ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH







Lê Thị Thu Huyền




MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN
VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH






Lê Thị Thu Huyền



MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 05




Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUYÊN

Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011

0BLỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành
và giúp đỡ tôi trong thời gian qua.


Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011
Lê Thị Thu Huyền

1BMỤC LỤC
0TLỜI CẢM ƠN0T 3
0TMỤC LỤC0T 4
0TMỞ ĐẦU0T 7
0TCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị0T 8
0T1.1.Các kiến thức cơ bản về vành0T 8
0T1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:0T 8
0T1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:0T 8
0T1.1.3.Ideal sinh bởi tập X0T 8
0T1.2.Ước của 0 và miền nguyên0T 8
0T1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:0T 8
0T1.2.2.Miền nguyên:0T 8
0TTrong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:0T 9

0T1.3.Linh tử hóa:0T 9
0T1.4.Module:0T 9
0T1.4.1.Module:0T 9
0T1.4.2.Module con0T 9
0T1.4.3.Ví dụ :0T 10
0T1.5.Module tự do0T 10
0T1.5.1.Định nghĩa:0T 10
0T1.5.2.Ví dụ:0T 10
0T1.5.3.Một vài định lí:0T 10
0TCHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA
KHÔNG
0T 12
0T2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN0T 12
0T2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN:0T 12
0T2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt :0T 12
0T2.1.3. Các phép toán trên ma trận0T 13
0T2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận:0T 14
0T2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận0T 14
0T2.1.6.Ma trận bậc thang0T 15
0T2.2. ĐỊNH THỨC0T 16
0T2.2.1. Định nghĩa 2.2.1:0T 16
0T2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức:0T 17
0T2.2.3. Ma trận con và định thức con:0T 17
0T2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:0T 18
0T2.2.5. Ma trận khả nghịch0T 19
0T2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN0T 21
0TĐịnh nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1):0T 21
0TĐịnh nghĩa 2.3.2:0T 22
0THệ quả 2.3.2:0T 23
0TĐịnh nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2):0T 24

0TTính chất 2.3.3:0T 24
0T2.4. Hệ phương trình tuyến tính0T 29
0TĐịnh lí 2.4.1:0T 29
0THệ quả 2.4.1:0T 31
0TĐịnh lí 2.4.2:0T 32
0TĐịnh lí 2.4.3:0T 33
0TVí dụ 2.4.3:0T 33
0TĐịnh lí 2.4.4:0T 34
0THệ quả 2.4.4:0T 36
0TCHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE0T 37
0T3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO0T 37
0TĐịnh nghĩa 3.1.1:0T 37
0TĐịnh lí 3.1.1:0T 37
0TĐịnh lí 3.1.2:0T 37
0TVí dụ 3.1.2:0T 38
0TBổ đề 3.1.2:0T 38
0TĐịnh lý 3.1.3.0T 39
0THệ quả 3.1.3:0T 39
0THệ quả 3.1.3:0T 41
0T3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO0T 41
0TĐịnh lí 3.2.1:0T 41
0TĐịnh nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do)0T 42
0TĐịnh lí 3.2.2.0T 43
0TVí dụ 3.3.2:0T 45
0TKẾT LUẬN0T 46
0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 47

2BMỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số

thực. Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết
quả đa dạng và phong phú. Những kết quả này, chúng ta đã được học trong chương trình đại số
tuyến tính năm nhất đại học. Tuy nhiên nếu thay trường bẳng một cấu trúc đại số khác, mà cụ
thể ở đây là trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không thì các kết quả đã biết có còn
đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ nguyên, tính
chất nào không còn bảo toàn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào
trong lí thuyết môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không.
Vấn đề đặt ra giúp ta nhìn lại những kết quả đã biết trong một hướng gợi mở mới mẻ, qua
đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có
đơn vị, có ước của không.
Bố cục luận văn được chia thành ba chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hoán có đơn vị
Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết môđun

Tuy đã có nhiều cô gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh
khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành
cảm ơn.
3BCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị
9B1.1.Các kiến thức cơ bản về vành
20B1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:
 Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức
Rb,a ∈∀
, ta có
baab =
.
 Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là
Rb,a ∈∀
, ta có
aa.11.a ==

.
21B1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:
Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân
bên trái và bên phải. Tức là:
Aa.r,Ar.a ∈∈
với
Aa,Rr ∈∀∈∀
.
22B1.1.3.Ideal sinh bởi tập X
Cho X là tập con bất kì của vành R.
Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X.
Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R.

