VỀ cận SAI số của hàm nửa LIÊN tục dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

TRẦN THỊ HẰNG

VỀ CẬN SAI SỐ CỦA HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

TRẦN THỊ HẰNG

VỀ CẬN SAI SỐ CỦA HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Một số đặc trưng cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

18

2.1

Khái niệm cận sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

2.2.1

Điều kiện độ dốc mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Điều kiện dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Toán tử dưới vi phân trừu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3 Tính chính quy metric của ánh xạ đa trị

44

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1


Lời nói đầu
Bài toán tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm tới một
tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu lần đầu từ năm 1952.

Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞}
xác định trên không gian metric đủ X, chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục
tại mức α nếu tồn tại số thực dương σ thỏa mãn
σd (x, [f ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X.

(1)

trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, và d (x, [f ≤ α]) là khoảng cách từ điểm x
đến tập [f ≤ α], t+ = max (t, 0). Hoffman đã thu được các kết quả cho các hàm lồi đa
diện dạng f (x) = max aTj x + bj , trong đó a1 , ..., am ∈ Rn và b1 , ..., bm ∈ R. Trong
1≤j≤m

trường hợp hàm lồi trong không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện inf f ≤ α với
X

tập [f ≤ α] bị chặn ta cũng thu được bất đẳng thức (1). Thật vậy, giả sử f (x0 ) =
α − θ < α với θ > 0 và lấy x ∈ X, f (x) > α khi đó xt := x + t (x0 − x) ∈ [f ≤ α] với
t=

f (x) − α
∈ [0, 1] và
θ + f (x) − α
||x − x0 || ≤ ||x − xt || + ||xt − x0 || ≤ t||x − x0 || + r + ||x0 ||,

r là bán kính hình cầu gốc 0 chứa tập [f ≤ α]. Như vậy ta thu được kết quả sau
d (x, [f ≤ α]) ≤

r + ||x0 ||
(f (x) − α) .
θ

2


Lời nói đầu

Tiếp đó, Mangasarian, Auslender - Crouzeix và Klatte-Li đã tìm ra điều kiện đủ cho
sự tồn tại cận sai số của hệ tuyến tính với điều kiện tiệm cận. Trong trường hợp không
lồi, kết quả đầu tiên về cận sai số thuộc về Ioffe, Ng-Zheng và Wu-Ye. Penot là người
đầu tiên nhận được kết quả trong trường hợp hàm tựa lồi. Các đặc trưng đầu tiên về
cận sai số trong trường hợp hàm lồi được công bố bởi Corneia-Jourari-Zalinesco, một
số tính chất khác được thiết lập bởi Lewis-Pang, Lemaire, Zalinesco. Sau đó Azé đã
tìm ra những đặc trưng của cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới trong không gian
metric đầy đủ (xem tài liệu tham khảo trong bài báo [4]).
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan một số kết quả trong
các bài báo [4], [5] và [6], [7] về cận sai số đối với các hàm nửa liên tục dưới. Ngoài ra
tác giả có trình bày một số ví dụ để minh họa các kết quả trên.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới, Nguyên lý
biến phân Ekeland và giải tích lồi.
Chương 2: Trình bày một số đặc trưng của cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới
thông qua khái niệm độ dốc mạnh và dưới vi phân.
Chương 3: Trình bày ứng dụng một số kết quả về cận sai số để nghiên cứu tính chính
quy metric của ánh xạ đa trị.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Trương Xuân
Đức Hà. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo, người hướng dẫn
khoa học của mình, PGS. TS Trương Xuân Đức Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình

3

Lời nói đầu

hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào
tạo Sau đại học và tập thể cán bộ của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong thời gian học Cao học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè về sự khuyến khích giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn
bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Trần Thị Hằng

