Luận án tiến sĩ toán học: Phương trình vi phân và hệ động lực

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CƠ BẢN TRONG KHOA HỌC TỰ NHIÊN





BÁO CÁO ĐỊNH KỲ
KẾT QUẢ THỰC HIỆN CỦA ĐỀ TÀI




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ HỆ ĐỘNG LỰC
Differential equations and Dynamical systems





Mãsố đề tài: 100106
Lónh vực: TOÁN HỌC
Chủ nhiệm đề tài: TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Cơ quan chủ trì: Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh,
Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh.

Thành phố Hồ Chí Minh 2007





MỤC LỤC


Trang

MỤC LỤC 00
BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN NĂM 2006 ĐỀ TÀI NGHIÊN
CỨU CƠ BẢN
01
I THÔNG TIN CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 01
II KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 02
1. Kết quả nghiên cứu 02
2. Các sản phẩm khoa học 03
2.1. Các công trình đã công bố trên các tạp chí 03
2.2. Các báo cáo khoa học 04
2.3. Các công trình đã hoàn thành và đã gửi xét công bố trên các tạp chí 05
2.4. Kết quả ứng dụng 05
3. Kết quả tham gia đào tạo sau đại học 06
III TÌNH HÌNH TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 07
1. Tổ chức thực hiện 07
2. Sử dụng kinh phí 07
IV CÁC KIẾN NGHỊ 08

PHẦN PHỤ LỤC 09
PHỤ LỤC A: Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến só và các ứng
viên chuẩn bò thi NCS trong phạm vi đề tài 09
PHỤ LỤC B: Danh sách các luận văn thạc só đã bảo vệ 11
PHỤ LỤC C: Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi
đề tài 13


1
BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN NĂM 2006
Đề tài nghiên cứu cơ bản

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ ĐỀ TÀI

1. Tên đề tài: Phương trình vi phân và hệ động lực.
Mãsố đề tài: 100106
Lónh vực: TOÁN HỌC Hướng: Giải tích toán học, Tối ưu và Điều khiển hệ thống.
2. Chủ nhiệm đề tài: TS. NGUYỄN THÀNH LONG
3. Đơn vò chủ trì: Bộ môn Toán Cao cấp, Khoa Toán-tin học, Đại học Khoa học Tự
nhiên Tp. Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ,
Quận 5, Tp. Hồ Chí Minh.
Điện thoại: 08.8353193 Fax: 08.8350096 Website:

4. Danh sách các cán bộ tham gia chính:

STT Họ tên Học vò,
Chức danh
Đơn vò công tác Ghi chú
01 Nguyễn Thành Long TS Đại học Khoa học Tự
nhiên Tp. HCM.

02 Đỗ Công Khanh GS.TSKH Đại học Tôn Đức
Thắng

03 Trần Văn Lăng PGS.TS Phân Viện Công nghệ
thông tin Tp. HCM.

04 Trần Minh Thuyết TS Đại học Kinh tế Tp.
HCM.

05 Trần Ngọc Diễm TS Đại học Bách Khoa
Tp. HCM

06 Bùi Tiến Dũng TS Đại học Kiến trúc Tp.
HCM.

07 Nguyễn Thò Thảo Trúc ThS Đại học Cần Thơ
08 Lê Thò Phương Ngọc ThS Trường Cao Đẳng Sư
phạm Nha Trang
Chuẩn bò bảo vệ
luận án TS cấp
Nhà nước
09 Dương Đặng Xuân Thành ThS Đại học Tôn Đức
Thắng
Chuẩn bò thi
NCS năm 2007
10 Lê Xuân Trường ThS Đại học Sư phạm Kỹ
thuật Tp. HCM.
Chuẩn bò thi
NCS năm 2007

11 Võ Giang Giai ThS Cộng tác viên, Bộ môn
Toán Cao cấp, Đại học
Khoa học Tự nhiên Tp.
HCM.
Chuẩn bò thi
NCS năm 2007

5. Thời gian thực hiện đã được phê duyệt: 24 tháng (Bắt đầu từ tháng 9/ 2006 đến
tháng 9/ 2008)

2

II. KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1. Kết quả nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu đề cập đến 2 vấn đề lớn của phương trình vi phân và các hệ
động lực. Trong các loại phương trình vi phân, nhiều nhà Toán học thường chú ý đến
những phương trình bắt nguồn từ các bài toán của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu
chúng ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp. Đề tài nghiên
cứu cũng đi vào một hướng lớn khác của lý thuyết hệ động lực tuyến tính là nghiên
cứu tính bền vững của các tính chất đònh tính (điều khiển được, quan sát được, ổn
đònh,…) của hệ động lực.

i) Hướng thứ nhất.
Phương trình vi phân.


- Các bài toán liên quan đến sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất đònh
tính khác của nghiệm của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và

không thuần nhất cụ thể.
- Các bài toán liên quan đến sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất ổn
đònh tiệm cận, và các tính chất đònh tính khác của nghiệm của các bài toán biên có
liên hệ với phương trình tích phân phi tuyến.

ii) Hướng thứ hai.
Hệ động lực.


Chúng tôi quan tâm đến tính bền vững của các tính chất đònh tính của hệ động
lực tuyến tính như tính điều khiển được, quan sát được, ổn đònh được. Với các loại
nhiễu cấu trúc khác nhau (lên toàn bộ hoặc từng tham biến của hệ) chúng tôi xác đònh
khoảng cách từ một hệ có các đặc tính nêu trên đến tập các hệ mà các tính chất đó bò
phá vỡ. Đây là hướng được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm trong vòng 20
năm gần đây.

