, y ) 

a

là một tích vô hướng. Không gian ( C [ a, b ] , .,.

) không là không gian

Hilbert.
Tính chất 1.2.2.
a) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: x, y ≤ x y , ∀x, y ∈ X .
b) Công thức nhị thức: x ± y = x + y ± 2Re x, y , ∀x, y ∈ X .
2

2

2

(

c) Đẳng thức bình hành: x + y + x − y= 2 x + y
2

2

2

2

) , ∀x, y ∈ X .

Định nghĩa 1.2.3.
 Hai vector x, y trong không gian tiền Hilbert X được gọi là trực giao
với nhau (kí hiệu x ⊥ y ) nếu x, y = 0 .
 Cho M ⊂ X . Tập

M ⊥ :=

{x ∈ X :

x, y = 0, ∀y ∈ M }

được gọi là phần bù trực giao của M.
 Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert X là một tập con A các
vector khác 0 của X sao cho hai vector khác nhau bất kì của A đều trực
giao với nhau.

 Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu x = 1 với mọi

x ∈ A . Nói cách khác {en } là một hệ trực chuẩn nếu en = 1 với mọi
n ∈ * và ei ⊥ e j ( i ≠ j ) .


10


 x

Chú ý, nếu A là một hệ trực giao thì =
hệ B  : x ∈ A là hệ trực


 x


chuẩn, và ta gọi hệ B là trực chuẩn hóa của hệ A.
 Hệ trực chuẩn {en } trong không gian Hilbert H gọi là đầy đủ (hay toàn
vẹn) nếu và chỉ nếu nó có tính chất sau
∀n ∈ * , x ⊥ en ⇒ x =θ .

 Một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert H được gọi là một
cơ sở trực chuẩn của H.
Định lý 1.2.4. Cho {en } là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H.
Khi đó
∞

∑

a) x
=

n =1

b)
=
x
2

∀x ∈ H (Khai triển Fourier).

x, en en ,
∞

∑
n =1

x, en

2

,

∀x ∈ H (Đẳng thức Parseval).

1.3. Lý thuyết toán tử
1.3.1. Toán tử tuyến tính
Giả sử X, Y là các không gian vectơ trên cùng một trường K.

Định nghĩa 1.3.1.1. Một không gian S được gọi là không gian con tuyến tính
của X nếu S ⊂ X và S là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.1.2. A là toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y nếu miền xác
định D ( A ) của nó là không gian con tuyến tính của X và với mọi
x1 , x2 ∈ D ( A ) , mọi α , β ∈ K ,

A (α x1 + β x2 )= α A ( x1 ) + β A ( x2 ) .

Đối với một toán tử tuyến tính, ảnh A ( x ) thường được viết là Ax .


11
Định lý 1.3.1.3. Cho X, Y là các không gian định chuẩn, A là toán tử tuyến
tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y. Khi đó, A liên tục trên D(A) nếu và chỉ nếu tồn tại
hằng số c sao cho với mọi x ∈ D ( A ) ta có
Ax

Y

≤c x

X

.

(1.1)

Cận dưới đúng của các hằng số c thỏa mãn (1.2) được gọi là chuẩn của A
, hay A inf {c : Ax Y ≤ c x X , ∀x ∈ X } . Do đó
và được kí hiệu là A=

Ax
=
= sup
=
A sup
Ax sup Ax .
x
x≠0
x ≤1
x=
1

(1.2 )

Một toán tử tuyến tính thỏa mãn (1.1) được gọi là bị chặn. Vì vậy ta có
các kết quả quan trọng:
Định lý 1.3.1.4. Các khẳng định sau tương đương
i)

A bị chặn.

ii)

A liên tục tại x = 0 , nghĩa là xn → 0 ⇒ Axn → 0 .

iii) A liên tục với mọi x ∈ X .
Định lý 1.3.1.5. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử tuyến
tính từ X vào Y. Nếu X hữu hạn chiều thì A liên tục.
1.3.2. Không gian các toán tử tuyến tính
Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên cùng một trường số K.

Kí hiệu L
vào Y. L

( X ,Y )

( X ,Y )

là không gian các toán tử tuyến tính liên tục A từ X

là không gian con tuyến tính của K – không gian vectơ

L ( X , Y ) tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y.

Bổ đề 1.3.2.1. L

( X ,Y )

là không gian định chuẩn, với chuẩn (1.2).

Định nghĩa 1.3.2.2. Một dãy các toán tử tuyến tính liên tục { An } ⊂ L

( X ,Y )

gọi là hội tụ đến A nếu An − A → 0 khi n → ∞ , trong trường hợp đó ta nói
An hội tụ đều về A.


12
Định lý 1.3.2.3. Nếu Y là không gian Banach thì L

( X ,Y )

là không gian

Banach.
1.3.3. Toán tử nghịch đảo
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử từ
X vào Y. Nếu với y ∈ Y tùy ý có không quá một x ∈ X sao cho Ax = y , thì A
được gọi là toán tử 1-1. Trong trường hợp này, tương ứng từ Y qua X xác định
một toán tử; toán tử này được gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu A−1 . Khi đó ta
nói A là khả nghịch và AA−1 = 1 (1 = IY là ánh xạ đồng nhất trên Y).
1.3.4. Toán tử liên hợp
Trong phần này, ta kí hiệu L

(H )

là không gian các ánh xạ tuyến tính

liên tục từ H vào H.
Định nghĩa 1.3.4.1. Toán tử liên hợp của A∈ L

(H )

là toán tử A* ∈ L

(H )

sao cho Ax, y = x, A* y với mọi x, y ∈ H .
Định lý 1.3.4.2. Với mọi A∈ L

(H )

toán tử liên hợp A* tồn tại và duy nhất,

hơn nữa ( A* )* = A và A* = A .
Định nghĩa 1.3.4.3. Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là tự liên
hợp nếu A* = A .
1.3.5. Toán tử compact
Định nghĩa 1.3.5.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính A : X → Y được gọi là compact nếu ảnh A ( B ) của hình cầu đơn vị đóng
B trong X là compact tương đối trong Y, nghĩa là A ( B ) là tập compact.
Định lý 1.3.5.2.