4


Danh mục kí hiệu
R

Đường thẳng thực

Rn

Không gian Euclide n-chiều

x∈M

Phần tử x thuộc tập M

y∈
/M

Phần tử y không thuộc tập M

∀x

Với mọi x

∃x

Tồn tại x

A∩B

Giao của hai tập A và B

A∪B

Hợp của hai tập A và B

A\B

Tập các điểm thuộc tập A mà không thuộc tập B

A×B

Tích đề các của hai tập A và B

A+B

Tổng của hai tập A và B

|| · ||

Chuẩn trong không gian Banach

|| · ||∗

Chuẩn trong không gian đối ngẫu

< x∗ , x >

Giá trị của hàm x∗ tại x

f :X→Y

Ánh xạ đơn trị từ X vào Y

F :X⇒Y

Ánh xạ đa trị từ X vào Y

intD

Phần trong của tập D

inf f (x)

infimum của tập {f (x) : x ∈ A}

sup f (x)

supremum của tập {f (x) : x ∈ A}

x∈A

x∈A

t+

max {t, 0}
Kết thúc chứng minh

t.ư.

tương ứng.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát một số kiến thức về hàm nửa
liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland và giải tích lồi. Những kiến thức trình bày
trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2].

1.1

Hàm nửa liên tục dưới

Cho (X, d) là không gian metric và f : X → R ∪ {+∞} là hàm số xác định trên X.
Kí hiệu
dom(f ) = {x ∈ X : f (x) < +∞} là miền hữu hiệu của f ,
Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập mức dưới của f tại α,
epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} là tập trên đồ thị của f .
Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅.
Định nghĩa 1.1. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X → R ∪ {+∞} được

6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu thỏa mãn
f (x0 ) ≤ lim inf f (x) ,
x→x0

trong đó lim inf f (x) = inf {y : ∃ {xi } ∈ domf, {xi } → x0 , f (xi ) → y} .
x→x0

Ta còn có định nghĩa khác về hàm nửa liên tục dưới như sau:
Định nghĩa 1.2. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi
là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
f (x) > f (x0 ) − ε,
với x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) ≤ δ.

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu nó liên tục dưới tại mọi điểm của
X.
Ví dụ 1.1. Hàm f : R → R được cho bởi



x2



f (x) = 2x




1
2

nếu x < 1,
nếu x > 1,
nếu x = 1.

liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1. Tại x = 1, hàm f là nửa liên tục dưới.
Định lý 1.1. Cho (X, d) là không gian metric và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Khi đó
các khẳng định sau là tương đương:
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X.
(ii) Tập trên đồ thị của f là tập đóng trong X × R.
(iii) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới Cα (f ) là tập đóng trong X.
7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Giả sử f là nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy dãy {(xn , αn )} ⊂
epif sao cho lim (xn , αn ) = (x0 , α0 ). Ta cần chỉ ra (x0 , α0 ) ∈ epif .
n→∞

Thật vậy, ta có lim xn = x0 , lim αn = α0 và f là hàm nửa liên tục dưới tại x0
n→∞

n→∞

nên lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ). Vì dãy {(xn , αn )} ⊂ epif nên f (xn ) ≤ αn với mọi n, suy
n→∞

ra lim inf f (xn ) ≤ lim (αn ). Do đó f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim (αn ) = α0 . Chứng tỏ
n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

(x0 , α0 ) ∈ epif.
(ii) =⇒ (iii) Giả sử epif là tập đóng trong X × R. Ta sẽ chứng minh mọi tập mức
của f đều đóng trong X.
Thật vậy, giả sử Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập mức dưới bất kì của f . Lấy
{xn } ⊂ Cα (f ) thỏa mãn lim xn = x0 . Do {xn } ⊂ Cα (f ) nên f (xn ) ≤ α, tức là
n→∞

(xn , α) ∈ epif, ∀n ∈ N. Mà lim xn = x0 suy ra lim (xn , α) = (x0 , α). Hơn nữa, epif
n→∞

n→∞

đóng trong X × R suy ra (x0 , α) ∈ epif , cho nên f (x0 ) ≤ α. Vậy x0 ∈ Cα (f ).
(iii) =⇒ (i) Giả sử Cα (f ) đóng trong X, ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục
dưới trên tập X. Giả sử phản chứng, f không là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X.
Khi đó tồn tại dãy {xn } ⊂ X sao cho lim xn = x0 và lim inf f (xn ) < f (x0 ). Chọn
n→∞

