Phương trình vi phân ngẫu nhiên và vấn đề định giá quyền chọn theo mô hình black scholes khoá luận tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI THỊ PHƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ
VẤN ĐỀ ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO
MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES

Chun ngành: Tốn giải tích

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN HUY CHIÊU

VINH - 2012


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu ……………………………………………….………................2
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị …………………….………………... 4
§1. Khơng gian xác suất và tích phân Stieltjes……….……………........ 4
§2. Tích phân và vi phân ngẫu nhiên Ito………………..……………...10
Chương 2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên………...…………………14
§1. Các khái niệm cơ bản và định lý tồn tại duy nhất nghiệm……….....14
§2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính…….……………….…20
Chương 3. Định giá quyền chọn theo mơ hình Black-Scholes….………24
§1. Thị trường quyền chọn………………………………..……………24
§2. Mơ hình định giá quyền chọn Black – Scholes…….…...…….…....27

Kết luận………………….……………………………………...……….35
Tài liệu tham khảo………..……..……………………………………….36

2


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài

Phương trình vi phân đóng vai trò rất quan trọng trong kĩ thuật, vật lý,
kinh tế và một số ngành khoa học khác. Sự ra đời của nó xuất phát từ nhu
cầu xác định mối quan hệ giữa một bên là một đại lượng biến thiên liên tục
với một bên là độ biến thiên của đại lượng đó. Các mối quan hệ như thế xuất
hiện thường xuyên trong các ứng dụng thực tế.
Giải tích ngẫu nhiên bao gồm tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi
phân ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên đang ngày càng chứng tỏ giá trị của
mình cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng. Nó hiện diện trong những
chủ đề thời sự của giải tích, xác suất và được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khác bên ngồi Tốn học. Tính tốn ngẫu nhiên đã trở thành một
cơng cụ quan trọng khi cần xử lý, phân tích và mơ hình hóa các hiện tượng
có nhân tố ngẫu nhiên (xem [3], [4], [5], [6], [8], [9], [10], [12], [13], [14]).
Toán học tài chính là lý thuyết tốn học của thị trường tài chính, nghiên
cứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính nhằm xây
dựng các mơ hình tốn học và ứng dụng chúng vào việc tính tốn các sản
phẩm tài chính trên thị trường. Đây là lĩnh vực đang được quan tâm nghiên
cứu trong những năm gần đây ở Việt nam (xem [2], [3], [7]).
Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết tài chính được đánh dấu bởi bài
báo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” [Jounal of Polictical
Economy Vol. 81 (1973), pp. 637 – 654] của Black và Scholes (xem [10]).
Hai ơng đã tìm ra cơng thức để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho

người bán để có được quyền mua hoặc bán một loại cổ phiếu tại một thời
điểm ở tương lai với giá trị đã định trước (công thức Black-Scholes ít nhiều
đã giải quyết được một trong những vấn đề cốt lõi nhất của Tốn tài chính,
đó là Định giá tài sản phái sinh). Ngay lập tức, công thức này được áp dụng
rộng rãi trong các thị trường tài chính (xem [11], [12], [13], [14]). Ngày nay,
mơ hình Black–Scholes cùng với các mở rộng của nó vẫn đang giữ vai trị
quan trọng trong việc phân tích các thị trường tài chính.
Mặc dù được hình thành và phát triển hơn 10 năm, thị trường chứng
khốn Việt Nam vẫn chưa có các sản phẩm phái sinh tài chính. Sự biến động
lớn của VN-Index đang đặt ra yêu cầu cấp bách phải hình thành thị trường
phái sinh tài chính, nhằm hạn chế rủi ro cho các nhà đầu tư và đảm bảo thị
trường chứng khốn hoạt động ổn định. Ngồi việc bổ sung hành lang pháp
lý, định giá các sản phẩm phái sinh (bao gồm Quyền chọn) là không thể
thiếu trong việc xây dựng và vận hành các thị trường phái sinh tài chính.

3


Vì những lý do nêu trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn
của mình là: “Phương trình vi phân ngẫu nhiên và vấn đề định giá quyền
chọn theo mơ hình Black- Scholes” .
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận này là tiếp cận hướng nghiên cứu về các ứng
dụng của giải tích ngẫu nhiên vào việc phân tích thị trường tài chính. Trên
cơ sở các tài liệu tham khảo, chúng tơi tổng hợp, phân tích và trình bày chi
tiết một số vấn đề về phương trình vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của
chúng trong việc định giá quyền chọn theo mơ hình Black-Scholes: chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên;
giải một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính; trình bày về mơ
hình Black-Scholes (lịch sử và ảnh hưởng của mơ hình này đối với thị

trường tài chính, cách xây dựng cơng thức để định giá quyền chọn mua và
bán theo mơ hình Black-Scholes trong một số trường hợp đơn giản nhất).
3. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, khóa
luận gồm 3 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức về giải tích ngẫu
nhiên nhằm chuẩn bị cho các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày chứng
minh chi tiết định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân ngẫu nhiên và giải một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến
tính. Chương 3 trình bày một cách khái qt về thị trường quyền chọn, mơ
hình Black-Scholes, xây dựng cơng thức định giá quyền chọn BlackScholes.
Khóa luận được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của TS. Nguyễn Huy Chiêu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến Thầy, người đã chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực
hiện đề tài này. Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các
Thầy Cơ giáo trong Khoa Tốn đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt thời gian
học tập. Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân
và bạn bè những người đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng xong luận văn khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy Cơ giáo
và các bạn để tác giả có thể hồn thiện khóa luận tốt hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2012

4


Mai Thị Phương

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của độ đo,
xác suất và tích phân ngẫu nhiên Ito. Thơng tin chi tiết hơn có thể tìm
thấy trong các tài liệu [5], [6], [8], [9].

§1. Khơng gian xác suất và tích phân Stieltjes
Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất trong lý thuyết xác
suất và lý thuyết tích phân cần dùng ở các chương tiếp theo.
1.1.1. Định nghĩa. Cho Ω là một tập hợp khác rỗng. Họ  các tập con của
Ω được gọi là một σ − đại số các tập con của Ω nếu nó có những tính
chất sau:
(i) ∅ ∈  và Ω ∈ ;
(ii) nếu A∈  thì Ω \ A ∈ ;
∞

(iii) A1 , A2 ,... ∈  ⇒ U Ai ∈ .
i =1

Khi đó, cặp ( Ω ,) được gọi là một không gian đo được và mỗi tập con
của  được gọi là tập đo được (hoặc biến cố).
1.1.2. Định nghĩa. Cho ( Ω ,) là một không gian đo được. Ta nói rằng
hàm P :  → ¡ là một độ đo xác suất (trên ) nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) P( A) ≥ 0 với mọi A∈ ;
∞
 ∞
An ∈  (n=1,2,…) và Ai ∩ Aj = ∅ với i ≠ j thì P  U An ÷ = ∑ P ( An ) ;
(ii) nếu
 n =1  n =1
(iii) P(Ω) = 1 .

