BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN HỮU DŨNG

BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG TIẾN HÓA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2015


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN HỮU DŨNG

BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG TIẾN HÓA

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2015


1

Mục lục
Mở đầu

3

Các kí hiệu

5

1 Các kiến thức chuẩn bị

6

1.1

1.2

1.3

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Không gian H m . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Không gian H ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Không gian BC m . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Không gian C m ([a, b], E) . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.6

Không gian S . Biến đổi Fourier . . . . . . . . . .

8

Nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Khái niệm nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục . . . . . . .

9

1.2.3

Các tính chất của nửa nhóm liên tục . . . . . . .

10

1.2.4

Định lý Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa

15
18

2.1

Khái niệm mặt đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya . . . . . . . .

19


2

2.2.1

toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Định lý Cauchy-Kowalewskaya . . . . . . . . . .

20

Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng . . .

20

2.2.2
2.3

Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya. Bài

2.3.1

Phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng. Bài
toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2

20

Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở
rộng về hệ phương trình cấp một theo biến thời gian 21

2.3.3
2.4

2.5

Khái niệm tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy 22

Tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy khi các hệ số
của phương trình chỉ phụ thuộc vào biến thời gian . . .

23

2.4.1

Định lý Petrowsky

. . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4.2

Định lý Hadamard trong trường hợp hệ số hằng .

25

2.4.3

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . . . . .

31

2.5.1

Phương trình truyền nhiệt. Bài toán Cauchy

. .

31

2.5.2

Các tính chất của toán tử Laplace . . . . . . . .

32

2.5.3

Nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt . . . .

33

2.5.4

Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình
truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38


3

Mở đầu
Phương trình tiến hóa là các phương trình đạo hàm riêng chứa biến
thới gian t. Các dữ kiện ban đầu của bài toán Cauchy cho phương trình
tiến hóa thường được cho trên các mặt phẳng t = 0 hoặc t = t0 .
Đối với các phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya thì các mặt
phẳng t = t0 là không đặc trưng, song đối với các phương trình kiểu
Kowalewskaya mở rộng thì các mặt phẳng t = t0 thường lại là đặc trưng,
nên việc nghiên cứu bài toán Cauchy cho chúng sẽ phức tạp hơn.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày tính đặt chỉnh đều của
bài toán Cauchy cho các phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya và
Kowalewskaya mở rộng.
Luận văn gồm hai chương, chương 1 bao gồm một số kiến thức chuẩn
bị gồm một số không gian hàm, khái niệm nửa nhóm liên tục, bài toán
Cauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach.
Nội dung chính của luận văn là chương 2, trong đó trình bày về tính
đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa. Đối với
phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya, luận văn đã phát biểu Định
lý Cauchy-Kowalewskaya về tính giải được và duy nhất nghiệm của bài
toán trong lớp hàm giải tích.
Luận văn đã phát biểu và chứng minh các Định lý Petrowsky và

Hadamard về tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy đối với các phương
trình dạng tiến hóa khi các hệ số của phương trình tương ứng là các hàm
số chỉ phụ thuộc biến thời gian hoặc là hằng số. Do Định lý CauchyKowalewskaya không thể áp dụng cho bài toán Cauchy cho phương trình
kiểu Kowalewskaya mở rộng, nên công cụ của nửa nhóm đã được áp
dụng để giải bài toán Cauchy đối với phương trình kiểu Kowalewskaya


4

mở rộng. Luận văn đã minh họa phương pháp nửa nhóm thông qua việc
giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt.
Nội dung chính của luận dựa trên các tài liệu [2], [3].
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ
tận tình của thầy PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, sự nỗ lực của bản thân và
sự động viên của bạn bè.
Một lần nữa tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng
dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tới các thầy cô trong Viện Toán học đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tác
giả cũng xin cảm ơn tất cả bạn bè đặc biệt là các bạn lớp cao học K21
Viện Toán học. Cho dù đã cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức của
bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót. Tác giả
mong sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và các bạn.
Tác giả
Nguyễn Hữu Dũng


5

Các kí hiệu

• R+ = {t ∈ R : t ≥ 0}.
• |x| là chuẩn của x trong không gian Euclid Rn .
• ||f ||E là chuẩn của hàm f trong không gian Banach E .
• ∆ là toán tử Laplace.


