Luận văn thạc sĩ xấp xỉ euler maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

B Ù I TH Ị N H U N G

XẤP x ỉ EULER-MARUYAMA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU
NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
TUYẾN TÍNH
•

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Hà N ội - 2015

•

•


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

B Ù I TH Ị N H U N G

XẤP XỈ EULER-MARUYAMA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU
NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
TUYẾN TÍNH
•

•

C huyên ngành: Toán ứ n g dụng
M ã số: 60 46 01 12

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọ c: T S . N G Ô H O À N G L O N G

Hà N ội - 2015

•


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các
thầy cô, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến T S . N g ô H o à n g L o n g ,
người thầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học,
Khoa Toán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt
tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tố t nhất cho tôi trong thời gian học tập
tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành,
nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K17 - đợt
2 (2013-2015) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,
động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Học viên

Bùi Thị N hung


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của T S . N g ô H o à n g L o n g .
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên

Bùi Thị N hung


M ục lục
M ỏ dầu
1

K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị
1.1 Khống; gian xác suất
1.1.1 Định nghĩa không gian xác s u ấ t_.
1.1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
1.1.3 Kì vọng
1.1.4 Một số định lý giới h ạ n | .................................................................

1.1.5 Một số bất đẳng thức .....................................................................
1.1.6 Một số dạng hội t ụ | ............................................................................
1.2

1.3

1.4

2

Quá trình ngẫu n h iê n ......................................................................................
1.2.1 Đai cương về quá trình ngẫu n h iê n .............................................
1.2.2 Thời điểm dừng
1.2.3 Martinealel . . .
1.2.4 Môt số bất đẳng thức
1.2.5 Chuyển đông Brown .
Giải tích ngẫu nhiên Itô
1.3.1 Xây dưng tích p'lân It<3 .................................................................
1.3.2 Công thức vi phân Itô
Phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.4.1 Định nghĩa phương: trình vi phân ngẫu n h iê n ........................
1.4.2 Sự tồn tại và duy nhất n g h i ệ m ....................................................

X ấ p x ỉ E u le r -M a r u y a m a
2.1 Phương pháp xấp xỉ Euler-M aruyama cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hê số Lipschitz toàn cuc ................................................
2.2 Sự phân kỳ của phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương
trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khống bị chặn tuyến tính
2.2.1 Sự phân kỳ của phương pháp xấp xỉ Euler-Maruỵama
2.2.2 V í du

2.2.3 Chứng minh Định lý|2.3
2.3 Phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama khống chề
2.3.1 Định nghĩa lược đồ Euler khống chế

3

4
4
4
5
6
7
7
1-7
7

11

12
12
13
14
14
15
15
15
17
29
29
32

32
34
36
39
39


2.3.2
2.3.3
2.3.4
3

1

Tính bi chăn của momen nghiêm
Chứng minh kết quả chính
Tốc đô hôi tu

45
48

S ố h ó a v à m ô p h ỏ n g tr ê n m á y t ín h
50
. . . . 50
3.1 Mô hình chuyển đông Brown hình hoc
3.1.1 Mô phỏng quỹ đạo của chuyển động Brown hình học . . .
50
3.1.2 Xấp xỉ E\ \ Xĩ \ 2]
. . . . 50
3.1.3 CoHfi Ma,t,la,hl. ...................................................................................... 54

3.2 Mô hình Ginzburg - Landau ........................................................................ 55
3.2.1 Mô phỏng quỹ đạo của nghiệm phương trình Ginzburg_______ I.a.nna.ni-----55
3.2.2 Xấp xỉ E[ X i 21
58
3.2.3 Code Ma,t,la,hl.
58
3.3 Đánh giá kết quả mô phỏng
60

K ế t lu ậ n

61

T ài liệ u th a m k h ả o

62

4


M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục đã có những bước phát
triển đột phá nhờ các nghiên cứu tiên phong của N. W iener, A. Kolmogorov, p.
Levy, K. Itô. Một trong những lớp quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục quan
trọng nhất được xác định thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng
f

dXị = fi(Xt)dt + ơ ( X t )dWt ,

{

x0=

t > 0

với w là m ột chuyển động Brown và tích phân đối với dWị được hiểu là tích
phân ngẫu nhiên Itô.
Trong các ứng dụng thực tế của mô hình trên, những vấn đề cần giải quyết
thường được đưa về bài toán xác định kì vọng của một phiếm hàm của X . Do
phần lớn các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không thể giải ra nghiệm
m ột cách tường minh, việc xấp xỉ nghiệm là hết sức cần thiết. Một trong những
phương pháp xấp xỉ đơn giản nhưng rất hiệu quả và đang được sử dụng rộng
rãi trong thực tế là phương pháp Euler-Maruyama: Ta chia đoạn [0,T] thành n
kỉ
„
đoạn bởi các điểm chia tk = —— = kA, k = 0,
Dãy xấp xỉ x n được xác
n
định bởi
K

=

K t, = K

+ 0 ( K ) A + V ( K ) (W'h., - w<.) ■

Nếu n và ơ thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục thì người ta đã chứng minh
được rằng tồn tại hằng số Cp không phụ thuộc vào n sao cho

E SUP \Xịk —X ị k \p
. k

a,

— P?
712

tức là lược đồ Euler-M aruyama hội tụ theo nghĩa mạnh với tốc độ bằng
nữa, ta cũng có
\ E f ( X Ỉ ) - E f { X t) ) \ ^ ị .
n
1