Bộ ba ( Ω ,, P) được gọi là một không gian xác suất.
1.1.3. Định lý (Bổ đề Borel – Cantell). Cho (En) là một dãy các biến cố
trong không gian xác suất. Khi đó, nếu

5

∞

∑ P( E ) < ∞ ) thì
n =1

n

(

)

P lim sup En = 0 .
x →∞


1.1.4. Định nghĩa. Cho ( Ω ,, P) là một không gian xác suất. Hàm
−1
X : Ω → ¡ n được gọi là  - đo được nếu X (U ) = { ω ∈ Ω, X (ω ) ∈ U } ∈ .
Ta gọi một hàm - đo được X : Ω → ¡ n là một véctơ ngẫu nhiên (n chiều).
Một véctơ ngẫu nhiên 1 chiều ( n = 1) được gọi là một biến ngẫu nhiên.
Để đơn giản trong việc khảo sát, từ đây trở đi, chúng ta luôn giả thiết (
Ω ,, P) là một không gian xác suất và P là độ đo đủ (nghĩa là, A có độ đo
bằng khơng thì mọi tập con của nó đều đo được).
1.1.5. Định nghĩa. Cho { X n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên xác

định trên ( Ω ,, P).
(i) Ta nói rằng { X n , n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn (hoặc hội tụ hầu khắp
h .c .c
→
nơi) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X n  X , nếu

{

}

P ω : lim X n (ω ) = X (ω ) = 1 .
n →∞

(ii) Ta nói rằng { X n } hội tụ theo xác suất (hoặc hội tụ theo độ đo) đến

P
→
biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X n  X nếu lim P { ω : X n (ω ) − X (ω ) ≥ ε } = 0 ,
x →∞
với mọi ε > 0 .
(iii) Giả sử { X n } ⊂ Lp , p ∈ ( 0, +∞ ) . Ta nói rằng { X n } hội tụ trung bình
p

→
cấp p đến X, kí hiệu X n  X nếu lim E X n − X = 0 , ở đây ký hiệu EY
x →∞
là để chỉ kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên Y (tức là tích phân Lebesgue
của biến ngẫu nhiên Y trên Ω theo độ đo xác suất P).
Lp

Ta có các mối liên hệ giữa những loại hội tụ đề cập ở trên như sau:
h .c . c
P
• X n  X ⇒ X n  X .
→
→

{ }

h .c . c
h .c . c
• X n  X ⇒ ∃ X nk ⊂ { X n } : X nk  X .
→
→
P
p
• X n  X , p ∈ ( 0, +∞ ) ⇒ X n  X .
→
→
L

1.1.6. Định nghĩa. Cho một tập chỉ số thời gian I (I là một tập con của
tập các số thực không âm, đếm được hoặc liên thông) và X= { X (t )} t∈I là
một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên ( Ω ,, P). Khi đó:
- Nếu I liên thơng thì ta nói { X (t )} t∈I là một quá trình ngẫu nhiên với
thời gian liên tục.
- Nếu I đếm được thì ta nói { X (t )} t∈I là một quá trình ngẫu nhiên với
thời gian rời rạc.
Q trình ngẫu nhiên X cịn được ký hiệu là X(t) hay Xt với t ∈ I .

6


1.1.7. Định nghĩa. Một họ các σ − đại số con (t, t ≥ 0 ) của  (t ⊂ ) được
gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu thỏa mãn các
điều kiện:
(i) Tăng theo thời gian: s ⊂ t với mọi s < t;

I
(ii) Liên tục phải theo nghĩa t= ε >0 t+ ε ;

(iii) Nếu A∈  và P(A) = 0 thì A∈ 0.
1.1.8. Định nghĩa. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t, t ≥ 0 ). Ký hiệu
tX là σ − đại số sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t , tức là tX
= σ ( X s , s ≤ t ) (nó phản ánh những thơng tin về diễn biến quá khứ của quá
trình X cho đến thời điểm t). Ta gọi tX là trường thông tin về X.
1.1.9. Định nghĩa. Cho một bộ lọc bất kì (t, t ≥ 0 ) trên ( Ω , ). Quá trình
ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu mọi Xt là đo được
đối với σ − đại số t. Một không gian xác suất ( Ω ,, P) trên đó có một bộ
lọc (t) t ≥ 0 được gọi là một không gian xác suất được lọc, được kí hiệu ( Ω ,
, (t), P).
1.1.10. Định nghĩa. Cho ( Ω ,, P) là một không gian xác suất, X : Ω → ¡ n
là véctơ ngẫu nhiên sao cho E ( X ) < ∞ và  là một σ − đại số con của  ( ⊂
). Khi đó, véctơ ngẫu nhiên Z được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối
với σ − đại số , kí hiệu là E(X|), nếu thỏa mãn:
(i) Z là một véctơ ngẫu nhiên đo được đối với ;
(ii) Với mọi A∈ , ta có ∫ ZdP = ∫ XdP .
A
A
• Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện:

Giả sử X , Y : Ω → ¡ n là hai véctơ ngẫu nhiên với E ( X ) < ∞, E (Y ) < ∞ .
1) Nếu = { ∅, Ω} thì E(X|) = EX.

E(X+Y|) = E(X|) + E(Y|).
E(cX|) = c E(X|), với c là hằng số.
Nếu 1 ⊂ 2 thì E(E(X|2)|1) =E(X|1). Nói riêng ra, E(E(X|)) = EX.
Nếu g là một hàm lồi trên tập I ⊂ ¡ và X là một véctơ ngẫu nhiên lấy
giá trị trên I thì: g(E(X|)) ≤ E(g(X)|).
6) Nếu X n ≥ 0 thì E (lim inf X n |) ≤ lim inf E ( X n |) (bổ đề Fatou).
n
n
2)
3)
4)
5)

(

)

7) Nếu P lim X n = X = 1 và X n ≤ Y ; EY < ∞ thì lim E ( X n |) = E(X|) (sự hội
x →∞
x →∞

tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện).

7


1.1.11. Định nghĩa. Cho không gian xác suất được lọc ( Ω ,,(t), P) và

một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0 ) thích nghi với bộ lọc (t), khả tích
với mọi t ≥ 0 (tức là E X t < ∞, ∀t ≥ 0 ). Khi đó,
(i) Nếu E ( X t |t ) ≤ X s với mọi s, t ≥ 0 thỏa mãn s ≤ t , thì X được gọi là
martingale trên với bộ lọc (t, t ≥ 0 );
(ii) Nếu E ( X t |t ) ≥ X s với mọi s, t ≥ 0 thỏa mãn s ≤ t , thì X được gọi là
martingale dưới với bộ lọc (t, t ≥ 0 );
(iii) Nếu E ( X t |t ) = X s với mọi s, t ≥ 0 thỏa mãn s ≤ t , thì X được gọi là
martingale đối với bộ lọc (t, t ≥ 0 ).
1.1.12. Định lý (Bất đẳng thức Kolmogorov). Nếu ( X n ,n, n= 0,…,N) là
p
martingale với E X n < ∞ với n= 0,…,N và 1 ≤ p < ∞ thì

(

)

P max X n ≥ λ ≤
0≤ n ≤ N

E Xn

với mọi λ > 0 .

λp

p

,

1.1.13. Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên W = ( Wt , t ≥ 0 ) được gọi là quá

trình Wiener hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:
(i)
W0=0 hầu chắc chắn;
(ii)
Hiệu Wt − W0 là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ
vọng 0, phương sai (t-s);
(iii)
Với mỗi n ≥ 0 và mọi phân hoạch hữu hạn 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ,
Wt − Wt , r = 0, n là các biến ngẫu nhiên độc lập;
(iv) W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của W là liên
tục.
Nếu ở điều kiện (ii) phương sai của Wt − Ws là σ 2 (t − s ) (các đều kiện khác
giữ ngun), thì ta nói W là một chuyển động Brown.
r

r −1

• Một vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown:
1. Wt là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên (tW) của nó.
2. Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t.
3. Hầu chắc chắn là Wt khơng có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng

hữu hạn nào của t.
4. W tuân theo luật logarit - lặp: lim sup
x →∞
2
5. E ( Wt ) = 0, E ( Wt ) = t , ∀t ≥ 0 .

Wt
=1.

2t ln ln t

1.1.14. Định nghĩa. Cho không gian xác suất được lọc ( Ω ,,(t) t ≥ 0 , P).

8


Giả sử T là tập con Borel của ¡ ,
con Borel của tập T ∩ ( −∞, t ] . Quá
đo được lũy tiến đối với bộ lọc
( T ∩ ( −∞, t ] ) × Ω đo được theo ( s, ω )

kí hiệu Bt là σ − đại số tất cả các tập
trình ngẫu nhiên X = (Xt) được gọi là
(t) nếu với mỗi t ∈ T , X s (ω ) trên tập
đối với σ − đại số Bt × t.