10B1.2.Ước của 0 và miền nguyên
23B1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:
Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử
0a ≠
của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử
0b ≠
của R sao cho
0ab =
. Khi đó ta nói R là vành có ước của 0.
Ví dụ:
Vành







∈








= Rb,a,
b0
0a
M
2
là vành giao hoán có đơn vị và có ước của 0,
vì trong
2
M
có ma trận khác 0 là

















70
00
,
00
07
và








=

















00
00
70
00
00
07
.
24B1.2.2.Miền nguyên:
Một vành giao hoán có đơn vị 1
( )
01≠
và không có ước của 0 được gọi là miền nguyên.
4BTrong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:
( )
cb0cb0cbabcac:0a,Rc,b,a =⇒=−⇒=−⇒=≠∈∀
.
11B1.3.Linh tử hóa:
Cho M là R module.
 Với
( )
{ }
0xmRxmAnn,Mm
R

=∈=∈
gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.

( )
{ }
Mm,0xmRxMAnn
R
∈∀=∈=
gọi là linh tử hóa của M.
Nhận xét:
o
( ) ( )
MAnn,mAnn
RR
là các ideal của R.
o
( ) ( ){ }
Mm,mAnnMAnn
RR
∈∀∩=
.
o Với
{ }
0\Mm∈
,
( )
mAnnH
R
∪=
là tập tất cả ước của 0 của M.

o Nếu
BA ⊂
thì
( ) ( )
AAnnBAnn
RR
⊂
với A, B là R- module
12B1.4.Module:
25B1.4.1.Module:
Gỉa sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một module trên R là một nhóm abel M (viết theo
lối cộng) cùng với một ánh xạ
( )
axx,a
MMR
a
→×

thường gọi là phép nhân vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau đây:
( )
( )
( ) ( )
xx1)4
bxaxab)
3
bxaxxba)2
ayaxyxa)1
=
=
+=

+
+=+

với
My,x,Rb,a ∈∈

26B1.4.2.Module con
Cho R-module M và tập con khác rỗng
N,MN ⊂
được gọi là module con của M nếu
.Nrx,Nyx:Rr,Ny,x ∈∈+∈∀∈∀

Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0.
27B1.4.3.Ví dụ :
1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z.
2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là
module 0.
3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại.
4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng)
5) Nếu A là một ideal của vành R và M là một R-module thì
{ }
Nn,Mx,Aaxa xaAM
iinn11
∈∈∈++=
là R-module con của M.
13B1.5.Module tự do
28B1.5.1.Định nghĩa:
Giả sử M là một R-module
 Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu
thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu

diễn duy nhất. Tức là:
Nếu với
R
r ,,r,r
n21
∈
và
Ss ,,s,s
n21
∈
thỏa
nn2211
sr srsr0 +++=
thì
0r rr
n21
====
.
 Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0.
29B1.5.2.Ví dụ:
Trên tập
( )
{ }
n,1i,R
xx ,,x,xR
in21
n
=∈=

với hai phép toán sau:

( )
n21
x ,,x,x
+
( )
n21
y ,,y,y
=
( )
nn2211
yx ,,yx,yx +++

( ) ( )
n21n21
rx, ,rx,rxx ,,x,xr =

trong đó r,
ii
y,x
thuộc R.
Khi đó
n
R
là R-module tự do có cơ sở
( ) ( ) ( )
1 ,,0,0e,0 ,0,1,0e,0 ,,0,1e
n21
===
.
30B1.5.3.Một vài định lí:

Định lí 1: Nếu họ
( )
Ii
i
M
∈
là các R module tự do thì
i
Ii
MM
∈
⊕=
cũng là R module tự do.
Định lí 2: R-module M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trự tiếp của họ nào đó các
bản sao của vành hệ tử R.



5BCHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC
CỦA KHÔNG
14B2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN
Xét R là vành giao hoán có đơn vị
31B2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN:
Cho m, n là hai số nguyên dương.
Ma trận A cấp
nm×
trên R là một hệ gồm
nm×
hệ tử aR
ij

R thuộc R với
m,1j,n,1i ==
và được
sắp xếp thành hình chữ nhật gồm m dòng và n cột .














