Phương pháp giải nhanh hình không gian Trần Duy Thúc

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
L i nói đ u
Chào các Em h c sinh thân m n !
Câu hình h c không gian là m t n i dung quan tr ng trong đ thi c a B Giáo D c và ào T o.Câu
này không quá khó. Tuy nhiên nhi u Em h c sinh c ng lúng túng khi g p ph n này.

c bi t là khi

các Em tính kho ng cách hay ý sau c a bài toán. Qua nhi u n m tham gia ch m thi Th y nh n ra
đ

c r ng đa ph n các Em hay b m t đi 0,5 đi m

ý sau c a câu này. V i m c tiêu có th giúp Em

c m th y nh nhàn v i hình h c không gian và có th l y đ
m t quy n tài li u ắPH

c tr n đi m câu này. Th y biên so n

NG PHÁP GI I NHANH HÌNH KHÔNG GIAN” g i đ n các Em.

V i cách h th ng lý thuy t và các ví d đ

c xây d ng t cái góc c a v n đ , nâng d n đ n gi i

quy t các v n đ t ng quát. Th y tin r ng có th mang đ n cho các Em m t cái nhìn h t s c r ràng

v hình không gian và có đ
Th y chia ra thành 3 ch

c s t tin v hình h c không gian.

thu n l i cho vi c đ c tài li u

ng:

Ch

ng 1. Tóm t t lý thuy t quan tr ng

Ch

ng 2. Phơn d ng các bài toán kho ng cách

Ch

ng 3. Th tích và các bài toán liên quan

Cu i cùng, Th y c ng không quên nói r ng dù đã c g ng nh ng tài li u ch c ch n s không tránh
kh i sai sót nh t đ nh. Hi v ng nh n đ

c ph n h i t phía các B n đ c.

l n ch nh s a sau s

mang đ n cho chúng ta m t tài li u hoàn ch nh h n n a đ vi c h c t p c a các Em h c sinh hi u
qu nh t.

M i ý ki n đóng góp xin vui lòng liên hê m t trong các đ a ch sau:
+ Gmail:
+ Facebook: />Chân thành c m n các B n đ c!
Tr n Duy Thúc

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

1


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

Ch

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
ng 1. TÓM T T LÝ THUY T QUAN TR NG

Trong ph n này Th y ch đi m qua nh ng lý thuy t hay s d ng nh t khi gi i bài toán hình không
gian. Nh ng ph n lý thuy t khác n u có s d ng Th y s nh c l i trong các bài t p m u.
A. Hình h c ph ng
I. Các h th c l
1.

ng trong tam giác th

ng

A

nh lí côsin

b

c

 a 2  b 2  c 2  2bc.cos A

a

C

B

 b 2  a 2  c 2  2ac.cos B
 c 2  b 2  a 2  2ab.cosC
2.

nh lí sin

a
b
c



 2 R . Trong đó R là bán kính đ
sin A sin B sinC
II. Các h th c l

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.

ng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông t i A, có đ

ng cao AH và đ

ng trung tuy n AM.Ta có:
A

 BC 2  AB2  AC 2
 AH .BC  AB. AC
1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2
 MA  MB  MC


B

H

C

M

 BH .BC  AB2 ; CH .CB  AC 2
III. Di n tích tam giác

1
1
1
aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
 ab sinC  bc sin A  ac sin B
2
2
2
a .b.c

; SABC  pr
R
a bc 


 p  p  a  p  b  p  c  ,  p 

2



 SABC 
 SABC
 SABC
 SABC

+ ha , hb , hc l n l

t là đ dài đ

+ R: bán kính đ

ng tròn ngo i ti p.

+ r: bán kính đ

A
b

c
a

C

B

ng cao k t A, B và C c a ABC .

ng tròn n i ti p.

+ p: n a chu vi c a ABC .

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
IV. Di n đa giác

A

1. Di n tích tam giác vuông
Di n tích tam giác vuông b ng ½ tích hai c nh góc vuông.

SABC 

1
AB. AC .
2

C

B

2. Di n tích tam giác đ u
Cho tam giác ABC đ u c nh a, ta có:
A

+ SABC 
+ AH 

a

a2 3
4

a 3
.
2

+ Di n tích tam giác đ u b ng c nh bình ph
B

C

H

+

ng cao b ng c nh nhân

ng nhân

3 chia 4.

3 chia 2.

3. Di n tích hình ch nh t và hình vuông.


Di n tích hình vuông b ng c nh bình ph

ng.



Di n tích hình ch nh t b ng chi u dài nhân chi u r ng.

4. Di n tích hình thang.
Di n tích hình thang b ng m t n a đ

1
SABCD  h  AD  BC  .
2

D

A

ng cao nhân t ng hai c nh đáy.

h
C

B

A

5. Di n tích t giác có hai đ

SABCD 

ng chéo vuông góc.

1
AC.BD .
2

B

D
C

Chú ý: Tr

ng h p không nh công th c tính di n tích c a t giác thì chia ra thành các tam giác

ho c các hình d tính, sau đó c ng l i ta có di n tích c n tính.
B. Hình không gian
I.
1.

d

ng th ng vuông góc m t ph ng
nh ngh a:
a
P

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

3


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
d   P   d  a , a   P  .
2.

nh lí ( cách ch ng minh đ

ng th ng vuông góc m t ph ng)

d  a

 d   P .
d  b

a , b   P  , a  b  O
3. Góc gi a đ
a.

d

a

b

P

ng th ng và m t ph ng

nh ngh a:

Góc gi a đ

ng th ng d và m t ph ng (P) là góc gi a đ

ng th ng d và hình chi u vuông góc c a

nó trên (P).
b. Cách xác đ nh góc gi a đ

d

ng th ng d và (P):

S

B1: Tìm A  d   P  .
B2. L y đi m S  d (th

ng có s n), sau đó tìm H là hình chi u vuông
A

góc c a S trên (P).

H

Suy ra AH là hình chi u c a d trên (P).

