Phương pháp nâng lũy thừa trong bài toán phương trình hàm số logarit Nguyễn Đình Hoàn

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

I. BÀI T P VÍ D
Ví d 1: Gi i ph

ng trình log5  3x  1  log0,2





3  2x2  2  x  log

5

3  2x .

Phân tích:
Khi đ i m t v i nh ng bài toán có ch a hàm s logarit, chúng ta c n ph i nghĩ ngay t i vi c
kh logarit b ng các công th c bi n đ i logarit và m c đích là đ đ a t t c các logarit trong
bài toán v cùng c s .
s

bài toán trên không khó đ có th đ a ph

ng trình v logarit c

nh sau

log5  3x  1  log 5



3  2x2  2  x  log 5  3  2x  .

b
d ng: log a b  loga c  loga  bc  và log a b  log a c  log a   đ a bài toán
c

Ởau đó chúng ta s

3x  1

v d ng c b n h n:

Đ gi i ph



3  2x  2  x
2

 3  2x .

 f  x  .h  x   0
.
ng trình trên ta đ a v d ng: f  x  g  x   h  x    2
2

 f  x  .g  x   h  x 
Bài gi i:

3 x  1  0

1
6
 3  2 x2  2  x  0
Đi u ki n xác đ nh: 
.
 x
3
2
3  2 x  0
3  2 x 2  0

ởa có ph

ng trình log5  3x  1  log0,2

 log 5  3x  1  log

51

 log5  3x  1  log 5









3  2 x2  2  x  log





3  2x2  2  x  log

5

1

1
52

 3  2x  2

3  2x2  2  x  log 5  3  2x 



3x  1
3x  1
 log 5 
 log 5  3  2x  
 3  2x




2
2
3  2x  2  x
 3  2x  2  x 

3  2x


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 3x  1   3  2x  3  2x2  2x2  7 x  6   3  2x  3  2x2  2x2  10x  7



 

ng hai v :  3  2x  3  2 x2  2 x2  10x  7
2

Bình ph





2



Đ t đi u ki n:  3  2 x  2 x2  10 x  7  0  *  )
Ph

ng trình trên t

ng đ



ng v i: 12x4  64x3  134x2  104x  22  0







  x  1 12 x3  52 x2  82 x  22  0   x  1 3x  1 4 x2  16 x  22  0

 x  1  0 TM 

  3x  1  0  L 
 x  1.
 2
 4 x  16 x  22  0  VN 
K t lu n: V y ph

ng trình có m t nghi m duy nh t: x  1.

Bình lu n:

Bài toán trên không quá khó khăn đ kh hàm s logarit đ có th đ a v ph

ng trình vô t

căn b n d ng: f  x  g  x   h  x  . Tuy nhiên chúng ta c n ph i nh cách chia đa th c ho c s
d ng s đ Horner đ có th gi m b c c a ph
đ c bi t các đi u ki n khi bình ph

ng trình sau khi bình ph

ng và c n chú ý

ng hai v .

Chúng ta còn có th s d ng kĩ thu t chia đa th c b ng máy tính CAỞIO đ bài toán tr nên
ng n g n h n mà tác gi s đ c p đ n các ch đ sau c a cu n sách. Ngoài ra các b n c n
chú ý t i nh ng đi u sau:



V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng các h s b ng 0 thì ph ng trình
đó luôn luôn có nghi m x  1 .
V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng các h s b c ch n b ng t ng các
h s b c l thì ph ng trình luôn luôn có nghi m x  1 .


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ng trình 1  log 2 x  log 2

Ví d 2: Gi i ph









2 x  1  1  log 4 3x  10 x  24 .

Bài gi i:

x  0

5  241
 2x  1  1  0
.
x
Đi u ki n xác đ nh: 
9
3x  10 x  24  0
10 x  24  0

ởa có ph

ng trình 1  log 2 x  log 2

 log 2 2  log 2 x  log 2

 log 2  2x   log 2





2 x  1  1  log



22

 3x 

10 x  24

3x  10x  24   2x 


2x  1  1

 

2x  1  1

















2 x  1  1  log 4 3x  10 x  24

2x  1  1  log 2  3x  10 x  24 



 log 2  2x   log 2 








2x  1  1 



2x  1  1





2x  1  1

3x  10x  24

3x  10x  24  2x  1  1  3x  10x  24 (Do:

2 x  1  1  0 x  0 )