Hơn


với mọi hàm / đủ trơn và với hằng số dương c nào đó không phụ thuộc vào n.
Khi đó ta nói lược đồ Euler hội tụ yếu với tốc độ bằng 1.
Việc xác định tốc độ hội tụ mạnh và yếu của phép xấp xỉ Euler-Maruyama
trong trường hợp hệ số /z và ơ không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục đến
nay vẫn chưa được trả lời m ột cách triệt để. Gần đây, các tác giả HutzenthalerJentzen-K loeden [3] đã chỉ ra rằng khi các hệ số ụ, và ơ không bị chặn tuyến tính,
lược đồ Euler-M aruyama không hội tụ theo nghĩa mạnh. Các tác giả này cùng
với Sabanis ffH cũng giới thiệu m ột cải tiến của phương pháp Euler-M aruyama
để xấp xỉ nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng này.
Với m ong muốn tìm hiểu sâu thêm phương pháp xấp xỉ Euler-M aruyama
cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không thỏa mãn điều kiện
Lipschitz, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “X ấ p x ỉ E u le r -M a r u y a m a ch o
p h ư ơ n g tr ìn h v i p h â n n g ẫ u n h iê n v ớ i h ệ số k h ô n g b ị c h ặ n t u y ế n t ín h ”
cho luận văn thạc sĩ của mình.

Luận văn gồm có 3 chương. Chương I trình bày m ột số kiến thức chuẩn bị
về giải tích ngẫu nhiên. Tài liệu tham khảo chính của chương này là Mao 11].
Chương II trình bày về phép xấp xỉ Euler-Maruyama. Mục 2.1 trình bày về phép
xấp xỉ Euler-M aruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz
toàn cục (tham khảo từ 11] và JT]). Mục 2.2 chứng minh sự phân kỳ của phép
xấp xỉ Euler-M aruyama khi áp dụng đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên
có hệ số tăng trên tuyến tính (tham khảo từ bài báo của Hutzenthaler và các
cộng sự [31J). Mục 2.3 trình bày phương pháp Euler-M aruyama khống chế áp
dụng cho phương trình với hệ số tăng trên tuyến tính (tham khảo từ bài báo
của Sabanis |ỊH]) - Chương III của luận văn tập trung vào việc nghiên cứu kết quả
của các lược đồ dạng Euler-M aruyama bằng phương pháp mô phỏng dựa trên
phần mềm M atlab. Chúng tôi tập trung vào hai mô hình là chuyển động Brown
hình học và mô hình Ginzburg-Landau ngẫu nhiên.

2. M ục đích nghiên cứu
• Xác định tính phân kỳ của lược đồ Euler-M aruyama cổ điển cho lớp các
phương trình vi phân ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn
cục.
• Xây dựng phương pháp Euler-M aruyama cải tiến cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hệ số tăng trên tuyến tính.

3. N h iệm vụ nghiền cứu
• Hệ thống kiến thức về phép tính vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình
vi phân ngẫu nhiên.

2


•

Nghiên cứu tính phân kỳ của lược đồ Euler-M aruyama cho lớp các phương
trình vi phân ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn
cục.

• Xây dựng phương pháp Euler-M aruyama cải tiến cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hệ số tăng trên tuyến tính.
• Mô phỏng thuật toán xấp xỉ trên máy tính.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
•

Phương trình vi phân ngẫu nhiên.

•

Phương pháp giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên.

5. Đ ón g góp mới của đề tài
Luận văn làm rõ sự hội tụ theo nghĩa mạnh của các phương pháp xấp xỉ
nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên. Luận văn cũng xây dựng chương trình
mô phỏng phép xấp xỉ trên máy tính.

6. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.

3


Chương 1

K iến thứ c chuẩn bi
1.1
1.1.1

K hông gian xác suất
Đ ịnh nghĩa không gian xác suất

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 . Cho íí khác rỗng. Họ A cấc tập con của íì được gọi là một
đại số nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây
i. 0, 0 € A\
ii. B e A thì n \ B = B c e A]
iii. A, B e A thì A n B e A, A u B e A.
Nếu đại số A thỏa mãn thêm điều kiện
00

00

i i i \ (An)n> 1 c A thì f ì A n £ A, u A n e A thì A được gọi là m ột ơ-đại số.
n= 1

n= 1

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 . Cho
= R" và c là họ tất cả các tập con mở của R" thì
ổ (R n) = ơ(C) (là (T-đại số bé nhất chứa c trên íí) được gọi là ơ-đại số Borel trên
R".
Đ ịn h n g h ĩa 1 .3 . Cho íì khác rỗng, A là ơ-đại số trên
m ột không gian đo.

thì

được gọi là

Đ ịn h n g h ĩa 1 .4 . Giả sử (fỉ,.4) là không gian đo, p : A -» [0,1] thỏa mãn
ỉ. P (íĩ) = 1;
ii. V(A„)„>1 c A sao cho A ị n A j = 0, Vi Ỷ j- Ta có