P

Suy ra  d ;  P     d ; AH   SAH .
Q

II. M t ph ng vuông góc m t ph ng
1.

nh ngh a:

d

Hai m t ph ng đ c g i là vuông góc n u m t trong hai m t ph ng ch a m t
đ ng th ng vuông góc m t ph ng kia.
2.

nh lí 1

 P    Q 

 P    Q   a  d   Q 

d   P  , d  a
3.

P

d

a

P

nh lí 2
d

 P1    P 


 d  Q 
 P2    P 

 P1    P2   d

P2
P1

P

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

4


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
4. Góc gi a hai m t ph ng
a. nh ngh a
Góc gi a hai m t ph ng là góc gi a hai đ ng th ng thu c hai m t
ph ng cùng vuông góc giao tuy n c a hai m t ph ng đó.
b. Cách xác đ nh góc gi a (P) và (Q)

B1: Xác đ nh d   P    Q  .
B2: L y đi m S thu c (P), tìm H là hình chi u vuông góc c a S trên
(Q).
B3: T H k HA vuông góc d(A thu c d).
Ta s ch ng minh đ c SA vuông góc v i d.
Suy ra

S
P

A

H
d

Q

 P  ; Q    SA; HA  SAH .

III. Hình chóp đ u
1. nh ngh a
Hình chóp đ u là hình chóp có đáy là đa giác đ u và chân đ

ng cao trùng v i tâm c a đa giác

đáy.
Nh n xét:
+ Hình chóp đ u có các m t bên là các tam giác cân b ng nhau. Các m t bên t o v i đáy các góc
b ng nhau.
+ Các c nh bên b ng nhau và cùng v i đáy các góc b ng nhau.

2. Các hình chóp đ u th

S

ng g p

a) Hình chóp tam giác đ u
Hình chóp tam giác đ u  đáy là tam giác đ u, các c nh bên b ng
nhau và chân đ

ng cao c a hình chóp là tr ng tâm c a tam giác.Cho

hình chóp đ u S.ABC, khi đó:
+Tam giác ABC đ u;chân đ

C
A
M

G

ng cao c a hình chóp là tr ng tâm G c a

ABC .

B

+Các m t bên là tam giác cân tai S và b ng nhau.
+Góc gi a các c nh bên và m t đáy b ng nhau.
Chú ý:

Hình chóp tam giác đ u khác v i t di n đ u.
+ T di n đ u các c nh bên b ng c nh đáy và các m t bên các tam giác đ u. Hình chóp tam giác đ u
 đáy là tam giác đ u và các c nh bên b ng nhau.

+ hình chóp tam giác đ u các c nh bên ch a ch c đã b ng c nh đáy.

S

b) Hình chóp t giác đ u
Hình chóp t giác đ u  đáy là hình vuông, các c nh bên b ng nhau và chân
đ

ng cao c a hình chóp là tâm c a hình vuông.Cho hình chóp đ u S.ABCD,

D

A

I
B

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

C

5

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
khi đó:
+ABCD là hình vuông;chân đ

ng cao c a hình chóp là I hình vuông ABCD.

+Các m t bên là tam giác cân tai S và b ng nhau.
+Góc gi a các c nh bên và m t đáy b ng nhau.
IV. Xác đ nh đ ng cao c a hình chóp
1. Hình chóp có m t bên vuông góc đáy
ng cao c a hình chóp là đ

ng cao c a m t bên ch a trong m t ph ng vuông góc đáy.

Ví d :Cho hình chóp S.ABCD có m t bên SAB vuông góc đáy. Ta k SH vuông góc AB thì SH là
đ

ng cao c a hình chóp.

2. Hình chóp có hai m t bên vuông góc đáy
ng cao c a hình chóp là giao tuy n c a hai m t bên.
Ví d :Cho hình chóp S.ABCD có các m t bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy. Khi đó đ

ng

cao là SA.
V. Kho ng cách
1. Kho ng cách t m t đi m đ n m t ph ng
tính kho ng cách t m t đi m đ n m t ph ng ta ph i d ng đo n th ng vuông góc k t đi m đó
đ n m t ph ng. Cho đi m M và (P) đ d ng đo n th ng vuông góc k t M đ n (P) ta th ng dùng
m t trong hai cách sau:
Q
Cách 1:
M
+ Xây d ng (Q) ch a M và (Q) vuông góc (P).
+ Xác đ nh d  (P)  (Q) .
H
+ D ng MH  d  MH  d  M;(P) .
P
Cách 2:
N u trong bài toán đã có SA  (P) . Ta d ng MH song song v i SA (H thu c
(P)). Khi đó:
+ N u MH / / SA thì d  M;(P)  d  S;(P) .
d

d  M;(P ) 

 MI .
d  S;(P ) 
SI
ng (Q) ch a M và (Q) vuông góc (P).
+ Xác đ nh d  (P)  (Q) .
+ N u MH  SA  I thì

M
S

I
H

A

P

+ D ng MH  d  MH  d  M;(P) .

2. Kho ng gi a đ ng th ng và m t ph ng
Cho đ ng th ng d và (P) ta có:
d   P   O
 d  d;  P    0 .
+
d   P 
+ d / /  P   d  d;  P    d  A;(P) , A  d .

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

6


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
3. Kho ng gi a hai m t ph ng
(Q)   P   d
+ 
 d  (Q);  P    0 .
(Q)   P 
+ (Q) / /  P   d  (Q);  P    d  A;(P) , A  (Q) .
4. Kho ng gi a hai hai đ ng th ng.
Cho hai đ ng th ng 1;  2 khi đó:

  2  
 d  1;  2   0 .
+  1
 1   2
+ 1 / / 2  d  1; 2   d  M; 2   d  N; 1  , M 1; N 2 .
Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau
Cho hai đ ng th ng 1;  2 chéo nhau. Khi đó đo n th ng MN đ ng th i vuông góc v i 1 và  2
(M thu c 1 ;N thu c  2 ) đ

c g i là đo n th ng vuông góc chung c a 1 và  2 . MN chính là

kho ng cách gi a 1 và  2 .
Ph ng pháp:
Cách 1:D ng m t ph ng (P) ch a 1 và song song  2 . Khi đó: d  1; 2   d  2 ;(P) .
Cách 2:D ng đo n th ng vuông góc chung và tính đ dài c a đo n th ng đó.
Ph n này ta s tìm hi u k h n và s đ c gi i quy t nhanh g n ch ng 2.
VI. Th tích kh i đa di n

1. Th tích kh i chóp
V  1 Bh
3
+ B:Diên tích đáy.
+ h: đ dài đ ng cao c a hình chóp.
o ng cách

S

h

A

2. Th tích kh i l ng tr
V  Bh
+ B:Diên tích đáy.
+ h: đ dài đ ng cao c a hình chóp.

D

B
C

A'

C'

B'

C

A
H
B

3. Th tích hình h p ch nh t
V  a.b.c
Th tích hình l p ph ng: V  a
4. T s th tích:
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
.
.

