Vận dụng các yếu tố lôgic trong giải toán tiểu học (LV00667)

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường đại học sư phạm hà nội 2

Phạm Thị Huynh

Vận dụng các yếu tố lôgic
Trong giải toán tiểu học
Chuyên ngành: Giáo dục học (Bậc Tiểu học)
Mã số
: 60 14 01

Người hướng dẫn khoa học: TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội 2008


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Xã hội đang vận động và biến đổi không ngừng theo xu thế của thời đại: năng
động, linh hoạt, phát triển liên tục. Làm thế nào để mỗi con người trong xã hội cũng
đều áp ứng được những yêu cầu mà xã hội đặt ra? Đó chính là mục tiêu, đồng thời
cũng là nền tảng, động lực cho sự phát triển của xã hội, nhất là khi chúng ta đã hội
nhập WTO. Để có thể thực sự đáp ứng được những yêu cầu đó của xã hội thì việc nâng
cao tầm nhận thức của mỗi người, nâng cao chất lượng giáo dục xã hội, đào tạo những
người lao động có sức khoẻ, có đức, có tài và năng lực thực tiễn là việc làm cần thiết
và tất yếu.
Như chúng ta đã biết, trong hệ thống giáo dục quốc dân, bậc Tiểu học luôn
được khẳng định là bậc học giữ vị trí, vai trò nền tảng bởi vì nó đặt cơ sở nền móng
cho quá trình hình thành và phát triển hệ thống thao tác tư duy, trí tuệ cho con người.
Chính vì vậy, nội dung, chương trình các môn học ở bậc Tiểu học hiện nay rất được
quan tâm, chú ý xây dựng theo hướng tối ưu nhất cho sự tiếp nhận và phát triển toàn

diện cho học sinh tiểu học. Trong hệ thống các môn học ở bậc Tiểu học thì môn Toán
có vị trí và vai trò đặc biệt quan trọng. Nó cung cấp những kiến thức sơ giản, cơ bản về
số học, hình học, đại lượng, giải toán Qua đó hình thành cho học sinh năng lực toán
học cơ bản: Khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy lôgic và từ đó rèn luyện phương
pháp học tập và cách thức làm việc khoa hc sau này.
Nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học hiện nay được trình bày trên cơ sở
của toán học hiện đại và lôgic toán. Qua thực tế nghiên cứu, giảng dạy ở trường tiểu
học, tôi nhận thấy yếu tố lôgic trong Toán Tiểu học khá phong phú và quan trọng song
lại không được trình bày tường minh. Bởi vậy, việc khai thác được hết dụng ý của SGK
và tài liệu hướng dẫn là điều khó khăn đối với giáo viên trong quá trình giảng dạy.
Điều này cũng dẫn đến việc học sinh tiếp thu kiến thức chưa hệ thống, hạn chế khả
năng hình thành và phát triển tư duy lôgic của các em. Trong nội dung môn Toán ở
Tiểu học, giải toán là hoạt động cơ bản, quan trọng, chiếm vị trí và thời lượng lớn.
Làm thế nào để có thể khai thác, vận dụng các yếu tố lôgic vào việc giải toán tiểu học
cho hệ thống và có hiệu quả hơn đối với giáo viên v học sinh trong quá trình dạy v
học giải toán? Để trả lời câu hỏi này, tôi lựa chọn đề tài: Vận dụng các yếu tố lôgic
trong giải toán Tiểu học, hy vọng sẽ giúp cho giáo viên và học sinh dạy và học toán


một cách hệ thống, góp phần bước đầu hình thành và phát triển tư duy lôgic, rèn luyện
kỹ năng giải toán cho học sinh tiểu học ngày một tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học giải toán đối với giáo viên,
đồng thời hình thành, phát triển và rèn luyện kĩ năng tư duy (trong đó có tư duy lôgic)
cho học sinh tiểu học khi thực hành giải toán.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng toán trong chương trình Toán Tiểu học vận dụng các yếu tố lôgic để
giải bài.
4. Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc vận dụng các yếu tố lôgic vào giải toán Tiểu

học.
Phân tích các yếu tố lôgic trong nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học
hiện nay.
Vận dụng các yếu tố lôgic vào việc giải toán ở Tiểu học.
Thực nghiệm sư phạm.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Thực nghiệm.
- Tổng kết tài liệu.
6. Những đóng góp mới về mặt khoa học của đề tài
Quá trình nghiên cứu đề tài dựa trên cơ sở của Toán học hiện đại và lôgic học,
những thành tựu của tâm lý học và quá trình giảng dạy thực tế ở trường tiểu học làm
sáng tỏ một số vấn đề:
Xây dựng một cách có hệ thống các bài toán mang đặc trưng lôgic ở Tiểu học:
+ Xây dựng chương trình giải từng loại bài, dạng bài.
+ Thực hiện giải mẫu.
+ Giới thiệu bài toán tương tự.
Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh tiểu học.
7. Cấu trúc luận văn:
Luận Văn gồm ba phần:


+ Phần mở đầu.
+ Phần nội dung.
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Vận dụng các yếu tố lôgic vào giải Toán ở Tiểu học.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
+ Phần kết luận.