=
mn2m
1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A

Trong đó a
R
ij
R là một phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j hay ở vị trí
( )
j,i
của ma trận A.
Tập hợp tất cả ma trận cấp
nm×
trên R kí hiệu
( )
R,nmM ×
.
32B2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt :
1) Ma trận không :
Ma trận A cấp
nm×
trên R được gọi là ma trận không nếu tất cả các phần tử của A đều
bằng 0. Kí hiệu:
( )
nm
0
×
.
2) Ma trận vuông :
Ma trận A cấp
nm×
trên R được gọi là ma trận vuông nếu
nm =

Khi đó ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n trên R. Tập hợp tất cả các ma trận
vuông cấp n trên R kí hiệu là M(n,R).
3) Ma trận tam giác: Cho ma trận A cấp n trên R. Ma trận A được gọi là ma trận tam giác
trên (dưới) nếu a
R
ij
R =0 với mọi
( )
jiji <>
.
4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấp
nm×
trên R được gọi là ma trận đường chéo nếu aR
ij
R
=0 với mọi
ji ≠
.
5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả
các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Ma
trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là I
R
n
R .
 Tính chất:
Cho A
∈
M(n,R),
( )
R,nmMB ×∈

, IR
n
R là ma trận đơn vị cấp n trên R.
Ta có
BI.B,AA.II.A
nnn
===
.
6) Hai ma trận bằng nhau :Cho
( ) ( )
ijij
bB,aA ==
là hai ma trận cấp
nm×
trên R. Hai
ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu các phần tử ở cùng vị trí tương ứng bằng
nhau. Kí hiệu
ABhayBA ==
.
33B2.1.3. Các phép toán trên ma trận
1) Phép cộng hai ma trận :
Cho hai ma trận
( )
ij
aA =
và
( )
ij
bB =
có cùng cấp

nm×
trên R.
Định nghĩa:
Tổng của hai ma trận A và B là ma trận
( )
ij
cC =
cấp
nm×
với
ijijij
bac +=
.
Kí hiệu:
BAC +=

Tính chất:

( ) ( )
CBACBA ++=++


ABBA +=+


( ) ( )
A00A
nmnm
+=+
××


( )
nm
0AA
×
=−

2) Phép nhân hệ tử với ma trận :
Cho ma trận
( )
ij
aA =
cấp
nm×
và hệ tử k, l trên R .
Định nghĩa:
Tích của k và A là ma trận
( )
ij
bB =
cấp
nm×
với
ijij
a.kb =
.
Tính chất:

( )

kBkABAk +=+


( )
lAkAAlk +=+


( ) ( )
lAkAkl =


AA.1 =

3) Phép nhân hai ma trận :
Cho hai ma trận
( )
ij
aA =
cấp
nm×
và
( )
ij
bB =
cấp
pn×
trên R.
Tích của ma trận A và B là ma trận
( )
ij

cC =
cấp
pm×
với
nkink22ik11iij
b.a b.ab.ac +++=

Kí hiệu:
B.AC =
.
4) Phép chuyển vị :
Cho ma trận
( )
ij
aA =
cấp
nm×
trên R.
Định nghĩa:
Ma trận chuyển vị của A là ma trận
( )
ji
aB =
cấp
nm×
.
Kí hiệu:
t
AB =

Tính chất:
Cho A, B cấp
nm×
, C cấp
pn×
trên R và hệ tử k trên R.

( )
tt
t
BABA +=+


( )
AA
t
t
=


( )
tt
t
A.CAC =


( )
t
t
A.kkA =

34B2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận:
 Tính chất phân phối:
Cho các ma trận A, B cấp
nm×
, C cấp
pn×
, D cấp
mp×
trên R.
Ta có:
( ) ( )
DBDABAD,BCACCBA +=++=+

 Tính chất kết hợp:
Cho ma trận A cấp
nm×
, B cấp
pn×
, C cấp
qp×
trên R.
Ta có:
( ) ( )
BCACAB =

35B2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Cho ma trận
( )
ij

aA =
cấp
nm×
trên R. Gọi
( )
m,1id
i
=
là dòng thứ i của ma trận A.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A :
1) Đổi chỗ hai dòng i,
( )
li,m,1il ≠=
của ma trận A.

















↔

















a aa

a aa

dd
.

a aa

a aa

in2i1i

ln2l1l
ki
ln2l1l
in2i1i

2) Nhân vào dòng thứ i (
m,1i =
) của A với một hệ tử k khác không của R














→

















ka kaka

kdd
.


a aa

in2i1i
ii
in2i1i

3) Cộng vào dòng thứ i của A với tích của hệ tử k trên R với dòng thứ 1
)ji,m,1j,i( ≠=
.

















