VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN và lý THUYẾT điều KHIỂN hệ THỐNG

VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

ĐOÀN THỊ THANH HUYỀN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014


VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

ĐOÀN THỊ THANH HUYỀN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH NGUYỄN KHOA SƠN

HÀ NỘI - 2014

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn
Khoa Sơn người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này. Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công
việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức
trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin
bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành,
hết lòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như
làm luận văn thạc sĩ này.
Tác giả

Đoàn Thị Thanh Huyền

i


Mục lục
Mở đầu

1

Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt

1

1 Mở đầu

2

2

5

Một số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học
2.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Điều khiển tên lửa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

2.2.2

Điều khiển nhiệt độ thanh vật liệu . . . . . . . . . . 10

3 Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

11

3.1

3.2

Khái niệm về điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ma trận điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3

Tính quan sát được của hệ tuyến tính điều khiển được . . . 20

4 Hệ vô hạn chiều
23
4.1 Hệ điều khiển tuyến tính mô tả bởi nửa nhóm C0 . . . . . . 23
4.2

Toán tử điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3
4.4

Các khái niệm khác nhau của điều khiển được . . . . . . . . 28
Hệ với các toán tử bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Tài liệu tham khảo

35

ii


Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt

R
C
X, Y
Rn
A, B, C
rankA
D(A)
U
C[0, 1]
L(X, Y )

tập các số thực
tập các số phức
không gian Banach
không gian Euclide n chiều
ma trận
hạng của ma trận A
miền xác định của toán tử A
tập các tham số điều khiển
tập các hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, 1]
không gian Banach của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn.
Ánh xạ X vào Y

Lp [a, b]

không gian các hàm khả tích

1

Chương 1

Mở đầu
Lý thuyết điều khiển được phát triển từ 150 năm trước đây, khi các
bài toán điều khiển trong cơ học bắt đầu được mô tả và phân tích bằng
ngôn ngữ toán học. Hiện nay, lý thuyết điều khiển tiếp tục được phát triển
mạnh mẽ và được xem là một lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụng trong
thực tế. Một trong các khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển là tính
điều khiển được.
Trong trường hợp hữu hạn chiều, hệ điều khiển tuyến tính x˙ = Ax +

Bu, A ∈ Kn×n , B ∈ Kn×n với K = R hoặc C được gọi là điều khiển được
nếu cho trạng thái tùy ý ban đầu x(0) = x0 và trạng thái mong muốn cuối
cùng là x1 , thì tồn tai một số T > 0 và một hàm điều khiển u(t) ∈ Ω ⊂ Km ,
sao cho x(T ) − x1 = 0 (hàm u(t) chỉ cần giả thiết là hàm đo được trên
[0, T ]). Khi đó, ta gọi cặp ma trận (A, B) ∈ Kn×n × Kn×m là điều khiển
được. Đối với trường hợp hệ vô hạn chiều, tính điều khiển được phát biểu
tương tự, tuy nhiên do đặc thù vô hạn chiều của không gian trạng thái nên
bên cạnh tính điều khiển "chính xác" như phát biểu trên đây người ta còn
phải xét đến khái niệm điều khiển được xấp xỉ : x(T ) − x1 < , với mọi
> 0 cho trước. Khái niệm về tính điều khiển được đã được Kalman đưa
ra và bắt đầu nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỷ trước và thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong suốt nửa thế kỷ qua.
Bài toán chủ yếu được các nhà toán học tập trung nghiên cứu trong lĩnh
vực này là tìm các tiêu chuẩn (điều kiện cần và đủ) để kiểm tra tính điều
khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều và vô hạn chiều tổng quát nói
2

Chương 1. Mở đầu
trên cũng như đối với các dạng hệ khác như: hệ tuyến tính không dừng
(tức là khi các ma trận của hệ phụ thuộc thời gian A(t), B(t)), hệ thời
gian rời rạc, hệ kỳ dị (tức là hệ có dạng E x˙ = Ax + Bu), hệ có chậm (ví
dụ: x(t)
˙
= A0 x(t) + A1 x(t − h) + Bu), v.v. Trong những năm gần đây,
vấn đề đang được quan tâm đặc biệt là nghiên cứu tính điều khiển được
của các hệ chịu ảnh hưởng của các "nhiễu nhỏ" và xác định bán kính điều
khiển được của hệ nhằm định lượng hóa tính vững (robustness) của tính
điều khiển được của hệ dưới tác động của nhiễu. Các bài toán về sự liên
quan của tính điều khiển được với các tính chất khác như: tính ổn định,
tính quan sát được, tính ổn định hóa được, v.v. cũng được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu. Các bài toán tương tự cho các hệ phi tuyến và
các hệ tổng quát khác cũng được nhiều tác giả nghiên cứu với rất nhiều
kết quả phong phú và sâu sắc.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản của tính
điều khiển được trong không gian hữu hạn chiều và trong không gian vô
hạn chiều.
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu
tham khảo và ba chương với nội dung sau:
Chương 2: Trình bày một số kiến thức chung về lý thuyết điều khiển,
các khái niệm cơ bản và các bài toán về tính chất định tính của hệ tuyến
tính, và một số ví dụ minh họa cho các tính chất và bài toán được nghiên
cứu trong lý thuyết định tính các hệ điều khiển.
Chương 3: Trình bày các định lý và mệnh đề chính về tính điều khiển
được tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều và ví dụ.
Chương 4: Trình bày về tính điều khiển được trong không gian vô hạn
chiều, bao gồm các hệ được mô tả bởi nửa nhóm của các toán tử tuyến
tính bị chặn trong không gian vô hạn chiều và trường hợp riêng là các hệ

