TIỂU LUẬN sác XUẤT THỐNG kê, đại học CÔNG NGHIỆP TPHCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ

TIỂU LUẬN:


Nhóm thực hiện: nhóm 9
Lớp: B211301106
Khóa: 2007-2011
Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH

STT

Họ và tên

MSSV

1

Lê Duy

0770247

2

Đoàn Thế Anh

0771380

3

Võ Anh Khoa

0770216

4
5

Lưu Ngọc Quang
Nguyễn Ngọc Hiếu

0770596
0770605

6

Phạm Đức Huân

0771719

7

Chu Thành Khải

0772540

8

Thạch Nhật Quang

0772245

9

Vũ Đình Hiến

0771031

TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ

TIỂU LUẬN:


Nhóm thực hiện: nhóm 9
Lớp: B211301106
Khóa: 2007-2011
Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH

TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009

PHẦN 1 : LÝ THUYẾT
A .Các khái niệm cơ bản của xát suất
1. Biến cố ngẩu nhiên
Phép thử và biến cố
- phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm nào đó hay quan sát một hiện
tượng nào đó để xem có xảy ra hay không. Hiện tượng có xảy ra hay
không trong phép thử được gọi là biến cố ngẩu nhiên . Biến cố ngẩu
nhiên được ký hiệu A,B,C…
Các loại biến cố.

- Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra được
gọi là không gian mẩu ký hiệu là Ω


- Mỗi phân tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến cố được
gọi là biến cố sơ cấp
a) Biến cố chắc chắn . trong một phép thử , biến cố nhất định xảy ra
là chắc chắn , ký hiệu là Ω
b) Biến cố không thể . Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép
thử , ký hiệu là ∅
c) Số trường hợp đồng khả năng
- Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như
nhau được gọi là đồng khả năng.
- Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều đồng khả năng thì
số phân tử của
không gian mẫu được gọi là số trường hợp đồng khả năng của phép
thử.
d) Các phép toán
Cho A,B ⊂ Ω
- Tổng của A và B là C = A ∪ B hay C=A+B . C xảy ra khi ít nhất 1
trong hai biến cố A,B xảy ra.
Quan hệ giửa các biến cố
a) Biến cố xung khắc
- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng
thời xảy ra trong một phép thử
- Họ các biến cố A1 , A2 , A3 , …, An được gọi là xung khắc ( hay đôi
một xung khắc ) khi một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến
cố còn lại không xảy ra . Nghỉa là Ai ∩ Aj = ∅ , ∀ i ≠ j .
b) Biến cố đối lập
- Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng thỏa mãn 2

điều kiện sau :
1) A và B xung khắc với nhau


2) Phải có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra nghĩa là A∪ B = Ω
II XÁT SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.1.Định nghĩa xát suất dạng cổ điên
Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng ,
trong đó có m khả

năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì

xát suất của A là :
P(A) = =

Ưu điểm và hạn chế
-

Ưu điểm : Tính được chính xát giá trị của xác suất mà không cần

thực hiện phép thử.
-

Hạn chế : Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn các biến cố và

các biến cố không đồng khả năng
2.2 Định nghĩa theo thống kê
- Quan sát biến cố A trong 1 phép thử nào đó , lặp lại phép thử n lần với
điều kiện như nhau .Gọi m là số lần xuất hiện thì tần suất của A trong n
phép thử là fn(A)=.

- Xát suất của biến cố A là P(A) = lim fn (A) . Trong thực hành , với n đủ
lớn thì
P(A)
≈ fn (A) .
Ưu điểm và hạn chế
-Ưu điểm : không đòi hỏi phép thử có hữu hạn các biến cố và biến
cố đồng khả năng mà dựa trên quan sát thực tế , vì vậy định nghĩa này
được ứng dụng rộng rãi .


- Hạn chế : Đòi hỏi phải lăp lại phép thử nhiều lần , Trong thực tế có
nhiều bài toán không cho phép do diều kiện và kinh phí làm phép thử.

