Tìm hiểu phương trình schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy phổ thông

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, tôi đã hoàn thành khoá luận của mình với
tên đề tài “ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ một electron và áp
dụng vào giảng dạy phổ thông ”. Trong quá trình thực hiện khoá luận tôi đã
nhận được rất nhiều sự giúp đỡ của các thầy cô, bạn bè và những người thân
yêu.
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – Th.S Đăng Thị
Thu Huyền, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình xây dựng và
hoàn thiện đề tài.
Tôi xin cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trong khoa Hóa học –
Trường Đại Học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình dậy dỗ tôi trong suốt 4 năm
đại học.
Tôi cũng cảm ơn gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện
khoá luận.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian có hạn nên khóa luận của tôi
không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp
của các thầy cô và các bạn để đề tài càng hoàn thiện và mang lại hiệu quả cao
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Dương Thị Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài: “ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ
một electron và áp dụng vào giảng dạy phổ thông ” là công trình nghiên cứu

của riêng tôi với sự hướng dẫn của Th.S Đăng Thị Thu Huyền. Kết quả
nghiên cứu của đề tài là hoàn toàn trung thực, không trùng với kết quả nghiên
cứu của tác giả khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Dương Thị Hạnh

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU......................................................................................
1. Lí do chọn đề tài......................................................................................
2. Nội dung………………………………………………………………
PHẦN II: NỘI DUNG................................................................................
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN……………………………………………
1.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TỔNG QUÁT........................
1.1.1. Đôi nét về Schrodinger .................................................................
1.1.2 Phương trình Schrodinger tổng quát............................................
1.1.2.1. Một số khái niệm...................................................................
1.1.2.2. Nội dung.............................................................................
1.1.2.3. Phương trình Schrodinger tổng quát
1.1.3 Hệ tọa độ cầu.........................................................................
1.2. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỐI VỚI HỆ MỘT ELECTRON.

1.2.1.. Mô hình hệ.......................................................................................
1.2.2. Phương trình Schrodinger..................................................................
1.2.3. Các bước giải...................................................................................
1.2.4. Kết quả..............................................................................................
1.2.4.1. Trị riêng.........................................................................................
1.2.4.2. Hàm riêng......................................................................................
1.2.5. Ý nghĩa..............................................................................................

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

1.2.5.1. Số lượng tử chính..........................................................................
1.2.5.2. Số lượng tử obitan.........................................................................
1.2.5.3. Số lượng tử từ obitan....................................................................
CHƯƠNG 2: ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................
4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................
CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN…….............
3.1. Dạng 1: Xác định năng lượng............................................................
3.2. Dạng 2: Dựa vào ý nghĩa của các số lượng tử xác định cấu hình
electron của nguyên tử...........................................................................
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Có thể nói sự ra đời của cơ học lượng tử là một cuộc cách mạng trong các
lĩnh vực khoa học tự nhiên nói chung và vật lí nói riêng.
Cơ học lượng tử cho phép khảo sát bằng lí thuyết các hệ hóa học vi mô từ
electron, nguyên tử cho tới phân tử hay tập hợp lớn hơn một cách chi tiết. Kết
quả của sự khảo sát đó là cơ sở định lượng để giải thích kết quả thực nghiệm
và từng bước hướng dẫn thực nghiệm.
Một trong những cơ sở quan trọng hàng đầu của cơ học lượng tử
là phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng. Chỉ có thể giải được gần đúng
phương trình này khi xét hệ 1electron, 1 hạt nhân ( hệ đơn giản ). Trên cơ sở
kết quả này, một số khái niệm quan trọng của hóa học được hình thành.
Những khái niệm đó không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu mà còn góp phần quan
trọng trong việc cung cấp kiến thức cơ bản phục vụ cho việc học hóa học
được tốt hơn.
Không giống như mô hình của nguyên tử Bo. Các điện tử trong mô hình
sóng là các đám mây điện tử chuyển động trên quỹ đạo và vị trí của chúng
được đặc trưng bởi phân bố xắc xuất chứ không phải là một điểm rời rạc.
Điểm mạnh của mô hình này là nó tiên đoán được các dãy nguyên tố có tính

chất tương tự nhau về mặt hoá học trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá
học. Với chuyên ngành hoá học đặc biệt là hoá học vô cơ đó là những kiến
thức cơ bản để giải thích cấu tạo và tính chất lý hoá học của các nguyên tố

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Cơ học lượng tử và phương trình Schrodinger là một lí thuyết khó, trừu
tượng và phức tạp. Trong trường đại học do điều kiện thời gian, sinh viên
ngành hóa học chưa có điều kiện tìm hiểu sâu về phương trình Srodinger đối
với hệ một electron. Để góp phần làm tăng hiệu quả học tập của mình và giúp
các bạn sinh viên yêu thích lĩnh vực này hiểu biết sâu sắc, tôi mạnh dạn
nghiên cứu đề tài:
“ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ một electron và áp dụng
vào giảng dạy phổ thông ”.