được mô tả bởi toán tử tuyến tính bị chặn A, B . Các tiêu chuẩn điều khiển
được chính xác và xấp xỉ sẽ được phát biểu và chứng minh. Một số ví dụ
được đưa ra để minh họa và nêu rõ sự khác biệt giữa hệ hữu hạn chiều và
vô hạn chiều.
Trong phần kết luận sẽ giới thiệu ngắn gọn một số kết quả tiêu biểu
3


Chương 1. Mở đầu
trong các bài toán có liên quan khác như: bài toán quan sát được, bài toán
ổn định hóa được, bài toán điều khiển hệ có ràng buộc trên điều khiển và
bài toán tính bán kính điều khiển được.

4


Chương 2

Một số bài toán cơ bản của lý
thuyết điều khiển toán học

2.1

Một số khái niệm

Xuất phát điểm của lý thuyết điều khiển là phương trình vi phân

f (0) = x ∈ Rn

y˙ = f (y, u),

(2.1)

với vế bên phải phụ thuộc tham số u ∈ U ⊂ Rn . Tập U là tập các tham
số điều khiển. Phương trình vi phân phụ thuộc tham số là một trong các
đối tượng nghiên cứu của lý thuyết phương trình vi phân cổ điển trong
một thời gian dài, ví dụ: bài toán về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm
vào tham số đã được nghiên cứu và giải quyết, dưới những điều kiện thích
hợp. Tuy nhiên các vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển toán học
có nội dung và đặc thù hơi khác trong đó khái niệm điều khiển đóng vài
trò then chốt. Sự điều khiển được chia làm hai loại: "điều khiển vòng kín"
(closed loop control) và "điều khiển vòng hở" (open loop control). Điều
khiển vòng hở là một hàm bất kỳ u(.) : [0; +∞) −→ U sao cho phương
trình:

y(t)
˙ = f (y(t), u(t)),

t ≥ 0,

y(0) = x

(2.2)

có nghiệm xác định.
Điều khiển vòng kín được định nghĩa bằng ánh xạ k : Rn −→ U , có thể
5


2.1. MỘT

Chương
SỐ KHÁI
2. Một
NIỆMsố

bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học

phụ thuộc tham số t ≥ 0, sao cho phương trình

y(t)
˙ = f (y(t), k(y(t))),

t ≥ 0,

y(0) = x

(2.3)

có nghiệm xác định. Khi đó, ánh xạ k(.) được gọi là thông tin phản hồi.
Điều khiển còn được gọi là chiến lược hay đầu vào, và nghiệm tương ứng
của 2.2 và 2.3 được gọi là trạng thái hay đầu ra của hệ.
Mục đích chính của lý thuyết điều khiển là tìm điều khiển (hay chiến
lược, đầu vào) sao cho trạng thái (hay đầu ra) y(t) tương ứng có được các
tính chất mong muốn. Phụ thuộc vào tính chất của đầu ra liên quan chúng
ta có các khái niệm định tính và các bài toán điều khiển khác nhau.
Tính điều khiển được
Một trạng thái z ∈ Rn gọi là đạt được từ x trong thời gian T , nếu tồn
tại điều khiển vòng hở u(.) sao cho nghiệm y(.), y(0) = x, y(T ) = z . Nếu
mọi trạng thái bất kỳ z có thể đạt được từ một trạng thái tùy ý x trong
thời gian T , thì hệ 2.1 được gọi là điều khiển được. Trong một số tình

huống chúng ta cần các tính chất điều khiển được yếu hơn, ví dụ chuyển
từ một trạng thái bất kỳ đến một trạng thái cho trước, cụ thể là gốc hoặc
một điểm cân bằng nào đó. Bài toán tìm các đặc trưng có thể sử dụng
để kiểm tra tính điều khiển được của một hệ điều khiển là một bài toán
quan trọng của lý thuyết điều khiển, tuy nhiên đến nay chỉ mới được giải
quyết cho các trượng hợp riêng, chẳng hạn đối với hệ tuyến tính.
Tính ổn định định hóa được
x, u¯)
Giả sử tồn tại x ∈ Rn và u ∈ U , sao cho f (x, u) = 0. Khi đó (¯
gọi là cặp điểm dừng của hệ thống
Hàm k : Rn −→ U thỏa mãn k(x) = u được gọi là điều khiển phản hồi
ổn định hóa (stabilizing feedback control) nếu x là một trạng thái dừng
ổn định đối với hệ

y˙ = f (y(t), k(y(t))),

t ≥ 0,

y(0) = x.