2.3.Định nghĩa theo hình học
Cho miền Ω . Gọi độ đo của Ω là độ dài , diện tích ,thể tích ( ứng với Ω là
đường cong, miền phẳng khối ) . Gọi A là biến cố điểm M ∈ S ⊂ b Ω .
Ta có P(A) = .
2.4 Tính chất của xác suất
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , với mọi biến cố A ;

ii) P(∅ ) = 0

iii)

P(Ω)=1
2.5 Ý nghĩa của xát suất
Xát suất là số đo mức độ tin chắc , thường xuyên xảy ra của 1 biển cố
trong phép thử.
Chú ý : Xát suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử
III. CÔNG THỨC TÍNH XÁT SUẤT

3.1 Công thức cộng xát suất
a) Biến cố xung khắc
-A và B xung khắc thì : P(A∪ B) = P(A) + P(B)
- Họ { Ai} (i=1,2,…,n) thì : P ( A1 ∪ A2 ∪….∪ An )=P(A1) + P(A2) + …+
P(An).
b) Biến cố tùy ý
- A và B là hai biến cố tùy ý thì : P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(AB).
- Họ {Ai} ( i = 1,2,…,n) các biến cố tùy ý thì :
 n

P   Ai  =
 i =1 

).

∑ P( Ai) - ∑ P( AiAj )
n

i −1

i< j

+

∑ P( AiAjAk )

i< j
+ …+ (-1)n-1P(A1A2….An

c) Biến cố đối lập :
P ( A ) = 1 - P(A)
1.3 Công thức cộng
i. A, B xung khắc, tức AB=∅.
P(A∩B)=P(A)+P(B)
Mở rộng: A,B,C xung khắc từng đôi: P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)+P(C)
ii. A, B bất kỳ:
P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AB)
iii. P(Ā)=1-P(A).
1.4 Công thức nhân xác suất
1.4.1 Xác suất có điều kiện:
Định nghĩa:
Cho 2 biến cố A và B. Xác suất có điều kiện của A với
điều kiện B, ký hiệu P(A/B), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy
ra.
Công thức tính:

P(A / B) =

P(AB)
, P(B) > 0
P(B)

P(B / A) =

P(BA)
, P(A) > 0
P(A)

1.4.2 Biến cố độc lập, công thức nhân:

Biến cố độc lập: 2 biến cố A và B gọi là độc lập nếu P(A/B)=P(A) (hoặc
P(B/A)=P(B)), tức là sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh
hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia.
Chú ý:
+ Biến cố A, B độc lập ⇔ Ā, B độc lập.


+ Việc kiểm tra tính độc lập của các biến cố thường dựa vào thực
tế và trực giác.
Công thức nhân:
+ A, B độc lập: P(AB)=P(A)P(B).
Mở rộng:
+ A, B tùy ý:
Mở rộng:

P(A1A 2 ...A n ) = P(A1 )P(A 2 / A1 )P(A 3 / A1A 2 )...
...P(A n / A1A 2 ...A n −1 )

1.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
1.5.1 Hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi
Hệ các biến cố: được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép
A1 U A 2 U ... U A n = Ω
thử bắt buộc có 1 và chỉ 1 biến
cố xảy ra
A i A j = ∅, i ≠ j
1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức giả thiết Bayes:
Nếu trong một phép thử có biến cố B và một hệ đầy đủ các biến cố xung
khắc từng đôi

-Công thức xác suất đầy đủ:

P(B) = P(A1 )P(B / A1 ) + P(A 2 )P(B / A 2 ) +...
+P(A n )P(B / A n ).