Đề tài nầy đã nhận được nhiều kết quả mới trong các lãnh vực: Giải tích hàm
ứng dụng, phương trình vi phân, lý thuyết hệ các hệ động lực, bao gồm:

- 11 công trình đã công bố trên các tạp chí khoa học trong nước và Quốc tế có
uy tín.
- 06 công trình đã công bố trên các tạp chí các trường Đại học và các dạng tiền
ấn phẩm.
- 10 công trình đã hoàn thành và đã gửi xét công bố trên các tạp chí.
- 08 báo cáo tại các hội nghò khoa học.
- Hoàn thành 03 luận án tiến só (02 NCS đã bảo vệ cấp Nhà Nước và 01 NCS
đã bảo vệ cấp Cơ sở).
- Hoàn thành 09 luận án thạc só ( đã bảo vệ chính thức).

3
2. Các sản phẩm khoa học

2.1. Các công trình đã công bố trên các tạp chí

1. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
On a fixed point theorem of
Krasnosel'skii type and application to integral equations
, Fixed Point Theory and
Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages.
[ ]
2. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
A wave equation associated with mixed
nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set
,
Abstract and Applied Analysis, Vol. 2007 (2007), Article ID 20295, 17 pages.
[ /> ]
3. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave
equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion
of solutions
, Demonstratio Math. 40 (2) (2007), 365-392.
4. Lê Thò Phương Ngọc,
Applying fixed point theory to the initial value problem for the
functional differential equation with finite delay
, Vietnam Journal of Mathematics, 35
(1) (2007), 43–60.
5. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
A wave equation associated with mixed
nonhomogeneous conditions

:
Global existence and asymptotic expansion of solutions
,
Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods,
66 (7) (2007), 1526-1546. [ ]
6. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
Existence and asymptotic expansion for a
nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions
, Nonlinear
Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (6)
(2007), 1791-1819. [ ]
7. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường,
Existence and asymptotic expansion for a
viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition
, Nonlinear Analysis,
Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842-
864.
[ ]
8. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường,
Existence and asymptotic expansion of
solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary
,
Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007(2007), No. 48, pp. 1-19.
ISSN: 1072-6691. URL: , .
9. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường,
A shock problem involving a
nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition
,
Demonstratio Math. 41 (2007) (accepted for publication).
10. Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành,

Robust stability of
Metzler operator and delay equation in

(
)
,];0,[ XhL
p
− Vietnam Journal of
Mathematics, 34 (3) (2006), 357–368.
11. Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành,
Controllability radii and of time
invariant linear systems
, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (4) (2006) (accepted for
publication).


4
Ngoài ra có một số công trình đã công bố trên các tạp chí chí trường Đại học
và các dạng tiền ấn phẩm.

1. Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh,
Tính ổn đònh nghiệm của phương trình sóng
phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến
, Tạp chí Khoa học Đại học
Sư phạm Tp. HCM, tập 42, số 8 (2006), 33-43.
2. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng
phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff
, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, trường ĐHSP Tp. HCM,
42 Số 8 (2006), 44-61.

3. Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường,
Va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi
nhớt phi tuyến chứa phi tuyến liên kết với một điều kiện biên phi tuyến
, Tạp chí Khoa
học Đại học Sư phạm Tp. HCM, tập 42, số 8 (2006), 70-81.
4. Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai,
Về một hệ elliptic p-Laplace
trong không gian Sobolev có trọng
, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM, tập
44, số 10 (2007), 1-13.
5. Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai,
Một phương
trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên phi tuyến: Sự tồn tại và khai triển tiệm
cận của nghiệm theo bốn tham số be
ù, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM,
(2007), (bài nhận đăng).
6. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Đònh, Lê Xuân Trường,
Existence and
decay of solutions of a nonlinear viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous
condition
, [ ].

2.2. Các báo cáo khoa học.

1. Lê Xuân Trường, Nguyễn Thành Long,
Sự tồn tại và khai triển tiệm cận cho bài
toán đàn hồi nhớt phi với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
, Báo cáo Hội nghò
Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
2. Võ Giang Giai, Nguyễn Thành Long,

Phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều
kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
:
Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của
nghiệm,
Báo cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
3. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
Đònh lý điểm bất động loại Krasnosel's-
kii và ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến
, Báo cáo Hội nghò Khoa học lần
5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
4. Trần Ngọc Diễm,
Mô hình toán học bài toán va chạm chứa thanh đàn hồi nhớt
, Báo
cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
5. Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh,
Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một
phương trình tích phân phi tuyến
, Báo cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học
Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
6. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm,
Về phương trình sóng phi tuyến

:),,,,(
txxxtt
UUUtxfUU =−
Xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận
, Báo cáo Hội
nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.

5
7. Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Giang Giai,
Về một hệ elliptic p-Laplace
trong không gian Sobolev có trọng
, Báo cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa
học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
8. Bùi Tiến Dũng,
Phương trình sóng phi tuyến
liên kết
với điều kiện biên hỗn hợp
thuần nhất
, Báo cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM,
30/11/2006.

2.3. Các công trình đã hoàn thành và đã gửi xét công bố trên các tạp chí

1. Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành,
Bán kính điều khiển được và bán kính
quan sát được
, Kỷ yếu Hội nghò Ứng dụng Toán học lần 2 năm 2005 (Bài gửi công bố).
2. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave
equation in the unit membrane I
(Submitted).
3. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
The Hukuhara-Kneser Property for a
nonlinear integral equation
(Submitted).
4. R. Alexandre, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Đònh,
A mathematical model

for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear contraints
, (Submitted).
5. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Đònh, Lê Xuân Trường,
A Linear wave
equation associated with two-points boundary conditions
, (Submitted).
6. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
A linear wave equation associated with a
nonlinear integral equation at the boundary
:
Existence and asymptotic expansion of
solutions,
(Submitted).
7. Bùi Thế Anh, Dương Đặng Xuân Thành,
The robustness of strong stability of the
homogeneous difference equation
, (Submitted).
8. Bùi Thế Anh, Dương Đặng Xuân Thành,
A Perron-Frobenius theorem for positive
quasi-polynomial matrices associated with homogeneous difference equation
,
(Submitted).
9. Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành,
Stability radii of delay
defference equations under affine parameter perturbations in infinite dimensional
spaces
, (Submitted).
10. Bùi Thế Anh, Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành,
Controllability\
stabilizability radii of LTI systems with partially structured perturbations

, (Submitted).