6

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số không gian hàm
Không gian L2

Giả sử Rn là không gian Euclid n chiều với các phần tử x = (x1 , ..., xn )
và chuẩn

x21 + ... + x2n .

|x| =

Ký hiệu L2 = L2 (Rn ) là các hàm bình phương khả tích trên Rn nghĩa
là

|f (x)|2 dx < +∞
Rn

với chuẩn là

f

L2

1

|f (x)|2 dx) 2 .

=(
Rn

L2 là không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g)L2 =

f (x)g(x)dx.
Rn

1.1.2

Không gian H m

Không gian H m = H m (Rn ) là tập hợp các hàm f ∈ L2 thỏa mãn điều
kiện Dα f ∈ L2 , ∀ |α| ≤ m. Với α = (α1 , ..., αn ), |α| = α1 + ... + αn ,


7

D = (D1 , ..., Dn ), Dj =
f

∂
, Dα f = D1α1 ...Dnαn f, với chuẩn
∂xj
Hm

Dα f

=[

2

L2 ]

1
2

.

|α|≤m

H m là không gian Hilbert với tích vô hướng

Rn |α|≤m

|α|≤m

1.1.3
Đặt H

Dα f.Dα gdx.

(Dα f, Dα g)L2 =

(f, g) =

Không gian H ∞
∞

∞

=

H m . Không gian H ∞ là không gian tôpô vectơ. Trong

m=0

H ∞ có các nửa chuẩn
pk (f ) = f (x)

k = 0, 1, 2...

Hk

Hàm f ∈ H ∞ khi và chỉ khi với mọi m sao cho f ∈ H m . Ta nói dãy

{fk } ⊂ H ∞ hội tụ tới f ∈ H ∞ nếu với mọi m thì fk −→ f trong H m .
1.1.4

Không gian BC m

Ký hiệu BC m = BC m (Rn ) là tập hợp các hàm có đạo hàm riêng đến
cấp m liên tục và bị chặn trên Rn . BC m là không gian Banach với chuẩn

f

BC m

x∈Rn

1.1.5

|Dα f (x)|.

= sup
|α|≤m

Không gian C m ([a, b], E)

Giả sử E là không gian Banach hoặc không gian tôpô vectơ. Đặt C m ([a, b], E)
là tập hợp các hàm

f : [a, b] −→ E
khả vi liên tục đến cấp m trong E . Nếu E là không gian Banach thì

C m ([a, b], E) cũng là không gian Banach với chuẩn
m

f

C m ([a,b],E)

= sup
t∈[a,b] k=0

f (k) (t)

E.


8

Trường hợp nếu E = H ∞ thì C m ([a, b], H ∞ ) = {f (t)|f (t) ∈ H ∞ , a ≤ t ≤ b}
là không gian Frechet với các nửa chuẩn:
m

max pk (f (h) (t))

h=0

1.1.6

(k = 0, 1, 2, ...).

a≤t≤b

Không gian S. Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1. Không gian S = S(Rn ) là tập hợp tất cả các hàm

f (x) ∈ C ∞ sao cho với mọi đa chỉ số α, β tồn tại Cα,β > 0 và
xα Dβ f (x) ≤ Cα,β

∀x ∈ Rn ,

trong đó xα = (xα1 , xα2 , ....., xαn ).
Giả sử f (x) ∈ S. Biến đổi Fourier của f (x), kí hiệu là f (ξ) với

ξ = (ξ1 , ξ2 , ......., ξn ), được định nghĩa bởi công thức
e−2πi(x,ξ) f (x) dx.

F [f ](ξ) = f (ξ) =

(1.1)

Rn

Ta có công thức nghịch đảo sau đây

F −1 [f ](x) = f (x) =

e2πi(x,ξ) f (ξ) d(ξ).