+++
+→

















kaa kaakaa

a aa

kddd
.

a aa

a aa

lnin2l2i1l1i
ln2l1l
lii
ln2l1l
in2i1i


Tương tự trong các phép biến đổi sơ cấp trên, nếu ta thay “dòng “ bằng “cột “ thì ta có các
phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và các phép biến đổi sơ cấp trên cột gọi chung là các
phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận giúp ta chuyển được ma trận tới dạng như mong
muốn. Một trong những dạng ma trận mà ta thu được sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ
cấp là ma trận bậc thang.
36B2.1.6.Ma trận bậc thang
1) Định nghĩa 2.1.6:
Cho
( )
ij
aA =

là ma trận cấp
nm×
trên R.
A được gọi là ma trận bậc thang theo dòng nếu có một số nguyên r
{ }
( )
n,mmin,1r =
và một
dãy các chỉ số cột
nj jj1
r21
≤<<<≤
, sao cho các phần tử của A thỏa mãn :
a)
0a
ij
=
nếu
mir ≤<
hoặc (
ri1 ≤≤
và
i
ji1 ≤≤
)
b)
0a
,,a,a
r21
rjj2j1

≠
.
Tương tự ta cũng có ma trận bậc thang theo cột. Ma trận bậc thang theo dòng và ma trận bậc
thang theo cột gọi chung là ma trận bậc thang.
2) Định lí 2.1.6:
Cho A là ma trận khác không cấp
nm×
(
2n,m ≥
) trên miền nguyên R.
Qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta luôn đưa được A về dạng ma trận
bậc thang dòng.
3) Hệ quả 2.1.6:
Mọi ma trận vuông khác không cấp n (
2n ≥
) trên miền nguyên R đều có thể đưa về dạng
ma trận tam giác trên (dưới) nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột).
15B2.2. ĐỊNH THỨC
Trước hết, ta nhắc lại khái niệm phép thế
Cho tập hợp
{ }
n, ,2,1S =
(n>0). Mỗi song ánh
SS: →σ
được gọi là phép thế bậc n.
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu S
R
n
R.
 Với

1n =
: SR
1
R có một phần tử nên ta có ánh xạ
RS:sign
1
→
đồng nhất biến
11
S
→
.
 Với
n
S:2n ∈σ∀=
ta xét ánh xạ
RS:sign
n
→
biến
∏
≠
−
σ−σ
→σ
ji
ji
)j()i(
với
n,1j,i =

 Với
1n ≥
, ta có
{ }
1,1sign −∈
. Nếu
1sign =
thì
σ
được gọi là phép thế chẵn,
1sign −=
thì
σ

được gọi là phép thế lẻ.

37B2.2.1. Định nghĩa 2.2.1:
Cho
( )
ij
aA =
là ma trận vuông cấp n trên R.
Định thức của ma trận A trên R được cho bởi công thức
( )
nn
a
n
S
22

a
11
a.sign
σ
∑
∈σ
σσ
σ













và kí hiệu là detA hay
A

Ta có
nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a
aa
A =


38B2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng không phụ thuộc vào tính riêng
biệt của trường (mọi phần tử khác không đều khả nghịch) vẫn hoàn toàn đúng cho định thức trên
vành giao hoán có đơn vị.
1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và A
P
t
P là ma trận chuyển vị của ma trận A. Khi đó
t
AdetAdet =
.
2) Nếu ma trận vuông A cấp n trên R có ít nhất một dòng không thì thì detA=0.
3) Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì của một ma trận vuông thì định thức của nó đổi dấu.
4) Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA=0
5) Cho ma trận vuông
( )
ij
aA =
cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k
thuộc R (
0k ≠
) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là
Adet.k

ka kaka

in2i1i
=

Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có
( ) ( )
AdetkA.kdet
n
=

Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội
Rk ∈
của một dòng khác thì det A=0.

6) Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội
Rk ∈
của một dòng khác thì định
thức của nó không đổi.
Cho ma trận vuông
( )
ij
aA =
cấp n trên R và giả sử dòng thứ i (
n,1i =
) của A có tính chất
R
c,b,n,1j,cba
ijijijijij

∈=+
=
. Khi đó, ta có:


c cc



b bb



cb cbcb

Adet
in2i1iin2i1iinin2i2i1i1i
+=
+++
=

39B2.2.3. Ma trận con và định thức con:
Cho
( )
ij
aA =
là ma trận vuông cấp n (
1n ≥
) trên R, ta đặt
AdetD =

và
( )
n,1kk =
là số nguyên
dương. Trong ma trận A ta chọn ra k dòng i
R
1
R, iR
2
R,… iR
k
R
( )
ni ii1
k21
≤<<<≤
và k cột cột jR
1
R,
j
R
2
R,….,jR
k
R
( )
nj jj1
k21
≤<<<≤
nào đó. Khi đó những phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột

đã nói ở trên theo thứ tự đó lập thành ma trận vuông cấp k, ma trận đó được gọi là ma trận vuông
con cấp k của A và được kí hiệu là
k21k21
j jji ii
M
Ta có
k21k21
j jji ii
M














=
kk2k1k
n22212
k12111
jijiji
jijiji
jijiji

a aa

a aa
a aa


Định thức của ma trận con
k21
i ii
M
được gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là
k21
i ii
D

Khi xóa đi k dòng, k cột ở trên của A ta cũng thu được ma trận vuông con cấp
( )
kn −
của A và kí
hiệu
)j jji ii(
k21k21
N
. Định thức của ma trận con
)j jji ii(
k21k21
N
kí hiệu là
)j jji ii(
k21k21

D
.
Phần bù đại số của định thức con
k21k21
j jji ii
D
được kí hiệu là
k21k21
j jji ii
A
và cho bởi công thức
( )
( )
)j jji ii(
j jji ii
j jji ii
k21k21
k21k21
k21k21
D.1A
+++++++
−=
.

40B2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:
Định lý 2.2.4.1:
Cho
( )
ij
aA =

là ma trận vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R,
ij
A
là bù đại số của
n,1j,i,a
ij
=
.
Khi đó ta có:
1)
∑
=
=
n
1i
ijij
AaAdet
(Công thức khai triển định thức tho cột thứ j)
2)
∑
=
=
n
1j
ijij
AaAdet
(Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i )

Hệ quả 2.2.4.1:
Cho
( )
ij
aA =
là ma trận vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R. Nếu tồn tại hai chỉ số
n,1j,i =
sao cho
0a
ik
≠
với
jk =
và
0a
ik
=
với
jk ≠
thì
ikik
A.aAdet =
.

Hệ quả 2.2.4.2: Cho
( )
ij

aA =
là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R. Khi đó det
A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A.

Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace)
Cho
( )
ij
aA =
là ma trận vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay
k cột)
( )
nk2 ≤≤

( )
k21k21
j ,,j,jhayi, ,,i,i
. Khi đó ta có
∑
=
kk
ADAdet
, trong đó DR
k

R chạy
khắp tất cả các định thức cấp k của A trên k dòng (hay k cột ) đã chọn, A
R
k
R là phần bù đại số của DR
k
R.

Từ định lí trên ta có hệ quả sau :
Hệ quả 2.2.4.3: Với mỗi ma trận vuông
( )
ij
aA =
cấp n trên R, ta có:
1)
( )
( )
( )
n,1j,i
ikkhi0
ikkhiAdet
AdetAa
ik
n
1j
kjij
=∀




≠
=
=δ=
∑
=

2)
( )
( )
( )
n,1k,j
jkkhi0
jkkhiAdet
AdetAa
jk
n
1i
ikij
=∀



≠
=
=δ=
∑
=


Định lý 2.2.4.3:

Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n trên R.
Khi đó
( )
Bdet.AdetABdet =
.
41B2.2.5. Ma trận khả nghịch
Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông
cấp n trên R sao cho
n
IBAAB ==
. Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí
hiệu là
1
AB
−
=
.
Ma trận B (nếu có) là duy nhất, thật vậy giả sử tồn tại ma trận C cấp n trên R sao cho
n
ICAAC ==

,ta có
( ) ( )
CCICBAACBBIB
nn
=====
.
Tập hợp tất cả các ma trận khả nghịch cấp n trên R, được kí hiệu là GL(n,R).
Tính chất của ma trận khả nghịch:
1) Ma trận đơn vị I

R
n
R là ma trận khả nghịch
2) Nếu A,B là hai ma trận vuông cấp n khả nghịch thì AB cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch
và
( )
11
1
ABAB
−−
−
=
.
3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì
t1
A,A
−
cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và
( ) ( ) ( )
t
1
1
t
1
1
AA,AA
−
−−
−
==

.