 2x  1  1  3x  10x  24 Bình ph

ng hai v ta đ

c:

 2x  1  1  3x  10x  24  2 3x  10x  24  10x  24  x  2 3x  10x  24
Ti p t c bình ph

ng hai v ta đ



c: x2  10 x  24  2 x 10 x  24  4 3x  10 x  24

 x2  2x  24   2x  4  10x  24 .Ti p t c t c bình ph



 x2  2x  24

   2x  4 10x  24 
2

ng hai v ta có ph

2





 x4  44 x3  116 x2  128 x  192  0   x  4  x3  40 x2  44 x  48  0

x  4
 3
2
 x  40x  44x  48  0(*)



ng trình

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Gi i ph

ng trình

ởa có các đi u ki n sau:


5  241
x  0
3x  10x  24   2
x
 2.(1) .
9

9x  10x  24  0
L i có:

10x  24  x  2 3x  10x  24  0  10x  24  x  2  x  12.(2)

T (1) và (2)  x   2;12  . V y: Ta ch ng minh x3  40x2  44x  48  0 vô nghi m b ng cách
l p b ng bi n thiên. Xét hàm s : f  x   x3  40x2  44x  48 v i x   2;12  ta có:

f '  x   3x2  80x  44  0, x   2;12 
L p b ng bi n thiên:
x

2

12

f '  x


288

f  x
4608

T b ng bi n thiên ta th y f  x  luôn nh h n 0 v i m i x   2;12  . V y ph

ng trình

vô

nghi m trên kho ng  2;12  .
K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có m t nghi m duy nh t : x  4.
Bình lu n:

Bài toán có hai v n đ khó khăn chính:



Th

nh t là vi c phân tích 2 x 





2x  1  1



2 x  1  1 . Đây là k

thu t liên h p

ng c trong gi i toán ph ng trình vô t .
Th hai đó là chúng ta g p ph i m t ph ng trình b c 3 có nghi m r t x u (nghi m l
và khó bi u di n d i d ng căn). Tuy nhiên chúng ta không th ghi k t qu nghi m
x p x vào bài làm h n n a đây là nghi m không th a mãn đi u ki n, vì v y ta c n
khai thác tri t đ các đi u ki n đ ng th i ti n hành kh o sát ch ng minh ph ng trình
b c ba vô nghi m trên kho ng đã ch ra.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com









c ph

ng trình

ng trình log9 x  log 1 1  x  log 3  2 x2  x  1  1  .


3

Ví d 3: Gi i ph

Phân tích:
Bài toán trên không quá khó khăn đ kh logarit thu đ









x 1  x  2 x2  x  1  1 .
Đ n đây ta bình ph

ng hai v đ th c hi n vi c kh căn th c đ a v ph

d ng c b n.
Bài gi i:

Cách

Nâng lũy th a không hoàn toàn:


x  0

Đi u ki n xác đ nh: 1  x  0
 0  x  1.

2
 2 x  x 1 1  0


















ng trình log9 x  log 1 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 


3

ởa có ph

 log 2 x  log
3

31

1  x   log  2  x
3





2



 x  1  1 






 log 3 x   log 3 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 











 log 3 x  log 3 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 











 log 3  x 1  x   log 3  2 x2  x  1  1 













 x 1  x  2 x2  x  1  1  x   x  1  2 x2  x  1 .
Bình ph

ng hai v ta đ

c:

  x  1  2  x  1 x  2x2  2x  2  x2  x  1  2  x  1 x  0
2

ng trình vô t


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com



 x2  2x  1  2  x  1 x  x  0  x  1  x



2

 0  x 1 x  0


3 5
x  1
.
 x  1 x   2

2
x
x
3
1
0





K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có m t nghi m duy nh t: x 

3 5
.
2

Cách 2: Nâng lũy th a hoàn toàn:


x  0

Đi u ki n xác đ nh: 1  x  0
 0  x  1.