(1.2)

Rn

Với mọi f (x) ∈ S ta có các công thức sau

F [Dxα f (x)] = (2πiξ)α F [f ]

(1.3)

Dξα f (ξ) = F [(−2πix)α f (x)]

(1.4)

f (x)g(x) dx =

(1.5)

Rn

f (ξ)g(ξ) dξ.
Rn

2

|f (x)|2 dx =
Rn

f (ξ)

dξ

(1.6)

Rn

Biến đổi Fourier là một song ánh từ S lên S . Công thức (1.1) cho phép

thác triển biến đổi Fourier từ L2 vào L2 . Biến đổi Fourier là một song
ánh và đẳng cự từ L2 lên L2 , đồng thời các công thức (1.1) - (1.6) vẫn
còn đúng.


9

1.2

Nửa nhóm liên tục

Cho E là không gian Banach. Không gian L(E, E) gồm các toán tử
tuyến tính liên tục từ E vào E và cũng là không gian Banach với chuẩn

T = sup ||T (x)||.
x

1.2.1

E =1

Khái niệm nửa nhóm liên tục

Định nghĩa 1.2. Giả sử E là không gian Banach. Tập hợp các toán tử

{Tt , t ≥ 0} trong đó Tt ∈ L(E; E) được gọi là nửa nhóm liên tục nếu
{Tt } thỏa mãn các tính chất sau:
a) T0 = I , I là toán tử đồng nhất của E ,

(t, s ≥ 0),

b) Ts Tt = Ts+t

c) Ánh xạ t → Tt của R+ → L(E; E) là liên tục theo t trong tôpô hội
tụ từng điểm của E , tức là với t0 ∈ R+ và với mỗi x ∈ E ta có

(Tt − Tt0 )x

E

→ 0 khi t → t0 .

Ví dụ 1.1. Giả sử A : E → E là một toán tử tuyến tính liên tục. Xét
tập hợp {Tt , t ≥ 0}, trong đó Tt xác định bởi
+∞
tA

Tt = e

=
k=0

(tA)k
.
k!

Khi đó {Tt , t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục.

1.2.2

Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục

Định nghĩa 1.3. Giả sử {Tt , t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục. Trong
không gian E ta xét toán tử A cho bởi

1
(Th x − x).
h→+0 h

Ax = lim

(1.7)


10

Khi đó miền xác định D(A) của A là tập hợp sau

1
(Th x − x)}
h→0+ h

D(A) = {x ∈ E; ∃ lim

Toán tử tuyến tính A : D(A) → E được gọi là toán tử sinh của nửa
nhóm {Tt }.
Ví dụ 1.2. Xét nửa nhóm liên tục {Tt , t ≥ 0} trong Ví dụ 1.1 có toán
tử sinh là A.

1.2.3

Các tính chất của nửa nhóm liên tục

Sau đây là một số tính chất của nửa nhóm liên tục.
Tính chất 1.1. Cho {Tt } là một nửa nhóm liên tục trong không gian
Banach E . Khi đó, tồn tại các hằng số dương M, B sao cho:

Tt ≤ M eBt , ∀t ≥ 0.
Chứng minh. Cho a > 0 bất kỳ, Ba ký hiệu là ảnh của một khoảng
đóng của [0; a] dưới ánh xạ t → Tt của R+ → L(E; E) với E là không
gian Banach. Khi đó Ba là compact cho tôpô hội tụ từng điểm trong

L(E, E).
Đặt Ma = sup Tt . Cho t > 0 bất kỳ, cho m là số nguyên lớn nhất
0≤t≤a

thỏa mãn ma ≤ t. Do Ts Tt = Ts+t chúng ta có:

Tt = Tt−ma .Tma = Tt−ma .Ta m ≤ Ma m+1 ≤ Ma .eBma ≤ Ma .eBt ,
1
trong đó B = log Ma .
a
Với số phức p ∈ C mà Re p > B chúng ta định nghĩa biến đổi Laplace
R(p) của nửa nhóm {Tt , t ≥ 0} theo công thức sau
+∞

R(p) =

e−pt Tt dt

0

tức là
+∞

e−pt Tt xdt, ∀ x ∈ E.

R(p)x =
0

(1.8)


11

Toán tử R(p) là hàm chỉnh hình theo biến p khi Re p > B và nhận giá
trị trong L(E, E). Do Tt giao hoán với A nên R(p) cũng giao hoán với

A.
Tính chất 1.2. Nếu Re p > B thì miền giá trị của R(p) được chứa
trong D(A) và ta có:

(pI − A)R(p) = R(p)(pI − A) = I.