.
VS . ABC
SA SB SC

S

3

C'
A'
B'
A
C

B

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

7


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
.......................................................................................................................................................................

Ch

ng 2. PHÂN D NG CÁC BÀI TOÁN KHO NG CÁCH

I. Kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng
1. Kho ng cách t chơn đ
a. Ph

ng cao đ n m t ph ng bên

S

ng pháp:

Cho hình chóp có đ nh là S và chân đ

ng cao H.

tính kho ng

cách t H đ n m t ph ng bên ch a S ta th c hi n các b

K
A

c sau:

+ Xác đ nh giao tuy n d gi a m t ph ng bên và m t ph ng đáy.

D
H

B

d
M
C

+ T chân đ ng cao H d ng đo n HM  d . K HK  SM , khi
đó HK là kho ng cách c n tính.

tính đ

c HK ta nh là ph i tính đ

ng cao c a hình chóp tr

c

nhé.
Chú ý:
Trong khi tính kho ng cách ta nên v thêm m t ph ng đáy ra cho d phát hi n các tính ch t vuông
góc, song song, c ng nh đ thu n ti n cho vi c tính đ dài. T c là n u đáy là hình vuông thì ta v
đúng hình vuông bên c nh…
b. Bài t p m u
Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a. SA vuông góc m t ph ng đáy.
SC h p v i đáy 1 góc 60 .
a) Tính d  A;  SBC   .

b) Tính d  A;  SBD   .

Phân tích:
Tính kho ng cách t chân đ

ng cao t i các m t bên là khá d , nh ng h u nh khi tính kho ng cách

đ u quy v kho ng cách c a chân đ
mu n tính đ

c các kho ng cách

ng cao. Do v y các Em ph i làm th t v ng ph n này n u
ph n sau.

B i vì trong lúc tính kho ng cách ta s d ng thêm các đ

t t nh t là ta v m t đáy ra.
Trong m t s bài toán thì đ

có th d đoán đ

c chân đ

ng vuông góc t chân đ

ng vuông góc trong m t ph ng đáy nên
ng vuông góc c ng nh đ tính chúng.

ng cao k đ n m t bên có s n nên ta không

c n k thêm. Ví d nh bài này đ tính d  A;  SBC   thì ta c n k AE vuông góc BC vì

AB  BC  E  B . Ti p theo ta ch c n k AK vuông góc SB thì AK là kho ng cách c n tính.
Gi i
a) Ta có C  SC   ABCD  và A là hình chi u c a S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chi u c a SC
trên (ABCD). Do đó:
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

8


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />S

 SC;( ABCD   SCA  60

. Tam giác SAC vuông t i A nên

tan SCA  SA  SA  a 2.tan 60  a 6 .
AC

H
K

Ta đã có AB  BC , k AK  SB 1 . Ta ch ng minh

D

A
I

AK   SBC  .

60

B

C

 AB  BC
 BC   SAB   BC  AK  2  . T (1) và (2) suy ra
Ta có: 
SA  BC
AK   SBC   AK  d  A;  SBC   . Tam giác SAB vuông t i A, có đ

ng cao AK nên ta có:

1  1  1  1  1  1  AK  a 42 . V y d  A;  SBC   a 42 .
7
7
AK 2 AS 2 AB2
AK 2 6a2 a2

b) G i I là giao đi m gi a AC và BD thì AI  BD . K AH  SI  3 , ta ch ng minh AH   SBD  .

BD  AI
 BD   SAI   BD  AH  4  .
Ta có: 
BD  SA
T (3) và(4) suy ra AH   SBD   AH  d  A;  SBD   .
Tam giác SAI vuông t i A, có đ

ng cao AH nên ta có:

1  1  1  1 
1
2
2
2

2
AH
AS
AI
AK
a 6





2



 AK  a 78 . V y d  A;  SBC   a 78 .
13
13
a 2


 2 
1

2

Ví d 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a. SA vuông góc m t ph ng đáy.
SC h p v i đáy 1 góc 60 . G i M là trung đi m BC. Tính d  A;  SMD   .
Phân tích:
Giao tuy n gi a  SMD    ABCD   MD . Do đó ta c n k AH vuông góc MD.

ví d 1 thì ta không v m t ph ng đáy ra vì vi c xác đ nh hình chi u vuông góc t A đ n các giao
tuy n có s n. Nh ng ví d này ta v thêm m t ph ng đáy ra cho vi c xác đ nh hình chi u t A đ n
MD và c ng nh tính đ dài AH.
Gi i
Ta có C  SC   ABCD  và A là hình chi u c a S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chi u c a SC
trên (ABCD). Do đó:  SC;( ABCD   SCA  60 .