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
1.1. Phương trình Schrodinger tổng quát.
1.1.1. Đôi nét về Schrodinger.
Erwin Schrodinger ( 1887 – 1961 ), nhà vật lý lý thuyết Áo thiên tài của thế
kỉ XX, là người đã góp phần tích cực trong việc xây dựng nền vật lý học hiện đại
trên cơ sở toán học vững chắc. Đóng góp của ông là đã cùng với nhiều nhà vật lý
đương thời góp phần giải quyết cuộc khủng hoảng mà vật lý lý thuyết trải qua từ
năm 1900, mở đầu từ khái niệm lượng tử Plank, sau các công trình Niels Bohr,
Poincare, Esintein và Louis de Broglie, dẫn đến sự tổng hợp rộng rãi giữa hạt và
hàm sóng. Schrodinger đã đề ra hình thức toán học gọi là ba động với phương
trình mang tên ông, là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối
ngày nay.
Schrodinger sinh ngày 12-8-1887 tại Vienna trong một gia đình tri thức.
Năm 11 tuổi ông vào học trường trung học Vienna, ở đó ông học rất xuất sắc cả
về toán lý lẫn văn học, triết học, nghệ thuật, âm nhạc. Năm 1906, ông vào trường
Đại học tổng hợp Vienna, tốt nghiệp đại học 4 năm sau rồi làm việc tại viện vật
lý Vienna. Đệ nhất thế chiến bùng nổ, ông làm sĩ quan pháo binh cho đến năm
1918 mới trở về với sự nghiệp. Năm 1920, ông cưới vợ và bắt đầu giảng dạy đại
học tại Jena, Stuttgart, Breslau. Năm sau ông được cử làm giáo sư thực thụ ở
Zurich. Năm 1926, phát triển sáng kiến tổng hợp của Louis de Broglie về hạt và
sóng, ông đã đề ra một cách biểu diễn mới về cấu trúc của nguyên tử với phương
trình ngày nay mang tên ông khiến cho giới vật lý hết sức chú ý. Năm sau,

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

trường đại học Tổng hợp Berlin mời ông kế nghiệp Max Planck, ở đây ông có
dịp thường xuyên tiếp xúc và trao đổi ý kiến với những nhà vật lý lớn nhất trên
thế giới thời bấy giờ như Einstein, Max von Laue, Hertz và Meitner.
Đóng góp to lớn của ông cho vật lý hiện đại đã mang lại cho ông giải thưởng
Nobel năm 1933 cùng với Paul Dirac. Cũng năm ấy ông nhận lời mời sang dạy ở
nhiều trường đại học ở Anh như Edinburgh, Oxford. Năm 1936, ông trở về nước
nhưng do tình hình chính trị nghiêm trọng ông buộc phải ra đi. Năm 1938, ông
lại trở về giảng dạy ở Ganto và ở Học viện Hoàng gia Dublin rồi năm 1940 làm
giám đốc Viện nghiên cứu mà chính phủ Ireland đặc biệt lập ra để mời ông. Từ
đó ông sống lưu vong ở nước ngoài 17 năm, cho đến năm 1956 mới trở về
Vienna và sống ở thành phố quê hương cho đến cuối đời. Schrodinger mất ngày
4-4-1961 hưởng thọ 74 tuổi, an táng ở Anphbach.
1.1.2.Phương trình Schrodinger.
1.1.2.1. Một số khái niệm.
* Hàm sóng:
- Nội dung: Mỗi một hệ lượng tử được đặc trưng bởi một hàm xác định phụ
thuộc vào toạ độ và thời gian ψ (q, t ) được gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái.
Mọi thông tin về hệ lượng tử chỉ có thể thu được từ hàm sóng ψ (q, t ) mô tả trạng
thái của hệ.
- Các điều kiện về hàm sóng ψ (q ) :
+ Hàm ψ (q) nói chung là một hàm số phức, tức là trong biểu thức của ψ (q) chứa
đơn vị ảo i.
+ Hàm ψ (q) phải là hàm đơn trị: Ứng với mỗi vị trí của hệ lượng tử trong không
gian – tức là ứng với mỗi giá trị của biến số q – chỉ có một khả năng tìm thấy hệ