Giả sử T là tập Borel. Ta đưa vào khơng gian T × Ω , σ − đại số B
gồm tất cả các tập con A ⊆ T × Ω sao cho ∀t ∈ T , tập con A ∩ ( ( −∞, t ] × Ω ) là
đo được đối với Bt × t. Khi đó, các quá trình đo được lũy tiến đều đo
được đối với B.
1.1.15. Định nghĩa. Ta định nghĩa σ − đại số khả đoán là σ − đại số nhỏ
nhất các tập con của ¡ + × Ω mà đối với nó mọi q trình liên tục trái đều
đo được, kí hiệu là P.
1.1.16. Định nghĩa. Q trình khả đốn đối với (t) là quá trình ngẫu
nhiên X = ( X ( t , ω ) ) thích nghi với (t) và P – đo được.
1.1.17. Định nghĩa (Hàm có biến phân giới nội) Hàm thực f được gọi là
có biến phân giới nội (hoặc biến phân bị chặn) trên [ a, b ] nếu tồn tại hằng
số C sao cho với mọi phân hoạch D : a = x0 < x1 < ... < xn = b thì ta có bất
n

đẳng thức

∑
k =1

f ( xk ) − f ( xk −1 ) ≤ C .

• Nhận xét: Mọi hàm có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành
hiệu của hai hàm đơn điệu khơng giảm. Nếu f có đạo hàm giới nội thì f

là một hàm có biến phân giới nội. Mọi hàm liên tục tuyệt đối trên [ a, b ]
đều là hàm có biến phân giới nội.

1.1.18. Định nghĩa (Tích phân Stieltjes). Cho φ là một hàm liên tục phải
và có biến phân giới nội trên [a,b]. Tích phân Rieman- Stieltjes của hàm
f lấy đối với φ được định nghĩa bởi
b

n

( R −S ) ∫ f ( x) dφ( x) = max ( xlim ) →0 ∑f (ξi ) [ φ( xi ) −φ( xi −1 ) ]
−x
i

a

i−
1

i=
1

nếu giới hạn trên tồn tại, ở đây D : a = x0 < x1 < ... < xn = b .
• Nhận xét : Ngồi khái niệm tích phân Rieman- Stieltjes, chúng ta cịn
có tích phân Lebesgue- Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ có biến

phân giới nội. Nó thường được xác định bằng cách thường đưa về tích
phân Lebesgue- Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm không giảm F.
9


b

b

a

a

Khi đó ta định nghĩa ( L − S ) ∫ f ( x)dF ( x) = ( L) ∫ fd µ F , trong đó µ F là độ đo
sinh bởi F và F (b) − F (a) = µ [ a, b ] . Như vậy, để xác định các tích phân
b

Stieltjes

∫ fdφ

ta phải giả thiết φ là một hàm có biến phân giới nội trên

a

[ a, b ] . Điều này hoàn toàn khác với việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên
Ito trong mục tiếp theo.
1.1.19. Bổ đề. Cho không gian L2 = L2 (0, T ) là các hàm đo được bình
phương khả tích đối với độ đo Lebesgue trên đoạn [ 0,T ] . Với f ∈ L2 và
h > 0 , ta xác định hàm bậc thang f h như sau:
1
0
, khi : 0 ≤ t < h, t ≥

h
f h (t ) =  1 kh
 h ∫ f ( s )ds , khi : kh ≤ t < (k + 1)h ∧ 1
 ( k −1) h
h
trong đó a ∧ b = min { a, b} .

h →0
→
Khi đó, f h  f theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình trên [ 0,T ] ,
T

đồng thời

∫
0

T

f h (t ) dt ≤ ∫ f (t ) , ∀h .
2

2

0

§2. Tích phân và vi phân ngẫu nhiên Ito
Mục này nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích ngẫu nhiên.
Trọng tâm là các khái niệm tích phân và vi phân ngẫu nhiên được đề xuất
bởi nhà toán học người Nhật, Kyusho Ito, vào khoảng 1940 - 1941.
Cho không gian xác suất được lọc ( Ω , , (t) t ≥ 0 , P) và quá trình Wiener
Wt , t ≥ 0; W0 = 0 với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ (t) sao cho số gia
Wu − Wt sau thời điểm t độc lập với σ − đại số t (u >t). Giả sử T là một số
không âm hoặc +∞ .
1.2.1. Định lí. Giả sử Wt và t là quá trình Wiener và họ σ − đại số liên hệ với
nhau như đã mô tả ở trên. Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ f a I ( f ) từ không
2
2
gian L2(B)= L ( [ 0, T ] ) ì , B, à ì P) vo không gian L (Ω, ,P) sao cho:
(i) I là ánh xạ tuyến tính: I (c1 f1 + c2 f 2 ) = c1 I ( f1 ) + c2 I ( f 2 ) hầu chắc chắn,
trong đó c1 , c2 = const , f1 , f 2 ∈ L2(B).

10


T

(ii) I là ánh xạ đẳng cự: E I ( f ) = E ∫ f (t , ω ) dt .
2

(iii) I ( η ∏[ t ,t ] ) = η ( Wt − Wt
1

1 2

2

2

0

)

hầu chắc chắn, trong đó η là biến ngẫu nhiên

tùy ý đo được đối với  t1 , bình phương khả tích (tức là η ∈ L (t 1 ), 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T
).
2

1.2.2. Định nghĩa (Tích phân Ito). Ta gọi I(f) nói trong Định lý 1.2.1 là tích
phân Ito của hàm ngẫu nhiên f lấy đối với quá trình Wiener và được kí hiệu
T

là I (t ) = ∫ f (t , ω )dWt .
0

Lược đồ xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito:
• Trước tiên, ta xét tích phân ngẫu nhiên đối với hàm ngẫu nhiên bậc
thang trên [ 0,1]

n −1

f (t , ω ) = ∑ηi ∏[ ti ,ti+1 ) , trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T
i =0

là một phân hoạch bất kỳ của [ 0,1] . Hàm ngẫu nhiên bậc thang đo được lũy
tiến sẽ có dạng
η0 ∏[ 0,t ) (t ) + η1 ∏[ t ,t ) (t ) + ... + η n −1 ∏[ t ,t ) (t ) ,
(1.1)
trong đó ηi là biến ngẫu nhiên đo được đối với  t , với i = 0, n . Ngược lại một
hàm bất kỳ có dạng (1.1) là hàm bậc thang đo được lũy tiến, trong đó
ηi ∈ L2 (Ω) . Ta định nghĩa
1

n −1 n

1 2

i

T

∫
0

n −1

(

)

f (t , ω )dWt = I ( f ) = ∑ f (ti , ω ) Wti+1 − Wti .
i =0

- Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ I trên các hàm bậc thang là tuyến tính.
- Bây giờ ta kiểm tra điều kiện (ii) đối với hàm bậc thang thuộc L2(B).
Ta có
2

E I( f ) = E

n −1

∑
i =0

(

)

f (ti , ω ) Wti+1 − Wti

 n −1
2
= E  ∑ f (ti , ω ) Wti+1 − Wti
 i= 0

(

)

2

2


+ 2∑ f (t j , ω ) Wt j+1 − Wt j f (ti , ω ) Wti+1 − Wti  .
j< i


(

)

(

)

2

Mặt khác, vì f (ti , ω ) đo được đối với  t nên
i

(

2
E{ f (ti , ω ) ( Wt − Wt ) | t } = E{ f (ti , ω ) .E ( Wt − Wt
2

2

i

i +1

i

2

i +1

= E f (ti , ω ) (ti +1 − ti ) .
n −1

T

Do đó, E ∑ f (ti , ω ) (ti +1 − ti ) = ∫ E f (ti , ω ) dt .
i=0

2

2

0

11

i

)