2
 2 x  x 1 1  0


















ng trình log9 x  log 1 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 


3

ởa có ph

 log 2 x  log
3

31

1  x   log  2  x
3





2



 x  1  1 






 log 3 x   log 3 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 











 log 3 x  log 3 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 











 log 3  x 1  x   log 3  2 x2  x  1  1 













 x 1  x  2 x2  x  1  1  x   x  1  2 x2  x  1 .
Bình ph

ng hai v ta đ

c:

  x  1  2  x  1 x  2x2  2x  2  x2  x  1  2  x  1 x  0
2

 x2  x  1  2 1  x  x . Do 2 v không âm bình ph





ng v ta đ



c ph



 x2  x  1  4 1  x  x  x4  6x3  11x2  6x  1  0  x2  3x  1  0
2

2

2

ng trình


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


3 5
 L
x 
3 5
2
.

x
2

3 5
TM 
x 

2
K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có m t nghi m duy nh t: x 

3 5
.
2

Cách 3: Nâng lũy th a hoàn toàn k t h p v i n ph :


x  0

Đi u ki n xác đ nh: 1  x  0
 0  x  1.

2
 2 x  x 1 1  0


















ng trình log9 x  log 1 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 


3

ởa có ph

 log 2 x  log
3

31

1  x   log  2  x
3





2



 x  1  1 






 log 3 x   log 3 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 











 log 3 x  log 3 1  x  log 3  2 x2  x  1  1 











 log 3  x 1  x   log 3  2 x2  x  1  1 














 x 1  x  2 x2  x  1  1  x   x  1  2 x2  x  1 .
Bình ph

ng hai v ta đ

c:

  x  1  2  x  1 x  2x2  2x  2  x2  x  1  2  x  1 x  0
2

 x2  x  1  2 1  x  x . Do 2 v không âm bình ph





 x2  x  1  4 1  x  x  x4  6x3  11x2  6x  1  0
2

2

ng v ta đ

c ph

ng trình


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Tr

ng h p 1: x  0 không th a mãn ph

ng trình

Tr

ng h p 1: x  0 , chia c 2 v c a ph

ng trình cho x2 ta đ

c ph

ng trình


1  
1
6 1

x2  6x  11   2  0   x2  2   6  x    11  0
x
x x
x  

Đ t: t  x 

1
1
1
 t 2  x2  2  2  t 2  2  x2  2 thay vào ph
x
x
x

t 2  2  6t  11  0  t 2  6t  9  0   t  3  0  t  3  x 
2

ng trình trên ta có

1
3
x


3 5
 L
x 
3 5
2

 x2  1  3x  x2  3x  1  0  
x
.
2

3 5
TM 
x 

2
K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có m t nghi m duy nh t: x 

3 5
.
2

Bình lu n:
Bài toán trên là m t trong nh ng bài toán c đi n v nghi m kép vô t , tác gi s đi sâu v
v n đ này

ph n sau cu n sách đ b n đ c có nh ng cách gi i hay và t i u cho bài toán

này. Cách gi i 1 và cách gi i 2 là nh ng cách gi i khôn khéo khi b n đ c có th nhìn ra bình
ph

ng c a bi u th c 3 s

h ng. Trong cách gi i s

3, ta chú ý r ng v i ph

ng trình

2

ax4  bx3  cx2  dx  e  0 trong đó

e d

 0 , ta có th gi i bài toán theo h
a  b 

ng chia c hai

v cho x2 (Chú ý c n xét x  0, x  0 ).
Ví d 4: Gi i b t ph

ng trình

 12  x  x2  24 x 
 x  24  x 
.
log 3 
 log 3 8  3  log 3 

 x  24  x 
2





 12  x  x  24 x 
Phân tích:
Bài toán trên có hình th c khá c ng k nh trong hàm s logarit nh ng không quá khó khăn
đ kh hàm s logarit đ đ a v b t ph

ng trình sau


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x  24  x
x  24  x
Khi g p nh ng b t ph

27  12  x  x2  24x 


8  12  x  x2  24x 





ng trình hay ph

ng trình c ng k nh nh

trên ta c n ph i có s

quan sát ch không nên bi n đ i khi ch a có s quan sát. Nh n th y r ng:

12  x  x2  24x 
N u quan sát đ

1
2





2

x  24  x và 12  x  x2  24x 

c đi u này bài toán coi nh đã đ

1
2



x  24  x

c gi i quy t m t cách g n nh .