(1.9)

Chứng minh. Cho x ∈ E, h > 0 tùy ý. Ta có:
+∞

h−1 (Th − I) R(p)x = h−1

e−pt (Tt+h − Tt )xdt
0

+∞

1
= (eph − 1)
h

h

1
e−pt Tt x dt −
h
h

e−pt Tt x dt (1.10)
0

+∞
1 ph
(e − 1)
e−pt Tt x dt → pR(p)x.
h
h
Mặt khác khi h −→ +0, ta có

Khi h → +0 thì

h

1
h

e−pt Tt x dt → T0 x = x.

(1.11)

0

Do đó, h−1 (Th − I) −→ A, từ (1.10) ta suy ra

AR(p) = pR(p) − I.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.3. Giả sử số phức p hội tụ tới ∞ khi biến thiên trong một
hình quạt với |Imp| < C Re p (C > 0). Khi đó, với mỗi x ∈ E, pR(p)x
hội tụ tới x trong E khi p −→ ∞.


12

Chứng minh. Ta đặt p = σ + iτ (σ, τ ∈ R). Khi đó từ (1.8) suy ra
+∞

e−pt (Tt x − x)dt
0
p
p +∞ −( )t
=

e σ (T t x − x)dt.
σ 0
σ

pR(p)x − x = p

+∞

Do đó pR(p)x − x

E

≤ (1 + C)
0

e−t T σt x − x dt. Do vế phải tiến

tới 0 khi σ −→ +∞ nên suy ra điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử đóng nếu

{xm } ⊂ D(A), xm → x và Axm → y thì ta có
x ∈ D(A) và Ax = y.
Tính chất 1.4. Giả sử A là toán tử tuyến tính và A được xác định bởi
(1.7). Khi đó A là toán tử đóng và D(A) là trù mật trong E .
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh A là toán tử đóng. Thật vậy, giả
sử {xm } ⊂ D(A), xm → x, Axm → y .

R(p)(pI − A) = I
R(p)(pI − A)xm = xm
R(p)(pxm − Axm ) = xm

Cho m −→ +∞ ta được

R(p)(px − y) = x

(1.12)

Do Jm R(p) ⊂ D(A) nên x ∈ D(A). Áp (pI − A) lên hai vế của (1.12)
ta có

(pI − A)R(p)(px − y) = (pI − A)x
px − y = px − Ax suy ra y = Ax.
Vậy A là toán tử đóng.
Tiếp theo ta chứng minh D(A) trù mật trong E . Thật vậy, lấy x ∈ E
bất kỳ R(p)x ∈ D(A) kéo theo pR(p)x ∈ D(A). Mặt khác pR(p)x −→

x ∈ E . Suy ra D(A) trù mật trong E


13

Chú ý rằng: Toán tử tuyến tính liên tục thì đóng. Ngược lại nói chung
là không đúng.
Tính chất 1.5. Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt }. Khi đó

dTt
= ATt = Tt A
dt
1.2.4

(1.13)

Định lý Hille-Yosida

Định lý sau cho ta điều kiện đủ để một toán tử là toán tử sinh của một
nửa nhóm liên tục.
Định lý 1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng từ E vào E với
miền xác định D(A) trù mật trong không gian Banach E . Giả sử rằng
tồn tại λ0 > 0 sao cho giải thức R(p; A) = (λI − A)−1 của A tồn tại
và là một toán tử bị chặn trong E với tất cả các giá trị nguyên λ > λ0 .
Khi đó hai điều kiện sau là tương đương:
(a) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt } nào đó.
(b) Tồn tại những hằng số M, B > 0 sao cho với mọi k = 1, 2, ... và
với mọi λ ∈ R, λ > B ta có

(λI − A)−k ≤ M (λ − B)−k .

(1.14)

Chứng minh. (a) ⇒ (b)
Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt }, khi đó ta có
+∞

R(λ; A) = R(λ) =

e−λt Tt dt với Reλ > B, (B > 0, B = const).