71=1

71=1

Khi đó (Í2,.4,P) là m ột không gian xác suất.
4


M ệ n h đ ề 1 .1 . i. P(0) = 0;
ii. Nếu A, B e A, Ả n B = 0 thì
P (Ẩ U B ) =P(i4)+P(fi);

iii. Nếu A c B thì P(Ẩ) < P (5 ).
M ệ n h đ ề 1 .2 (Tính liên tục của độ đo xác su ất). Giả sử
là một không
gian đo. p : A -> [0,1] là hữu hạn cộng tính, nghĩa là p (A u B) = P(A) + p (B),
VA, B e A và P (íì) = 1. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
i. p ỉà ơ-cộng tính;
ii. Nếu (An) c Ả, Aị c A 2 c . . . ,

\J An = A thì
TI>1
P(Ẩ) = lim P(A„);

n—
t 00

iii. Nếu A n c Ả, Aị D A 2 D . . Pl A n = A thì
n> 1

P(A) = lim P(A„).
71—y 00

1.1.2

B iến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Đ ịn h n g h ĩa 1 .5 . Giả sử (fi, A, P) là m ột không gian xác suất. Ánh xạ X :
được gọi là biến ngẫu nhiên (viết tắ t là bnn) nếu
X ^ i A ) = { w : x(w) E ẩ Ị e A

M

V Ẩ € B( R).

Đ ịn h n g h ĩa 1 .6 . Giả sử X là bnn xác định trên không gian xác suất (fi,.A ,P ).
Đặt
a ( X ) = ị x - ^ A ) , A & B ( R )},
thì ơ( X) là ơ-đại số. Ta gọi ơ( X) là ơ-đại số sinh bởi X .
Đ ịn h n g h ĩa 1 .7 . Nếu T là m ột cr-đại số con của A. Ta nói X là ^ -đ o được nếu
X L l (A)
V A e B(M).
Đ ịn h lý 1 .1 . Giả sử X và Y ỉà hai bnn, trong đó Y ỉà đo đượcvới ơ( X) thì tồn
tại hàm đo được / : K ->■ R sao cho Y = f ( X ) .

Đ ịn h n g h ĩa 1 .8 . Hàm phân phối của X là
Fx (x) = F [ X < x}.

5


Đ ịn h n g h ĩa 1 .9 . Bnn X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm
m ật độ f ( x ) nếu
Fỵ( x) = /
f(t)dt, Ух G R.
J —oo
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 0 . Bnn X được gọi là có phân phối chuẩn N ( a , ơ 2) nếu hàm
m ật độ của X là
. .
1
/ ( z ) = - / = = ■e 2V 27TƠ2

1.1.3

K ì vọng

Bnn X được gọi là bnn rời rạc nếu X nhận không quá đếm được giá trị. Khi
đó X có biểu diễn
x (w) =
xnIAn(w),
(1.1)
n> 1

trong đó

{
1

khi

w £ A

0

khi

w ị A

I a được gọi là hàm chỉ tiêu của tập A và (An) с Л, xn G M, Vn.
Giả sử X có thể biểu diễn bởi công thức (1.1) thì
E[X] =

X„P(A„),

(1.2)

n>l

nếu tổng trên có nghĩa, tức là hoặc

l^nỊlP^n) < +00 hoặc xn cùng dấu với
n>l

mọi n.

Nếu У là bnn không âm thì
E [У] = sup { é [X] : với mọi bnn X là rời rạc, không âm và X < Y } .
Giả sử Y là bnn tổng quát. Đặt Y + = max {Y, 0} và Y~ = —min {Y, 0} . Ta có
Y = Y + —Y ~ , |y | = Y + + Y ~ . Bnn Y được gọi là khả tích nếu E |V +] < + 0 0 và
E [ f _ ] < + 00 . Khi đó kì vọng của Y được xác định bởi
E [Y] = E [Y+] - E [ y - ].
M ệ n h đ ề 1 .3 . i. Nếu X = a hầu chắc chắn (tức là P [x = a] = l ) thì E[X] = a;
ii. Nếu X > 0 thì E[X] > 0;
iii. Nếu Е[Х] = 0 (trong đó X > 0) thì F[ x = 0] = 1, khi đó X = 0 hầu chắc
chắn;
iv . Nếu X > Y thì E[X] > E[y];
V. Tính chất tuyến tính: E[aX + VY] = aE[X] + ЬЕ[У].
6


1.1.4

M ột số định lý giới hạn

Đ ịn h lý 1 .2 (Định lý hội tụ đơn điệu). Nếu x n > 0 và x n t X thì E I „ -> EX.
Đ ịn h lý 1 .3 (Bổ đề Fatou). i. Nếu ( x n) là dẫy bnn và Elno : E[X n ] < +oo thì
lim infE[X„] > E[liminfX„];
ii. Nếu (x n) ỉà dãy bnn và 3n0 : E [x + ] < + 0 0 thì
limsupE[X„] < E[limsupX„].
Đ ịn h lý 1 .4 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue). Giả sử (x n) là dẫy bnn thỏa
mẫn
i. x n hA c Xii. Tồn tại Y khả tích tức là E[|Y|] < +oo sao cho \ x n\ < Y hầu chắc chắn với
mọi n thì
lim E[|X„ - x \ ] = 0 và lim E[x„] = E[x].

n - ¥ 00

1.1.5

n-ì

00

M ột số bất đẳng thức

B ất đẳng th ứ c M arkov
Nếu X > 0 và a > 0 thì P [x > a] <

EÍXÌ
■
a

B ất đẳng th ứ c H older
Nếu p, q > 1 và - + - = 1, đăt 11X11 = (E[|X|P])p thì IIXYIL < ||X|L„ • ||y ||r ,.
p

q

■

p

Đ ất đẳng th ứ c Jen sen
Giả sử ip là hàm lồi th ì E[(£>(a:)] >

1.1.6

M ột số dạng hội tụ

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 1 . Dãy bnn (x n) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến bnn X
nếu
p w : lim X n(w) = x ( w )
71—»00

Dãy bnn (x n) được gọi là hội tụ theo xác suất đến bnn X nếu
Ve > 0 : lim P [|x „ - x\ > e] = 0.