2

) |

ti

}


Tương tự , 2 E{f (t j , ω ) ( Wt − Wt ) f (ti , ω ) ( Wt − Wt ) |  t } = 0.
Như vậy, các điều kiện (i), (ii) và (iii) ở Định lý 1.2.1 được thỏa mãn, với f
là hàm bậc thang.
• Tiếp theo, ta xét với hàm ngẫu nhiên bất kỳ f ∈ L2 (Ω) . Với hàm ngẫu
nhiên f ∈ L2(B), ta xây dựng dãy hàm bậc thang đo được dần ( f n ) như sau
j +1

i +1

j

i

i

0
k
k +1
, nêu tich phân nay huu han và ≤ t <
 k /h

f n (t , ω ) = 
n
n .
n ∫ f ( s, ω )ds , nêu tich phân nay phân ky
 ( k −1)/ n

Theo Bổ đề 1.1.19,
T

∫
0

T

f n (t , ω ) dt ≤ ∫ f (t , ω ) dt và
2

2

0

T

∫

2

n →∞
f n (t , ω ) − f (t , ω ) dt  0 ,
→

0

với mọi ω sao cho hàm f (., ω ) bình phương khả tích. Do đó L2(B) chính là
bao đóng của họ ε ⊂ L2(B) các hàm bậc thang đo được dần. Xét ánh xạ
2
→
tuyến tính đẳng cự I : L ( [ 0, T ] ) × Ω, B, à ì P) L2 () . Bng cỏch thác triển

2
liên tục I lên bao đóng của tập các hàm bậc thang trong L ( [ 0, T ] ) × Ω) , ta
2
nhận được ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ L ( [ 0, T ] ) × Ω) vào L2 (Ω) . Mỗi f ∈

L2(B) là giới hạn trong L2(B) của một dãy các hàm f n đo được dần. Do
đó, f n là một dãy Cauchy trong L2(B). Từ đó suy ra I( f n ) là dãy Cauchy
trong L2 (Ω) (do tính đẳng cự). Vì L2 (Ω) là một khơng gian đủ nên tồn tại
giới hạn
T

I ( f ) = l.i.m. I ( f n ) = ∫ f (t , ω )dWt .
n →∞
0

ở đây l.i.m. là kí hiệu giới hạn theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình.
Dễ thấy I thỏa mãn các kết luận của Định lý 1.2.1. Như vậy, tích phân ngẫu
nhiên Ito đã được xây dựng.
• Các tính chất quan trọng của tích phân ngẫu nhiên Ito
(i) E(I ( f ) |s) = 0 hầu chắc chắn, nếu hàm f ∈ L2 (B) bằng 0 với t < s

và EI ( f ) = 0 với mọi f ∈ L2 (B).
t

2
(ii) E ( I ( f ) I ( g ) |s) = E ( ∫ f (t , ω ) g (t , ω )dt |s) hầu chắc chắn, nếu f , g ∈ L (B)
s

bằng 0 với t < s.
T

(iii) E

∫
0

2

T

f (t , ω )dWt = E ∫ f (t , ω ) dt (đẳng cự Ito).
2

0

12


t

(iv) Quá trình ngẫu nhiên X t = ∫ f (t , ω )dWt , 0 ≤ t ≤ T là martingale đối với

0

họ σ − đại số t .
1.2.3. Định nghĩa (Vi phân Ito). Giả sử X = ( X t , t ≥ 0 ) là một quá trình ngẫu
nhiên thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(a) Hầu hết các quỹ đạo t → X t là liên tục;
(b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn
t

t

X t = X 0 + ò h( s , w)ds + ò f ( s, w)dWs ,
0

(1.2)

0

trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân
trong biểu diễn là tồn tại. Khi đó, ta nói rằng X là một q trình Ito và có vi
phân Itô dX. Vi phân Ito dX được viết một cách hình thức như sau:
dX t = h(t , w)dt + f (t , w) dWt ,
(1.3)
tức là khi viết ra một vi phân có dạng (1.3), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là
có hệ thức (1.2) hầu chắc chắn.
Cơng thức Ito đóng một vai trị quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên.
Về bản chất, nó là một cơng thức đổi biến: Nếu (X t) là một quá trình ngẫu
nhiên Itơ và (Yt) là q trình có được từ (Xt) qua phép đổi biến Yt = g (t , X t )
thì cơng thức Ito cho phép tính vi phân dY qua dX và dt.
1.2.4. Định lí (Cơng thức Ito). Cho X = X t là một quá trình Ito với vi phân

dX = hdt + fdW và g (t , x) : ¡ 2 → ¡ là một hàm hai biến khả vi liên tục theo
biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x. Khi đó, Yt = g (t , X t )
là một quá trình Ito và vi phân Ito được tính theo cơng thức:
dYt =

∂g
∂g
1 ∂2 g
(t , X t )dt +
(t , X t )dX t +
(t , X t ) f 2 (t , ω ) dt .
2
∂t
∂x
2 ∂x

Công thức này được gọi là công thức Ito (dạng vi phân) và nó có dạng tích
phân là
t

t

t

∂g
∂g
1 ∂2 g
Yt = g (0, X 0 ) + ∫ ( s, X s )ds + ∫ ( s, X s )dX s + ∫ 2 ( s, X s ) f 2 (t , ω )ds .
∂s
∂x

2 0 ∂x
0
0

13


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Chương này được dành để khảo sát các phương trình vi phân ngẫu nhiên.
§1. Các khái niệm cơ bản và định lý tồn tại duy nhất nghiệm
Mục này trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến phương trình vi
phân ngẫu nhiên. Kết quả chính là trình bày chứng minh chi tiết định lý tồn
tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên.
2.1.1.Định nghĩa (Phương trình vi phân ngẫu nhiên). Cho T > 0 và
r : [ 0, T ]´ ¡ n ® ¡ n
s : [ 0, T ]´ ¡ n ® ¡ n´ m
là những hàm hai biến đo được. Xét phương trình sau đây
t

t

X t = Z + ò r ( s, X s )ds + òs ( s, X s )dWs .
0

(2.1)

0

Phương trình (2.1) được gọi là phương trình vi phân ngẫu nhiên với điều

kiện ban đầu X 0 = Z , trong đó Z là một đại lượng ngẫu nhiên đã cho , Ws là
14


một chuyển động Brown tiêu chuẩn, r và σ là các hàm cho trước với ẩn số
là quá trình ngẫu nhiên X t . Người ta thường viết phương trình (2.1) dưới
dạng vi phân sau đây:
dX t = r (t , X t )dt + s (t , X t )dWt
(2.2)
với điều kiện ban đầu X 0 = Z .
(2.3)
2.1.2. Định nghĩa (Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên). Một quá
trình ngẫu nhiên X = ( X t (w), t Ỵ [ 0, T ]) được gọi là một lời giải (hoặc nghiệm)
của phương trình (2.2) với điều kiện ban đầu X 0 = Z , trong đó Z là một biến
2
ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = ( Wt , t ³ 0) sao cho E ( Z ) <¥ , nếu X
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) X t thích nghi với t =tw = σ (Ws , s ≤ t ) và là đo được đối với σ −
trường tích B[ 0,T ] × t .
t

E ∫ X t 2 dt < ∞

∀t ∈ [ 0, T ]
0
(ii)
.
X t thỏa mãn (2.2) và (2.3).
(iii)

Giả sử X = ( X t (w), t Ỵ [ 0, T ]) là một lời giải của (2.2) thỏa mãn (2.3). Khi đó,
ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu: giả sử có một phương trình
Y = ( Yt (w), t Ỵ [ 0, T ]) cũng là một lời giải của (2.2) thỏa mãn (2.3) thì