(2.4)

Trong lý thuyết của phương trình vi phân có một vài phương pháp để xác
định một trạng thái cân bằng cho trước có ổn định hay không. Trong lớp
các phương trình dạng (2.4), câu hỏi có tồn tại hay không một trạng thái

x ổn định là một vấn đề mới.
6

2.1. MỘT
Chương
SỐ KHÁI
2. Một
NIỆMsố

bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học

Tính quan sát được
Trong nhiều tình huống trong thực tế, ta không quan sát được trạng thái

y(t) mà là hàm h(y(t)), t ≥ 0. Do đó, ta cần thiết phải nghiên cứu hai
phương trình
y˙ = f (y, u), y(0) = x
(2.5)
w = h(y).

(2.6)

Hệ thức 2.6 được gọi là phương trình quan sát. Hệ gồm 2.5 và 2.6 được
gọi là quan sát được nếu: biết trước hàm điều khiển u(.) và hàm quan sát
w(.) trên một đoạn [0, T ] cho trước, chúng ta có thể xác định duy nhất
điều kiện ban đầu x.
Ổn định hóa của hệ quan sát được một phần
Bài toán ổn định hóa trên đây sẽ trở nên phức tạp hơn nếu giả thiết
rằng ta chỉ quan sát được một phần đầu ra, nói cách khác ta không biết

y(t) mà chỉ biết hàm w(t) = h(t) . Tính huống này dẫn đến hệ điều khiển
vòng kín dạng
y˙ = f (y, k(h(y))), y(0) = 0.

(2.7)
Bài toán tìm điều kiện tồn tại hàm điều khiển k(.) sao cho điểm dừng x
¯
là điểm cân bằng ổn định của hệ 2.7 là bài toán khó, hiện chưa có lời giải
trọn vẹn.
Bài toán hiện thực hóa
Liên quan đến 2.5 và 2.6, người ta đặt ra bài toán về hiện thực hóa hệ
thống như sau.
Cho trước điều kiện ban đầu x ∈ Rn , khi đó hệ 2.5 - 2.6 xác định một
ánh xạ R biến điều khiển vòng hở u(.) thành đầu ra xác định bởi 2.6:

w(t) = h(y(t)), t ∈ [0, T ]. Ánh xạ R được gọi là ánh xạ vào - ra của
hệ 2.5, 2.6 và hệ 2.5, 2.6 gọi là hiện thực hóa của R. Bài toán hiện thực
hóa (realization) nghiên cứu các tính chất của R và tìm điều kiện để một
ánh xạ cho trước có thể hiện thực hóa được bởi hệ dạng 2.5, 2.6 nào đó.
Ngoài ra, người ta còn xét bài toán: trong tất cả các hiện thực hóa f, h có
thể của R, tìm hiện thực hóa đơn giản nhất theo một nghĩa nào đó (ví dụ
có số chiều nhỏ nhất). Cho đến nay, bài toán hiện thực hóa chỉ mới được
7


2.1. MỘT
Chương
SỐ KHÁI
2. Một
NIỆMsố

bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học

giải quyết cho các hệ tuyến tính (tức là : f (y, u) = Ay + Bu, h(y) = Cy ,

với A, B, C là các ma trận ).
Bài toán điều khiển tối ưu
Các bài toán trên đây chủ yếu nghiên cứu các tính chất định tính và
tính chất cấu trúc của hệ điều khiển. Trong lý thuyết điều khiển hệ thống,
bài toán điều khiển tối ưu cũng có ý nghĩa rất quan trọng và được quan
tâm nghiên cứu. Nói một cách đại thể, bài toán điều khiển tối ưu nhằm
giải quyết vấn đề: trong số các điều khiển (đầu vào) cho ta các trạng thái
(đầu ra) mong muốn, có hay không và làm thế nào tìm được cái tốt nhất
theo một nghĩa nào đó. Chẳng hạn, trong bài toán thời gian tối ưu ta tìm
điều khiển chuyển hệ thống từ trạng thái x tới z trong thời gian T nhỏ
nhất. Ví dụ khác, cho thời gian T > 0 cố định, tìm điều khiển u(.) để cực
tiểu hóa tích phân
T

g(y(t), u(t))dt + G(y(T )) −→ min,
0

trong đó, g và G là các hàm cho trước. Đây là lĩnh vực được nghiên cứu
mạnh trong lý thuyết điều khiển hệ thống. Các bài toán chính là : các
định lý tồn tại điều khiển tối ưu, các điều kiện cần của tối ưu (trong đó
nổi bật nhất là nguyên lý cực đại Pontryaghin), các điều kiện đủ và các
thuật toán số giải bài toán điều khiển tối ưu.
Hệ trên đa tạp
Sự khó khăn của các tính chất khác nhau xảy ra nếu không gian trạng
thái không là Rn hay một tập mở của Rn mà trên một đa tạp. Nó cực kỳ
khó nếu quan tâm đến tính chất toàn cục của hệ điều khiển. Cũng tương
tự như trong cơ học cổ điển,các công cụ và phương pháp của hình học vi
phân được sử dụng để nghiên cứu các bài toán điều khiển hệ thống trên
đa tạp. Tuy nhiên cho đến nay, các kết quả phần lớn chỉ có ý nghĩa lý
thuyết.