Dãy bnn (x n) được gọi là hội tụ trong ư (p > 1) đến bnn X nếu E [|x „ |p] < + 0 0
và
lim E [|X„ - x \ p] = 0.
M ệ n h đ ề 1 .4 . i. Nếu x n
ii.

Nếu x n

p> 1

X thì x n д X]

X thì x n 4 X.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 2 . Họ bnn (X
lim

a ) a € Ị

supE

Л-И-оо ae/
Đ ịn h lý 1 .5 . x n

được gọi là khả tích đều nếu
[ | X e | ■ I ỵ x a ị> A ]\ = 0.

X khi và chỉ khi họ (X „ )„ > 1 là khả tích đều và (x n) д X.

Đ ịn h lý 1 .6 . (x n) Л X khi và chỉ khi mọi dẫy con (x „k) с (x n), tồn tại dẫy
con (Х Шк) с ( ХПк) sao cho ( XmJ h-¥ X.

1.1.7

K ì vọng điều kiện

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 3 . Cho không gian xác suất (íĩ, Л ,Р ), X là biến ngẫu nhiên khả
tích (X G L1), T là ơ-đại số con của A. Kì vọng của X với điều kiện J7, kí hiệu
là Y = E (X |J 7) là bnn thỏa mãn
1. Nếu Y là J ’-do được tức là Y 1(A)

VA Ễ ß(R);

2. У € L 1;

E (X ■IA) = E ( y ■ỉ А), VA G T.
M ệ n h đ ề 1 .5 . i. Nếu X = a hầu chắc chắn thì E (X |J 7) = a hầu chắc chắn;

ii. Nếu X > 0 hầu chắc chắn thì E (X |J 7) > 0 hầu chắc chắn.
Nếu X > Y hầu chắc chắn thì E (X |J 7) > E (y |J 7) hầu chắc chắn;
iii. E(aX + bYịT) = aE (X |Jr) + òE (y|Jr) hầu chắc chắn, Va,b £ R;
iv . Nếu X là T - ã o được thì E (X |J 7) = X hầu chắc chắn;
V. Nếu X độc lập với ĩ

v i. E (E (X |J -)) = E [X ];

thì E (X |J 7) = E[X] hầu chắc chắn;


v ii. Nếu

с

с Л thì

Е ( Е ( Х |^ 2) |^ 1 ) = Е ( Е ( Х |^ 1 ) |^ 2) = E (X |^ i) hầu chắc chắn, У Х e L 1;
v iii. Nếu X, Y e L 1, X là T - đ o được thì
E (X F |J 7) = X ¥ j( Y\ T) hầu chắc chắn;
ix . Nếu H độc lập với ơ ( X , Q ) thì
E (XịơựH, G)) — E(X|Ổ) hầu chắc chắn.
Đ ịn h lý 1 .7 . ơ íả

sử Л 1 , Л 2 , . . . , An /ầ một phân

hoạch

của Í2 thỏa

mẫn

71

e Л,

n

= 0, Vĩ ^ j, và \J Aị = fi. Đặ t Q = ơ(Aị, A 2 , . . . , A n). Với mọi
i= 1

X £ L 1 ta có
i= 1

*

Đ ịn h lý 1 .8 . Giả sử X và Y là hai bnn phân phối liên tục tuyệt đối với hàm
m ậ t độ đồng thời là f x Y tức là
F x ,y {x , v ) = p [ X < X , Y < y] =

í

du í

^ — ОС

ỉ x ,y

( u , v ) dv.

^ — ОС

Đặt
,

\)

ĩx\YÌAy)=\

( Ĩ x ,y {x , v )

t t

ĩ y (v )

{ 0
với

/y

khi

, , ,

_
°

f Y (y) = 0

là hàm mậ t độ của bnn Y . Đặt

/

—

Khi đó

...

khi fy(v) >

+00

yfx/Y(y/x)dy.
00

E (X |Y ) = h(Y).

Đ ịn h lý 1 .9 . Giả sử (p : M2 -» R ỉà hàm Boreỉ. Nếu X và Y là hai bnn độc lập
thì
E[ụ>{X,Y)\X] = E[X= x

9


1.2

Q uá trình ngẫu nhiên

1.2.1

Đ ại cương về quá trình ngẫu nhiên

Giả sử (rì, .F,P) là m ột không gian xác suất.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 4 .
• Họ (J7i)t >0 các (T-đại số con của T được gọi là m ột lọc
nếu Tị c T 3 với mọi s > t > 0.
• Lọc ự t ) t > 0 được gọi là liên tục phải nếu T ị = n Fs với mọi t > 0.
s>i