0

Chúng ta có thể đạo hàm theo λ dưới dấu tích phân:
+∞

(−t)k e−λt Tt dt.

R(k) (λ) =
0

Mặt khác, từ R(λ) = (λI − A)−1 , ta có thể kiểm tra:

R(k) (λ) = (−1)k k! R(λ)k+1 .

(1.15)


14

k+1

Do Tính chất 1.1, R(λ)

+∞

≤M
0

tk −(Reλ−B)t
dt
k! e

= M (Reλ − B)−k−1 .

Do đó (b) được chứng minh (Lưu ý: pR(p) = (I + p−1 A)−1 ).

(b) ⇒ (a)
1 −1
A) , m là số nguyên lớn hơn λ0 . Từ (b) chúng
m
ta biết Jm , m > sup(λ0 , B), là tập bị chặn của toán tử tuyến tính
trên E . Nếu x ∈ D(A), x − Jm x = m−1 A Jm x = m−1 Jm Ax. Do đó
C
Jm x − x E ≤ m
Ax E → 0, m → +∞. Do D(A) trù mật trong E ,
có nghĩa là Jm x → x, m → +∞, x ∈ E . Ta đặt
Xét tập Jm = (I −

m

Tt = exp(−tAJm ) = exp(mt(Jm − J)) = e−mt exp(mtJm ), t ≥ 0.

Lại bởi (1.14), ta có:
+∞

exp(mtJm ) ≤
k=0

Chú ý rằng: m(1 −
m

Tt

k

−1

(mt)
k!

B
≤ M exp m(1 − m
) t

B −1
m)

−m=

m
m−B B .

B −1
≤ M exp (1 − ) Bt
m

Ta nhận được:

, m > sup(λ0 , B) , t ≥ 0. (1.16)

Rõ ràng tất cả toán tử Jm , n Tt thay thế A và thay thế một trong số
chúng. Hơn nữa,
m

Tt − n Tt = {exp[−tA(Jm − Jn )] − I} exp(tAJn )
t

= − exp(−tAJn )

A(Jm − Jn ) exp [ − sA(Jm − Jn )ds
0

t
m

=−

Tt n Tt−s (Jm − Jn ) Ads.

0

Cho tùy ý x ∈ D(A). Bởi (1.16) ta có:
t
m

Tt x − n Tt x

E

≤ M 2 (Jm − Jn )Ax

E

e2Bs ds. Nếu m, n > 2B ,

0

chúng ta xem rằng Jm Ax → Ax.
m

Tt x là một dãy Cauchy trong E hội tụ đến 1 giới hạn, mà ta kí hiệu
bởi Tt x. Sự hội tụ là đều theo t trong một khoảng đóng [0, T ], t < +∞.


15

Nhiều khi bởi (1.16), ta thấy rằng, khi 0 ≤ t ≤ T ,

m

Tt có dạng là tập
bị chặn của toán tử tuyến tính. Ta kết luận rằng: m Tt x → Tt x, x ∈ E ,
đều liên quan tới t trong một khoảng đóng. Cho x ∈ E, t → Tt x là
hàm số liên tục theo t trong R+ : Ts Tt = Ts+t và T0 = I , cho những
tính chất đúng khi m T thay cho T . Chú ý rằng, từ (1.16) ta có:
Tt ≤ M eBt , ∀t ≥ 0.

(1.17)

Phần chứng minh còn lại là A là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt } .
Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt }. Từ (1.17) ta thấy
cho Reλ đủ lớn, giải thức R(λ; A ) là bằng với
+∞

+∞

e−λt Tt dt = lim

exp(−λt) exp(−tAJm )dt

m→+∞

0

0

= lim (λI − AJm )−1 = R(λ; A)
m→+∞

ở đây giới hạn có được theo nghĩa của sự hội tụ điểm trong E .
Do đó (λI − A )−1 = (λI − A)−1 , và suy ra A = A nên A là toán tử
sinh của {Tt }.