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

ở vị trí đó, không thể tìm thấy ở vị trí khác mà lại có cùng tạ độ q. Vậy hàm mật
độ xắc suất ψ (q) phải đơn trị. Muốn có kết quả đó thì hàm ψ (q ) phải đơn trị.
2

+ Hàm ψ (q) phải hữu hạn hay giới nội, nghĩa là nó phải có khoảng xác định

[ a, b] trong khoảng xác định này, hàm ψ (q) phải đơn trị.
+ Hàm ψ (q) phải là hàm liên tục: Hệ lượng tử là một thực thể vật chất – luôn
luôn vận động, biến đổi liên tục trong không gian nên hàm ψ (q ) phải là một hàm
liên tục.
+ Hàm ψ (q) phải là một hàm khả vi, tức là lấy được đạo hàm.
* Toán tử:
- Định nghĩa: Toán tử là một phương pháp toán học tác dụng lên một hàm bất kì
chuyển nó thành một hàm khác.
ψ (q ) = ϕ ′(q )
∧
Ta nói toán tử A tác dụng lên hàm ψ (q) cho hàm ϕ ′(q) .

- Các phép tính trên toán tử.
+ Cho 2 toán tử A và B nếu với một hàm ψ bất kì ta có.
∧

∧

∧

S ψ = ( A+ B )ψ
∧

∧

∧

Dψ = ( A− B )ψ
∧

∧

∧

Pψ = A . Bψ
∧

Thì toán tử S : Được gọi là tổng của 2 toán tử A và B.
∧

Toán tử D : Được gọi là hiệu của 2 toán tử A và B.
∧

Toán tử P : Được gọi là tích của 2 toán tử A và B.

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Tổng ( hiệu ) của 2 toán tử có tính chất như tổng ( hiệu ) của 2 số: tính chất giao
hoán, kết hợp.
Tích của 2 toán tử thường không giao hoán cho nhau. Do đó khi viết biểu thức
tích của 2 toán tử cần chú thứ tự của các toán tử đó.
∧ ∧

∧

∧

∧ ∧

∧

∧

A Bψ = A( Bψ )

Ví dụ:

B Aψ = B ( Aψ )

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
+ Giao hoán tử:  A, B  = A B − B A




Nếu  A, B  = 0 thì 2 toán tử A và B giao hoán.


∧

∧



Nếu  A, B  ≠ 0 thì 2 toán tử A và B không giao hoán.


∧

∧

1.1.2.2. Nội dung.
Khi một hệ lượng tử ở trạng thái dừng – là trạng thái mà toán tử Haminton
của hệ không phụ thuộc tường minh vào thời gian – giữa hàm sóng ψ mô tả
trạng thái của hệ với năng lượng toàn phần E và toán tử Haminton của hệ có liên
hệ:
∧

H ψ (q ) = Eψ (q )

(1.1)

Đây là một phương trình hàm riêng, trị riêng, trong đó ψ (q ) là hàm riêng
của H , E là trị riêng của H tương ứng với hàm riêng ψ (q) .
∧

∧

1.1.2.3. Phương trình Schrodinger tổng quát.
Trong cơ học lượng tử, sự biến đổi trạng thái của hệ vật lý vi mô theo thời
gian được xác định bởi phương trình Schrodinger:

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

ih

∂ψ ( q, t ) ∧
= H ψ ( q, t )
∂t

(1.2)

Trường hợp thế năng của hệ không phụ thuộc vào thời gian: U=U(q) ( hệ kín,
hoặc hệ chuyển động trong một trường ngoài không đổi), thì toán tử Haminton
∧

H không phụ thuộc vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng toàn phần
∧

H (q ) , còn trạng thái của hệ là trạng thái dừng: ψ (q, t ) → φ (q ) . Khi đó nghiệm của

phương trình Srodinger có thể tách thành hai thừa số: một thừa số chỉ phụ thuộc
vào tọa độ φ (q) và một thừa số chỉ phụ thuộc vào thời gian: f (t )
ψ (q, t ) = φ (q ). f (t )

(1.3)

Thay (1.3) vào (1.2) ta có:
ih

∧
∂
[ φ (q). f (t )] = H [ φ (q). f (t )]
∂t

→ ihφ (q ).
ih

∧
df (t )
= f (t ). H φ (q )
dt

1 df (t )
1 ∧
.
=
. H φ (q )
f (t ) dt
φ ( q)

(1.4)

Vì hai vế của (1.4) phụ thuộc vào hai biến số q và t khác nhau nên chúng chỉ
có thể có nghiệm đúng khi cả hai vế bằng một hằng số E. Khi đó ta có:
∧

H φ (q) = Eφ (q )

Dương Thị Hạnh

(1.5)

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

1 df (t )
.