{

}

P sup X t − Yt = 0 = 1 .
0 ≤t ≤T

2.1.3. Định lý (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử tồn tại các hằng số
C và D sao cho
ρ (t , x) + σ (t , x) ≤ C (1 + x )
ρ (t , x) − ρ (t , y ) + σ (t , x) − σ (t , y ) ≤ D x − y
∀t ∈ [ 0, T ] và ∀x, y ∈ ¡ n . Khi đó, phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm
X = ( X t (w), t Ỵ [ 0, T ]) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.3).
X
Chứng minh. a) Tính duy nhất: Giả sử X 1 (t , ω ) = X t (ω ); X 2 (t , ω ) = ¶ t (ω ) là hai
µ
µ
lời giải với điều kiện ban đầu là Z và Z (tức là: X 1 (0, ω ) = Z (ω ); X 2 (0, ω ) = Z (ω ) ,
¶
X
với ω ∈ Ω ). Đặt a( s, ω ) = ρ ( s, X s ) − ρ ( s, X s ) và γ ( s, ω ) = σ ( s, X s ) − σ ( s, ¶ s ) . Ta có,
2
t
t
t
t



 X − ¶ 2  = E  Z + ρ (s, X )ds + σ ( s, X )dW − Z − ρ (s , X )ds − σ ( s, X )dW
à
ả
ả
E t Xt

ữ
s
s
s
s
s
s







0
0
0
0

15


2
t
t


µ + ads + γ dW   .
= E Z Z
ữ
s

0
0


2

t
t


à
Z Z + ads + dWs ữ
Hn na,
0
0

Bunhiacopski




à
3 Z − Z



(

)

2

2
2
t
 t
 
+  ∫ ads ÷ +  ∫ γ dWs ÷  .
0
 0
 


Do đó
2

2
t
t


 X − ¶ 2  ≤ 3E  Z − Z 2 +  ads  +  γ dW 
à
E t Xt

ữ
sữ



0
0



2
2
t
t


2
à + E  ads  + E  γ dW  
≤ 3E  E Z − Z
∫
÷

∫
.
s÷

0

0
 



(

)

(

)

(2.4)

Theo đẳng cự Ito và BĐT Holder, ta có
2
t
  t
 
 E  γ dWs ÷  = E γ 2 ds
∫
  ∫
0

 
  0


2
t
t
t
 t

 ∫ ads ÷ ≤ ∫ a 2 ds.∫ 12 ds = t ∫ a 2 ds.
 0
0
0
 0


( ∗)

Thay vào (2.4), ta được
t
t
 X − ¶ 2  ≤ 3  E Z − Z 2 + tE  a 2 ds  + E 2 ds
à
E t Xt


ữ

ữ .




0

0



 a2 ≤ a2 + γ 2 ≤ a + γ 2 ≤ D2 X − ¶ 2
Xs
(
)
s

a + γ ≤ D X s − ¶ s nên 
X
Vì
2
2
 γ 2 ≤ a2 + γ 2 ≤ ( a + γ ) ≤ D2 X s − ¶ s .
X


(

)

Ta suy ra
t

2
2
t 2
¶ ds  + 3E  D 2 X − X ds 
¶
+ 3t .E  ∫ D X s X s
ữ

ữ
s
s
0

0

t
2
2


à
ả
3E Z Z + 3(t + 1) D 2 E  ∫ X s X s ds ữ.
0


(

2
à

E X t ả t  ≤ 3E Z − Z
X 




(

)

2

)

t

t

2

X 
Đặt υ (t ) = E  X t − ¶ t  và ω (t ) = ∫ υ ( s)ds ( 0 ≤ t ≤ T ). Ta có υ (t ) ≤ F + A∫ υ ( s )ds


0
0

(

µ

và ω '(t ) ≤ F + Aω (t ) , với F = 3E Z − Z

)

2

và A = 3(1 + t ) D 2 .

Theo BĐT Gronwall,
t

ω (0) = 0 ⇒ ω (t ) ≤ e

∫

− − Ads
0

 t ∫ − Ads

t
t
 e 0 .Fdt  ≤ e At  F e − At dt  ≤ e At  − F d (e − At ) 
 ∫



∫
∫


0
 0

 A0





t

16


F At − At
F
.e ( e − 1) ≤ ( e At − 1) .
A
A
2

At
X 
(tức là E  X t − ¶ t  ≤ F .e ).


≤−

F At
( e − 1) = F .e At

A
µ
Bây giờ ta giả thiết rằng Z = Z . Khi đó, F = 0 suy ra υ (t ) = 0 , ∀t ≥ 0 .
X
Do đó, P  X t − ¶ t = 0, t Ô [ 0, T ]  = 1 . Nhờ tính liên tục hầu khắp nơi của




t→ X −¶
X
P X (ω ) = ¶ (ω ); ∀t ∈ [ 0, T ] = 1
X

Do đó υ (t ) ≤ F + A.

ánh xạ

t

t

, ta suy ra

{

t

}

t

, nghĩa là

X 1 (t , ω ) = X 2 (t , ω ) h.c.c.

b) Sự tồn tại: Đặt Yt (0) = X 0 ta xác định Yt ( k +1) bằng công thức truy hồi sau:
t

t

0

0

Yt ( k +1) = X 0 + ∫ ρ ( s, Ys ( k ) ) ds + ∫ σ ( s, Ys ( k ) )dWs .

Khi đó,
t

2

2

E Yt ( k +1) − Yt ( k ) ≤ 3(1 + t ) D 2 ∫ E Ys ( k ) − Ys ( k −1) ds với k ≥ 1; t ≤ 1 .

(2.5)

0

Vì Yt (0) = X 0 và
t

t

t

t

0

0

0

0

Yt (1) = X 0 + ∫ ρ ( s, Ys (0) )ds + ∫ σ ( s, Ys (0) )dWs = X 0 + ∫ ρ ( s, X 0 )ds + ∫ σ ( s, X 0 )dWs .

nên
2

2

t

t

0

Yt (1) − Yt

(0) 2

2

t

t

≤ 2  ∫ ρ ( s, X 0 )ds ÷ + 2  ∫ σ ( s, X 0 )ds ÷
0

0


0

= ∫ ρ ( s, X 0 )ds + ∫ σ ( s, X 0 )dWs

( ∗)

t

t

0

0

≤ 2t.∫ ρ 2 ( s, X 0 )ds + 2 ∫ σ 2 ( s, X 0 )ds .

ρ ( s, X 0 ) + σ ( s, X 0 ) ≤ C ( 1 + X 0

Vì

)

(giả thiết) và

 ρ 2 ( s , X ) ≤ ρ ( s , X ) 2 + σ ( s , X ) 2 ≤ ( ρ ( s, X ) + σ ( s, X ) ) 2 ≤ C 2 ( 1 + X
0
0
0
0
0
0


2
2
2
 σ 2 ( s , X 0 ) ≤ ρ ( s, X 0 ) + σ ( s, X 0 ) ≤ ( ρ ( s , X 0 ) + σ ( s , X 0 ) ) ≤ C 2 ( 1 + X 0


)
)

2

2

nên
Yt − Yt
(1)

(0) 2

t

≤ 2t.∫ C ( 1 + X 0
2

0

Lưu ý rằng ( 1 + X 0 )
2

≤

(

(

2

t

ds + 2 ∫ C 2 ( 1 + X 0

2 bunhiacopski

Yt (1) − Yt (0) ≤ 4t.tC 2 1 + X 0

Do đó

)

2

2

ds ≤ 2t.tC 2 ( 1 + X 0

)

2

+ 2tC 2 ( 1 + X 0

)

2

0

(

) . Nên ta có
( 1 + X ) ≤ 4TC ( 1 + X ) + 4C ( 1 + X )  t .

2 1+ X 0

) + 4tC

)

2

2

2

2

2

0

)

0

(

)

2

2

0

2
2
2
E Yt (1) − Yt (0) ≤  4TC 2 1 + E X 0 + 4C 2 1 + E X 0  t = A1t , trong đó hằng số A1




2
chỉ phụ thuộc vào C,T và EX 0 . Theo (2.5), ta có

17

.


E Yt

− Yt

(2)

(1) 2

t

≤ 3(1 + t ) D

2

∫ Ys

(2)

− Ys

(1) 2

t

ds ≤ 3(1 + T ) D

0

2

2
∫ A1sds ≤ 3(1 + T ) D A1.
0

t2
t2
= A2 .
2
2!

