bài tập dao động kỹ thuật

k1 = 3k , k2 = k3 = k , m1 = 3m, m2 = m3 = m

&
3mx&
1 + 4 kx1 kx2 = 0

M1
2
&
mx&
2 kx1 + 2kx2 kx3 = 0
mx&
1
3 kx2 + kx3 = 0
&

Bi 1:

k2

1. Lp phng trỡnh vi phõn chuyn ng
+ Nhn xột: õy l h dao ng ba bc t do b qua cn

q1 = x1 , q2 = x2 , q3 = x3

k3
hay

0 x1 c3 0

2c2

k k x2 = 0
k k x3 0
k

x&
3m 0 0 k1 &
4k
1

0 m 0 &
&

x2 + k
c1
0
0 0 m &
x&
3


+ Chn ta suy rng:
l cỏc
chuyn v tớnh t v trớ cõn bng tnh
+ p dng phng trỡnh Lagrange loi II thit lp phng
trỡnh chuyn ng cho c h:
d L L
= 0; j = 1, 2,3

ữ
dt q&j ữ

q j

T=

1
1
1
m1 x&12 + m2 x&22 + m3 x&32
2
2
2

Bi 2

+ Tớnh ng nng ca h:
+ Tớnh th nng ca h:

1
1
1
2
2
= k1 x12 + k2 ( x2 x1 ) + k3 ( x3 x2 )
2
2
2

+ Hm Lagrange:

L =T

k1 = 3k , k 2 = k3 = k , m1 = 3m, m2 = m3 = m

Thay

1. Lập hệ phơng trình vi phân chuyển động:
Chọn các toạ độ suy rộng: q1 = 1 và q2 = 2

1
1 &2
2
T = J1&
J 22
1 +
2
2

ta cú:
3
1
1
3
1
1
2
2
L = mx&12 + mx&22 + mx&32 kx12 k ( x2 x1 ) k ( x3 x2 )
2
2
2

2
2
2

Động năng của hệ là:

1
1
1
= k112 + k2 (2 1 ) 2 + k322
2
2
2

j = 1, q1 = x1 , q&1 = x&1
Vi
, ta cú:



L
d L
&
= 3mx&1
ữ = 3mx&
1
q&1
dt q&1

&

3mx&
1 + 4kx1 kx2 = 0
L

= 3kx1 + k ( x2 x1 )

q1

j = 2, q2 = x2 , q&2 = x&2
+ Vi

, ta cú:


L
d L
&
= mx&2
ữ = mx&
2
q&2
dt q&2

&
mx&
2 kx1 + 2kx2 kx3 = 0
L

= k ( x2 x1 ) + k ( x3 x2 )

q2

j = 3, q3 = x3 , q&3 = x&3
+ Vi

, ta cú:


L
d L
&
= mx&3
ữ = mx&
3
q&3
dt q&3

&
mx&
3 kx2 + kx3 = 0
L

= k ( x3 x2 )

q3

+ Phng trỡnh chuyn ng ca h:

Thế năng :

1 2 1
& 2 1 c &2
= c1&
c2 (&
1 +
2 1 ) +
3 2
2
2
2
Hàm tiêu tán:

d L L
+
=0

ữ
&
dt q&j ữ

q

q
j
j

phơng trình Lagrăng:
Với L = T =

1 &2 1 &2 1 2

1
1
J11 + J 22 k11 + k2 (2 1 )2 k322
2
2
2
2
2
Ta đợc:

(

)

&
&
& &
J1&
1 + k11 k2 (2 1 ) + c11 c2 2 1 = 0

&+ k ( ) + k + c & & + c & = 0
J 2&
2
2
2
1
3 2
2
2
1

3 2

(

)

&+ ( c + c ) & c &+ (k + k ) k = 0
J1&
1
1
2
1
2 2
1
2 1
2 2

&
&
&
&
J 22 c21 + ( c2 + c3 ) 2 k 21 + (k2 + k3 )2 = 0
t đới dạng ma trận ta có:
& (c + c ) c & (k + k ) k 0
J1 0 &
1
2
1
2
1

+ 1 2
+ 1 2
=

0 J &
& c2 (c2 + c3 ) & k2 (k 2 + k3 ) 2 0


2
2
2
2. Tìm tần số riêng và dạng riêng:

Viế


các tần số riêng ω1 vµ ω2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng:

[

]

det [ K ] − ω [ M ] = 0
2

 (k1 + k 2 )
⇔ 
 − k2

− k2


 J1 0  3k1 − ω 2 J1
−2k1
−ω2 
=0

=
2
(k2 + k3 ) 
0
J
−
2
k
5
k

2
1
1 − 2ω J 1

1
1
R = c1 x&12 + c2 ( x&2 − x&1 )2
2
2
+ Hàm hao tán:
+ Hàm Lagrange:

1
1
1
1
2
L = T − Π = m1 x&12 + m2 x&22 − k1 x12 − k2 ( x2 − x1 )
2
2
2
2

⇒ 2 J12ω 4 − 11J1k1 + 11k12 = 0
Thay k1= 100Nm/rad, J1= 0.5kgm ; c1 = c2 = 30Nms, c3 = 2.5c1
ω1 = 16.11rad / s

ω2 = 28.91rad / s
2

k2= 2k1; k3=1.5k2 vµ J1=J2=J. giải ra ta được:
* Tìm dạng riêng

[[ K ] − ω [ M]]A
2
j

A1 j 
 = { 0}
 2 j 

Từ phương trình

- Dạng riêng thứ nhất:

j = 1, q1 = x1 , q&1 = x&1
+ Với

, ta có:


∂L
d  ∂L 
= m1 x&
x&

÷ = m1&
1 ⇒
1
∂q&1
dt  ∂q&1 


∂L
&
&
= − k1 x1 + k2 ( x2 − x1 )
x&
 ⇒ m1 &
1 + (c1 + c2 ) x1 − c2 x2 + ( k1 + k 2 ) x1 − k2 x2 = F1 (t )
∂q1



∂R
= c1 x&1 − c2 ( x&2 − x&1 )

∂q&1


j = 2, q2 = x2 , q&2 = x&2
+ Với

(3k1 − ω 2 J1 ) A11 −2k1 A21 = 0
3k1 − ω 2 J1
−2k1   A11 

∂L
d  ∂L 
= m2 x&2 ⇒ 
x&
 = 0⇔ 

÷ = m2 &
2
2 
2
dt  ∂q&2 
5k1 − 2ω J1   A21 
 −2k1

 −2k1 A11 (5k1 − 2ω J1 ) A21 = 0 ∂q&2
Thay ω1 = 16.11, k1= 100Nm/rad, J1= 0.5kgm ta có dạng riêng
 1 

{ ϕ} 1 = C1   cos ( 16.11t + ϕ1 )
0.85
thứ nhất
Tương tự thay ω2 = 28.91 rad/s ta có dạng riêng thứ hai
2

{ ϕ} 2

 1 
= C2 
 cos ( 28.91t + ϕ2 )
−0.59

Bài 3

, ta có:


&
&
x&
 ⇒ m2 &
2 − c2 x1 + c2 x2 − k 2 x1 + k 2 x2 = F2 (t )





∂L
= − k2 ( x2 − x1 )

∂q2
∂R
= c2 ( x&2 − x&1 )
∂q&1

+ Phương trình chuyển động của hệ:

&
&
x&
 m1&
1 + (c1 + c2 ) x1 − c2 x2 + ( k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = F1 (t )

&
&
x&
 m2 &
2 − c2 x1 + c2 x2 − k2 x1 + k 2 x2 = F2 (t )
+ Viết dưới dạng ma trận:

x2 F2(t)

m2

[ M ] =  01

x1 F1(t)

m1



Với
c1

k1

1. Xây dựng phương trình vi phân chuyển động
Đây là hệ dao động cưỡng bức có cản 2 bậc tự do. Chọn tọa độ

q1 = x1 , q2 = x2

suy rộng:
là các dịch chuyển của m1, m2 tính từ
vị trí cân bằng tĩnh. Áp dụng phương trình Lagrange loại II để
thiết lập phương trình chuyển động cho cơ hệ:

d  ∂L  ∂L ∂R
−
+
= Q aj ; j = 1, 2

÷
÷
dt  ∂q&j  ∂q j ∂q&j
1
1
2
m1 x&
m2 x&22

1 +
2
2

1
1
2
Π = k1 x12 + k2 ( x2 − x1 )
2
2

 c1 + c2
 −c2

0
m2 

[ C] = 

−c2 
c2 

;

 k1 + k2
 − k2

[ K] = 

−k 2 

k2 

 F1 (t ) 

 F2 (t ) 

{ F} = 

2. Tìm tần số riêng

k + k
det([ K ] − ω 2 [ M ] ) = 0 ⇔  1 2
 −k2
⇔

k1 + k2 − m1ω 2
− k2

−k 2 
m
− ω2  1

k2 
0

0
=0
m2 

−k2

=0
k2 − m2ω 2

⇔ (k1 + k2 − m1ω 2 )( k2 − m2ω 2 ) − k24 = 0
Thay số m1 = 8kg; m2 = 2kg ; k1 = 2000N/m ; k2 = 1000N/m
⇔ (3000 − 8ω 2 )(1000 − 2ω 2 ) − 106 = 0

+ Động năng của hệ:

+ Thế năng của hệ:

−k 2   x1   F1 (t ) 
 =

k 2   x2   F2 (t ) 