n→∞

ε > 0 đủ nhỏ sao cho có k ∈ N để f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε, ∀n > k. Xét tập mức C =
{x ∈ X | f (x) ≤ f (x0 ) − ε}. Do C đóng và lim xn = x0 nên suy ra x0 ∈ C. Do đó ta
n→∞

có, f (x0 ) ≤ f (x0 ) − ε (vô lý). Vậy f là hàm nửa liên tục dưới trên X.
Định lý 1.2. Một hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact U thuộc không gian metric
phải đạt cực tiểu trên tập ấy.
Tuy nhiên, nếu U không phải là tập compact thì điều này không còn đúng. Chẳng
hạn ta xét ví dụ dưới đây:
8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ví dụ 1.2. Xét hàm số f : R → R xác định bởi



1
nếu x > 0,
f (x) = x

+∞ nếu x ≤ 0.
Ta thấy R không là tập compact. f liên tục trên R với mọi x ∈ R và inf f = 0.
R

Tuy nhiên không tồn tại x ∈ R để f (x) = 0. Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên R.
Trong trường hợp đó chúng ta sẽ tìm hiểu nguyên lý biến phân Ekeland dưới đây:

1.2

Nguyên lý biến phân Ekeland
Nguyên lý biến phân do I.Ekeland đề xuất năm 1974 là một công cụ mạnh trong

Giải tích phi tuyến, Giải tích không trơn, Giải tích đa trị, Giải tích biến phân và trong
các hướng khác nhau của toán ứng dụng.
Định nghĩa 1.3. Hàm f : X → R, với ε > 0 cho trước, một điểm xε ∈ X gọi là cực
tiểu ε− xấp xỉ của f trên X nếu
inf f (x) ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε.

x∈X

x∈X

Ekeland đã chứng minh được rằng trong không gian metric đầy đủ, nếu xε là ε−
cực tiểu xấp xỉ của một hàm nửa liên tục dưới thì ta sẽ tìm được một ε− cực tiểu xấp
xỉ mới x∗ tốt hơn và điểm này là cực tiểu chính xác của hàm nhiễu của f .

Định lý 1.3. [Nguyên lý biến phân Ekeland] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ
và f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và
xε ∈ X thỏa mãn
f (xε ) ≤ inf f (x) + ε.
x∈X

Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x∗ ∈ X sao cho :
9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(i) d(x∗ , xε ) ≤ λ.
(ii) f (x∗ ) ≤ f (xε ).
(iii) f (x∗ ) < f (x) +

1.3

ε
d (x, x∗ ) , ∀x ∈ X\ {x∗ } .
λ

Tập lồi và hàm lồi
Trong mục này, X là không gian Banach với chuẩn ||.||, X ∗ là không gian đối

ngẫu của X. Khi đó X ∗ là không gian Banach với chuẩn ||.||∗ . Với mỗi x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X
ta ký hiệu x∗ , x = x∗ (x).
Định nghĩa 1.4. Tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ R sao
cho λ ∈ [0, 1] thì λx + (1 − λ) y ∈ C.
Ví dụ 1.3. Các tập sau đây đều là các tập lồi:

1) Hình cầu mở
B (a, r) := {x ∈ X : ||x − a|| < r} ,
hay hình cầu đóng
B (a, r) := {x ∈ X : ||x − a|| ≤ r} .
2) Các nửa không gian đóng
{x ∈ Rn : a, x ≤ α} ,

{x ∈ Rn : a, x ≥ α} ,

hay các nửa không gian mở
{x ∈ Rn : a, x < α} ,
với a ∈ Rn , a = 0, α ∈ R.
10

{x ∈ Rn : a, x > α}


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

3) Nếu D, E là hai tập lồi, a là một điểm thì các tập sau là những tập lồi
D + a := {x + a, x ∈ D},
D − a := {x − a, x ∈ D},
D + E := {x + y, x ∈ D, y ∈ E} ,
D − E := {x − y, x ∈ D, y ∈ E} .
Định nghĩa 1.5. Tập con K của X được gọi là một nón nếu với mọi x ∈ K, mọi
λ ≥ 0 thì λx ∈ K.
Nón K gọi là nón lồi nếu K vừa là tập lồi vừa là nón.
Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập lồi trong X, x0 ∈ C. Khi đó tập
N (x0 , C) = {t ∈ X ∗ : t, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C}
được gọi là nón pháp tuyến của tập C tại điểm x0 .