Quy nạp theo k, ta được:

2

E Yt ( k +1) − Yt ( k ) ≤ A2 k +1

t k +1
,
(k + 1)!

(2.6)

với k > 0 và t ∈ [ 0, T ] , trong đó A2 là hằng số chỉ phụ thuộc vào C, D, T và
EX 0 2 . Với mỗi ω ∈ Ω cố định, ta có
sup Yt ( k +1) −Yt ( k )

0 ≤t ≤T

t

t

t

t

0 ≤t ≤T 0

0

0

0

= sup

(k )
(k)
( k −1)
( k −1)
∫ ρ ( s, Ys ) ds + ∫σ ( s, Ys ) dWs −∫ ρ ( s, Ys ) ds − ∫σ ( s, Ys ) dWs

t
t
t

t

≤ sup  ∫ ρ ( s, Ys ( k ) ) − ∫ ρ ( s, Ys ( k −1) )  ds + sup  ∫ σ ( s, Ys ( k ) ) − ∫ σ ( s, Ys ( k −1) )  dWs
0≤ t ≤T 0
0 ≤ t ≤T 0
0
0




T
t
t

≤ ∫ ρ ( s, Ys ( k ) ) − ρ ( s, Ys ( k −1) ) ds + sup  ∫ σ ( s, Ys ( k ) ) − ∫ σ ( s, Ys ( k −1) )  dWs .

0≤ t ≤ T 0
0
0



Áp dụng Định lý 1.1.12, ta có
(2.16)
P  sup Yt ( k +1) − Yt ( k ) ≥ 2 − k  ≤

÷
 0 ≤ t ≤T

t
 T

(k )
( k −1)
≤ P  ∫ ρ ( s, Ys ) − ρ ( s, Ys ) ds + sup ∫ σ ( s, Ys ( k ) ) − σ ( s, Ys ( k −1) ) dWs



0≤ t ≤ T 0
 0


 −k 

÷≥ 2 
÷





t
−k 

 T
 2− k 



(k )
( k −1)
σ ( s, Ys ( k ) ) − σ ( s, Ys ( k −1) ) dWs ≥ 2 ÷
≤ P  ∫ ρ ( s, Ys ) − ρ ( s, Ys ) ds ÷ ≥
 + P  sup ∫ 



2 ÷
 0
 2 
  0≤ t ≤T 0




2

 t
T

2k + 2
(k )
( k −1)
2k + 2
≤ 2 E  ∫ ρ ( s, Ys ) − ρ ( s, Ys ) ds ÷ + 2 E  ∫ σ ( s, Ys ( k ) ) − σ ( s, Ys ( k −1) ) dWs

 
0

0
≤2

T

.t ∫ E ρ ( s, Ys

2k + 2

0

(k )

) − ρ ( s, Y

( k −1)

s

Mặt khác,

)

2

ds + 2

2k +2

t

∫ E σ ( s, Y ) − σ ( s, Y
(k )

s

( k −1)

s

0

)

2


÷

÷


2

ds.

(

ρ ( s, Ys ( k ) ) − ρ ( s, Ys ( k −1) ) ≤ ρ ( s, Ys ( k ) ) − ρ ( s, Ys ( k −1) ) + σ ( s, Ys ( k ) ) − σ ( s, Ys ( k −1) )
2

2

≤ D 2 Ys ( k ) − Ys ( k −1) .

Tương tự, σ ( s, Ys ( k ) ) − σ ( s, Ys ( k −1) ) ≤ D 2 Ys ( k ) − Ys ( k −1) . Do đó
2

2

T

2
P  sup Yt ( k +1) − Yt ( k ) ≥ 2− k  ≤ 22 k + 2 D 2 (T + 1) ∫ E Ys ( k ) − Ys ( k −1) ds

÷
 0 ≤ t ≤T

0

T

≤ 22 k + 2 D 2 (T + 1) ∫
0

A2 k .t k
A k .T k +1
dt ≤ 22 k + 2 D 2 (T + 1) 2
k!
( k + 1)!

18

)

2


( 4 A2T )
≤
nếu
( k + 1) !
k +1

D 2 (T + 1) ≤ A2 .


( k +1)
(k )
Theo Bổ đề Borel-Cantelli, P sup Yt − Yt >

1
 = 0 với vơ số k. Vì thế,
2k 

1
với hầu hết ω , tồn tại k0 = k0 (ω ) : sup Yt ( k +1) − Yt ( k ) ≥ k , với k > k0. Do đó, với
2
0 ≤t ≤T
(n)
hầu hết ω , dãy Yt (ω ) hội tụ đều theo t. Ta kí hiệu giới hạn đó là X t = X t (ω ) .

Khi đó, Xt là quá trình liên tục và là t- đo được vì Yt
được với mọi n.
• Cho m > n ≥ 0 là các số nguyên. Theo (2.6), ta có

(

E Yt

(m)

− Yt

( n) 2

)=Y

t


≤  ∑ Yt ( k +1) − Yt ( k )
 k =1
m −1

( m)

− Yt

( n) 2
L2 ( P )


=



∑ Y


( k +1)

t

k =1

(

Điều này có nghĩa là { Yt

là liên tục và là t - đo

2

m −1


  m−1
= ∑ E Yt ( k +1) − Yt ( k )
L2 ( P ) ÷
  k =1

2

(n)

− Yt

1
2 2

)

(k)



 2 ÷
÷
L ( P) 

2

k +1

∞
AT
n →∞
 ≤∑ ( 2 )
 0.
→
 k = n (k + 1)!


(2.7)

} hội tụ trong L ( P) đến một giới hạn kí hiệu là Y .
( )
( )
Do đó, tồn tại một dãy con { Y ( ω ) } → Y (ω ) , tức là Y ( ω ) → Y (ω ) → 0 . do
( n)

2

t

n

n

t

t

t

t

đó Yt = X t h.c.c.
Ta sẽ chứng minh Xt thỏa mãn phương trình (2.2).
Thật vậy, với mỗi n ta có
t

t

0

0

Yt ( n +1) = X 0 + ∫ ρ ( s, Ys ( n ) ) ds + ∫ σ ( s , Ys ( n ) ) dWs .

(2.8)

n →∞
→
Ta có Yt ( n +1)  X t và sự hội tụ là đều theo t ∈ [ 0, T ] với hầu hết ω . Theo
(2.7) và bổ đề Fatou, ta có
T
T


2
(n) 2
n →∞
E  ∫ X t − Yt
dt  ≤ lim sup E ∫ Yt ( m ) − Yt ( n ) dt  0 .
→
m →∞
0
0

2
t
t
 t
 
(n)
(n )
= E  ∫ σ ( s, Ys ) − σ ( s, X s ) dWs ÷ 
Lại có: ∫ σ ( s, Ys ) dWs − ∫ σ ( s, X s ) dWs

 0 
0
0
 
L2 ( P )


t

= E ∫ σ ( s, Ys ( n ) ) − σ ( s, X s ) ds.

(1.3)

2

0

Mặt khác, Yt → X s h.c.c và sự hội tụ đó là hội tụ đều. Do đó
(n)

t

t

0

0

(n)
∫ σ ( s, Ys ) dWs − ∫ σ ( s, X s ) dWs
t

t

 0 .
→
2

L ( P)

(n)
L (P)
→
Tương tự ta cũng có: ∫ ρ ( s, Ys ) ds  ∫ ρ ( s, X s ) ds và
2

0

0

19


2

t

∫  ρ ( s, Ys

0

(n)

( ∗)

t

) − ρ ( s, X s )  ds ≤ t ∫ ρ ( s, Ys ( n) ) − ρ ( s, X s ) ds .