13
i)

Giả sử An : X → Y là một dãy các toán tử compact từ không gian
Banach X vào không gian Banach Y, A : X → Y bị chặn, An hội tụ
đến A theo chuẩn, nghĩa là
=
An − A sup
x≠0

An x − Ax
→0
x

( n → ∞ ).

Khi đó A cũng là toán tử compact.
ii)

Nếu A∈ L

( X , Y ) , B ∈ L (Y , Z )

và A hoặc B compact thì BA

compact.
1.4. Phổ của toán tử
Định nghĩa 1.4.1. Đại số Banach là một không gian Banach phức  cùng với
phép toán nhân có tính chất kết hợp và phân phối với phép cộng (nhưng
không giao hoán) thỏa mãn

λ=
( xy )

λ x) y
(=

x (λ y )

và
xy ≤ x y

với mọi x, y ∈ , λ ∈ .
Ví dụ. Nếu X là không gian Banach thì không gian L

(X )

với phép nhân là

phép hợp thành các ánh xạ là đại số Banach.
Định nghĩa 1.4.2.
 Số λ ∈ K được gọi là giá trị chính quy đối với A∈L

(X )

nếu

λ − A = λ.1 − A là khả nghịch trong L ( X ) .
Trong trường hợp ngược lại ta nói λ là giá trị phổ của A.
Kí hiệu S ( A ) và σ ( A ) lần lượt là tập các giá trị chính quy và phổ
của A. Rõ ràng S ( A ) ∪ σ ( A ) =
K , S ( A) ∩ σ ( A) =
∅.


14
 Số λ được gọi là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính A∈ L

(X )

nếu

tồn tại 0 ≠ x ∈ E sao cho λ x − A ( x ) =
0.
Khi đó x được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ .
Nhận xét 1.4.3. Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ ( A ) .

1.5. Không gian C ([ 0, T ]; H )
Định nghĩa 1.5.1. Không gian C ([ 0, T ]; H ) bao gồm tất cả các hàm liên tục
u : [ 0, T ] → H với

u=
max u ( t ) < ∞ .
C ([ 0,T ]; H )
0≤t ≤T

1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều
Lấy X là không gian Banach phức với chuẩn . . Ta kí hiệu L

(X )

là

đại số Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X mà chuẩn cũng được
kí hiệu là . .
Bài toán 1.6.1. Tìm tất cả các ánh xạ T (.) :  + → L

( X ) thỏa mãn phương

trình hàm

( FE )

=
T ( t + s ) T ( t ) T ( s )

T ( 0 ) = I .

∀t , s ≥ 0,

Định nghĩa 1.6.2. Một họ (T ( t ) )t ≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian Banach X được gọi là nửa nhóm (một tham số) trên X nếu nó thỏa mãn
phương trình hàm (FE). Nếu (FE) đúng với mọi t , s ∈  , ta gọi (T ( t ) )t∈ là
một nhóm (một tham số) trên X.
Định nghĩa 1.6.3. Lấy tùy ý toán tử A∈ L

( X ) , ta định nghĩa

∞

t k Ak
,
e := ∑
k =0 k !
tA

(1.3)


15
với chuỗi hội tụ trong đại số Banach L
Mệnh đề 1.6.4. Với A∈ L

( X ).

( X ) , ta định nghĩa ( etA )t ≥0

theo (1.3). Khi đó các

tính chất sau đây đúng.
i)

(e )
tA

t ≥0

là nửa nhóm trên X sao cho

( X ),

 +  t  etA ∈ (L

. )

là liên tục.
ii)

( X ),

Ánh xạ  +  t  T ( t =
) : etA ∈ (L

. ) là khả vi và thỏa mãn

phương trình vi phân
d

=
 T ( t ) AT ( t )
 dt
T ( 0 ) = I .


( DE )

∀t ≥ 0,

( X ),

Ngược lại, mỗi hàm khả vi T (.) :  + → (L
đều có dạng T ( t ) = etA với A∈ L
Cuối cùng, ta chú ý rằng A =

. ) thỏa mãn (DE)

( X ).

d
T ( t ) 1.
dt
t =0
F
0

Chứng minh.
Chứng minh i).
∞

tk A
Vì chuỗi ∑
k!
k =0

k

hội tụ nên áp dụng công thức tích Cauchy của chuỗi

vô hạn ta có
t k Ak ∞ s k Ak ∞ n t n − k An − k s k A k
.∑
.
= ∑∑
∑
k!
k 0 k! =
k 0 k!
n 0=
k 0 ( n − k )!
=
=
∞

=

( tA + sA)
=
n

∞

∑

n!

∞

∑

n 0=
n 0
=

1

(t + s )

n

A

n!


n

.

Ở phần sau, ta kí hiệu đạo hàm với biến số thực t bởi “ . ”, nghĩa là T ( 0 ) =

d
T (t ) .
dt
t =0