• Lọc ự ị ) ị > 0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục
phải và F ữ chứa tất cả các tập Ả c
sao cho Ả c B e T và p (B) = 0.
Ta sẽ luôn giả sử rằng tất cả các không gian xác suất với lọc được đề cập
đến trong luận văn này đều thỏa mãn điều kiện thông thường.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 5 . Họ ( x t )t£i các bnn nhận giá trị trên R d được gọi là m ột quá
trình ngẫu nhiên (viết tắt là qtnn) với tập chỉ số I và không gian trạng thái R d.
Tập chỉ số I thường là nửa đường thẳng thực R+ = [0, oo), đoạn [a,b] hay tập
các số nguyên dương.
Khi I là tập (con của) các số nguyên dương thì (Xị ) teI được
với thời gian rời rạc còn khi I là khoảng con của R + thì (x t )t£l
trình với thời gian liên tục.
Với mỗi thời điểm cố định t e I, ánh xạ Q 3 w
Xị(w) e
Mặt khác, cố định w e íí, ánh xạ / 3 í
Xị (w) e R d được gọi
của quá trình X ứng với w.

gọi là quá trình

được gọi là quá
Kd là m ột bnn.
là m ột quỹ đạo

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 6 . Qtnn ( x í )í >0 được gọi là
• liên tục (liên tục trái, liên tục phải) nếu với hầu chắc chắn m ọi w e 0 , hàm

t

x t (w) là liên tục (liên tục trái, liên tục phải) trên đoạn [0,oo);

• cadlag nếu nó là liên tục phải và với hầu chắc chắn mọi m E Í ì giới hạn trái
liĩĩig-Ị-ị X s{yo) tồn tại và hữu hạn với mọi t > 0;
• khả tích nếu Xị khả tích với mọi t > 0;
• tương thích với lọc (JFt ) nếu Xị là ^t-đo được với mọi t > 0;
• đo được nếu ánh xạ R_|_ X Q 3 (t,w) I-» Xị(w) e R d là B(M+) X T !&{Kd)-đo
được;
• đo được dần nếu với mọi t > 0, ánh xạ [0,t] x í l 9 ( s , » ) 4 x s(w) € Kd là
B([0,t]) X J7í /ổ (M d)-đo được.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 7 . Giả sử (-X't)í>0 và (Yt)i> 0 là hai qtnn.
10


• Y được gọi là m ột bản sao của X nếu P [ x t — Yi] — l với mọi t > 0;
• X và Y được gọi là bất khả phân biệt P [ x t = Yị] = 1 với mọi t > 0.
Dễ thấy nếu X và Y là bất khả phân biệt thì Y là m ột bản sao của X . Điều
ngược lại nói chung không đúng.

1.2.2

Thời điểm dừng

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 8 . Bnn T : П -» [0, oo] được gọi là thời điểm dừng nếu với mọi
t, biến cố { T < t} e Tị.
T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu T < oo hầu chắc chắn.
T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại к e [0,oo) sao cho T < к
hầu chắc chắn.
Với mỗi qtnn X và thời điểm dừng T, ta kí hiệu X T(w) = X T(w)(w).
M ệ n h đ ề 1 .6 . Giả sử lọc {Tị) thỏa mãn điều kiện thông thường, ta có
i. T là thời điểm dừng khi và chỉ khi { T < t} £ Tị với mọi t;
ii. Nếu T = t hầu chắc chắn thì T là thời điểm dừng;
iii. Nếu s và T ỉà hai thời điểm dừng thì s л T, s V T cũng ỉà các thời điểm
dừng;
iv . Nếu (T„ )„ > 1 là dãy các thời điểm dừng thì supnTn và infn Tn cũng là các thời
điểm dừng;
V. Nếu s > 0 và s ỉà thời điểm dừng thì T = s + s cũng là thời điểm dừng.
M ệ n h đ ề 1 .7 . Giả sử T là thời điểm dừng hữu hạn, đặt
Tn(w) = (k + l)/2 "

nếu k/ 2 n < T(w) < (k + l)/2 " .

Khi đó (T„ )„ > 1 là dẫy thời điểm dừng hội tụ hầu chắc chắn đến T. Dã y (Tn) được
gọi là dãy xấp xỉ rời rạc của T .
Với mỗi tập Borel A, đặt
TA = inf{í > 0 : Xị G A}.
M ệ n h đ ề 1 .8 . Giả sử ỉọc (Ft) thỏa mẫn điều kiện thông thường và quá trình
ngẫu nhiên tương thích (X ị ) có quỹ đạo liên tục. Khi đó
i. Nếu Ả ỉà tập mở thì Ta ỉà thời điểm dừng;
ii. Nếu Ả là tập đóng thì Ta cũng là thời điểm dừng.

11


Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt
T T = {A £ T : A n { T < t} £ Tị,

với mọi t > 0}.

T T là ơ-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T.
M ệ n h đ ề 1 .9 . Giả sử ỉọc (Tị) thỏa mãn điều kiện thông thường, ta có
i. T t là ơ-đại số;
ii. Nếu S < T thì ? s с Т т;

iii. Đ ặ t Тт+ = n ?T+e- K h i đó T T+ = T T ;
€>0

iv . Nếu X T có quỹ đạo liên tục phải thì X T là ĩ T-ão được.