1.3

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân
thường trong không gian Banach

Giả sử E là không gian Banach, A là toán tử đóng trong E với miền
xác định D(A) trù mật trong E . Ta xét bài toán Cauchy cho phương
trình vi phân thường trong không gian E

Ta có định lý sau:

d

u(t) = Au(t) + f (t)
dt

(1.18)

u(0) = u0

(1.19)


16

Định lý 1.2. Giả sử A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật
trong E . Giả sử rằng A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt } nào
đó. Ta cũng giả sử rằng t → f (t) và t → Af (t) là liên tục trong tôpô
của E với t ∈ [0; T ] đối với vế phải của f (t). Khi đó với giá trị tùy ý
ban đầu u0 ∈ D(A) bài toán Cauchy (1.18), (1.19) có nghiệm duy nhất

u(t) ∈ C 1 ([0, T ], E) và nghiệm được cho bởi công thức sau
t

u(t) = Tt u0 +

Tt−s f (s)ds.

(1.20)

0

Chứng minh. Để chứng minh (1.20) là nghiệm, ta chỉ cần chứng minh

t

d
ψ(t) = Aψ(t) + f (t) với ψ(t) =
dt

Tt−s f (s)ds
0

t

Ta chú ý rằng ψ ∈ D(A) và Aψ(t) =

Tt−s Af (s)ds.
0

Để chứng minh, thứ nhất nhớ lại định nghĩa của phép lấy tích phân và
chú ý A là toán tử đóng. Vì thế Aψ(t) cũng là liên tục. Mặt khác với

η > 0,
t+η

ψ(t + η) − ψ(t) 1
=
η
η

t

Tη − I

Tt+η−s f (s)ds +
η
t

Tt−s f (s)ds.
0

Cho η → +0, ψ (t) = f (t) + Aψ(t), với vế phải là hàm liên tục theo t.
Vì thế ψ (t) = f (t) + Aψ(t).
Ta chứng minh tính duy nhất: Với Jλ = (I − Aλ )−1 , λ > 0. Dễ dàng có
d
uλ (t) và uλ (t) = (AJλ )uλ (t) + f (t) là xác định duy nhất cho giá trị
dt
ban đầu u0 bởi vì AJλ là một toán tử bị chặn.
Đặt u(t) − uλ (t) = vλ (t) cho nghiệm u(t) của (1.20).
Khi đó ta có:

d
vλ (t) = (AJλ )vλ (t) + (A − AJλ )u(t).
dt


17
t

(λ)

Tt−s (A − AJλ )u(s)d(s) (u ∈ D(A)).

Vì thế vλ (t) =

0

t

(λ)

Tt−s (I − Jλ )Au(s)d(s)

(Chú ý rằng vλ (0) = 0) và cũng như:
0
(λ)
Tt−s (I

− Jλ )Au(s) là bị chặn đều với λ và ∀s ∈ [0; t]. Do vậy nếu
(λ)

chúng ta cố định s và cho λ → +∞ thì Tt−s (I − Jλ )Au(s) → 0. Từ
Định lý Lebesgue’s, ta có vλ (t) → 0, có nghĩa là u(t) là giới hạn của

uλ (t). Khi đó u(t) là xác định và duy nhất.


18

Chương 2
Bài toán Cauchy cho phương trình
dạng tiến hóa
Trong chương này ta ký hiệu (x, t) ∈ Rn+1 = Rn × R, trong đó

x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , t ∈ R là biến thời gian. Đặt ν = (ν1 , ..., νn ) ∈ Nn ,

∂ ν
∂ ν1 ∂ ν2
∂ νn
là đa chỉ số và |ν| = ν1 + ... + νn ,
=
...
,
∂x
∂x1
∂x2
∂xn
ξ = (ξ1 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ ν = ξ1ν1 ξ2ν2 ...ξnνn , iξ = (iξ1 , iξ2 , ..., iξn ),
(iξ)ν = i|ν| ξ ν .

2.1

Khái niệm mặt đặc trưng

Xét phương trình dạng tổng quát

aν,j (x, t)
|ν|+j≤m

∂
∂x

ν

∂
∂t

j

u = f.

Mặt cong

S = {(x, t); ϕ(x, t) = 0 ; ϕ(x,t) (x, t) = 0}
Định nghĩa 2.1.
1. Mặt cong S được gọi là mặt đặc trưng nếu với mọi (x, t) ∈ S ta có

aν,j (x, t)(ϕx )ν (ϕt )j = 0
|ν|+j=m

trong đó (ϕx )ν = (ϕx1 )ν1 (ϕx2 )ν2 ...(ϕxn )νn .