=E
f (t ) dt
df (t ) 1
→
= .Edt
f (t ) ih
df (t )
i
→
= − .Edt
f (t )
h
i
→ ln f (t ) = − .E.t + ln C
h

ih

→ f (t ) = c.e

−i
. Et
h

C: là hằng số
Vậy nghiệm tổng quát của (1.3) là:
ψ (q, t ) = φ (q ).e

− iEt
h

Những trạng thái (1.3) trong đó năng lượng của hệ có giá trị xác định gọi là
những trạng thái dừng và phương trình (1.5) là phương trình Schrodinger cho
những trạng thái dừng.
Ta có toán tử Haminton có dạng:
∧

∧

∧

H = T +U
∧

Trong đó, T là toán tử động năng. Trong hệ toạ độ Đecac q(x,y,z) :
∧

T=

−h2 ∂ 2
∂2
∂2
h2 2
( 2 + 2 + 2)=−
.∇
2m ∂x ∂y ∂z
2m

∂2
∂2

∂2
Với ∇ = ( 2 + 2 + 2 ) : nabla bình phương.
∂x ∂y ∂z
2

∧

∧

U là toán tử thế năng tương ứng là U (x,y,z).
−h2 ∂ 2
∂2
∂2
→H =
(
+
+
) + U ( x, y , z )
2m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∧

Dương Thị Hạnh

(1.6)

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Thay (1.6) vào (1.1) ta có:
 −h2  ∂ 2

∂2
∂2 
+
+
+ U ( x, y, z ) ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )

 2
2
2 ÷
 2m  ∂x ∂y ∂z 

 − h2  ∂ 2
∂2
∂ 2 
→
+
+
ψ ( x , y , z ) − [ E − U ( x , y , z ) ] ψ ( x, y , z ) = 0
 2
2
2 ÷
 2m  ∂x ∂y ∂z  

Nhân cả 2 vế của phương trình với −

2m
ta được:
h2

 ∂2
∂2
∂2 
2m
→  2 + 2 + 2 ÷ψ ( x, y, z ) + 2 [ E − U ( x, y, z ) ] ψ ( x, y, z ) = 0
h
 ∂x ∂y ∂z 

Hay: ∇ 2ψ ( x, y, z ) +
→ ∇ 2ψ +

2m
[ E − U ( x , y , z ) ] ψ ( x, y , z ) = 0
h2

2m
( E − U )ψ = 0
h2

Vậy phương trình Schrodinger là một phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai ( hay là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai.)
Đối với bất cứ một hệ lượng tử nào, ion, nguyên tử, phân tử… lời giải
phương trình Schrodinger cho hệ phải bao gồm đồng thời 2 kết quả: hàm riêng
ψ và trị riêng năng lượng toàn phần E ứng với hàm riêng đó của ∧ .
H

Về nguyên tắc, phương trình Schrodinger- một phương trình vi phân tuyến
tính cấp 2- chỉ giải được chính xác đối với một số ít hệ lượng tử, các trường hợp
hệ lượng tử có nhiều e chỉ giải được gần đúng.
1.1.3. Một số hệ thức quan trọng trong hệ tọa độ cầu.
* Hệ toạ độ cầu:
θ : Góc tạo bởi trục Oz với vectơ r là góc kinh tuyến.

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

ϕ : Góc tạo bởi hình chiếu của r trong mặt phẳng xOy với Ox
θ : 0 → π

Trong đó: ϕ : 0 → 2π
r

r
=
r
=0→∞


z

θ
x

M

ϕ

y
M
’

z
r

Liên hệ giữa toạ độ Đecac và toạ độ cầu cosθ = → z = r.cosθ
cosϕ =

x
→ x = OM ′.cosϕ = r.sin θ .cosϕ
OM ′

sin ϕ =

y
→ y = OM ′.sin ϕ = r.sin θ .sin ϕ
OM ′

2
+ Toán tử Laplace: ∇ =

1 ∂  2 ∂  1
r
÷+ ∧
r 2 ∂r  ∂r  r 2

∧ : là phần phụ thuộc góc của toán tử Laplace
∧=

1 ∂
∂
1
∂2
(sin θ
)+ 2
sin θ ∂θ
∂θ
sin θ ∂ϕ 2

+ Toán tử momen động lượng.
∧

M = −ih

∂
∂ϕ

∧

M 2 = − h2 ∧

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

+ Một số hệ thức giao hoán quan trọng:
 ∧ ∧ 
 H ; M z  = 0 ;
∧

∧
∧
2
M z ; M  = 0 ;