2.4. Kết quả ứng dụng

Hướng đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các
vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực tiễn.
Các kết quả công bố trên tạp chí nói trên tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm
xêmina để các thành viên trong nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới. Từ đó
đề tài đã gợi ra thêm một số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu. Mặt khác đề tài cũng
ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các
đề tài luận án tiến só và các luận văn thạc só. Ba luận án tiến só theo hướng đề tài nầy
cũng đã hoàn thành trong đó 02 đã bảo vệ cấp Nhà nước (Luận án của NCS. Trần
Ngọc Diễm và của NCS. Bùi Tiến Dũng) và 01 luận án của NCS. Lê Thò Phương Ngọc

6
đã bảo vệ cấp Cơ sở. Trong thời gian nầy 03 thành viên trong nhóm đề tài và trong
nhóm xêmina của chúng tôi là ThS. Dương Đặng Xuân Thành, ThS. Võ Giang Giai và
ThS. Lê Xuân Trường đang chuẩn bò để thi nghiên cứu sinh theo hướng đề tài nầy.

3. Kết quả tham gia đào tạo sau đại học

Thứ
tự
Họ và tên học viên,
NCS
Tên luận văn, luận án Cấp đào
tạo ThS,
TS
Người hướng dẫn
1 Trần Ngọc Diễm Sử dụng phương pháp xấp xỉ

Galerkin vào một số bài toán
biên phi tuyến.
Tiến só -Nguyễn Thành Long
- Alain Phạm Ngọc
Đònh
2 Bùi Tiến Dũng Sử dụng phương pháp giải
tích vào một số bài toán biên
phi tuyến.
Tiến só -Nguyễn Thành Long
- Nguyễn Hội Nghóa
3 Lê Thò Phương
Ngọc
Ứng dụng phương pháp điểm
bất động trong sự tồn tại
nghiệm của phương trình.
Tiến só Lê Hoàn Hoá
4 Huỳnh Văn Tùng Khảo sát phương trình sóng
phi tuyến trong không gian
Sobolev có trọng.
Thạc só Nguyễn Thành Long
5 Nguyễn Vũ Dzũng Khảo sát phương trình para-
bolic phi tuyến trong miền
hình cầu.
Thạc só Nguyễn Thành Long
6 Nguyễn Minh Khải Bất đẳng thức tích phân dạng
Gronwall.
Thạc só Trần Minh Thuyết
7 Dương Thanh Liêm Phương trình sóng với điều
kiện biên không thuần nhất
tích phân giá trò biên.

Thạc só Nguyễn Thành Long
8 Nguyễn Văn Phong Phương trình sóng tuyến tính
với điều kiện biên chứa
phương trình tích phân tuyến
tính.
Thạc só Nguyễn Thành Long
9 Lê Thò Thanh Hải Các thuật giải lặp và khai
triển tiệm cận nghiệm của hệ
phương trình hàm phi tuyến
tính trong miền 2 chiều.
Thạc só Nguyễn Thành Long
10 Lê Trùng Dương Sự không nghiệm dương của
một số phương trình tích phân
phi tuyến liên hệ với bài toán
Neumann.
Thạc só Nguyễn Thành Long
11 Lê Nguyễn Kim
Hằng
Phương trình sóng mô tả
thanh đàn hồi nhớt.
Thạc só Nguyễn Thành Long
12 Dương Đặng Xuân
Thành
Bán kính ổn đònh, bán kính ổn
đònh hoá được và bán kính
điều khiển được của các hệ
động lực tuyến tính dừng.
Thạc só Đỗ Công Khanh

7

III. TÌNH HÌNH TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1. Tổ chức thực hiện

Đánh giá chung tình hình thực hiện đề tài trong thời gian vừa qua là hoàn thành
vực mức kế hoạch nghiên cứu.
Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu theo hai hướng chính đã đăng
ký:
- Phương trình vi phân.
- Lý thuyết hệ các hệ động lực.
Đồng thời tiếp tục viết bài gửi công bố và hoàn chỉnh lại các bản thảo đã gửi
xét công bố sau khi có ý kiến đánh giá của các phản biện.
- Dự kiến kết quả sẽ đạt được là:
- Công bố thêm 4 bài báo trên các tạp chí khoa học trong nước và Quốc tế có
uy tín cùng với nhiều báo cáo tại các hội nghò khoa học.
- Hoàn thành việc bảo vệ 01 luận án tiến só cấp Nhà Nước và 5-6 luận văn
thạc só.
- Chuẩn bò 2-3 NCS dự tuyển trong năm 2007 thực hiện nghiên cứu theo hướng
đề tài nầy.
- Tổ chức sinh hoạt học thuật đònh kỳ, trao đổi chuyên môn.

2. Sử dụng kinh phí


Thứ
tự
Nội dung chi Kinh phí được
duyệt
Kinh phí thực

hiện
Ghi chú
1 Thuê khoán chuyên môn 64,5 triệu 64,5 triệu
2 Nguyên vật liệu năng lượng 3,0 triệu 3,0 triệu
3 Trang thiết bò
4 Chi khác 2,5 triệu 2,5 triệu
Tổng số 70,0 triệu 70,0 triệu












8
IV. CÁC KIẾN NGHỊ

Thông qua đề tài nghiên cứu nầy chúng tôi đã tập hợp được một số cán bộ có
kinh nghiệm cùng với các cán bộ trẻ thành những nhóm nghiên cứu theo hai lãnh vực
trên. Đề tài nghiên cứu thực sự đã có tác dụng góp phần nâng cao chất lượng đào tạo
và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho các học viên cao học và nghiên cứu sinh thực
hiện luận án theo các hướng nghiên cứu nầy.
Hiện nay ngoài các tạp chí cho phép được tải miễn phí các bài báo toàn văn,
chúng tôi rất cần các bài báo công bố trên các tạp chí ở các nhà xuất bản lớn. Chúng
tôi mất rất nhiều thời gian và phụ thuộc rất nhiều ở các bạn bè, đồng nghiệp ở nước

ngoài về việc xin các tài liệu nầy. Đề nghò các Ban, Ngành dành một khoản kinh phí
thích đáng cho các thư viện của các trường Đại học lớn, nhất là ở hai Đại học Quốc
gia, các Viện nghiên cứu để mua online các tạp chí nói trên.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2007

Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài




TS. Nguyễn Thành Long.

p
8
, '"
IV.CAC KIEN NGm
Thong qua d6 t~dnghien cuu n~y chung toi da t~p hQp dUQcmQt s6 can bQ co
kinh nghi<%mcung voi cac can bQ tn~ thanh nhG'ngnhom nghien cuu theo hai lanh vt!c
tren.D6 t~d nghien cuu tht!c st! da co tac dl;mggop ph~n nang cao cha't htQng dao t1;lO
va t1;lOnhi6u di6u ki<%nthu~n lQi cho cac hQc vien cao hQc va nghien cuu sinh tht!c
hi<%nlu~n an theo cac huang nghien cuu n~y.
Hi<%nnay ngoai cac t1;lPcm cho phep dUQcrai mi~n phi cac bai bao toan van,
chUng toi ra't dn cac bai bao cong b6 tren cac t1;lPchi (j cac nha xua't ban IOn. Chung
Wima'tra't nhi6u thai gian va phl) thuQcra't nhi6u (j cac b1;lnbe, d6ng nghi<%p(j nuoc
ngoai v6 vi<%cxin cac tai li<%un~y. D6 nghi cac Ban, Nganh danh mQt khoan kinh phi
thfch dang cho cac thu vi<%ncua cac truang D1;lihQc lon, nha't la (j hai D1;lihQ'cQu6c
gia, cac Vi<%nnghien cuu d6 mua online cac t1;lp chi noi tren.
Thanh ph6 H6 Chi Minh, ngay 03 thang 05 nam 2007
Chu nhi<%md6 t~d
y
TS. Nguy~n Thanh L~ng.
~
LAM QUI\NG VINH
.

9
PHẦN PHỤ LỤC

PHỤ LỤC A: Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến só và các ứng viên chuẩn bò
thi NCS trong phạm vi đề tài.
PHỤ LỤC B: Danh sách các luận văn thạc só đã bảo vệ.
PHỤ LỤC C: Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi đề tài.

PHỤ LỤC A:
Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến só và các ứng viên
chuẩn bò thi NCS trong phạm vi đề tài

1. Trần Ngọc Diễm ( Đại học Bách Khoa TP. HCM).
Đề tài:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến.
Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: - TS. Nguyễn Thành Long.
- GS. TS. Alain Phạm Ngọc Đònh (Đại học Orléans, Pháp).
Ngày bảo vệ cấp Nhà nước: 20/05/2006.
2. Bùi Tiến Dũng ( Đại học Kiến trúc TP. HCM).
Đề tài:
Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: - TS. Nguyễn Thành Long.
- PGS. TS. Nguyễn Hội Nghóa (Ban Đào tạo Sau đại học, Đại học
Quốc gia TP. HCM).
Ngày bảo vệ cấp Nhà nước: 24/06/2006.
3. Lê Thò Phương Ngọc (Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang)
Đề tài:
Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương
trình.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: PGS. TS. Lê Hoà Hoá (Đại học Sư phạm TP. HCM).

Ngày bảo vệ cấp cơ sở: 10/11/2006.
4. Lê Xuân Trường ( Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM).
Đề tài:
Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng.
Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: - TS. Nguyễn Thành Long.
- GS. TS. Alain Phạm Ngọc Đònh (Đại học Orléans, Pháp).
Chuẩn bò thi vào tháng 5/2007.
5. Võ Giang Giai (Cộng tác viên của bộ môn Toán Cao cấp, Khoa Toán-tin học, Đại
học Khoa học Tự nhiên TP. HCM).
Đề tài:
Khảo sát một số phương trình sóng phi tuyến với các điều kiện biên không
thuần nhất
.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: - TS. Nguyễn Thành Long.
- TS. Trần Minh Thuyết (Đại học Kinh Tế TP. HCM).
Chuẩn bò thi vào tháng 5/2007.

10
6. Dương Đặng Xuân Thành (Đại học Tôn Đức Thắng).
Đề tài:
Tính bền vững của các tính chất đònh tính của hệ động lực tuyến tính
.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: GS. TSKH. Đỗ Công Khanh (Đại học Tôn Đức Thắng).
Chuẩn bò thi vào tháng 5/2007.

11
PHỤ LỤC B:
Danh sách các luận văn thạc só đã bảo vệ



1. Huỳnh Văn Tùng
Đề tài:
Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng.
Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 21/01/2006.
2. Nguyễn Vũ Dzũng
Đề tài:
Khảo sát phương trình parabolic phi tuyến trong miền hình cầu.
Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 21/01/2006.
3. Nguyễn Minh Khải
Đề tài:
Bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.

Người hướng dẫn: TS. Trần Minh Thuyết.
Ngày bảo vệ: 03/11/2006.
4. Dương Thanh Liêm
Đề tài:
Phương trình sóng với điều kiện biên không thuần nhất tích phân giá trò biên.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 02/11/2006.
5. Nguyễn Văn Phong
Đề tài:
Phương trình sóng tuyến tính với điều kiện biên chứa phương trình tích phân
tuyến tính
.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 29/12/2006.
6. Lê Thò Thanh Hải
Đề tài:
Các thuật giải lặp và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm phi
tuyến tính trong miền 2 chiều
.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 29/12/2006.
7. Lê Trùng Dương
Đề tài:
Sự không nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến liên hệ
với bài toán Neumann

.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 29/12/2006.