19

2. S được gọi là mặt không đặc trưng nếu với mọi (x, t) ∈ S ta có

aν,j (x, t)(ϕx )ν ϕjt = 0.
|ν|+j=m

2.2

Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya

2.2.1

Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya. Bài toán
Cauchy

Định nghĩa 2.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m chứa
biến thời gian t sau đây

L[u] ≡ (

∂ m
) u+
∂t

aν,j (x, t)(
j|ν|+j≤m

∂ ν ∂ j
) ( ) u = f (x, t)
∂x ∂t

(2.1)

được gọi là phương trình kiểu Kowalewskaya.
Ví dụ 2.1. Phương trình Laplace (m = 2)

∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 + ... + 2 = 0.
∂t2
∂x1

∂xn

(2.2)

là phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya.
Ví dụ 2.2. Phương trình truyền sóng (m = 2)

∂ 2u ∂ 2u
∂ 2u
−
−
...
−
= 0.
∂t2
∂x21
∂x2n

(2.3)

là phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya.
Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u(x, t) của phương trình (2.1) sao cho
khi t = t0 thỏa mãn các điều kiện ban đầu sau đây


u(x, t0 )
= ϕ0 (x)





∂u(x, t0 )


= ϕ1 (x)
∂t

...



m−1

u(x, t0 )

∂
= ϕm−1 (x)
∂tm−1

(2.4)


20

trong đó các hàm ϕ0 (x), ..., ϕm−1 (x) là các hàm cho trước.
Nhận xét: Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya các mặt
phẳng t = 0 hoặc t = t0 là các mặt phẳng không đặc trưng.

2.2.2

Định lý Cauchy-Kowalewskaya

Định lý 2.1. Giả sử các hệ số của L và các hàm f (x, t), ϕ0 (x), ..., ϕm (x)
là giải tích trong lân cận của điểm (x0 , t0 ). Khi đó, tồn tại duy nhất
nghiệm u(x, t) của bài toán (2.1), (2.4) mà là hàm giải tích trong lân
cận của điểm (x0 , t0 ).

2.3

Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở
rộng

2.3.1

Phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng. Bài toán
Cauchy

Định nghĩa 2.3. Phương trình tiến hóa sau đây

L[u] ≡ (

∂ m
∂
∂
) u+
aν,j (x, t)( )ν ( )j u = f (x, t)
∂t
∂x ∂t
j

trong đó các đạo hàm theo t trong dấu

(2.5)

đều có cấp nhỏ hơn m, còn

các đạo hàm theo biến x có thể có cấp lớn hơn m, được gọi là phương
trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng.
Ví dụ 2.3. Phương trình truyền nhiệt (m = 1)

∂u ∂ 2 u
∂ 2u
− 2 − ... − 2 = 0.
∂t ∂x1
∂xn

(2.6)

là phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng.
Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u(x, t) của phương trình (2.5) sao cho


21

khi t = t0 thỏa mãn các điều kiện sau:


u(x, t0 )
= ϕ0 (x)





∂u(x, t0 )


= ϕ1 (x)
∂t

...



m−1

u(x, t0 )

∂
= ϕm−1 (x)
∂tm−1

(2.7)

Nhận xét: -Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya là phương trình
tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng. Điều ngược lại nói chung không
đúng.
- Đối với phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng thì các mặt phẳng

t = 0 hoặc t = t0 có thể là mặt đặc trưng, chẳng hạn như đối với phương
trình truyền nhiệt (2.6).