1.2.3

M artingale

Giả sử (Tt)tei là một lọc.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 9 . Quá trình ngẫu nhiên (Mị)ieI được gọi là một martingale
ứng với lọc (Tị) và độ đo xác suất p nếu
1. E[|Mt |] < oo với mọi í;
2. Mị là J'i-do được với mọi t;
3. EỊMíl^e] = M s hầu chắc chắn với mọi t > s.
Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi EfMtlJ'a] > M s hầu chắc chắn với mọi t > s
thì (Mị) được gọi là martingale dưâi. {Mị) được gọi là martingale trên nếu (—Mị)

là martingale dưới.
V í d ụ 1 .1 . Giả sử X là m ột bnn khả tích, {Fị)ị£Ị là m ột lọc. Đặt Xị =
Khi đó (Xi) là m ột m artingale và được gọi là m artingale chính quy.

1.2.4

M ột số bất đẳng thức

T hời gian rời rạc
Đ ịn h lý 1 .1 0 . Giả sử (x n) là martingale dưới. Khi đó với mọi а > 0 và N e N
ta có
1. flP(maxX„ > a) < E[ max|Xjv| > a] < E(|Xjv|),
n
n
2. aP(min x n < - a) < E ( |x 0| + \XN \),
n
3. aP(m ax|X „| > a) < 2E (|X JV| + | x 0|).
n
12


Đ ịn h lý 1 .1 1 . Nếu p > 1 và X là martingale hoặc martingale dưới không âm
thỏa mãn E[|X j|p] < oo với mọi i < N. Khi đó
1. P(m ax|X „| > à) < а_рЕ(|Хдг|р),
n

2. Е [т а х |Х п|Р] < ( - ? — У е [ |Х ^ и .
n
\ p — 1/

T hời gian liên tụ c
Đ ịn h lý 1 .1 2 . Giả sử (Mị) ỉà martingale hoặc ỉà martingale dưới không âm có
quỹ đạo liên tục phải và có giới hạn trái. Khi đó
1. Với mọi a > 0,
P(sup \MS\ > a) < E[\Mt \]/a-,
s
2. Nếu 1 < p < oo thì
E[sup|M s n <
s
1.2.5

( - M

PE[|Mt n .

Vp-1/

C huyển động Brow n

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 0 . Giả sử (fi, J7, P) là không gian xác suất với lọc (.Fi)t>0 - Qtnn
0 được gọi là m ột chuyển động Brown ứng với lọc ( ^ ) * > 0 nếu
1. B 0 = 0;
2. В liên tục;

3. Bị —B s độc lập với F 3 với mọi t > 0;
4. Bị - B s có phân phối chuẩn J\í(ữ,t — s ).
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 1 . Giả sử (b Ị), . . . , ( Bị ) là n chuyển động Brown độc lập. Khi
đó В = ( ( B Ị , . . . , B ị ) T , t > 0) là một chuyển động Brown n chiều.
Có rất nhiều m artingale tương ứng với chuyển động Brown.
M ệ n h đ ề 1 .1 0 . Giả sử {Bị) là một chuyển động Brown. Khi đó các quá trình
sau đều ỉà martingale
i. Mt = Bt ;
ỉ ỉ . M t = B l - t;
iii.

M ị = e aS* - ° 2i/ 2 .

13


1.3
1.3.1

G iải tích ngẫu nhiên Itô
X ây dựng tích phân Itô

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 2 . Ta có (fij/'jP ) là không gian xác suất và (Bị, Jrị)t>0 là một
chuyển động Brown, (Ft ) lọc thỏa mãn điều kiện thông thường. X ét họ các quá
trình ngẫu nhiên đơn giản kí hiệu là Lo
n —1

ft(w) = rj(w)I0(t) + ^ 2 ^n(w)I{U;ti+l](t),
i= 0

trong đó 0 < ío < t\ < Í2 < ■• ■ < tn = T,
E(í 72 + £2) < 4-00, với m ọi i > 0.

TỊ

là ^ 0-đo được,

là

được,

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 3 . Nếu / Ễ Lũ thì ta định nghĩa

/

T

"-1

ftdBt =

- Bu) ■
i=0

M ệ n h đ ề 1 .1 1 . i. E Ị y

f t d Bt

ii. Tính chất đẳng cự: E

ị^J

0;
= E /

'o

/í dí;

iii. Tính chất tuyến tính: Nếu f, g € Lo thì

í

Jũ

(aft + bgt ) ảB, = a í f t dBt + b í gtd Bt .
Jũ
•'ũ

Đ ặt
M

[0 .T]

{ / : :[ [0,
0, T]

R sao cho /i là J'i-do được và E

X

[t:

M ệ n h đ ề 1 .1 2 . Nếu Ị £ M^QTy Khi đó tồn tại dãy (/" ) c

E I

l

[/" — / s] ds —> 0

khi

n —» 00 .

Ta đặt
t

/

rt

f sả B s = ư 2 - lim ị/ / ”d 5 s, Ví e [0,T\.
Jn
14

/

L p y j

ds

<

+00

sao cho

}■


Ta thấy tích phân trên M cũng thỏa mãn các tính chất của Mệnh đề 1.11
Tiếp theo, ta
I

xét
!t

* [ 0 ,T]

=

ịị f/

:■ [0, T]

X

íì

-»

R sao cho fị

là

J'i-do được

và

/gd s < + 0 0 hầu chắc chắn ị . Ta, có M 2 c V 2. Bằng cách xét dãy quá trình

dừng, ta cũng có thể định nghĩa được tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu
nhiên thuộc V. Tuy nhiên tích phân trên V 2 không còn giữ được tính chất đẳng
cự.