Bài gi i:

Đi u ki n xác đ nh: x  0.
Ta có b t ph

 12  x  x2  24 x 
 x  24  x 

ng trình log 3 
 log 3 8  3  log 3 

 x  24  x 
2


x
x
x
12
24








 12  x  x2  24x 
 x  24  x 



 log 3 
 log 3 27  log 3 8  log 3
 x  24  x 
2




 12  x  x  24x 
 12  x  x2  24 x 
 x  24  x 
 27 

 log 3 
 log 3    log 3 

 x  24  x 
2


8


x
x
x
12
24








 27   12  x  x2  24 x  
 x  24  x 

 log 3 
 log 3   

 x  24  x 
2


8







12
24
x
x
x









x  24  x
x  24  x
x  24  x



27  12  x  x2  24x  27  24  2x  2 x x  24 

 

8  12  x  x2  24x  8  24  2 x  2 x x  24 



27


x  24  x 8





x

x  24  x

2

x  24 

2

3

 x  24  x  27
x  24  x 3





 x  24  x 
8
2


24
x
x



Do 2 v không âm, nhân chéo 2 v , ta có: 2



 

x  24  x  3

 x  24  5 x  x  24  25x  24  24x  x  1



2

x  24  x



.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

K t h p đi u ki n xác đ nh, suy ra 0  x  1
K t lu n: V y t p nghi m c a b t ph

ng trình S  0;1 .
Bình lu n:

V i m i bài toán quá c ng k nh v m t hình th c thì đa s có th s rút g n đ
t o thành t h ng đ ng th c nào đó Chúng ta c n ph i có s quan sát kĩ l

b

c ho c là s
ng tr

cm i

c bi n đ i thì bài toán s tr lên đ n gi n h n

Ví d 5: Gi i ph

3
1  log
2

2

x 

ng trình

2x  1



2

 2log 2  8  .log 4





1
3x2  6 x  2  2 x 2 x  1  x  log 2 2017.log 2017 2
2
Bài gi i:

Đi u ki n xác đ nh: x 

1
,
2

3x 2  6 x  2  2 x 2 x  1  x  0 .

Ta có: log a b.log b c  log a c  log



Bình ph

2017.log 2017 2  2 log 2 2017.log 2017 2  2 log 2 2  2 .



Ta bi n đ i ph

 x  2x  1

2

ng trình tr thành: log 2 x  2x  1



2



2

 log 2



3x 2  6 x  2  2 x 2 x  1  x

 3x2  6 x  2  2 x 2 x  1  x  x2  x  1  3x2  6x .

ng hai v ta đ

c:





x4  2x3  4x  1  0   x  1 x3  3x2  3x  1  0  *  .
Ta ch ng t r ng ph

ng trình x3  3x2  3x  1  0 vô nghi m.

Th t v y, ta có hai cách x l nh sau
Cách 1: S d ng ph

ng pháp l p b ng bi n thiên c a hàm s :

1

Xét hàm s : f  x   x3  3x2  3x  1 v i x   ;   ta có:
2

1

f '  x   3x2 +6 x  3  0, x   ;   .
2





T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ta có b ng bi n thiên nh sau

x

1
2



f '  x




f  x

11
8
Ta th y ph

1

ng trình x3  3x2  3x  1  0 vô nghi m v i x   ;   .
2


Nh v y  *   x  1 (Th a mãn đi u ki n xác đ nh).
Cách 2: S d ng h ng đ ng th c b c 3:
Ta có: x3  3x2  3x  1  0  x3  3x2  3x  1  2

  x  1  2  x  1  3 2  x  3 2  1 (Không th a mãn đi u ki n xác đ nh).
3

Nh v y  *   x  1 (Th a mãn đi u ki n xác đ nh).
K t lu n: Ph

ng trình có nghi m duy nh t đó là x  1 .
Bình lu n:

Đ i v i ph

ng trình b c 3 có ch a nghi m l , ta có r t nhi u các cách x lí và trong bài toán

trên chúng ta đã ti p c n 2 cách x
nh ng bài t

ng t

lí c b n đ b n đ c có th áp d ng khi đ i m t v i

Ởau đây tác gi mu n g i g m đ n các đ c gi m t s bài t p áp d ng

đ b n đ c có c h i rèn luy n thêm và hi u kĩ l

ng h n v v n đ 2 này.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

II. BÀI T P ÁP D NG:
Bài toán 1: Gi i ph

ng trình sau trên t p s th c:

log 2
Bài toán 2: Gi i ph









 

x  1  1  log 4 x  x  8  log 4 x2

ng trình sau trên t p s th c:



 







log8 x3  log4  x  1  3  log 2  x  2   log 4 x2  x  1
Bài toán 3: Gi i ph

2

ng trình sau trên t p s th c:







1  log0,25 x2  x  2  log 2 x  2  2x2  4x
Bài toán 4: Gi i ph



ng trình sau trên t p s th c:







1
 log9 2x2  x  1  log 3 2x  x  1
2
Bài toán 5: Gi i b t ph

ng trình sau trên t p s th c:

log4 1  x   log0,25 1  x   log 2
Bài toán 6: Gi i b t ph





2  3x  4 x2  x



ng trình sau trên t p s th c:







3
 log 2 2x2  3x  log 4  x  2   log 2 2 x3  7 x2  14 x  12
2
Bài toán 7: Gi i ph

ng trình sau trên t p s th c:







log 3  x  1  log 27 x2  2 x  1  log 9 x  7  2 x  8
Bài toán 8: Gi i ph















ng trình sau trên t p s th c:



log2 x2  16x  19  1  log 2  x  2   log 2
Bài toán 10: Gi i ph



ng trình sau trên t p s th c:

1
ln x  x  3  ln 2x2  2x  6  ln x2  x  3

2
Bài toán 9: Gi i ph



ng trình sau trên t p s th c:



2x2  16x  18  x2  1




T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

1  log 1
3

Bài toán 11: Gi i ph







2 x2  7  2 x2  4  log 3 x  x2  3



ng trình sau trên t p s th c:







1  log 2  x  1  log 4  2 x  1  log 0,25 2 x3  x2  6 x  3  log 4 x2  x  2
Bài toán 12: Gi i ph

ng trình sau trên t p s th c:



8
log 3 
  log 1
 2x  7  2x  1 
3

IV H



x  4  x2  8 x


x  8  x  log 3

 2 x  3  4 x2  12 x  7 







NG D N GI I:

Bài 1: Gi i ph

ng trình log 2











 

ng đ

ng v i:

x  1  1  log 4 x  x  8  log 4 x2 .

Đi u ki n xác đ nh: x  x  8  0 .Ta có ph

log 2





x  1  1  log 2  x  x  8   log 2



ng trình t

 x  
2



x 1 1

x x8  x

Vì x  x  8  0 do đó





x 1 1

x x8  x 

Do 2 v không âm bình ph

ng v





x 1 1
ta đ

c ph



x 1 1  x  x  8 1  x 1
ng trình

x  1 x  8  2 x  x  8  x  1  x  8  2 x  x  8
Do 2 v không âm bình ph

ng v l n

ta đ

c ph

ng trình

3x  8  0
x  8  4 x  4 x  8  4 x  8  3x  8  
2
16  x  8    3x  8 


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

8

x


8
3

x 
8



3
x


 L   x  8.


9 x2  64 x  64  0

9


  x  8 TM 
K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có

nghi m duy nh t: x  8.

 

Bài 2: Gi i ph

ng trình log8 x3  log4

 x  1  3  log  x  2  log  x  x  1 .
2

2

2

4

Đi u ki n xác đ nh: x  0.
ởa có ph

ng trình log

 log2  x   log2





 x   log  x
3

23

22

2



 2 x  4  log 2  x  2   log



x2  2x  4  log 2  x  2   log2







x2  x  1

22

x

2



 x 1





 log2 x x2  2x  4  log 2  x  2  x2  x  1  x x2  2x  4   x  2  x2  x  1
Do 2 v không âm bình ph







ng v ta đ



c ph

ng trình

x2 x2  2x  4   x  2  x2  x  1  5x3  5x2  8x  4  0
2

x  2  0
  x  2  5x 2  5x  2  0   2
 x  2.
5x  5x  2  0  VN 





K t lu n: V y ph

Bài 3: Gi i ph

ng trình đã cho có









ng trình 1  log0,25 x2  x  2  log 2 x  2  2x2  4x .

Đ t đi u ki n xác đ nh:
Ph

nghi m duy nh t: x  2.

ng trình đã cho t

2 x2  4 x  2  x .
ng đ

ng v i: 1  log

22

x

2





 x  2  log 2 x  2  2x2  4x



T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com





 1  log 2 x  2  2 x2  4 x  log 2

2

x  2  2 x2  4 x
x2  x  2

Bình ph





 x  2  2x2  4x 

x2  x  2  log 2 2  log 2 
2

x  x  2 


 2 x2  x  2  x  2  2 x2  4 x





c: 4 x2  x  2  x2  4x  4  2x2  4x  2  x  2  2x2  4x

ng hai v ta đ

 x  4x  4  2  x  2  2x  4x   x  2   2  x  2 
2

2

2

t

Ta có

x  2

x  2
ng v i: 
(Vô nghi m).