Ví dụ 1.4. Cho C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} .
Xét tại x0 = (0, 0) ∈ C. Ta được
N (x0 , C) = (x∗1 , x∗2 ) ∈ R2 |x∗1 x1 + x∗2 x2 ≤ 0, ∀ (x1 , x2 ) ∈ C .
= (x∗1 , x∗2 ) ∈ R2 |x∗1 ≤ 0, x∗2 ≤ 0 .
Định nghĩa 1.7. Hàm f : X → R ∪ {+∞} xác định trên tập lồi X, được gọi là hàm
lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ domf , mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx1 + (1 − λ) x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) .
Hàm f gọi là hàm lồi chặt trên tập lồi X nếu
f (λx1 + (1 − λ) x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 )
11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

với bất kì x1 , x2 ∈ domf, x1 = x2 , ∀λ ∈ ]0, 1[ .
Ví dụ 1.5. Các hàm số sau là những hàm lồi:
1) Hàm chuẩn của một vector ||x||.
2) Hàm khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến tập lồi C cho bởi:
d (x, C) = inf ||x − y||.
y∈C

3) Hàm chỉ của một tập lồi C

IC (x) =



0

nếu x ∈ C,


+∞

nếu ngược lại.

Thật vậy với mọi x, y ∈ domIC và mọi λ ∈ [0, 1], ta có IC (x) = 0, IC (y) = 0.
Do C lồi nên λx + (1 − λ) y ∈ C. Suy ra
IC (λx + (1 − λ) y) = 0 = λIC (x) + (1 − λ) IC (y) .
Vậy IC là hàm lồi.
Mệnh đề 1.1. Hàm số f xác định trên tập lồi khác rỗng U ⊆ X là hàm lồi khi và chỉ
khi epi (f ) là tập lồi.
Chứng minh.

(=⇒) Giả sử f là hàm lồi trên tập lồi U . Lấy hai điểm bất kì

(x1 , α1 ) và (x2 , α2 ) thuộc epi(f ). Theo định nghĩa thì α1 ≤ f (x1 ) và α2 ≤ f (x2 ). Với
mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx1 + (1 − λ) x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ≤ λα1 + (1 − λ) α2 ,
suy ra
(λx1 + (1 − λ) x2 , λα1 + (1 − λ) α2 ) = λ (x1 , α1 ) + (1 − λ) (x2 , α2 ) ∈ epi (f ) .
12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(⇐=) Ngược lại, giả sử epi(f ) là tập lồi. Vì (x1 , f (x1 )) và (x2 , f (x2 )) đều thuộc
epi(f ) nên với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λ (x1 , f (x1 )) + (1 − λ) (x2 , f (x2 )) = (λx1 + (1 − λ) x2 ) , λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ∈ epif.
Theo định nghĩa của epi (f ) ta có

f (λx1 + (1 − λ) x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) , ∀λ ∈ [0, 1].
Vậy f là hàm lồi.
Mệnh đề 1.2. Nếu hàm số f xác định trên tập lồi U ⊆ X là hàm lồi thì tập mức dưới
Cα (f ) là tập lồi với mọi α ∈ R.
Chứng minh. Lấy bất kì x1 , x2 ∈ Cα (f ) và λ ∈ [0, 1]. Khi đó ta có
f (λx1 + (1 − λ) x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ≤ λα + (1 − λ) α = α
Suy ra λx1 + (1 − λ) x2 ∈ Cα (f ). Vậy Cα (f ) là một tập lồi.
Cho hàm lồi f1 xác định trên tập lồi U1 ⊆ X, hàm lồi f2 xác định trên tập lồi
U2 ⊆ X và số thực λ ≤ 0. Các phép toán λf, f1 + f2 , max {f1 , f2 } được định nghĩa như
sau:
(λf1 ) (x) := λf1 (x) , x ∈ U1 ,
(f1 + f2 ) (x) := f1 (x) + f2 (x) , x ∈ U1 ∩ U2 ,
max {f1 , f2 } (x) := max {f1 (x) , f2 (x)} , x ∈ U1 ∩ U2 .
Định nghĩa 1.8. Cho hàm f : X → R ∪ {+∞}, C là một tập con của X, một điểm
x ∈ C ∩ domf được gọi là một cực tiểu toàn cục của f trên C nếu
f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ C.
13