1.3.2

C ông thức vi phân Itô

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 4 . Giả sử a ( t , w) và b(t,w) là hai quá trình ngẫu nhiên tương
thích với lọc Tị và
/ |a(s, iu)| ds + / |ò(s, w)\2 ds < +00 hầu chắc chắn.
•'0
•'0

Quá trình ngẫu nhiên Xị = x ữ + / a (s)d s+ I b(s)ảBs ( x 0 là ^o-đo được) được
•'0
-'o
gọi là quá trình Itô. Ta viết

dXị = a(t)dt + b(t)dBf

(1.3)

Đ ịn h lý 1 .1 3 . Cho F : [ 0 , r ] x l - > i thuộc không gian c 1,2. Giả sử (^ i)íe [0 T]
là quá trình Itô cho bởi công thức (|1.3|). Dặt Yị = F ( t , X ị ) thì
dYị =

dt +

dF
ơx

Xị)dBị.

M ệ n h đ ề 1 .1 3 . Cho hàm số / : [0,T] ->■ R sao cho I / 2(s)ds < +oo. Đặt
■'o
Xị = J* f (s)d-Bs. Thỉ Xị co phan phoi/ chuũĩi

1.4

( ° ’í

f 2(s)ả^

.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.4.1

Đ ịnh

• Giả sử (Q,

nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên
là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc

thỏa mãn

điều kiện thông thường.
• B ( t ) = B 2 ( t ) , . . . , B m(t))T, t > 0 là chuyển động Brown m chiều xác
định trên
không gian (fi,.F ,P ), Bị là J'i-do được.
15


Giả sử 0 < ío < T < 00 và £ là véc tơ ngẫu nhiên, .Fi0-đo được, nhận giá trị
trong R d và E[|£|2] < 00 .
Giả sử
/

:R

d X

[0 ,

T\ -> R d,

g :R

d X

[0 ,

T\ -> R d x m

là các hàm Borel đo được.
X ét phương trình vi phân ngẫu nhiên d chiều

Ị

dx(t) = f(x(t), t)dt + g(x(t), t)dB{t),

y

x{tữ) = Ệ,

ữ < tũ < t < T
(1.4)

Phương trình trên có thể viết dưới dạng tích phân
x(t) = £ + /

f ( x ( s ) , s ) d s + í g(x(s), s)ảB(s).

• 'to

(1.5)

io

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 5 . Quá trình ngẫu nhiên {a;(í)}i


nhận giá trị trên R d được

gọi là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.4) nếu thỏa mãn
1.

x(t)

liên tục và là ^t-đo được;

2. f ( x( t ) , t ) €

/

c1([ío, ĩ 1],R d)

|/(a;(s), s)|ds

<

00

và g(x(t),t) e
và

I

c2([t 0, T ] , R dxm)

|ổ (o ;(s),

s )|2ds

<

tức là

00 hầu chắc chắn;

3. xịt) thỏa mãn phương trình (1.5).
C h ú ý 1 .1 . Nếu ta kí hiệu nghiệm của phương trình (1.4) bởi x(t]to,£) thì từ
phương trình (1.5) ta có với mọi s £ [tữ,T],
:(t) = x(s) + Ị
5

f ( x ( u ) , u ) ả u + I g(x(u), u)dB(u) với s < t < T.

(1-6)

J s

Mặt khác, (1.6) lại là một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên đoạn [s,T] với
giá trị ban đầu là x(s) = x(s-,to,£). Kí hiệu nghiệm của phương trình vi phân
ngẫu nhiên (1.6) bởi x(t; s, x(s-, to, £)). Khi đó, nếu phương trình vi phân ngẫu

nhiên (1.4) và (1.6) có nghiệm duy nhất thì hai nghiệm này phải trùng nhau
trên đoạn [s,T], tức là
x(t; t 0, f ) = x(t; s, x(s-10, f )),

t0 < s < t < T.

(1.7)

Tính chất (1.7) được gọi là tính chất dòng hoặc tính chất nửa nhóm của nghiệm.

16


1.4.2

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Đ ịn h lý 1 .1 4 . Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và K
ỉ.

(Diều kiện

sao cho

Lipschitz) Với mọi x , y e R d và t e [to,T]
\f (x, t ) - f ( y , t ) I2 V Ig(x,t) - g ( y , t )|2 < K\ x - y\2.

2.

(Điều kiện

tăng tuyến tính) Với mọi x , y

( 1 .8 )

e M d X

\ f (x, t ) \ 2 V \g(x,t)\2 < K ( 1 + |x |2).

(1.9)

Khi đó phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất thỏa mẫn

E

x(s)2ảs

( 1 .10 )

< oo,

_ to
trong đó tính “duy nhất ” hiểu theo nghĩa: Nếu x( t ) cũng là nghiệm của
phương trình (1.4) thì
x(t) = x(t), Ví e [t0,Tj

= 1.