- Công thức Bayes (giả thiết):

P(A i / B) =

P(A i )P(B/ A i )
n

∑ P(A )P(B/ A )
i=1

i

II. Biến ngẩu nhiên và luật phân phối xác suất
1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẩu nhiên
a. Khái niệm:

i

=

P(A i )P(B/ A i )
P(B)


- Một biến số được gọi là ngẩu nhiên nếu trong kêtd quả của phép thử nó

nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự
tác động của các nhân tố ngẩu nhiên.
- các biến cố ngẩu nhiên được gọi là:X,Y,Z...còn các giá trị của chúng
là:x,y,x...
b. phân loại biến ngẩu nhiên:
- Biên ngẩu nhiên (bnn) được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể lập nên 1
tập hợp hữu hạn hoặc điếm được.
1.2 Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên
- Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên là một cách biểu diễn quan
hệ giữa các giá trị của biến ngẩu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó
nhận các giá trị đó.
1.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên
a. trường hợp rời rạc
Cho biến ngẩu nhiên rời rạc X có X = { x1,x2,...xn } với xác suất tương
ứng là pi =P { X= xi}

X
P

x1
P1

x2 .... xn

p2

.....pn

Ta có phân phối xác suất (dạng bảng )

Trong đó : pi . 0 ;

i

=1

i

= 1( vô hạn) P{ a < X < b } =

i

b.Trường hợp liên tục
Trường hợp biến ngẩu nhiên liên tục thi phân phối xác suất được gọi là
hàm độ xác suất cho biến ngẩu nhiên liên tục X.Hàm f(x), x R được gọi
là hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa:


F(x)

i)

0,

x

R ; ii)

; iii) P{ a < X < b } = )

Chú ý
- Nhiều khi người ta dùng kí hiệu fx(x) để chỉ hàm độ xác suất để
nhận giá trị cụ thể .
-

Do P{ a

= P{ a

= P{ a

=

- Về măt hình học ,xác suất biến ngẩu nhiên (bnn) X nhận giá trị
(a;b) bằng diện tích hình thang cong giới hạn x=a ,x=b ,y = f(x) và
trục Ox .
-

Nếu f(x) thỏa f(x)

0, x R và

thì f(x) là hàm xác

suất của bnn nào đó .

1.2.2 Hàm phân phối xác suất
- Hàm phân phôi xác suất của biến ngẩu nhiên X ,kí hiệu F(x) hoặc F x(x),
là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x (với x là số thực bất kì . F(x)
=P{ X

+hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên
trái của số x.
+Với biên ngẩu nhiên rời rạc X = { x1, x2,…xn} : FX (x) =

∑ pj

x j
- giả sử x1
F (x) =

{

0

nếu x ≤ x1

p1

nếu x1 < x ≤ x2

p1 + p2

nếu x2 < x ≤ x3

……………………………..


p1+p2 + …+pn-1 nếu xn-1 < x ≤ xn

1

nếu x > xn

2.2 ĐLNN liên tục
2.2.1 Định nghĩa
Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó
2.2.2 Hàm phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối
xác suất f(x) được định nghĩa
2.2.3 Một số tính chất cơ bản
i. liên tục và

+∞

f (x) = FX′ (x), ∀x ∈ ¡

ii. ∫ f (x)dx = 1
−∞

iii. P[a ≤ X ≤ b] = P[a < X ≤ b]
b

2.3 Một số luật phân phối

= P[a ≤ X < b] = P[a < X < b] = ∫ f (x)dx

2.3.1 Loại rời rạc

a

2.3.1.1 Phân phối siêu bội
n −k
Định nghĩa: Ta nói
phối siêu bội với xs tương ứng
CXk cóCphân

P[X = k] =

NA

C

N −N A
n
N

, k = 0,1,..., n

2.3.1.2 Phân phối nhị thức:

* Dãy phép thử Bernoulli
Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện
+ các phép thử độc lập với nhau.
+ trong mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến bc A nào đó. Nếu A xảy
ra thì phép thử gọi là thắng lợi, ngược lại phép thử gọi là thất bại.