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

9


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
S

A

D

a

K

H a

D

A
H
B

a

M

B

a

M

C

C

Tam giác SAC vuông t i A nên tan SCA  SA  SA  a 2.tan 60  a 6 .
AC
Giao tuy n gi a (SDM) và (ABCD) là MD nên ta k AH vuông góc MD t i H. K AK vuông góc

 MD  AH
 MD   SAH   MD  AK  2  .
SH t i K. Ta ch ng minh AK   SMD  . Ta có: 

 MD  SA
T (1) và (2) suy ra AK   SBC   AK  d  A;  SMD   .
Ta có: MD  BD 2  BM 2  a 5 .
2
2
2
2
Và SAMD  SABCD  SAMM  SBMD  a2  a  a  a . Mà
4 4
2

2
SAMD  1 AH .MD  a  AH  2a 5 .
2
2
5

Xét tam giác SAH vuông t i A, có đ

ng cao AK nên ta có:

1  1  1  1  1  5  AK  2a 51 . V y d  A;  SBC   2a 51 .
17
17
AK 2 AS 2 AH 2
AK 2 6a2 4a2

Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a; SD  3a ; hình chi u vuông góc c a
2
S trên m t ph ng (ABCD) là trung đi m H c a c nh AB.

b) Tính d  H ;  SBD   .
a) Tính d  H;  SDC   .
Gi i
a) H là trung đi m c a AB và SH   ABCD   SH  HD . Suy ra:
SH  SD2  HD2  SD2   HA2  AD2   a . K HN  DC t i N;k HK  SN 1 t i K . Ta

DC  HN
 DC   SHN   DC  HK  2  .
ch ng minh HK   SDC  .Ta có: 
DC  SH
T (1) và (2) suy ra HK   SDC   HK  d  H;  SDC   .
Tam giác SHN vuông t i H, có đ

ng cao HK nên:

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

10


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
1  1  1  HK  a 2 . V y d  H;  SDC   a 2 .

2
2
HK 2 HS 2 HN 2
B

S

a

C
M

H

K
E

B

D

A

C
M
N

H
A

D

b) K HM  BD t i M;k HE  SM 1 t i E . Ta ch ng minh HE   SBD  .Ta có:

BD  HM
 BD   SHM   BD  HE  2  .

BD  SH
T (1) và (2) suy ra HE   SBD   HE  d  H;  SBD   . Ta có HM  HB.sin 45  a 2 .
4
Tam giác SHM vuông t i H, có đ

ng cao HE nên:

1  1  1  HE  a . V y d  H;  SBD   a .
3
3
HE 2 HS 2 HM 2

Ví d 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t
ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA=2HB. Góc gi a SC và (ABC) b ng 60 .
b) Tính d  H ;  SBC   .
a) Tính d  H ;  SAC   .
Gi i

S

a) Ta có C  SC   ABC  và H là hình chi u c a S trên
(ABC). Suy ra HC là hình chi u c a SC trên (ABC). Do đó:

K
E
A

60 C

N

 SC;  ABC   SCA  60 .
Xét tam giác BHC ta có:

H

M
B

C

2

2

.Xét tam giác SHC ta có: SH  HC.tan SCH  a 7 . 3  a 21 . K
3
3

N
M
A

   a  2. a3 .a.cos60 

HC 2  HB2  BC 2  2HB.BC.cos HBC  HC 2  a
3

H

B

HM  BC t i M;k HE  SM 1 t i K . Ta ch ng minh HE   SBC  .Ta có:

BC  HM
 BC   SHM   BC  HE  2  .

BC  SH

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

11


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />

T (1) và (2) suy ra HE   SBC   HE  d  H;  SBC   . Tam giác HBM vuông t i M, có
HM  HB.sin 60  a . 3  a 3 . Tam giác SHM vuông t i H, có đ
3 2
6

ng cao HE nên:

1  1  1  HE  a 609 . V y d  H;  SBC   a 609 .
87
87
HE 2 HS 2 HM 2

b) K HN  AC t i N;k HK  SN 1 t i K . Ta ch ng minh HK   SAC  .Ta có:

 AC  HN
 AC   SHN   AC  HK  2  . T (1) và (2) suy ra

 AC  SH
HK   SAC   HK  d  H;  SAC   .
Tam giác HAN vuông t i N, có HN  HA.sin 60  2a . 3  a 3 .Tam giác SHN vuông t i H, có
3 2
3
đ

ng cao HK nên:

1  1  1  HK  a 42 . V y d  H;  SDC   a 42 .
12
12
HK 2 HS 2 HN 2

Ví d 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A; ABC  30 ; SBC là tam giác đ u
c nh a và n m trong m t ph ng vuông góc đáy.
a) Xác đ nh chân đ ng cao H c a hình chóp S.ABC và tính đ dài đ ng cao này.
b) Tính: d  H ;  SAC   và d  H;  SAB   .
xác đ nh chân đ

Phân tích:

ng cao c a hình chóp các Em xem l i m c 1 c a IV. Do m t ph ng

(SBC) vuông góc v i (ABC) và có chung đ
s là đ

ng cao c a hình chóp.

ng th ng BC nên ta ch c n k SH vuông góc BC; SH

ý, do tam giác SBC đ u nên H là trung đi m c a BC.

Gi i

S

A
E

C

A

N
H

M

N

K

C

30
H

B

M
30
B

a) K SH  BC , do tam giác SBC đ u nên H là trung đi m c a BC. Khi đó:

 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC  . V y SH là đ

SH  BC; SH   SBC 

ng cao c a hình chóp S.ABC.

Tam giác SBC đ u c nh a nên SH  a 3 .
2
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

12


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
b) + Tính d  H ;  SAC   .
K HN  AC t i N;k HE  SN 1 t i E . Ta ch ng minh HE   SAC  .Ta có:

 AC  HN
 AC   SHN   AC  HE  2  . T (1) và (2) suy ra

 AC  SH
HE   SAC   HE  d  H;  SAC   .
Tam giác HCN vuông t i N, có HN  HC.sin 60  a . 3  a 3 .Tam giác SHN vuông t i H, có
2 2
4
đ

ng cao HE nên:

1  1  1  HK  a 15 . V y d  H;  SDC   a 15 .
10
10
HE 2 HS 2 HN 2

+ Tính d  H;  SAB   .
K HM  AB t i M;k HK  SM 1 t i K . Ta ch ng minh HK   SAB  .Ta có:

 AB  HM
 AB   SHM   AB  HK  2  . T (1) và (2) suy ra

 AB  SH
HK   SAB   HK  d  H;  SAB   .
Tam giác HBM vuông t i M, có HM  HB.sin30  a . 1  a . Tam giác SHM vuông t i H, có
2 2 4
đ

ng cao HK nên:

1  1  1  HE  a 39 . V y d  H;  SBC   a 39 .
26
26
HK 2 HS 2 HM 2

Ví d 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân t i B; AB  BC  2a ; hai m t ph ng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc m t ph ng (ABC). Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC)
b ng 60 .Tính d  A;  SBC   .
Phân tích: Tr

đ

c tiên ta c n xác đ nh đ

cđ

ng cao c a hình chóp. Bài này ta th y ngay SA là

ng cao c a hình chóp.