PHầN NộI DUNG

CHƯƠNG 1: Cơ sở lý luận
1. Cơ sở tâm lý học
Trong nền giáo dục quốc dân, Tiểu học là bậc học có tính chất phổ cập, là nền
móng, tạo tiền đề vững chắc cho trẻ học lên các bậc học tiếp theo.
Theo tâm lý học duy vật biện chứng, cuộc sống của con người là một dòng hoạt
động. ở mỗi giai đoạn lứa tuổi khác nhau, con người có những hoạt động chủ đạo
khác nhau. Trong đó ở Tiểu học, hoạt động học là hoạt động chủ đạo bởi vì hoạt động
này không chỉ chiếm nhiều thời gian hơn, khiến học sinh tập trung nhiều tâm tư hơn


mà nó còn mang đến cho học sinh những đối tượng mới chưa hề có và tạo ra sự phát
triển ở trẻ. Hoạt động chủ đạo này cũng là nguyên nhân cơ bản đưa đến cấu tạo tâm lý
mới cho học sinh tiểu học.
Nhận thức của học sinh tiểu học là một quá trình mang những đặc trưng riêng
biệt, cụ thể như sau:
1.1. Quá trình nhận thức cảm tính
1.1.1. Tri giác
Tri giác của học sinh tiểu học mang tính đại thể, ít đi sâu vào chi tiết. Khi tri
giác các em chưa phân biệt chính xác các đối tượng, đôi khi còn lẫn lộn. Khả năng
phân tích, tách các đối tượng chưa cao, bởi vậy trong quá trình tri giác, các em thường
thâu tóm về cái toàn bộ, đại thể để tri giác.
Tri giác của học sinh tiểu học (nhất là học sinh đầu cấp) thường gắn với hành
động cụ thể của các em. Do đó, trong quá trình giáo dục, vận dụng đúng đắn, hợp lý
luận điểm: Trăm nghe không bằng một thấy, trăm thấy không bằng một làm là việc
làm rất cần thiết.
Tri giác của học sinh tiểu học còn mang đậm màu sắc cảm xúc.
Trong quá trình tri giác, khả năng đánh giá, ước lượng về thời gian, không gian
của các em còn hạn chế, nhất là khi các đối tượng thay đổi vị trí trong không gian. Tri
giác của học sinh tiểu học còn chịu ảnh hưởng và tác động nhiều của yếu tố trực giác.
1.1.2. Trí nhớ

Trí nhớ trực quan hình tượng được hình thành và phát triển mạnh còn trí nhớ từ
ngữ - lôgic kém phát triển. Bởi vậy, các đơn vị tri thức được các em ghi nhớ còn rời
rạc, chưa có hệ thống, khi cần tái hiện tri thức còn gặp nhiều khó khăn.Vì thế trong
quá trình dạy học, người giáo viên cần giúp các em có được cách thức ghi nhớ từng
loại đơn vị tri thức dựa vào các điểm tựa lôgic hoặc sơ đồ lôgic.
1.1.3. Chú ý
Chú ý là một hiện tượng tâm lý, nó là một yếu tố quan trọng quyết định cho kết
quả của hoạt động học.
ở học sinh tiểu học, chú ý không chủ định chiếm ưu thế hơn chú ý có chủ định.
Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự tập trung chú ý của học sinh tiểu học còn bị phân
tán, nhất là khi có các tác động mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ Bởi vậy việc sử dụng đồ


dùng dạy học như tranh ảnh, hình vẽ một cách hợp lý là điều kiện quan trọng để tập
trung sự chú ý của học sinh, tạo ra sự hưng phấn, hấp dẫn của giờ học.
Đối với học sinh cuối Tiểu học, chú ý có chủ định của các em phát triển mạnh.
Sự chú ý của các em có thể kéo dài liên tục trong khoảng thời gian một tiết học.
1.2. Quá trình nhận thức lý tính
Quá trình nhận thức lý tính bao gồm tư duy và tưởng tượng.
1.2.1. Tư duy
1.2.1.1. Tư duy
Tư duy là quá trình nhận thức lý tính, nó phản ánh những thuộc tính bản chất
của sự vật, hiện tượng. Tư duy là quá trình phản ánh thế giới vật chất dưới dạng những
hình ảnh lý tưởng.
Tư duy của trẻ em mới đến trường là tư duy cụ thể mang tính hình thức bằng
cách dựa vào những đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng cụ thể. Nhà tâm
lý học nổi tiếng J.Piaget (Thuỵ Sĩ) cho rằng tư duy của trẻ từ 7 đến 10 tuổi về cơ bản
còn ở giai đoạn những thao tác cụ thể, dựa vào kinh nghiệm trực quan. Các em khó
chấp nhận những giả thiết không thật.
Học sinh ở cuối bậc Tiểu học (9 - 11 tuổi), khả năng tư duy đã phát triển khá

hoàn chỉnh, đặc biệt là lớp 5. Các em đã có thể tách khỏi cái cụ thể để thao tác với các
hàm mệnh đề thông qua lời nói hoặc kí hiệu toán học.
1.2.1.2. Tư duy lôgic
Tư duy lôgic là quá trình tư duy đảm bảo tính chính xác theo các quy luật,
không phạm phải những sai lầm trong quá trình lập luận, biết phát hiện ra những mâu
thuẫn. Đó chính là phẩm chất của tư duy có giá trị lớn trong bất kỳ lĩnh vực khoa học
và hoạt động thực tiễn nào.
Tư duy lôgic của con người không phải là yếu tố bẩm sinh, di truyền mà nó
được hình thành và phát triển trong hoạt động thực tiễn. Muốn đảm bảo tính bền vững
của nó thì con người phải rèn luyện và củng cố nó một cách thường xuyên.
1.2.2. Tưởng tượng
Tưởng tượng của học sinh tiểu học còn tản mạn, ít có tổ chức. Hình ảnh trong
quá trình tưởng tượng của các em còn đơn giản, đơn điệu, hay gắn liền với hình mẫu
cụ thể, không có tính bền vững.
2. Cơ sở lôgic học