+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như P(A)
nhau= p

và=1 − p
P(A)

Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số lần xuất hiện bc thắng lợi A
trong dãy n phép thử Bernoulli, với P(A)=p. Hãy tìm luật phân phối của
X
Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thức với xs tương ứng

P[X = k] = C kn p k q n −k , k = 0,1,..., n
2.3.1.3 Phân phối Poisson:
Cho ĐLNN rời rạc X. Ta nói X có phân phối Poisson với tham số
X nhận các giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng

P[X = k] =

e −λ λ k
, k = 0,1,2,...
k!

2.3.2 Loại liên tục
2.3.2.1 Phân phối chuẩn:
ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ ppxs có dạng
−
1
f (x) =
e
σ 2π

trong đó µ, σ2 là các tham số,

Ký hiệu

( x −µ)2
2 σ2

σ >. 0

X ∈ N(µ, σ 2 )

2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩn
i . Phân phối chuẩn đơn giản:

2

+ Hàm mật độ ppxs của T:
+ Với

T ∈ N(0,1)

f (t) =

t
−
1
e 2
2π

thì
β

P[α ≤ T ≤ β] =∫ f (t)dt = ϕ(β) −ϕ( α)
α

, nếu


ở đây ta sử dụng ham Laplace (bảng B ở phụ lục).
Chú ý: Khi sử dụng bảng B, ta chú ý
a.

ϕ( −x) = −ϕ(x)

b. với x>5

ϕ(x) ≈ 0,5

Từ đây, ta có

ϕ( −∞) = −0,5, ϕ( +∞) = 0,5
ii. Phân phối chuẩn tổng quát
* Định lý:

X ∈ N(µ, σ2 ) ⇒ T =

X −µ
∈ N(0,1)
σ

* Với X ∈ N(µ, σ2 )
thì

 x −µ 
 x −µ 
P[x1 ≤ X ≤ x 2 ] =ϕ 2
−ϕ 1
÷
÷
2.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (vectơ ngẫu nhiên)
 σ 
 σ 
2.4.1 Định nghĩa
Một cặp ĐLNN được xét đồng thời (X,Y) gọi là vectơ ngẫu nhiên. VTNN
chia làm hai loại:
+ rời rạc nếu X và Y rời rạc
+ liên tục nếu X và Y liên tục
2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên

Y y
1

2.4.2.1 Loại rời
Xrạc

y 2 ... y n

PX

x1 ppxs
p11 đồng
p12thời
...của

p1nX và Yp1
* Bảng
x 2 p21 p22 ... p2n

p2

M
M
x m p m1 p m2 ... pmn p m
1
P Y q1 q 2 ... q n


pij = P[X = x i , Y = y j ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
m

n

∑∑p
i =1 j=1

ij

=1

Phân phối lề
+ của X :

n

pi = P[X = x i ] = ∑pij , 1 ≤ i ≤ m
(cộngj=1theo dòng i)

X
PX
+ của Y :

x1
p1

x 2 ... x m
p2 ... p m
m

q j = P[Y = y j ] = ∑ pij , 1 ≤ j ≤ n
i =1

(cộng theo cột j )

y1

y 2 ...

yn

P Y q1

q 2 ...

qn

Y


Phần hai : BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục
tiêu bị tiêu diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng. Gọi X là số đạn bắn đến khi
mục tiêu bị diệt. Tìm
a) P( K = x) với x = 3; 4; 5;6
b) Tìm E(x)
Giải
a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận
các giá trị x = 3, 4, 5, 6.
Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi
viên là 0,6. Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi
phép thử là 0,6
X có phân phối nhị thức X ~ B (6 ; 0,6)
P( X = 3) = C63 .(0, 6)3 .(0, 4)3 = 0, 27648
P ( X = 4) = C64 .(0, 6) 4 .(0, 4) 2 = 0,31104
P ( X = 5) = C65 .(0, 6)5 .(0, 4)1 = 0,1866
P ( X = 6) = C66 .(0, 6)6 .(0, 4)0 = 0, 0467

b ) E(X) = 3.0,27648 + 4. 0,31104 + 5. 0,1866 + 6. 0,0467 = 3,2868


Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với kì vọng 42tạ/ha và δ = 3 tạ/ha . Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa
ruộng thì có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha
Giải

Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X ~ N ( µ ,δ 2
)
Với kì vọng (năng suất trung bình) E ( X ) = µ = 42 tạ/ha và δ = 3 tạ/ha
Hay X ~ N (42 ,

)

Ta có: P(41 ≤ X ≤ 43) là năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không
quá 1 tạ/ha
 43 − 42 
 41 − 42 
P (41 ≤ X ≤ 43) = ϕ 
÷− ϕ 
÷
 3 
 3 
1
 1
1
= ϕ  ÷− ϕ  − ÷ = 2ϕ  ÷ = 2.0,1293 = 0, 2586
 3
 3
 3

Vậy P(41 ≤ X ≤ 43) = 0,2586
Câu 3: Cho hàm mật độ của BNN (X) như sau

a) Kiểm chứng là hàm mật độ
b) Tìm kì vọng của BNN X
Giải

a) f(X) là hàm mật độ nếu

+∞

thật vậy :

∫

100

f ( X )dx =

−∞
+∞

=

Nên f(x) là hàm mật độ

2000
dx
x3
100

∫ 0.dx + ∫

−∞

2000
 1 

dx = 2000  − 2 ÷
3
x
 2x 
100

∫

+∞

+∞
=1
100


b)

=

E(X) =

+∞

100

+∞

−∞

−∞

100

∫ x. f ( x).dx = ∫ x.0.dx + ∫ x.

+∞

20000
1
.dx = −20000.
2
x
x
100

∫

2000
.dx
x3

+∞
= 200
100

Vậy E(X) = 200

Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là
0,8 . Của sinh viên B là 0,7 . Của sinh viên C là 0,6. Tìm xác suất của biến cố
sau:

a) Có 2 sinh viên làm được bài
b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không
làm được bài
Giải:
a) Gọi E là biến cố của 2 sinh viên làm được bài thì E =
ABC ∪ ABC ∪ ABC mà A,B,C độc lập và xung khắc từng đôi 1
⇒ P(E)=P(ABC ) + P(ABC) + P( ABC )

= P(A).P(B).( ) + P(A).P( ).P(C) + P( ). P(B).P(C)
= 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452
b) Gọi P( A /E) =

P ( A.E ) 0, 2.0, 7.0, 6
= 0,18584
=
0, 452
P( E )

Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi
trúng mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Mốt
Mod [X] ?
Giải:
Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì (

p

)

Gọi X là số viên đạn đã bắn. Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4
P(X=1) = p

P(X=2) = qp ( q = 1- p)


P(X=3) = qqp =

p

P(X=4) = qqqp=

p

P(X=1) = p có xác suất là lớn nhất.
Nên Mod ( X ) = 1
Câu 6: Cho Y = X 2 , Biết luật phân phối
X

-1

0

1

2

PX

0,1

0,3

0,4

0,2
Giải:

Xét Y = X 2
X

1

0

1

4

PX

0,1

0,3

0,4

0,2

Y

0

1

4

PY

0,3

0,5

0,2

Hay

Câu 7: Cho Z = 2X – Y + 5 biết
(X,Y)

(1,-1)

(1,0)

(1,1)

(2,-1)

(2,0)

(2,1)

Pij

0,1

0,15

0,05

0,3

0,2

0,2

6
0,05

10
0,3

9
0,2

8
0,2

Xét : Z = 2X – Y + 5
Z
P

Z

8
0,1

7
0,15


Hay bảng phân phối của Z là:
Z
P

6
0,05

Z

7
0,15

8
0,3

9
0,2

10
0,3

Câu 8: X có luật phân phối

X
P

X

1
0,1

2
0,1

3
0,2

4
0,3

Phương sai Var(2X + 1) ?
Giải:
Ta có: Var(2X + 1) = D(2X + 1) = D(2X) = 4D(X)
Với