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Điểm x ∈ C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại một lân cận
U (x) của x sao cho
f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ C ∩ U (x).
Định lý 1.4. Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, C là một tập con của X.
Khi đó bất kì điểm cực tiểu địa phương nào của f trên C cũng là cực tiểu toàn cục.
Chứng minh. Giả sử x là điểm cực tiểu địa phương của f trên X, khi đó tồn tại lân
cận U (x) của x sao cho f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ X ∩ U (x) .
Lấy tùy ý y ∈ X, ta có yλ = (1 − λ) x + λy ∈ U (x) với λ ∈ (0, 1) và λ là đủ nhỏ.
Suy ra f (x) ≤ f (yλ ) với λ đủ nhỏ.

Mặt khác f (yλ ) = (1 − λ) f (x) + λf (y) suy ra λf (x) ≤ λf (y) với λ đủ nhỏ.
Vậy f (x) ≤ f (y) với mọi y ∈ X. Suy ra x là cực tiểu toàn cục.
Định nghĩa 1.9. Cho hàm lồi chính thường f : X → R ∪ {+∞}, vector x∗ ∈ X ∗ gọi
là dưới gradient của f tại điểm x0 ∈ domf nếu thỏa mãn
x∗ , x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) , ∀x ∈ X.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 và được
kí hiệu là ∂f (x0 ) .
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Ví dụ 1.6. 1) Dưới vi phân của hàm f (x) = ||x|| là


{x∗ ∈ X ∗ : ||x∗ || ≤ 1}
∂f (x) =

{x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = ||x||, ||x∗ || = 1}

khi x = 0,
khi x = 0

Thật vậy, khi x0 = 0 thì x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi x∗ , x ≤ ||x||, ∀x ∈ R. Suy ra
||x∗ || ≤ 1.
14


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi x0 = 0 thì x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi x∗ , x − x0 ≤ ||x|| − ||x0 ||, ∀x ∈ R.
Cho x = 0 ta được x∗ , −x0 ≤ −||x0 ||. Cho x = 2x0 ta được x∗ , x0 ≤ ||x0 || suy
ra x∗ , x0 = ||x0 ||. Ta có x∗ , x0 = x∗ , (x + x0 ) − x0 ≤ ||x + x0 || − ||x0 || suy ra
x∗ , x ≤ ||x|| suy ta ||x∗ || = 1. Ngược lại, nếu ||x∗ || = 1, x∗ , x0 = ||x0 || thì ta có

x∗ , x − x0 = x∗ , x − x∗ , x0 ≤ ||x|| − ||x0 ||, ∀x hay x∗ ∈ ∂f (x) .
Trong trường hợp riêng, hàm f : R → R cho



[−1, 1]



∂f (x) = {1}




{−1}

bởi f (x) = |x| thì ta được
khi x = 0,
khi x > 0,
khi x < 0.

2) Dưới vi phân của hàm chỉ IC (x) tại x0 ∈ C, trong đó C là một tập lồi khác rỗng là
∂IC (x0 ) = NC (x0 ) (nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 ).
Thật vậy, với x0 ∈ C, ta có
∂f (x0 ) = ∂IC (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ IC (x) , ∀x} .
Với x0 ∈
/ C thì IC (x0 ) = +∞ nên bất đẳng thức trên luôn đúng.
Suy ra ∂f (x0 ) = ∂IC (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ IC (x) , ∀x} = NC (x0 ).
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ IC (x) của tập lồi C tại x0 ∈ C khác rỗng là
∂IC (x0 )=NC (x0 ).