 ∧ ∧2
H ; M  = 0



∧

∧

∧

∧

∧

M+ = Mx + i M y;M− = M x − i M y
∧
 ∧ ∧ 
M
M
=
2
h
M
+
−
z


∧
 ∧ ∧ 
M
M
=
−
h
M
+
−

z
+


∧
 ∧ ∧ 
M
M
=
h
M
−
 − z 
∧

∧

∧

∧

M 2 = M − . M + + M z2 + h.M z

* Trị riêng của toán tử momen động lượng:
∧

- Xét phương trình trị riêng của toán tử M z .
∧

M z .u = M z .u

u = u (r , θ , ϕ ) là hàm riêng.
∂u
= M z .u
∂ϕ
∂u i
→
= .M z .∂ϕ
u h
i
→ ln u = .M z .ϕ + ln C
h
→ −ih.

i

. M zϕ

→ u = c.e h

i
Trong đó: u (r ,θ , ϕ ) = c(r ,θ ).e h.M ϕ . Khi ϕ chuyển động 2π thì ta trở về điểm
z

ban đầu. Để cho u là một hàm đơn trị khi ϕ thay đổi 2π , hàm u phải giữ nguyên
giá trị.

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

u (ϕ + 2π ) = u (ϕ )
i

. M z (ϕ + 2π )

→ eh
→e
→e

i
. M zϕ
h

.e

i
. M z .2π
h

i

. M zϕ

= eh

i
. M z .2π
h

=e

i
. M zϕ
h

=1

Áp dụng hệ thức Euler: eiα = cosα + i sin α với α =
i

. M z .2π

= cos

eh

Mz
.2π
h

Mz
M
.2π + i sin z .2π = 1
h
h

 Mz
sin h .2π = 0
M
→
→ z .2π = m.2π → M z = m.h
h
cos M z .2π = 1

h
(m = 0, ±1,...)

Như vậy Mz bằng một số nguyên lần h .
i

Thay vào biểu thức hàm riêng: u (r ,θ , ϕ ) = c(r ,θ ).e h.M .ϕ = c(r , θ ).eimϕ
z

∧

* Trị riêng của toán tử M 2 :
∧

∧

Vì hai toán tử M 2 và M z giao hoán với nhau nên chúng có chung những hàm
riêng. Do đó: u (r ,θ , ϕ ) = c(r ,θ ).eimϕ cũng là hàm riêng của toán tử bình phương
momen động lượng.
∧

∧

∧

Ta có: [ M + ; M z ] = −h. M +
∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

→ M + M z − M z M + = − h. M +
∧

∧

∧

→ M z M + = M + M z + h. M +

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Cho hai vế tác dụng lên hàm Um.
∧

∧

∧

∧

∧

M z M + um = M + M z um + h. M + um
∧

Mà

M z um = M z .um = m.h.um
∧

∧

∧

∧

→ M z M + um = m.h. M + um + h. M + um
∧

= (m + 1)h. M + um
∧

∧

→ M + um là hàm riêng của M z và ứng với trị riêng (m + 1)h
∧

→ M + um = c.um+1
∧

∧

Tương tự M − .um là hàm riêng của M z và ứng với trị riêng (m − 1)h
∧

→ M − um = c.um−1
∧

Vì mh là trị riêng của toán tử M z và đó là một đại lượng vật lí không thể bằng ∞
nên m phải hữu hạn.
∧

Gọi l là giá trị lớn nhất của m. Khi đó ta có: → M + ul = c.ul +1 = 0
l: là giá trị lớn nhất của m.

l+1: hàm triệt tiêu.
∧

∧

∧

∧

M 2 = M − M + + M z2 + h.M z
∧

∧

∧

∧

∧

M 2 ul = M − M + ul + M z2 .ul + h. M + ul
∧

Mà M + ul = 0
∧

M z ul = l h.ul

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

∧

→ M 2 ul = l 2 .h2 .ul + l.h2 .ul
= l (l + 1).h2 .ul
→ M 2 = l (l + 1).h2
→ M = l (l + 1).h