Định lý 2.2.5: Cho
( )
ij
aA =
là ma trận vuông cấp n trên R. Gọi
( )
ij
bB =
sao cho
( )
( )
ji
ji
ij
Adet1b
+
−=
với
ji
A
là ma trận nhận được khi xóa đi dòng j cột i của ma trận A. Khi đó ta
có
1)
( )
.I.AdetBAAB
n
==

2) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch

Chứng minh 1)
Đặt
( ) ( )
R,nMcAB
ik
∈=
. Khi đó:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kn
nk
in2k
2k
2i1k
1k
1i
nkink22ik11iik
Adet1a Adet1aAdet1a
ba babac
+++
−++−+−=
+++=

Nếu
ki =
thì ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

AdetAdet1a Adet1aAdet1a
Adet1a Adet1aAdet1ac
in
ni
in2i
2i
2i1i
1i
1i
kn
nk
in2k
2k
2i1k
1k
1iik
=−++−+−=
−++−+−=
+++
+++

Nếu
ki ≠
thì ta thay dòng thứ k trong ma trận A bằng dòng thứ i, ta nhận được ma trận
'A
. Trong
ma trận
'A
nếu ta bỏ đi dòng k cột j thì ta nhận được ma trận bằng với ma trận thu được từ A bằng
cách bỏ đi dòng k cột j, nghĩa là

kjkj
A'A =
.Thay vào biểu thức của
( )
ik
c
ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0'Adet'Adet1a 'Adet1a'Adet1ac
kn
nk
in2k
2k
2i1k
1k
1iik
==−++−+−=
+++

Từ đó, ta có:
( )
( )
n,1k,i
kikhi0
kikhiAdet
c
ik
=∀




≠
=
=

Suy ra
( )
n
I.AdetAB =

Vậy
( )
.I.AdetBAAB
n
==


Chứng minh 2)
Gỉa sử A là ma trận khả nghịch.
Khi đó tồn tại ma trận
( )
R,nMB∈
sao cho
( )
.I.AdetBAAB
n
==

Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1Adet.BdetBdet.AdetABdet ===
. Suy ra det A khả nghịch
Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có:
( ) ( )
( )( )
( )
( )
n
11
n
IABAdetBAdetAI.AdetBAAB ==⇒==
−−

Vậy ma trận A khả nghịch.

Chú ý: Nếu
0Adet ≠
trong vành giao hoán có đơn vị R thì ta không thể kết luận ma trận A khả
nghịch
Ví dụ 2.2.5: Cho
( )
Ζ∈









= ,2M
32
12
A
.
Ta thấy
04Adet ≠=
nhưng 4 không khả nghịch trong Z nên A không khả nghịch trong
( )
Ζ,2M
.
16B2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN
Tương tự hạng của ma trận trên trường, ta có một số định nghĩa về hạng của ma trận trên vành R như
sau:
42BĐịnh nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1):
Cho ma trận A cấp
nm×
trên R. Cấp cực đại của những định thức con khác không của A được gọi là
hạng của nó và kí kiệu
( )
Ark
.

Ví dụ 2.3.1:
Xét trên vành
6
Z
, ma trận











=
033
141
252
A
.
Ta có
( )
03Adet ≠=
nên theo định nghĩa 1,
( )
3Ark =
.
Dựa trên ý tưởng trong lí thuyết trường, A là ma trận cấp 3 có
( )
3Ark =
nên A là ma trận khả nghịch,
suy ra detA khả nghịch. Nhưng điều này vô lí vì 3 không là phần tử khả nghịch trong
6
Z
.
Vậy, định nghĩa 1 không cho ta kết quả tương tự như trên trường về mối quan hệ giữa tính khả nghịch

và hạng của ma trận vuông.
Mâu thuẫu này xuất phát từ đâu? Mọi phần tử khác không trên trường đều khả nghịch, còn trên vành
phần tử khác không chưa chắc đã khả nghịch. Như vậy, nếu ta bỏ qua các ma trận con của A có định
thức là 0 hoặc là ước của 0 thì hạng của ma trận và các tính chất đã có của ma trận trên trường có sự
biến hóa như thế nào?

43BĐịnh nghĩa 2.3.2:
Cho
r,1t∈
với
{ }
n,mminr =
, ideal của R sinh ra bởi tất cả các định thức của ma trận con cấp
tt ×
của
A được kí hiệu
( )
A
I
t
.
Dựa vào cách tính định thức của định lí Laplace, ta có
( )
AI
1t+
là ideal con của
( )
AI
t
.