Hay

m

T=

−c2   x&
 k1 + k 2
1
 +
c2   x&2   − k 2

x&
} + [ C ] { x&} + [ K ] { x} = { F }

[ M ]{ &

c2

k2

x&
0  &
 c1 + c2
1
 +
m2   &
x&
 − c2
2

 m1
0


⇔ 16ω 4 − 14000ω 2 + 2.106 = 0
Ta có


2
ω2 = 695, 2( rad / s) ⇒ ω2 = 26,36( rad / s)
⇒ 2
ω1 = 179,8( rad / s) ⇒ ω1 = 13, 4(rad / s)

Π=

+ Thế năng của hệ:

1
1
1
R = c1 x&12 + c2 ( x&2 − x&1 )2 + c3 x&22
2
2
2

3. Tìm dạng riêng
Các dạng riêng có dạng

1 
 cos(ω j t + α j )
 2j

{ x} j = { A} j cos(ω j t + α j ) = C j v
{ A} j ; ω j
Trong đó

thỏa mãn phương trình

[ K ] − ω 2 [ M ]  { A}

1 
= 0 ⇔ [ K ] − ω 2 [ M ]  C j   = 0
v2 j 

⇒ v2 j =

j

k1 + k2 − ω 2j m1
k2

Thay số vào ta có

ω12 = 179,8(rad / s ) ⇒ v21 = 1,56

+ Hàm hao tán:
+ Hàm Lagrange:

1
1
1
1
1
2
L = T − Π = m1 x&12 + m2 x&22 − k1 x12 − k 2 ( x2 − x1 ) − k3 x22
2
2
2
2
2

j = 1, q1 = x1 , q&1 = x&1
+ Với

j = 2, q2 = x2 , q&2 = x&2

ω22 = 695, 2(rad / s ) ⇒ v22 = −2,56

+ Với

1 
 cos(13, 4t + α1 )
1,56 

{ x} 1 = C1 

 1 
 cos(26,36t + α 2 )
−2, 56

{ x} 2 = C2 

+ Phương trình chuyển động của hệ:

&
&
x&
m1&
1 + (c1 + c2 ) x1 − c2 x2 + (k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = 0

&
&
x&
2 − c2 x1 + (c2 + c3 ) x2 − k 2 x1 + (k 2 + k 3 ) x2 = 0
m2 &

C1 ; C2 ; α1 ; α 2
được xác định từ điều kiện đầu



1 
−2,56

+ Viết dưới dạng ma trận:

c2

k1

k2
x1

m

x2

[ M ] =  01


Với

 k1 + k2
 −k2



2. Tìm tần số riêng
k + k
det([ K ] − ω 2 [ M ] ) = 0 ⇔  1 2
 −k2
⇔

2

−c2 
c2 + c3 

− k2 
k2 + k3 

Chọn tọa độ suy rộng:
là các dịch chuyển của
m1, m2 tính từ vị trí cân bằng tĩnh. Áp dụng phương trình
Lagrange loại II để thiết lập phương trình chuyển động cho cơ
hệ:

+ Động năng của hệ:

[ C ] =  1−c
;

[ K] = 

q1 = x1 , q2 = x2

c + c2

0
m2 

1. Xây dựng phương trình vi phân chuyển động
Đây là hệ dao động tự do có cản 2 bậc tự do

1
1
T = m1 x&12 + m2 x&22
2
2

−k2   x1  0 
 = 
k2 + k3   x2  0 

Hay
k3

d  ∂L  ∂L ∂R
+
= Q aj ; j = 1, 2

÷−
&
dt  ∂q&j ÷
∂

q
∂
q
j
j


−c2   x&1   k1 + k2
 +
c2 + c3   x&2   − k2

x&
} + [ C ] { x&} + [ K ] { x} = { F }
[ M]{ &

c3
m2

m1

x&
0  &
 c1 + c2
1
 +
m2   &
x&
 −c2
2

 m1
0


Ma trận dạng riêng:
Bài 4
c1

, ta có:


∂L
d  ∂L 
= m2 x&2 ⇒ 
x&
÷ = m2 &
2
∂q&2
dt  ∂q&2 


∂L
&
&
= − k2 ( x2 − x1 ) − k3 x2
x&
 ⇒ m2 &
2 − c2 x1 + (c2 + c3 ) x2 − k 2 x1 + (k 2 + k3 ) x2 = 0
∂q2



∂R
= c2 ( x&2 − x&1 ) + c3 x2

&
∂q1


Ta có các dạng riêng

 1

, ta có:


∂L
d  ∂L 
= m1 x&1 ⇒ 
x&
÷ = m1 &
1
∂q&1
dt  ∂q&1 

∂L

&
&
= −k1 x1 + k 2 ( x2 − x1 )
x&

 ⇒ m1&
1 + (c1 + c2 ) x1 − c2 x2 + ( k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = 0
∂q1