Định lý 1.5. Một hàm lồi chính thường f trên X có dưới vi phân khác rỗng tại mỗi
điểm x0 ∈ int (domf ) .
Định lý 1.6. Cho hàm lồi f : X → R ∪ {+∞}. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) x∗ ∈ ∂f (x0 ) ⇔ (x∗ , −1) ∈ Nepif (x0 , f (x0 )),
(ii) ∂f (x0 ) là tập lồi đóng,
15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(iii) ∂f (x0 ) = {∇f (x0 )} nếu f (x) khả vi tại x0 . Trong đó ∇f (x0 ) là gradien của f tại
x0 và ∇f (x0 )∗ là toán tử liên hợp của ∇f (x0 ).
Định lý 1.7. (Điều kiện cần và đủ tối ưu) Giả sử C là một tập lồi trong X và
f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó điều kiện cần và đủ để x ∈ C là điểm cực tiểu
toàn cục của f trên C là
0 ∈ ∂f (x) + NC (x) .
Định lý 1.8. Cho f1 , f2 là những hàm lồi chính thường trên Rn , với mỗi x ∈ Rn ta có
∂f1 (x) + ∂f2 (x) ⊂ ∂ (f1 + f2 ) (x) .
Định nghĩa 1.10. Cho f : X → R ∪ {+∞}, đạo hàm của f tại điểm x theo phương
y ∈ X là:
f (x + ty) − f (x)
0
t

f (x; y) := lim
t

nếu giới hạn này tồn tại (hữu hạn hay vô hạn).
Ví dụ 1.7. Cho hàm f : R → R xác định bởi f (x) = |x|
Nhận xét f là hàm khả vi tại x = 0. Ta sẽ xét đạo hàm theo phương tại x = 0.

Ta có:
f (0, −1) = lim
t

0

f (0 + t. (−1)) − f (0)
| − t|
= lim
= 1,
t
0
t
t

f (0, 1) = lim
t

0

f (0 + t.1) − f (0)
|t|
= lim
= 1.
t
0
t
t

Định lý 1.9. Nếu f là hàm lồi chính thường trên X thì nó có đạo hàm theo mọi

phương, tại mọi x0 ∈ domf và mọi y thì
f x0 + ty − f x0 ≥ f x0 , y .
16


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Định lý 1.10. Nếu f là hàm lồi chính thường trên tập lồi U ⊆ X thì nó có đạo hàm
theo mọi hướng d ∈ X \ {0} tại mọi điểm x0 ∈ domf và
f (x0 , d) ≤ f (x0 + d) − f (x0 ) .
Chứng minh. Cho vector d ∈ Rn . Do f là hàm lồi nên hàm một biến ϕ (t) =
f (x0 + td) là hàm lồi trên {t|x0 + td} ∈ X. Theo định nghĩa của đạo hàm theo hướng,
ta có
ϕ (t) − ϕ (0)
f (x0 + td) − f (x0 )
= lim
= ϕ+ (0) .
t 0
0
t
t

f (x0 , d) = lim
t

Nếu với mọi t > 0 mà x0 + td ∈
/ domf thì ta có
f (x0 + td) = ϕ (t) = +∞ và ϕ+ (0) = +∞.
Do đó kết luận của định lý là đúng.
Nếu tồn tại t > 0 để x0 + td ∈ domf thì với mọi t1 mà 0 < t1 < t ta có

t1
t

Vì ϕ là hàm lồi nên ϕ (t1 ) ≤

< 1 và t1 =

t1
ϕ (t)
t

t1
t
t

+ 1−

t1
t

+ 1−

t1
t

0.