Ứng với mỗi một giá trị của l thì m có nhiều giá trị vì l là giá trị lớn nhất
của m. Mặt khác hai hướng của trục z là tương đương nhau về mặt vật lí.
Nên ứng với mỗi một giá trị của m có một giá trị khác trái dấu với nó. Do đó m
nhận các giá trị −l ≤ m ≤ +l → có 2 l +1 giá trị.
1.2. Phương trình Schrodinger đối với hệ một electron.
1.2.1. Mô hình hệ.

e

r
r
Ze
o

- Hệ gồm một hạt nhân tích điện dương với số đơn vị điện tích bằng Z e0 ( e0 là
điện tích nguyên tố), một e có điện tích là: −e0 , được kí hiệu là e, chuyển động

quanh hạt nhân.
Biểu thức thế năng của e trong trường hợp này là:
U = U (r ) =

− Ze0 2 1
r 4πε

ε là hằng số điện môi trong chân không. ε = 8,854.10−12 C 2 / N .m 2

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Vậy thực chất của hệ lượng tử này là xét một e chuyển động trong trường lực
hạt nhân có số đơn vị điện tích dương là Ze0 .
1.2.2. Phương trình Schrodinger.
- Toán tử Haminton ứng với trạng thái dừng của một e trong trường lực hạt nhân
có số đơn vị điện tích dương Ze0 là:
∧

∧

∧

H = T +U =

Ze 2 1
− h2 ∂ 2
∂2
∂2
( 2 + 2 + 2)− 0 .
2m ∂x ∂y ∂z
r 4πε

Vì trường thế có đối xứng cầu, nên một cách tiện lợi ta khảo sát chuyển động
của hạt trong hệ tọa độ cầu (r ,θ , ϕ ) .
∧

∧

∧

- Toán tử Haminton: H = T + U
∧

H=

− h2  1 ∂ 2 ∂
∧
(r
) + 2  +U
2

2m  r ∂r
∂r r 

Phương trình Schrodinger:
∧

H ψ (r , θ , ϕ ) = Eψ (r , θ , ϕ )

1.2.3. Các bước giải.
* Phương hướng giải: Chia ra các bước
a, Bước 1: Hàm sóng ψ (r ,θ , ϕ ) mô tả trạng thái chuyển động của electron trong
trường lực đối xứng xuyên tâm được tách thành 2 phần.
ψ (r , θ , ϕ ) = R (r ).Y (θ , ϕ )

+ R(r): được gọi là hàm bán kính chỉ phụ thuộc vào r.
+ Y (θ , ϕ ) : được gọi là hàm cầu hay hàm góc phụ thuộc vào θ , ϕ .

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

b, Bước 2: Giải phương trình bán kính được các hàm bán kính phụ thuộc vào 2
số nguyên n và l là Rn ,l (r )
c, Bước 3: Giải phương trình góc thu được hàm cầu phụ thuộc vào 2 số nguyên
l và ml là Yl , ml (θ , ϕ )

d, Bước 4: Nhân hàm Rn ,l (r ) với Yl ,m (θ , ϕ ) thì ta được hàm ψ nlm (r ,θ , ϕ ) là

l

nghiệm của phương trình.
* Các bước giải:
a, Phân tích bước 1:
Phương trình Schrodinger:
∧

H ψ (r , θ , ϕ ) = Eψ (r , θ , ϕ )
∧

Hay: H R(r )Y (θ , ϕ ) = E.R(r ).Y (θ , ϕ )
∧

Thay toán tử H vào biểu thức:
 h2  1 ∂  2 ∂  ∧ 

. r
−
÷+ 2  + U  R( r ).Y ( θ , ϕ ) = E.R (r ).Y (θ , ϕ )

2
 2m  r ∂r  ∂r  r 

∧
2m
1 ∂ 2 ∂
⇔ 2
(r
) + 2  .R(r ).Y (θ , ϕ ) + 2 ( E − U ).R(r ).Y (θ , ϕ ) = 0

∂r r 
h
 r ∂r
⇔

1 ∂ 2 ∂R (r ).Y (θ , ϕ )
∧
2m
(r
) + 2 R (r )Y (θ , ϕ ) + 2 ( E − U ).R (r ).Y (θ , ϕ ) = 0
2
r ∂r
∂r
r
h