12
8. Lê Nguyễn Kim Hằng
Đề tài:
Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 05/01/2007.
9. Dương Đặng Xuân Thành
Đề tài:
Bán kính ổn đònh, bán kính ổn đònh hoá được và bán kính điều khiển được của
các hệ động lực tuyến tính dừng
.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: GS. TSKH. Đỗ Công Khanh (Đại học Tôn Đức Thắng).
Ngày bảo vệ: 16/03/2007.

13
PHỤ LỤC C
Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi đề tài

1. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
On a fixed point theorem of
Krasnosel'skii type and application to integral equations
, Fixed Point Theory and
Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages.
[ /> ]
2. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
A wave equation associated with mixed
nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set
,
Abstract and Applied Analysis, Vol. 2007 (2007), Article ID 20295, 17 pages.
[ ]
3. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave
equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion
of solutions
, Demonstratio Math. 40 (2) (2007), 365-392.
4. Lê Thò Phương Ngọc,
Applying fixed point theory to the initial value problem for the
functional differential equation with finite delay
, Vietnam Journal of Mathematics, 35
(1) (2007), 43–60.
5. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
A wave equation associated with mixed
nonhomogeneous conditions
:
Global existence and asymptotic expansion of solutions
,
Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods,
66 (7) (2007), 1526-1546. [ ]

6. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
Existence and asymptotic expansion for a
nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions
, Nonlinear
Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (6)
(2007), 1791-1819. [ ]
7. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường,
Existence and asymptotic expansion for a
viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition
, Nonlinear Analysis,
Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842-
864.
[ ]
8. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường,
Existence and asymptotic expansion of
solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary
,
Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007(2007), No. 48, pp. 1-19.
ISSN: 1072-6691. URL:
, .
9. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường,
A shock problem involving a
nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition
,
Demonstratio Math. 41 (2007) (accepted for publication).
10. Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành,
Robust stability of
Metzler operator and delay equation in

(

)
,];0,[ XhL
p
− Vietnam Journal of
Mathematics, 34 (3) (2006), 357–368.
11. Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành,
Controllability radii and of time
invariant linear systems
, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (4) (2006) (accepted for
publication).

Home | Aims and Scope | Editorial Board | Author Guidelines | Manuscript Submission | Ta
Journal Information
Abstracting and
Indexing
Open Access Support

Bibliographic
Information
Subscription
Information
Conference
Sponsorships
Contact Information
Fixed Point Theory and Applications
Volume 2006 (2006), Article ID 30847, 24
pages
doi:10.1155/FPTA/2006/30847
On a fixed point theorem of
Krasnosel'skii type and

application to integral
equations
Le Thi Phuong Ngoc and Nguyen Thanh
Long
Received 15 April 2006; Revised 30 June
2006; Accepted 13 August 2006
This paper presents a remark on a fixed
point theorem of Krasnosel'skii type. This
result is applied to prove the existence of
asymptotically stable solutions of nonlinear
integral equations.

Options for this article
Full-
Text
PDF



Linked
References



How to
Cite this

Article

News from Hinda
w
Hindawi acquires

Physical

Separ
a
in Science and
Engineering

an
d
converts it to an
o
access journal

A special issue o
n
Collaboration a
n
Optimization fo
Multimedia
Communication
now open for
submission

ELibM of the
European
Mathematical

Information Se
r
starts to

list Hind
Open Access Mat
h
Journals

Article Search
this journal
nmlkj
all journals
nmlkji
Copyright © 2006 Hindawi Publishing Corporation. All rights reserved.
Pa
g
e 1 of 1On a fixed
p
oint theorem of Krasnosel'skii t
yp
e and a
pp
lication to inte
g
ral e
q
uations
11/12/2006htt
p

://www.hindawi.com/GetArticle.as
p
x?doi=10.1155/FPTA/2006/30847
ON A FIXED POINT THEOREM OF KRASNOSEL’SKII TYPE
AND APPLICATION TO INTEGRAL EQUATIONS
LE THI PHUONG NGOC AND NGUYEN THANH LONG
Received 15 April 2006; Revis e d 30 June 2006; Accepted 13 August 2006
This paper presents a remark on a fixed point theorem of Krasnosel’skii type. This result
is applied to prove the existence of asymptotically stable solutions of nonlinear integral
equations.
Copyright © 2006 L. T. P. Ngoc and N. T. Long. This is an open access article distributed
under the Creative Commons Attribution License, w hich p ermits unrestricted use, dis-
tribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
1. Introduction
It is well known that the fixed point theorem of Krasnosel’skii states as follows.
Theorem 1.1 (Krasnosel’skii [8]andZeidler[9]). Let M be a nonempty bounded closed
convex subset of a Banach space (X,
·).SupposethatU : M → X is a contraction and
C : M
→ X is a completely continuous operator such that
U(x)+C(y)
∈ M, ∀x, y ∈M. (1.1)
Then U + C has a fixed point in M.
The theorem of Krasnosel’skii has been extended by many authors, for example, we
refer to [1–4, 6, 7] and references therein.
In this paper, we present a remark on a fixed point theorem of Krasnosel’skii type and
applying to the following nonlinear integral equation:
x(t)
= q(t)+ f


t,x(t)

+

t
0
V

t,s,x(s)

ds+

t
0
G

t,s,x(s)

ds, t ∈ R
+
, (1.2)
where E is a Banach space with norm
|·|, R
+
= [0,∞), q : R
+
→ E; f : R
+
× E → E;
G,V : Δ

×E → E are supposed to be continuous and Δ ={(t, s) ∈ R
+
×R
+
, s ≤ t}.
In the case E
=
R
d
and the function V(t,s,x) is linear in the third variable, (1.2)has
been studied by Avramescu and Vladimirescu [2]. The authors have proved the existence
Hindawi Publishing Corporation
Fixed Point Theory and Applications
Volume 2006, Article ID 30847, Pages 1–24
DOI 10.1155/FPTA/2006/30847
2 On a fixed point theorem and application
of asymptotically stable solutions to an integral equation as follows:
x(t)
= q(t)+ f

t,x(t)