ϕ (0) . Suy ra

ϕ (t1 ) − ϕ (0)

ϕ (t) − ϕ (0)
.
≤
t1
t
Tức là dãy

ϕ (t) − ϕ (0)
t

không tăng khi t → 0+ . Do đó tồn tại giới hạn
ϕ (t) − ϕ (0)
= ϕ+ (0) .
0
t

lim
t

Suy ra với t > 0 ta luôn có
ϕ (t) − ϕ (0)
≤ ϕ+ (0) = f x0 , d .
t
Lấy t = 1 ta có ϕ (t) − ϕ (0) = f (x0 + d) − f (x0 ) ≤ f (x0 , d) .
17


Chương 2

Một số đặc trưng cận sai số của các

hàm nửa liên tục dưới
Trong chương này sẽ trình bày khái niệm cơ bản về cận sai số của các hàm
nửa liên tục dưới. Sau đó chúng tôi trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số,
đó là điều kiện độ dốc mạnh, điều kiện dưới vi phân và toán tử dưới vi phân trừu tượng.

2.1

Khái niệm cận sai số
Trong phần này chúng ta xét (X, d) là không gian metric và hàm f : X →

R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới.
Với U ⊂ X và r ∈ ]0, +∞] (t.ư, r ∈ [0, +∞[), ta định nghĩa Br (U ) (t.ư, Br (U ) ) là
lân cận mở (đóng) của U :
Br (U ) = {x ∈ X : d (x, U ) < r}
Br (U ) = {x ∈ X : d (x, U ) ≤ r} ,

18


Chương 2. Một số đặc trưng cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

trong đó
d (x, U ) := inf d (x, y) .
y∈U

với quy ước rằng d (x, ∅) = +∞.
Nếu U = {x} thì ta viết Br (x) ; Br (x).
Với α ∈ R và β ∈ R ∪ {+∞}, ta đặt
[f ≤ α] := {x ∈ X|f (x) ≤ α} ,
[f < β] := {x ∈ X|f (x) < β}

được gọi lần lượt là các tập mức đóng, mở của f .
Định nghĩa 2.1. Cho X là không gian metric, f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên
tục dưới, α ∈ R . Ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại một
số dương σ thỏa mãn
σd (x, [f ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X.

(2.1)

Ta thấy rằng nếu bất đẳng thức 2.1 đúng với số σ > 0 thì nó cũng đúng với các số
σ nhỏ hơn. Do đó trong Định nghĩa 2.1 chúng ta sẽ quan tâm tới supremum của các
số σ.
Ta kí hiệu σα (f ) là supremum của những số σ ∈ [0, +∞) thỏa mãn bất đẳng thức
2.1.
Với quy ước

σα (f ) =



0

nếu [f ≤ α] = ∅ và [α < f ] = ∅,


+∞

nếu [α < f ] = ∅.

19

Chương 2. Một số đặc trưng cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

Như vậy ta được
σα (f ) =

f (x) − α
.
x∈[αinf

Ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu σα (f ) > 0.
Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm hiểu một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số toàn
cục.

2.2

Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân

2.2.1

Điều kiện độ dốc mạnh
Ở đây, chúng ta sẽ trình bày khái niệm độ dốc mạnh theo De Giorgi, Marino, và

Tosques.
Định nghĩa 2.2. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và x ∈ domf . Ta
đặt
|∇f | (x) :=




0

nếu x là cực tiểu địa phương của f ,

f (x) − f (y)

lim sup
d (x, y)
y→x

nếu ngược lại.

Ta gọi số thực mở rộng |∇f | (x) là độ dốc mạnh của f tại x.
Với x ∈
/ domf , ta quy ước |∇f | (x) := +∞.
Nhận xét 2.1. 1) |∇f | (x) là số không âm.
2) Xét f là khả vi Fréchet tại x theo nghĩa tồn tại f (x) là ánh xạ tuyến tính liên tục
sao cho
||f (x) − f (x) − f (x) (x − x) ||
= 0.
x→x
||x − x||
lim

Khi đó |∇f | (x) = || (f (x))∗ ||. Trong đó (f (x))∗ là toán tử liên hợp đối với
(f (x)) .
20

Chương 2. Một số đặc trưng cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

Ví dụ 2.1. Cho hàm số f : R → R xác định bởi


x nếu x < 0,
f (x) =

x2 nếu ngược lại.
Khi đó ta có
|∇f | (x) =



1

nếu x ≤ 0,


2x nếu x > 0.
Thật vậy, tại x = 0 thì f là khả vi nên ta được kết quả như trên.
Tại x = 0, hàm f không đạt cực tiểu tại x = 0 nên theo định nghĩa của độ dốc
mạnh ta được
|∇f | (0) = lim sup
y→0