Đ ể chứng minh định lý ta xét bổ đề sau.
BỔ đ ề 1 .1 . Giả sử điều kiện tăng tuyến tính (|l.9[) được thỏa mẫn và x(t) là

nghiệm của phương trình (1.4) thì

E

sup |z (í)|2 < ( l + 3E[|£|2]) • e3íf(T- ío)(ĩ’-ío+4)_
t£[to,T]

Hơn nữa x(t) thỏa mãn điều kiện (1.10).
Đ ể đơn giản về mặt kí hiệu, tất cả các định lý trong phần này sẽ được ta
chứng minh cho trường hợp d = m = 1. Các chứng minh này có thể mở rộng cho
trường hợp nhiều chiều m ột cách trực tiếp.
Chứng minh. Với mỗi n e N ,

xét

dãy thời điểm dừng

r„ = T A i n f ị t e [t0,T] : |x(í)| > n | .
Ta có |x(s)| < n với mọi s £ [Í0)7n] và T„ t T. Do đó nếu đặt xn(t) = x(t A T„) thì
xn(t) -> x(t) hầu chắc chắn khi n -» oo. Hơn nữa xn(t) thỏa mãn phương trình
Zn(í) = £ + /

/(^ n (s ),s )I Í0to

to

17

Áp dụng các bất đẳng thức \a + b + c\2 < 3(|a|2 + |ò|2 + |c|2),

ĩ

f ( x) dx

<

** n

fb
(b — a) Ị \f(x)\2dx và điều kiện (1.9) cho hàm / , ta có
ữ

°ls I +
t- 3(í -—í0)
LO) [1 \J
S)\ JlÍ0\xn(t)\2 < 3|£|2
l/(Z n (s),s)|2IioJto
ío
+ 3 |y

9

(xn( s ) , s ) l to
< 3|£|2 + 3K ( t —to) í (1 + |x„(s)|2)It0J to

+ 3ịj

g(xn(s), s)Ito
.

Lấy sup theo t e [ío,s] rồi lấy kì vọng hai vế ta được
E

sup |s n(í)|
■ to < t< S

< 3^(1^!^) + 3 K( s - í0) [ ( 1 + E [|zn (u )H )Ifo<«Jtữ
+ 3E

sup
/ g(xn(u), u)It0t0
Áp dụng bất đẳng thức Doob và điều kiện (1.9) cho hàm g, ta được
E

sup \xn(t)\
-to
< 3E(|£|2) + 3 K( s - to) í (1 + E[|a:n(ií)|2])IÍ0+ 12E I / \g(xn(u),u)\ ĩ ta'to

< 3E[|,£|2] + 3 K ( T - to + 4) / (1 + E [|x„(u)|2])du.
ta

Suy ra
1+ E

< 1 + 3E[|£|2]+
+ 3 K ( T - t 0 + 4) / 1 1 + E
sup |z ,i (ĩ;)|2
■toto '

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho hàm u(s) = 1 + E

E

sup |z„(í)p
Lto
sup |:rn(í)|2 ta được
.to
< ( l + 3E[|£|2]) Ẽ^K (T-io)(T-to+i)_

18

ảu.


Do xn(t) h- ị c x(t), áp dụng Bổ đề Fatou ta có

E

sup
|z„(í)|2
-to
< lim in f E
T í —ì o o

<

sup
\xn (t)\2
-to
( l + 3 E ( | £ | 2 ) ) e 3 ^ ( T - i o ) ( T - i o + 4 )_

Do đó
E

í

|a :( s ) |2d s l
0

=

J

í E [ | x ( s ) | 2] d s <

J0

[

( l + 3 E [ | £ | 2] ) e 3 i f ( T -

t o ) ( T —í o + 4 ) ^

s <

■'0

00 .

Bổ đề được chứng minh xong.
B â y g iờ c h ú n g t a c h ứ n g m in h Đ ịn h lý 1 .1 4
Tính duy nhất: Giả sử X , X là hai nghiệm của phương trình (1.4). Khi đó
x(t)-x(t)=

í

[f(x(s),s)-f(x(s),s)]ảs+ í

J to

[g(x(s),s) - g(x(s), s)] ảBs. (1.11)

•'to

Đ ặt u (t ) = E( sup |a;(s) - x (s)|2). Áp dụng bất đẳng thức |a + b\2 < 2(|a|2 + |6|2)

to
rồi lấy sup và kì vọng hai vế của (Ị l.llỊ ) ta được
U(t) < 2E

(x(u), u) l íĩo [/(a

sup
t 0< s < t I
I

+ 2E

sup
\J
t o < s < t II ío

f(x(u),u)

du

[s (z (s),s ) - í/(z(s),s)JcLB(u)

Áp dụng bất đẳng thức Doob và điều kiện (1.8), ta được
£/(í)<2E

sup (s —tũ) í

If( x(u), u) — f(x( u) , u) \ 2ảu

J ịữ

L to< s< t

+ 8E

/ \g(x(u),u) [/:

5 (z(it),ti)| du

'-J to
< 2 K { T — tũ)

/

E ( | a ; ( u ) — ỉ ( ĩ í ) | 2 ) d' U + 8 K

-'to

< 2 K ( T + 4)

í

/

E ( | a ; ( u ) — ỉ ( ĩ í ) | 2 ) d' U
to

U (s)ds.

■'to

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được U(T) = 0, tức là sup |x(s) —ã(s)| = 0
ío
hầu chắc chắn. Điều này chứng tỏ phương trình có không quá m ột nghiệm.
Sự tồn tại nghiệm: Với t e
xét dãy lặp Picard như sau

^o(í) =
x n(t)

=

£ +

/

f ( x n - 1( s ) , s ) ả s +

"'to

/

g (x n-i(s ), s)d 5 (s),
to

19

n =

1, 2 , . . . ( 1 . 1 2 )