2.1. Sự hình thành và phát triển của lôgic học
Lôgic học đã được hình thành vào thế kỷ IV trước công nguyên và nhà triết học
vĩ đại cổ Hy Lạp A - ri - xtôt được coi là người sáng lập ra lôgic học. Ông là người
đầu tiên nghiên cứu tỉ mỉ khái niệm và phán đoán, lý thuyết suy luận và chứng minh.
Ông đã mô tả hàng loạt các thao tác lôgic, nêu lên quy luật cơ bản của tư duy: Quy
luật đồng nhất, quy luật mâu thuẫn, quy luật bài trung (quy luật loại từ cái thứ ba)
trong tác phẩm Siêu hình học.
Lôgic học do A - ri - xtôt sáng lập ra có tên gọi là lôgic hình thức vì nó xuất
hiện và phát triển với tư cách là một khoa học về các hình thức của tư duy phản ánh
nội dung.
Vào nửa cuối thế kỷ XIX, các phương pháp tính toán của Toán học được áp
dụng rộng rãi trong lôgic học. Nhà bác học người Đức Phrê - ghê (1848 - 1925) đã
phát triển các phương pháp tính toán của Toán học áp dụng vào lôgic học. Lôgic ký

hiệu hay lôgic toán ra đời và phát triển mạnh mẽ gắn với tên nhà bác học Bul,
Sriôđerơ, Pirxơ
Lần đầu tiên, lôgic biện chứng được nhà triết học duy tâm khách quan Hê Ghen (1770 - 1831) trình bày. Nghiên cứu theo quan điểm duy vật học thuyết của Hê ghen, khái quát các thành tựu của triết học, Mác và Anghen đã sáng tạo ra phép biện
chứng duy vật và được V. I. Lênin phát triển tiếp tục.
Ngày nay, lôgic hiện đại bao gồm hai khoa học độc lập tương đối nhau đó là
lôgic hình thức và lôgic biện chứng. Chúng phát triển trong sự tác động qua lại chặt
chẽ với nhau, bổ sung cho nhau.
2.2. Các khái niệm
2.2.1. Khái niệm lôgic
Lôgic có nghĩa là tư tưởng, từ, trí tuệ. Nó được bắt nguồn từ tiếng Hy
Lạp lôgos. Lôgic chính là sự biểu hiện tập trung các quy luật bắt buộc quá trình tư
duy của con người phải tuân theo, có như vậy mới phản ánh đúng đắn hiện thực khách
quan. Ngoài ra, nó còn biểu hiện các quy tắc lập luận khoa học và những hình thức
trong đó lập luận tồn tại. Mặt khác, lôgic còn biểu thị một số tính quy luật khác của
thế giới khách quan.
2.2.2. Khái niệm lôgic học


Lôgic học là một khoa học nghiên cứu về các quy luật và hình thức của tư duy
hướng vào việc nhận thức đúng đắn hiện thực.
2.2.3. Khái niệm mệnh đề
Mệnh đề là một khái niệm cơ bản của lôgic, đó là những câu phản ánh tính
đúng đắn hoặc sai thực tế khách quan.
Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề
vì nó không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào.
Trong lôgic mệnh đề, ta thường ký hiệu mệnh đề là a, b, c, Nếu mệnh đề
đúng, ta nói mệnh đề có giá trị chân lý bằng 1; nếu mệnh đề sai thì ta nói mệnh đề có
giá trị chân lý bằng 0.

2.2.4. Khái niệm hàm mệnh đề

Hàm mệnh đề là một câu chứa biến và trở thành mệnh đề khi ta thay biến đó
bằng một hằng trong một tập hợp xác định.
Ta thường ký hiệu hàm mệnh đề như sau:
P(x)

: Hàm mệnh đề một biến.

P(x,y,): Hàm mệnh đề 2, 3 hoặc nhiều biến.
2.2.5. Khái niệm suy luận
a. Khái niệm
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có. Mệnh đề đã có
gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được gọi là kết luận của suy luận.
b. Phân loại suy luận
Có hai loại suy luận là suy luận diễn dịch (suy luận suy diễn) và suy luận nghe
có lý (suy luận có lý).
Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái chung đến cái riêng, từ quy tắc tổng
quát áp dụng vào từng trường hợp cụ thể. Suy luận suy diễn luôn luôn cho kết quả đáng
tin cậy nếu nó xuất phát từ những tiền đề đúng.
Suy luận suy diễn gồm: phép suy diễn, phép quy nạp hoàn toàn.
Suy luận nghe có lý (suy luận có lý) không theo một quy tắc tổng quát nào để
từ những tiền đề đã có rút ra một kết luận xác định. Khi dùng nó thì từ những tiền đề
đúng có khi ta rút ra được các kết luận đúng, có khi rút ra được kết luận sai.