−f (y)
.
|y|

−f (y)
−y
=
= 1.
|y|
−y
−y 2
−f (y)
=
= −y < 0.
Nếu y > 0 ta có
|y|
y
Nếu y < 0 ta có

Vậy |∇f | (0) = 1.
Mệnh đề 2.1. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, và α ∈ R. Khi đó
inf |∇f | (x) ≥ inf

inf

α≤γ x∈[γ
x∈[α
f (x) − γ
.
d (x, [f ≤ γ])

Hay

inf |∇f | (x) ≥ inf σγ (f ) .
α≤γ

x∈[α
Chứng minh. Ta giả sử

inf |∇f | < +∞ suy ra [α < f ] = ∅ và vế phải của bất
x∈[α
đẳng thức trong mệnh đề trên là dương nên [f ≤ α] = ∅.
Lấy σ > 0 thỏa mãn
f (x) − γ
> σ , với γ ≥ α.
x∈[γinf

21


Chương 2. Một số đặc trưng cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

Với x ∈ [α < f ], ta đặt γn := f (x) −

1
với n ∈ N đủ lớn sao cho γn ≥ α, khi đó tồn
n

tại xn ∈ [f ≤ γn ] thỏa mãn:
f (x) − γn ≥ σd (x, xn ) .

Do đó ta có
0 < d (x, xn ) ≤

f (x) − γn
1
=
→ 0 khi n → ∞.
σ
nσ

Nên d (x, xn ) → 0 khi n → ∞. Suy ra xn là một lân cận của x.
Vì f (x) ≥ γn > f (xn ) nên x không phải là cực tiểu địa phương của f . Từ đó ta có
f (x) − f (xn )
f (x) − γn
≥
≥ σ.
d (x, xn )
d (x, xn )
Suy ra
|∇f | (x) = lim sup
xn →x

f (x) − f (xn )
≥ σ.
d (x, xn )

Vậy ta suy ra kết luận của mệnh đề.
Khi X là không gian metric đầy đủ, từ Nguyên lý biến phân Ekeland ,chúng ta thu
được mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa

liên tục dưới, với x ∈ X, σ > 0 và r > 0 thỏa mãn :
f (x) ≤ inf f + σr.
X

Khi đó tồn tại x ∈ Br (x) sao cho f (x) ≤ f (x) và
f (x) < f (y) + σd (x, y) với mọi y ∈ X\ {x} .

22


Chương 2. Một số đặc trưng cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

Hệ quả 2.1. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa
liên tục dưới, với x ∈ X, σ > 0 và r > 0 thỏa mãn :
f (x) ≤ inf f + σr.
Br (x)

Khi đó tồn tại x ∈ Br (x) sao cho f (x) ≤ f (x) và |∇f | (x) < σ.
Chứng minh. Lấy 0 < σ < σ, 0 < r < r sao cho
f (x) ≤ inf f + σ r .
Br (x)

Áp dụng Mệnh đề 2.2 với X = Br (x). Khi đó tồn tại x ∈ B r (x) ⊂ Br (x) thỏa mãn
f (x) ≤ f (x) và
f (x) < f (y) + σ d (x, y) với mọi y ∈ Br (x) \ {x} .
Suy ra
f (x) − f (y)
< σ với mọi y ∈ Br (x) \ {x} .
d (x, y)
Do đó

lim sup
y→x

f (x) − f (y)
≤σ.
d (x, y)

Vậy |∇f | (x) = |∇f|Br (x) | (x) ≤ σ < σ.
Chúng ta có thể dùng công cụ độ dốc để xét tính không rỗng của một tập, ta đi
xét Mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 2.3. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa
liên tục dưới, U là tập con của X, α ∈ R, σ > 0 , ρ > 0. Giả sử U ∩ [f < α + σρ] = ∅
và
|∇f | (x) ≥ σ.

inf
x∈Bρ (U )∩[α
23