⇔

1
d
dR
∧
2m
.Y (θ , ϕ ) (r 2
) + 2 R(r ).Y (θ , ϕ ) + 2 ( E − U ).R( r ).Y (θ , ϕ ) = 0
2
r
dr
dr
r

h

Chia cả 2 vế cho
⇔

R (r ).Y (θ , ϕ )
ta được
r2

1 d 2 dR ∧Y (θ , ϕ ) 2 2m
(r
)+
+ r 2 (E −U ) = 0
R dr
dr
Y (θ , ϕ )
h

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

⇔

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

1 d 2 dR 2mr 2

− ∧ Y (θ , ϕ )
(r
) + 2 (E −U ) =
R dr
dr
h
Y (θ , ϕ )
∧

2
Thay ∧ = − M2
h
∧

2
2
⇔ 1 d (r 2 dR ) + 2mr ( E − U ) = 1 M Y (θ , ϕ )
R dr
dr
h2
Y (θ , ϕ )
h2

(2.1)

Vì 2 vế của phương trình phụ thuộc vào 2 biến số khác nhau. Dấu bằng xảy ra
khi 2 vế bằng hằng số.
1 d 2 dR 2mr 2
(r
) + 2 (E −U ) = λ

R dr
dr
h

(2.2)

∧

1 M 2 Y (θ , ϕ )
=λ
Y (θ , ϕ )
h2

(2.3)

b, Bước 2: Giải phương trình bán kính (2.2) với λ = l (l + 1)
1 d  2 dR  2mr 2
r
÷+ 2 ( E − U ) = l (l + 1)
R dr  dr 
h
1 d  2 dR  2mr 2
r
÷+ 2 ( E − U ) − l (l + 1) = 0
R dr  dr 
h
d  2 dR  2mr 2
r
÷+ 2 ( E − U ) R − l (l + 1) R = 0
dr  dr 

h
2
dR 2 d R 2 2m
⇔ 2r
+r
+ r 2 ( E − U ) R − l (l + 1) R = 0
dr
dr 2
h
2
d R
dR  2 2m

⇔ r 2 2 + 2r
+  r 2 ( E − U ) − l (l + 1)  R = 0
dr
dr  h

⇔

Chia cả 2 vế cho r2:
d 2 R 2 dR  2m
l (l + 1) 
+ .
+  2 ( E −U ) −
R=0
2
dr
r dr  h
r 2 

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

− Ze 2 1
.
Với thế năng U =
r 4πε

Thay U vào phương trình ta có:
d 2 R 2 dR  2m 
Ze 2  l (l + 1) 
+
.
+
E
+

R =0

÷−
dr 2 r dr  h2 
r 
r2 

(2.4)

Giải phương trình (2.4) sẽ xác định được các giá trị của năng lượng E và hàm
bán kính R(r). Đối với electron có hai khả năng xảy ra:
Khi electron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó E>0.
Ta không quan tâm tới trường hợp này.
Khi electron còn tương tác với hạt nhân, nghĩa là E<0. Ta xét trường hợp này.
na
nh2
2Z
mZ 2 e 4
h2
r
=
x= 0 x→x=
Đặt E = − 2 2 ;
; với a0 = 2
2
2mZe
2Z
na0
2n h
me

Trong đó n: tham số; x: biến số.
Khi đó ta có: dr =

nh2
n 2 h4

2
dx
→
dr
=
dx 2
2
2 2 4
2mZe
4m Z e

dR 2mZe 2 dR
d 2 R 4m 2 Z 2 e 4 d 2 R
=
.
→
=
. 2
dr
nh2 dx
dr 2
n 2 h4
dx
E+

Ze 2
mZ 2 e 4
2mZe 2 2mZ 2e 4  1 1 
= − 2 2 + Ze 2 .
=

− + ÷
r
2n h
nh2 x
nh2  4n x 

Thay vào (2.4):
4m 2 Z 2 e 4 d 2 R 4mZe 2 dR 2mZe 2  4m 2 Z 2e 4  1 1 
4m 2 Z 2 e 4 
.
+
.
.
+
−
−
l
(
l
+
1).
R=0
 nh4  x 4n ÷
n 2 h4
dx 2
nh2 x dx nh2
n 2 h4 x 2 




d 2 R 2 dR  n 1  l (l + 1) 
⇔ 2 + .
+  − ÷−
R=0
dx
x dx  x 4 
x 2 
−x

Đặt R = u ( x).xl .e 2 . Bằng cách biến đổi ta được phương trình:

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

d 2u
du
x. 2 + (2l + 2 − x). + (n − l − 1).u = 0
dx
dx

Đặt α = 2l + 1 ; k = n + 1
d 2u
du
→ x. 2 + (α − x + 1). + ( k − α ).u = 0

dx
dx

Đây là phương trình Laguerre. Có nghiệm ⇔ k − α ≥ 0 và nguyên
⇔ n − l −1 ≥ 0
⇔ n ≥ l +1