2.3.2

Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở
rộng về hệ phương trình cấp một theo biến thời gian

Trong các phương trình tiến hóa (2.1) hoặc (2.5) ta đặt
∂ 2
∂
∂ m−1
v0 = u, v1 = u, v2 =
u, ..., vm−1 =
u.
∂t
∂t
∂t
Khi đó các phương trình này có thể viết dưới dạng hệ phương trình:

d


v0 = v1


dt



d



v1 = v2


 dt
...


d


vm−2 = vm−1



dt

m−1

d

∂

 vm−1 =
αi (x, t; ∂x
)vi + f (x, t),
dt
i=0

(2.8)

∂
) có thể có cấp lớn hơn một. Ta nói
∂x
v(t) = (v0 (t) , ..., vm−1 (t)) là một nghiệm của (2.8) trong H ∞ nếu và
chỉ nếu vi ∈ C 1 ([0, T ], H ∞ ) (t ≥ 0 ) (i = 0, 1, ..., m − 1), có nghĩa là
trong đó các toán tử αi (x, t,


22

vi (t) là hàm lấy giá trị trong H ∞ với (t ≥ 0 ), vi (t) là khả vi liên tục
theo t và thỏa mãn (2.8).
Dạng ma trận của bài toán (2.8)
d
v(x, t) = A(x, t)v + g(x, t)
dt
trong đó

...
0


...
0




A(x, t) = 
...






0
0
0
...
1
∂
∂
∂
∂
α0 (x, t, ∂x ) α1 (x, t, ∂x ) α2 (x, t, ∂x ) ... αm−1 (x, t, ∂x )




v0 (x, t)
0
 v (x, t) 
 0 
 1








v(x, t) = 
...
 , g(x, t) =  ...  .




vm−2 (x, t)
 0 
vm−1 (x, t)
f (x, t)


0
0

1
0

0
1

Bài toán Cauchy cho hệ (2.8): Tìm hàm v(x, t) ∈ C 1 ([0, T ], H ∞ ) sao
cho thỏa mãn các điều kiện sau


v0 (x, t0 ) = ϕ0 (x)







v1 (x, t0 ) = ϕ1 (x)

...




vm−2 (x, t0 ) = ϕm−2 (x)



v
m−1 (x, t0 ) = ϕm−1 (x)

(2.9)

trong đó ϕ0 (x), ..., ϕm−1 (x) là các hàm được cho trước trong (2.7).

2.3.3

Khái niệm tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy

Định nghĩa 2.4. Ta nói bài toán Cauchy (2.5) và (2.7) là đặt chỉnh
đều theo t trong [0, T ] nếu khi f (x, t) ≡ 0, với mọi dữ kiện ban đầu

ψ = (ϕ0 (x) , ..., ϕm−1 (x)) ∈

H ∞ và thời điểm ban đầu t0 bất kỳ
(0 ≤ t0 ≤ T ), thì tồn tại duy nhất nghiệm u(t, t0 ) ∈ C m ((0, T ), H ∞ )
và u(t, t0 ) phụ thuộc liên tục vào ψ đều theo t0 .


23

Nhận xét: - Tương tự ta có định nghĩa đối với tính đặt chỉnh đều của
bài toán Cauchy (2.8), (2.9).
- Tính đặt chỉnh đều của các bài toán Cauchy nói trên là tương đương.

2.4

Tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy khi
các hệ số của phương trình chỉ phụ thuộc vào
biến thời gian

2.4.1

Định lý Petrowsky

Ta có thể viết (2.8) dưới dạng ma trận như sau

M [v] ≡

d
∂
v − A(t;
)v = g
dt

∂x

(2.10)

trong đó


v0 (x, t)

 v (x, t)
v= 1
 . ..
vm−1 (x, t)









 , g=



0
0
. ..
f (x, t)







Giả sử g ≡ 0. Ta áp khai triển Fourier vào hai vế của (2.10) theo biến

x ta sẽ có:
M [v(ξ, t)] ≡

d
v(ξ, t) − A(t; 2πiξ)v(ξ, t) = 0
dt

(2.11)

∂
trong ma trận A bởi 2πiξ với ξ = (ξ1 , ..., ξn ). Đây
∂x
là phương trình vi phân thường chứa tham số ξ .
Bây giờ, xét hệ nghiệm cơ bản v 0 (ξ, t; t0 ) , v 1 (ξ, t; t0 ), ..., v m−1 (ξ, t; t0 )
của hệ (2.11) với t = t0 là thời gian ban đầu, có nghĩa là:
 j

v 0 (ξ, t; t0 )

v j (ξ, t; t0 ) =  . ..
v j m−1 (ξ, t; t0 )

trong đó ta thay