+

t
0
V(t,s)x(s)ds +

t
0

G

t,s,x(s)

ds, t ∈ R
+
, (1.3)
where q :
R
+
→ R
d
; f : R
+
×R
d
→ R
d
; V : Δ → M
d
(R), G : Δ ×R
d
→ R
d
are supposed
to be continuous, Δ
={(t,s) ∈ R
+
×R
+

, s ≤ t} and M
d
(R) is the set of all real quadratic
d
×d matrices. This was done by using the following fixed point theorem of Krasnosel’skii
type.
Theorem 1.2 (see [1]). Let (X,
|·|
n
) be a Fr
´
echet space and let C,D : X → X be two oper-
ators.
Suppose that the following hypotheses are fulfilled:
(a) C is a compact operator;
(b) D is a contraction operator with respect to a family of seminorms
·
n
equivalent
with the family
|·|
n
;
(c) the set

x ∈ X, x = λD

x
λ


+ λCx, λ ∈(0,1)

(1.4)
is bounded.
Then the operator C + D admits fixed points.
In [6], Hoa and Schmitt also established some fixed point theorems of Krasnosel’skii
ty pe for operators of the form U + C on a bounded closed convex subset of a locally con-
vex space, where C is completely continuous and U
n
satisfies contraction-type conditions.
Furthermore, applications to integral equations in a Banach space were presented.
On the basis of the ideas and techniques in [2, 6], we consider (1.2). The paper consists
of five sections. In Section 2, we prove a fixed point theorem of Krasnosel’skii type. Our
main results will be presented in Sections 3 and 4. Here, the existence solution and t he
asymptotically stable solutions to (1.2) are established. We end Section 4 by illustrated
examples for the results obtained when the given conditions hold. Finally, in Section 5,a
general case is given. We show the existence solution of the equation in the form
x(t)
= q(t)+ f

t,x(t),x

π(t)

+

t
0
V


t,s,x(s),x(σ(s)

ds
+

t
0
G

t,s,x(s),x

χ(s)

ds, t ∈ R
+
,
(1.5)
and in the case π(t)
= t, the asymptotically stable solutions to (1.5) are also considered.
The results we obtain here are in part generalizations of those in [2], corresponding to
(1.3).
2. A fixed point theorem of Krasnosel’skii type
Based on the Theorem 1.2 (see [1]) and [6, Theorem 3], we obtain the following theorem.
The proof is similar to that of [ 6 ,Theorem3].
L.T.P.NgocandN.T.Long 3
Theorem 2.1. Let (X,
|·|
n
) be a Fr
´

echet space and let U, C : X → X be two operators.
Assume that
(i) U is a k-contraction operator, k
∈ [0,1) (depending on n), with respect to a family
of seminorms
·
n
equivalent with the family |·|
n
;
(ii) C is completely continuous;
(iii) lim
|x|
n
→∞
(|Cx|
n
/|x|
n
) = 0,foralln ∈N
∗
.
Then U + C has a fixed point.
Proof of Theorem 2.1. At first, we note that from the hypothesis (i), the existence and the
continuity of the operator (I
−U)
−1
follow. And, since a family of seminorms ·
n
is

equivalent with the family
|·|
n
, there exist K
1n
,K
2n
> 0suchthat
K
1n
x
n
≤|x|
n
≤ K
2n
x
n
, ∀n ∈ N
∗
. (2.1)
This implies that
(a) the set
{|x|
n
, x ∈ A} is bounded if and only if {x
n
, x ∈ A} is bounded, for
A
⊂ X and for all n ∈ N

∗
;
(b) for each sequence (x
m
)inX,foralln ∈N
∗
, since
lim
m→∞


x
m
−x


n
= 0 ⇐⇒ lim
m→∞


x
m
−x


n
= 0, (2.2)
(x
m

)convergestox with respect to |·|
n
if and only if (x
m
)convergestox with
respect to
·
n
.
Consequently the condition (ii) is satisfied with respect to
·
n
.
On the other hand, we also have
K
1n
K
2n
Cx
n
x
n
≤ K
1n
Cx
n
|x|
n
≤
|

Cx|
n
|x|
n
≤ K
2n
Cx
n
|x|
n
≤
K
2n
K
1n
Cx
n
x
n
, ∀x ∈X, ∀n ∈N
∗
.
(2.3)
Hence, lim
|x|
n
→∞
(|Cx|
n
/|x|

n
) = 0isequivalenttolim
x
n
→∞
(Cx
n
/x
n
) = 0.
Now we will prove that U + C has a fixed point.
For any a
∈ X, define the operator U
a
: X → X by U
a
(x) = U(x)+a.Itiseasytoseethat
U
a
is a k-contraction mapping and so for each a ∈ X, U
a
admits a unique fixed point, it
is denoted by φ(a), then
U
a

φ(a)

=
φ(a) ⇐⇒ U


φ(a)

+ a =φ(a) ⇐⇒ φ(a) =(I −U)
−1
(a). (2.4)
Let u
0
be a fixed point of U.Foreachx ∈ X, consider U
m
C(x)
(u
0
), m ∈N
∗
,where
U
m
C(x)
(y) = U
C(x)

U
m−1
C(x)
(y)

=
U


U
m−1
C(x)
(y)

+ C(x), ∀y ∈X. (2.5)
4 On a fixed point theorem and application
We note more that for any n
∈ N
∗
beingfixed,forallm ∈ N
∗
,


U
m
C(x)

u
0

−
u
0


n
=



U
C(x)

U
m−1
C(x)

u
0

−
U

u
0



n
≤


U
C(x)

U
m−1
C(x)


u
0

−
U

U
m−1
C(x)

u
0



n
+


U

U
m−1
C(x)

u
0

−
U


u
0



n
≤


C(x)


n
+ k


U
m−1
C(x)

u
0

−
u
0


n

,
(2.6)
thus, by induction, for all m
∈ N
∗
, we can show that


U
m
C(x)

u
0

−
u
0


n
≤

1+k + ···+ k
m−1



C(x)



n
≤ α


C(x)


n
, (2.7)
where α
= 1/1 −k>1. By the condition (iii) satisfied with respect to ·
n
as above, for
1/4α>0, there exists