2

0

Do đó,
2

t

E ∫  ρ ( s, Ys

0

(n)

t

) − ρ ( s, X s )  ds ≤ t.E ∫ ρ ( s, Ys ( n) ) − ρ ( s, X s ) ds → 0

2

0

2

Qua giới hạn trong L ( P) ở (2.8) ta suy ra Xt thỏa mãn phương trình (2.2) với
điều kiện ban đầu (2.3). Đó là điều phải chứng minh. □

§2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đã cho chúng ta biết sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên dưới một số điều kiện

nhất định. Tuy nhiên, ngay cả khi biết được sự tồn tại và duy nhất nghiệm,
cũng giống như các phương trình vi phân thường, việc tìm nghiệm của
phương trình vi phân ngẫu nhiên là không dễ. Trong mục này, chúng ta sẽ
giải một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính.
2.2.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương
trình có dạng
dX t = [ a(t ) X t + b(t ) ] dt + [ c(t ) X t + d (t ) ] dWt ,
(2.8)
trong đó a(t), b(t), c(t), d(t) là các q trình thích nghi và liên tục theo t, W t
là một chuyển động Brown.
Nhận xét: (i) Nếu a ( t ) , b ( t ) , c ( t ) , d ( t ) là các hàm đo được Lebesgue và bị
chặn trên [ 0,T ] thì theo định lý tồn tại và duy nhất, phương trình (2.8) tồn tại
lời giải Xt thỏa mãn điều kiện ban đầu X t và lời giải đó là duy nhất.
(ii) Nếu các hệ số a ( t ) , b ( t ) , c ( t ) , d ( t ) đều là các hằng số, thì phương
trình (2.8) thuộc loại Ơtơnơm. Các lời giải của nó là tồn tại ∀t > t0 và là các
quá trình Markov thuần nhất.
(iii) Nếu b(t ) ≡ 0 và d (t ) ≡ 0 thì phương trình (2.8) trở thành một phương
trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính thuần nhất
0

20


dX t = a (t ) X t dt + c(t ) X t dWt .

(2.9)

Ta nhận thấy X t = 0 là một nghiệm tầm thường của (2.9).
Kết quả sau đây cho chúng ta cơng thức tính nghiệm cơ bản X t của
phương trình (2.9) với điều kiện ban đầu là X t = X 0 .

0

2.2.2. Định lý. Với những giả thiết đã cho trong Định nghĩa 2.2.1, nghiệm
của phương trình dX t = a(t ) X t dt + c(t ) X t dWt thỏa mãn điều kiện ban đầu
X t = X 0 có dạng
0

t
t

1 2 
X t = X 0 exp  ∫  a ( s ) − c ( s) ÷ds + ∫ c( s)dWs ÷ = X 0 exp ( u (t ) ) .
t 
÷
2

t0
0


Chứng minh. Xét q trình Ito với vi phân Ito
1


dX t =  a ( t ) − c 2 (t ) ÷dt + c(t )dWt
2


Xt
và quá trình Yt = e = g ( X t ) . Theo cơng thức Ito ta có,


 1
1
1

dYt = e X t dX t + e X t c 2 (t )dt = e X t   a ( t ) − c 2 (t ) ÷dt + c (t )dWt ÷+ e X t c 2 (t )dt
2
2


 2
1
1


= e X t  a (t ) − c 2 (t ) + c 2 (t ) ÷dt + e X t c(t )dWt
2
2


Xt
Xt
= e a (t )dt + e c(t )dWt
= Yt a (t )dt + Yt c(t )dWt .

Từ đó suy ra nghiệm của phương trình (2.9) có dạng
t
t

1 2 

X t = X 0 exp  ∫  a ( s ) − c ( s) ÷ds + ∫ c ( s )dWs ÷.
t 
÷
2

t0
0


Ta có điều phải chứng minh. □
Tiếp theo ta xét trường hợp c(t ) ≡ 0 . Khi đó, phương trình (2.8) trở thành
dX t = [ a(t ) X t + b(t ) ] dt + d (t )dWt ,
(2.10)
ở đây tiếng ồn xuất hiện dưới dạng cộng tính. Bài tốn đặt ra là tìm một lời
giải cơ bản φt ,t thỏa mãn điều kiện φt ,t = 1 . Kí hiệu φt = φt ,t .
0

0 0

0

2.2.3. Định lý. Với những giả thiết đã cho trong Định nghĩa 2.2.1, nghiệm
của phương trình dX t = a(t ) X t dt + c(t ) X t dWt thỏa mãn điều kiện φt ,t = 1 có
dạng
0 0

t
t
t



−1
−1
X t = φt  X t0 + ∫ φs b( s) ds + ∫ φs d ( s) dWs  , trong đó φt = exp ∫ a ( s)ds .
t0


t0
t0



21


Chứng minh. Xét phương trình thuần nhất
dX t = a (t ) X t dt .
(2.11)
Theo Định lý 2.2.2, phương trình (2.11) có lời giải cơ bản thỏa mãn điều
kiện ban đầu là
t

φt = exp ∫ a ( s)ds .

(2.12)

t0

Sử dụng công thức Ito cho hàm g (t , x) = φt −1 x và quá trình Yt = g (t, X t ) = φ t − 1 X t ,
ta có

∂φt −1
∂φt −1
−1
dYt =
X t dt + φt dX t =
X t dt + φt −1 ( [ a (t ) X t + b(t ) ] dt + d (t )dWt ) .
∂t
∂t
'−1
−1
Từ (2.12), ta có φt = −φt a(t ) . Thay vào (2.13) ta được:

(2.13)

dYt = −φt −1a (t ) X t dt + φt −1 ( [ a(t ) X t + b(t ) ] dt + d (t )dWt )
= φt −1b(t )dt + φt −1d (t )dWt .

Do đó,
t

t

(2.24)

t

t

Yt = Yt0 + ∫ φs b( s )ds + ∫ φs d (s )dWs ⇔ φt X t = φt0 X t0 + ∫ φs b (s )ds + ∫ φs −1d ( s )dWs .
−1

t0

−1

−1

−1

t0

−1

t0

t0

t
t
t


φt0 = 1 nên X t = φt  X t0 + ∫ φs −1b( s) ds + ∫ φs −1d ( s)dWs  , trong đó φt = exp ∫ a ( s)ds .
Vì
t0


t0
t0




Định lý được chứng minh. □
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát có dạng sau:
m

dX t = ( A(t ) X t + a (t ) ) dt + ∑ ( Bi (t ) X t + bi (t ) ) dWt .
i =1

(2.14)

Ngoại trừ số hạng Wt ∈ ¡ m , các số hạng còn lại đều là hàm vô hướng. Với giả
thiết rằng tất cả các hệ số A ( t ) , a ( t ) , Bi ( t ) , bi ( t ) là đo được và bị chặn trong
[ t0 , T ] . Khi đó phương trình tồn tại duy nhất nghiệm Xt.
2.2.4. Bổ đề: Nếu

thì

dX t = f1 (t ) + G1 (t )dWt
dYt = f 2 (t ) + G2 (t )dWt

(2.15)
(2.16)

dX tYt = X t dYt + Yt dX t + G1 (t )G2 (t )dt

= ( X t f 2 (t ) + Yt f1 (t ) + G1 (t )G2 (t ) ) dt + ( X t G2 (t ) + Yt G1 (t ) ) dWt .

Chứng minh.

22

(2.17)


t
t

X t = X 0 + ∫ f1 ( s )ds + ∫ G1 ( s )dWs


0
0
Thật vậy: Từ (2.15) và (2.16), ta có 
t
t
Y = Y + f ( s )ds + G ( s )dW .
0
s
∫ 2
∫ 2
 t
0
0


Áp dụng cơng thức Ito cho các q trình Ito ( X t + Yt ) ; X t 2 ; Yt 2 , ta có
2

( X t + Yt )

2

t

t

= ( X 0 + Y0 ) + 2 ∫ ( X t + Yt ) d ( X t + Yt ) + ∫ ( G1 (t ) + G2 (t ) ) dt ,
2

0

2

0

t

t

t

t

0

0

0

0

X t 2 = X 0 2 + 2 ∫ X t dX t + ∫ G12 (t )dt và Yt 2 = Y0 2 + 2∫ Yt dYt + ∫ G2 2 (t )dt .