Khi đó ta có dãy sau:
( )
RII IAI
121rr
⊆⊆⊆⊆⊆
−

Để thuận tiện, ta mở rộng định nghĩa
( )
AI
t
với t là số nguyên bất kì:
( )
(
) { }



≤
>
=
0tkhiR
n
,mmintkhi0
AI
t

Lúc đó dãy ideal được mở rộng như sau:
( ) ( ) ( ) ( )
RAIII IAIAI0

0121rr1r
=⊆⊆⊆⊆⊆⊆=
−+


Bổ đề 2.3.2:
Cho
( ) ( )
RMC,RMB
nppm ××
∈∈
. Khi đó
( ) ( ) ( )
CIBIBCI
ttt
∩⊆
với t là số nguyên bất kì.
Chứng minh:
Xét
{ }
n,mmint1 ≤≤

Gọi
( )
n21
C δδδ=
(
i
δ
là cột thứ i của ma trận) suy ra

( )
n21
B BBBC δδδ=

∆
là phần tử sinh của
( )
BCI
t
xác định bởi định thức của ma trận con cấp t gồm các cột
t21
j ,,j,j
của BC.
Ta có
( )
( )
CI I
tjjjt
t21
⊆δδδ

Và
( )
( )( ) ( )
t21t21t21
jjjtjjjtjjjt
I BIB BBI δδδ⊆δδδ=δδδ∈∆

Nên
( )

CI
t
∈∆
.
Không mất tính tổng quát ta chứng minh với
mnt ≤=
.
Gọi
( )
n ,,2,1;i ,,i,i
n21
∆=∆
trong đó
mi ii1
n21
≤<<<≤
và
( )
( )
RMbB
pmij ×
∈=

và
( ) ( )
∑
=
=
P
1j

jiji
CRowbBCRow
với
m,1i =
. Ta có
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
CRow; ;CRowdetc
CRowb; ;CRowbdet
BCRow; ;BCRowdet
n ,,2,1;i ,,i,i
n1
n1
n1
n1
n1
p
1, ,

p
1j
jjij
p
1j
ji

ii
n21
αα
=αα
αα
==
∑
∑∑
=








=
=
∆=∆

Trong đó
n1

c
αα
thuộc R và
( ) ( )
( )
( )

CICRow; ;CRowdet
n
n1
∈
αα
. ( lưu ý nếu
pn >
thì
( ) ( )
( )
0CRow; ;CRowdet
n1
=
αα
) với
p,1
i
=α
.
Vậy
( ) ( ) ( )
CICIn ,,2,1;i ,,i,i
ttn21
∈∆⇒∈∆=∆
.
Ngoài ra
( )
( )
t
AIAI

αα
=

Nên
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
BIBIBCIBCIBCI
ttt
t
ααααα
=⊆==

Hệ quả 2.3.1:
Cho
( ) ( ) ( )
R,nGlQ,R,mGlP,RMA
nm
∈∈∈
×
. Khi đó
( ) ( )
AIPAQI
tt
=
với t là số nguyên bất kì.
Chứng minh:
Theo bổ đề 4.5, ta có
( ) ( ) ( )

( )
( )
PAIPAPIAIPAI
t
1
ttt
⊆=⊆
−


Suy ra
( ) ( )
PAIAI
tt
=
và
( ) ( )
AQIAI
tt
=

Ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )
AIPAIQPAIPAQI
tttt
===

Như vậy ta đã chứng minh được
( ) ( )
AIPAQI

tt
=
.
44BHệ quả 2.3.2:
Cho A là ma trận cấp
nm×
trên R.
Theo định nghĩa của
( )
AI
t
và khái niệm linh tử hóa, ta có:
( )( ) ( )( )
AIAnnAIAnn
1tRtR +
⊆
.
Từ đó:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
R0AnnAIAnn AIAnnAIAnnRAnn0
RrR2R1RR
=⊆⊆⊆⊆⊆=

Nhận xét:
 Nếu
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
≠

thì với
( )( ) ( )
0AIAnn,tk
kR
≠≥∀

 Nếu
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=
thì phần tử thuộc
( )
AI
t
không là ước của 0 trên R.
( ) ( ) ( )
( )
( )
AQIQAQIAIAQI
t
1
ttt
⊆=⊆
−
 Nếu
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=

thì với
( )( ) ( )
0AIAnn,tk
kR
=≤∀


Như vậy, nếu
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=
thì với mọi
,tk ≤
ta có:
o phần tử của
( )
AI
k
không là ước của 0 trên R và khác 0.
o các ma trận con cấp k của A có định thức không là ước của 0 và khác 0.