Gi i

 SAB    ABC 

 SA   ABC  .
Ta có:  SAC    ABC 

 SAC    SAB   AB

S

K

C

A
2a
30
B

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

13


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
 BC  AB
 BC   SAB   SB  BC . Do đó:
M t khác, 
 BC  SA

 SBC  ;  ABC    SB; AB   SBA  30

. Tam giác SAB vuông tai A nên

tan SBA  SA  SA  AB.tan 30  2a 3 .
AB
3

 AK  BC  BC   SAB  
 AK   SBC   AK  d  A;  SAB   .
K AK  SB t i K, ta có: 

 AK  SB
Tam giác SAB vuông t i A, có đ

ng cao AK nên:

1  1  1  AK  a . V y d  A;  SBC   a .
AK 2 AS 2 AB2

Bình lu n: Trong ví d 6 đ tính AK, các Em c ng có th xét tam giác ABK vuông t i K và áp d ng
đ nh lý cosin cho tam giác vuông. T c là: AK  AB.sin30  a . Khi đó các Em không c n tính SA.
Nh ng vì các bài toán này th
cách tính đ

ng đi chung câu tính th tích nên

đây Th y rèn luy n cho các Em

ng cao luôn.

Ví d 7. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a
A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m H c a AB. Góc gi a đ ng th ng A’C và m t đáy b ng 60
a) Tính đ ng cao A’H.
b) Tính: d  H;  ACC ' A '   .
Gi i
A'

C'

A ' H  CH .tan 60  a 3 . 3  3a .
2

2

B'

b) K HM  AC t i M, k HK  SM t i K. Khi đó:

K

A

a) Ta có: A ' H   ABC  và A ' HC  60 . Do đó

60 C

M
a

H
B

HK  d  H;  ACC ' A '   .Ta có:
HM  HA.sin 60  a 3 ,
4

1  1  1  HK  3 13a .
26
HK 2 HM 2 HA '2

Ví d 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và B; AD=2AB=2BC; BC=a;
SA   ABCD  và SB h p v i m t ph ng đáy m t góc 45 . Tính d  A;  SDC   .

Phân tích: Bài toán đã cho ta đ

ng cao SA, không khó đ ta xác đ nh đ

d  A;  SDC   , ta c n k AH vuông góc DC t i H.
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

xác đ nh đ

c đ dài SA.

tính

c v trí đi m H. Em nên v hình

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

14


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
thang ABCD ra, khi đó Em s th y r ng H trùng C. T c là AC  DC ?? Th v l i cho đúng t l ta
tin r ng đi u này có th . V y ta s ch ng minh AC  DC .Ti p theo thì đã bi t r i nhé.!
S

Gi i
I

A
a

K
I

A

B

D

a

D

B

C

C

Ta có: SA   ABCD  và SBA  45 . Do đó SA  AB  a . G i I là trung đi m c a AD, ta có ABCI
là hình vuông  CI  AB  1 AD  ADC vuông t i C hay AC  DC và AC  a 2 . K
2
AK  SC t i K. Khi đó: AK  d  A;  SDC   .Ta có: 1 2  1 2  1 2  AK  a 6 . V y

3
AK
AS
AC

d  A;  SDC   a 6 .
3

2. Kho ng cách t m t đi m

m t đáy đ n m t bên

ng pháp:

a.Ph

Ta s đ a bài toán tr v kho ng cách t chân đ
Gi s cho hình chóp có đ nh là S và chân đ

ng cao đ n m t bên(d ng này ta đã bi t).

ng cao H và c n tính kho ng cách t đi m M thu c

m t ph ng đáy đ n m t bên (SAB) ta th c hi n các b
B

c 1: Ta d ng đ

c sau:

ng th ng d đi qua H và M. Khi đó:

+ Tr

ng h p1: N u d / /  SAB  thì d  M;  SAB    d  H;  SAB   .

+ Tr

ng h p 2: N u d   SAB   K thì

B

c 2: Tính d  H;  SAB   (đã bi t

d  M;  SAB  
d  H ;  SAB  

ph n tr

 MK (đ nh lí Ta-let).
HK

c).
M

S

S

H

F

F

K

C

C

N

F

(SAB)

B
H

D

B
D

K

H

M

E

E

M
d
Tr

ng h p 1

A

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

Tr

ng h p 2

A

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

15


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
b. Bài t p m u
Ví d 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a; BAC  60 ; m t bên SAB là tam giác
cân và n m trong m t ph ng vuông góc đáy. M t ph ng (SCD) t o v i m t ph ng (ABCD) m t góc
30 .Tính:
a) d  A;  SBC  
c) d  M;  SAD   , v i M là trung đi m c a DC.
Gi i
a) Tính d  A;  SBC   .
G i H là trung đi m c a AB, do tam giác SAB cân t i S nên SH  AB , mà  SAB    ABCD  nên

SH   ABCD  . Tam giác ABC cân t i B có BAC  60  ABC đ u là CH  AB và CH  a 3 .
2
S
B
E

F

H

K
B

C

E

A

A

60°

C

M

H
N

N

D

M

D

Vì AB // DC suy ra CH  CD .

Mà SH  CD  CD   SHC   CD  SC    SCD  ;  ABCD    SCH  30 .

