Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp vẽ thêm một số yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7

Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Phần I - Đặt vấn đề
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp
thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải
pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách
quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên
không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn
lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục phổ thông
nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng,
nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất
cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực
cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t duy của ngời học vào vấn đề mà họ
cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu
cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của ngời học từ đó phát triển,
phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các
em là những đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo h-
ớng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu
cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với
đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trớc
vấn đề đó ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác,
xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học
trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh,
xây dựng cho học sinh một hớng t duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhng ngợc lại,
giải quyết đợc điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên
một phong cách và phơng pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hớng t
duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán.
============================================================

Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Phần II - Nội dung đề tài
I/ Những lý do chọn đề tài.
Trong khi tìm phơng pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà
nếu không vẽ thêm đờng phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đờng phụ
thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên
thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới
tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải
toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phơng pháp chung nhất
cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải
toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt đợc mục đích là tạo điều kiện
để giải đợc bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ
ttieen. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng
hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi ngời giáo viên đã tìm
ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu đợc
vì sao lại phải vẽ nh vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ
ra đợc cách vẽ đờng phụ nh vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác
không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm nh vậy mới giải đợc bài toán? gặp phải tình
huống nh vậy, quả thật ngời giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có
khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ đợc cách làm khi gặp bài
toán tơng tự vì các em cha biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ
thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt
khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dỡng khả năng t duy tổng quát cho
học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhng cơ sở của việc vẽ thêm đ-
ờng phụ và một số phơng pháp thờng dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận
biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp
xúc với một bài toán, các em có thể chủ động đợc cách giải, chủ động t duy

tìm hớng giải quyết cho bài toán, nh vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
I - Cơ sở lý luận.
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và
một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ
bản trong chơng trình THCS:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
- Dựng đờng tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đờng tròn ( A; b) với tia Ax.
- dựng đờng tròn (A; c) và đờng tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam
giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
- Chú ý: Nếu hai đờng tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng đ-
ợc tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trớc.
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trớc. Dựng đờng tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta đ-
ợc OAB.
- Dựng O A B = OAB ( c- c- c) nh bài toán 1, ta đợc
O

'O

=
.

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trớc.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
c
b
a
A
x
C
B
b
a
c
y
x
O
A
B
y
x
O
A
B
O
A
B
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.

- Dợng các đờng tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia phân giác
phân giác của xAy.
Thật vậy: ABD = ACD ( c- c- c)
21
A

A

=
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng hai đờng tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao
điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đờng trung trực của đoạn thẳng cho trớc.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng
a cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đờng trung trực của AB.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
x
y
z
A
B
C
D
r
r

r
r
1
2
C
D
BA
O
D
BA
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần
nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đờng phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đ-
ờng cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
I - Cơ sở thực tế
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra đợc các cặp cạnh tơng
ứng bằng nhau, các cặp góc tơng ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc
chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng
nhau) ta thờng làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc)
thuộc hai tam giác nào?
Bớc 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bớc 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tơng
ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có
cũng đợc cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới

xuất hiện đợc các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu
cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm đợc các yếu
tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực
tế giảng dạy tôi đã tích luỹ đợc một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết
thực, khi hớng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
phần III: một số phơng pháp vẽ yêú tố phụ.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng
nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm
của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh
AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hớng suy nghĩ:
ABC cân tại A AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB.
Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
GT
ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
AB
2
1

DBDA
==
; DH
BC
DH = 4 cm
KL
ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =
6BC
2
1
=
cm.
Lại có: BD =
AB
2
1
= 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét HBD có: BHD = 90
0
( gt), theo định lí Pitago ta có:DH
2
+ BH
2
= BD
2
BH
2
= BD
2

- DH
2
= 5
2
4
2
= 9 BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
DH // AK ( đờng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh
thứ 3).
Ta có: DH BC, DH // AK AK BC.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
A
B
C
H
K
D
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Xét ABK và ACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
AKB = AKC = 90
0
AK là cạnh chung
ABK = ACK (c g c)
AB = AC ABC cân tại A.
4) Nhận xét:

Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai
tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK,
việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác ,
đờng thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với
cạnh thử ba, kiến thức về đờng trung bình này học sinh sẽ đợc nghiên cứu
trong chơng trình toán 8 nhng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh
đợc, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết
quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ
thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có
C

B

=
; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải
bằng cách vận dụng trờng hợp bằng nhau góc cạnh góc của hai tam
giác).
!) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có
C

B

=
; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
2) Hớng suy nghĩ:
Đờng phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I BC)
3) Chứng minh:
GT

ABC;
C

B

=
KL AB = AC
Vẽ tia phân giác AI của BAC (I BC).

BAC
2
1
A

A

21
==
. (1) Mà
C

B

=
( gt)
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
B
C

I
1
2
1
A
B
C
I
1
2
1
2