Nếu ta gọi q là giá trị lớn nhất của số nguyên t sao cho
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=
thì các ma trận con của A có
cấp nhỏ hơn q chắc chắn sẽ không là ước của 0 và khác 0. Vấn đề lo ngại của ta ban đầu, định thức của
ma trận con của A là ước của 0 sẽ làm thay đổi hạng của ma trận A, đã được giải quyết.

45BĐịnh nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2):
Cho A là ma trận cấp
nm×
trên R.
Hạng của ma trận A được định nghĩa là số nguyên dương t lớn nhất thỏa
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=

Ta phân biệt với hạng của ma trận theo định nghĩa 1 và kí hiệu hạng của ma trận A là
( )
Ark
.
Khi đó:
( ) ( )( ) ( )
{ }
0AIAnntmaxArank
tR
==
.
46BTính chất 2.3.3:
Cho A là ma trận cấp
nm×
trên R.
1)
( ) { }
n,mminArank0 ≤≤

2)

( )
( )
t
ArankArank =

3)
( ) ( )
PAQrankArank =
với
( ) ( )
R,nGlQ,R,mGlP ∈∈

4)
( )
0Arank =
khi chỉ khi
( )( ) ( )
0AIAnn
1R
≠
, tức là hạng của ma trận A bằng 0 khi chỉ khi mọi
phần tử của A đều bằng 0 hoặc là ước của 0.
5) Nếu
nm =
thì
( )
nArank <
nếu chỉ nếu định thức của ma trận A là ước của 0.
6) Nếu tồn tại định thức con cấp r của A khác 0 và không là ước của 0 thì
( )

rArank ≥
.
Chứng minh:
1) Do
( )
RAI
0
=
và
( )
0RAnn
R
=
nên
( )
0Arank ≥
.
Mà nếu
{ }
n,mmint >
thì
( )
0AI
0
=
suy ra
( )
R0Ann
R
=

nên
( ) { }
n,mminArank ≤
.
2)do
( )
( )
t
AIAI
αα
=
nên
( )
( )
t
ArkArk =
.
3) do
( ) ( )
AIPAQI
tt
=
nên
( ) ( )
PAQrankArank =
.
4), 5), 6): theo định nghĩa 2) của hạng ma trận.

Ví dụ 2.3.2:
1) Cho







=
20
22
A
trên vành
6
Z

Ta có
( )
2AI
1
=
nên
( )( ) ( )
0AIAnn
1R
≠
. Do đó
( )
0Arank =
.
Trong lý thuyết ma trận trên trường, ma trận có hạng là 0 khi ma trận đó là ma trận (0). Tuy nhiên
trong vành ma trận khác (0) vẫn có thể có hạng bằng 0 như trong ví dụ 1 trên.

Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng
( )
( )
RMaA
nmij ×
∈=
có
( )
0Arank =
nếu và chỉ nếu tồn tại
0x,Rx ≠∈
sao cho
( )
m,1j,n,1i0xa
ij
===
.

2) Cho






=
30
02
B
trên vành

6
Z

Ta có
( )
13,2BI
1
==
nên
( )( ) ( )
0BIAnn
1R
=
. Suy ra
( )
1Brank ≥
.
Lại có
( )
0Bdet =
nên
( )
2Brank <
. Vậy
( )
1Brank =
.
3) Cho







=
50
21
C
trên vành
6
Z

Ta có
( )
5Cdet =
khả nghịch trên
6
Z
nên ma trận C là ma trận khả nghịch.
Vậy
( )
2Crank =
.
Nhận xét:
Nếu F là trường thì
( )( ) ( ) ( ) ( )
0AI0AIAnn
ttF
≠⇔=
nên hạng A là số nguyên t lớn nhất thỏa A

có ma trận con cấp
tt ×
có định thức khác 0. Nói cách khác nếu R là trường thì định nghĩa 2) về
hạng trùng với định nghĩa quen thuộc về hạng mà ta đã biết trong đại số tuyến tính.

 Một trong những phương pháp để tính hạng của ma trận trên trường phổ biến được dùng là sử
dụng phép biến đổi sơ cấp. Ba phép biến đổi sơ cấp:
1) Đổi chỗ hai dòng của ma trận
2) Nhân một dòng của A với một hệ tử khác 0.
3) Cộng vào một dòng tích của hệ tử k với một dòng khác