Tam giác SHC vuông t i H SH  HC.tan 30  a .
2
ng th ng AH c t BC t i B 

d  A;  SBC  

d  H;  SBC  

 AB  2  d  A;  SBC    2d  H ;  SBC   .
HB

K HE  BC;HF  SE ,suy ra HF  d  H;  SBC   ( Các Em xem l i I.1 nhé!).
Ta có HE  HB.sin 60  a . 3  a 3 . Tam giác SHE vuông t i H, có đ
2 2
4

ng cao HF suy ra:

1  1  1  4  16  HF  a 21 . V y d  A;  SBC   2HF  a 21 .
14
7
HF 2 SH 2 HE 2 a2 3a2

b) Tính d  M;  SAD   .
Ta có HM // AD  HM // (SAD)  d  M;  SAD    d  H ;  SAD   .
K HN  BC; HK  SN  HK  d  H ;  SAD   ( Các Em xem l i ch
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

ng2 I.1 nhé!).

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

16

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
Ta có HN  HA.sin 60  a . 3  a 3 . Tam giác SHN vuông t i N, có đ
2 2
4

ng cao HK suy ra:

1  1  1  4  16  HK  a 21 . V y d  M;  SAD   HK  a 21 .
14
14
HK 2 SH 2 HN 2 a2 3a2

Ví d 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A và AB  2a; AC  2a 3 . Hình
chi u vuông góc S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m H c a AB. M t ph ng (SBC) t o v i m t
ph ng (ABC) m t góc 30 .Tính:
a) d  B;  SAC  
c) d  M;  SAC   , v i M là trung đi m c a BC.
Gi i

S

a) Tính d  B;  SAC   .
A

K

H

B

E

C

A

M

C

H

M

30°

E
B

K HE  BC , mà SH  BC  BC   SHE   SE  BC    SBC  ;  ABCD    SEH  30 .
Ta có: tan ABC  AC  3  ABC  60 ; HI  BH .sin 60  a 3  SH  HI tan 30  a .
AB
2
2
ng th ng BH c t AC t i A 

d  B;  SAC  

 BA  2  d  B;  SAC    2d  H ;  SAC   .
d  H;  SAC   HA

K HK  SA , mà SH  AC  AC   SAH   AC  HK  HK   SAC   HK  d  H;  SAC   .
Ta có: 1 2  1 2  1 2  HK  a 5 . V y d  B;  SAC   2HK  2a 5 .
5
5
HK
SH
HA
b) Tính d  M;  SAC   .
Ta có HM // AC  HM // (SAC)  d  M;  SAC    d  H;  SAC   .
V y d  M;  SAC   a 5 .
5
Ví d 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A và AB  3a; CB  5a . M t bên
(SAC) vuông góc v i (ABC). Bi t SA  2a 3 và SAC  30 .Tính d  A;  SBC   .
Gi i
K SH  AC t i H, do  SAC    ABC   SH   ABC  .
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

17

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
Ta có SH  SA.sin SAC  a 3 và AH  SA.cos SAC  3a  HC  a .
ng th ng AH c t BC t i C 

d  A;  SBC  

d  H ;  SBC  

 AC  4a  4  d  A;  SBC    4d  H ;  SBC   .
HC a

K HE  BC t i E và HK  SE t i K. Khi đó HK  d  H;  SBC   .
Ta có tam giác CEH đ ng d ng v i tam giác CAB suy ra HE  AB  HE  3a .
5
HC BC
1  1  1  HK  3a 7 . V y d  A;  SAB   4HK  6a 7 .
14
7
HK 2 SH 2 HE 2
S

B

K

5a

3a

E
E

B

C

A

H

4a

C

H
30°

A

Ví d 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a; hình chi u vuông góc c a S trên
m t ph ng (ABCD) là tr ng tâm c a tam giác ABD. C nh SD t o v i m t ph ng đáy m t góc b ng
60 . G i M là trung đi m c a AB.
a) Tính d  A;  SBC   .
b) Tính d  D;  SBC   .
c) Tính d  M;  SDC   .
Gi i

S

B

K

M
N

M

B

N

F

G
A

I
G

C

I

C

A

E
D

E

60°

D

a) Tính d  A;  SBC   .
G i I là tâm c a hình vuông ABCD và G là tr ng tâm c a tam giác ABD, khi đó SG   ABCD  và
ta có
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

18


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

SDG là góc gi a đ

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
ng th ng SD và m t ph ng (ABCD). Do SD t o v i m t ph ng đáy m t góc

b ng 60  SDG  60 .Do G là tr ng tâm c a tam giác ABD
 DG  2 MD  2 . AM 2  AD 2  a 5 . Xét tam giác SDG vuông t i G,ta có
3
3
3
SG  DG.tan 60  a 15 .
3

Ta có AC  2 AI  AG  2 AI  AC  3 AG  AC  2GC .
3
ng th ng AG c t BC t i C 

d  A;  SBC  

d  G;  SBC  

 AC  3  d  A;  SBC    3 d  G;  SBC   .
GC 2
2

K GN  BC t i N và GK  SN t i K. Khi đó GK  d  G;  SBC   .
Ta có tam giác CGN đ ng d ng v i tam giác CAB suy ra GN  GC  GN  2a .Ta có:
AB AC
3
1  1  1  GK  2a 285 . V y d  A;  SBC   3 GK  a 285 .
57
2
19
GK 2 SG 2 GN 2

b) Tính d  D;  SBC   .
Ta có AD // BC  AD // (SBC)  d  D;  SBC    d  A;  SBC   .
V y d  D;  SBC   a 285 .
19
c) Tính d  M;  SBC   .
ng th ng MG c t DC t i D 

d  M;  SDC  
d  G;  SDC  

 MD  3  d  M;  SDC    3 d  G;  SDC   .
2
GD 2

K GE  DC t i E và GF  SE t i F. Khi đó GF  d  G;  SDC   . Xét tam giác DGE vuông t i E,
ta có:
GE  DG.sin 45  a 5 . 2  a 10 .
3
2
6

Tam giác SGE vuông t i G, có đ

ng cao GF suy ra:

1  1  1  1  3  18  GF  a 105 .
21
GF 2 SG 2 GE 2
GF 2 5a2 5a2

V y d  M;  SDC   3 GK  3 . a 105  a 105 .
2
2 21
14

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

19


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
Ví d 13. Cho hình chóp đ u S.ABC có c nh đáy b ng a, SA  2a . i m M là trung đi m c a BC.
b) Tính d  M;  SAB   .
a) Tính d C;  SAB   .
Phân tích: AK…! Các Em c n nh l i đ nh ngh a hình chóp đ u nhé. Các Em xem lý thuy t ch

ng

1 nhé!
Gi i
S

C

2a
a

K

N

G

G

A

C

A

M
N

M

B

B

a) Tính d C;  SAB   .
G i G là tr ng tâm tam giác ABC; N là trung đi m c a AB. Do S.ABC là hình chóp đ u nên

SG   ABC  .
Tam giác ABC đ u c nh a nên AM  a 3 ; AG  2 AM  a 3 .
2
3
3
Tam giác SAG vuông t i G nên: SG  SA2  AG 2  a 33 .
3
Ta có:

d C;  SAB  

 CN  3  d C;  SAB    3d  G;  SAB   .
d  G;  SAB   GN

K GK  SN t i K. (Ta s ch ng minh đ

c GK   SAB  Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài

t p nh ). Khi đó GK  d  G;  SAB   .Ta có:

1  1  1  GK  a 165 .
45
GK 2 SG 2 GN 2

V y d  C;  SAB   3GK  a 165 .
15
b) Tính d  M;  SAB   .
Ta có:

d  M;  SAB  
d  G;  SAB  

 MA  3  d  M;  SAB    3 d  G;  SAB    a 165 .
2
30
GA 2

Ví d 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a; SD  3a ;hình chi u vuông góc c a S
2
trên (ABCD) là trung đi m c a c nh AB.
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

20


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
a) Tính d  A;  SBC   .

b) Tính d C;  SBD   .
Gi i

S
B

C
E

K
F
B
H

3a

H

2

I

C
E I
A

A

a

D

D

a) Tính d  A;  SBC   .
G i H là trung đi m c a AB, ta có AH   ABCD  . Tam giác ADH vuông t i A nên:
2
2
HD 2  AD 2  AH 2  a2  a  5a . Tam giác SHD vuông H nên :
4
4

2
2
SH  SD 2  HD 2  9a  5a  a .
4
4

Ta có:

d  A;  SBC  

d  H ;  SBC  

 AB  2  d  A;  SBC    2d  H ;  SBC   .
HB

K HK  SB t i K(Ta s ch ng minh đ

c HK   SBC  Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài

t p nh ). Khi đó HK  d  H;  SBC   . Tam giác SHB vuông t i H, có đ

ng cao HK suy ra:

1  1  1  HK  a 5 . V y d  A;  SBC    2HK  2a 5 .
5
5
HK 2 SH 2 BH 2

b) Tính d C;  SBD   .
G i I là giao đi m c a CH và BD. Khi đó: IC  CD  2  IC  2IH .
IH HB
Suy ra:

d C;  SBD  

d  H ;  SBD  

 IC  2  d C;  SBD    2d  H ;  SBD   .
IH

K HE  BD t i E và HF  SE t i F(Ta s ch ng minh đ

c HF   SBD  Th y đ các Em làm

nhé! Xem nh bài t p nh ). Khi đó HF  d  H;  SBD   .
Xét tam giác HBE vuông t i B, ta có: HE  HB.sin 45  a . 2  a 2 .
2 2
4
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

21


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
Tam giác SHE vuông t i H, có đ

ng cao HF suy ra:

1  1  1  1  1  8  HF  a . V y d  C;  SBD   2HF  2a .
3
3
HF 2 SH 2 HE 2
HF 2 a2 a2

Ví d 15. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a
A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh AB; đ ng th ng A’C t o v i m t ph ng (ABC)
m t góc 60 . i m M là trung đi m c a BC.
a) Tính d  B;  ACC ' A '   .
b) Tính d  M;  ACC ' A '  .
Gi i
C'
A'

C
B'

M

F

E
E

60
C

A
H

B

A

H

M
B

a) Tính d  B;  ACC ' A '   .
G i H là trung đi m c a AC, ta có A ' H   ABC  và A 'CH  60 . Tam giácABC đ u c nh a và H
là trung đi m c a AB nên CH  a 3 . Tam giác A’HC vuông H nên A ' H  CH .tan 60  3a .
2
2

Ta có:

d  B;  SAC  

 BA  2  d  B;  SAC    2d  H ;  SAC   .
d  H ;  SAC   HA

K HE  AC t i E và HF  SE t i F(Ta s ch ng minh đ

c HF   SAC  Th y đ các Em làm

nhé! Xem nh bài t p nh ). Khi đó HF  d  H;  SAC   .
Ta có : HE  HA.sin 60  a . 3  a 3 . Tam giác A’HE vuông t i E, có đ
2 2
4

ng cao HF suy ra:

1  1  1  1  4  16  HF  3a 13 .
26
HF 2 A ' H 2 HE 2
HF 2 9a2 3a2

V y d  B;  SAC   2HF  3a 13 .
13
b) Tính d  M;  ACC ' A '  .
Ta có MH // AC và AC thu c m t ph ng (SAC) suy ra MH // (SAC).
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

22


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
Do đó : d  M;  SAC    d  H ;  SAC    3a 13 .
26
Ví d 16. Cho hình chóp S.ABC có c nh đáy tam giác vuông t i B, AB  a, AC  2a . C nh bên SA
vuông góc đáy. M t ph ng (SBC) h p v i đáy m t góc b ng 60 . Tính kho ng t tr ng tâm G c a
tam giác SAB đ n m t ph ng (SBC).
Gi i

BC  AB
 BC   SAB   BC  SB .
BC  SA

S

Ta có: 
V y ta đ

K

SB  BC

   SBC  ;  ABC    SBA  60 .
 AB  BC

c 

M
2a

G

A

C

Ta có: SA  AB.tan60  a 3 .
G i M là trung đi m c a SB.

a

Ta có: GM  1  d  G;  SBC    1 d  A;  SBC   .