Suy luận có lý gồm: suy luận quy nạp không hoàn toàn, phép tương tự, phép
đảo ngược.
2.2.6. Khái niệm chứng minh
Chứng minh là thao tác lôgic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán
nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ với phán đoán ấy.
Chứng minh bao gồm ba thành phần liên quan chặt chẽ với nhau: luận đề, luận

cứ, luận chứng (lập luận).
Chứng minh bao gồm chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp.
Chứng minh trực tiếp: là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được
trực tiếp rút ra từ các luận cứ.
Sơ đồ chứng minh trực tiếp:
p

: luận đề

a, b, c, : các luận cứ.
k, l, m,: các phán đoán chân thực được suy ra từ a, b, c
( a,b,c ) ( k,l,m ) p
Chứng minh gián tiếp: là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được
rút ra trên cơ sở lập luận tính giả dối của phản luận đề.
2.3. Các quy luật cơ bản của tư duy
2.3.1. Quy luật đồng nhất
Trong quá trình lập luận, mọi tư tưởng đồng nhất với chính nó.
Trong lôgic kí hiệu (lôgic toán), nó được biểu thị:
a a hay a a
Quy luật đồng nhất được biểu thị a là a (đối với phán đoán), A là A đối với
khái niệm.
2.3.2. Quy luật không mâu thuẫn
Trong quá trình tư duy, lập luận về một đối tượng nào đó không được vừa
khẳng định, vừa phủ định ở cùng một quan hệ. Mặt khác, khi tư duy về một vấn đề nào
đó được thể hiện bằng hai phán đoán đối lập thì chúng không thể cùng chân thực hoặc
cùng giả dối. Trong lôgic kí hiệu, nó được biểu thị : a a .
2.3.3. Quy luật loại trừ cái thứ ba.


Quy luật này biểu đạt hai phán đoán nếu mâu thuẫn với nhau thì không thể

cùng giả dối hoặc cùng chân thực. Nghĩa là một trong hai phán đoán phải là giả dối
hoặc chân thực. Trong lôgic kí hiệu, nó được biểu thị: a a
2.3.4. Quy luật lý do đầy đủ
Tư duy đúng đắn là tư duy được chi phối bởi các điều kiện đảm bảo tính chứng
minh được, tính có căn cứ. Mỗi tư tưởng được thừa nhận là chân thực nếu nó có lý do
đầy đủ.
Các quy luật cơ bản của tư duy có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Việc tuân theo
các yêu cầu của quy luật cơ bản của lôgic hình thức là điều kiện cần thiết để nhận thức
đúng đắn hiện thực khách quan.Vì vậy, trong quá trình lập luận cần phải sử dụng phối
hợp các quy luật một cách nhuần nhuyễn, đảm bảo mối liên hệ biện chứng giữa chúng,
có như thế, đơn vị tri thức được lĩnh hội mới đảm bảo tính lôgic.
2.4. Các phép toán lôgic
2.4.1. Các phép toán lôgic trên mệnh đề
2.4.1.1. Phép phủ định :
Phủ định của mệnh đề p là một mệnh đề sai khi p đúng và đúng khi p sai. Kí
hiệu là p (Đọc là không p).
Bảng giá trị chân lý:
p

p

1

0

0

1

2.4.1.2. Phép hội:

Hội của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề đúng khi cả p và q cùng đúng và
sai trong các trường hợp còn lại. Kí hiệu là p q (Đọc là p và q)
Bảng giá trị chân lý:
p

q

p q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

2.4.1.3. Phép tuyển:


Tuyển của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề sai khi cả hai cùng sai và đúng
trong các trường hợp còn lại. Kí hiệu là p q (Đọc là p hoặc q).
Bảng giá trị chân lý:
p

q

pq

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

2.4.1.4. Phép kéo theo:
Phép kéo theo của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề sai khi p đúng, q sai và
đúng trong các trường hợp còn lại. Kí hiệu: p q (Đọc là p kéo theo q hay nếu p
thì q).
Bảng giá trị chân lý:

p

q

pq

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

2.4.1.5. Phép tương đương:
Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p tương đương với q là một mệnh đề đúng
khi cả hai mệnh đề p và q hoặc cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp
còn lại. Kí hiệu : p q (Đọc là p tương đương với q) nó phù hợp với ý nghĩa của
cụm từ khi và chỉ khi haynếu và chỉ nếu.
Bảng giá trị chân lý:
p

q

p q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1


2.4.2. Những đẳng thức cơ bản:
Đẳng thức về phủ định của phủ định

p p
Tính chất giao hoán của phép hội và phép tuyển
p q q p
p q q p
Tính chất kết hợp của phép hội và phép tuyển

(p q) r p (q r)
Tính chất phân phối của phép hội và phép tuyển
p (q r) (p q) (p r )
p (q r) (p q) (p r)
Tính chất luỹ đẳng của phép hội và phép tuyển
p p p
p p p
Định luật Đờ Mooc - găng.

pq p q
pq p q
Khả năng biểu diễn phép toán lôgic ( ) qua các phép toán logic khác.
(p q) p q
(p q) p q
Đẳng thức liên hệ đến phép tương đương.
p q (p q) (q p)
p q q p
p q pq
Đẳng thức liên hệ đến các hằng 0, 1.
p 0 0

p 1 1

p 1 p

p p 1

p 0 p

p p 1

Đẳng thức liên quan đến phép toán lôgic ( )
pq q p


2.5. Các quy tắc suy luận
2.5.1. Định nghĩa về quy tắc suy luận
Giả sử S1 , S2,, Sn, T là một dãy hữu hạn các công thức của cùng các biến p,
q,, r.
Nếu tất cả các bộ giá trị của p, q,, r làm cho S1, S2,, Sn nhận giá trị 1 cũng
đồng thời làm cho T nhận giá trị 1 thì T gọi là hệ quả lôgic của S1, S2,, Sn . Khi đó ta
cũng nói rằng có một quy tắc suy luận từ các tiền đề S1,S2,, Sn tới các hệ quả lôgic T
của chúng. Kí hiệu: S1 , S2, ,Sn
T
2.5.2. Các quy tắc suy luận thường gặp.
2.5.2.1. Quy tắc kết luận
Quy tắc suy luận : p,p q được gọi là quy tắc kết luận.
q
Dạng tổng quát của quy tắc kết luận là