2
 2
2

 x  2   4 2 x  4 x
7 x  20x  4  0

ng đ



K t lu n: V y ph

Bài 4: Gi i ph

ng trình đã cho có

ng trình



nghi m duy nh t: x  2.



32

 2x

 log3 3  log3
 log3



Bình ph



2







1
 log9 2x2  x  1  log 3 2x  x  1 .
2

Đi u ki n xác đ nh: 2x  x  1  0 ởa có ph

log 3 3  log

 x  2 TM 
2x  4x  
 x  2  2 2x2  4x  * 

2





 x  1  log 3 2 x  x  1





ng trình tr thành:



2x2  x  1  log3 2x  x  1









3 2x2  x  1  log3 2x  x  1  3 2x2  x  1  2x  x  1
ng hai v ta đ

c: 6x2  3x  3  4 x2  x  1  4 x x  1



 x2  2 x x  1  x  1  0  x  x  1

K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có



2

 0  x  x1  x 

nghi m duy nh t: x 

1 5
.
2

1 5
.
2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Bài 5: Gi i b t ph



ng trình: log4 1  x   log0,25 1  x   log 2



2  3x  4 x2  x .

1  x  0

1  x  0
1  3

Đi u ki n xác đ nh:  2  3x  4 x2  x  0  0  x 
.
2
2  3 x  4 x 2  0

x  0

B t ph

ng trình t

ng đ

ng v i: log

 log2 1  x  log2 1  x  log 2
 log2





1  x 1  x  log 2





22

1  x  log2 1  x  log2 
2

2  3x  4 x2  x

2  3x  4 x2  x



2  3x  4 x 2  x



 1  x 1  x  2  3x  4 x2  x  x  1  x 2  2  3x  4 x 2
Bình ph

ng hai v không âm ta đ





c: x  1  x2  2 x 1  x2  2  3x  4x2





 3 x 2  4 x  1  2 x 2  x 1  x  0  3 x2  x  2 x2  x 1  x   1  x   0









x2  x  1  x 3 x2  x  1  x  0  * 

 1  3 
2
Do x  0;
  x  x  1  x  0 .
2 

B t ph

ng trình  *  t

ng đ



ng v i: 3 x2  x  1  x  0



 3 x2  x  1  x  9 x2  x  1  x  9x2  10x  1  0


5  34
x 
 5  34 1  3 
9
;
. K t h p v i đi u ki n xác đ nh  x  

.
9
2 

5  34

x 
9





T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

K t lu n: V y t p nghi m c a b t ph

Bài 6: Gi i b t ph

 5  34 1  3 
ng trình S  
;
.
9
2 


ng trình









3
 log 2 2x2  3x  log 4  x  2   log 2 2 x3  7 x2  14 x  12 .
2

2 x 2  3 x  0

 x  0.
Đi u ki n xác đ nh: x  2  0
 3
2

2x  7 x  14x  12  0
B t ph

ng trình t

ng đ



ng v i:



log 2 8  log 2 2 x2  3x  log



22

 x  2   log 2  2 x3  7 x2  14x  12 





 log 2 2 2  log 2 2 x2  3x  log 2 x  2  log 2 2 x3  7 x2  14 x  12



 log 2  4 x2  6 x





 4 x2  6 x







2 x  4   log 2 2 x3  7 x2  14 x  12







2x  4  2x3  7 x2  14x  12  2 x  2 x  3  2 x  4   2 x  3  x2  2 x  4







  2 x  3  x2  2 x  4  2 x 2 x  4  0   2 x  3  x  2 x  4
Do: x  0  2x  3  0 , suy ra b t ph



M t khác: x  2x  4



2

ng trình t

ng đ



2



0



ng v i: x  2x  4



2

0

 0 x  0 . Do đó ta có: x  2 x  4  0  x  2x  4

 x  1  5 TM 
 x  1 5 .
 x  2x  4 ( Do 2 v không âm)  x  2x  4  0  
x  1  5  L

2

K t lu n: V y b t ph

2

ng trình có nghi m duy nh t: x  1  5.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Bài 7: Gi i ph









ng trình log 3  x  1  log 27 x2  2 x  1  log 9 x  7  2 x  8 .