∂R
= c1 x&1 − c2 ( x&2 − x&1 )

∂q&1


Với

[ v ] = 1,56

1 2 1
1
2
k1 x1 + k2 ( x2 − x1 ) + k3 x22
2
2
2

k1 + k2 − m1ω 2
− k2

−k2 
m
−ω2  1


k2 + k3 
0

0
=0
m2 

−k2
=0
k2 + k3 − m2ω 2

⇔ (k1 + k2 − m1ω 2 )(k 2 + k3 − m2ω 2 ) − k 24 = 0
Thay số m1 = m2 = 1kg ; k1 = k2 = k3 = k= 100N/m
⇔ (200 − ω 2 )(200 − ω 2 ) − 10 6 = 0 ⇔ ω 4 − 400ω 2 + 3.10 4 = 0
Ta có


2
ω = 300( rad / s) ⇒ ω2 = 17,32( rad / s)
⇒  22
ω1 = 100( rad / s) ⇒ ω1 = 10( rad / s )

3. Tìm dạng riêng
Các dạng riêng có dạng

Π=
+ Tính thế năng của hệ:
+ Hàm Lagrange:

L =T −Π =

1 
 cos(ω j t + α j )
2
j
 

{ x} j = { A} j cos(ω j t + α j ) = C j v

1 &2 1 &2 1 2 1
2
J1θ1 + J 2θ 2 − k1θ1 − k2 ( θ2 − θ1 )
2
2
2
2

j = 1, q1 = θ1 , q&1 = θ&
1
+ Với

{ A} j ; ω j
Trong đó

1 2 1
2
k1θ1 + k2 ( θ 2 − θ1 )
2
2

thỏa mãn phương trình

1 
[ K ] − ω 2 [ M ]  { A} j = 0 ⇔ [ K ] − ω 2 [ M ]  C j   = 0
v2 j 
2
k1 + k2 − ω j m1
⇒ v2 j =
k2

, ta có:

∂L
d  ∂L 
&
= J1θ&

÷ = J1θ&
1 ⇒
1
∂q&1
dt  ∂q&1 

&+ (k + k )θ − k θ = 0
 ⇒ J1θ&
1
1
12
1
2 2

∂L

= −k1θ1 + k2 (θ 2 − θ1 )

∂q1

Với

Thay số vào ta có

ω12 = 100(rad / s ) ⇒ v21 = 0,5
Với

ω22 = 300(rad / s ) ⇒ v22 = −0, 5
Ta có các dạng riêng

1 
 cos(10t + α1 )
0, 5

{ x} 1 = C1 

 1 
 cos(17,32t + α 2 )
−0,5

{ x} 2 = C2 

C1 ; C2 ; α1 ; α 2
được xác định từ điều kiện đầu

1 
 1
[ v] = 0,5 −0,5


Ma trận dạng riêng:
Bài 5:

+

j = 2, q2 = θ 2 , q&2 = θ&
2
, ta có:

∂L
d  ∂L 
&
&
= J 2θ&

÷ = J 2θ 2 
2 ⇒
∂q&2
dt  ∂q&2 

&− k θ + k θ = 0
 ⇒ J 2θ&
2
2 1

2 2
∂L

= −k2 (θ 2 − θ1 )

∂q2
+ Phương trình chuyển động của hệ:

&+ (k + k )θ − k θ = 0
 J1θ&
1
1
2 1
2 2
 &
 J 2θ&
2 − k 2θ1 + k 2θ 2 = 0
+ Viết dưới dạng ma trận:

 J1
0


& (k1 + k 2 ) −k2  θ1  0 
0  θ&
1
+

 = 
&  − k2

J 2  θ&
k2  θ 2  0 
2
(1.9)

2) Tìm các tần số riêng
+ Dùng phương pháp giải phương trình tần số:
 ( k + k ) −k 2 
J
det [ k ] − ω 2 [ m ] = 0 ⇔  1 2
− ω2  1

k2 
 −k2
0

0
=0
J 2 

⇔ J1.J 2ω 4 − ( J1k2 + J 2 k1 + J 2 k2 )ω 2 + k22 = 0

1) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động
+ Nhận xét: Đây là hệ xoắn hai bậc tự do bỏ qua cản

q1 = θ1 , q2 = θ 2

+ Chọn tọa độ suy rộng:
là các chuyển vị góc
tính từ vị trí cân bằng tĩnh

+ Áp dụng phương trình Lagrange loại II để thiết lập phương
trình chuyển động cho cơ hệ:
d  ∂L  ∂L
= 0; j = 1, 2

÷−
dt  ∂q&j ÷
 ∂q j

T=
+ Tính động năng của hệ:

1 &2 1 &2
J1θ1 + J 2θ 2
2
2