Hệ vô hạn chiều
Bài toán nhắc đến ở trên luôn có ý nghĩa nếu nếu chúng ta thay
phương trình vi phân bằng phương trình đạo hàm riêng loại parabolic
8


2.2. MỘT
Chương
SỐ VÍ2.DỤMột

số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học

hoặc hyperbolic. Tuy nhiên, phương pháp giải phức tạp hơn nhiều.
Hệ thời gian rời rạc
Tất cả các khái niệm và bài toán trên đây có thể được phát biểu tương
tự cho các hệ điều khiển với thời gian rời rạc. Ví dụ, thay cho hệ điều
khiển 2.2 ta có thể xét hệ rời rạc

y(k + 1) = f (y(k), u(k)), k = 1, 2, ... y(0) = x.

(2.8)

Các hệ rời rạc có thể thu được bằng cách sai phân hóa hệ liên tục, nhưng
cũng có thể dược xây dựng trực tiếp như là các mô hình toán học của hệ
thực tiễn trong đó các thông số và biến trạng thái của mô hình được đo
tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau (ví dụ: hằng năm, hằng tháng,
hằng phút, ...).

2.2
2.2.1

Một số ví dụ
Điều khiển tên lửa

Nếu bỏ qua lực cản không khí, chuyển động của một tên lửa đẩy bay
thẳng đứng có thể mô tả bởi phương trình

h˙ = v,
mv˙ = −mg + f,
trong đó h(t) là độ cao, m(t) là khối lượng của tên lửa, f (t) là lực đẩy của
động cơ (tại thời điểm t). Đặt x1 = h, x2 = v, u = f /m − g ta thu được
hệ điều khiển tuyến tính

x˙ 1 = x2
x˙ 2 = u,
(với các ràng buộc trên biến trạng thái và biến điều khiển). Có thể chứng
minh, với một số điều kiện, hệ là điều khiển được và ta có thể đặt bài toán
điều khiển tối ưu theo thời gian hoặc năng lượng cho bài toán đưa tên lửa
lên độ cao và vận tốc cho trước. Trong trường hợp tính đến lực cản không

9


2.2. MỘT
Chương
SỐ VÍ2.DỤMột

số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học

khí p (là hàm phi tuyến phụ thuộc vào độ cao và vận tốc của tên lửa) thì

ta có mô hình phi tuyến

x˙ 1 = x2

(2.9)

x˙ 2 = p(x1 , x2 ) + u.

(2.10)

Khi đó bài toán điều khiển cũng trở nên phức tạp hơn.
2.2.2

Điều khiển nhiệt độ thanh vật liệu

Giả sử thanh vật liệu có độ dài = 1 với hai đầu được cách ly nhiệt,
có nhiệt độ ban đầu x(θ) tại điểm θ ∈ [0, 1] và được đốt nóng với cường
độ u(t)b(θ) . Ký hiệu y(t, θ) là nhiệt độ của thanh vật liệu tại thời điểm

t ≥ 0 và tại điểm θ ∈ [0, 1], khi đó theo các định luật về truyền nhiệt ta
có phương trình dạng parabolic mô tả sự thay đổi nhiệt của thanh vật liệu
như sau:
2
∂y
2 ∂ y
(t, θ) = α 2 2 (t, θ) + u(t)b(θ), t ≥ 0, θ ∈ (0, 1),
∂t
∂ θ
y(t, 0) = y(t, 1) = 0,

y(0, θ) = x(θ), θ ∈ [0, 1],

(2.11)
(2.12)
(2.13)

(trong đó tham số α là hệ số nhiệt dung của vật liệu). Với mô hình trên,
ta có thể đặt bài toán điều khiển nhiệt độ của thanh vật liệu như sau: Cho
trước thời gian T > 0 và phân bố nhiệt độ x
ˆ(θ), θ ∈ [0, 1], tìm hàm điều
khiển cường độ đốt nóng u(t), t ∈ [0, T ] sao cho y(T, θ) = x
ˆ(θ), ∀θ ∈ [0, 1].
Như vậy, nếu bài toán này có nghiệm với mọi hàm x
ˆ(.) thuộc không gian
hàm X[0, 1] nào đó thì hệ 2.11 có thể được xem là điều khiển được (trong
không gian X ) từ gốc.
Trong Chương 4 ta sẽ chỉ ra rằng hệ 2.11 có thể biểu diễn dưới dạng
một hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều sinh bởi nửa nhóm liên
tục mạnh các toán tử tuyến tính bị chặn.

10


Chương 3

Bài toán điều khiển được của hệ
tuyến tính
Trong chương này, đầu tiên trình bày một số khái niệm cơ bản của lý
thuyết điều khiển, sự điều khiển được và sự quan sát được. Tiếp theo sẽ
trình bày các công thức cụ thể của điều khiển chuyển hệ thống từ một

trạng thái sang một trạng thái khác, các đặc trưng đại số của các hệ tuyến
tính điều khiển được và quan sát được. Một số ví dụ được đưa ra để minh
hoa.

