Ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN
VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUYÊN

Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011

LỜI CẢM ƠN
B
0

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành
và giúp đỡ tôi trong thời gian qua.

Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011
Lê Thị Thu Huyền


MỤC LỤC
B
1

LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................................... 3
0T

T
0

MỤC LỤC ................................................................................................................................ 4
0T

T
0

MỞ ĐẦU .................................................................................................................................. 7
0T

T
0

CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị ............................................................................................ 8
0T

0T

1.1.Các kiến thức cơ bản về vành .................................................................................................................. 8
0T

0T

1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị: ............................................................................................................... 8
T
0

0T

1.1.2.Ideal của vành giao hoán R: ............................................................................................................. 8
T
0

0T

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X .......................................................................................................................... 8

T
0

0T

1.2.Ước của 0 và miền nguyên ...................................................................................................................... 8
0T

0T

1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị: ...................................................................................... 8
T
0

T
0

1.2.2.Miền nguyên: ................................................................................................................................... 8
T
0

0T

Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy: ............................. 9
0T

T
0

1.3.Linh tử hóa: ............................................................................................................................................. 9

0T

T
0

1.4.Module: ................................................................................................................................................... 9
0T

T
0

1.4.1.Module: ........................................................................................................................................... 9
T
0

0T

1.4.2.Module con ...................................................................................................................................... 9
T
0

0T

1.4.3.Ví dụ :............................................................................................................................................ 10
T
0

T
0

1.5.Module tự do ......................................................................................................................................... 10
0T

0T

1.5.1.Định nghĩa: .................................................................................................................................... 10
T
0

0T

1.5.2.Ví dụ:............................................................................................................................................. 10
T
0

T
0

1.5.3.Một vài định lí: .............................................................................................................................. 10
T
0

0T

CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA
0T

KHÔNG ...................................................................................................................................12
T
0

2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN ................................................................................................................ 12
0T

0T

2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN: ................................................................................................................ 12
T
0

0T


2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt : ...................................................................................................... 12
T
0

0T

2.1.3. Các phép toán trên ma trận ............................................................................................................ 13
T
0

0T

2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận: ................................................................... 14
T
0

T

0

2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận .......................................................................................... 14
T
0

T
0

2.1.6.Ma trận bậc thang .......................................................................................................................... 15
T
0

0T

2.2. ĐỊNH THỨC ....................................................................................................................................... 16
0T

0T

2.2.1. Định nghĩa 2.2.1: .......................................................................................................................... 16
T
0

0T

2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức: ............................................................................................... 17
T
0

T
0

2.2.3. Ma trận con và định thức con: ....................................................................................................... 17
T
0

0T

2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:............................................................................................... 18
T
0

T
0

2.2.5. Ma trận khả nghịch ....................................................................................................................... 19
T
0

0T

2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN .............................................................................................. 21
0T

T
0

Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): ............................................................................................................ 21
T

0

0T

Định nghĩa 2.3.2: .................................................................................................................................... 22
T
0

0T

Hệ quả 2.3.2: .......................................................................................................................................... 23
T
0

0T

Định nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2): ........................................................................................................... 24
T
0

0T

Tính chất 2.3.3:....................................................................................................................................... 24
T
0

0T

2.4. Hệ phương trình tuyến tính ................................................................................................................... 29
0T

0T

Định lí 2.4.1: .......................................................................................................................................... 29
T
0

0T

Hệ quả 2.4.1: .......................................................................................................................................... 31
T
0

0T

Định lí 2.4.2: .......................................................................................................................................... 32
T
0

0T

Định lí 2.4.3: .......................................................................................................................................... 33
T
0

0T

Ví dụ 2.4.3:............................................................................................................................................. 33
T
0

T
0

Định lí 2.4.4: .......................................................................................................................................... 34
T
0

0T

Hệ quả 2.4.4: .......................................................................................................................................... 36
T
0

0T

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE .............................................37
0T

T
0

3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO..................................................... 37
0T

T
0


Định nghĩa 3.1.1: .................................................................................................................................... 37

T
0

0T

Định lí 3.1.1: .......................................................................................................................................... 37
T
0

0T

Định lí 3.1.2: .......................................................................................................................................... 37
T
0

0T

Ví dụ 3.1.2:............................................................................................................................................. 38
T
0

T
0

Bổ đề 3.1.2: ............................................................................................................................................ 38
T
0

T
0

Định lý 3.1.3........................................................................................................................................... 39
T
0

0T

Hệ quả 3.1.3: .......................................................................................................................................... 39
T
0

0T

Hệ quả 3.1.3: .......................................................................................................................................... 41
T
0

0T

3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO .......................................................................................................... 41
0T

0T

Định lí 3.2.1: .......................................................................................................................................... 41
T
0

0T

Định nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do).............................................................................................. 42
T
0

T
0

Định lí 3.2.2............................................................................................................................................ 43
T
0

T
0

Ví dụ 3.3.2:............................................................................................................................................. 45
T
0

T
0

KẾT LUẬN .............................................................................................................................46
0T

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................47
0T

0T


MỞ ĐẦU
B
2

Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số
thực. Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết
quả đa dạng và phong phú. Những kết quả này, chúng ta đã được học trong chương trình đại số
tuyến tính năm nhất đại học. Tuy nhiên nếu thay trường bẳng một cấu trúc đại số khác, mà cụ
thể ở đây là trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không thì các kết quả đã biết có còn
đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ nguyên, tính
chất nào không còn bảo toàn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào
trong lí thuyết môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không.
Vấn đề đặt ra giúp ta nhìn lại những kết quả đã biết trong một hướng gợi mở mới mẻ, qua
đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có
đơn vị, có ước của không.
Bố cục luận văn được chia thành ba chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hoán có đơn vị
Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết môđun
Tuy đã có nhiều cô gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh
khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành
cảm ơn.


CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị
3B

1.1.Các kiến thức cơ bản về vành
9B

1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:
B
0
2

 Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức ∀a , b ∈ R , ta có

ab = ba .
 Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là

∀a , b ∈ R , ta có a.1 = 1.a = a .

1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:
B
1
2

Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân
bên trái và bên phải. Tức là:

a.r ∈ A, r.a ∈ A với ∀r ∈ R , ∀a ∈ A .

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X
B
2

Cho X là tập con bất kì của vành R.

Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X.
Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R.

1.2.Ước của 0 và miền nguyên
10B

1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:
B
3
2

Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử a ≠ 0 của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b ≠ 0 của R sao cho ab = 0 . Khi đó ta nói R là vành có ước của 0.
Ví dụ:

 a 0 

, a , b ∈ R  là vành giao hoán có đơn vị và có ước của 0,
Vành M 2 = 
 0 b 

 7 0  0 0
 7 0  0 0   0 0 
 và 
 .
, 
 = 

vì trong M 2 có ma trận khác 0 là 
0

0
0
7
0
0
0
7
0
0


 
 




1.2.2.Miền nguyên:
B
4
2

Một vành giao hoán có đơn vị 1 (1 ≠ 0 ) và không có ước của 0 được gọi là miền nguyên.


Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:
4B

∀a , b, c ∈ R , a ≠ 0 : ac = bc ⇒ a (b − c ) = 0 ⇒ b − c = 0 ⇒ b = c .

1.3.Linh tử hóa:
1B

Cho M là R module.
 Với m ∈ M, Ann R (m ) = {x ∈ R xm = 0} gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.


Ann R (M ) = {x ∈ R xm = 0, ∀m ∈ M} gọi là linh tử hóa của M.

Nhận xét:
o Ann R (m ), Ann R (M ) là các ideal của R.
o Ann R (M ) = ∩ {Ann R (m ), ∀m ∈ M} .
o Với m ∈ M \ {0} , H = ∪ Ann R (m ) là tập tất cả ước của 0 của M.
o Nếu A ⊂ B thì Ann R (B) ⊂ Ann R (A ) với A, B là R- module

1.4.Module:
12B

1.4.1.Module:
B
5
2

Gỉa sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một module trên R là một nhóm abel M (viết theo
lối cộng) cùng với một ánh xạ

R×M → M
(a , x ) a ax
thường gọi là phép nhân vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) a (x + y ) = ax + ay
2) (a + b )x = ax + bx
3) (ab )x = a (bx )
4) 1x = x
với a , b ∈ R , x , y ∈ M

1.4.2.Module con
B
6
2

Cho R-module M và tập con khác rỗng N ⊂ M, N được gọi là module con của M nếu

∀x , y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, rx ∈ N.
Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0.


1.4.3.Ví dụ :
B
7
2

1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z.
2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là
module 0.
3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại.
4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng)
5) Nếu

A

là

một

ideal

của

vành

R

và

M

là

một

R-module

thì

AM = {a 1 x 1 + ... + a n x n a i ∈ A, x i ∈ M, n ∈ N} là R-module con của M.

1.5.Module tự do
13B

1.5.1.Định nghĩa:
B
8
2

Giả sử M là một R-module
 Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu
thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu
diễn duy nhất. Tức là:
Nếu

với

r1 , r2 , ...., rn ∈ R và

thỏa

s1 , s 2 , ...., s n ∈ S

0 = r1s1 + r2 s 2 + .... + rn s n thì

r1 = r2 = .... = rn = 0 .
 Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0.

1.5.2.Ví dụ:
B
9
2

{

Trên tập R n = (x 1 , x 2 , ..., x n ) x i ∈ R , i = 1, n

}

với hai phép toán sau:

(x1 , x 2 , ..., x n ) + (y1 , y 2 , ..., y n )= (x 1 + y1 , x 2 + y 2 , ..., x n + y n )
r (x 1 , x 2 , ..., x n ) = (rx 1 , rx 2 ,..., rx n )
trong đó r, x i , y i thuộc R.
Khi đó R n là R-module tự do có cơ sở e1 = (1, 0, ..., 0 ), e 2 = (0,1, 0, ....0 ), e n = (0, 0, ...,1) .

1.5.3.Một vài định lí:
B
0
3

Định lí 1: Nếu họ (M i )i∈I là các R module tự do thì M = ⊕ M i cũng là R module tự do.
i∈I