p1, p 2 ,...., p n , p1 p 2 .... p n q
q
Theo quy tắc suy luận này thì nếu p1, p2,, pn là các mệnh đề đúng đồng thời
mệnh đề (p1 p2 pn) q cũng đúng thì mệnh đề q cũng đúng.
Chính từ quy tắc này, trong toán học, để chứng minh q là một mệnh đề đúng,
nếu đã có định lý (p1 p2 pn) q thì chỉ cần chứng minh p1, p2,,pn là các
mệnh đề đúng.
2.5.2.2. Quy tắc bắc cầu
Quy tắc suy luận p q ,p r được gọi là quy tắc suy luận bắc cầu.
pr

Dạng tổng quát của quy tắc suy luận bắc cầu là:
(p p1),(p1 p2), , (pn-1 pn), (pn q)
pq
Theo quy tắc suy luận này thì nếu p suy ra được p1, p1 suy ra được p2,, pn suy
ra được q thì p suy ra được q.
Nhờ quy tắc suy luận này ta có cơ sở để nối các mắt xích suy luận rời rạc thành
một chỉnh thể chứng minh.
2.5.2.3. Quy tắc suy luận phản chứng


Quy tắc suy luận

q, p q
được gọi là quy tắc suy luận phản chứng .
p

Theo quy tắc suy luận này thì: Giả sử cho q là một mệnh đề đúng, nếu từ phủ
định của mệnh đề p suy ra được mệnh đề phủ định của q thì mệnh đề p đúng.
Quy tắc suy luận trên là cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng.
Trên đây là một số quy tắc suy luận thường gặp, ngoài ra còn có một số quy tắc
suy luận khác.
2.6. Các phép suy luận và chứng minh thường gặp
2.6.1. Phép suy diễn
Phép suy diễn là cách suy luận đi từ cái chung đến cái riêng, từ quy tắc tổng
quát áp dụng vào từng trường hợp cụ thể.
2.6.2. Phép quy nạp
Phép quy nạp là phép suy luận đi từ cái cụ thể để rút ra kết luận tổng quát, đi từ
cái riêng đến cái chung.
Có 2 loại phép quy nạp là: quy nạp không hoàn toàn và quy nạp hoàn toàn.
Phép quy nạp không hoàn toàn: Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận đi từ một

vài trường hợp riêng để nhận xét rồi rút ra kết luận chung.
Có thể tóm tắt nội dung của phép quy nạp không hoàn toàn như sau:
Tiền đề

- Các phần tử a1, a2,,an đều có tính chất p
- a1, a2,,an là một số phần tử của tập hợp X

Kết luận

(Dự đoán) Tất cả các phần tử của X đều có tính chất p.

( ở đây giả thiết là X có nhiều hơn n phần tử ).
Khi suy luận theo kiểu quy nạp không hoàn toàn có khi kết luận là đúng, có khi
kết luận là sai nên đây chỉ là một phép suy luận có lý và cần kiểm tra trước khi áp
dụng.
Phép quy nạp hoàn toàn: Phép quy nạp hoàn toàn là phép suy luận đi từ việc khảo sát
tất cả các trường hợp riêng rồi nhận xét để nêu ra kết luận chung cho tất cả các
trường hợp riêng đó và chỉ cho các trường hợp riêng ấy mà thôi.
Có thể tóm tắt nội dung của phép quy nạp hoàn toàn như sau:
Tiền đề

- Tập hợp A gồm tất cả các phần tử a1, a2,, an
- Các phần tử a1, a2,, an đều có tính chất p


Kết luận

Mọi phần tử của A đều có tính chất p.

Phép quy nạp hoàn toàn là một phép suy luận cho ta kết luận đúng vì kết luận

chung chỉ khẳng định về các trường hợp đã được thử thấy đúng.
2.6.3. Phép tương tự
Phép tương tự là phép suy luận đi từ sự giống nhau của một số thuộc tính nào
đó của 2 đối tượng để rút ra kết luận về sự giống nhau của các thuộc tính khác của 2
đối tượng đó.
Các kết luận rút ra từ phép tương tự có khi đúng, có khi sai. Do đó, đây chỉ là
phép suy luận có lý và cần kiểm tra lại các kết luận của phép tương tự trước khi sử
dụng.
2.6.4. Phép đảo ngược
Đảo ngược một phép suy luận đã cho là thiết lập một phép suy luận mới bằng
cách đổi chỗ giữa tiền đề và kết luận của phép suy luận đó.
Khi đảo ngược một suy luận, có khi ta được một suy luận đáng tin cậy nhưng
cũng có khi ta được một suy luận không đáng tin cậy. Vì thế, phép đảo ngược một suy
luận chỉ cho ta một suy luận có lý, nó chỉ là một dự đoán cần phải kiểm tra lại.
2.6.5. Phép phản chứng
Phép phản chứng là phép suy luận dựa trên nhận xét: Nếu từ một mệnh đề A
nào đó mà bằng suy diễn ta rút ra được một điều vô lý thì mệnh đề A là sai hay mệnh
đề trái ngược với A là đúng.