3.1

Khái niệm về điều khiển được

Lý thuyết điều khiển cổ điển xuất phát từ phương trình vi phân

dy
= Ay(t) + Bu(t),
dt

y(0) = x ∈ Rn , u(t) ∈ Rm

(3.1)

và phương trình quan sát

w(t) = Cy(t),

t≥0

(3.2)

với A : Rn → Rn , B : Rm → Rn , C : Rm → Rk là các toán tử tuyến tính,

u(t) là hàm khả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L1 [0, T ; Rm ] với mọi T > 0.
Ta đã biết phương trình 3.1 có nghiệm duy nhất

t

S(t − s)Bu(s)ds,

y(t) = S(t)x +
0

11


3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

ở đây S(t) = eAt =

∞
n=0

An n
n! t

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

là ma trận nghiệm cơ bản.

Định nghĩa 3.1.1. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a trong
thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trong [0, T ] sao cho
phương trình 3.1 có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.

Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0.
Định nghĩa 3.1.2. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a hay
trạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trong
thời gian T > 0 nào đó.
Định nghĩa 3.1.3. Hệ 3.1 được gọi là điều khiển được trong thời gian
T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trong
thời gian T.
Định nghĩa 3.1.4. Hệ 3.1 được gọi là điều khiển được nếu b và a là hai
trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a.

3.2

Ma trận điều khiển được

Một hàm bất kỳ U (.) xác định trên [0; +∞) khả tích địa phương và có
các giá trị trong Rn sẽ được gọi là một sự điều khiển, chiến lược hoặc đầu
vào của hệ 3.1 - 3.2. Nghiệm tương ứng của phương trình 3.1 sẽ được ký
hiệu là y x,u (.) để nhấn mạnh sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x và đầu
vào U (.). Hệ 3.2 có thể được viết theo cách sau:

w(t) = Cy x,u (t), t ∈ [0; T ].
Hàm w(t) là kết quả đầu ra của hệ điều khiển.
Chúng ta giả sử rằng C = I hay w(t) = y x,u (t), t ≤ 0. Ta nói một điều
khiển u chuyển một trạng thái a tới trạng thái b thì tại thời điểm T > 0
nếu

y a,u (T ) = b.

(3.3)

Ta nói trạng thái a bị chuyển sang trạng thái b tại thời điểm T hay trạng
thái b đạt được từ trạng thái a tại thời điểm T . Mệnh đề dưới đây nêu lên
12


3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

công thức điều khiển chuyển từ a tới b. Trong công thức này ma trận QT
gọi là ma trận điều khiển được Gramaian:
T

S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr, T > 0

QT =
0

QT là đối xứng và xác định không âm.
Bổ đề 3.2.1. Giả sử với T > 0 nào đó, ma trận QT không suy biến khi
đó với mọi a, b ∈ Rn điều khiển u(s) = −B ∗ S ∗ (t − s)Q−1
T (S(T )a − b), s ∈

[0, T ] dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b trong thời gian T , tức là
với điều khiển như trên hệ 3.1 có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.
Chứng minh. Ta có
t

S(t − s)Bu(s)ds

y(t) = S(t)a +
0
t

= S(t)a −
0

S(t − s)BB ∗ S ∗ (t − s)Q−1
T (S(T )a − b)ds.

Dễ thấy y(0) = S(0)a = a.
T

y(T ) = S(T )a −
0

S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)ds Q−1
T (S(T )a − b)

= S(T )a − QT Q−1
T (S(T )a − b)
= b.

Bổ đề 3.2.2. Nếu mọi trạng thái b ∈ Rn đều đạt được từ 0, khi đó ma
trận QT không suy biến với mọi T > 0
Chứng minh. Xét
T

LT u =

S(r)Bu(T − r)dr.
0

Suy ra LT u = y u (t) trong đó y u (t) là nghiệm của hệ 3.1 thỏa mãn y u (0) =
0. Đặt ET = LT (L1 [0, T ; Rm ]) là không gian véc tơ con của Rn . Vì mọi

b ∈ Rn đều đạt được từ 0 nên ∪T >0 ET = Rn . Nếu T < T thì ET ⊂ ET ,

13


3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

từ đó suy ra tồn tại T0 sao cho ET = Rn , ∀T ≥ T0 . Với mọi T > 0, v ∈
Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ] ta có
T

T
∗

QT v, v =

∗

B ∗ S ∗ (r)v 2 dr

S(r)BB S (r)dr v, v =
0

0

T

u(r), B ∗ S ∗ (T − r)v dr.