x  1  0
 2
x  2x  1  0
 x  8.
Đi u ki n xác đ nh: 




x
x
7
2
8
0

x  8  0

Ph

ng trình đã cho t

 log 3  x  1  log 3

 3 x 1 



3

ng đ

 x  1



2



ng v i: log 3  x  1  log 33  x  1  log 32 x  8  2 x  8  1

 log 3

2


x 1
x  8  2 x  8  1  log 3 
2
 3  x  1



  log
3




2

x8 1  x8 1

Đ t u  3 x  1  u3  x  1  x  u3  1 .
ởhay vào ph

ng trình ta có u  u3  7  1

u  1  0
u  1
 u  1  u3  7  
 3 2
2
3
u  u  2u  8  0
 u  1  u  7

u  1
u  1


 u  2  0
 u  2  x  9 TM  .
2
u
u
u





2
4
0



2

 u  u  4  0  VN 






K t lu n: V y ph

Bài 8: Gi i ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x  9.













1
ng trình ln x  x  3  ln 2x2  2x  6  ln x2  x  3 .
2

x  x  3  0
 2
1  13
2 x  2 x  6  0
Đi u ki n xác đ nh: 
x
.
2
2
x  x  3  0
x  3  0








x8 1

2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ởa có ph







ng trình tr thành: ln x  x  3  ln 2x2  2x  6  ln x2  x  3



 ln  x  x  3




 x x3







2x2  2x  6   ln x2  x  3












2 x2  2 x  6  x2  x  3  x  x  3 x  x  3



Tr


1  13
x  0
ng h p 1: V i x  x  3  0  x  x  3   2
x
.
2

x  x  3

Tr

ng h p 2: V i

2 x2  2 x  6  x  x  3 .

Do 2 v không âm, bình ph

ng hai v ta đ

c:

2 x2  2 x  6  x2  x  3  2 x x  3  x2  2 x x  3  x  3  0



 x x3



2

 0  x x3  0 x 

K t lu n: V y ph

Bài 9: Gi i ph

1  13
.

2

ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x 

1  13
.
2

ng trình





log2 x2  16x  19  1  log 2  x  2   log 2





2x2  16x  18  x2  1 .

x2  16 x  19  0

x  2  0

Đi u ki n xác đ nh :  2x2  16x  18  x2  1  0  x  8  3 5; 1  1;   .

 2




2
16
18
0
x
x

x2  1  0




Ta bi n đ i ph



ng trình tr thành:



log2 x2  16x  19  log2 2  log 2  x  2   log 2





 log 2 x2  16x  19  log 2 2  x  2 






2x2  16x  18  x2  1



2x2  16x  18  x2  1 





T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 x2  16x  19  2  x  2 

 x  16x  19 
2



2x2  16x  18  x2  1



2  x  2  x2  16x  19





2x2  16x  18  x2  1

Tr

ng h p 1: V i: x2  16x  19  0  x  8  3 5 .

Tr

ng h p 2: V i :

Bình ph

2x2  16x  18  x2  1  2  x  2   2x2  16x  18  2  x  2   x2  1

ng hai v ta đ





c: 2x2  16x  18  4  x  2   x2  1  4  x  2  x2  1
2









 4  x  2  x 2  1  3x 2  3  4  x  2  x 2  1  3 x 2  1  0  x 2  1 4 x  8  3 x 2  1  0
 x2  1  0  1
 x2  1  0



 4 x  8  3 x2  1  2 
 4 x  8  3 x2  1  0



x  1
Gi i (1): x2  1  0  
.
 x  1

 x  2

4 x  8  0
  x  32  3 57
 
Gi i (2): 4 x  8  3 x2  1  
2
7
2


x
x



4
8
9
1



  x  32  3 57
 
7



K t h p v i đi u ki n xác đ nh ta thu đ
K t lu n: V y ph

Bài 10: Gi i ph

ng trình đã cho có

ng trình 1  log 1
3





c các nghi m: x  1 và x  1
nghi m: x  1 và x  1.







2 x2  7  2 x2  4  log 3 x  x2  3 .