Chương 2
Vận dụng các yếu tố lôgic vào giải toán ở tiểu học
I. Phân tích các yếu tố lôgic trong nội dung chương trình
môn Toán ở Tiểu học
I.1. Vị trí, nhiệm vụ, mục tiêu, đặc điểm, nội dung môn toán ở
tiểu học

I.1.1. Vị trí, nhiệm vụ, mục tiêu môn Toán ở Tiểu học
Việc dạy và học môn Toán là một trong những nhiệm vụ hàng đầu của giáo
viên và học sinh tiểu học bởi việc dạy và học Toán ở Tiểu học mang lại những kiến

thức toán học sơ đẳng cần thiết, là bước chuẩn bị quan trọng cho quá trình dạy học
toán học ở các bậc học tiếp theo. Ngoài mục tiêu chủ yếu là rèn luyện kĩ năng tính
toán thì môn Toán ở Tiểu học còn phải phát triển tư duy và bồi dưỡng phương pháp
suy luận, bồi dưỡng tư duy khoa học và tư duy lôgic cho học sinh tiểu học. Sở dĩ toán
học có vị trí, vai trò quan trọng như vậy vì toán học là công cụ bổ trợ rất cần thiết để
tiếp thu các môn học khác, để nhận thức thế giới xung quanh, để hoạt động trong thực
tiễn có hiệu quảgóp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện những đức tính, phẩm
chất cần thiết của người lao động mới: cần cù, sáng tạo,vượt khó
I.1.2. Đặc điểm của môn Toán ở Tiểu học
Môn Toán ở Tiểu học là môn học thống nhất không chia thành các phân môn
riêng.
Đặc điểm xây dựng chương trình SGK: Hạt nhân của môn Toán là số học (số tự
nhiên, phân số, số thập phân). Các nội dung cơ bản về đại lượng; các yếu tố đại số và
thống kê; các yếu tố hình học; giải các bài toán có lời văn được sắp xếp gắn bó với hạt
nhân số học tạo ra sự hỗ trợ lẫn nhau giữa các nội dung đó của môn toán.
Cấu trúc nội dung hạt nhân số học của môn Toán cùng với các nội dung khác là
cấu trúc theo kiểu đồng tâm. Nhờ cấu trúc sắp xếp này mà các nội dung của môn Toán
được củng cố thường xuyên và được phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó.
Trong SGK Toán ở các lớp đều có phần ôn tập bổ sung ở đầu năm học, hệ thống hoá ở
cuối năm học. Ngoài các tiết dạy học kiến thức mới và luyện tập để củng cố kiến thức
mới còn có các tiết luyện tập chung để ôn tập củng cố kiến thức và kĩ năng trong từng
giai đoạn học tập.
I.1.3. Nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học


Môn Toán ở Tiểu học bao gồm 5 tuyến kiến thức chính là:
-

Số học.

-

Yếu tố đại số và thống kê.

-

Yếu tố hình học.

-

Đại lượng và đo đại lượng.

-

Giải toán có lời văn.

I.2. Phân tích các yếu tố lôgic trong nội dung chương
trình môn Toán ở bậc Tiểu học
I.2.1. Mệnh đề
Mệnh đề là yếu tố được thể hiện xuyên suốt trong nội dung chương trình môn
Toán ở bậc Tiểu học. Cụ thể nó thể hiện ở từng lớp như sau:
(1). Lớp 1
a. Một số mệnh đề
ở lớp 1, mệnh đề được đưa ra dưới dạng những khẳng định đơn giản, khẳng
định đúng, thể hiện bằng ký hiệu toán học hoặc phát biểu bằng lời.
VD1:

1<2

1+1=2

Một bé hơn hai

Một cộng một bằng hai

b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề
VD2: Điền đúng (Đ) hoặc sai (S ) vào chỗ trống:
Điểm A ở trong hình tam giác.
Điểm B ở ngoài hình tam giác.

C.

Điểm E ở ngoài hình tam giác.

.A

Điểm C ở ngoài hình tam giác.

.B

.I

Điểm D ở trong hình tam giác.
Điểm I ở ngoài hình tam giác .

.D

(2). Lớp 2
a. Một số mệnh đề
VD3:

A

B

C

Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.
A, B, C là ba điểm thẳng hàng.
b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề

.E


VD4: Khoanh vào chữ đặt trước giá trị đúng:
x+5=5
A. x = 5

C. x = 0

B. x = 10

D. x = 1

(3). Lớp 3
a. Một số mệnh đề
VD5: a. Ba trăm nhân hai bằng sáu trăm
300 x 2 = 600
b. Mười tám chia chín bằng hai
18 : 9 = 2
b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề

VD6: Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng:
Trong các phép chia có dư với số chia là 3, số dư lớn nhất của các phép chia đó
là:

A. 3

C. 1

B. 2

D. 0

(4). Lớp 4
a. Một số mệnh đề
Các mệnh đề được đưa ra ở lớp 4 vẫn chủ yếu là những khẳng định đúng, tuy
nhiên, mệnh đề đã khái quát hơn. Để đưa ra được những mệnh đề đó (dưới dạng một
quy tắc, một kết luận) học sinh cần qua một số ví dụ hoặc qua một số các thao tác tư
duy.
VD7: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tích thì tích không thay đổi.
b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề
VD8: Điền số thích hợp vào ô trống
a.3 x 5 =

x 3

b. 2 m 4 dm = dm
(5). Lớp 5
a. Một số mệnh đề
VD9: - Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1.

- Hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau.
b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề


VD10: Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: 0,75 m đọc là:
Không phảy bảy mươi lăm mét khối.
Bảy mươi lăm phần trăm mét khối.
Không phảy bảy trăm năm mươi mét khối.
I.2.2. Hàm mệnh đề
Hàm mệnh đề được khái quát từ các mệnh đề, có tính trừu tượng và khái quát hơn
mệnh đề. Hàm mệnh đề xuất hiện trong nội dung chương trình môn toán ở tiểu học từ
chưa khái quát đến khái quát hơn theo các lớp. Trong quá trình học tập, việc lĩnh hội các
tri thức dạng này đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
Sau đây là một số ví dụ về hàm mệnh đề ở các lớp Tiểu học.
(1). Lớp 1
VD1: Hàm mệnh đề được trình bày một cách đơn giản, tường minh:
0+1=1
1+0=1
1+0=0+1
Học sinh ngầm hiểu một số cộng với 0 vẫn bằng chính nó. Tuy nhiên hàm
mệnh đề này không được phát biểu, trình bày dưới dạng tổng quát là :
a N a + 0 = a

(2). Lớp 2
Hàm mệnh đề bắt đầu thể hiện có tính khái quát ở dạng các quy tắc :
VD2: Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ.
Tuy nhiên cũng vẫn có nội dung còn gắn với cái cụ thể:
VD3:
a. 5 + 7 = 12

b. 0 x 2 = 0

7 + 5 = 12

2x0=0

(3). Lớp 3
ở lớp 3, yếu tố hàm mệnh đề tiếp tục thể hiện có tính khái quát dưới dạng các
quy tắc, các cách tính nhiều hơn ở lớp 2: quy tắc tính chu vi, diện tích hình chữ nhật,
gấp một số lên nhiều lần, giảm một số đi nhiều lần,
VD4: Muốn gấp một số lên nhiều lần, ta lấy số đó nhân với số lần.
Muốn tính chu vi hình vuông, ta lấy độ dài một cạnh nhân với 4.
(4). Lớp 4


Hàm mệnh đề tiếp tục thể hiện dưới dạng khái quát hơn. Nó được thể hiện
thông qua một số biểu thức chúa chữ, công thức, phương pháp giải các bài toán điển
hình, một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
VD5:

a. a + b = b + a.
b. Số bé = (tổng hiệu) : 2
c. Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

(5). Lớp 5
Hàm mệnh đề ở lớp 5 chủ yếu thể hiện ở các quy tắc, các công thức
VD6: Công thức tính chu vi hình tròn: C = d x 3,14
I.2.3. Định nghĩa, khái niệm
Trong nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học, yếu tố định nghĩa, khái
niệm đa số được trình bày dưới dạng những biểu tượng, mô hình trực quan.

Sau đây là một vài ví dụ cụ thể.
(1). Lớp 1
VD1:

A
Hình vuông

Hình tam giác

B
Đường thẳng AB.

(2). Lớp 2:
B

A

B

D

D

C

Hình chữ nhật ABCD

A

C

Đường gấp khúc ABCD


Tuy nhiên, cũng có những khái niệm được trình bày tương đối khái quát như:
khái niệm về chu vi hình tam giác, hình tứ giác
VD3 : Tổng độ dài các cạnh của một tam giác là chu vi của hình đó.
(3). Lớp 3
VD4:

M

C

A

O

B

P

Góc vuông

N

Góc không vuông

E

D

Góc không vuông

Ngoài ra, Khái niệm hình chữ nhật, hình vuông được trình bày tương đối khái
quát:
VD5: Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn
bằng nhau.
(4). Lớp 4
VD6: a + 5 là biểu thức có chứa một chữ.
a + b + c là biểu thức có chứa ba chữ
(5). Lớp 5
VD7: Đoạn thẳng nối 2 điểm của đường tròn và đi qua tâm 0 là đường kính của
hình tròn.
O
A

B

I.2.4. Các phép suy luận
(1). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 1:
a. Suy luận ngược dựa trên cơ sở thuật toán
VD1 : 3 + 5 = 8
8-3 = 5
8-5 = 3
b. Suy luận vị từ cùng loại:
VD2 : Có : 10 quả bóng
Cho :

3 quả bóng

Còn : quả bóng
c. Suy luận lôgic


VD3: Viết các số : 7, 2, 5, 9, 8 theo thứ tự :
a, Từ bé đến lớn
b, Từ lớn đến bé.
d. Phép quy nạp
VD4:

1 ô tô ít hơn 2 ô tô
1 hình vuông ít hơn 2 hình vuông.
Kết luận: 1 bé hơn 2.

(2). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 2:
Ngoài các phép suy luận đã được trang bị ở lớp 1 thì ở lớp 2 đuợc trang bị thêm
một số phép suy luận sau:
a) Suy luận vị từ khác loại:
VD5:

1 thuyền :

4 người

20 thuyền : người?
b) Phép tương tự
VD6: Viết tổng thành tích (theo mẫu)
Mẫu

2+ 2 + 2 + 2 = 2 x 4
7+7

=

8+ 8 + 8

=

(3). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 3
Các phép suy luận đã được trang bị ở lớp 1, lớp 2 tiếp tục được củng cố và phát
triển ở mức độ cao hơn.
a) Phép suy luận ngược dựa trên cơ sở thuật toán
VD7: Tính:

6x5=
30 : 5 =
30 : 6 =

b) Suy luận tương tự:
VD8: Tính (theo mẫu)
Mẫu: 3 x 4 +10 = 12 + 10
= 22
5 x 5 + 18 =