LT u, v =
0

Vì thế nếu QT v = 0 với v nào đó thuộc Rn , T > 0 thì hàm B ∗ S ∗ (r)v
đồng nhất bằng 0 trong [0, T ] cho nên suy ra ET vuông góc với v . Do hàm
f (r) = B ∗ S ∗ (r)v là hàm giải tích (có thể khai triển thành chuỗi Taylor
vô hạn) và f (r) = 0 với mọi r ∈ [0, T ] cho nên f (r) phải bằng 0 với mọi
r ∈ R+ . Từ công thức biểu diễn của QT suy ra QT v = 0, ∀T > 0, cụ thể

QT0 v = 0 cho nên v vuông góc với ET0 = Rn . Suy ra v = 0. Vậy QT là
không suy biến với mọi T > 0.
Bổ đề 3.2.3. Im(LT ) = Im(ln ) với mọi T > 0.
Chứng minh. ∀v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ], uj ∈ Rm , j = 0, 1 . . . , n − 1 ta có:
T

u(s), B ∗ S ∗ (T − s)v ds,

LT u, v =
0

ln (u0 , . . . , un−1 ) = u0 , B ∗ v + . . . + un−1 , B ∗ (A∗ )n−1 v .
Xét v nào đó, giả sử ln (u0 , . . . , un−1 ), v = 0, ∀u0 , . . . , un−1 ∈ Rm . Suy ra

B ∗ v = . . . = B ∗ (A∗ )n−1 v = 0.
Theo Định lý Caley - Hamilton (A∗ )n + a1 (A∗ )n−1 + . . . + an = 0. Suy ra
n−1

n
∗ n−k

∗ n

(A ) = −

ak (A )

ck (A∗ )k .

=
k=0

k=1

Bằng truy hồi thu được
n−1
∗ n+l

(A )

cl,k (A∗ )k , ∀l ≥ 0.

=
k=0

Từ đó suy ra B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó
∞
∗

∗

∗ A∗ t

B S (t)v = B e

tk
B (A ) v = 0, ∀t ≥ 0.
k!
∗

v=
k=0

14

∗ k

3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

Suy ra
T

u(s), B ∗ S ∗ (T − s)v ds = 0, ∀u ∈ L1 [0, T ; Rm ], ∀T > 0.

LT u, v =
0

Ngược lại, giả sử LT u, v = 0, ∀u ∈ L1 [0, T, Rm ]. Suy ra B ∗ S ∗ (t)v = 0
với mọi t ∈ [0, T ]. Đặt f (t) = B ∗ S ∗ (t)v. Suy ra f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N. Suy
ra B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó

ln (u0 , . . . , un−1 ), v = 0, ∀u0 , . . . , un−1 ∈ Rm .
Vậy Im(LT )⊥ = Im(ln )⊥ , điều này tương đương với Im(LT ) = Im(ln ).
Mệnh đề 3.2.1. Giả sử rằng với T > 0, ma trận QT không suy biến. Khi
đó
i. ∀a, b ∈ Rn , sự điều khiển

U (s) = −B ∗ S ∗ (T − s)Q−1
T (S(T )a − b),

s ∈ [0, T ]

(3.4)

chuyển từ a tới b tại thời điểm T .
ii. Trong tất cả các điều khiển U (.) chuyển a tới b tại thời điểm T điều
T
khiển u tối thiểu tích phân 0 |u(s)|2 ds. Hơn nữa,
T
0

|u(s)|2 ds = Q−1
T (S(T )a − b), S(T )a − b .

(3.5)

Chứng minh. Từ 3.4 a có điều khiển u là trơn hoặc thậm chí phân tích từ
3.3 và 3.4 ta có
T

y

a,u

(T ) = S(T )a −
0

S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)ds)(Q−1
T (S(T )a − b)

= S(T )a − QT (Q−1
T (S(T )a − b))

=b
i. được chứng minh. Để chứng minh ii. ta chú ý rằng 3.5 là hệ quả của

15


3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

phép tính đơn giản sau:
T

T
2

|u(s)| ds =
0

0

2
|B ∗ S ∗ (T − s)Q−1
T (S(T )a − b)| ds

T
−1

S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)(Q−1
T (S(T )a − b))ds, QT (S(T )a − b)

=
0

−1
= QT Q−1
T (S(T )a − b), QT (S(T )a − b)

= Q−1
T (S(T )a − b), (S(T )a − b) .
Gọi u(.) là điều khiển bất kỳ từ a tới b tại thời điểm T . Giả sử rằng u(.)
khả tích cấp 2 trên [0; T ]. Khi đó,
T

T

u(s), B ∗ S ∗ (T − s)Q−1
T (S(T )a − b) ds

u(s), u(s) ds = −
0

0
T

S(T − s)Bu(s)ds, (Q−1
T (S(T )a − b))

=−
0

= S(T )a − b, Q−1
T (S(T )a − b) .
Do đó

T
0

u(s), u(s) ds =

T
0

T

u(s), u(s) ds. Từ đó, ta có
T

2

|u(s)| ds =
0

T
2

|u(s) − u(s)|2 ds

|u(s)| ds +
0

0

và hệ quả là tính chất cơ bản.
Mệnh đề 3.2.2. Nếu trạng thái tùy ý b ∈ Rn có thể đạt được từ 0 thì ma
trận QT là không suy biến với mọi T > 0 tùy ý.
Chứng minh. Cho điều khiển u và T > 0, đặt
T

LT u =

S(r)Bu(T − r)dr.