M>0(wechoose

M>u
0

n
)suchthat
x
n
>

M =⇒ Cx
n
<

1
4α
x
n
. (2.8)
Choose a positive constant r
1n
>

M + u
0

n
.Thus,forallx ∈ X, we consider the following
two cases.
Case 1 (
x −u
0

n
>r
1n
). Since x
n
+ u
0

n
≥x −u
0


n
>r
1n
>

M + u
0

n
⇒x
n
>

M,
we have
Cx
n
<
1
4α
x
n
≤
1
4α



x −u

0


n
+


u
0


n

<
1
4α



x −u
0


n
+


x −u
0



n

=
1
2α


x −u
0


n
.
(2.9)
Case 2 (
x −u
0

n
≤ r
1n
). By (ii) satisfied with respect to ·
n
, there is a positive constant
β such that
Cx
n
≤ β. (2.10)
Choose r

2n
>αβ.Put
D
n
=

x ∈ X : x
n
≤ r
2n

, D =

n∈N
∗
D
n
. (2.11)
Then u
0
∈ D and D is bounded, closed, and convex in X.
For each x
∈ D and for each n ∈ N
∗
, as above we also consider two cases.
If
x −u
0

n

≤ r
1n
,thenby(2.7), (2.10),


U
m
C(x)

u
0

−
u
0


n
≤ α


C(x)


n
≤ αβ < r
2n
. (2.12)
L.T.P.NgocandN.T.Long 5
If r

1n
< x −u
0

n
≤ r
2n
,thenby(2.7), (2.9),


U
m
C(x)

u
0

−

u
0



n
≤ α


C(x)



n
≤ α
1
2α
r
2n
=
1
2
r
2n
<r
2n
. (2.13)
We obta in U
m
C(x)
(u
0
) ∈ D for all x ∈D.
On the other hand, by U
C(x)
being a contraction mapping, the sequence U
m
C(x)
(u
0
)
converges to the unique fixed point φ(C(x)) of U

C(x)
,asm →∞, it implies that φ(C(x)) ∈
D,forallx ∈D.Hence,(I −U)
−1
C(D) ⊂ D.
Applying the Schauder fixed point theorem, the operator (I
−U)
−1
C has a fixed point
in D that is also a fixed point of U + C in D.

3. Existence of solution
Let X
= C(R
+
,E) be the space of all continuous functions on R
+
to E which is equipped
with the numerable family of seminorms
|x|
n
= sup
t∈[0,n]



x(t)




, n ≥ 1. (3.1)
Then (X,
|x|
n
)iscompleteinthemetric
d(x, y)
=
∞

n=1
2
−n
|x − y|
n
1+|x − y|
n
(3.2)
and X is the Fr
´
echet space. Consider in X the other family of seminorms
x
n
defined as
follows:
x
n
=|x|
γ
n
+ |x|

h
n
, n ≥ 1, (3.3)
where
|x|
h
n
= sup
t∈[γ
n
,n]

e
−h
n
(t−γ
n
)


x(t)



, (3.4)
γ
n
∈ (0,n)andh
n
> 0 are arbitrary numbers, which is equivalent to |x|

n
, since
e
−h
n
(n−γ
n
)
|x|
n
≤x
n
≤ 2|x|
n
, ∀x ∈X, ∀n ≥1. (3.5)
We make the following assumptions.
(A
1
) There exists a constant L ∈[0,1) such that


f (t,x) − f (t, y)


≤
L|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R
+
. (3.6)
(A
2

) There exists a continuous function ω
1
: Δ → R
+
such that


V(t,s,x) −V(t, s, y)


≤
ω
1
(t,s)|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀(t,s) ∈ Δ. (3.7)
(A
3
) G is completely continuous such that G(t,·,·):I × J → E is continuous uni-
formly with respect to t in any bounded inter v al, for any bounded I
⊂ [0, ∞)
and any bounded J
⊂ E.
6 On a fixed point theorem and application
(A
4
) There exists a continuous function ω
2
: Δ → R
+
such that
lim

|x|→∞


G(t,s,x)


−
ω
2
(t,s)
|x|
=
0, (3.8)
uniformly in (t, s) in any bounded subsets of Δ.
Theorem 3.1. Let (A
1
)–(A
4
)hold.Then(1.2)hasasolutionon[0,∞).
Proof of Theorem 3.1. The proof consists of Steps 1–4.
Step 1. In X, we consider the equation
x(t) = q(t)+ f

t,x(t)

, t ∈R
+
. (3.9)
We have the following lemma.
Lemma 3.2. Let (A

1
)hold.Then(3.9)hasauniquesolution.
Proof. By hypothesis (A
1
), the oper ator Φ : X → X, which is defined as follows:
Φx(t)
= q(t)+ f

t,x(t)

, x ∈X, t ∈R
+
(3.10)
is the L-contraction mapping on the Fr
´
echet space (X,
|x|
n
). By applying the Banach space
(see [1, Theorem B]), Φ admits a unique fixed point ξ
∈ X. The lemma is proved. 
By the transformation x = y + ξ,wecanwrite(1.2)intheform
y(t)
= Ay(t)+By(t)+Cy(t), t ∈R
+
, (3.11)
where
Ay(t)
= q(t)+ f


t, y(t)+ξ(t)

−
ξ(t),
By(t)
=

t
0
V

t,s, y(s)+ξ(s)

ds,
Cy(t)
=

t
0
G

t,s, y(s)+ξ(s)

ds.
(3.12)
Step 2. Put U
= A + B. It follows from the assumptions (A
1
), (A
2

)thatforallt ∈R
+
,for
all y,
y ∈ X,


Uy(t) −U y(t)


≤
L


y(t) − y(t)