Mà l = 0, 1, 2,... nên n = 1, 2, 3,... gọi là số lượng tử chính
Nghiệm của phương trình là đa thức Laguerre.
dα
U ( x) = L ( x) = α
dx
α
k

 x d k k −x 
e . dx k ( x .e ) 


−x

Hàm bán kính R = −c.U ( x).x l .e 2 , c: hằng số chuẩn hóa được xác định bằng điều
kiện chuẩn hóa hàm bán kính.
∞

∫ R.R .r dr = 1
*

2

0

→c=

3
2

4 ( n − l − 1) !  Z 
.
÷
3 
n 4 ( n + l ) !  a0 

3

l

Zr

4(n − l − 1)!  Z  2  2Zr  − na0 2l +1  2 Zr 
→ Rn ,l (r ) = −
.
÷ .
÷ .e .Ln +l 
÷
3 
n 4 ( n + l ) !  a0   na0 
 na0 

n,l là các số lượng tử chính và số lượng tử obitan.

Dấu – được đặt trước để hàm bán kính Rn ,l (r ) trở nên dương khi r bé, tức là
gần hạt nhân.
Z là số đơn vị điện tích dương hạt nhân.

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

h2
h2
a0 là bán kính Bo thứ nhất, a0 =
=
me0 4π 2 me0

Với h= 6,625.10-34 J.s = 6,625.10-27 erg.s
m= 9,109.10-31 Kg = 9,109.10-28 g
e0 = 1,602.10-19 C =4,803.10-10 uescgs
a0 =

(6, 625.10−27 ) 2
= 5, 29.10−9 cm = 0,529 Ao
2
−28
−10 2
4.π .9,109.10 .(4,803.10 )

e là cơ số logarit tự nhiên.
 2Zr 
÷ là đa thức Laghe.
n +1
0 

2 l +1

L  na

r là biến số, chỉ khoảng cách từ hạt nhân đến vị trí electron đang xét.
Một số hằng số
Một số hàm bán kính đã được chuẩn hoá.
0

− Zr

− Zr

 2 Zr  a0 1 2 Zr
2 Zr
R1,0 = −c1,0 . 
= −c1,0 .e a0 .L11
÷ .e .L1
a0
a0
 a0 
3

3

 2
 2
Với c1,0 = − 4(14− 0 −31)!.  Z ÷ = 2.  Z ÷
1 .(1!)
 a0 
 a0 
2Zr

Đặt u = a
0
L11u =

d  u d
d
 d  u −u
−u
=
e
u.e −u )  =
e
.
e
−
u
.
e
(
(

)

 du ( 1 − u ) = −1
du  du
 du 
3

− Zr

 Z 2
→ R1,0 (r ) = 2.  ÷ .e a0
 a0 

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa


Khóa luận tốt nghiệp

0

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

− Zr

− Zr

 2 Zr  2 a0 1  Zr 
2 a0

1 Zr
R2,0 (r ) = −c2,0 . 
÷ .e .L2  ÷ = −c2,0 .e .L2
a0
 2a0 
 a0 
3

c2,0

3

4.(2 − 0 − 1)!  Z  2
1  Z 2
=
. ÷ = 5 . ÷
4
3
2 .(2!)
2  a0 
 a0 
Zr

Đặt u = a
0
L12u =
=

d  u d 2 2 −u  d  u d
 d  u

e
u .e )  =
e . ( 2u.e − u − u 2 .e − u )  =
e . ( 2.e − u − 2u.e − u − 2u.e − u + u 2 .e −u ) 

2 (


du  du
du
du
du




 Zr

d
(2 − 4u + u 2 ) = 2u − 4 = 2  − 2 ÷
du
 a0

3

3

− Zr

− Zr

2
 1  Z 2 
1  Z  a0  Zr
Zr  2 a0
→ R2,0 (r ) = − 5 .  ÷ .e .2.  − 2 ÷ =
.  ÷ . 1 −
÷.e
2  a0 
2  a0   2a0 
 a0


1

− Zr

 Zr 
 Zr 
R2,1 (r ) = c2,1 .  ÷ .e 2 a0 .L33  ÷
 a0 
 a0 
3

3

4.(2 − 1 − 1)!  Z  2
1  Z 2
c2,1 =
.

÷ = 5 3 . ÷
4
3 
2 .(2 + 1)!  a0 
2 .3  a0 
Zr

Đặt u = a
0

Dương Thị Hạnh

K34B-SP Hóa