(3.6)

0

Công thức 3.6 định nghĩa toán tử tuyến tính từ UL = L−1 [0, T ; Rm ] vào
Rn . Chú ý

LT u = y 0,u (T )

(3.7)

Đặt ET = LT (UT ), T > 0. Từ 3.6, lớp không gian tuyến tính ET không

16

3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

suy biến với T > 0 tùy ý, v ∈ Rn và u ∈ VT
T

S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr v, v

QT v, v =
0

(3.8)

T
∗

∗

2

|B S (r)v| dr;

=
0

T

u(r), B ∗ S ∗ (T − r)v dr.

LT u, v =

(3.9)

0

Từ 3.8, 3.9 ta có QT v = 0 với v ∈ Rn nếu không gian ET là trực giao với
v hoặc nếu hàm B ∗ S ∗ (.) trùng với 0 trên [0, T ]. Từ sự phân tích của hàm
này nó bằng 0 mọi nơi. Do đó nếu QT v = 0 với T > 0 thì QT v = 0. Vì

ET = Rn ta có v = 0 và QT không suy biến.
Điều kiện đủ cho sự điều khiển là hạng của B = n.
Cho hai ma trận A ∈ M (n, n), B = M (m, n), ký hiệu [A|B] bằng ma
trận [B, AB, . . . , An−1 B] ∈ M (n, nm) chứa các cột lần lượt là B, AB, . . . , An−1 B .
Định lý 3.2.1. Các điều kiện sau là tương đương
i. Một trạng thái tùy ý b ∈ Rn luôn có thể đạt được từ 0;
ii. Hệ 3.1 là điều khiển được;
iii. Hệ 3.1 điều khiển được tại thời điểm T > 0 cho trước;
iv. Ma trận QT không suy biến với một vài T > 0;
v. Ma trận QT không suy biến với mọi T > 0;
vi. Rank[A|B] = n.
Chứng minh. i −→ v : Áp dụng Bổ đề 3.2.2

v −→ iv : Hiển nhiên.
iv −→ iii: QT không suy biến ở thời gian T > 0 nào đó. Áp dụng Bổ đề
3.2.1 suy ra Hệ 3.1 là điều khiển được trong thời gian T .

iii −→ ii: Hiển nhiên.
ii −→ i: Do hệ là điều khiển được nên ∀b ∈ Rn đều đạt được từ 0.
iii −→ vi: Hệ 3.1 là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó. Suy ra LT
là toàn ánh. Từ Bổ đề 3.2.3 suy ra ln là toàn ánh. Do đó rank[A|B] = n.
17


3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

vi −→ i: rank[A|B] = n suy ra ln là toàn ánh.Từ Bổ đề 3.2.3 suy ra LT
là toàn ánh với mọi T > 0. Do đó mọi b ∈ Rn đạt được từ 0.
Ví dụ 3.1. Xét tính điều khiển được của hệ sau

x˙ 1 = x1 + 3x2 + 3u
x˙ 2 = x1 + u
Ta có

A=

1 3
1 0

rank[A, AB] =

,

3
1

B=

3 6
1 3

;

= 2, với AB =

6
3

.

Vậy hệ đã cho là điều khiển được (theo điều kiện Kalman).
Ví dụ 3.2. Xét hệ

d(n)
d(n−1)
z
+
a
1 (n−1) z + . . . + an z = u
dt(n)
dt
với điều kiện ban đầu

z(0) = ξ1 ,

dz
(0) = ξ2 ,
dt

...,

d(n−1) z
(0) = ξn .
dt(n−1)

dz
d(n−1) z
(t), . . . , (n−1) (t), t ≥ 0 là tọa độ của hàm y(t), t ≥ 0 và
dt
dt
ξ1 , . . . , ξn là tọa độ của vecto x. Khi đó phương trình vi phân trên được
đưa về phương trình vi phân cấp 1
Đặt z(t),

y(0) = x ∈ Rn

y˙ = Ay + Bu,
trong đó, ma trận A và B có

0
1


 0
0
 .
..
.
A=
.
 .

0
 0

−an −an−1

dạng

...
...

0
0
..
.

...
... 0
. . . −a2
18

0

0
..
.






,


1 
−a1



0
0
..
.




B=


0
1











3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN
Chương
ĐƯỢC
3.

Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính

suy ra








j
AB=









0

.. 
. 



0 




,
và
rank[A|B]
=
rank
1 




c1j 


.. 
. 
cjj

0
0
..
.

1
0
..
.

0 1
1 c11

...
...

0
1
..
.