+

t
0
ω
1
(t,s)


y(s) − y(s)


ds. (3.13)

Therefore, by a similar proof to the proof in [2, Lemma 3.1(2)], we have U a k
n
-contraction
operator, k
n
∈ [0,1) (depending on n), with respect to a family of seminorms ·
n
.In-
deed, fix an arbitrary positive integer n
∈ N
∗
.
L.T.P.NgocandN.T.Long 7
For all t
∈ [0,γ
n
]withγ
n
∈ (0,n) chosen later, we have


Uy(t) −U y(t)


≤
L


y(t) − y(t)



+

t
0
ω
1
(t,s)


y(s) − y(s)


ds
≤

L + ω
1n
γ
n

|
y − y|
γ
n
,
(3.14)
where
ω
1n

= sup

ω
1
(t,s):(t,s) ∈Δ
n

,
Δ
n
=

(t,s) ∈[0,n] ×[0,n], s ≤ t

.
(3.15)
This implies that
|Uy−U y|
γ
n
≤

L + ω
1n
γ
n

|
y − y|
γ

n
. (3.16)
For all t
∈ [γ
n
,n], similarly, we also have


Uy(t) −U y(t)


≤
L


y(t) − y(t)


+ ω
1n

γ
n
0


y(s) − y(s)


ds+ ω

1n

t
γ
n


y(s) − y(s)


ds.
(3.17)
It follows from (3.17) and the inequalities
0 <e
−h
n
(t−γ
n
)
< 1, ∀t ∈[γ
n
,n], h
n
> 0, (3.18)
(h
n
> 0 is also chosen later) that


Uy(t) −U y(t)



e
−h
n
(t−γ
n
)
≤ L


y(t) − y(t)


e
−h
n
(t−γ
n
)
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
+ ω
1n


t
γ
n


y(s) − y(s)


e
−h
n
(t−γ
n
)
ds
≤ L|y − y|
h
n
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
+ ω
1n

t
γ

n


y(s) − y(s)


e
−h
n
(s−γ
n
)
e
h
n
(s−t)
ds
≤ L|y − y|
h
n
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
+ ω
1n
|y − y|

h
n

t
γ
n
e
h
n
(s−t)
ds
≤ L|y − y|
h
n
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
+
ω
1n
h
n
|y − y|
h
n
.

(3.19)
We get
|Uy−U y|
h
n
≤

L +
ω
1n
h
n

|
y − y|
h
n
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
. (3.20)
8 On a fixed point theorem and application
Combining (3.16)–(3.20), we deduce that
Uy−U y
n
≤


L +2γ
n
ω
1n

|
y − y|
γ
n
+

L +
ω
1n
h
n

|
y − y|
h
n
≤ k
n
y − y
n
, (3.21)
where k
n
= max{L +2γ

n
ω
1n
, L + ω
1n
/h
n
}.Choose
0 <γ
n
< min

1 −L
2 ω
1n
,n

, h
n
>
ω
1n
1 −L
, (3.22)
then we have k
n
< 1, by (3.21), U is a k
n
-contraction operator with respect to a family of
seminorms

·
n
.
Step 3. We show that C : X
→ X is completely continuous. We first show that C is contin-
uous. For any y
0
∈ X,let(y
m
)
m
be a sequence in X such that lim
m→∞
y
m
= y
0
.
Let n
∈ N
∗
be fixed. Put K ={(y
m
+ ξ)(s):s ∈ [0,n], m ∈ N}.ThenK is compact in
E. Indeed, let ((y
m
i
+ ξ)(s
i
))

i
be a sequence in K. We can assume that lim
i→∞
s
i
= s
0
and
that lim
i→∞
y
m
i
+ ξ = y
0
+ ξ.Wehave



y
m
i
+ξ

s
i

−

y

0
+ξ

s
0



≤



y
m
i
+ξ

s
i

−

y
0
+ξ

s
i




+



y
0
+ξ

s
i

−

y
0
+ξ

s
0



≤


y
m
i
− y

0


n
+



y
0
+ ξ

s
i

−

y
0
+ ξ

s
0



,
(3.23)
which shows that lim
i→∞

(y
m
i
+ ξ)(s
i
) = (y
0
+ ξ)(s
0
)inE. It means that K is compact in
E.Forany
 > 0, since G is continuous on the compact set [0,n] ×[0,n] ×K, there exists
δ>0suchthatforeveryu,v
∈ K, |u −v| <δ,


G(t,s,u) −G(t, s,v)


<

n
,
∀s,t ∈[0,n]. (3.24)
Since lim
m→∞
y
m
= y
0

, there exists m
0
such that for m>m
0
,



y
m
+ ξ

(s) −

y
0
+ ξ

(s)


=


y
m
(s) −y
0
(s)



<δ, ∀s ∈ [0, n]. (3.25)
This implies that for all t
∈ [0,n], for all m>m
0
,


Cy
m
(t) −Cy
0
(t)


≤

t
0


G

t,s,

y
m
+ ξ

(s)


−
G

t,s,

y
0
+ ξ

(s)



ds < , (3.26)
so
|Cy
m
−Cy
0
|
n
< ,forallm>m
0
, and the continuity of C is proved.
It remains to show that C maps bounded sets into relatively compact sets. Let us recall
the following condition for the relative compactness of a subset in X.
Lemma 3.3 (see [7, Proposition 1]). Let X
= C(R
+

,E) be the Fr
´
echet space defined as above
and let A be a subset of X. For each n
∈ N
∗
,letX
n
= C([0,n], E) be the Banach space of
all continuous functions u :[0,n]
→ E,withthenormu=sup
t∈[0,n]
{|u(t)|},andA
n
=
{
x|
[0,n]
: x ∈ A}.
The set A in X is relatively compact if and only if for each n
∈ N
∗
, A
n
is equicontinuous
in X
n
and for every s ∈ [0, n], the set A
n
(s) ={x(s):x ∈ A

n
} is relatively compact in E.