D ( X ) = M ( X 2 ) − [ M ( X )]

2

M(X) = 1.0,1 + 2.0,4 + 3.0,2 + 4.0,3 = 2,7
M(

)=

.0,1 +

.0,4 +

.0,2 +

.0,3 = 8,3

⇒ D(X) = 8,3 - ( 2, 7 ) = 1,01
2

Nên D(2X + 1) = 4. 1,01 = 4,04
Câu

9

:Hai

biến

cố

A,

B

có

?

Giải


Câu 10/ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1
lựa chọn đúng . Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm . Tính sác xuất để
sinh viên làm được đúng 5 điểm .
Giải
Đề thi có 10 câu mỗi câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng . Vậy
trong 10 câu thì tỉ lệ đúng mỗi câu là

= 0,25 .

Gọi X là sỗ câu đúng đánh được ( cũng chính là số điểm đạt được)
Thì X có phân phối nhị thức X

B ( 10 ; 0,25)

Vậy xác suất để sinh viên được 5 điểm là P( X =5) =

.

= 5,8%

II
Gọi B là biến cố chọn được sinh viên nam
Đây là một hệ đầy đủ

.

= 0,058

a)

a)



)

Câu 14: Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95. Tìm
xác suất để số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong khoảng từ 900 đến 980.
Giải:
Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn . X có phân phối nhị thức X ~ B(1000 ;
0,95)
nhưng vì n = 1000 ( sản phẩm ) là lớn và p = 0,95 không quá gần 0 và 1 nên :
X ~ B(1000 ; 0,95) → X ~ H( , δ 2 )

Với :

= np = 1000.0,95 = 950
δ 2 = npq = 1000.0,95.0,05 = 47,5

=


Vậy : P(900 ≤ X ≤ 980) = (

980 − 950

47,5

)– (

900 − 950
47,5

)=

(4,35) -

(-7,25)

= 0,49999 + 0,5 = 0,99999
Câu 15: Có 2 lô hàng, mỗi lô gồm 10000 sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm loại I của
lô thứ nhất, thứ hai tương ứng là 70% , 80%. Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra
10 sản phẩm để kiểm tra (lấy không hoàn lại). Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra
kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó.
a) Tìm xác suất để lô hàng thứ nhất được mua
b) Tìm xác suất để ít nhất một lô hàng được mua
Giải:
A1 là biến cố lô hàng thứ nhất được mua
A2 là biến cố lô hàng thứ hai được mua
Xi là số sản phẩm lấy ra để kiểm tra
Theo đề bài thì lô hàng thứ nhất và thứ hai có quy luật phân bố siêu bội
.(lấy không hoàn lại)
XI ~ H(10000;7000;10)
XII ~ H(1000;8000;10)
Nhưng vì số tổng sản phẩm là N = 10000 rất lớn trong khi đó số sản phẩm lấy
ra n = 10 rất nhỏ nên có thể coi 2 lô hàn có quy luật phân phối nhị thức.

XI ~ B(10;0,7)

(P =

NA
=0,7)
N

XII ~ B(10;0,8)

(P =

NA
= 0,8)
N

a/ Xác suất để lô hàng thứ nhất được mua là:
P(A1)

= P(8 ≤ X ≤ 10) = P( X =8) + P( X =9) + P( X =10)
8

9

10

= C 10 .(0,7) 8 .(0,3) 2 + C 10 .(0,7) 9 . ( 0,3) 1 + C 10 .(0,7) 10 .(0,3) 0
= 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382.
b/ Xác suất để lô hàng thứ hai được mua là:
P(A2)

= P(8 ≤ X ≤ 10) = P( X =8) + P( X =9) + P( X =10)