60°

AM

B

3

3

K AK  SB t i K .(Ta s ch ng minh đ

c AK   SBC 

Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài t p nh nhé).
Khi đó AK  d  A;  SBC   .
Tam giác SAB vuông t i A,có đ

ng cao AK suy ra:

1  1  1  1  1  1  AK  a 3 .
2
AK 2 SA2 AB2
AK 2 3a2 a2

V y d  G;  SBC   1 AK  a 3 .
3
6
3. Kho ng cách t m t đi m thu c m t đáy đ n m t bên
a.Ph

ng pháp:

Ta d ng đ

ng th ng d đi qua đi m đó và song song m t bên. Sau đó tìm giao đi m gi a d và

m t đáy. Khi đó ta đ a bài toán tr v kho ng cách t m t đi m thu c m t đáy đ n m t bên. Ti p
theo đ a v kho ng cách t chân đ

ng cao đ n m t bên(t i đây không ph i là đã bi t n a, mà

ph i bi t).

S

Gi s cho hình chóp S.ABCD có SH   ABCD  . i m M
thu c SA, c n tính d  M;  SBC   . Ta th c hi n các b
B

c 1: Ta d ng đ

ME//SB d(M;(SBC) =d(E;(SBC)

c sau:

M
C

ng th ng d đi qua M và song song SB. Xác

đ nh E là giao đi m AB và d.
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

B
D

N i nào có ý chí n i đó có con đ

H

ng!

E
A

23


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

B

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
c 2: Tính d  M;  SAB    d  E;  SAB   (đã bi t

ph n tr

c).

b. Bài t p m u
Ví d 17. Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a; c nh bên SA = 2a . G i M là trung đi m
c a SA. Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC).
Phân tích:Tr c tiên c n nh chân đ ng cao c a hình chóp t giác đ u là tâm I c a hình vuông.
Nh đã phân tích

trên, đ tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC); ta s d ng đ

ng th ng d

đi qua M và song song v i m t c nh c a m t ph ng (SBC). Do M thu c SA; SA và SC đ ng ph ng;
SA và SB đ ng ph ng. Do đó ta có th d ng đ

ng th ng d qua M và d // SC ho c d // SB. ó là lý

thuy t!
Trong tr

ng h p này, do M là trung đi m c a SA; I là trung đi m c a AC, ta ph i th y đ

SC. Khi đó nên d  M;  SBC    d  I ;  SBC   . Ch n qua đây là tr

c MI //

ng h p đ c bi t; trong tr

ng

h p t ng quát ta c n nh đ nh lí Ta-let hay tam giác đ ng d ng.
Gi i
S

G i I là tâm c a hình vuông ABCD ( tâm c a hình
vuông là giao đi m hai đ

hình chóp đ u nên SI   ABCD  . Ta có:

2a

AC  a 2  AI  a 2 .
2

F

M

C

D
a 2

K

I

2

A

ng chéo). Do S.ABCD là

a

B

Tam giác SAI vuông t i I nên:

SI  SA2  AI 2  a 14 .
2
Do M, I l n l

t là trung đi m c a SA và AC nên MI //

SC suy ra MI // (SBC) .
T MI // (SBC) ta có d  M;  SBC    d  I ;  SBC   .
K IK  BC t i K , khi đó K là trung đi m c a BC. K IF  SK t i F. (Ta s ch ng minh đ

c

IF   SBC  Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài t p nh nhé). Khi đó IF  d  I ;  SBC   .
Tam giác SIK vuông t i I,có đ

ng cao IF suy ra:

1  1  1  1  2  4  IF  a 210 .
30
IF 2 IK 2 SI 2
IF 2 7a2 a2

V y d  M;  SBC   d  I ; SBC  a 210 .
30
Ví d 18. Cho hình chóp S.ABCD có c nh đáy hình vuông c nh a; m t bên SAB là tam giác đ u và
n m trong m t ph ng vuông góc đáy. G i M là đi m thu c đo n th ng SD sao cho SD=4SM.
ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

24


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Trung tâm SEG.154-Hu nh M n

t-p3-q5-TP.HCM. fb: />
a) Tính kho ng cách t trung đi m c a đo n th ng AB đ n m t ph ng (SBC).
b) Tính kho ng đi m M đ n m t ph ng (SBC).
Gi i
S
M

D

A

K
H

I

H

D

A

N

I
N

E

a

B
E

a

B

C

C

a) Tính d  H ;  SBC   .
G i H là trung đi m c a AB, do tam giác SAB đ u c nh a nên SH  AB và SH  a 3 .
2
Ta l i có  SAB    ABCD   SH   ABCD  . K HK  SB t i K .(Ta s ch ng minh đ

c

HK   SBC  Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài t p nh nhé). Khi đó d  H;  SBC    HK . Tam
giác SBH vuông t i H, có HK là đ

ng cao suy ra:

1  1  1  1  4  4  HK  a 3 . V y d  H ;  SBC    a 3 .
4
4
HK 2 SH 2 HB2
HK 2 3a2 a2

b) Tính d  M;  SBC   .
G i I là tâm c a hình vuông; d là đ

ng th ng qua M và song song v i SB; N là giao đi m gi a d và

BD.
Khi đó MN // BC  MN / /  SBC   d  M;  SBC    d  N;  SBC   .
Ta có: BN  SM  1  BN  1 BD  N là trung đi m c a BI. G i E là giao đi m c a HI và BC
4
BD SD 4
thì E là trung đi m c a BC ( Do HI // AC và H là trung đi m c a AB thì E ph i là trung đi m c a
BC). Ta có:
HI = EI (không khó l m các Em th ki m tra xem nh bài t p nh nhé!).
Ta có:

d  N;  SBC  

d  H ;  SBC  

 NI  1  d  N;  SBC    1 d  H ;  SBC    1 . a 3  a 3 .
2

2 4
8
HI 2

V y d  M;  SBC   d  N ; SBC  a 3 .
8

ThS. Tr n Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89

N i nào có ý chí n i đó có con đ

ng!

25