...
. . . cn−3,n−2
. . . cn−2,n−2

1




cn−1,1 

..
.
.


cn−2,n−1 
cn−1,n−1

Vậy do điệu kiện hạng Kalman phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
với hệ số hằng là điều khiển được.
Định lý 3.2.2. (Điều kiện hạng Hautus) Hệ 3.1 là điều khiển được khi và
chỉ khi

rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C.
Chứng minh. Một cách tổng quát ta xét A ∈ Cn×n , B ∈ Cn×m . Giả sử hệ
3.1 là điều khiển được. Khi đó bởi điều kiện hạng Kalman suy ra

B Cm + AB Cm + . . . + An−1 B Cm = Cn .
Mặt khác ta có Ak Bu = (A − λI + λI)k Bu = (A − λI)v + λk Bu với mọi

u ∈ Cm . Suy ra Ak B Cm ⊂ (A − λI)Cn + B Cm với mọi k. Do đó
Cn = B Cm + AB Cm + . . . + An−1 B Cm = (A − λI)Cn + B Cm ,
điều này tương đương với rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C. Ngược lại,

giả sử rank[A−λI, B] = n với mọi λ ∈ C. Gọi λ1 , λ2 , . . . , λn là các nghiệm
của phương trình Pn (λ) = det[A − λI] = 0. Theo Định lý Caley-Hamilton
ta có

P (A) = (A − λ1 I)(A − λ2 I) . . . (A − λn I) = 0.
Đặt Tk = (A − λ1 I)(A − λ2 I) . . . (A − λk I). Ta sẽ chứng minh bằng qui
nạp

Tk Cn + B Cm + AB Cm + . . . + Ak−1 B Cm = Cn với mọi k.

19


3.3. TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC
Chương
CỦA 3.
HỆBài
TUYẾN
toánTÍNH
điều
ĐIỀU
khiển
KHIỂN
được
ĐƯỢC
của

hệ tuyến tính

Rõ ràng điều này đúng với k = 1 vì rank[A − λ1 I, B] = n. Ta có

Cn = (A − λk+1 I)Cn + B Cm

= (A − λk+1 I)(Tk Cn + B Cm + AB Cm + . . . + Ak−1 B Cm ) + B Cm
⊂ Tk+1 Cn + B Cm + AB Cm + . . . + Ak B Cm .
Suy ra đẳng thức đúng với k + 1. Với k = n thì Tn = 0 nên ta thu được

B Cm + AB Cm + . . . + An B Cm = Cn
Do vậy rank[A|B] = n cho nên hệ 3.1 là điều khiển được.
Ví dụ 3.3. Xét hệ điều khiển x˙ = Ax + Bu với A =

0 1
1
,B =
.
1 0
0

−λ 1 1
= 2 với mọi λ ∈ C. Vậy bởi
1 −λ 0
điều kiện hạng Hautus hệ này là điều khiển được.
Ta có rank[A − λI, B] = rank

3.3

Tính quan sát được của hệ tuyến tính điều khiển
được

Cho B = 0 thì hệ 3.1 là đồng nhất với phương trình tuyến tính:

z˙ = Az, z(0) = x

(3.10)

Tính quan sát được của w(t) = Cy(t), t ≥ 0 là không đổi,

w = Cz.

(3.11)

nghiệm của 3.11 được kí hiệu bởi z x (t), t ≥ 0 với z x (t) = S(t)x, x ∈ Rn .
Từ 3.10 và 3.11 hoặc cặp (A, C) được gọi là quan sát được nếu cho
∀x ∈ Rn , x = 0 thì ∃t > 0 sao cho w(t) = Cz x (t) = 0.
Nếu T > 0, ∀x = 0 thì tồn tại t ∈ [0, T ] và các tính chất ở trên hệ 3.10
và 3.11 hoặc cặp (A, C) là quan sát được tại thời điểm T và ma trận quan
sát được
T

S ∗ (r)C ∗ S(r)dr.

RT =
0

20


3.3. TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC
Chương
CỦA 3.
HỆBài

TUYẾN
toánTÍNH
điều
ĐIỀU
khiển
KHIỂN
được
ĐƯỢC
của

hệ tuyến tính

Định lý 3.3.1. Các điều kiện sau là tương đương:
i. Hệ 3.10 và 3.11 là quan sát được.
ii. Hệ 3.10 và 3.11 là quan sát được tại T > 0.
iii. Ma trận RT là không suy biến với một số T > 0.
iv. Ma trận RT là không suy biến với mọi T > 0.
v. Rank[A∗ |C ∗ ] = n.
Chứng minh. Phương trình w(.) được phân tích đơn giản tương đương với
i. và ii.
Bên cạnh đó:
T

T

|Cz x (r)|2 dr

2

|w(r)| dr =

0

0

T

S ∗ (r)C ∗ CS(r)x, x dr

=
0

= RT x, x .
Do đó tính quan sát được tại T > 0 tương đương RT x, x = 0 với x = 0
bất kỳ và phần đối xứng của ma trận RT là đại lương không âm và không
suy biến, còn lại tương đương với Định lý 3.2.1 và sự quan sát được từ ma
trận điều khiển RT tương ứng với (A∗ , C ∗ ) là chính xác.
Ví dụ 3.4. Xét phương trình

dn (z)
dn−1 (z)
+
a
+ . . . + an z = 0,
1
dt(n)
dt(n−1)

(3.12)

w(t) = z(t), t ≥ 0

(3.13)

và giả sử:
Ma trân A và C tương ứng từ

0
1
...

 0
0
...
 .
.
..
.
..
A=
.
 .

0
...
 0

−an −an−1

3.12 và 3.13 có dạng:


0
0

0
0 
..
.. 
.
. 
, C = 1 0 ... 0 0

0
1 
. . . −a2 −a1
21