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 2 x2  7  2 x2  4  0

 x  x2  3  0

14
Đi u ki n xác đ nh: 2 x2  7  0
x
.
2
 2
2 x  4  0
 x2  3  0


Ph

ng trình đã cho t

log3 3  log

31



 log 3 3  log 3

ng đ

ng v i:





2x2  7  2x2  4  log 3 x  x2  3









2x2  7  2x2  4  log 3 x  x2  3









3
3
 log 3 
 log 3 x  x2  3 
 x  x2  3



2
2
2
2
2x  7  2x  4
 2x  7  2x  4 

3







2 x2  7  2 x2  4 x  x2  3  3 

3



2 x2  7  2 x2  4



x  x2  3

 x  x2  3  2 x2  7  2 x2  4  2 x2  4  x2  3  x  2 x2  7





2 x2  4  x2  3

 
2

 x  2 x2  7



2

 3x 2  7  2 2 x 2  4 x 2  3  3x 2  7  2 x 2 x 2  7  2 x 2  4 x 2  3  x 2 x 2  7
Do 2 v không âm bình ph



2 x2  4 x2  3

ng ti p hai v ta đ

c:

  x 2x  7   3x  12  0  xx  22 .
2

2

2

K t h p đi u ki n xác đ nh ta đ
K t lu n: V y ph

2

c: x  2.

ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x  2.

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Bài 11: Gi i ph

ng trình









1  log 2  x  1  log 4  2 x  1  log 0,25 2 x3  x2  6 x  3  log 4 x2  x  2 .
x  1  0

1
2 x  1  0
Đi u ki n xác đ nh:  3
x .
2
2
2 x  x  6 x  3  0
2
x  x  2  0

Ph

ng trình t

ng đ

log 2 2  log 2  x  1  log

ng v i:
22

 2x  1  log2

2

 2x

3



 x2  6 x  3  log

22

x

2

x2



 log2 2  log2  x  1  log2 2x  1  log 2 2x3  x2  6x  3  log 2 x2  x  2

 log2 2  x  1 2x  1   log 2





2 x3  x2  6 x  3 x2  x  2



 2  x  1 2x  1  2x3  x2  6x  3 x2  x  2

 2  x  1 2x  1  2x  1 x2  3 x2  x  2 .
Vì x 

1
ph
2

ng trình t

ng đ

Do 2 v không âm, bình ph

ng v i: 2  x  1  x2  3 x2  x  2 .

ng hai v ta đ





c: 4  x  1  x2  3 x2  x  2



2



 x4  x3  x2  5x  2  0   x  1 x3  2 x2  3x  2  0

 x  1TM 
x  1  0

 3

2
3
2
 x  2x  3x  2  0  x  2x  3x  2  0  * 
Ta c n ch ng minh ph
Xét hàm s

ng trình

vô nghi m trên mi n xác đ nh.

1
f  x   x3  2x2  3x  2 v i x  . Ta có: f '  x   3x2  4x  3  0 .
2

B ng bi n thiên:




T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

1
2

x



f '  x

+


f  x

1
8
1
ng trình x3  2x2  3x  2  0 vô nghi m v i x  .

2

T b ng bi n thiên ta th y ph
Nh v y ph

ng trình ch có 1 nghi m duy nh t x  1 (Th a mãn đi u ki n )

K t lu n: V y ph
Bài 12: Gi i ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x  1.
ng trình



8
log 3 
  log 1
 2x  7  2x  1 
3





x  4  x2  8 x

.
x  8  x  log 3
2



 2 x  3  4 x  12 x  7 



1
Đi u ki n xác đ nh: x  .
2
Ph

ng trình đã cho t

ng đ



8
log 3 
  log 3
 2x  7  2x  1 

ng v i :





x  4  x2  8 x



x  8  x  log 3
 2 x  3  4 x2  12 x  7 









x  4  x2  8 x
8
1


.
log
 log 3 


3
2


 2x  7  2x  1 x  8  x 
 2 x  3  4 x  12 x  7 

8





2x  7  2x  1



1

.

2x  7  2x  1

x8  x





x  4  x2  8 x
2x  3  4x2  12x  7

2x  7  2x  1

2x  7  2x  1

.

1
x8  x



2 x  8  2 x2  8 x
4x  6  2 4x2  12x  7


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2x  7  2x  1







x8  x



x8  x

 
3

x   x  8  2 x x  8

 2x  7    2x  1  2

2x  7  2x  1



3

2x  7 2x  1







x8  x



2

2x  7  2x  1



2

 x  8  x  2x  7  2x  1

 2x  7  x  2x  1  x  8 .
Bình ph

ng hai v ta đ

c:

3x  7  2 2 x  7 x  3x  7  2 2 x  1 x  8  2 x  7 x  2 x  1 x  8  x  1 .
K t lu n: V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t: x  1.