Do đó,
t

t

t

t

0

0

0

0

2 X t Yt = 2 X 0Y0 + 2 ∫ ( X t + Yt ) d ( X t + Yt ) + 2 ∫ G1 (t )G2 (t )dt − 2 ∫ X t dX t − 2 ∫ Yt dYt . (2.18)

Ta có
t

∫( X
0

t

t

+ Yt ) d ( X t + Yt ) = ∫ ( X t + Yt ) ( f1 (t ) + f 2 (t ) ) dt + ( G1 (t ) + G2 (t ) ) dWt 


0

t

t

0

0

= ∫ ( X t dX t + X t dYt ) + ∫ Yt dX t + Yt dYt .

Do đó, (2.18) trở thành
t

t

t

0

0

0

X tYt = X 0Y0 + ∫ X t dYt + ∫ Yt dX t + 2 ∫ G1 (t )G2 (t )dt .

Điều này có nghĩa là

dX tYt = X t dYt + Yt dX t + G1 (t )G2 (t )dt

= ( X t f 2 (t ) + Yt f1 (t ) + G1 (t )G2 (t ) ) dt + ( X t G2 (t ) + Yt G1 (t ) ) dWt .

Công thức (2.17) được chứng minh. □
2.2.5. Định lý. Với các giả thiết đã nêu ở trên, phương trình (2.14) có nghiệm
là
t
m
m t



−1 
X t = φt  X 0 + ∫ φs  a ( s ) − ∑ Bi ( s )bi ( s ) ÷ds + ∑ ∫ φt −1bi ( s )dWs i ÷,

÷
i =1
i =1 t0


t0


m

m t
t

B 2 ( s) 
φt = exp  ∫  A( s ) − ∑ i
ds + ∑ ∫ Bi ( s)dWsi ÷ là nghiệm của phương
trong đó
÷
t 
÷
2 
i =1
i =1 t0
0

m

i
trình thuần nhất dφt = A(t )φt dt + ∑ Bi (t )φt dWt với giá trị ban đầu φt = 1 .
0

i =1

23


m
m




dYt =  a (t ) − ∑ Bi ( s )bi ( s ) ÷dt + ∑ bi ( s )dWti

i =1
i =1



Chứng minh. Đặt 
t
 Z = X + ( φ −1dY ) ⇔ dZ = φ −1dY
0
t
t
t
∫ s s
 t
t0

thì X t = φt Zt . Vì φt là nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất nên
m

dφt = A(t )φt dt + ∑ Bi (t )φt dWti .
i =1

m
m


dZ t = φt−1  a (t ) − ∑ Bi (t )bi (t ) ÷dt + ∑ φt −1bi (t )dWti .

i =1
i =1


Sử dụng Bổ đề 2.2.4 cho tích φt Zt , ta có
dX t = d ( φt Z t )

 m

= φt dZ t + Z t dφt +  ∑ Bi (t )φtφt−1bi (t ) ÷dt
 i =1

m

m

= dYt + A(t ) X t dt + ∑ Bi (t ) X t dWti + ∑ Bi (t )bi (t )dt
i =1

i =1

m

= ( A(t ) X t + a (t ) ) dt + ∑ ( Bi (t ) X t +bi (t) ) dWti
i =1

Ta có điều phải chứng minh. □

Chương 3
ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES

§1. Thị trường quyền chọn
Thị trường chứng khoán là một bộ phận cấu thành của thị trường vốn,
là một kênh quan trọng để huy động vốn cho đầu tư và phát triển nền kinh
tế. Thị trường quyền chọn chỉ được hình thành và hoạt động có hiệu quả trên
cơ sở thị trường chứng khốn đã ổn định và phát triển. Trong mục này chúng
ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức liên quan đến quyền chọn, phục vụ cho việc
trình bày mơ hình Black-Scholes. Thơng tin tiết hơn về thị trường quyền
chọn có thể tìm thấy trong tài liệu [1].
3.1.1. Một số khái niệm cơ bản

Quyền chọn là hợp đồng kí kết giữa hai bên người mua và người bán,
trong đó người mua có quyền (không phải là nghĩa vụ) để mua hoặc bán một
tài sản nào đó vào một ngày trong tương lai với giá cả được thỏa thuận vào
ngày hôm nay. Giá thực hiện (giá điểm) là mức giá mà tại đó tài sản trong
một quyền chọn có thể được mua hoặc bán. Tài sản cơ sở là một cổ phiếu,
24


một trái phiếu hay một đơn vị tiền tệ,… sẽ được giao trên cơ sở mua hoặc
bán khi quyền chọn được thực hiện. Tài sản phái sinh là loại tài sản và giá trị
của nó được xác định thơng qua tài sản cơ sở. Thời gian đáo hạn là thời điểm
kết thúc hợp đồng quyền chọn. Độ bất ổn là một thước đo mức độ không
chắc chắn của bản thân nhà đầu tư vào biến động trong tương lai của giá tài
sản. Độ bất ổn càng cao thì giá trị của tài sản có thể lên rất cao hoặc xuống
rất thấp. Lãi suất phi rủi ro là lãi suất được giả định bằng cách đầu tư vào
các công cụ tài chính mà khơng bị rủi ro vỡ nợ.
3.1.2. Vai trị của quyền chọn và mục đích của người mua, bán quyền chọn

a) Vai trò của quyền chọn
- Vai trò định giá: giá của hợp đồng quyền chọn phản ánh độ rủi ro gắn liền

với mỗi mặt hàng cơ sở.
- Quản lý rủi ro giá cả: quyền chọn cung cấp một cơ chế hiệu quả cho phép
phòng tránh, hạn chế rủi ro và cho phép chuyển dịch rủi ro từ những người
khơng thích rủi ro sang những người chấp nhận nó.
- Góp phần thúc đẩy thị trường tài chính phát triển: thị trường giao dịch
quyền chọn cho phép các nhà đầu tư đạt được một tỷ suất sinh lợi cao. Bên
cạnh đó, việc tham gia thị trường khơng địi hỏi chi phí q lớn cho nên các
nhà đầu tư có thể dễ dàng tham gia cũng như rút lui khỏi thị trường. Điều
này làm cho thị trường trở nên sôi động hơn.
b) Mục đích của những người mua và bán quyền chọn
• Người mua: Nhà đầu tư thường mua quyền chọn nhằm những mục đích
cơ bản như: bảo hiểm, đầu cơ hoặc trì hỗn một quyết định.
- Bảo hiểm: Thị trường chứng khốn ln biến động và khơng ai có thể
lường trước được những động thái của nó trong tương lai. Vì thế quyền chọn
được sử dụng như là cơng cụ bảo hiểm vị thế hiện có của nhà đầu tư bằng
việc cố định giá mua và giá bán trên hợp đồng.
- Đầu cơ: Nhà đầu tư cũng có thể sử dụng quyền chọn để đầu cơ với số tiền
bỏ ra ban đầu thấp hơn nhiều so với việc mua bán trực tiếp trên thị trường và
có thể tìm được mức tỷ suất lợi nhuận rất cao.
- Trì hỗn một quyết định: Quyền chọn được sử dụng khi một nhà đầu tư
muốn mua hoặc bán loại cổ phiếu nào đó nhưng chưa muốn thực hiện ý định
đó ngay mà đang chờ đợi diễn biến tiếp theo của thị trường. Trong trường
hợp này quyền chọn có thể giúp nhà đầu tư hạn chế rủi ro biến động giá.
• Người bán: Khi bán quyền chọn thì chủ thể bán quyền chỉ có thể kiếm
được lợi nhuận hữu hạn trong khi có thể bị lỗ vơ hạn. Do đó, thơng thường
người bán quyền thường nhằm đến mục đích bảo hiểm vị thế và tăng lợi
suất.
- Bảo hiểm vị thế: Người bán quyền chọn có nhu cầu cố định giá mua hay
giá bán của một cổ phiếu nhất định vì lo sợ những diễn biến của thị trường.
25