5 x 7 - 26 =
c) Suy luận vị từ cùng loại
VD9: Ngày T1 bán : 415 kg gạo
Ngày T2 bán : 325 kg gạo

Cả 2 ngày bán : kg gạo?
d) Suy luận vị từ khác loại
VD10: Có

:4 thuyền

Mỗi thuyền :5 người
Tất cả

: người?

e) Phép phân tích tổng hợp
VD11: Xếp 4 hình tam giác thành con cá

( 4). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 4
Các phép suy luận đã được trang bị ở lớp 1,2,3 được củng cố và phát triển ở
mức độ cao hơn. Ngoài ra, học sinh còn được trang bị phép quy nạp không hoàn toàn
trong việc hình thành một số tri thức:
- Nhân nhẩm với 9, 11.
- Tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân
(5). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 5
ở lớp 5 các phép suy luận được thể hiện ở mc độ đa dạng, phức hợp nhiều
phép suy luận để giải quyết một vấn đề.
I.2.5. Chứng minh
Phép chứng minh ở Toán Tiểu học không được gọi tên cụ thể mà được thể hiện
ẩn dưới dạng các bài toán. Quá trình giải bài toán để đi đến kết quả cuối cùng cũng
tương ứng với phép chứng minh. ở Tiểu học thường sử dụng phép chứng minh trực


tiếp, phép chứng minh gián tiếp thường chỉ thể hiện trong những bài toán phức tạp hay

toán nâng cao khi bồi dưỡng học sinh giỏi (Yếu tố chứng minh trong hình học). Giải
xong một bài toán là tương ứng với việc thực hiện xong môt phép chứng minh.
Yếu tố chứng minh trong hình học ở Toán Tiểu học ít, thường thể hiện bằng
trực quan cụ thể phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh tiểu học.
VD: ở lớp 3, để chứng minh (chỉ ra) góc vuông hay không vuông trong một
hình, học sinh chứng minh bằng cách sử dụng êke dể kiểm tra rồi kết luận.
Qua việc nghiên cứu, phân tích các yếu tố lôgic thể hiện trong chương trình
SGK Toán Tiểu học, tôi nhận thấy:
+ Các yếu tố lôgic: Mệnh đề, hàm mệnh đề, các phép suy luận, chứng minh,
các phép toán lôgic, định nghĩa, khái niệm đã được trình bày trong SGK Toán tiểu học
tuy nhiên nó không được trình bày thành chương, bài riêng mà trình bày lồng ghép với
các nội dung khác của Toán Tiểu học. Điều đó vừa thể hiện tính khoa học vừa đảm
bảo tính sư phạm.
+ Các yếu tố lôgic nêu trên trong Toán Tiểu học không được gọi tên một cách
tường minh mà chủ yếu được trình bày thông qua các bài tập. Việc không gọi tên các
yếu tố lôgic trên là do đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học tuy nhiên điều này
cũng hạn chế việc hình thành và phát triển tư duy lôgic của các em.
II. Vận dụng các yếu tố lôgic trong giải toán ở tiểu học
II.1. Mệnh đề, Hàm mệnh đề
Như ở trên đã nói, yếu tố mệnh đề, hàm mệnh đề được trình bày ở Tiểu học
thường ở dưới dạng những khẳng định đúng, đơn giản. Những bài toán liên quan đến
mệnh đề, hàm mệnh đề thường ở dưới dạng xác định giá trị chân lý của mệnh đề, hàm
mệnh đề; thành lập mệnh đề, hàm mệnh đề đúng với những dạng bài toán cơ bản:
1. Điền đúng, sai
2. Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng
3. Nối kết quả với phép tính
4. Điền giá trị thích hợp
5. Điền dấu <, =, > vào chỗ trống
Những dạng bài cơ bản trên xuất hiện chủ yếu trong SGK Toán Tiểu học tất cả
các lớp hầu hết các tiết học. Để học sinh có thể làm đúng được các bài tập này, giáo

viên cần hướng dẫn học sinh giải theo trình tự các bước để học sinh có thể hiểu được
bản chất của các bài tập.
II.1.1. Dạng bài điền đúng, sai.
Đây là dạng bài đơn giản thường gặp. Từ những yếu tố của đầu bài, để điền
được Đ hay S vào ô trống (xác định giá trị chân lý của mệnh đề), học sinh có thể thực
hiện như sau:
- Bước1: Thực hiện phép tính đã cho (nhẩm hoặc nháp)
- Bước 2: Đối chiếu với kết quả đã cho ở đầu bài
- Bước 3: Điền Đ hay S vào ô trống.
- Bước 4: Kiểm tra
VD1: BT4 (Trang 163 SGK T1)
Đúng điền Đ, sai điền S vào ô trống

15 + 2

6 + 12

31 + 10

21 + 22

41

17

19

42

Cũng có khi không cần thực hiện phép tính học sinh cũng có thể nhận ra được
phép tính đó là đúng hay sai bằng cách nhận xét cách đặt tính, cách tính.
Hoặc để điền được Đ hay S học sinh cần phải nắm vững về cấu tạo số
VD2: BT4 (Trang 139 - SGK T1)
a) Ba mươi sáu viết là 306



Ba mươi sáu viết là 36



b) 54 gồm năm chục và bốn đơn vị
54 gồm 5 và 4




II.1.2. Dạng bài điền dấu <, =, > vào chỗ trống
Đây là dạng bài thiết lập mệnh đề đúng.
Thực chất dạng bài này là so sánh 2 số (2 giá trị ở 2 vế).

+ Dạng 1: So sánh 2 số.